Нулта решение на системот. Хомогени системи на линеарни алгебарски равенки. Како да се најде основниот систем на решенија на линеарна равенка

Систем млинеарни равенки в nнаречен непознати систем на линеарна хомогенаравенки ако сите слободни членови се еднакви на нула. Таков систем изгледа вака:

Каде и ij (јас = 1, 2, …, м; ј = 1, 2, …, n) - дадени броеви; x i– непознато.

Систем од линеарни хомогени равенки е секогаш конзистентен, бидејќи р(А) = р(). Секогаш има најмалку нула ( тривијални) решение (0; 0; …; 0).

Да разгледаме под кои услови хомогени системи имаат не-нула решенија.

Теорема 1.Систем од линеарни хомогени равенки има ненула решенија ако и само ако рангирањето на неговата главна матрица е рпомалку непознати n, т.е. р < n.

□ 1). Нека систем од линеарни хомогени равенки има ненула решение. Бидејќи рангот не може да ја надмине големината на матрицата, тогаш, очигледно, р ≤ n. Нека р = n. Потоа една од помалите големини n nразличен од нула. Затоа, соодветниот систем на линеарни равенки има единствено решение: . Тоа значи дека нема други решенија освен тривијални. Значи, ако постои нетривијално решение, тогаш р < n.

2). Нека р < n. Тогаш хомогениот систем, бидејќи е конзистентен, е неизвесен. Тоа значи дека има бесконечен број решенија, т.е. има ненула решенија. ■

Размислете за хомоген систем nлинеарни равенки в nнепознато:

(2)

Теорема 2.Хомоген систем nлинеарни равенки в nнепознатите (2) има ненула решенија ако и само ако нејзината детерминанта е еднаква на нула: = 0.

□ Ако системот (2) има решение кое не е нула, тогаш = 0. Затоа што кога системот има само едно нула решение. Ако = 0, тогаш рангот рглавната матрица на системот е помала од бројот на непознати, т.е. р < n. И, според тоа, системот има бесконечен број решенија, т.е. има ненула решенија. ■

Да го означиме решението на системот (1) X 1 = к 1 , X 2 = к 2 , …, x n = k nкако низа .

Решенијата на систем од линеарни хомогени равенки ги имаат следните својства:

1. Ако линијата е решение за системот (1), тогаш линијата е решение за системот (1).

2. Доколку линиите и се решенија на системот (1), потоа за кои било вредности Со 1 и Со 2 нивната линеарна комбинација е исто така решение за системот (1).

Валидноста на овие својства може да се потврди со директно замена на истите во равенките на системот.

Од формулираните својства произлегува дека секоја линеарна комбинација на решенија на систем од линеарни хомогени равенки е исто така решение за овој систем.

Систем на линеарно независни решенија д 1 , д 2 , …, e rповикани фундаментален, ако секое решение на системот (1) е линеарна комбинација од овие решенија д 1 , д 2 , …, e r.

Теорема 3.Ако ранг рматриците на коефициентите за променливите на системот на линеарни хомогени равенки (1) се помали од бројот на променливи n, тогаш секој основен систем на решенија на системот (1) се состои од n–rодлуки.

Затоа заедничка одлукасистемот на линеарни хомогени равенки (1) има форма:

Каде д 1 , д 2 , …, e r– секој основен систем на решенија на системот (9), Со 1 , Со 2 , …, со стр- произволни броеви, Р = n–r.

Теорема 4.Општо решение на системот млинеарни равенки в nнепознати е еднаков на збирот на општото решение на соодветниот систем на линеарни хомогени равенки (1) и произволно одредено решение на овој систем (1).

Пример.Решете го системот

Решение.За овој систем м = n= 3. Детерминанта

според теорема 2, системот има само тривијално решение: x = y = z = 0.

Пример. 1) Најдете општи и посебни решенија на системот

2) Најдете го основниот систем на решенија.

Решение. 1) За овој систем м = n= 3. Детерминанта

според теорема 2, системот има ненула решенија.

Бидејќи во системот има само една независна равенка

x + y – 4z = 0,

тогаш од него ќе изразиме x =4z- y. Каде добиваме бесконечен број решенија: (4 z- y, y, z) – ова е генералното решение на системот.

На z= 1, y= -1, добиваме едно одредено решение: (5, -1, 1). Ставање z= 3, y= 2, го добиваме второто конкретно решение: (10, 2, 3) итн.

2) Во општото решение (4 z- y, y, z) променливи yИ zсе бесплатни, а променливата X- зависни од нив. За да го пронајдеме основниот систем на решенија, да им доделиме вредности на слободните променливи: прво y = 1, z= 0, тогаш y = 0, z= 1. Добиваме парцијални решенија (-1, 1, 0), (4, 0, 1), кои го формираат основниот систем на решенија.

Илустрации:

Ориз. 1 Класификација на системи на линеарни равенки

Ориз. 2 Проучување на системи на линеарни равенки

Презентации:

· Метод на решение SLAE_matrix

· Решение на методот SLAE_Cramer

· Решение SLAE_Gauss метод

· Пакети за решавање математички задачи Mathematica, MathCad: пребарување на аналитички и нумерички решенија на системи на линеарни равенки

Контролни прашања:

1. Дефинирајте линеарна равенка

2. Каков тип на систем изгледа? млинеарни равенки со nнепознато?

3. Што се нарекува решавање системи на линеарни равенки?

4. Кои системи се нарекуваат еквивалентни?

5. Кој систем се нарекува некомпатибилен?

6. Кој систем се нарекува зглоб?

7. Кој систем се нарекува определен?

8. Кој систем се нарекува неопределен

9. Наброј ги елементарните трансформации на системи на линеарни равенки

10. Наброј ги елементарните трансформации на матриците

11. Формулирајте теорема за примена на елементарни трансформации на систем од линеарни равенки

12. Кои системи може да се решат со методот на матрица?

13. Кои системи можат да се решат со методот на Крамер?

14. Кои системи може да се решат со методот на Гаус?

15. Наведете 3 можни случаи кои се јавуваат при решавање системи на линеарни равенки со помош на методот Гаус

16. Опиши го матричниот метод за решавање системи на линеарни равенки

17. Опишете го Крамеровиот метод за решавање системи на линеарни равенки

18. Опишете го методот на Гаус за решавање системи на линеарни равенки

19. Кои системи може да се решат со помош на инверзна матрица?

20. Наведете 3 можни случаи кои се јавуваат при решавање системи на линеарни равенки со помош на методот Крамер

Литература:

1. Виша математика за економисти: Учебник за универзитети / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. Ед. Н.Ш. Кремер. – М.: ЕДИНСТВО, 2005. – 471 стр.

2. Општ предмет виша математика за економисти: Учебник. / Ед. ВО И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 стр.

3. Збирка задачи по виша математика за економисти: Учебник / Уреди В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 стр.

4. Gmurman V. E. Водич за решавање проблеми во теоријата на веројатност и магматска статистика. - М.: Виша школа, 2005. – 400 стр.

5. Гмурман. V.E Теорија на веројатност и математичка статистика. - М.: Виша школа, 2005 година.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Ја. Виша математика во вежби и задачи. Дел 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 стр. Дел 1; – 416 стр. Дел 2.

7. Математика по економија: Учебник: Во 2 дела / А.С. Солодовников, В.А. Бабајцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансии и статистика, 2006 година.

8. Шипачев В.С. Виша математика: Учебник за ученици. универзитети - М.: Високо училиште, 2007. - 479 стр.

Поврзани информации.

Ќе продолжиме да ја полираме нашата технологија елементарни трансформациина хомоген систем на линеарни равенки.
Врз основа на првите параграфи, материјалот може да изгледа здодевен и просечен, но овој впечаток е измамен. Покрај понатамошниот развој на техниките, ќе има многу нови информации, затоа ве молиме обидете се да не ги занемарите примерите во оваа статија.

Што е хомоген систем на линеарни равенки?

Одговорот се сугерира сам по себе. Систем од линеарни равенки е хомоген ако слободниот член ситеравенката на системот е нула. На пример:

Тоа е апсолутно јасно хомоген систем е секогаш конзистентен, односно секогаш има решение. И, пред се, она што ви паѓа во очи е т.н тривијалнирешение . Тривијално, за оние кои воопшто не го разбираат значењето на придавката, значи без покачување. Не академски, се разбира, но разбирливо =) ...Зошто тепаме околу грмушката, ајде да откриеме дали овој систем има други решенија:

Пример 1

Решение: за решавање на хомоген систем потребно е да се напише системска матрицаи со помош на елементарни трансформации доведете го во чекорна форма. Забележете дека овде нема потреба да ја запишувате вертикалната лента и нултата колона со слободни термини - на крајот на краиштата, што и да правите со нули, тие ќе останат нули:

(1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –2. Првата линија беше додадена на третата линија, помножена со –3.

(2) Вториот ред беше додаден на третиот ред, помножен со –1.

Поделувањето на третата линија со 3 нема многу смисла.

Како резултат на елементарни трансформации, се добива еквивалентен хомоген систем , и, користејќи го инверзниот на Гаусовиот метод, лесно е да се потврди дека решението е единствено.

Одговори:

Дозволете ни да формулираме очигледен критериум: хомоген систем на линеарни равенки има само тривијално решение, Ако ранг на системска матрица(во овој случај 3) е еднаков на бројот на променливи (во овој случај – 3 парчиња).

Ајде да се загрееме и да го прилагодиме нашето радио на бранот елементарни трансформации:

Пример 2

Решавање на хомоген систем на линеарни равенки

За конечно да го консолидираме алгоритмот, да ја анализираме последната задача:

Пример 7

Решете хомоген систем, напишете го одговорот во векторска форма.

Решение: ајде да ја запишеме матрицата на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор напред:

(1) Знакот на првиот ред е променет. Уште еднаш го привлекувам вниманието на техниката со која се среќаваме многу пати, што ви овозможува значително да го поедноставите следното дејство.

(1) Првиот ред е додаден на вториот и третиот ред. Првата линија, помножена со 2, беше додадена на 4-тата линија.

(3) Последните три реда се пропорционални, од кои два се отстранети.

Како резултат на тоа, се добива стандардна матрица на чекори, а решението продолжува по згрчената патека:

– основни променливи;
– бесплатни променливи.

Да ги изразиме основните променливи во смисла на слободни променливи. Од 2-та равенка:

– замени во првата равенка:

Значи, генералното решение е:

Бидејќи во примерот што се разгледува има три слободни променливи, основниот систем содржи три вектори.

Ајде да замениме тројка вредности во општото решение и да се добие вектор чии координати ја задоволуваат секоја равенка на хомогениот систем. И повторно, повторувам дека е многу препорачливо да се провери секој примен вектор - нема да потрае многу време, но целосно ќе ве заштити од грешки.

За тројка вредности најдете го векторот

И конечно за тројцата го добиваме третиот вектор:

Одговори: , Каде

Оние кои сакаат да избегнат фракциони вредности може да размислат за тројки и добијте одговор во еквивалентна форма:

Зборувајќи за дропки. Да ја погледнеме матрицата добиена во проблемот и да се запрашаме: дали е можно да се поедностави понатамошното решение? На крајот на краиштата, овде прво ја изразивме основната променлива преку дропки, потоа преку дропки основната променлива и, морам да кажам, овој процес не беше наједноставен и не најпријатен.

Второ решение:

Идејата е да се обиде изберете други основни променливи. Да ја погледнеме матрицата и да забележиме две во третата колона. Па зошто да немате нула на врвот? Ајде да извршиме уште една елементарна трансформација:

Хомогени системи на линеарни алгебарски равенки

Како дел од часовите Гаусовиот методИ Некомпатибилни системи/системи со заедничко решениесметавме нехомогени системи на линеарни равенки, Каде слободен член(што обично е десно) барем еденод равенките се разликуваше од нула.
И сега, по добро загревање со матрица ранг, ќе продолжиме да ја полираме техниката елементарни трансформациина хомоген систем на линеарни равенки.
Врз основа на првите параграфи, материјалот може да изгледа здодевен и просечен, но овој впечаток е измамен. Покрај понатамошниот развој на техниките, ќе има многу нови информации, затоа ве молиме обидете се да не ги занемарите примерите во оваа статија.

Што е хомоген систем на линеарни равенки?

Пример 1

(2) Вториот ред беше додаден на третиот ред, помножен со –1.

Поделувањето на третата линија со 3 нема многу смисла.

Одговори:

Ајде да се загрееме и да го прилагодиме нашето радио на бранот елементарни трансформации:

Пример 2

Решавање на хомоген систем на линеарни равенки

Од статијата Како да се најде ранг на матрица?Да се потсетиме на рационалната техника на истовремено намалување на матричните броеви. Во спротивно, ќе мора да исечете големи, а често и гризливи риби. Приближен пример за задача на крајот од часот.

Нулите се добри и погодни, но во пракса случајот е многу почест кога редовите на системската матрица линеарно зависни. И тогаш појавата на општо решение е неизбежна:

Пример 3

Решавање на хомоген систем на линеарни равенки

Решение: ајде да ја запишеме матрицата на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор напред. Првата акција е насочена не само кон добивање на една вредност, туку и кон намалување на броевите во првата колона:

(1) На првата линија е додадена трета линија, помножена со –1. Третата линија беше додадена на втората линија, помножена со –2. Во горниот лев агол добив единица со „минус“, што често е многу попогодно за понатамошни трансформации.

(2) Првите два реда се исти, еден од нив е избришан. Искрено, јас не го притиснав решението - така испадна. Ако вршите трансформации на шаблон, тогаш линеарна зависностлиниите би биле откриени малку подоцна.

(3) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 3.

(4) Знакот на првиот ред е сменет.

Како резултат на елементарните трансформации, беше добиен еквивалентен систем:

Алгоритмот работи исто како и за хетерогени системи. Променливите „седи на скалите“ се главни, променливата што не добила „чекор“ е бесплатна.

Да ги изразиме основните променливи преку слободна променлива:

Одговори: заедничка одлука:

Тривијалното решение е вклучено во општата формула и непотребно е да се запишува посебно.

Проверката исто така се врши според вообичаената шема: добиеното општо решение мора да се замени во левата страна на секоја равенка на системот и да се добие правна нула за сите замени.

Би било можно ова да се заврши тивко и мирно, но решението за хомоген систем на равенки честопати треба да биде претставено во векторска формасо користење на фундаментален систем на решенија. Заборавете на тоа засега аналитичка геометрија, бидејќи сега ќе зборуваме за вектори во општа алгебарска смисла, што малку ја отворив во статијата за матричен ранг. Нема потреба да се премолчува терминологијата, сè е прилично едноставно.

Решавањето системи на линеарни алгебарски равенки (SLAEs) е несомнено најважната тема во курсот за линеарна алгебра. Огромен број задачи од сите математички гранки се сведуваат на решавање системи на линеарни равенки. Овие фактори ја објаснуваат причината за овој напис. Материјалот на статијата е избран и структуриран така што со негова помош можете

изберете оптимален метод за решавање на вашиот систем на линеарни алгебарски равенки,
проучување на теоријата на избраниот метод,
решете го вашиот систем на линеарни равенки со разгледување на детални решенија за типични примери и проблеми.

Краток опис на материјалот на статијата.

Прво, ги даваме сите потребни дефиниции, концепти и воведуваме ознаки.

Следно, ќе разгледаме методи за решавање системи на линеарни алгебарски равенки во кои бројот на равенки е еднаков на бројот на непознати променливи и кои имаат единствено решение. Прво, ќе се фокусираме на методот на Крамер, второ, ќе го прикажеме методот на матрица за решавање на вакви системи на равенки и трето, ќе го анализираме методот на Гаус (метод на секвенцијална елиминација на непознати променливи). За да ја консолидираме теоријата, дефинитивно ќе решиме неколку SLAE на различни начини.

По ова, ќе преминеме на решавање системи на линеарни алгебарски равенки од општа форма, во кои бројот на равенките не се совпаѓа со бројот на непознати променливи или главната матрица на системот е еднина. Да ја формулираме теоремата Кронекер-Капели, која ни овозможува да ја утврдиме компатибилноста на SLAE. Дозволете ни да го анализираме решението на системите (ако тие се компатибилни) користејќи го концептот на базичен минор на матрицата. Ќе го разгледаме и методот Гаус и детално ќе ги опишеме решенијата на примерите.

Дефинитивно ќе се задржиме на структурата на општото решение на хомогени и нехомогени системи на линеарни алгебарски равенки. Дозволете ни да го дадеме концептот на основен систем на решенија и да покажеме како општото решение на SLAE е напишано со помош на векторите на основниот систем на решенија. За подобро разбирање, да погледнеме неколку примери.

Како заклучок, ќе ги разгледаме системите на равенки кои можат да се сведат на линеарни, како и разни проблеми при чие решавање се појавуваат SLAE.

Навигација на страницата.

Дефиниции, концепти, ознаки.

Ќе разгледаме системи на p линеарни алгебарски равенки со n непознати променливи (p може да биде еднаква на n) од формата

Непознати променливи, - коефициенти (некои реални или сложени броеви), - слободни членови (исто така реални или сложени броеви).

Оваа форма на снимање на SLAE се нарекува координираат.

ВО матрична формапишувањето на овој систем на равенки има форма,
Каде - главната матрица на системот, - колона матрица од непознати променливи, - колона матрица од слободни членови.

Ако на матрицата А додадеме матрица-колона од слободни членови како (n+1)-та колона, ќе ја добиеме т.н. продолжена матрицасистеми на линеарни равенки. Вообичаено, продолжената матрица се означува со буквата Т, а колоната со слободни термини е одделена со вертикална линија од преостанатите колони, т.е.

Решавање на систем од линеарни алгебарски равенкинаречен збир на вредности на непознати променливи што ги претвора сите равенки на системот во идентитети. Матричната равенка за дадените вредности на непознатите променливи, исто така, станува идентитет.

Ако системот на равенки има барем едно решение, тогаш тој се нарекува зглоб.

Ако системот на равенки нема решенија, тогаш тој се нарекува незаеднички.

Ако SLAE има единствено решение, тогаш тоа се нарекува одредени; ако има повеќе од едно решение, тогаш - неизвесна.

Ако слободните членови на сите равенки на системот се еднакви на нула , тогаш системот се повикува хомогенаинаку - хетерогени.

Решавање на елементарни системи на линеарни алгебарски равенки.

Ако бројот на равенки на системот е еднаков на бројот на непознати променливи и детерминантата на неговата главна матрица не е еднаква на нула, тогаш таквите SLAE ќе се нарекуваат елементарен. Ваквите системи на равенки имаат единствено решение, а во случај на хомоген систем, сите непознати променливи се еднакви на нула.

Почнавме да учиме такви SLAE во средно училиште. При нивното решавање, земавме една равенка, искажавме една непозната променлива во однос на другите и ја заменивме со преостанатите равенки, потоа ја земавме следната равенка, ја изразивме следната непозната променлива и ја заменивме со други равенки итн. Или го користеле методот на собирање, односно додале две или повеќе равенки за да елиминираат некои непознати променливи. Ние нема да се задржиме на овие методи во детали, бидејќи тие во суштина се модификации на методот Гаус.

Главни методи за решавање на елементарни системи на линеарни равенки се Крамеровиот метод, матричниот метод и Гаусовиот метод. Ајде да ги средиме.

Решавање системи на линеарни равенки со помош на Крамеровиот метод.

Да претпоставиме дека треба да решиме систем од линеарни алгебарски равенки

во кои бројот на равенките е еднаков на бројот на непознати променливи и детерминантата на главната матрица на системот е различна од нула, односно .

Нека е детерминантата на главната матрица на системот, и - детерминанти на матрици кои се добиваат од А со замена 1-ви, 2-ри, ..., n-тиколона, соодветно на колоната на слободни членови:

Со оваа нотација, непознатите променливи се пресметуваат со користење на формулите на методот на Крамер како . Вака се наоѓа решението на систем од линеарни алгебарски равенки со помош на Крамеровиот метод.

Пример.

Крамеровиот метод .

Решение.

Главната матрица на системот ја има формата . Ајде да ја пресметаме нејзината детерминанта (ако е потребно, видете ја статијата):

Бидејќи детерминантата на главната матрица на системот е ненула, системот има единствено решение кое може да се најде со методот на Крамер.

Да ги составиме и пресметаме потребните детерминанти (детерминантата ја добиваме со замена на првата колона во матрицата А со колона од слободни членови, детерминантата со замена на втората колона со колона од слободни членови и со замена на третата колона од матрицата А со колона од слободни членови) :

Наоѓање непознати променливи со помош на формули :

Одговор:

Главниот недостаток на методот на Крамер (ако може да се нарече недостаток) е сложеноста на пресметувањето на детерминантите кога бројот на равенки во системот е повеќе од три.

Решавање системи на линеарни алгебарски равенки со метод на матрица (со користење на инверзна матрица).

Нека е даден систем од линеарни алгебарски равенки во форма на матрица, каде што матрицата A има димензија n на n и нејзината детерминанта е ненула.

Бидејќи , матрицата А е инверзибилна, односно постои инверзна матрица. Ако ги помножиме двете страни на еднаквоста со лево, добиваме формула за наоѓање матрица-колона од непознати променливи. Така добивме решение на систем од линеарни алгебарски равенки со помош на методот на матрица.

Пример.

Решавање систем на линеарни равенки матричен метод.

Решение.

Ајде да го преработиме системот на равенки во форма на матрица:

Бидејќи

тогаш SLAE може да се реши со методот на матрица. Користејќи ја инверзната матрица, решението за овој систем може да се најде како .

Ајде да изградиме инверзна матрица користејќи матрица од алгебарски собирања на елементите на матрицата А (ако е потребно, видете ја статијата):

Останува да се пресмета матрицата на непознати променливи со множење на инверзната матрица до матрица-колона од слободни членови (ако е потребно, видете ја статијата):

Одговор:

или во друга нотација x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Главниот проблем при изнаоѓање решенија за системи на линеарни алгебарски равенки со помош на методот на матрица е сложеноста на наоѓање на инверзната матрица, особено за квадратни матрици со ред поголем од трета.

Решавање системи на линеарни равенки со помош на Гаусовиот метод.

Да претпоставиме дека треба да најдеме решение за систем од n линеарни равенки со n непознати променливи
детерминантата на главната матрица на која е различна од нула.

Суштината на методот Гауссе состои од секвенцијално исклучување на непознати променливи: прво, x 1 е исклучена од сите равенки на системот, почнувајќи од втората, потоа x 2 е исклучена од сите равенки, почнувајќи од третата, и така натаму, додека само непознатата променлива x n останува во последната равенка. Овој процес на трансформација на системските равенки за последователно елиминирање на непознатите променливи се нарекува директен Гаусовиот метод. По завршувањето на движењето напред на Гаусовиот метод, x n се наоѓа од последната равенка, користејќи ја оваа вредност од претпоследната равенка, се пресметува x n-1 и така натаму, x 1 се наоѓа од првата равенка. Се нарекува процесот на пресметување на непознати променливи при движење од последната равенка на системот до првата инверзна на Гаусовиот метод.

Дозволете ни накратко да го опишеме алгоритмот за елиминирање на непознати променливи.

Ќе го претпоставиме тоа, бидејќи секогаш можеме да го постигнеме ова со преуредување на равенките на системот. Да ја елиминираме непознатата променлива x 1 од сите равенки на системот, почнувајќи од втората. За да го направите ова, на втората равенка на системот ја додаваме првата, помножена со , на третата равенка ја додаваме првата, помножена со и така натаму, на n-тата равенка ја додаваме првата, помножена со . Системот на равенки по таквите трансформации ќе добие форма

каде и .

Ќе дојдевме до истиот резултат ако изразевме x 1 во однос на други непознати променливи во првата равенка на системот и го заменивме добиениот израз со сите други равенки. Така, променливата x 1 е исклучена од сите равенки, почнувајќи од втората.

Следно, продолжуваме на сличен начин, но само со дел од добиениот систем, кој е означен на сликата

За да го направите ова, на третата равенка на системот ја додаваме втората, помножена со , на четвртата равенка ја додаваме втората, помножена со и така натаму, на n-тата равенка ја додаваме втората, помножена со . Системот на равенки по таквите трансформации ќе добие форма

каде и . Така, променливата x 2 е исклучена од сите равенки, почнувајќи од третата.

Следно, продолжуваме со елиминирање на непознатото x 3, додека слично постапуваме со делот од системот означен на сликата.

Така ја продолжуваме директната прогресија на Гаусовиот метод додека системот не добие форма

Од овој момент започнуваме обратно од Гаусовиот метод: го пресметуваме x n од последната равенка како , користејќи ја добиената вредност на x n наоѓаме x n-1 од претпоследната равенка, и така натаму, наоѓаме x 1 од првата равенка .

Пример.

Решавање систем на линеарни равенки Гаусовиот метод.

Решение.

Да ја исклучиме непознатата променлива x 1 од втората и третата равенка на системот. За да го направите ова, на двете страни на втората и третата равенка ги додаваме соодветните делови од првата равенка, помножени со и со, соодветно:

Сега го елиминираме x 2 од третата равенка со додавање на левата и десната страна на левата и десната страна на втората равенка, помножени со:

Ова го комплетира ударот напред на методот Гаус; го започнуваме обратниот удар.

Од последната равенка на добиениот систем на равенки наоѓаме x 3:

Од втората равенка добиваме .

Од првата равенка ја наоѓаме преостанатата непозната променлива и со тоа ја комплетираме обратната страна на методот Гаус.

Одговор:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Решавање системи на линеарни алгебарски равенки од општа форма.

Општо земено, бројот на равенки на системот p не се совпаѓа со бројот на непознати променливи n:

Таквите SLAE може да немаат решенија, да имаат едно решение или да имаат бесконечно многу решенија. Оваа изјава важи и за системи на равенки чија главна матрица е квадратна и еднина.

Теорема Кронекер-Капели.

Пред да се најде решение за систем на линеарни равенки, неопходно е да се утврди неговата компатибилност. Одговорот на прашањето кога SLAE е компатибилен и кога е неконзистентен е даден од Теорема Кронекер-Капели:
За да може системот од p равенки со n непознати (p може да биде еднаков на n) да биде конзистентен, потребно е и доволно рангот на главната матрица на системот да биде еднаков на рангот на продолжената матрица, т.е. , Ранг(А)=Ранг(Т).

Да ја разгледаме, како пример, примената на теоремата Кронекер-Капели за да се одреди компатибилноста на систем од линеарни равенки.

Пример.

Откријте дали системот на линеарни равенки има решенија.

Решение.

. Да го користиме методот на граничи со малолетници. Малолетник од втор ред различен од нула. Да ги погледнеме малолетниците од трет ред што се граничат со него:

Бидејќи сите гранични малолетници од трет ред се еднакви на нула, рангот на главната матрица е еднаков на два.

За возврат, рангот на продолжената матрица е еднакво на три, бидејќи малолетникот е од трет ред

различен од нула.

Така, Rang(A), според тоа, користејќи ја теоремата Кронекер-Капели, можеме да заклучиме дека оригиналниот систем на линеарни равенки е неконзистентен.

Одговор:

Системот нема решенија.

Значи, научивме да ја утврдиме неконзистентноста на системот користејќи ја теоремата Кронекер-Капели.

Но, како да се најде решение за SLAE ако се утврди неговата компатибилност?

За да го направиме ова, потребен ни е концептот на минор за основа на матрицата и теорема за ранг на матрицата.

Се нарекува минор од највисок ред на матрицата А, различен од нула основни.

Од дефиницијата за минор на основата произлегува дека неговиот редослед е еднаков на рангот на матрицата. За ненулта матрица А може да има неколку основни минори; секогаш има една основна минор.

На пример, разгледајте ја матрицата .

Сите минори од трет ред на оваа матрица се еднакви на нула, бидејќи елементите од третиот ред од оваа матрица се збир на соодветните елементи од првиот и вториот ред.

Следниве малолетници од втор ред се основни, бидејќи не се нула

Малолетници не се основни, бидејќи се еднакви на нула.

Теорема за ранг на матрици.

Ако рангот на матрица од редот p по n е еднаков на r, тогаш сите елементи на редот (и колоната) од матрицата што не го формираат избраниот минор на основата се линеарно изразени во однос на соодветните елементи на редот (и колоната) што формираат основата минор.

Што ни кажува теоремата за ранг на матрицата?

Ако, според теоремата Кронекер-Капели, ја утврдивме компатибилноста на системот, тогаш ја избираме секоја основа минор на главната матрица на системот (нејзиниот редослед е еднаков на r), и ги исклучуваме од системот сите равенки што прават не ја формираат избраната основа помала. На овој начин добиениот SLAE ќе биде еквивалентен на оригиналниот, бидејќи отфрлените равенки сè уште се вишок (според теоремата за ранг на матрицата, тие се линеарна комбинација на преостанатите равенки).

Како резултат на тоа, по отфрлањето на непотребните равенки на системот, можни се два случаи.

Ако бројот на равенките r во добиениот систем е еднаков на бројот на непознати променливи, тогаш тој ќе биде дефинитивен и единственото решение може да се најде со Крамеровиот метод, методот на матрица или методот на Гаус.

Пример.

Решение.

Ранг на главната матрица на системот е еднакво на два, бидејќи малолетникот е од втор ред различен од нула. Проширен ранг на матрица исто така е еднакво на два, бидејќи единствениот минор од трет ред е нула

а минорот од втор ред разгледан погоре се разликува од нула. Врз основа на теоремата Кронекер-Капели, можеме да ја потврдиме компатибилноста на оригиналниот систем на линеарни равенки, бидејќи Rank(A)=Rank(T)=2.

Како основа минор земаме . Се формира од коефициентите на првата и втората равенка:

Третата равенка на системот не учествува во формирањето на основниот минор, така што ја исклучуваме од системот заснован на теоремата за ранг на матрицата:

Така добивме елементарен систем на линеарни алгебарски равенки. Ајде да го решиме користејќи го методот на Крамер:

Одговор:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ако бројот на равенки r во добиениот SLAE е помал од бројот на непознати променливи n, тогаш на левите страни на равенките ги оставаме поимите што ја формираат основата минор, а преостанатите членови ги пренесуваме на десните страни на равенки на системот со спротивен знак.

Се повикуваат непознатите променливи (r од нив) кои остануваат на левите страни на равенките главен.

Се повикуваат непознатите променливи (има n - r парчиња) кои се на десната страна бесплатно.

Сега веруваме дека слободните непознати променливи можат да земат произволни вредности, додека r главните непознати променливи ќе бидат изразени преку слободни непознати променливи на единствен начин. Нивното изразување може да се најде со решавање на добиениот SLAE со користење на методот Крамер, методот на матрица или методот Гаус.

Ајде да го погледнеме со пример.

Пример.

Решавање на систем од линеарни алгебарски равенки .

Решение.

Ајде да го најдеме рангот на главната матрица на системот со методот на граничи малолетници. Да земеме 1 1 = 1 како ненула минор од прв ред. Ајде да започнеме да бараме минор не-нула од втор ред што се граничи со овој минор:

Вака најдовме ненулта мол од втор ред. Ајде да започнеме да бараме минор кој не се граничи со нула од трет ред:

Така, рангот на главната матрица е три. Рангот на проширената матрица е исто така еднаков на три, односно системот е конзистентен.

Како основен го земаме пронајдениот не-нула минор од трет ред.

За јасност, ги прикажуваме елементите што ја формираат основата на минор:

Ги оставаме поимите вклучени во основата минор на левата страна на системските равенки, а остатокот го пренесуваме со спротивни знаци на десните страни:

Да им дадеме на слободните непознати променливи x 2 и x 5 произволни вредности, односно прифаќаме , каде што се произволни броеви. Во овој случај, SLAE ќе ја земе формата

Дозволете ни да го решиме добиениот елементарен систем на линеарни алгебарски равенки користејќи го Крамеровиот метод:

Оттука,.

Во вашиот одговор, не заборавајте да наведете бесплатни непознати променливи.

Одговор:

Каде се произволни броеви.

Резимирајте.

За да решиме систем на општи линеарни алгебарски равенки, прво ја одредуваме неговата компатибилност користејќи ја теоремата Кронекер-Капели. Ако рангот на главната матрица не е еднаков на рангот на проширената матрица, тогаш заклучуваме дека системот е некомпатибилен.

Ако рангот на главната матрица е еднаков на рангот на проширената матрица, тогаш избираме основен минор и ги отфрламе равенките на системот што не учествуваат во формирањето на избраниот основен минор.

Ако редоследот на основниот минор е еднаков на бројот на непознати променливи, тогаш SLAE има единствено решение, кое може да се најде со кој било метод познат нам.

Ако редоследот на основниот минор е помал од бројот на непознати променливи, тогаш на левата страна на системските равенки ги оставаме поимите со главните непознати променливи, ги пренесуваме преостанатите членови на десните страни и им даваме произволни вредности на слободните непознати променливи. Од добиениот систем на линеарни равенки ги наоѓаме главните непознати променливи користејќи го методот Крамер, методот на матрица или методот Гаус.

Гаусовиот метод за решавање системи на линеарни алгебарски равенки од општа форма.

Гаусовиот метод може да се користи за решавање системи на линеарни алгебарски равенки од кој било вид без претходно да се тестираат за конзистентност. Процесот на секвенцијална елиминација на непознати променливи овозможува да се извлече заклучок и за компатибилноста и за некомпатибилноста на SLAE, а доколку постои решение, овозможува да се најде.

Од пресметковна гледна точка, се претпочита Гаусовиот метод.

Видете го неговиот детален опис и анализираните примери во статијата Гаусовиот метод за решавање системи на општи линеарни алгебарски равенки.

Пишување општо решение за хомогени и нехомогени линеарни алгебарски системи со помош на вектори на основниот систем на решенија.

Во овој дел ќе зборуваме за симултани хомогени и нехомогени системи на линеарни алгебарски равенки кои имаат бесконечен број решенија.

Ајде прво да се занимаваме со хомогени системи.

Основен систем на решенијахомоген систем на p линеарни алгебарски равенки со n непознати променливи е збир од (n – r) линеарно независни решенија на овој систем, каде што r е редоследот на базичниот минор на главната матрица на системот.

Ако означиме линеарно независни решенија на хомогена SLAE како X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) се колонозни матрици со димензија n со 1) , тогаш општото решение на овој хомоген систем е претставено како линеарна комбинација на вектори на основниот систем на решенија со произволни константни коефициенти C 1, C 2, ..., C (n-r), односно .

Што значи поимот општо решение на хомоген систем на линеарни алгебарски равенки (орослау)?

Значењето е едноставно: формулата ги специфицира сите можни решенија на оригиналниот SLAE, со други зборови, земајќи го секое збир на вредности на произволни константи C 1, C 2, ..., C (n-r), користејќи ја формулата што ќе ја се добие еден од растворите на оригиналниот хомоген SLAE.

Така, ако најдеме фундаментален систем на решенија, тогаш можеме да ги дефинираме сите решенија на оваа хомогена SLAE како .

Дозволете ни да го прикажеме процесот на конструирање на основен систем на решенија за хомогена SLAE.

Го избираме минорот на оригиналниот систем на линеарни равенки, ги исклучуваме сите други равенки од системот и ги пренесуваме сите поими што содржат слободни непознати променливи на десната страна на системските равенки со спротивни знаци. Ајде да им дадеме на слободните непознати променливи вредностите 1,0,0,...,0 и да ги пресметаме главните непознати со решавање на добиениот елементарен систем на линеарни равенки на кој било начин, на пример, користејќи го методот Крамер. Ова ќе резултира со X (1) - првото решение на основниот систем. Ако на слободните непознати им ги дадеме вредностите 0,1,0,0,…,0 и ги пресметаме главните непознати, добиваме X (2) . И така натаму. Ако ги доделиме вредностите 0,0,…,0,1 на слободните непознати променливи и ги пресметаме главните непознати, ќе добиеме X (n-r) . На овој начин, ќе се конструира фундаментален систем на решенија за хомогена SLAE и неговото општо решение може да се запише во форма.

За нехомогени системи на линеарни алгебарски равенки, општото решение е претставено во форма, каде што е општото решение на соодветниот хомоген систем и е конкретното решение на оригиналниот нехомоген SLAE, што го добиваме со давање на вредностите на слободните непознати 0,0,...,0 и пресметување на вредностите на главните непознати.

Ајде да погледнеме примери.

Пример.

Најдете го основниот систем на решенија и општото решение на хомоген систем на линеарни алгебарски равенки .

Решение.

Рангот на главната матрица на хомогени системи на линеарни равенки е секогаш еднаков на рангот на продолжената матрица. Ајде да го најдеме рангот на главната матрица користејќи го методот на граничи малолетници. Како минор без нула од прв ред, го земаме елементот a 1 1 = 9 од главната матрица на системот. Ајде да го најдеме граничниот не-нулти минор од вториот ред:

Пронајден е малолетник од втор ред, различен од нула. Ајде да поминеме низ малолетниците од трет ред што се граничат со него во потрага по не-нулта:

Сите гранични малолетници од трет ред се еднакви на нула, затоа, рангот на главната и проширената матрица е еднаков на два. Ајде да земеме . За јасност, да ги забележиме елементите на системот што го формираат:

Третата равенка на оригиналниот SLAE не учествува во формирањето на основната мала, па затоа може да се исклучи:

Поимите што ги содржат главните непознати ги оставаме на десните страни на равенките и ги пренесуваме поимите со слободни непознати на десните страни:

Дозволете ни да конструираме основен систем на решенија на оригиналниот хомоген систем на линеарни равенки. Основниот систем на решенија на овој SLAE се состои од две решенија, бидејќи оригиналниот SLAE содржи четири непознати променливи, а редоследот на неговата основна минор е еднаков на две. За да го пронајдеме X (1), на слободните непознати променливи им ги даваме вредностите x 2 = 1, x 4 = 0, потоа ги наоѓаме главните непознати од системот на равенки
.

Ајде да размислиме хомоген систем m линеарни равенки со n променливи:

(15)

Систем на хомогени линеарни равенки е секогаш конзистентен, бидејќи секогаш има нула (тривијално) решение (0,0,…,0).

Ако во системот (15) m=n и , тогаш системот има само нула решение, што следи од теоремата и формулите на Крамер.

Теорема 1. Хомогениот систем (15) има нетривијално решение ако и само ако рангот на неговата матрица е помал од бројот на променливи, т.е. . р(А)< n.

Доказ. Постоењето на нетривијално решение за системот (15) е еквивалентно на линеарна зависност на колоните од системската матрица (т.е., постојат броеви x 1, x 2,..., x n, а не сите се еднакви на нула, така што еднаквостите (15) се вистинити).

Според основната минор теорема, колоните на матрицата се линеарно зависни  кога не се сите колони од оваа матрица основни, т.е.  кога редот r на основниот минор на матрицата е помал од бројот n од нејзините колони. итн.

Последица. Квадратен хомоген систем има нетривијални решенија  кога |A|=0.

Теорема 2. Ако колоните x (1), x (2),..., x (s) се решенија за хомоген систем AX = 0, тогаш секоја нивна линеарна комбинација е исто така решение за овој систем.

Доказ. Размислете за која било комбинација на решенија:

Тогаш AX=A()===0. итн.

Заклучок 1.Ако хомоген систем има нетривијално решение, тогаш има бесконечно многу решенија.

Тоа. потребно е да се најдат такви решенија x (1), x (2),..., x (s) на системот Ax = 0, така што секое друго решение на овој систем е претставено во форма на нивна линеарна комбинација и , згора на тоа, на единствен начин.

Дефиниција.Системот k=n-r (n е број на непознати во системот, r=rg A) на линеарно независни решенија x (1), x (2),…, x (k) на системот Ах=0 се вика фундаментален систем на решенијаовој систем.

Теорема 3. Нека е даден хомоген систем Ах=0 со n непознати и r=rg A. Тогаш има множество k=n-r решенија x (1), x (2),…, x (k) од овој систем, формирајќи фундаментален систем на решенија.

Доказ. Без губење на општоста, можеме да претпоставиме дека основниот минор на матрицата А се наоѓа во горниот лев агол. Потоа, според основната минор теорема, преостанатите редови од матрицата А се линеарни комбинации на основните редови. Ова значи дека ако вредностите x 1, x 2,…, x n ги задоволуваат првите r равенки, т.е. равенки кои одговараат на редовите на основниот минор), тогаш тие исто така ги задоволуваат другите равенки. Следствено, множеството решенија на системот нема да се промени ако ги отфрлиме сите равенки почнувајќи од (r+1)-тото. Го добиваме системот:

Да ги преместиме слободните непознати x r +1 , x r +2 ,…, x n на десната страна, а основните x 1 , x 2 ,…, x r да ги оставиме лево:

(16)

Бидејќи во овој случај сите b i =0, тогаш наместо формулите

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a во)) j=1,2,…,r ((13), добиваме:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a во)) j=1,2,…,r (13)

Ако слободните непознати x r +1 , x r +2 ,…, x n ги поставиме на произволни вредности, тогаш во однос на основните непознати добиваме квадрат SLAE со не-единечна матрица за која има единствено решение. Така, секое решение на хомогена SLAE е уникатно определено со вредностите на слободните непознати x r +1, x r +2,…, x n. Размислете за следнава k=n-r серија вредности на слободни непознати:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Бројот на серијата е означен со надпис во загради, а серијата вредности се запишуваат во форма на колони. Во секоја серија =1 ако i=j и =0 ако ij.

I-тата серија на вредности на слободни непознати единствено одговара на вредностите на ,,...,основните непознати. Вредностите на слободните и основните непознати заедно даваат решенија за системот (17).

Да покажеме дека колоните e i =,i=1,2,…,k (18)

формираат основен систем на решенија.

Бидејќи Овие колони, по конструкција, се решенија на хомогениот систем Ax=0 и нивниот број е еднаков на k, тогаш останува да се докаже линеарната независност на решенијата (16). Нека има линеарна комбинација на решенија д 1 , д 2 ,…, д к(x (1) , x (2) ,…, x (k)), еднаква на нултата колона:

 1 д 1 +  2 д 2 +…+  к д к ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ к X(к) = 0)

Тогаш левата страна на ова равенство е колона чии компоненти со броеви r+1,r+2,…,n се еднакви на нула. Но (r+1)-тата компонента е еднаква на  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Слично, (r+2)-тата компонента е еднаква на  2 ,…, kth-та компонента е еднаква на  k. Затоа  1 =  2 = …= k =0, што значи линеарна независност на решенијата д 1 , д 2 ,…, д к ( x (1), x (2) ,…, x (k)).

Конструираниот фундаментален систем на решенија (18) се нарекува нормално. Врз основа на формулата (13), ја има следната форма:

(20)

Заклучок 2. Нека д 1 , д 2 ,…, д к- нормален основен систем на решенија на хомоген систем, тогаш множеството од сите решенија може да се опише со формулата:

x=c 1 д 1 +s 2 д 2 +…+с k д к (21)

каде с 1,с 2,…,с k – земете произволни вредности.

Доказ. Според теорема 2, колоната (19) е решение за хомогениот систем Ax=0. Останува да се докаже дека секое решение на овој систем може да биде претставено во формата (17). Размислете за колоната X=y r +1 д 1 +…+y n д к. Оваа колона се совпаѓа со колоната y во елементи со броеви r+1,...,n и е решение за (16). Затоа колоните XИ насе совпаѓаат, бидејќи решенијата на системот (16) се уникатно определени со множеството вредности на неговите слободни непознати x r +1,…,x n и колоните наИ Xовие комплети се исти. Оттука, на=X= y r +1 д 1 +…+y n д к, т.е. решение нае линеарна комбинација на колони д 1 ,…,y n нормален FSR. итн.

Докажаната изјава е вистинита не само за нормален FSR, туку и за произволен FSR на хомогена SLAE.

X=в 1 X 1 + в 2 X 2 +…+s n - р X n - р - заедничка одлукасистеми на линеарни хомогени равенки

Каде што X 1, X 2,…, X n - r – кој било основен систем на решенија,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r се произволни броеви.

Пример. (стр. 78)

Да воспоставиме врска помеѓу решенијата на нехомогените SLAE (1) и соодветните хомогени SLAE (15)

Теорема 4. Збирот на кое било решение на нехомогениот систем (1) и соодветниот хомоген систем (15) е решение за системот (1).

Доказ. Ако c 1 ,…,c n е решение за системот (1), а d 1 ,…,d n е решение за системот (15), тогаш непознатите броеви c се заменуваат со која било (на пример, i-та) равенка на систем (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , добиваме:

B i +0=b i h.t.d.

Теорема 5. Разликата помеѓу две произволни решенија на нехомогениот систем (1) е решение за хомогениот систем (15).

Доказ. Ако c 1 ,…,c n и c 1 ,…,c n се решенија на системот (1), тогаш непознатите броеви c се заменуваат со која било (на пример, i-та) равенка на системот (1 ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , добиваме:

B i -b i =0 p.t.d.

Од докажаните теореми произлегува дека општото решение на систем од m линеарни хомогени равенки со n променливи е еднакво на збирот на општото решение на соодветниот систем на хомогени линеарни равенки (15) и произволен број на одредено решение на овој систем (15).

X неод. =X вкупно еден +X чести повеќе од еднаш (22)

Како посебно решение на нехомоген систем, природно е да се земе растворот што се добива ако во формулите c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) ги постави сите броеви c r +1 ,…,c n еднакви на нула, т.е.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Додавање на ова конкретно решение на општото решение X=в 1 X 1 + в 2 X 2 +…+s n - р X n - рсоодветниот хомоген систем, добиваме:

X неод. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+C n - р X n - р (24)

Размислете за систем од две равенки со две променливи:

во кој барем еден од коефициентите а иј 0.

За да го решиме, го елиминираме x 2 со множење на првата равенка со 22, а втората со (-a 12) и собирање: елиминирај x 1 со множење на првата равенка со (-a 21), а втората со 11 и додавајќи ги: Изразот во заграда е детерминанта

Имајќи назначено ,, тогаш системот ќе има форма:, т.е., ако, тогаш системот има единствено решение:,.

Ако Δ=0, и (или), тогаш системот е неконзистентен, бидејќи сведена на формата Ако Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, тогаш системот е неизвесен, бидејќи сведена на форма