Инверзни тригонометриски функции и нивните својства. Да го изразиме во однос на сите инверзни тригонометриски функции. Основни односи на инверзни тригонометриски функции
ДО инверзни тригонометриски функции Следниве 6 функции вклучуваат: лаксин , аркозин , арктангенс , лактангенс , лак секантИ аркосекант .
Бидејќи оригиналните тригонометриски функции се периодични, тогаш инверзните функции, општо земено, се полисемантични . За да се обезбеди кореспонденција еден-на-еден помеѓу две променливи, областите на дефиниција на оригиналните тригонометриски функции се ограничени со разгледување само на нив главните гранки . На пример, функцијата \(y = \sin x\) се смета само во интервалот \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \десно]\). На овој интервал, функцијата на инверзен лак е уникатно дефинирана.
Функција на арксин
Лакот на бројот \(a\) (означен со \(\arcsin a\)) е вредноста на аголот \(x\) во интервалот \(\left[ ( - \pi /2,\pi / 2) \десно]\), за што \(\sin x = a\). Инверзната функција \(y = \arcsin x\) е дефинирана на \(x \in \лево[ ( -1,1) \десно]\), нејзиниот опсег на вредности е \(y \in \лево[ ( - \pi / 2,\pi /2) \десно]\).
Косинусна функција на лак
Аркозин на бројот \(a\) (означен \(\arccos a\)) е вредноста на аголот \(x\) во интервалот \(\лево[ (0,\pi) \десно]\) , при што \(\cos x = a\). Инверзната функција \(y = \arccos x\) е дефинирана на \(x \in \лево[ ( -1,1) \десно]\), нејзиниот опсег на вредности припаѓа на сегментот \(y \in \лево[ (0,\ pi)\десно]\).
Арктангентна функција
Арктангенс на бројот а(означено со \(\arctan a\)) е вредноста на аголот \(x\) во отворениот интервал \(\left((-\pi/2, \pi/2) \десно)\), на кој \(\tan x = a\). Инверзната функција \(y = \arctan x\) е дефинирана за сите \(x \in \mathbb(R)\), опсегот на арктангенсот е еднаков на \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\десно)\).
Функција на лак тангента
Аркотангента на бројот \(a\) (означен со \(\text(arccot) a\)) е вредноста на аголот \(x\) во отворениот интервал \(\left[ (0,\ pi) \десно]\), при што \(\cot x = a\). Инверзната функција \(y = \text(arccot) x\) е дефинирана за сите \(x \in \mathbb(R)\), нејзиниот опсег на вредности е во интервалот \(y \in \ лево[ (0,\pi) \десно]\).
Функција на лак секант
Лакот на бројот \(a\) (означен со \(\text(arcsec ) a\)) е вредноста на аголот \(x\) на кој \(\sec x = a\). Инверзната функција \(y = \text(arcsec) x\) е дефинирана на \(x \in \left(( - \infty, - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty) \десно )\ ), неговиот опсег на вредности припаѓа на множеството \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi) \десно] \).
Arccosecant функција
Аркосекантот на бројот \(a\) (означен \(\text(arccsc) a\) или \(\text(arccosec) a\)) е вредноста на аголот \(x\) на кој \(\ csc x = a\ ). Инверзната функција \(y = \text(arccsc) x\) е дефинирана на \(x \in \left(( - \infty, - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty) \десно )\ ), опсегот на неговите вредности припаѓа на множеството \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \десно ]\).
Главните вредности на арксинските и аркозинските функции (во степени)
| \(x\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/2\) | \(-\sqrt 2/2\) | \(-1/2\) | \(0\) | \(1/2\) | \(\sqrt 2/2\) | \(\sqrt 3/2\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\arcsin x\) | \(-90^\circ\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
| \(\arccos x\) | \(180^\circ\) | \(150^\circ\) | \(135^\circ\) | \(120^\circ\) | \(90^\circ\) | \(60^\circ\) | \(45^\circ\) | \(30^\circ\) | \(0^\circ\) |
Главните вредности на арктангентните и аркотангентните функции (во степени)
| \(x\) | \(-\sqrt 3\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/3\) | \(0\) | \(\sqrt 3/3\) | \(1\) | \(\sqrt 3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\arctan x\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) |
| \(\текст (арко) x\) | \(150^\circ\) | \(135^\circ\) | \(120^\circ\) | \(90^\circ\) | \(60^\circ\) | \(45^\circ\) | \(30^\circ\) |
Лекции 32-33. Инверзни тригонометриски функции
09.07.2015 8495 0Цел: разгледајте ги инверзните тригонометриски функции и нивната употреба за пишување решенија на тригонометриски равенки.
I. Комуницирање на темата и целта на часовите
II. Учење нов материјал
1. Инверзни тригонометриски функции
Да ја започнеме нашата дискусија за оваа тема со следниот пример.
Пример 1
Да ја решиме равенката:а) sin x = 1/2; б) sin x = a.
а) На оската на ординатите ја исцртуваме вредноста 1/2 и ги конструираме аглите x 1 и x2, за штогрев х = 1/2. Во овој случај x1 + x2 = π, од каде x2 = π - x 1 . Користејќи ја табелата со вредности на тригонометриски функции, ја наоѓаме вредноста x1 = π/6, потоа
Да ја земеме предвид периодичноста на синусната функција и да ги запишеме решенијата на оваа равенка:
каде k ∈ Z.
б) Очигледно, алгоритмот за решавање на равенкатагрев x = a е исто како во претходниот став. Се разбира, сега вредноста a е нацртана долж оската на ординатите. Има потреба некако да се означи аголот x1. Се согласивме да го означиме овој агол со симболотлаксин А. Тогаш решенијата на оваа равенка може да се напишат во формаОвие две формули може да се комбинираат во една:при што 
Останатите инверзни тригонометриски функции се воведени на сличен начин.
Многу често е неопходно да се одреди големината на аголот од познатата вредност на неговата тригонометриска функција. Таков проблем е повеќезначен - има безброј агли чии тригонометриски функции се еднакви на иста вредност. Затоа, врз основа на монотоничноста на тригонометриските функции, се воведуваат следните инверзни тригонометриски функции за уникатно одредување на аглите.
Арксин од бројот a (арцин , чиј синус е еднаков на a, т.е.
Лачен косинус на броја (аркоси а) е агол a од интервалот чиј косинус е еднаков на a, т.е.
Арктангенс на броја (арктг а) - таков агол a од интервалотчија тангента е еднаква на a, т.е.
tg a = a.
Аркотангента на броја (арцтг а) е агол a од интервалот (0; π), чиј котангенс е еднаков на a, т.е. ctg a = a.
Пример 2
Ајде да најдеме:
Земајќи ги предвид дефинициите за инверзни тригонометриски функции, добиваме:
Пример 3
Ајде да пресметаме 
Нека агол a = arcsin 3/5, тогаш по дефиниција sin a = 3/5 и . Затоа, треба да најдеме cos А. Користејќи го основниот тригонометриски идентитет, добиваме:
Се зема предвид дека cos a ≥ 0. Значи, 
Својства на функции | Функција |
|||
y = arcsin x | y = arccos x | y = арктан x | y = arcctg x |
|
Домен | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Опсег на вредности | y ∈ [-π/2; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2; π /2) | y ∈ (0;π) |
Паритет | Чудно | Ниту парни ниту непарни | Чудно | Ниту парни ниту непарни |
Функција нули (y = 0) | На x = 0 | На x = 1 | На x = 0 | y ≠ 0 |
Интервали на константност на знакот | y > 0 за x ∈ (0; 1], на< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 за x ∈ [-1; 1) | y > 0 за x ∈ (0; +∞), на< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 за x ∈ (-∞; +∞) |
Монотон | Зголемување | Опаѓачки | Зголемување | Опаѓачки |
Поврзаност со тригонометриската функција | sin y = x | cos y = x | tg y = x | ctg y = x |
Распоред | ||||
Да дадеме бројни потипични примери поврзани со дефинициите и основните својства на инверзните тригонометриски функции.
Пример 4
Да го најдеме доменот на дефиниција на функцијата
За да може да се дефинира функцијата y потребно е да се задоволи неравенството
што е еквивалентно на системот на неравенки
Решението на првата неравенка е интервалот x∈
(-∞; +∞), второ -Овој интервал и е решение за системот на неравенки, а со тоа и доменот на дефинирање на функцијата
Пример 5
Ајде да ја најдеме областа на промена на функцијата
Да го разгледаме однесувањето на функцијата z = 2x - x2 (види слика).
Јасно е дека z ∈ (-∞; 1]. Имајќи предвид дека аргументот z функцијата лак котангента варира во наведените граници, од податоците од табелата го добиваме тоа
Значи областа на промена
Пример 6
Да докажеме дека функцијата y =арктг x непарен. Нека
Тогаш tg a = -x или x = - tg a = tg (- a), и 
Затоа, - a = arctg x или a = - arctg X. Така, го гледаме тоат.е. y(x) е непарна функција.
Пример 7
Да се изразиме преку сите инверзни тригонометриски функции
Нека 
Очигледно е дека 
Потоа, бидејќи
Ајде да го претставиме аголот 
Бидејќи 
Тоа 
Така и затоа 
И 
Значи,
Пример 8
Ајде да изградиме график на функцијата y = cos(arcsin x).
Дозволете ни да означиме a = arcsin x, тогаш 
Да земеме предвид дека x = sin a и y = cos a, т.е. x 2 + y2 = 1 и ограничувања на x (x∈
[-1; 1]) и y (y ≥ 0). Тогаш графикот на функцијата y = cos(arcsin x) е полукруг.
Пример 9
Ајде да изградиме график на функцијата y = arccos (cos x ).
Од функцијата cos x се менува на интервалот [-1; 1], тогаш функцијата y е дефинирана на целата нумеричка оска и варира на сегментот. Да имаме на ум дека y = arccos (cosx) = x на сегментот; функцијата y е парна и периодична со период 2π. Имајќи предвид дека функцијата ги има овие својства cos x Сега е лесно да се создаде графикон.
Да забележиме неколку корисни еднаквости:
Пример 10
Ајде да ги најдеме најмалите и најголемите вредности на функцијатаДа означиме 
Потоа 
Ајде да ја добиеме функцијата 
Оваа функција има минимум во точката z = π/4, и тоа е еднакво на 
Најголемата вредност на функцијата се постигнува во точката z = -π/2, и тоа е еднакво 
Така, и
Пример 11
Да ја решиме равенката
Да го земеме предвид тоа 
Тогаш равенката изгледа вака:
или 
каде По дефиниција за арктангенс добиваме:
2. Решавање едноставни тригонометриски равенки
Слично на примерот 1, можете да добиете решенија за наједноставните тригонометриски равенки.
Равенката | Решение |
tgx = a | |
ctg x = a |
Пример 12
Да ја решиме равенката 
Бидејќи синусната функција е непарна, равенката ја пишуваме во форма
Решенија на оваа равенка:
од каде го наоѓаме? 
Пример 13
Да ја решиме равенката 
Користејќи ја дадената формула, ги запишуваме решенијата на равенката:
и ќе најдеме 
Забележете дека во посебни случаи (a = 0; ±1) при решавање на равенките sin x = a и cos x = но полесно и поудобно е да не се користи општи формули, и запишете решенија засновани на кругот на единицата:
за равенката sin x = 1 решение
за равенката sin x = 0 решенија x = π k;
за равенката sin x = -1 решение 
за равенката cos x = 1 раствор x = 2π k ;
за равенката cos x = 0 решенија
за равенката cos x = -1 решение 
Пример 14
Да ја решиме равенката 
Бидејќи во овој пример има посебен случај на равенката, ќе го напишеме решението користејќи ја соодветната формула:
од каде можеме да го најдеме? 
III. Контролни прашања (фронтална анкета)
1. Дефинирајте и наведете ги главните својства на инверзните тригонометриски функции.
2. Дајте графикони на инверзни тригонометриски функции.
3. Решавање едноставни тригонометриски равенки.
IV. Задача за лекција
§ 15, бр. 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;
§ 16, бр. 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);
§ 17, бр. 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).
V. Домашна задача
§ 15, бр. 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (g); 16 (б); 18 (в, г); 19 (g); 22;
§ 16, бр. 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);
§ 17, бр. 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).
VI. Креативни задачи
1. Најдете го доменот на функцијата:
Одговори:
2. Најдете го опсегот на функцијата:
Одговори:
3. Нацртајте график на функцијата:
VII. Сумирање на лекциите
Инверзни тригонометриски функции- тоа се арксин, аркозин, арктангенс и аркотангенс.
Прво да дадеме неколку дефиниции.
АрксинИли, можеме да кажеме дека ова е агол што припаѓа на отсечка чиј синус е еднаков на бројот a.
лак косинусбројот а се нарекува број таков што
Арктангенсбројот а се нарекува број таков што
Аркотангентабројот а се нарекува број таков што
Ајде да разговараме подетално за овие четири нови функции за нас - инверзни тригонометриски.
Запомнете, ние веќе се запознавме.
На пример, аритметика Квадратен коренод број a е ненегативен број чиј квадрат е еднаков на a.
Логаритмот на бројот b до основата a е број c таков што
При што
Ние разбираме зошто математичарите мораа да „измислат“ нови функции. На пример, решенијата на една равенка се и не би можеле да ги запишеме без специјалниот аритметички симбол на квадратен корен.
Концептот на логаритам се покажа како неопходен за запишување решенија, на пример, на оваа равенка: Решението на оваа равенка е ирационален број Ова е експонент на моќта на која мора да се подигне 2 за да се добие 7.
Истото е и со тригонометриските равенки. На пример, сакаме да ја решиме равенката
Јасно е дека неговите решенија одговараат на точките на тригонометрискиот круг чија ордината е еднаква на И јасно е дека тоа не е табеларната вредност на синусот. Како да запишете решенија?
Овде не можеме без нова функција, означувајќи го аголот чиј синус е еднаков на даден број a. Да, сите веќе погодија. Ова е арксин.
Аголот што припаѓа на отсечката чиј синус е еднаков е лаксин од една четвртина. И ова значи дека низата решенија на нашата равенка што одговараат на вистинската точка на тригонометрискиот круг е
И втората серија решенија на нашата равенка е
Дознајте повеќе за решавање на тригонометриски равенки -.
Останува да се открие - зошто дефиницијата за лак означува дека ова е агол што припаѓа на сегментот?
Факт е дека има бесконечно многу агли чиј синус е еднаков на, на пример, . Треба да избереме еден од нив. Го избираме оној што лежи на сегментот.
Погледнете го тригонометрискиот круг. Ќе видите дека на отсечката секој агол одговара на одредена синусна вредност, и тоа само една. И обратно, секоја вредност на синусот од сегментот одговара на една вредност на аголот на отсечката. Ова значи дека на сегмент можете да дефинирате функција земајќи вредности од до
Да ја повториме дефиницијата уште еднаш:
Лак на број е бројот , такви што
Ознака: Областа за дефиниција на лак е сегмент. Опсегот на вредности е сегмент.
Можете да се сетите на фразата „арксините живеат десно“. Само не заборавајте дека не е само десно, туку и на сегментот.
Подготвени сме да ја графираме функцијата
Како и обично, ги исцртуваме вредностите x на хоризонталната оска и вредностите y на вертикалната оска.
Затоа што, според тоа, x се наоѓа во опсег од -1 до 1.
Тоа значи дека доменот на дефиниција на функцијата y = arcsin x е отсечката
Рековме дека y припаѓа на отсечката. Ова значи дека опсегот на вредности на функцијата y = arcsin x е сегментот.
Забележете дека графикот на функцијата y=arcsinx целосно се вклопува во областа ограничена со линиите и
Како и секогаш кога цртаме график на непозната функција, да почнеме со табела.
По дефиниција, лакот на нула е број од отсечката чиј синус е еднаков на нула. Која е оваа бројка? - Јасно е дека ова е нула.
Слично на тоа, лакот на еден е број од отсечката чиј синус е еднаков на еден. Очигледно ова
Продолжуваме: - ова е број од отсечката чиј синус е еднаков на . Да тоа
| 0 | |||||
| 0 |
Изградба на график на функција
Својства на функции
1. Опсег на дефиниција
2. Опсег на вредности
3., односно оваа функција е непарна. Неговиот график е симетричен во однос на потеклото.
4. Функцијата монотоно се зголемува. Неговата минимална вредност, еднаква на - , се постигнува во , а нејзината најголема вредност, еднаква на , во
5. Што покажуваат графиконите на функции и ? Зарем не мислите дека тие се „направени според истата шема“ - исто како десната гранка на функцијата и графикот на функцијата, или како графиците на експоненцијалните и логаритамските функции?
Замислете дека отсекувавме мал фрагмент од до до од обичен синусен бран, а потоа го свртевме вертикално - и ќе добиеме арсинистички график.
Она што за функцијата на овој интервал се вредностите на аргументот, тогаш за лакот ќе има вредности на функцијата. Така треба да биде! На крајот на краиштата, синус и лак - реципрочни функции. Други примери на парови на меѓусебно инверзни функции се на и , како и експоненцијални и логаритамски функции.
Потсетиме дека графиконите на взаемно инверзните функции се симетрични во однос на правата линија
На сличен начин ја дефинираме функцијата.Потребна ни е само отсечка на која секоја вредност на аголот одговара на сопствената косинус вредност, а познавајќи го косинусот, можеме единствено да го најдеме аголот. Ќе ни одговара некој сегмент
Косинусот на лакот на некој број е бројот , така што
Лесно е да се запамети: „лак косинусите живеат одозгора“, и не само одозгора, туку и на сегментот
Ознака: Областа за дефиниција на лак косинус е сегмент. Опсегот на вредности е сегмент.
Очигледно, сегментот е избран затоа што на него секоја косинусова вредност се зема само еднаш. Со други зборови, секоја косинусова вредност, од -1 до 1, одговара на една вредност на аголот од интервалот
Лак косинус не е ниту парен ниту непарна функција. Но, можеме да ја користиме следната очигледна врска:
Ајде да ја нацртаме функцијата
Ни треба дел од функцијата каде што е монотона, односно ја зема секоја вредност точно еднаш.
Ајде да избереме сегмент. На овој сегмент функцијата монотоно се намалува, односно кореспонденцијата помеѓу множествата е еден-на-еден. Секоја x вредност има соодветна y вредност. На овој сегмент има функција инверзна на косинус, односно функцијата y = arccosx.
Ајде да ја пополниме табелата користејќи ја дефиницијата за лачен косинус.
Косинусот на лакот на бројот x што припаѓа на интервалот ќе биде број y што му припаѓа на интервалот така што
Ова значи, бидејќи;
Бидејќи;
Бидејќи,
Бидејќи,
| 0 | |||||
| 0 |
Еве го косинусниот графикон на лакот:
Својства на функции
1. Опсег на дефиниција
2. Опсег на вредности
Оваа функција е од општа форма - не е ниту парна, ниту непарна.
4. Функцијата строго се намалува. Функцијата y = arccosx ја зема својата најголема вредност, еднаква на , на , а нејзината најмала вредност, еднаква на нула, ја зема на
5. Функциите и се меѓусебно инверзни.
Следните се арктангентен и аркотангентен.
Арктангенсот на бројот е бројот , така што
Ознака: . Областа на дефиниција на арктангенсот е интервалот. Областа на вредности е интервалот.
Зошто краевите на интервалот - точки - се исклучени во дефиницијата за арктангенс? Се разбира, бидејќи тангентата на овие точки не е дефинирана. Не постои број а еднаков на тангентата на кој било од овие агли.
Ајде да изградиме график на арктангенсот. Според дефиницијата, арктангенсот на бројот x е број y што припаѓа на интервалот таков што
Како да се изгради графикон веќе е јасно. Бидејќи арктангенсот е функција реципрочна на тангента, постапуваме на следниов начин:
Избираме дел од графикот на функцијата каде кореспонденцијата помеѓу x и y е еден на еден. Ова е интервалот C. Во овој дел функцијата зема вредности од до
Потоа имајте инверзна функција, односно функцијата, доменот, дефиницијата ќе биде целата бројна линија, од до и опсегот на вредности ќе биде интервалот
Средства,
Средства,
Средства,
Но, што се случува за бесконечно големи вредности на x? Со други зборови, како оваа функција се однесува додека x се стреми кон плус бесконечност?
Можеме да си го поставиме прашањето: за кој број во интервалот тангентата вредност се стреми кон бесконечност? - Очигледно ова
Ова значи дека за бесконечно големи вредности на x, арктангентниот график се приближува до хоризонталната асимптота
Слично на тоа, ако x се приближи до минус бесконечност, арктангентниот график се приближува до хоризонталната асимптота
Сликата покажува график на функцијата
Својства на функции
1. Опсег на дефиниција
2. Опсег на вредности
3. Функцијата е непарна.
4. Функцијата строго се зголемува.
6. Функции и се меѓусебно инверзни - се разбира, кога функцијата се разгледува на интервалот
Слично на тоа, ја дефинираме функцијата на инверзна тангента и ја исцртуваме нејзината графика.
Аркотангента на бројот е бројот , така што
График на функции:
Својства на функции
1. Опсег на дефиниција
2. Опсег на вредности
3. Функцијата е од општа форма, односно ниту парна ниту непарна.
4. Функцијата строго се намалува.
5. Директни и - хоризонтални асимптоти на оваа функција.
6. Функциите и се меѓусебно инверзни ако се земат предвид на интервалот
Дефиниција и нотација
Арксин (y = arcsin x) е инверзна функција на синус (x = грешни -1 ≤ x ≤ 1и множеството вредности -π /2 ≤ y ≤ π/2.sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Арксинот понекогаш се означува на следниов начин:
.
График на функцијата на лак
График на функцијата y = arcsin x
Графикот на лак се добива од синусниот график ако се заменуваат оските на апсцисата и ординатите. За да се елиминира двосмисленоста, опсегот на вредности е ограничен на интервалот во кој функцијата е монотона. Оваа дефиниција се нарекува главна вредност на лакот.
Аркозин, аркос
Дефиниција и нотација
Лачен косинус (y = arccos x) е инверзна функција на косинус (x = cos y). Има опсег -1 ≤ x ≤ 1и многу значења 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Аркозинот понекогаш се означува на следниов начин:
.
График на косинус функција на лакот
График на функцијата y = arccos x
Косинусниот график на лакот се добива од косинусниот график ако се заменуваат оските на апсцисата и ординатите. За да се елиминира двосмисленоста, опсегот на вредности е ограничен на интервалот во кој функцијата е монотона. Оваа дефиниција се нарекува главна вредност на лакот косинус.
Паритет
Функцијата на лак е непарна:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Косинусот на лакот не е парен или непарен:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Својства - екстремни, зголемување, намалување
Функциите arcsine и arccosine се континуирани во нивниот домен на дефиниција (види доказ за континуитет). Главните својства на арксин и аркозин се претставени во табелата.
| y= arcsin x | y= arccos x | |
| Опсег и континуитет | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Опсег на вредности | ||
| Растечки, опаѓачки | монотоно се зголемува | монотоно се намалува |
| Високи | ||
| Минимумите | ||
| Нули, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Пресечни точки со ординатна оска, x = 0 | y= 0 | y = π/ 2 |
Табела на арксини и аркосини
Оваа табела ги прикажува вредностите на арксини и аркосини, во степени и радијани, за одредени вредности на аргументот.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| град | мило. | град | мило. | |
| - 1 | - 90 ° | - | 180° | π |
| - | - 60 ° | - | 150° | |
| - | - 45 ° | - | 135° | |
| - | - 30 ° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Формули
Исто така види: Изведување на формули за инверзни тригонометриски функцииФормули за збир и разлика
на или
на и
на и
на или
на и
на и
на
на
на
на
Изрази преку логаритми, сложени броеви
Исто така види: Изведување формулиИзрази преку хиперболични функции
Деривати
;
.
Видете Изведување на арксин и деривати на аркозин > > >
Деривати од повисок ред:
,
каде е полином на степен . Се одредува со формулите:
;
;
.
Видете Изведување на деривати од повисок ред на арксин и аркозин > > >
Интеграли
Ја правиме замената x = грев т. Интегрираме по делови, имајќи предвид дека -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
цена t ≥ 0:
.
Ајде да изразиме лак косинус преку лачен синус:
.
Проширување на серијата
Кога |x|< 1
се случува следното распаѓање:
;
.
Инверзни функции
Инверзните на арксин и аркозин се синус и косинус, соодветно.
Следниве формуливалидни низ целиот домен на дефиниција:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Следниве формули важат само за множеството вредности на арксин и аркозин:
arcsin(sin x) = xна
arccos(cos x) = xво .
Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендијаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.
Инверзна косинусна функција
Опсегот на вредности на функцијата y=cos x (види слика 2) е отсечка. На сегментот функцијата е континуирана и монотоно опаѓачка.
Ориз. 2
Тоа значи дека на отсечката е дефинирана функцијата инверзна на функцијата y=cos x. Оваа инверзна функција се нарекува лак косинус и се означува y=arccos x.
Дефиниција
Аркозин на бројот a, ако |a|1, е аголот чиј косинус припаѓа на отсечката; се означува со arccos a.
Така, arccos a е агол што ги задоволува следните два услови: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.
На пример, arccos, бидејќи cos и; arccos, бидејќи cos и.
Функцијата y = arccos x (слика 3) е дефинирана на сегмент; нејзиниот опсег на вредности е сегментот. На отсечката, функцијата y=arccos x е континуирана и монотоно се намалува од p на 0 (бидејќи y=cos x е континуирана и монотоно опаѓачка функција на отсечката); на краевите на отсечката ги достигнува своите екстремни вредности: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Забележете дека arccos 0 = . Графикот на функцијата y = arccos x (види слика 3) е симетричен на графикот на функцијата y = cos x во однос на правата y=x.
Ориз. 3
Да покажеме дека важи еднаквоста arccos(-x) = p-arccos x.
Всушност, по дефиниција 0? arccos x? Р. Множење со (-1) сите делови од второто двојна нееднаквост, добиваме - стр? arccos x? 0. Додавајќи го p на сите делови од последната неравенка, наоѓаме дека 0? p-arccos x? Р.
Така, вредностите на аглите arccos(-x) и p - arccos x припаѓаат на истиот сегмент. Бидејќи косинусот монотоно се намалува на отсечка, на него не може да има два различни агли кои имаат еднакви косинуси. Да ги најдеме косинусите на аглите arccos(-x) и p-arccos x. По дефиниција cos (arccos x) = - x, според формулите за редукција и по дефиниција имаме: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Значи, косинусите на аглите се еднакви, што значи дека самите агли се еднакви.
Инверзна синусна функција
Да ја разгледаме функцијата y=sin x (сл. 6), која на отсечката [-р/2;р/2] е растечка, континуирана и зема вредности од отсечката [-1; 1]. Тоа значи дека на сегментот [- p/2; p/2] се дефинира инверзната функција на функцијата y=sin x.
Ориз. 6
Оваа инверзна функција се нарекува лаксин и се означува y=arcsin x. Да ја воведеме дефиницијата за лак на број.
Лак на број е агол (или лак) чиј синус е еднаков на бројот a и кој припаѓа на отсечката [-р/2; стр/2]; се означува со arcsin a.
Така, arcsin a е агол кој ги задоволува следните услови: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? лак, а? r/2. На пример, бидејќи гревот и [- p/2; стр/2]; arcsin, бидејќи sin = u [- p/2; стр/2].
Функцијата y=arcsin x (сл. 7) е дефинирана на отсечката [- 1; 1], опсегот на неговите вредности е сегментот [-р/2;р/2]. На сегментот [- 1; 1] функцијата y=arcsin x е континуирана и монотоно се зголемува од -p/2 до p/2 (ова произлегува од фактот дека функцијата y=sin x на отсечката [-p/2; p/2] е континуирана и монотоно се зголемува). Таа ја зема најголемата вредност при x = 1: arcsin 1 = p/2, а најмалата на x = -1: arcsin (-1) = -p/2. На x = 0 функцијата е нула: arcsin 0 = 0.
Да покажеме дека функцијата y = arcsin x е непарна, т.е. arcsin(-x) = - arcsin x за кој било x [ - 1; 1].
Навистина, по дефиниција, ако |x| ?1, имаме: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Така, аглите arcsin(-x) и - arcsin x припаѓаат на истиот сегмент [ - стр/2; стр/2].
Ајде да ги најдеме синусите на овиеагли: sin (arcsin(-x)) = - x (по дефиниција); бидејќи функцијата y=sin x е непарна, тогаш sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Значи, синусите на аглите кои припаѓаат на истиот интервал [-р/2; p/2], се еднакви, што значи дека самите агли се еднакви, т.е. arcsin (-x)= - arcsin x. Тоа значи дека функцијата y=arcsin x е непарна. Графикот на функцијата y=arcsin x е симетричен во однос на потеклото.
Да покажеме дека arcsin (sin x) = x за било кој x [-р/2; стр/2].
Навистина, по дефиниција -p/2? arcsin (грев x) ? стр/2, а по услов -p/2? x? r/2. Тоа значи дека аглите x и arcsin (sin x) припаѓаат на истиот интервал на монотоност на функцијата y=sin x. Ако синусите на таквите агли се еднакви, тогаш самите агли се еднакви. Ајде да ги најдеме синусите на овие агли: за агол x имаме sin x, за агол arcsin (sin x) имаме sin (arcsin(sin x)) = sin x. Откривме дека синусите на аглите се еднакви, затоа, аглите се еднакви, т.е. arcsin(sin x) = x. .
Ориз. 7
Ориз. 8
Графикот на функцијата arcsin (sin|x|) се добива со вообичаените трансформации поврзани со модулот од графикот y=arcsin (sin x) (прикажано со испрекината линија на сл. 8). Посакуваниот график y=arcsin (sin |x-/4|) се добива од него со поместување за /4 надесно по x-оската (прикажано како полна линија на сл. 8)
Инверзна функција на тангента
Функцијата y=tg x на интервалот прифаќа сè нумерички вредности: E (tg x)=. Во текот на овој интервал тој е континуиран и монотоно се зголемува. Ова значи дека на интервалот е дефинирана функција инверзна на функцијата y = tan x. Оваа инверзна функција се нарекува арктангенс и се означува y = арктан x.
Арктангента на a е агол од интервал чија тангента е еднаква на a. Така, arctg a е агол што ги задоволува следните услови: tg (arctg a) = a и 0? арктг а ? Р.
Значи, секој број x секогаш одговара на една вредност на функцијата y = арктан x (сл. 9).
Очигледно е дека D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Функцијата y = арктан x се зголемува бидејќи функцијата y = tan x се зголемува на интервалот. Не е тешко да се докаже дека arctg(-x) = - arctgx, т.е. тој арктангенс е непарна функција.
Ориз. 9
Графикот на функцијата y = арктан x е симетричен на графикот на функцијата y = tan x во однос на правата линија y = x, графикот y = арктан x поминува низ потеклото на координатите (бидејќи арктан 0 = 0) и е симетричен во однос на потеклото (како графикот на непарна функција).
Може да се докаже дека арктан (tan x) = x ако x.
Котангентна инверзна функција
Функцијата y = ctg x на интервал ги зема сите нумерички вредности од интервалот. Опсегот на неговите вредности се совпаѓа со множеството на сите реални броеви. Во интервалот, функцијата y = cot x е континуирана и монотоно се зголемува. Тоа значи дека на овој интервал е дефинирана функција која е инверзна на функцијата y = cot x. Инверзната функција на котангенсот се нарекува аркотангента и се означува y = arcctg x.
Лачниот котангенс на a е агол кој припаѓа на интервал чиј котангенс е еднаков на a.
Така, аrcctg a е агол што ги задоволува следните услови: ctg (arcctg a)=a и 0? arcctg a ? Р.
Од дефиницијата на инверзната функција и дефиницијата за арктангенс произлегува дека D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Лачниот котангенс е опаѓачка функција бидејќи функцијата y = ctg x се намалува во интервалот.
Графикот на функцијата y = arcctg x не ја пресекува оската Ox, бидејќи y > 0 R. За x = 0 y = arcctg 0 =.
Графикот на функцијата y = arcctg x е прикажан на слика 11.
Ориз. 11
Забележете дека за сите реални вредности на x, идентитетот е вистинит: arcctg(-x) = p-arcctg x.
Се вчитува...