Наоѓање на најмал заеднички множител: методи, примери за наоѓање LCM. Наоѓање на најмал заеднички множител: методи, примери за наоѓање LCM Како да се најде најмалиот заеднички множител на броеви

Да го продолжиме разговорот за најмалиот заеднички множител, кој го започнавме во делот „LCM - најмал заеднички множител, дефиниција, примери“. Во оваа тема ќе разгледаме начини за наоѓање на LCM за три или повеќе броеви, а ќе го разгледаме и прашањето како да се најде LCM на негативен број.

Пресметување на најмалку заедничко повеќекратно (LCM) преку GCD

Веќе ја утврдивме врската помеѓу најмалиот заеднички множител и најголемиот заеднички делител. Сега да научиме како да го одредиме LCM преку GCD. Прво, ајде да дознаеме како да го направиме тоа позитивни бројки.

Дефиниција 1

Најдете го најмалиот заеднички множител преку најголемиот заеднички делителможе да се направи со помош на формулата LCM (a , b) = a · b: GCD (a , b) .

Пример 1

Треба да го пронајдете LCM на броевите 126 и 70.

Решение

Да земеме a = 126, b = 70. Ајде да ги замениме вредностите во формулата за пресметување на најмалиот заеднички множител преку најголемиот заеднички делител LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Го наоѓа gcd на броевите 70 и 126. За ова ни треба Евклидов алгоритам: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, затоа GCD (126 , 70) = 14 .

Ајде да го пресметаме LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Одговор: LCM(126, 70) = 630.

Пример 2

Најдете ги бројот 68 и 34.

Решение

GCD во во овој случајОва не е тешко, бидејќи 68 се дели со 34. Да го пресметаме најмалиот заеднички множител користејќи ја формулата: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Одговор: LCM(68, 34) = 68.

Во овој пример, го користевме правилото за наоѓање на најмал заеднички множител на позитивните цели броеви a и b: ако првиот број е делив со вториот, LCM на тие броеви ќе биде еднаков на првиот број.

Наоѓање на LCM со факторингирање на броеви во прости множители

Сега да го погледнеме методот за наоѓање на LCM, кој се заснова на факторингирање на броеви во прости множители.

Дефиниција 2

За да го најдеме најмалиот заеднички множител, треба да извршиме неколку едноставни чекори:

• го составуваме производот на сите прости множители на броевите за кои треба да го најдеме LCM;
• ги исклучуваме сите основни фактори од нивните добиени производи;
• производот добиен по елиминирање на заедничките прости множители ќе биде еднаков на LCM на дадените броеви.

Овој метод за наоѓање на најмал заеднички множител се заснова на еднаквоста LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ако ја погледнете формулата, ќе ви стане јасно: производот на броевите a и b е еднаков на производот на сите фактори кои учествуваат во разградувањето на овие два броја. Во овој случај, gcd на два броја е еднаков на производот на сите прости множители кои се истовремено присутни во факторизациите на овие два броја.

Пример 3

Имаме два броја 75 и 210. Можеме да ги факторизираме на следниов начин: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Ако го составите производот од сите множители на двата оригинални броеви, ќе добиете: 2 3 3 5 5 5 7.

Ако ги исклучиме факторите заеднички за двата броја 3 и 5, добиваме производ од следнава форма: 2 3 5 5 7 = 1050. Овој производ ќе биде нашиот LCM за броевите 75 и 210.

Пример 4

Најдете го LCM на броеви 441 И 700 , факторингирајќи ги двата броја во прости множители.

Решение

Да ги најдеме сите прости множители на броевите дадени во условот:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Добиваме два синџири на броеви: 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7.

Производот на сите фактори кои учествувале во разградувањето на овие броеви ќе има форма: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ајде да најдеме заеднички фактори. Ова е бројот 7. Да го исклучиме од вкупниот производ: 2 2 3 3 5 5 7 7. Излегува дека НОК (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Одговор: LOC(441, 700) = 44.100.

Да дадеме уште една формулација на методот за пронаоѓање на LCM со разложување на броевите во прости множители.

Дефиниција 3

Претходно, ние исклучивме од вкупниот број на фактори заеднички за двата броја. Сега ќе го направиме поинаку:

• Да ги факторизираме двата броја во прости множители:
• на производот на простите множители на првиот број додадете ги множителите што недостасуваат од вториот број;
• го добиваме производот, кој ќе биде саканиот LCM од два броја.

Пример 5

Да се ​​вратиме на броевите 75 и 210, за кои веќе го баравме LCM во еден од претходните примери. Ајде да ги поделиме на едноставни фактори: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. На производот од факторите 3, 5 и 5 броеви 75 додадете ги факторите што недостасуваат 2 И 7 броеви 210. Добиваме: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Ова е LCM на броевите 75 и 210.

Пример 6

Неопходно е да се пресмета LCM на броевите 84 и 648.

Решение

Да ги факторизираме броевите од условот во едноставни фактори: 84 = 2 2 3 7И 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Да ги додадеме на производот факторите 2, 2, 3 и 7 броеви 84 недостасуваат фактори 2, 3, 3 и
3 броеви 648. Го добиваме производот 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Ова е најмалиот заеднички множител од 84 и 648.

Одговор: LCM (84, 648) = 4.536.

Наоѓање на LCM на три или повеќе броеви

Без оглед на тоа со колку броеви имаме работа, алгоритмот на нашите дејства секогаш ќе биде ист: последователно ќе го најдеме LCM на два броја. Постои теорема за овој случај.

Теорема 1

Да претпоставиме дека имаме цели броеви a 1 , a 2 , ... , a k. НОК m kовие броеви се наоѓаат со секвенцијално пресметување на m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Сега да погледнеме како теоремата може да се примени за да се решат конкретни проблеми.

Пример 7

Треба да го пресметате најмалиот заеднички множител од четирите броеви 140, 9, 54 и 250 .

Решение

Да ја воведеме ознаката: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Да почнеме со пресметување на m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Да го примениме Евклидов алгоритам за да го пресметаме GCD на броевите 140 и 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Добиваме: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Затоа, m 2 = 1.260.

Сега да пресметаме користејќи го истиот алгоритам m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). При пресметките добиваме m 3 = 3 780.

Треба само да пресметаме m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Го следиме истиот алгоритам. Добиваме m 4 = 94 500.

LCM на четирите броеви од условот на примерот е 94500.

Одговор:НОК (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Како што можете да видите, пресметките се едноставни, но доста трудоинтензивни. За да заштедите време, можете да одите на друг начин.

Дефиниција 4

Ви го нудиме следниов алгоритам на дејства:

• ги разложуваме сите броеви на прости множители;
• на производот од множителите од првиот број ги додаваме множителите што недостасуваат од производот на вториот број;
• на производот добиен во претходната фаза ги додаваме факторите што недостасуваат од третиот број итн.;
• добиениот производ ќе биде најмалиот заеднички множител од сите броеви од условот.

Пример 8

Треба да го пронајдете LCM на пет броеви 84, 6, 48, 7, 143.

Решение

Да ги пресметаме сите пет броеви во прости множители: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Простите броеви, што е бројот 7, не можат да се вклучат во прости множители. Таквите броеви се совпаѓаат со нивното распаѓање на прости множители.

Сега да го земеме производот на простите множители 2, 2, 3 и 7 од бројот 84 и да ги додадеме множителите што недостасуваат од вториот број. Бројот 6 го разложивме на 2 и 3. Овие фактори се веќе во производот од првиот број. Затоа, ги испуштаме.

Продолжуваме да ги собираме множителите што недостасуваат. Да преминеме на бројот 48, од производот на чии прости множители земаме 2 и 2. Потоа го собираме простиот фактор 7 од четвртиот број и множителите 11 и 13 од петтиот. Добиваме: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ова е најмалиот заеднички множител од оригиналните пет броеви.

Одговор: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Наоѓање на најмал заеднички множител на негативни броеви

Да се ​​најде најмалиот заеднички множител негативни броеви, овие бројки мора прво да се заменат со броеви со спротивен знак, а потоа пресметките мора да се извршат со помош на горенаведените алгоритми.

Пример 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) и LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Ваквите дејствија се дозволени поради фактот што ако го прифатиме тоа аИ − а- спротивни броеви,
тогаш множеството множители на некој број асе совпаѓа со множеството множители на некој број − а.

Пример 10

Неопходно е да се пресмета LCM на негативни броеви − 145 И − 45 .

Решение

Да ги замениме бројките − 145 И − 45 на нивните спротивни броеви 145 И 45 . Сега, користејќи го алгоритмот, го пресметуваме LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, откако претходно го одредивме GCD користејќи го Евклидов алгоритам.

Добиваме дека LCM на броевите е − 145 и − 45 еднакви 1 305 .

Одговор: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

За да разберете како да го пресметате LCM, прво мора да го одредите значењето на терминот „повеќекратно“.

Многукратно од А е природен број кој е делив со А без остаток. Така, броевите што се множители на 5 може да се сметаат за 15, 20, 25 итн.

Може да има ограничен број делители на одреден број, но има бесконечен број множители.

Заеднички множител на природни броеви е број кој е делив со нив без да остави остаток.

Како да се најде најмалиот заеднички множител на броеви

Најмалата заедничка множина (LCM) на броеви (два, три или повеќе) е најмалиот природен број што е делив со сите овие броеви.

За да го пронајдете LOC, можете да користите неколку методи.

За мали броеви, погодно е да ги запишете сите множители на овие броеви на линија додека не најдете нешто заедничко меѓу нив. Множевите се означуваат со големата буква К.

На пример, множители од 4 може да се напишат вака:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Така, можете да видите дека најмалиот заеднички множител на броевите 4 и 6 е бројот 24. Оваа нотација е направена на следниов начин:

LCM(4, 6) = 24

Ако броевите се големи, пронајдете го заедничкиот множител на три или повеќе броеви, тогаш подобро е да користите друг метод за пресметување на LCM.

За да ја завршите задачата, треба да ги пресметате дадените броеви во прости множители.

Прво треба да го запишете распаѓањето на најголемиот број на линија, а под него - остатокот.

Разложувањето на секој број може да содржи различен број фактори.

На пример, да ги факторизираме броевите 50 и 20 во прости множители.

Во проширувањето на помалиот број, треба да ги истакнете факторите што недостасуваат во проширувањето на првиот најголем број, а потоа да ги додадете во него. Во прикажаниот пример, недостасуваат два.

Сега можете да го пресметате најмалиот заеднички множител од 20 и 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Така, производот на простите множители на поголемиот број и множителите на вториот број кои не биле вклучени во проширувањето на поголемиот број ќе биде најмалиот заеднички множител.

За да го пронајдете LCM на три или повеќе броеви, треба да ги пресметате сите во прости множители, како во претходниот случај.

Како пример, можете да го најдете најмалиот заеднички множител од броевите 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Така, само две двојки од проширувањето на шеснаесет не беа вклучени во факторизирањето на поголем број (едниот е во проширувањето на дваесет и четири).

Така, тие треба да се додадат на проширување на поголем број.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Постојат посебни случаи на определување на најмал заеднички множител. Значи, ако еден од броевите може да се подели без остаток со друг, тогаш поголемиот од овие броеви ќе биде најмалиот заеднички множител.

На пример, LCM од дванаесет и дваесет и четири е дваесет и четири.

Ако е потребно да се најде најмалиот заеднички множител на сопростите броеви кои немаат идентични делители, тогаш нивниот LCM ќе биде еднаков на нивниот производ.

На пример, LCM (10, 11) = 110.

Ајде да погледнеме три начини да го најдеме најмалиот заеднички множител.

Наоѓање со факторизација

Првиот метод е да се најде најмалиот заеднички множител со множење на дадените броеви во прости множители.

Да речеме дека треба да го најдеме LCM на броевите: 99, 30 и 28. За да го направите ова, ајде да го факторизираме секој од овие броеви во прости множители:

За саканиот број да биде делив со 99, 30 и 28, потребно е и доволно тој да ги вклучува сите прости множители на овие делители. За да го направите ова, треба да ги земеме сите прости фактори на овие броеви до најголема можна моќност и да ги помножиме заедно:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Така, LCM (99, 30, 28) = 13,860. Ниту еден друг број помал од 13,860 не е делив со 99, 30 или 28.

За да го пронајдете најмалиот заеднички множител на дадените броеви, ги вметнувате во нивните прости множители, потоа земете го секој прост фактор со најголемиот експонент во кој се појавува и множете ги тие множители заедно.

Бидејќи релативно простите броеви немаат заеднички прости множители, нивниот најмал заеднички множител е еднаков на производот на овие броеви. На пример, три броеви: 20, 49 и 33 се релативно прости. Затоа

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Истото мора да се направи кога се наоѓа најмалиот заеднички множител на различни прости броеви. На пример, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Наоѓање по избор

Вториот метод е да се најде најмалиот заеднички множител со избор.

Пример 1. Кога најголемиот од дадените броеви се дели со друг даден број, тогаш LCM на овие броеви е еднаков на најголемиот од нив. На пример, дадени четири броја: 60, 30, 10 и 6. Секој од нив е делив со 60, затоа:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Во други случаи, за да се најде најмалиот заеднички множител, се користи следнава постапка:

1. Определи го најголемиот број од дадените броеви.
2. Следно, ги наоѓаме броевите кои се множители на најголемиот број со множење со него цели броевипо растечки редослед и проверка дали останатите броеви се деливи со добиениот производ.

Пример 2. Дадени се три броја 24, 3 и 18. Го одредуваме најголемиот од нив - ова е бројот 24. Следно, ги наоѓаме броевите што се множители на 24, проверувајќи дали секој од нив е делив со 18 и 3:

24 · 1 = 24 - делив со 3, но не делив со 18.

24 · 2 = 48 - делив со 3, но не делив со 18.

24 · 3 = 72 - делив со 3 и 18.

Така, LCM (24, 3, 18) = 72.

Наоѓање со секвенцијално наоѓање на LCM

Третиот метод е да се најде најмалиот заеднички множител со секвенцијално наоѓање на LCM.

LCM на два дадени броја е еднаков на производот на овие броеви поделен со нивниот најголем заеднички делител.

Пример 1. Најдете го LCM на два дадени броја: 12 и 8. Определи го нивниот најголем заеднички делител: GCD (12, 8) = 4. Помножете ги овие броеви:

Производот го делиме со нивниот gcd:

Така, LCM (12, 8) = 24.

За да го пронајдете LCM од три или повеќе броеви, користете ја следнава постапка:

1. Прво, пронајдете го LCM на кои било два од овие броеви.
2. Потоа, LCM на пронајдениот најмал заеднички множител и третиот даден број.
3. Потоа, LCM на добиениот најмал заеднички множител и четвртиот број, итн.
4. Така, потрагата по LCM продолжува се додека има бројки.

Пример 2. Да го најдеме LCM на три дадени броеви: 12, 8 и 9. Веќе го најдовме LCM на броевите 12 и 8 во претходниот пример (ова е бројот 24). Останува да се најде најмалиот заеднички множител на бројот 24 и третиот даден број - 9. Одреди го нивниот најголем заеднички делител: GCD (24, 9) = 3. Помножете го LCM со бројот 9:

Производот го делиме со нивниот gcd:

Така, LCM (12, 8, 9) = 72.

Повеќекратно е број кој е делив со даден број без остаток. Најмалиот заеднички множител (LCM) на група броеви е најмалиот број што е делив со секој број во групата без да остави остаток. За да го пронајдете најмалиот заеднички множител, треба да ги најдете простите множители на дадените броеви. LCM може да се пресмета и со користење на голем број други методи кои се применуваат на групи од два или повеќе броеви.

Чекори

Серии на множители

Погледнете ги овие бројки.Методот опишан овде најдобро се користи кога се дадени два броја, од кои секој е помал од 10. Ако се дадени поголеми броеви, користете различен метод.

• На пример, пронајдете го најмалиот заеднички множител на 5 и 8. Ова се мали броеви, па можете да го користите овој метод.

1. Повеќекратно е број кој е делив со даден број без остаток. Во табелата за множење може да се најдат множители.

   • На пример, броевите кои се множители на 5 се: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишете серија на броеви кои се множители на првиот број.Направете го ова под множители на првиот број за да споредите две групи броеви.

   • На пример, броевите кои се множители на 8 се: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.

3. Најдете го најмалиот број што е присутен во двете множества множители.Можеби ќе треба да напишете долги серии на множители за да го најдете вкупниот број. Најмалиот број што е присутен во двете множества множители е најмалиот заеднички множител.

   • На пример, најмалиот број што се појавува во низата множители од 5 и 8 е бројот 40. Според тоа, 40 е најмалиот заеднички множител од 5 и 8.

   Примарната факторизација

   1. Погледнете ги овие бројки.Методот опишан овде најдобро се користи кога се дадени два броја, од кои секој е поголем од 10. Ако се дадени помали броеви, користете различен метод.

      • На пример, пронајдете го најмалиот заеднички множител на броевите 20 и 84. Секој од броевите е поголем од 10, па можете да го користите овој метод.

   2. Фактор во прости фактори првиот број.Односно, треба да најдете такви прости броеви кои, кога ќе се помножат, ќе резултираат со даден број. Откако ќе ги пронајдете основните фактори, напишете ги како еднаквости.

      Факторирајте го вториот број во прости множители.Направете го тоа на ист начин како што го множивте првиот број, односно најдете такви прости броеви кои, кога ќе се помножат, ќе го дадат дадениот број.

      Запишете ги факторите кои се заеднички за двата броја.Напишете ги факторите како операција за множење. Додека го пишувате секој фактор, прецртајте го во двата израза (изрази кои опишуваат размножување на броеви во прости множители).

      Додадете ги преостанатите фактори во операцијата за множење.Тоа се фактори кои не се прецртани во двата израза, односно фактори кои не се заеднички за двата броја.

      Пресметајте го најмалиот заеднички множител.За да го направите ова, помножете ги броевите во пишаната операција за множење.

   Наоѓање заеднички фактори

   Нацртајте мрежа како за игра на tic-tac-toe.Таквата мрежа се состои од две паралелни прави кои се сечат (под прав агол) со уште две паралелни прави. Ова ќе ви даде три реда и три колони (мрежата многу личи на иконата #). Запишете го првиот број во првиот ред и во втората колона. Запишете го вториот број во првиот ред и третата колона.

   • На пример, најди го најмалиот заеднички множител на броевите 18 и 30. Напиши го бројот 18 во првиот ред и во втората колона, а бројот 30 запиши го во првиот ред и третата колона.

   1. Најдете го делителот заеднички за двата броја.Запишете го во првиот ред и првата колона. Подобро е да се бараат основни фактори, но тоа не е услов.

      • На пример, 18 и 30 се парни броеви, па нивниот заеднички фактор е 2. Така напишете 2 во првиот ред и првата колона.

   2. Поделете го секој број со првиот делител.Запишете го секој количник под соодветниот број. Количникот е резултат на делење два броја.

      Најдете го делителот заеднички за двата количници.Ако не постои таков делител, прескокнете ги следните два чекори. Во спротивно, напишете го делителот во вториот ред и првата колона.

      • На пример, 9 и 15 се делат со 3, па напишете 3 во вториот ред и првата колона.

   3. Поделете го секој количник со неговиот втор делител.Секој резултат од делење запишете го под соодветниот количник.

      Доколку е потребно, додадете дополнителни ќелии на решетката.Повторете ги опишаните чекори додека количниците немаат заеднички делител.

      Заокружете ги броевите во првата колона и последниот ред од решетката.Потоа запишете ги избраните броеви како операција за множење.

   Евклидовиот алгоритам

   Запомнете ја терминологијата поврзана со операцијата за поделба.Дивидендата е бројот што се дели. Деленикот е бројот со кој се дели. Количникот е резултат на делење два броја. Остаток е бројот што останува кога се делат два броја.

   Запишете израз кој ја опишува операцијата на делење со остаток.Израз: дивиденда = делител × количник + остаток (\displaystyle (\text(дивиденда))=(\text(делител))\times (\text(количник))+(\text(остаток))). Овој израз ќе се користи за да се напише Евклидов алгоритам за да се најде најголемиот заеднички делител на два броја.

   Сметајте го поголемиот од два броја како дивиденда.Сметајте го помалиот од двата броја како делител. За овие броеви напишете израз кој ја опишува операцијата на делење со остаток.

   Претворете го првиот делител во нова дивиденда.Користете го остатокот како нов делител. За овие броеви напишете израз кој ја опишува операцијата на делење со остаток.