Наоѓање на значењето на изразот: правила, примери, решенија. Наоѓање на значење на израз: правила, примери, решенија Изрази со корени

Значи, ако нумеричкиот израз е составен од броеви и знаците +, −, · и:, тогаш по редослед од лево кон десно мора прво да извршите множење и делење, а потоа собирање и одземање, што ќе ви овозможи да го пронајдете саканата вредност на изразот.

Да дадеме неколку примери за појаснување.

Пример.

Пресметај ја вредноста на изразот 14−2·15:6−3.

Решение.

За да ја пронајдете вредноста на изразот, треба да ги извршите сите дејства наведени во него во согласност со прифатениот редослед на извршување на овие дејства. Прво, со цел од лево кон десно, вршиме множење и делење, добиваме 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Сега ги извршуваме и преостанатите дејства по редослед од лево кон десно: 14−5−3=9−3=6. Така ја најдовме вредноста на оригиналниот израз, таа е еднаква на 6.

Одговор:

14−2·15:6−3=6.

Пример.

Најдете го значењето на изразот.

Решение.

Во овој пример, прво треба да го направиме множењето 2·(−7) и делењето со множењето во изразот . Сеќавајќи се како , наоѓаме 2·(−7)=−14. И прво да се извршат дејствата во изразот , тогаш , и извршете: .

Добиените вредности ги заменуваме во оригиналниот израз: .

Но, што ако има нумерички израз под знакот на коренот? За да ја добиете вредноста на таков корен, прво мора да ја пронајдете вредноста на радикалниот израз, придржувајќи се до прифатениот редослед на извршување дејства. На пример,.

Во нумеричките изрази, корените треба да се перцепираат како некои броеви и препорачливо е веднаш да се заменат корените со нивните вредности, а потоа да се најде вредноста на добиениот израз без корени, изведувајќи дејства во прифатената низа.

Пример.

Најдете го значењето на изразот со корени.

Решение.

Прво да ја најдеме вредноста на коренот . За да го направите ова, прво, ја пресметуваме вредноста на радикалниот израз, ја имаме −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. И второ, ја наоѓаме вредноста на коренот.

Сега да ја пресметаме вредноста на вториот корен од оригиналниот израз: .

Конечно, можеме да го најдеме значењето на оригиналниот израз со замена на корените со нивните вредности: .

Одговор:

Доста често, за да се најде значењето на изразот со корени, прво е потребно да се трансформира. Да го покажеме решението на примерот.

Пример.

Кое е значењето на изразот .

Решение.

Не можеме да го замениме коренот од три со неговата точна вредност, што не ни дозволува да ја пресметаме вредноста на овој израз на начин опишан погоре. Сепак, можеме да ја пресметаме вредноста на овој израз со извршување на едноставни трансформации. Применливи формула за квадратна разлика: . Земајќи ги во предвид, добиваме . Така, вредноста на оригиналниот израз е 1.

Одговор:

Со степени

Ако основата и експонентот се броеви, тогаш нивната вредност се пресметува со одредување на степенот, на пример, 3 2 =3·3=9 или 8 −1 =1/8. Има и записи каде основата и/или експонентот се некои изрази. Во овие случаи, треба да ја пронајдете вредноста на изразот во основата, вредноста на изразот во експонентот, а потоа да ја пресметате вредноста на самиот степен.

Пример.

Најдете ја вредноста на изразот со моќи на формата 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Решение.

Во оригиналниот израз има две сили 2 3·4−10 и (1−1/2) 3,5−2·1/4. Нивните вредности мора да се пресметаат пред да се извршат други дејства.

Да почнеме со моќноста 2 3·4−10. Неговиот индикатор содржи нумерички израз, да ја пресметаме неговата вредност: 3·4−10=12−10=2. Сега можете да ја најдете вредноста на самиот степен: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Основата и експонентот (1−1/2) 3,5−2 1/4 содржат изрази; ние ги пресметуваме нивните вредности за потоа да ја најдеме вредноста на експонентот. Ние имаме (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Сега се враќаме на оригиналниот израз, ги заменуваме степените во него со нивните вредности и ја наоѓаме вредноста на изразот што ни треба: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Одговор:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Вреди да се напомене дека има почести случаи кога е препорачливо да се спроведе прелиминарна поедноставување на изразувањето со моќина основата.

Пример.

Најдете го значењето на изразот .

Решение.

Судејќи според експонентите во овој израз, нема да биде можно да се добијат точни вредности на експонентите. Ајде да се обидеме да го поедноставиме оригиналниот израз, можеби ова ќе помогне да се најде неговото значење. Ние имаме

Одговор:

Моќите во изразите често одат рака под рака со логаритми, но ние ќе зборуваме за наоѓање на значењето на изразите со логаритми во еден од нив.

Наоѓање на вредноста на изразот со дропки

Нумеричките изрази може да содржат дропки во нивната нотација. Кога треба да го пронајдете значењето на таков израз, дропките освен дропките треба да се заменат со нивните вредности пред да продолжите со останатите чекори.

Броителот и именителот на дропките (кои се различни од обичните дропки) можат да содржат и некои броеви и изрази. За да ја пресметате вредноста на таквата дропка, треба да ја пресметате вредноста на изразот во броителот, да ја пресметате вредноста на изразот во именителот и потоа да ја пресметате вредноста на самата дропка. Овој редослед се објаснува со фактот дека дропката a/b, каде што a и b се некои изрази, во суштина претставува количник од формата (a):(b), бидејќи .

Да го погледнеме примерот на решението.

Пример.

Најдете го значењето на изразот со дропки .

Решение.

Во оригиналниот нумерички израз има три дропки И . За да ја пронајдеме вредноста на оригиналниот израз, прво треба да ги замениме овие дропки со нивните вредности. Ајде да го направиме тоа.

Броителот и именителот на дропка содржат броеви. За да ја пронајдете вредноста на таквата дропка, заменете ја лентата со дропка со знак за делење и извршете ја оваа акција: .

Во броителот на дропката има израз 7−2·3, лесно се наоѓа неговата вредност: 7−2·3=7−6=1. Така,. Можете да продолжите со наоѓање на вредноста на третата дропка.

Третата дропка во броителот и именителот содржи нумерички изрази, затоа, прво треба да ги пресметате нивните вредности, а тоа ќе ви овозможи да ја пронајдете вредноста на самата дропка. Ние имаме .

Останува да се заменат пронајдените вредности во оригиналниот израз и да се извршат преостанатите дејства: .

Одговор:

Често, кога ги наоѓате вредностите на изразите со дропки, треба да извршите поедноставување на дропски изрази, врз основа на извршување операции со дропки и редуцирачки дропки.

Пример.

Најдете го значењето на изразот .

Решение.

Коренот на пет не може целосно да се извлече, па за да ја пронајдеме вредноста на оригиналниот израз, прво да го поедноставиме. За ова да се ослободиме од ирационалноста во именителотпрва дропка: . По ова, оригиналниот израз ќе добие форма . По одземањето на дропките, корените ќе исчезнат, што ќе ни овозможи првично да ја најдеме вредноста за даден израз: .

Одговор:

Со логаритми

Ако нумеричкиот израз содржи , и ако е можно да се ослободите од нив, тогаш тоа се прави пред да се извршат други дејства. На пример, при наоѓање на вредноста на изразот log 2 4+2·3, логаритамскиот log 2 4 се заменува со неговата вредност 2, по што останатите дејства се вршат по вообичаен редослед, односно log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Кога има нумерички изрази под знакот на логаритмот и/или во неговата основа, прво се наоѓаат нивните вредности, по што се пресметува вредноста на логаритмот. На пример, разгледајте израз со логаритам на формата . Во основата на логаритмот и под неговиот знак има нумерички изрази, ги наоѓаме нивните вредности: . Сега го наоѓаме логаритамот, по што ги завршуваме пресметките: .

Ако логаритмите не се пресметуваат точно, тогаш прелиминарното поедноставување на него со помош на . Во овој случај, треба добро да го владеете материјалот на написот конвертирање на логаритамски изрази.

Пример.

Најдете ја вредноста на изразот со логаритми .

Решение.

Да почнеме со пресметување на дневник 2 (лог 2 256) . Бидејќи 256=2 8, тогаш лог 2 256=8, затоа, дневник 2 (лог 2 256) = дневник 2 8 = дневник 2 2 3 =3.

Логаритмите log 6 2 и log 6 3 може да се групираат. Збирот на логаритмите log 6 2 + log 6 3 е еднаков на логаритмот на производниот лог 6 (2 3), на тој начин, дневник 6 2 + дневник 6 3 = дневник 6 (2 3) = дневник 6 6=1.

Сега да ја погледнеме фракцијата. За почеток, ќе ја преработиме основата на логаритмот во именителот во форма на обична дропка како 1/5, по што ќе ги користиме својствата на логаритмите, што ќе ни овозможи да ја добиеме вредноста на дропот:
.

Останува само да ги замениме добиените резултати во оригиналниот израз и да завршиме со наоѓање на неговата вредност:

Одговор:

Како да се најде вредноста на тригонометрискиот израз?

Кога нумеричкиот израз содржи или, итн., нивните вредности се пресметуваат пред да се извршат други дејства. Ако има нумерички изрази под знакот на тригонометриски функции, тогаш прво се пресметуваат нивните вредности, по што се наоѓаат вредностите на тригонометриските функции.

Пример.

Најдете го значењето на изразот .

Решение.

Осврнувајќи се на статијата, добиваме и cosπ=−1 . Ние ги заменуваме овие вредности во оригиналниот израз, тој добива форма . За да ја пронајдете неговата вредност, прво треба да извршите степенување, а потоа да ги завршите пресметките: .

Одговор:

Вреди да се напомене дека пресметувањето на вредностите на изразите со синуси, косинуси итн. често бара пред конвертирање на тригонометриски израз.

Пример.

Која е вредноста на тригонометрискиот израз .

Решение.

Ајде да го трансформираме оригиналниот израз користејќи , во во овој случајНи треба косинус формула со двоен агол и формула за збир на косинус:

Трансформациите што ги направивме ни помогнаа да го најдеме значењето на изразот.

Одговор:

Општ случај

Општо земено, нумеричкиот израз може да содржи корени, сили, дропки, некои функции и загради. Наоѓањето на вредностите на таквите изрази се состои од извршување на следните дејства:

први корени, сили, дропки итн. се заменуваат со нивните вредности,
понатамошни дејства во загради,
а по редослед од лево кон десно се вршат преостанатите операции - множење и делење, а потоа собирање и одземање.

Наведените дејства се вршат додека не се добие конечниот резултат.

Пример.

Најдете го значењето на изразот .

Решение.

Формата на овој израз е доста сложена. Во овој израз гледаме дропки, корени, сили, синуси и логаритми. Како да се најде нејзината вредност?

Движејќи се низ записот од лево кон десно, наидуваме на дел од формата . Тоа го знаеме кога работиме со дропки комплексен тип, треба посебно да ја пресметаме вредноста на броителот, одделно именителот и на крајот да ја најдеме вредноста на дропката.

Во броителот го имаме коренот на формата . За да ја одредите неговата вредност, прво треба да ја пресметате вредноста на радикалниот израз . Тука има синус. Неговата вредност можеме да ја најдеме само откако ќе ја пресметаме вредноста на изразот . Ова можеме да го направиме: . Тогаш од каде и од .

Именителот е едноставен: .

Така, .

Откако ќе го замените овој резултат во оригиналниот израз, тој ќе добие форма . Добиениот израз го содржи степенот . За да ја пронајдеме неговата вредност, прво треба да ја најдеме вредноста на индикаторот, имаме .

Значи,.

Одговор:

Ако не е можно да се пресметаат точните вредности на корените, моќите итн., тогаш можете да се обидете да се ослободите од нив користејќи некои трансформации, а потоа да се вратите на пресметување на вредноста според наведената шема.

Рационални начини за пресметување на вредностите на изразите

Пресметувањето на вредностите на нумеричките изрази бара конзистентност и точност. Да, неопходно е да се придржувате до редоследот на дејства снимени во претходните ставови, но нема потреба да го правите тоа слепо и механички. Она што го мислиме со ова е дека често е можно да се рационализира процесот на наоѓање на значењето на изразот. На пример, одредени својства на операциите со броеви може значително да го забрзаат и поедностават наоѓањето на вредноста на изразот.

На пример, го знаеме ова својство на множење: ако еден од факторите во производот е еднаков на нула, тогаш вредноста на производот е еднаква на нула. Користејќи го ова својство, веднаш можеме да кажеме дека вредноста на изразот 0·(2·3+893-3234:54·65-79·56·2,2)·(45·36−2·4+456:3·43) е еднакво на нула. Ако го следиме стандардниот редослед на операции, прво би требало да ги пресметаме вредностите на незгодните изрази во загради, за што би било потребно многу време, а резултатот сепак би бил нула.

Исто така е погодно да се користи својството за одземање на еднакви броеви: ако одземете еднаков број од број, резултатот е нула. Ова својство може да се разгледа пошироко: разликата помеѓу два идентични нумерички изрази е нула. На пример, без да ја пресметате вредноста на изразите во загради, можете да ја најдете вредноста на изразот (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), тоа е еднакво на нула, бидејќи оригиналниот израз е разликата на идентични изрази.

Трансформациите на идентитетот можат да го олеснат рационалното пресметување на вредностите на изразот. На пример, групирањето поими и фактори може да биде корисно; ставањето на заедничкиот фактор надвор од заградите не се користи помалку често. Значи, вредноста на изразот 53·5+53·7−53·11+5 е многу лесно да се најде откако ќе се извади факторот 53 од загради: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Директната пресметка би траела многу подолго.

За да ја заклучиме оваа точка, да обрнеме внимание на рационален пристап за пресметување на вредностите на изразите со дропки - идентичните фактори во броителот и именителот на дропот се откажани. На пример, намалување на истите изрази во броителот и именителот на дропка ви овозможува веднаш да ја пронајдете неговата вредност, која е еднаква на 1/2.

Наоѓање на вредноста на буквален израз и израз со променливи

Вредноста на буквален израз и израз со променливи се наоѓа за одредени дадени вредности на букви и променливи. Односно, зборуваме за наоѓање на вредноста на буквален израз за дадени вредности на буквите или за наоѓање на вредноста на израз со променливи за избрани вредности на променливи.

Правилонаоѓањето на вредноста на буквален израз или израз со променливи за дадени вредности на букви или избрани вредности на променливи е како што следува: треба да ги замените дадените вредности на буквите или променливите во оригиналниот израз и да пресметате вредноста на добиениот нумерички израз; тоа е саканата вредност.

Пример.

Пресметај ја вредноста на изразот 0,5·x−y при x=2,4 и y=5.

Решение.

За да ја пронајдете потребната вредност на изразот, прво треба да ги замените дадените вредности на променливите во оригиналниот израз, а потоа да ги извршите следните чекори: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.

Одговор:

−3,8 .

Како последна забелешка, понекогаш извршувањето на конверзии на буквални и променливи изрази ќе ги даде нивните вредности, без оглед на вредностите на буквите и променливите. На пример, изразот x+3−x може да се поедностави, по што ќе добие форма 3. Од ова можеме да заклучиме дека вредноста на изразот x+3−x е еднаква на 3 за која било вредност на променливата x од нејзиниот опсег на дозволени вредности (APV). Друг пример: вредноста на изразот е 1 за сите позитивни вредности на x, така што опсегот на дозволените вредности на променливата x во оригиналниот израз е множеството позитивни бројки, и еднаквоста постои во овој регион.

Библиографија.

Математика: тетратка за 5 одделение. општо образование институции / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. издание, избришано. - М .: Мнемозина, 2007. - 280 стр.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Математика. 6 одделение: воспитно. за општо образование институции / [Н. Ya. Vilenkin и други]. - 22. ed., rev. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-00897-2.
Алгебра:тетратка за 7 одделение општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 17-ти ед. - М.: Образование, 2008. - 240 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Алгебра: 9-то одделение: воспитно. за општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2009. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Алгебраи почеток на анализа: Проц. за 10-11 одделение. општо образование институции / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn и други; Ед. А.Н.

Во курсот за алгебра за 7 одделение се занимававме со трансформации на цели броеви, односно изрази составени од броеви и променливи со помош на операциите собирање, одземање и множење, како и делење со број различен од нула. Значи, изразите се цели броеви

Спротивно на тоа, изразите

покрај дејствата собирање, одземање и множење содржат и делење на изрази со променливи. Таквите изрази се нарекуваат фракциони изрази.

Целобројните и фракционите изрази се нарекуваат рационални изрази.

Цел израз има смисла за сите вредности на променливите вклучени во него, бидејќи за да ја пронајдете вредноста на целиот израз треба да извршите дејства што се секогаш можни.

Дробниот израз може да нема смисла за некои вредности на променливите. На пример, изразот - нема смисла кога a = 0. За сите други вредности на a, овој израз има смисла. Изразот има смисла за оние вредности на x и y кога x ≠ y.

Вредностите на променливите за кои изразот има смисла се нарекуваат валидни вредности на променливите.

Изразот на формата е познат како дропка.

Тропката чиј броител и именител се полиноми се нарекува рационална дропка.

Примери за рационални дропки се дропките

Во рационална дропка, прифатливи вредности на променливите се оние за кои именителот на фракцијата не исчезнува.

Пример 1.Ајде да ги најдеме прифатливите вредности на променливата во фракцијата

РешениеЗа да откриете во кои вредности на а именителот на дропката станува нула, треба да ја решите равенката a(a - 9) = 0. Оваа равенка има два корени: 0 и 9. Затоа, сите броеви освен 0 и 9 се валидни вредности за променливата a.

Пример 2.На која вредност на x е вредноста на дропката еднакво на нула?

РешениеДропката е нула ако и само ако a - 0 и b ≠ 0.

Оваа статија разговара за тоа како да ги пронајдете вредностите на математичките изрази. Да почнеме со едноставни нумерички изрази, а потоа да ги разгледаме случаите додека нивната сложеност се зголемува. На крајот прикажуваме израз кој содржи симболи на букви, загради, корени, специјални математички симболи, степени, функции итн. Според традицијата, ќе ја обезбедиме целата теорија со изобилни и детални примери.

Како да се најде вредноста на нумеричкиот израз?

Нумеричките изрази, меѓу другото, помагаат да се опише состојбата на проблемот во математичкиот јазик. Општо земено, математичките изрази можат да бидат или многу едноставни, составени од пар броеви и аритметички симболи, или многу сложени, кои содржат функции, моќи, корени, загради итн. Како дел од задачата, често е неопходно да се најде значењето на одреден израз. Како да го направите ова ќе се дискутира подолу.

Наједноставните случаи

Тоа се случаи кога изразот не содржи ништо друго освен броеви и аритметички операции. За успешно да ги пронајдете вредностите на таквите изрази, ќе ви треба знаење за редоследот на извршување аритметички операции без загради, како и способност за извршување операции со различни броеви.

Ако изразот содржи само броеви и аритметички знаци " + " , " · " , " - " , " ÷ " , тогаш дејствата се вршат од лево кон десно по следниот редослед: прво множење и делење, па собирање и одземање. Да дадеме примери.

Пример 1: Вредноста на нумерички израз

Нека треба да ги пронајдете вредностите на изразот 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Ајде прво да направиме множење и делење. Добиваме:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Сега го извршуваме одземањето и го добиваме конечниот резултат:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Пример 2: Вредноста на нумерички израз

Да пресметаме: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Прво вршиме конверзија, делење и множење на дропот:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Сега да направиме малку собирање и одземање. Да ги групираме дропките и да ги доведеме до заеднички именител:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Пронајдена е потребната вредност.

Изрази со загради

Ако изразот содржи загради, тие го дефинираат редоследот на операциите во тој израз. Прво се вршат дејствата во загради, а потоа сите останати. Да го покажеме ова со пример.

Пример 3: Вредноста на нумерички израз

Да ја најдеме вредноста на изразот 0,5 · (0,76 - 0,06).

Изразот содржи загради, па прво ја извршуваме операцијата одземање во загради, а дури потоа множењето.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Значењето на изразите што содржат загради во загради се наоѓа според истиот принцип.

Пример 4: Вредноста на нумерички израз

Да ја пресметаме вредноста 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Ќе извршиме дејства почнувајќи од највнатрешните загради, преминувајќи кон надворешните.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Кога ги наоѓате значењата на изразите со загради, главната работа е да се следи редоследот на дејствата.

Изрази со корени

Математичките изрази чии вредности треба да ги најдеме може да содржат коренски знаци. Покрај тоа, самиот израз може да биде под знакот на коренот. Што да направите во овој случај? Прво треба да ја пронајдете вредноста на изразот под коренот, а потоа да го извлечете коренот од бројот добиен како резултат. Ако е можно, подобро е да се ослободите од корените во нумерички изрази, заменувајќи од со нумерички вредности.

Пример 5: Вредноста на нумерички израз

Да ја пресметаме вредноста на изразот со корени - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Прво, ги пресметуваме радикалните изрази.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Сега можете да ја пресметате вредноста на целиот израз.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Честопати, наоѓањето на значењето на изразот со корени често бара прво трансформирање на оригиналниот израз. Да го објасниме ова со уште еден пример.

Пример 6: Вредноста на нумеричкиот израз

Што е 3 + 1 3 - 1 - 1

Како што можете да видите, немаме можност да го замениме коренот со точна вредност, што го отежнува процесот на броење. Меѓутоа, во овој случај, можете да ја примените скратената формула за множење.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Така:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Изрази со моќи

Ако изразот содржи моќи, нивните вредности мора да се пресметаат пред да продолжите со сите други дејства. Се случува експонентот или основата на самиот степен да бидат изрази. Во овој случај, прво се пресметува вредноста на овие изрази, а потоа вредноста на степенот.

Пример 7: Вредноста на нумерички израз

Да ја најдеме вредноста на изразот 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Да почнеме да пресметуваме по ред.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Останува само да се изврши операцијата за собирање и да се дознае значењето на изразот:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Исто така, често се препорачува да се поедностави изразот користејќи ги својствата на степенот.

Пример 8: Вредноста на нумерички израз

Да ја пресметаме вредноста на следниот израз: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Експонентите се повторно такви што нивните точни нумерички вредности не можат да се добијат. Ајде да го поедноставиме оригиналниот израз за да ја најдеме неговата вредност.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Изрази со дропки

Ако изразот содржи дропки, тогаш кога се пресметува таков израз, сите дропки во него мора да бидат претставени како обични дропки и да се пресметаат нивните вредности.

Ако броителот и именителот на дропка содржат изрази, тогаш прво се пресметуваат вредностите на овие изрази и се запишува конечната вредност на самата дропка. Аритметичките операции се изведуваат по стандарден редослед. Да го погледнеме примерот на решението.

Пример 9: Вредноста на нумеричкиот израз

Да ја најдеме вредноста на изразот што содржи дропки: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Како што можете да видите, во оригиналниот израз има три дропки. Ајде прво да ги пресметаме нивните вредности.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Ајде да го преработиме нашиот израз и да ја пресметаме неговата вредност:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Често кога се наоѓа значењето на изразите, погодно е да се намалат дропките. Постои едно неискажано правило: пред да ја пронајдете неговата вредност, најдобро е да го поедноставите секој израз до максимум, намалувајќи ги сите пресметки на наједноставните случаи.

Пример 10: Вредноста на нумерички израз

Да го пресметаме изразот 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Не можеме целосно да го извлечеме коренот на пет, но можеме да го поедноставиме оригиналниот израз преку трансформации.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Оригиналниот израз има форма:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Ајде да ја пресметаме вредноста на овој израз:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Изрази со логаритми

Кога логаритмите се присутни во изразот, нивната вредност се пресметува од почеток, ако е можно. На пример, во изразот log 2 4 + 2 · 4, можете веднаш да ја запишете вредноста на овој логаритам наместо дневникот 2 4, а потоа да ги извршите сите дејства. Добиваме: дневник 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Нумерички изрази може да се најдат и под самиот логаритамски знак и во неговата основа. Во овој случај, првото нешто што треба да направите е да ги пронајдете нивните значења. Да го земеме изразот log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Ние имаме:

дневник 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = дневник 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Ако е невозможно да се пресмета точната вредност на логаритамот, поедноставувањето на изразот помага да се најде неговата вредност.

Пример 11: Вредноста на нумеричкиот израз

Да ја најдеме вредноста на изразот log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

дневник 2 лог 2 256 = дневник 2 8 = 3 .

Според својството на логаритми:

дневник 6 2 + дневник 6 3 = дневник 6 (2 3) = дневник 6 6 = 1.

Повторно користејќи ги својствата на логаритмите, за последната дропка во изразот добиваме:

дневник 5 729 лог 0, 2 27 = дневник 5 729 дневник 1 5 27 = дневник 5 729 - дневник 5 27 = - дневник 27 729 = - дневник 27 27 2 = - 2.

Сега можете да продолжите со пресметување на вредноста на оригиналниот израз.

дневник 2 дневник 2 256 + дневник 6 2 + дневник 6 3 + дневник 5 729 дневник 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Изрази со тригонометриски функции

Се случува изразот да ги содржи тригонометриските функции на синус, косинус, тангента и котангента, како и нивните инверзни функции. Вредноста се пресметува од пред да се извршат сите други аритметички операции. Во спротивно, изразот е поедноставен.

Пример 12: Вредноста на нумеричкиот израз

Најдете ја вредноста на изразот: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Прво, ги пресметуваме вредностите на тригонометриските функции вклучени во изразот.

грев - 5 π 2 = - 1

Ги заменуваме вредностите во изразот и ја пресметуваме неговата вредност:

t g 2 4 π 3 - грев - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Вредноста на изразот е пронајдена.

Често со цел да се најде значењето на изразот со тригонометриски функции, прво мора да се конвертира. Да објасниме со пример.

Пример 13: Вредноста на нумеричкиот израз

Треба да ја најдеме вредноста на изразот cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

За конверзија ќе користиме тригонометриски формуликосинус на двојниот агол и косинус од збирот.

cos 2 π 8 - грев 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - грев 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Општ случај на нумерички израз

Општо земено, тригонометрискиот израз може да ги содржи сите елементи опишани погоре: загради, моќи, корени, логаритми, функции. Ајде да формулираме општо правилонаоѓање на значењата на таквите изрази.

Како да се најде вредноста на изразот

Корени, моќи, логаритми итн. се заменуваат со нивните вредности.
Дејствата во загради се вршат.
Останатите дејства се изведуваат по редослед од лево кон десно. Прво - множење и делење, потоа - собирање и одземање.

Ајде да погледнеме на пример.

Пример 14: Вредноста на нумеричкиот израз

Да ја пресметаме вредноста на изразот - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Изразот е доста сложен и тежок. Не случајно избравме таков пример, обидувајќи се да ги вклопиме во него сите случаи опишани погоре. Како да се најде значењето на таков израз?

Познато е дека при пресметување на вредноста на сложена фракциона форма, вредностите на броителот и именителот на фракцијата прво се наоѓаат одделно, соодветно. Ние последователно ќе го трансформираме и поедноставиме овој израз.

Прво, да ја пресметаме вредноста на радикалниот израз 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. За да го направите ова, треба да ја пронајдете вредноста на синусот и изразот што е аргумент на тригонометриската функција.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Сега можете да ја дознаете вредноста на синусот:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = грев π 6 + 2 π = грев π 6 = 1 2.

Ја пресметуваме вредноста на радикалниот израз:

2 грев π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · грев π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Со именителот на дропката сè е поедноставно:

Сега можеме да ја напишеме вредноста на целата дропка:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Земајќи го предвид ова, го пишуваме целиот израз:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Краен резултат:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Во овој случај, можевме да ги пресметаме точните вредности на корените, логаритмите, синусите итн. Ако тоа не е можно, можете да се обидете да се ослободите од нив преку математички трансформации.

Пресметување на вредностите на изразите со помош на рационални методи

Нумеричките вредности мора да се пресметуваат доследно и точно. Овој процесможе да се рационализира и забрза со користење на различни својства на операциите со броеви. На пример, познато е дека производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Земајќи го предвид ова својство, веднаш можеме да кажеме дека изразот 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 е еднаков на нула. Во исто време, воопшто не е неопходно да се вршат дејствата по редоследот опишан во написот погоре.

Исто така е погодно да се користи својството за одземање на еднакви броеви. Без да извршите никакви дејства, можете да наредите дека вредноста на изразот 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 е исто така нула.

Друга техника за забрзување на процесот е употребата на идентитетски трансформации како што се групирање на термини и фактори и ставање на заедничкиот фактор надвор од загради. Рационален пристап за пресметување изрази со дропки е да се намалат истите изрази во броителот и именителот.

На пример, земете го изразот 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Без извршување на операциите во загради, туку со намалување на дропката, можеме да кажеме дека вредноста на изразот е 1 3 .

Наоѓање на вредностите на изразите со променливи

Вредноста на буквален израз и израз со променливи се наоѓа за одредени дадени вредности на букви и променливи.

Наоѓање на вредностите на изразите со променливи

За да ја пронајдете вредноста на буквален израз и израз со променливи, треба да ги замените дадените вредности на буквите и променливите во оригиналниот израз, а потоа да ја пресметате вредноста на добиениот нумерички израз.

Пример 15: Вредност на израз со променливи

Пресметај ја вредноста на изразот 0, 5 x - y дадени x = 2, 4 и y = 5.

Ги заменуваме вредностите на променливите во изразот и пресметуваме:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Понекогаш можете да трансформирате израз за да ја добиете неговата вредност без оглед на вредностите на буквите и променливите вклучени во него. За да го направите ова, треба да се ослободите од буквите и променливите во изразот, ако е можно, користејќи идентични трансформации, својства на аритметички операции и сите можни други методи.

На пример, изразот x + 3 - x очигледно ја има вредноста 3, а за да се пресмета оваа вредност не е неопходно да се знае вредноста на променливата x. Вредноста на овој израз е еднаква на три за сите вредности на променливата x од нејзиниот опсег на дозволени вредности.

Уште еден пример. Вредноста на изразот x x е еднаква на еден за сите позитивни x.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter