Најголем заеднички делител на два цели броеви. Што е јазол? Поделба. дивиденда: делител = количник
Ланчинова Аиса
Преземи:
Преглед:
За да користите прегледи на презентации, креирајте сметка на Google и најавете се на неа: https://accounts.google.com
Наслов на слајд:
Проблеми на GCD и LCM на броеви Работа на ученик од 6-то одделение на MCOU „Средно училиште Камишовска“ Ланцинова Аиса Надзорник Зоја Ерднигорјаевна Горјаева, наставник по математика стр. Камишево, 2013 година
Пример за наоѓање на gcd на броевите 50, 75 и 325. 1) Да ги множиме броевите 50, 75 и 325 во прости множители. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Од факторите вклучени во проширувањето на еден од овие броеви ги прецртуваме оние што не се вклучени во проширувањето на другите . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Најди го производот од преостанатите фактори 5 ∙ 5 = 25 Одговор: GCD (50, 75 и 325 Најголемиот природен) број со кој Кога броевите a и b се делат без остаток, најголемиот заеднички делител на овие броеви се нарекува најголем заеднички делител на овие броеви.
Пример за наоѓање на LCM на броевите 72, 99 и 117. 1) Да ги факторизираме броевите 72, 99 и 117 во прости множители. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 13 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Запишете ги факторите вклучени во проширувањето на еден од броевите 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 и додајте им ги факторите што недостасуваат од останатите броеви. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Најдете го производот од добиените фактори. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Одговор: LCM (72, 99 и 117) = 10296 Најмалку заеднички множител природни броеви a и b го именуваат најмалиот природен број кој е множител на a и b.
Листот од картон има форма на правоаголник, чија должина е 48 cm, а ширина 40 cm. Овој лист мора да се исече на еднакви квадрати без отпад. Кои се најголемите квадрати што може да се добијат од овој работен лист и колку? Решение: 1) S = a ∙ b - површина на правоаголникот. S= 48 ∙ 40 = 1960 cm². - површина од картон. 2) а – страна на квадратот 48: а – бројот на квадрати што може да се постават по должината на картонот. 40: а – бројот на квадрати што може да се постават по ширината на картонот. 3) GCD (40 и 48) = 8 (cm) – страна на квадратот. 4) S = a² - површина од еден квадрат. S = 8² = 64 (cm²) - површина од еден квадрат. 5) 1960: 64 = 30 (број на квадрати). Одговор: 30 квадрати со страна од по 8 см. Проблеми со GCD
Каминот во просторијата мора да биде поплочен во форма на квадрат. Колку плочки ќе бидат потребни за камин со димензии 195 ͯ 156 cm и кои се најголемите големини на плочки? Решение: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – S од површината на каминот. 2) GCD (195 и 156) = 39 (cm) – страна на плочката. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - површина од 1 плочка. 4) 30420: = 20 (парчиња). Одговор: 20 плочки со димензии 39 ͯ 39 (cm). Проблеми со GCD
Градинарска парцела со димензии 54 ͯ 48 m околу периметарот мора да биде оградена; за да го направите ова, бетонските столбови мора да се поставуваат во редовни интервали. Колку столбови треба да се донесат за локацијата и на кое максимално растојание еден од друг ќе се постават столбовите? Решение: 1) P = 2(a + b) – периметар на локацијата. P = 2(54 + 48) = 204 m. 2) GCD (54 и 48) = 6 (m) - растојанието помеѓу столбовите. 3) 204: 6 = 34 (столбови). Одговор: 34 столбови, на растојание од 6 m Проблеми со ГЦД
Букетите беа собрани од 210 бордо, 126 бели и 294 црвени рози, при што секој букет содржи еднаков број рози со иста боја. Кој е најголемиот број на букети направени од овие рози и колку рози од секоја боја има во еден букет? Решение: 1) GCD (210, 126 и 294) = 42 (букети). 2) 210: 42 = 5 (бордо рози). 3) 126: 42 = 3 (бели рози). 4) 294: 42 = 7 (црвени рози). Одговор: 42 букети: 5 бордо, 3 бели, 7 црвени рози во секој букет. Проблеми со GCD
Тања и Маша купија ист број поштенски комплети. Тања плати 90 рубли, а Маша 5 рубли. повеќе. Колку чини еден сет? Колку комплети купи секој човек? Решение: 1) 90 + 5 = 95 (руб.) Маша плати. 2) GCD (90 и 95) = 5 (руб.) – цена од 1 комплет. 3) 980: 5 = 18 (комплети) – купи Тања. 4) 95: 5 = 19 (комплети) – купи Маша. Одговор: 5 рубли, 18 комплети, 19 комплети. Проблеми со GCD
Во пристанишниот град започнуваат три туристички патувања со брод, од кои првото трае 15 дена, второто 20 и третото 12 дена. Откако се вратија во пристаништето, бродовите повторно тргнаа истиот ден. Денеска бродовите го напуштија пристаништето на сите три правци. За колку дена повторно ќе запловат заедно за прв пат? Колку патувања ќе направи секој брод? Решение: 1) NOC (15,20 и 12) = 60 (денови) – време на состанок. 2) 60: 15 = 4 (патувања) – 1 брод. 3) 60: 20 = 3 (патувања) – 2 брода. 4) 60: 12 = 5 (летови) – 3 бродови. Одговор: 60 дена, 4 летови, 3 летови, 5 летови. Задачи на НОК
Маша купи јајца за Мечката во продавницата. На пат кон шумата сфатила дека бројот на јајцата се дели со 2,3,5,10 и 15. Колку јајца купила Маша? Решение: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (јајца) Одговор: Маша купила 30 јајца. Задачи на НОК
Потребно е да се направи кутија со квадратно дно за да се сместат кутии со димензии 16 ͯ 20 cm. Која е најкратката должина на страната на квадратното дно за цврсто да се вклопат кутиите во кутијата? Решение: 1) LCM (16 и 20) = 80 (кутии). 2) S = a ∙ b - површина од 1 кутија. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) - долна површина од 1 кутија. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) - површина на квадратното дно. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – димензии на кутијата. Одговор: 160 cm е страната на квадратното дно. Задачи на НОК
По должината на патот од точката К има столбови за струја на секои 45 m. Тие решија да ги заменат овие столбови со други, поставувајќи ги на растојание од 60 m еден од друг. Колку столбови имало и колку ќе има? Решение: 1) LCM (45 и 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – имаше столбови. 3) 180: 60 = 3 – станаа столбови. Одговор: 4 столбови, 3 столбови. Задачи на НОК
Колку војници маршираат на полигонот ако маршираат во формација од 12 луѓе во линија и се сменат во колона од 18 луѓе во линија? Решение: 1) НОК (12 и 18) = 36 (луѓе) - маршираат. Одговор: 36 луѓе. Задачи на НОК
Ајде да го најдеме најголемиот заеднички делител на GCD (36; 24)
Чекори за решение
Метод бр. 1
36
- композитен број
24
- композитен број
Да го прошириме бројот 36
36:
2
= 18
18:
2
= 9
- делив со простиот број 2
9:
3
=
3
- делив со простиот број 3.
Ајде да го скршиме бројот 24 во прости фактори и означете ги со зелено. Почнуваме да избираме делител од прости броеви, почнувајќи од најмалиот прост број 2, додека количникот не испадне дека е прост број
24:
2
= 12
- делив со простиот број 2
12:
2
= 6
- делив со простиот број 2
6:
2
=
3
Ние го комплетираме делењето бидејќи 3 е прост број
2) Означете го со сино и запишете ги заедничките фактори
36
=
2
⋅
2
⋅
3
⋅
3
24
=
2
⋅
2
⋅
2
⋅
3
Заеднички фактори (36; 24): 2, 2, 3
3) Сега, за да го пронајдете GCD, треба да ги помножите заедничките фактори
Одговор: GCD (36; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
Метод бр. 2
1) Најдете ги сите можни делители на броевите (36; 24). За да го направите ова, ние наизменично ќе го делиме бројот 36 на делители од 1 до 36, а бројот 24 на делители од 1 до 24. Ако бројот е делив без остаток, тогаш го запишуваме делителот во листата на делители.
За број 36
36:
1
= 36;
36:
2
= 18;
36:
3
= 12;
36:
4
= 9;
36:
6
= 6;
36:
9
= 4;
36:
12
= 3;
36:
18
= 2;
36:
36
= 1;
За бројот 24 Да ги запишеме сите случаи кога е делив без остаток:
24:
1
= 24;
24:
2
= 12;
24:
3
= 8;
24:
4
= 6;
24:
6
= 4;
24:
8
= 3;
24:
12
= 2;
24:
24
= 1;
2) Да ги запишеме сите заеднички делители на броевите (36; 24) и да го истакнеме најголемиот со зелено, ова ќе биде најголемиот заеднички делител на gcd од броевите (36; 24)
Заеднички фактори на броеви (36; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12
Одговор: GCD (36 ; 24) = 12
Ајде да го најдеме најмалиот заеднички множител на LCM (52; 49)
Чекори за решение
Метод бр. 1
1) Да ги факторизираме броевите во прости множители. За да го направите ова, да провериме дали секој од броевите е прост (ако некој број е прост, тогаш не може да се разложи на прости множители, а тој самиот е разградување)
52
- композитен број
49
- композитен број
Да го прошириме бројот 52 во прости фактори и означете ги со зелено. Почнуваме да избираме делител од прости броеви, почнувајќи од најмалиот прост број 2, додека количникот не испадне дека е прост број
52:
2
= 26
- делив со простиот број 2
26:
2
=
13
- делив со простиот број 2.
Ја комплетираме поделбата бидејќи 13 е прост број
Да го прошириме бројот 49 во прости фактори и означете ги со зелено. Почнуваме да избираме делител од прости броеви, почнувајќи од најмалиот прост број 2, додека количникот не испадне дека е прост број
49:
7
=
7
- делив со простиот број 7.
Ја комплетираме поделбата бидејќи 7 е прост број
2) Најпрво запишете ги факторите на најголемиот број, а потоа и помалиот број. Да ги најдеме факторите што недостасуваат, да ги истакнеме со сино во проширувањето на помалиот број факторите што не биле вклучени во проширувањето на поголемиот број.
52
= 2 ∙ 2 ∙ 13
49
=
7
∙
7
3) Сега, за да го пронајдете LCM, треба да ги помножите факторите на поголемиот број со факторите што недостасуваат, кои се означени со сино
LCM (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548
Метод бр. 2
1) Најдете ги сите можни множители на броевите (52; 49). За да го направите ова, ние наизменично ќе го помножиме бројот 52 со броевите од 1 до 49, а бројот 49 со броевите од 1 до 52.
Изберете ги сите множители 52 во зелено:
52 ∙ 1 =
52
;
52 ∙ 2 =
104
;
52 ∙ 3 =
156
;
52 ∙ 4 =
208
;
52 ∙ 5 =
260
;
52 ∙ 6 =
312
;
52 ∙ 7 =
364
;
52 ∙ 8 =
416
;
52 ∙ 9 =
468
;
52 ∙ 10 =
520
;
52 ∙ 11 =
572
;
52 ∙ 12 =
624
;
52 ∙ 13 =
676
;
52 ∙ 14 =
728
;
52 ∙ 15 =
780
;
52 ∙ 16 =
832
;
52 ∙ 17 =
884
;
52 ∙ 18 =
936
;
52 ∙ 19 =
988
;
52 ∙ 20 =
1040
;
52 ∙ 21 =
1092
;
52 ∙ 22 =
1144
;
52 ∙ 23 =
1196
;
52 ∙ 24 =
1248
;
52 ∙ 25 =
1300
;
52 ∙ 26 =
1352
;
52 ∙ 27 =
1404
;
52 ∙ 28 =
1456
;
52 ∙ 29 =
1508
;
52 ∙ 30 =
1560
;
52 ∙ 31 =
1612
;
52 ∙ 32 =
1664
;
52 ∙ 33 =
1716
;
52 ∙ 34 =
1768
;
52 ∙ 35 =
1820
;
52 ∙ 36 =
1872
;
52 ∙ 37 =
1924
;
52 ∙ 38 =
1976
;
52 ∙ 39 =
2028
;
52 ∙ 40 =
2080
;
52 ∙ 41 =
2132
;
52 ∙ 42 =
2184
;
52 ∙ 43 =
2236
;
52 ∙ 44 =
2288
;
52 ∙ 45 =
2340
;
52 ∙ 46 =
2392
;
52 ∙ 47 =
2444
;
52 ∙ 48 =
2496
;
52 ∙ 49 =
2548
;
Изберете ги сите множители 49 во зелено:
49 ∙ 1 =
49
;
49 ∙ 2 =
98
;
49 ∙ 3 =
147
;
49 ∙ 4 =
196
;
49 ∙ 5 =
245
;
49 ∙ 6 =
294
;
49 ∙ 7 =
343
;
49 ∙ 8 =
392
;
49 ∙ 9 =
441
;
49 ∙ 10 =
490
;
49 ∙ 11 =
539
;
49 ∙ 12 =
588
;
49 ∙ 13 =
637
;
49 ∙ 14 =
686
;
49 ∙ 15 =
735
;
49 ∙ 16 =
784
;
49 ∙ 17 =
833
;
49 ∙ 18 =
882
;
49 ∙ 19 =
931
;
49 ∙ 20 =
980
;
49 ∙ 21 =
1029
;
49 ∙ 22 =
1078
;
49 ∙ 23 =
1127
;
49 ∙ 24 =
1176
;
49 ∙ 25 =
1225
;
49 ∙ 26 =
1274
;
49 ∙ 27 =
1323
;
49 ∙ 28 =
1372
;
49 ∙ 29 =
1421
;
49 ∙ 30 =
1470
;
49 ∙ 31 =
1519
;
49 ∙ 32 =
1568
;
49 ∙ 33 =
1617
;
49 ∙ 34 =
1666
;
49 ∙ 35 =
1715
;
49 ∙ 36 =
1764
;
49 ∙ 37 =
1813
;
49 ∙ 38 =
1862
;
49 ∙ 39 =
1911
;
49 ∙ 40 =
1960
;
49 ∙ 41 =
2009
;
49 ∙ 42 =
2058
;
49 ∙ 43 =
2107
;
49 ∙ 44 =
2156
;
49 ∙ 45 =
2205
;
49 ∙ 46 =
2254
;
49 ∙ 47 =
2303
;
49 ∙ 48 =
2352
;
49 ∙ 49 =
2401
;
49 ∙ 50 =
2450
;
49 ∙ 51 =
2499
;
49 ∙ 52 =
2548
;
2) Да ги запишеме сите заеднички множители на броевите (52; 49) и да го означиме најмалиот со зелено, ова ќе биде најмалиот заеднички множител на броевите (52; 49).
Заеднички множители на броеви (52; 49): 2548
Одговор: LCM (52; 49) = 2548
Но, многу природни броеви се деливи и со други природни броеви.
На пример:
Бројот 12 се дели со 1, со 2, со 3, со 4, со 6, со 12;
Бројот 36 се дели со 1, со 2, со 3, со 4, со 6, со 12, со 18, со 36.
Броевите со кои бројот се дели со целина (за 12 тоа се 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се викаат делители на броеви. Делител на природен број а- е природен број кој дели даден број абез трага. Се нарекува природен број кој има повеќе од два делители композитни .
Ве молиме имајте предвид дека броевите 12 и 36 имаат заеднички фактори. Овие броеви се: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Најголем делител на овие броеви е 12. Заеднички делител на овие два броја аИ б- ова е бројот со кој двата дадени броја се делат без остаток аИ б.
Заеднички множителинеколку броеви е број кој е делив со секој од овие броеви. На пример, броевите 9, 18 и 45 имаат заеднички множител од 180. Но, 90 и 360 се исто така нивни заеднички множители. Помеѓу сите заеднички множители секогаш има најмало, во во овој случајова е 90. Овој број се нарекува најмалотозаеднички повеќекратен (CMM).
LCM е секогаш природен број кој мора да биде поголем од најголемиот од броевите за кои е дефиниран.
Најмалку заеднички множител (LCM). Својства.
Комутативност:
Асоцијативност:
Конкретно, ако и се копрости броеви, тогаш:
Најмал заеднички множител на два цели броеви мИ nе делител на сите други заеднички множители мИ n. Покрај тоа, множеството на заеднички множители m, nсе совпаѓа со множеството множители на LCM( m, n).
Асимптотиката за може да се изрази во однос на некои теоретски функции на броеви.
Значи, Чебишев функција. И:
Ова произлегува од дефиницијата и својствата на функцијата Ландау g(n).
Што следи од законот за распределба на прости броеви.
Наоѓање на најмалиот заеднички множител (LCM).
NOC( а, б) може да се пресмета на неколку начини:
1. Ако е познат најголемиот заеднички делител, можете да ја користите неговата врска со LCM:
2. Нека биде познато канонското разложување на двата броја на прости множители:
Каде p 1,...,p k- разни прости броеви и d 1 ,...,d kИ e 1 ,...,e k— не-негативни цели броеви (тие можат да бидат нули ако соодветниот прост не е во проширувањето).
Потоа NOC ( а,б) се пресметува со формулата:
Со други зборови, LCM распаѓањето ги содржи сите прости фактори вклучени во барем едно од разложувањата на броевите а, б, и се зема најголемиот од двата експонента на овој множител.
Пример:
Пресметувањето на најмалиот заеднички множител на неколку броеви може да се сведе на неколку секвенцијални пресметки на LCM на два броја:
Правило.За да го пронајдете LCM на серија броеви, потребно ви е:
- разложува броеви на прости множители;
- префрлете го најголемото разложување (производот на факторите од најголемиот број од дадените) на множителите на саканиот производ, а потоа додадете фактори од разградувањето на други броеви кои не се појавуваат во првиот број или се појавуваат во него. помалку пати;
— добиениот производ на простите множители ќе биде LCM на дадените броеви.
Било кои два или повеќе природни броеви имаат свој LCM. Ако броевите не се множители еден од друг или немаат исти фактори во проширувањето, тогаш нивниот LCM е еднаков на производот на овие броеви.
Простите множители на бројот 28 (2, 2, 7) се дополнуваат со фактор 3 (бројот 21), добиениот производ (84) ќе биде најмалиот број што е делив со 21 и 28.
Простите множители на најголемиот број 30 се дополнуваат со факторот 5 од бројот 25, добиениот производ 150 е поголем од најголемиот број 30 и е делив со сите дадени броеви без остаток. Ова најмалку производод можните (150, 250, 300...), на кои сите дадени броеви се множители.
Броевите 2,3,11,37 се прости броеви, така што нивниот LCM е еднаков на производот на дадените броеви.
Правило. За да го пресметате LCM на простите броеви, треба да ги помножите сите овие броеви заедно.
Друга опција:
За да го пронајдете најмалиот заеднички множител (LCM) од неколку броеви, ви треба:
1) претставувај го секој број како производ на неговите прости множители, на пример:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) запишете ги моќите на сите прости фактори:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) запишете ги сите прости делители (множители) на секој од овие броеви;
4) изберете го најголемиот степен од секој од нив, пронајден во сите проширувања на овие броеви;
5) умножете ги овие моќи.
Пример. Најдете го LCM на броевите: 168, 180 и 3024.
Решение. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Ги запишуваме најголемите сили од сите прости делители и ги множиме:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Се вика најголемиот природен број со кој броевите a и b се делат без остаток најголемиот заеднички делителовие бројки. Означете GCD(a, b).
Ајде да размислиме да најдеме GCD користејќи го примерот на два природни броја 18 и 60:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 И 432
Да ги факторизираме броевите во прости множители:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Преминувајќи од првиот број чии фактори не се во вториот и третиот број, добиваме:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Како резултат на тоа, GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
Наоѓање на GCD со помош на Евклидов алгоритам
Вториот начин да се најде најголемиот заеднички делител е користењето Евклидов алгоритам. Евклидовиот алгоритам е најмногу ефективен начиннаоѓање GCD, користејќи го треба постојано да го наоѓате остатокот од делењето броеви и да го применувате формула за повторување.
Формула за повторувањеза GCD, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), каде што mod b е остатокот од a поделен со b.
Евклидовиот алгоритам
Пример Најдете го најголемиот заеднички делител на броевите 7920 И 594
Ајде да најдеме GCD( 7920 , 594 ) користејќи го Евклидов алгоритам, ќе го пресметаме остатокот од делењето со помош на калкулатор.
- 7920 мод 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 мод 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Како резултат на тоа, добиваме GCD( 7920 , 594 ) = 198
Најмалку заеднички множител
За да најдете заеднички именител при собирање и одземање дропки со различни именители, треба да знаете и да можете да пресметате најмал заеднички множител(НОК).
Повеќекратно од бројот „а“ е број кој сам по себе е делив со бројот „а“ без остаток.
Броеви кои се множители на 8 (односно, овие броеви се деливи со 8 без остаток): тоа се броевите 16, 24, 32...
Множества од 9: 18, 27, 36, 45…
Има бесконечно многу множители на даден број a, за разлика од делителите на истиот број. Има конечен број на делители.
Заедничкиот множител на два природни броја е број што е делив со двата од овие броеви..
Најмалку заеднички множител(LCM) од два или повеќе природни броеви е најмалиот природен број кој сам по себе е делив со секој од овие броеви.
Како да најдете NOC
LCM може да се најде и напише на два начина.
Првиот начин да се најде LOC
Овој метод обично се користи за мал број.
- Ги запишуваме множители за секој број на линија додека не најдеме множител кој е ист за двата броја.
- Означуваме повеќекратно од бројот „а“ голема буква"ДО".
Пример. Најдете LCM 6 и 8.
Вториот начин да се најде LOC
Овој метод е погоден за користење за да се најде LCM за три или повеќе броеви.
Бројот на идентични фактори при разложување на броеви може да биде различен.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Одговор: LCM (24, 60) = 120
Можете исто така да го формализирате наоѓањето на најмалиот заеднички множител (LCM) на следниов начин. Ајде да го најдеме LOC (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Како што гледаме од разложувањето на броевите, сите множители од 12 се вклучени во разложувањето на 24 (најголемиот од броевите), па затоа додаваме само еден 2 од разложувањето на бројот 16 на LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Одговор: LCM (12, 16, 24) = 48
Посебни случаи на наоѓање НОК
На пример, LCM (60, 15) = 60
Бидејќи сопростите броеви немаат заеднички прости множители, нивниот најмал заеднички множител е еднаков на производот на овие броеви.
На нашата веб-локација можете да користите и специјален калкулатор за да го пронајдете најреткото повеќекратно онлајн за да ги проверите вашите пресметки.
Ако природен број е делив само со 1 и со самиот себе, тогаш тој се нарекува прост.
Секој природен број е секогаш делив со 1 и со самиот себе.
Бројот 2 е најмалиот прост број. Ова е единствениот парен прост број, останатите прости броеви се непарни.
Има многу прости броеви, а првиот меѓу нив е бројот 2. Сепак, нема последен прост број. Во делот „За проучување“ можете да преземете табела со прости броеви до 997.
Но, многу природни броеви се деливи и со други природни броеви.
- бројот 12 се дели со 1, со 2, со 3, со 4, со 6, со 12;
- Бројот 36 се дели со 1, со 2, со 3, со 4, со 6, со 12, со 18, со 36.
- разложува делители на броеви на прости множители;
Броевите со кои бројот се дели со целина (за 12 тоа се 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се нарекуваат делители на бројот.
Делител на природен број a е природен број што го дели дадениот број „а“ без остаток.
Природниот број кој има повеќе од два делители се нарекува композитен.
Ве молиме имајте предвид дека броевите 12 и 36 имаат заеднички фактори. Овие броеви се: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Најголем делител на овие броеви е 12.
Заеднички делител на два дадени броја „а“ и „б“ е бројот со кој двата дадени броеви „а“ и „б“ се делат без остаток.
Најголем заеднички делител(GCD) од два дадени броја „а“ и „б“ е најголем број, со кој двата броја „а“ и „б“ се делат без остаток.
Накратко, најголемиот заеднички делител на броевите „а“ и „б“ е запишан на следниов начин::
Пример: gcd (12; 36) = 12.
Делителите на броевите во записот за решение се означуваат со големата буква „Д“.
Броевите 7 и 9 имаат само еден заеднички делител - бројот 1. Таквите броеви се нарекуваат копрости броеви.
Копрости броеви- ова се природни броеви кои имаат само еден заеднички делител - бројот 1. Нивниот gcd е 1.
Како да се најде најголемиот заеднички делител
За да го пронајдете gcd на два или повеќе природни броеви, ви треба:
Удобно е да се пишуваат пресметки користејќи вертикална лента. Лево од линијата прво ја запишуваме дивидендата, десно - делителот. Следно, во левата колона ги запишуваме вредностите на количниците.
Ајде да објасниме веднаш со пример. Да ги вброиме броевите 28 и 64 во прости множители.
- Ги нагласуваме истите прости фактори и кај двата броја.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Најдете го производот на идентични прости множители и запишете го одговорот;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Одговор: GCD (28; 64) = 4
Можете да ја формализирате локацијата на GCD на два начина: во колона (како што е направено погоре) или „по ред“.
Првиот начин да се напише gcd
Најдете ги gcd 48 и 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Вториот начин да се напише gcd
Сега да го запишеме решението за пребарувањето на GCD во линија. Најдете gcd 10 и 15.
На нашата информативна страница, можете да го користите и онлајн помошникот за Најголемиот заеднички делител за да ги проверите вашите пресметки.
Наоѓање на најмалиот заеднички множител, методи, примери за наоѓање на LCM.
Материјалот презентиран подолу е логично продолжение на теоријата од написот со наслов LCM - најмал заеднички множител, дефиниција, примери, врска помеѓу LCM и GCD. Тука ќе зборуваме за наоѓање на најмалиот заеднички множител (LCM), а посебно внимание ќе посветиме на решавање на примери. Прво, ќе покажеме како се пресметува LCM на два броја користејќи го GCD на овие броеви. Следно, ќе го разгледаме наоѓањето на најмалиот заеднички множител со факторингирање на броевите во прости множители. По ова, ќе се фокусираме на наоѓање на LCM на три или повеќе броеви, а исто така ќе обрнеме внимание и на пресметување на LCM на негативни броеви.
Навигација на страницата.
Пресметување на најмалку заедничко повеќекратно (LCM) преку GCD
Еден начин да се најде најмалиот заеднички множител се заснова на односот помеѓу LCM и GCD. Постоечката врска помеѓу LCM и GCD ви овозможува да го пресметате најмалиот заеднички множител од два цели броеви позитивни бројкипреку познатиот најголем заеднички делител. Соодветната формула е LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Ајде да погледнеме примери за наоѓање на LCM користејќи ја дадената формула.
Најдете го најмалиот заеднички множител на два броја 126 и 70.
Во овој пример a=126 , b=70 . Да ја искористиме врската помеѓу LCM и GCD, изразена со формулата LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Односно, прво треба да го најдеме најголемиот заеднички делител на броевите 70 и 126, по што можеме да го пресметаме LCM на овие броеви користејќи ја напишаната формула.
Да го најдеме GCD(126, 70) користејќи го Евклидов алгоритам: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, значи, GCD(126, 70)=14.
Сега го наоѓаме бараниот најмал заеднички множител: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
На што е еднакво LCM(68, 34)?
Бидејќи 68 е делив со 34, тогаш GCD(68, 34)=34. Сега го пресметуваме најмалиот заеднички множител: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Забележете дека претходниот пример одговара на следново правило за наоѓање на LCM за позитивните цели броеви a и b: ако a е делив со b, тогаш најмалиот заеднички множител од овие броеви е a.
Наоѓање на LCM со факторингирање на броеви во прости множители
Друг начин да се најде најмалиот заеднички множител е врз основа на факторингирање на броеви во прости множители. Ако составите производ од сите прости множители на дадените броеви, а потоа од овој производ ги исклучите сите заеднички прости множители присутни во разградувањето на дадените броеви, тогаш добиениот производ ќе биде еднаков на најмалиот заеднички множител на дадените броеви .
Наведеното правило за наоѓање на LCM произлегува од еднаквоста LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Навистина, производот на броевите a и b е еднаков на производот на сите фактори вклучени во проширувањето на броевите a и b. За возврат, GCD(a, b) е еднаков на производот на сите прости множители кои се истовремено присутни во проширувањата на броевите a и b (како што е опишано во делот за наоѓање GCD со користење на проширување на броевите во прости множители).
Да дадеме пример. Дајте ни до знаење дека 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Да го составиме производот од сите фактори на овие проширувања: 2·3·3·5·5·5·7 . Сега од овој производ ги исклучуваме сите фактори присутни и во проширувањето на бројот 75 и во проширувањето на бројот 210 (овие фактори се 3 и 5), тогаш производот ќе има форма 2·3·5·5·7 . Вредноста на овој производ е еднаква на најмалиот заеднички множител на броевите 75 и 210, односно LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Факторирајте ги броевите 441 и 700 во прости множители и пронајдете го најмалиот заеднички множител од овие броеви.
Да ги факторизираме броевите 441 и 700 во прости множители: 
Добиваме 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.
Сега да создадеме производ од сите фактори вклучени во проширувањето на овие броеви: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Да ги исклучиме од овој производ сите фактори кои се истовремено присутни во двете проширувања (има само еден таков фактор - ова е бројот 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Така, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
NOC(441, 700)= 44 100 .
Правилото за наоѓање на LCM со користење на раздвојување на броеви во прости множители може да се формулира малку поинаку. Ако факторите што недостасуваат од проширувањето на бројот b се додадат на факторите од проширувањето на бројот a, тогаш вредноста на добиениот производ ќе биде еднаква на најмалиот заеднички множител на броевите a и b.
На пример, да ги земеме истите броеви 75 и 210, нивните разложувања на прости множители се следни: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. На факторите 3, 5 и 5 од проширувањето на бројот 75 ги додаваме факторите што недостасуваат 2 и 7 од проширувањето на бројот 210, го добиваме производот 2·3·5·5·7, чија вредност е еднакво на LCM(75, 210).
Најдете го најмалиот заеднички множител од 84 и 648.
Прво ги добиваме разложувањата на броевите 84 и 648 на прости множители. Тие изгледаат како 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. На факторите 2, 2, 3 и 7 од проширувањето на бројот 84 ги додаваме факторите што недостасуваат 2, 3, 3 и 3 од проширувањето на бројот 648, го добиваме производот 2 2 2 3 3 3 3 7, што е еднакво на 4 536 . Така, саканиот најмал заеднички множител на 84 и 648 е 4.536.
Наоѓање на LCM на три или повеќе броеви
Најмалиот заеднички множител на три или повеќе броеви може да се најде со секвенцијално наоѓање на LCM на два броја. Да се потсетиме на соодветната теорема, која дава начин да се најде LCM на три или повеќе броеви.
Нека се дадени позитивните цели броеви a 1 , a 2 , …, a k, најмалиот заеднички повеќекратен m k од овие броеви се наоѓа со секвенцијално пресметување m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Да ја разгледаме примената на оваа теорема користејќи го примерот за наоѓање на најмал заеднички множител од четири броеви.
Најдете го LCM на четири броеви 140, 9, 54 и 250.
Прво наоѓаме m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . За да го направите ова, користејќи го Евклидов алгоритам, одредуваме GCD(140, 9), имаме 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, значи, GCD(140, 9)=1, од кои LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Тоа е, m 2 = 1 260.
Сега наоѓаме m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54). Да го пресметаме преку GCD(1 260, 54), кој исто така го одредуваме со помош на Евклидов алгоритам: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Тогаш gcd(1,260, 54)=18, од кои gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Тоа е, m 3 = 3 780.
Останува да се најде m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). За да го направите ова, наоѓаме GCD(3,780, 250) користејќи го Евклидов алгоритам: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Според тоа, GCD(3,780, 250)=10, од кои GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Тоа е, m 4 = 94.500.
Така, најмалиот заеднички множител на оригиналните четири броеви е 94.500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
Во многу случаи, погодно е да се најде најмалиот заеднички множител на три или повеќе броеви со користење на прости факторизации на дадените броеви. Во овој случај, треба да се придржувате до следново правило. Најмалиот заеднички множител на неколку броеви е еднаков на производот, кој е составен на следниов начин: факторите што недостасуваат од проширувањето на вториот број се додаваат на сите фактори од проширувањето на првиот број, факторите што недостасуваат од проширувањето на третиот број се додаваат на добиените фактори итн.
Ајде да погледнеме пример за наоѓање на најмалиот заеднички множител користејќи проста факторизација.
Најдете го најмалиот заеднички множител од петте броеви 84, 6, 48, 7, 143.
Прво, добиваме разложување на овие броеви на прости множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 е прост број, се совпаѓа со негово разложување на прости множители) и 143=11·13.
За да го пронајдете LCM на овие броеви, на факторите од првиот број 84 (тие се 2, 2, 3 и 7), треба да ги додадете факторите што недостасуваат од проширувањето на вториот број 6. Распаѓањето на бројот 6 не содржи фактори што недостасуваат, бидејќи и 2 и 3 се веќе присутни во распаѓањето на првиот број 84. Следно, на факторите 2, 2, 3 и 7 ги додаваме факторите 2 и 2 што недостасуваат од проширувањето на третиот број 48, добиваме збир на фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Нема да има потреба да додавате множители на ова множество во следниот чекор, бидејќи 7 веќе е содржано во него. Конечно, на факторите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 ги додаваме факторите што недостасуваат 11 и 13 од проширувањето на бројот 143. Го добиваме производот 2·2·2·2·3·7·11·13, што е еднакво на 48.048.
Затоа, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.
Наоѓање на најмал заеднички множител на негативни броеви
Понекогаш има задачи во кои треба да го пронајдете најмалиот заеднички множител на броеви, меѓу кои еден, неколку или сите броеви се негативни. Во овие случаи сè негативни броевитреба да ги замените со нивните спротивни броеви, а потоа да го пронајдете LCM на позитивни броеви. Ова е начин да се најде LCM на негативни броеви. На пример, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) и LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Можеме да го направиме тоа затоа што множеството множители на a е исто со множеството множители на -a (a и −a се спротивни броеви). Навистина, нека b е некој множител на a, тогаш b е делив со a, а концептот на деливост го наведува постоењето на цел број q така што b=a·q. Но, ќе биде точно и еднаквоста b=(−a)·(−q), што поради истиот концепт на деливост значи дека b е делив со −a, односно b е множител на −a. Обратно е исто така точно: ако b е множител на −a, тогаш b е исто така множител на a.
Најдете го најмалиот заеднички множител на негативните броеви −145 и −45.
Да ги замениме негативните броеви −145 и −45 со нивните спротивни броеви 145 и 45. Имаме LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Откако го утврдивме GCD(145, 45)=5 (на пример, користејќи го Евклидов алгоритам), го пресметуваме GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Така, најмалиот заеднички множител на негативните цели броеви −145 и −45 е 1.305.
www.cleverstudents.ru
Продолжуваме да ја проучуваме поделбата. Во оваа лекција ќе ги разгледаме концептите како што се GCDИ НОК.
GCDе најголемиот заеднички делител.
НОКе најмал заеднички множител.
Темата е прилично досадна, но дефинитивно треба да ја разберете. Без разбирање на оваа тема, нема да можете ефективно да работите со дропки, кои се вистинска пречка во математиката.
Најголем заеднички делител
Дефиниција. Најголем заеднички делител на броеви аИ б аИ бподелени без остаток.
За добро да ја разбереме оваа дефиниција, да ги замениме променливите аИ бкои било два броја, на пример, наместо променлива аДа го замениме бројот 12, и наместо променливата бброј 9. Сега да се обидеме да ја прочитаме оваа дефиниција:
Најголем заеднички делител на броеви 12 И 9 се нарекува најголем број со кој 12 И 9 поделени без остаток.
Од дефиницијата е јасно дека станува збор за заеднички делител на броевите 12 и 9, а овој делител е најголем од сите постоечки делители. Треба да се најде овој најголем заеднички делител (GCD).
За да се најде најголемиот заеднички делител на два броја, се користат три методи. Првиот метод е доста трудоинтензивен, но ви овозможува јасно да ја разберете суштината на темата и да го почувствувате неговото целосно значење.
Вториот и третиот метод се прилично едноставни и овозможуваат брзо наоѓање на GCD. Ќе ги разгледаме сите три методи. А кој да го користите во пракса зависи од вас да изберете.
Првиот метод е да се најдат сите можни делители на два броја и да се избере најголемиот. Ајде да го разгледаме овој метод користејќи го следниов пример: Најдете го најголемиот заеднички делител на броевите 12 и 9.
Прво, ќе ги најдеме сите можни делители на бројот 12. За да го направите ова, ќе поделиме 12 со сите делители во опсегот од 1 до 12. Ако делителот ни дозволува да делиме 12 без остаток, тогаш ќе го истакнеме во сино и во загради направи соодветно објаснување.
12: 1 = 12
(12 се дели со 1 без остаток, што значи дека 1 е делител на бројот 12)
12: 2 = 6
(12 се дели со 2 без остаток, што значи дека 2 е делител на бројот 12)
12: 3 = 4
(12 се дели со 3 без остаток, што значи дека 3 е делител на бројот 12)
12: 4 = 3
(12 се дели со 4 без остаток, што значи дека 4 е делител на бројот 12)
12: 5 = 2 (преостанати 2)
(12 не се дели со 5 без остаток, што значи дека 5 не е делител на бројот 12)
12: 6 = 2
(12 се дели со 6 без остаток, што значи 6 е делител на бројот 12)
12: 7 = 1 (преостанати 5)
(12 не се дели со 7 без остаток, што значи 7 не е делител на бројот 12)
12: 8 = 1 (преостанати 4)
(12 не се дели со 8 без остаток, што значи 8 не е делител на 12)
12: 9 = 1 (3 преостанати)
(12 не се дели со 9 без остаток, што значи дека 9 не е делител на бројот 12)
12: 10 = 1 (2 преостанати)
(12 не се дели со 10 без остаток, што значи дека 10 не е делител на бројот 12)
12: 11 = 1 (1 преостанат)
(12 не се дели со 11 без остаток, што значи 11 не е делител на 12)
12: 12 = 1
(12 се дели со 12 без остаток, што значи дека 12 е делител на бројот 12)
Сега да ги најдеме делителите на бројот 9. За да го направите ова, проверете ги сите делители од 1 до 9
9: 1 = 9
(9 се дели со 1 без остаток, што значи дека 1 е делител на бројот 9)
9: 2 = 4 (1 преостанат)
(9 не се дели со 2 без остаток, што значи дека 2 не е делител на бројот 9)
9: 3 = 3
(9 се дели со 3 без остаток, што значи дека 3 е делител на бројот 9)
9: 4 = 2 (1 преостанат)
(9 не се дели со 4 без остаток, што значи дека 4 не е делител на бројот 9)
9: 5 = 1 (4 преостанати)
(9 не се дели со 5 без остаток, што значи дека 5 не е делител на бројот 9)
9: 6 = 1 (3 преостанати)
(9 не се дели со 6 без остаток, што значи дека 6 не е делител на бројот 9)
9: 7 = 1 (2 преостанати)
(9 не се дели со 7 без остаток, што значи дека 7 не е делител на бројот 9)
9: 8 = 1 (1 преостанат)
(9 не се дели со 8 без остаток, што значи дека 8 не е делител на бројот 9)
9: 9 = 1
(9 се дели со 9 без остаток, што значи дека 9 е делител на бројот 9)
Сега да ги запишеме делителите на двата броја. Броевите означени со сино се делители. Ајде да ги запишеме:
Откако ги напишавте делителите, можете веднаш да одредите кој е најголемиот и најчестиот.
По дефиниција, најголемиот заеднички делител на броевите 12 и 9 е бројот што ги дели 12 и 9 без остаток. Најголем и заеднички делител на броевите 12 и 9 е бројот 3
И бројот 12 и бројот 9 се делат со 3 без остаток:
Значи gcd (12 и 9) = 3
Вториот начин да се најде GCD
Сега да го погледнеме вториот метод за наоѓање на најголемиот заеднички делител. Суштината на овој метод е да се разложат двата броја на прости множители и да се множат заедничките.
Пример 1. Најдете го gcd од броевите 24 и 18
Прво, да ги факторизираме двата броја во прости множители:
Сега да ги умножиме нивните заеднички фактори. За да се избегне забуна, може да се нагласат заеднички фактори.
Го гледаме проширувањето на бројот 24. Неговиот прв фактор е 2. Го бараме истиот фактор во проширувањето на бројот 18 и гледаме дека и тој е таму. Ги нагласуваме двете две:
Повторно гледаме на проширувањето на бројот 24. Неговиот втор фактор е исто така 2. Го бараме истиот фактор во проширувањето на бројот 18 и гледаме дека по втор пат повеќе го нема. Тогаш не нагласуваме ништо.
Следните две во проширувањето на бројот 24 отсуствуваат и во проширувањето на бројот 18.
Да преминеме на последниот фактор во проширувањето на бројот 24. Ова е факторот 3. Го бараме истиот фактор во проширувањето на бројот 18 и гледаме дека и тој е таму. Ги нагласуваме двете тројки:
Значи, заедничките фактори на броевите 24 и 18 се факторите 2 и 3. За да се добие GCD, овие фактори мора да се помножат:
Значи gcd (24 и 18) = 6
Третиот начин да се најде GCD
Сега да го погледнеме третиот начин да го најдеме најголемиот заеднички делител. Суштината на овој метод е дека броевите што треба да се најдат за најголемиот заеднички делител се разложуваат на прости множители. Потоа, од проширувањето на првиот број, се прецртуваат фактори кои не се вклучени во проширувањето на вториот број. Останатите броеви во првото проширување се множат и се добиваат GCD.
На пример, ајде да најдеме GCD за броевите 28 и 16 користејќи го овој метод. Пред сè, ги разложуваме овие броеви на прости фактори:
Добивме две проширувања: и
Сега од разложувањето на првиот број ќе ги избришеме факторите кои не се вклучени во разложувањето на вториот број. Проширувањето на вториот број не вклучува седум. Да го прецртаме од првото проширување:
Сега ги множиме преостанатите фактори и добиваме GCD:
Бројот 4 е најголемиот заеднички делител на броевите 28 и 16. И двата броја се деливи со 4 без остаток:
Пример 2.Најдете го gcd од броевите 100 и 40
Факторирање на бројот 100
Факторирање на бројот 40
Добивме две проширувања:
Сега од разложувањето на првиот број ќе ги избришеме факторите кои не се вклучени во разложувањето на вториот број. Проширувањето на вториот број не вклучува една петка (има само една петка). Да го прецртаме од првото проширување
Ајде да ги помножиме преостанатите броеви:
Го добивме одговорот 20. Тоа значи дека бројот 20 е најголемиот заеднички делител на броевите 100 и 40. Овие два броја се деливи со 20 без остаток:
GCD (100 и 40) = 20.
Пример 3.Најдете го gcd од броевите 72 и 128
Факторирање на бројот 72
Факторирање на бројот 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Сега од разложувањето на првиот број ќе ги избришеме факторите кои не се вклучени во разложувањето на вториот број. Проширувањето на вториот број не вклучува две тројки (воопшто ги нема). Да ги прецртаме од првото проширување:
Го добивме одговорот 8. Тоа значи дека бројот 8 е најголемиот заеднички делител на броевите 72 и 128. Овие два броја се деливи со 8 без остаток:
GCD (72 и 128) = 8
Наоѓање на GCD за неколку броеви
Најголемиот заеднички делител може да се најде за неколку броеви, а не само за два. За да го направите ова, броевите што треба да се најдат за најголемиот заеднички делител се разложуваат на прости множители, а потоа се наоѓа производот од заедничките прости множители на овие броеви.
На пример, да најдеме GCD за броевите 18, 24 и 36
Ајде да го факторизираме бројот 18
Ајде да го факторизираме бројот 24
Ајде да го факторизираме бројот 36
Добивме три проширувања:
Сега да ги истакнеме и подвлечеме заедничките фактори во овие бројки. Заедничките фактори мора да се појават во сите три бројки:
Гледаме дека заедничките фактори за броевите 18, 24 и 36 се факторите 2 и 3. Помножувајќи ги овие фактори, ја добиваме gcd што ја бараме:
Го добивме одговорот 6. Тоа значи дека бројот 6 е најголемиот заеднички делител на броевите 18, 24 и 36. Овие три броја се деливи со 6 без остаток:
GCD (18, 24 и 36) = 6
Пример 2.Најдете GCD за броевите 12, 24, 36 и 42
Ајде да го факторизираме секој број во прости множители. Потоа го наоѓаме производот на заедничките фактори на овие броеви.
Ајде да го факторизираме бројот 12
Да го факторизираме бројот 42
Добивме четири проширувања:
Сега да ги истакнеме и подвлечеме заедничките фактори во овие бројки. Заедничките фактори мора да се појават во сите четири броеви:
Гледаме дека заедничките фактори за броевите 12, 24, 36 и 42 се факторите од 2 и 3. Помножувајќи ги овие фактори заедно, ја добиваме gcd што ја бараме:
Го добивме одговорот 6. Тоа значи дека бројот 6 е најголемиот заеднички делител на броевите 12, 24, 36 и 42. Овие броеви се деливи со 6 без остаток:
GCD (12, 24, 36 и 42) = 6
Од претходната лекција знаеме дека ако некој број се подели со друг без остаток, тој се нарекува множител на овој број.
Излегува дека неколку броеви можат да имаат заеднички множител. И сега ќе нè интересира множителот на два броја, и тој треба да биде што е можно помал.
Дефиниција. Најмал заеднички множител (LCM) на броеви аИ б- аИ б аи број б.
Дефиницијата содржи две променливи аИ б. Ајде да замениме кои било два броја наместо овие променливи. На пример, наместо променлива аДа го замениме бројот 9, и наместо променливата бАјде да го замениме бројот 12. Сега да се обидеме да ја прочитаме дефиницијата:
Најмал заеднички множител (LCM) на броеви 9 И 12 - Ова најмал број, што е повеќекратно 9 И 12 . Со други зборови, ова е толку мал број што е делив без остаток со бројот 9 и по број 12 .
Од дефиницијата е јасно дека LCM е најмалиот број што е делив со 9 и 12 без остаток.Овој LCM треба да се најде.
За да го пронајдете најмалиот заеднички множител (LCM), можете да користите два методи. Првиот начин е да можете да ги запишете првите множители на два броја, а потоа да изберете меѓу овие множители број што ќе биде заеднички за двата броја и мал. Ајде да го примениме овој метод.
Прво, да ги најдеме првите множители на бројот 9. За да ги пронајдете множителите на 9, треба да ја помножите оваа деветка една по една со броеви од 1 до 9. Добиените одговори ќе бидат множители на бројот 9. Значи, да почнеме. Ќе истакнеме множители со црвено:
Сега ги наоѓаме множителите на бројот 12. За да го направите ова, множиме 12 еден по еден со сите броеви од 1 до 12.
Ги повикуваме броевите што се деливи со 10 множители на 10. На пример, 30 или 50 се множители на 10. 28 е множител на 14. Броевите што се деливи и со 10 и со 14 природно се нарекуваат заеднички множители на 10 и 14.
Можеме да најдеме заеднички множители колку што сакаме. На пример, 140, 280, итн.
Природно прашање е: како да се најде најмалиот заеднички множител, најмалиот заеднички множител?
Од множителите пронајдени за 10 и 14, најмалиот досега е 140. Но, дали е тоа најмалиот множител?
Да ги пресметаме нашите бројки:
Ајде да конструираме број кој е делив со 10 и 14. За да се дели со 10, треба да имаш множители 2 и 5. За да бидеш делив со 14, треба да имаш множители 2 и 7. Но 2 е веќе таму. се што треба да направите е да соберете 7. Добиениот број 70 е заеднички множител на 10 и 14. Сепак, нема да може да се конструира број помал од овој, така што тој исто така е заеднички множител.
Значи ова е тоа најмал заеднички множител. За ова ја користиме ознаката NOC.
Да ги најдеме GCD и LCM за броевите 182 и 70.
Пресметајте сами:
3. 
Проверуваме:
За да разберете што се GCD и LCM, не можете без факторизирање. Но, кога веќе разбираме што е тоа, повеќе не е потребно да го факторизираме секој пат.
На пример:
Можете лесно да потврдите дека за два броја, каде што едниот е делив со другиот, помалиот е нивниот GCD, а поголемиот е нивниот LCM. Обидете се да се објасните зошто е тоа така.
Должината на чекорот на таткото е 70 см, а на малата ќерка е 15 см. Тие почнуваат да одат со нозете на истата ознака. Колку далеку ќе одат пред да им се израмнат нозете повторно?
Татко и ќерка почнуваат да се движат. Отпрвин, нозете се на иста ознака. Откако одеа неколку чекори, нивните стапала се вратија на истото ниво. Ова значи дека и тато и ќерката добија цел број чекори за да стигнат до оваа ознака. Ова значи дека растојанието до неа треба да се подели со должината на чекорот и на таткото и на ќерката.
Тоа е, ние мора да најдеме:
Тоа е, ова ќе се случи во 210 cm = 2 m 10 cm.
Не е тешко да се разбере дека таткото ќе направи 3 чекори, а ќерката 14 (сл. 1).
Ориз. 1. Илустрација за проблемот
Проблем 1
Петја има 100 пријатели на мрежата VKontakte, а Вања има 200. Колку пријатели имаат Петја и Вања заедно, ако има 30 заеднички пријатели?
Одговорот 300 е неточен затоа што можеби имаат заеднички пријатели.
Ајде да го решиме овој проблем вака. Ајде да прикажеме збир од сите пријатели на Петја наоколу. Ајде да ги прикажеме многуте пријатели на Вања во друг, поголем круг.
Овие кругови имаат заеднички дел. Таму има заеднички пријатели. Овој заеднички дел се нарекува „пресек“ на две множества. Односно, множеството на заеднички пријатели е пресекот на множеството на пријатели на сите.
Ориз. 2. Кругови на многу пријатели
Ако има 30 заеднички пријатели, тогаш 70 лево се пријатели само на Петина, а 170 се пријатели само на Ванина (види слика 2).
Колку вкупно?
Целото големо множество кое се состои од два круга се нарекува спојување на две множества.
Всушност, самиот VK го решава проблемот со пресекот на две групи за нас; веднаш укажува на многу заеднички пријатели кога ќе ја посетите страницата на друго лице.
Ситуацијата со GCD и LCM од два броја е многу слична.
Проблем 2
Размислете за два броја: 126 и 132.
Ги прикажуваме нивните основни фактори во кругови (види Сл. 3).
Ориз. 3. Кругови со прости множители
Пресекот на множества се нивните заеднички делители. GCD се состои од нив.
Соединувањето на две множества ни го дава LCM.
Библиографија
1. Виленкин Н.Ја., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Mnemosyne, 2012 година.
2. Мерзљак А.Г., Полонски В.В., Јакир М.С. Математика 6 одделение. - Гимназија. 2006 година.
3. Депман И.Ја., Виленкин Н.Ја. Зад страниците на учебник по математика. - М.: Образование, 1989 година.
4. Рурукин А.Н., Чајковски И.В. Задачи за предметот математика за 5-6 одделение. - М.: ЗШ МЕФИ, 2011 година.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чајковски К.Г. Математика 5-6. Прирачник за ученици од 6-то одделение во училиштето за кореспонденција MEPhI. - М.: ЗШ МЕФИ, 2011 година.
6. Шеврин Л.Н., Геин А.Г., Корјаков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-соговорник за 5-6 одделение средно школо. - М.: Образование, библиотека за наставници по математика, 1989 година.
3. Веб-страница „Училишен асистент“ ()
Домашна работа
1. Во пристанишниот град започнуваат три патувања со туристички брод, од кои првото трае 15 дена, второто - 20 и третото - 12 дена. Откако се вратија во пристаништето, бродовите повторно тргнаа истиот ден. Денеска бродовите го напуштија пристаништето на сите три правци. За колку дена повторно ќе запловат заедно за прв пат? Колку патувања ќе направи секој брод?
2. Најдете го LCM на броевите:
3. Најдете ги простите множители на најмалиот заеднички множител:
И ако: 
, , .
Се вчитува...