Обратна тангента. Инверзни тригонометриски функции. Основни односи на инверзни тригонометриски функции

Дефиниција и нотација

Арксин (y = arcsin x) е инверзна функција на синус (x = грешни -1 ≤ x ≤ 1и множеството вредности -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Арксинот понекогаш се означува на следниов начин:
.

График на функцијата на лак

График на функцијата y = arcsin x

Графикот на лак се добива од синусниот график ако се заменуваат оските на апсцисата и ординатите. За да се елиминира двосмисленоста, опсегот на вредности е ограничен на интервалот во кој функцијата е монотона. Оваа дефиниција се нарекува главна вредност на лакот.

Аркозин, аркос

Дефиниција и нотација

Лачен косинус (y = arccos x) е инверзна функција на косинус (x = cos y). Има опсег -1 ≤ x ≤ 1и многу значења 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Аркозинот понекогаш се означува на следниов начин:
.

График на косинус функција на лакот

График на функцијата y = arccos x

Косинусниот график на лакот се добива од косинусниот график ако се заменуваат оските на апсцисата и ординатите. За да се елиминира двосмисленоста, опсегот на вредности е ограничен на интервалот во кој функцијата е монотона. Оваа дефиниција се нарекува главна вредност на лакот косинус.

Паритет

Функцијата на лак е непарна:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Косинусот на лакот не е парен или непарен:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Својства - екстремни, зголемување, намалување

Функциите arcsine и arccosine се континуирани во нивниот домен на дефиниција (види доказ за континуитет). Главните својства на арксин и аркозин се претставени во табелата.

	y= arcsin x	y= arccos x
Опсег и континуитет	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Опсег на вредности
Растечки, опаѓачки	монотоно се зголемува	монотоно се намалува
Високи
Минимумите
Нули, y = 0	x = 0	x = 1
Пресечни точки со ординатна оска, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Табела на арксини и аркосини

Оваа табела ги прикажува вредностите на арксини и аркосини, во степени и радијани, за одредени вредности на аргументот.

x	arcsin x		arccos x
	град	мило.	град	мило.
- 1	- 90 °	-	180°	π
-	- 60 °	-	150°
-	- 45 °	-	135°
-	- 30 °	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формули

Исто така види: Изведување на формули за инверзни тригонометриски функции

Формули за збир и разлика

на или

на и

на и

на

на

Изрази преку логаритми, сложени броеви

Исто така види: Изведување формули

Изрази преку хиперболични функции

Деривати

;
.
Видете Изведување на арксин и деривати на аркозин > > >

Деривати од повисок ред:
,
каде е полином на степен . Се одредува со формулите:
;
;
.

Видете Изведување на деривати од повисок ред на арксин и аркозин > > >

Интеграли

Ја правиме замената x = грев т. Интегрираме по делови, имајќи предвид дека -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, цена t ≥ 0:
.

Ајде да изразиме лак косинус преку лачен синус:
.

Проширување на серијата

Кога |x|< 1 се случува следното распаѓање:
;
.

Инверзни функции

Инверзните на арксин и аркозин се синус и косинус, соодветно.

Следниве формуливалидни низ целиот домен на дефиниција:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Следниве формули важат само за множеството вредности на арксин и аркозин:
arcsin(sin x) = xна
arccos(cos x) = xво .

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендијаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.

Исто така види:

Инверзна косинусна функција

Опсегот на вредности на функцијата y=cos x (види слика 2) е отсечка. На сегментот функцијата е континуирана и монотоно опаѓачка.

Ориз. 2

Тоа значи дека на отсечката е дефинирана функцијата инверзна на функцијата y=cos x. Оваа инверзна функција се нарекува лак косинус и се означува y=arccos x.

Дефиниција

Аркозин на бројот a, ако |a|1, е аголот чиј косинус припаѓа на отсечката; се означува со arccos a.

Така, arccos a е агол што ги задоволува следните два услови: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.

На пример, arccos, бидејќи cos и; arccos, бидејќи cos и.

Функцијата y = arccos x (слика 3) е дефинирана на сегмент; нејзиниот опсег на вредности е сегментот. На отсечката, функцијата y=arccos x е континуирана и монотоно се намалува од p на 0 (бидејќи y=cos x е континуирана и монотоно опаѓачка функција на отсечката); на краевите на отсечката ги достигнува своите екстремни вредности: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Забележете дека arccos 0 = . Графикот на функцијата y = arccos x (види слика 3) е симетричен на графикот на функцијата y = cos x во однос на правата y=x.

Ориз. 3

Да покажеме дека важи еднаквоста arccos(-x) = p-arccos x.

Всушност, по дефиниција 0? arccos x? Р. Множење со (-1) сите делови од второто двојна нееднаквост, добиваме - стр? arccos x? 0. Додавајќи го p на сите делови од последната неравенка, наоѓаме дека 0? p-arccos x? Р.

Така, вредностите на аглите arccos(-x) и p - arccos x припаѓаат на истиот сегмент. Бидејќи косинусот монотоно се намалува на отсечка, на него не може да има два различни агли кои имаат еднакви косинуси. Да ги најдеме косинусите на аглите arccos(-x) и p-arccos x. По дефиниција cos (arccos x) = - x, според формулите за редукција и по дефиниција имаме: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Значи, косинусите на аглите се еднакви, што значи дека самите агли се еднакви.

Инверзна синусна функција

Да ја разгледаме функцијата y=sin x (сл. 6), која на отсечката [-р/2;р/2] е растечка, континуирана и зема вредности од отсечката [-1; 1]. Тоа значи дека на сегментот [- p/2; p/2] се дефинира инверзната функција на функцијата y=sin x.

Ориз. 6

Оваа инверзна функција се нарекува лаксин и се означува y=arcsin x. Да ја воведеме дефиницијата за лак на број.

Лак на број е агол (или лак) чиј синус е еднаков на бројот a и кој припаѓа на отсечката [-р/2; стр/2]; се означува со arcsin a.

Така, arcsin a е агол кој ги задоволува следните услови: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? лак, а? r/2. На пример, бидејќи гревот и [- p/2; стр/2]; arcsin, бидејќи sin = u [- p/2; стр/2].

Функцијата y=arcsin x (сл. 7) е дефинирана на отсечката [- 1; 1], опсегот на неговите вредности е сегментот [-р/2;р/2]. На сегментот [- 1; 1] функцијата y=arcsin x е континуирана и монотоно се зголемува од -p/2 до p/2 (ова произлегува од фактот дека функцијата y=sin x на отсечката [-p/2; p/2] е континуирана и монотоно се зголемува). Таа ја зема најголемата вредност при x = 1: arcsin 1 = p/2, а најмалата на x = -1: arcsin (-1) = -p/2. На x = 0 функцијата е нула: arcsin 0 = 0.

Да покажеме дека функцијата y = arcsin x е непарна, т.е. arcsin(-x) = - arcsin x за кој било x [ - 1; 1].

Навистина, по дефиниција, ако |x| ?1, имаме: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Така, аглите arcsin(-x) и - arcsin x припаѓаат на истиот сегмент [ - стр/2; стр/2].

Ајде да ги најдеме синусите на овиеагли: sin (arcsin(-x)) = - x (по дефиниција); бидејќи функцијата y=sin x е непарна, тогаш sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Значи, синусите на аглите кои припаѓаат на истиот интервал [-р/2; p/2], се еднакви, што значи дека самите агли се еднакви, т.е. arcsin (-x)= - arcsin x. Тоа значи дека функцијата y=arcsin x е непарна. Графикот на функцијата y=arcsin x е симетричен во однос на потеклото.

Да покажеме дека arcsin (sin x) = x за било кој x [-р/2; стр/2].

Навистина, по дефиниција -p/2? arcsin (грев x) ? стр/2, а по услов -p/2? x? r/2. Тоа значи дека аглите x и arcsin (sin x) припаѓаат на истиот интервал на монотоност на функцијата y=sin x. Ако синусите на таквите агли се еднакви, тогаш самите агли се еднакви. Ајде да ги најдеме синусите на овие агли: за агол x имаме sin x, за агол arcsin (sin x) имаме sin (arcsin(sin x)) = sin x. Откривме дека синусите на аглите се еднакви, затоа, аглите се еднакви, т.е. arcsin(sin x) = x. .

Ориз. 7

Ориз. 8

Графикот на функцијата arcsin (sin|x|) се добива со вообичаените трансформации поврзани со модулот од графикот y=arcsin (sin x) (прикажано со испрекината линија на сл. 8). Посакуваниот график y=arcsin (sin |x-/4|) се добива од него со поместување за /4 надесно по x-оската (прикажано како полна линија на сл. 8)

Инверзна функција на тангента

Функцијата y=tg x на интервалот прифаќа сè нумерички вредности: E (tg x)=. Во текот на овој интервал тој е континуиран и монотоно се зголемува. Ова значи дека на интервалот е дефинирана функција инверзна на функцијата y = tan x. Оваа инверзна функција се нарекува арктангенс и се означува y = арктан x.

Арктангента на a е агол од интервал чија тангента е еднаква на a. Така, arctg a е агол што ги задоволува следните услови: tg (arctg a) = a и 0? арктг а ? Р.

Значи, секој број x секогаш одговара на една вредност на функцијата y = арктан x (сл. 9).

Очигледно е дека D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Функцијата y = арктан x се зголемува бидејќи функцијата y = tan x се зголемува на интервалот. Не е тешко да се докаже дека arctg(-x) = - arctgx, т.е. тој арктангенс е непарна функција.

Ориз. 9

Графикот на функцијата y = арктан x е симетричен на графикот на функцијата y = tan x во однос на правата линија y = x, графикот y = арктан x поминува низ потеклото на координатите (бидејќи арктан 0 = 0) и е симетричен во однос на потеклото (како графикот на непарна функција).

Може да се докаже дека арктан (tan x) = x ако x.

Котангентна инверзна функција

Функцијата y = ctg x на интервал ги зема сите нумерички вредности од интервалот. Опсегот на неговите вредности се совпаѓа со множеството на сите реални броеви. Во интервалот, функцијата y = cot x е континуирана и монотоно се зголемува. Тоа значи дека на овој интервал е дефинирана функција која е инверзна на функцијата y = cot x. Инверзната функција на котангенсот се нарекува аркотангента и се означува y = arcctg x.

Лачниот котангенс на a е агол кој припаѓа на интервал чиј котангенс е еднаков на a.

Така, аrcctg a е агол што ги задоволува следните услови: ctg (arcctg a)=a и 0? arcctg a ? Р.

Од дефиницијата на инверзната функција и дефиницијата за арктангенс произлегува дека D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Лачниот котангенс е опаѓачка функција бидејќи функцијата y = ctg x се намалува во интервалот.

Графикот на функцијата y = arcctg x не ја пресекува оската Ox, бидејќи y > 0 R. За x = 0 y = arcctg 0 =.

Графикот на функцијата y = arcctg x е прикажан на слика 11.

Ориз. 11

Забележете дека за сите реални вредности на x, идентитетот е вистинит: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Инверзните тригонометриски функции се математички функции, кои се инверзи на тригонометриските функции.

Функција y=arcsin(x)

Лак на број α е број α од интервалот [-π/2;π/2] чиј синус е еднаков на α.
График на функција
Функцијата у= sin⁡(x) на интервалот [-π/2;π/2], е строго растечка и континуирана; затоа има инверзна функција, строго растечка и континуирана.
Инверзната функција за функцијата y= sin⁡(x), каде што x ∈[-π/2;π/2], се нарекува лак и се означува y=arcsin(x), каде што x∈[-1;1 ].
Значи, според дефиницијата на инверзната функција, доменот на дефиниција на лакот е сегментот [-1;1], а множеството вредности е сегментот [-π/2;π/2].
Забележете дека графикот на функцијата y=arcsin(x), каде што x ∈[-1;1], е симетричен со графикот на функцијата y= sin(⁡x), каде што x∈[-π/2;π /2], во однос на симетралата на координатните агли прва и трета четвртина.

Опсег на функции y=arcsin(x).

Пример бр. 1.

Најдете arcsin (1/2)?

Бидејќи опсегот на вредности на функцијата arcsin(x) припаѓа на интервалот [-π/2;π/2], тогаш е погодна само вредноста π/6. Затоа, arcsin(1/2) =π/ 6.
Одговор: π/6

Пример бр. 2.
Најдете arcsin(-(√3)/2)?

Бидејќи опсегот на вредности Arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], тогаш е погодна само вредноста -π/3. Затоа, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

Функција y=arccos(x)

Косинусот на лакот на бројот α е број α од интервалот чиј косинус е еднаков на α.

График на функција

Функцијата y= cos(⁡x) на отсечката е строго опаѓачка и континуирана; затоа има инверзна функција, строго опаѓачка и континуирана.
Се повикува инверзната функција за функцијата y= cos⁡x, каде што x ∈ лак косинуси се означува со y=arccos(x), каде што x ∈[-1;1].
Значи, според дефиницијата на инверзната функција, доменот на дефиниција на лачниот косинус е сегментот [-1;1], а множеството вредности е сегментот.
Забележете дека графикот на функцијата y=arccos(x), каде што x ∈[-1;1] е симетричен со графикот на функцијата y= cos(⁡x), каде што x ∈, во однос на симетралата на координатни агли на првата и третата четвртина.

Опсег на функции y=arccos(x).

Пример бр. 3.

Најдете arccos (1/2)?

Бидејќи опсегот на вредности е arccos(x) x∈, тогаш е погодна само вредноста π/3. Затоа, arccos(1/2) =π/3.
Пример бр. 4.
Најдете arccos(-(√2)/2)?

Бидејќи опсегот на вредности на функцијата arccos(x) припаѓа на интервалот, тогаш е погодна само вредноста 3π/4. Затоа, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Одговор: 3π/4

Функција y=arctg(x)

Арктангента на бројот α е број α од интервалот [-π/2;π/2] чија тангента е еднаква на α.

График на функција

Функцијата тангента е континуирана и строго се зголемува на интервалот (-π/2;π/2); затоа има инверзна функција која е континуирана и строго растечка.
Инверзната функција за функцијата y= tan⁡(x), каде што x∈(-π/2;π/2); се нарекува арктангенс и се означува со y=arctg(x), каде што x∈R.
Значи, според дефиницијата на инверзната функција, доменот на дефиниција на арктангенсот е интервалот (-∞;+∞), а множеството вредности е интервалот
(-π/2;π/2).
Забележете дека графикот на функцијата y=arctg(x), каде што x∈R, е симетричен со графикот на функцијата y= tan⁡x, каде што x ∈ (-π/2;π/2), во однос на симетрала на координатните агли на првата и третата четвртина.

Опсегот на функцијата y=arctg(x).

Пример бр. 5?

Најдете арктан((√3)/3).

Бидејќи опсегот на вредности arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), тогаш е погодна само вредноста π/6. Затоа, arctg((√3)/3) =π/6.
Пример бр. 6.
Најдете arctg(-1)?

Бидејќи опсегот на вредности arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), тогаш е погодна само вредноста -π/4. Затоа, arctg(-1) = - π/4.

Функција y=arcctg(x)

Лачниот котангенс на бројот α е број α од интервалот (0;π) чиј котангенс е еднаков на α.

График на функција

На интервалот (0;π), функцијата на котангента строго се намалува; покрај тоа, тој е континуиран во секоја точка од овој интервал; затоа, на интервалот (0;π) оваа функција има инверзна функција, која е строго опаѓачка и континуирана.
Инверзната функција за функцијата y=ctg(x), каде што x ∈(0;π), се нарекува лактангента и се означува y=arcctg(x), каде што x∈R.
Значи, според дефиницијата на инверзната функција, доменот на дефиниција на лачниот котангенс ќе биде R, и со сетвредности – интервал (0;π). Графикот на функцијата y=arcctg(x), каде што x∈R е симетричен со графикот на функцијата y=ctg(x) x∈(0;π),релативна до симетралата на координатните агли на првата и третата четвртина.

Опсег на функции y=arcctg(x).

Пример бр. 7.
Најдете arcctg((√3)/3)?

Бидејќи опсегот на вредности arcctg(x) x ∈(0;π), тогаш е погодна само вредноста π/3. Затоа arccos((√3)/3) =π/3.

Пример бр. 8.
Најдете arcctg(-(√3)/3)?

Бидејќи опсегот на вредности е arcctg(x) x∈(0;π), тогаш е погодна само вредноста 2π/3. Затоа, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Уредници: Агеева Љубов Александровна, Гаврилина Ана Викторовна

Инверзни тригонометриски функции(кружни функции, лак функции) - математички функции кои се инверзни на тригонометриските функции.

Тие обично вклучуваат 6 функции:

лаксин(ознака: arcsin x; arcsin x- ова е аголот гревшто е еднакво на x),
аркозин(ознака: arccos x; arccos xе аголот чиј косинус е еднаков на xи така натаму),
арктангенс(ознака: арктан xили арктан x),
лактангенс(ознака: arcctg xили лак хили arccotan x),
лак секант(ознака: arcsec x),
аркосекант(ознака: arccosec xили arcsc x).

лаксин (y = arcsin x) - инверзна функција до грев (x = грев y . Со други зборови, го враќа аголот според неговата вредност грев.

лак косинус (y = arccos x) - инверзна функција до cos (x = cos y cos.

Арктангенс (y = арктан x) - инверзна функција до tg (x = тен y), кој има домен и збир на вредности . Со други зборови, го враќа аголот според неговата вредност tg.

Аркотангента (y = arcctg x) - инверзна функција до ctg (x = cotg y), кој има домен на дефиниција и збир на вредности. Со други зборови, го враќа аголот според неговата вредност ctg.

arcsec- лак секанта, го враќа аголот според вредноста на неговата секанта.

аркосек- arccosecant, враќа агол врз основа на вредноста на неговата косеканта.

Кога инверзната тригонометриска функција не е дефинирана во одредена точка, тогаш нејзината вредност нема да се појави во конечната табела. Функции arcsecИ аркосекне се определени на отсечката (-1,1), но лаксинИ лаковисе одредуваат само на интервалот [-1,1].

Името на инверзната тригонометриска функција се формира од името на соодветната тригонометриска функција со додавање на префиксот „лак-“ (од лат. лак нас- лак). Ова се должи на фактот дека геометриски, вредноста на инверзната тригонометриска функција е поврзана со должината на лакот на единечниот круг (или аголот што го поттегнува овој лак), што одговара на еден или друг сегмент.

Понекогаш во странската литература, како и во научните/инженерските калкулатори, користат ознаки како грев-1, cos−1за арксин, аркозин и слично, ова се смета за не целосно точно, бидејќи веројатно ќе има забуна со подигање на функција на моќ −1 (« −1 » (минус првата моќност) ја дефинира функцијата x = f -1 (y), инверзна на функцијата y = f(x)).

Основни односи на инверзни тригонометриски функции.

Тука е важно да се обрне внимание на интервалите за кои важат формулите.

Формули кои ги поврзуваат инверзните тригонометриски функции.

Да означиме која било од инверзните вредности тригонометриски функциипреку Arcsin x, Arccos x, Арктан x, Arccot xи чувајте ја ознаката: arcsin x, аркос х, арктан x, лак хза нивните главни вредности, тогаш врската меѓу нив се изразува со таквите односи.

ДО инверзни тригонометриски функции Следниве 6 функции вклучуваат: лаксин , аркозин , арктангенс , лактангенс , лак секантИ аркосекант .

Бидејќи оригиналните тригонометриски функции се периодични, тогаш инверзните функции, општо земено, се полисемантични . За да се обезбеди кореспонденција еден-на-еден помеѓу две променливи, областите на дефиниција на оригиналните тригонометриски функции се ограничени со разгледување само на нив главните гранки . На пример, функцијата \(y = \sin x\) се смета само во интервалот \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \десно]\). На овој интервал, функцијата на инверзен лак е уникатно дефинирана.

Функција на арксин
Лакот на бројот \(a\) (означен со \(\arcsin a\)) е вредноста на аголот \(x\) во интервалот \(\left[ ( - \pi /2,\pi / 2) \десно]\), за што \(\sin x = a\). Инверзна функција\(y = \arcsin x\) е дефинирано на \(x \in \лево[ ( -1,1) \десно]\), неговиот опсег на вредности е еднаков на \(y \in \лево[ ( - \pi /2, \pi /2) \десно]\).

Косинусна функција на лак
Аркозин на бројот \(a\) (означен \(\arccos a\)) е вредноста на аголот \(x\) во интервалот \(\лево[ (0,\pi) \десно]\) , при што \(\cos x = a\). Инверзната функција \(y = \arccos x\) е дефинирана на \(x \in \лево[ ( -1,1) \десно]\), нејзиниот опсег на вредности припаѓа на сегментот \(y \in \лево[ (0,\ pi)\десно]\).

Арктангентна функција
Арктангенс на бројот а(означено со \(\arctan a\)) е вредноста на аголот \(x\) во отворениот интервал \(\left((-\pi/2, \pi/2) \десно)\), на кој \(\tan x = a\). Инверзната функција \(y = \arctan x\) е дефинирана за сите \(x \in \mathbb(R)\), опсегот на арктангенсот е еднаков на \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\десно)\).

Функција на лак тангента
Аркотангента на бројот \(a\) (означен со \(\text(arccot) a\)) е вредноста на аголот \(x\) во отворениот интервал \(\left[ (0,\ pi) \десно]\), при што \(\cot x = a\). Инверзната функција \(y = \text(arccot) x\) е дефинирана за сите \(x \in \mathbb(R)\), нејзиниот опсег на вредности е во интервалот \(y \in \ лево[ (0,\pi) \десно]\).

Функција на лак секант
Лакот на бројот \(a\) (означен со \(\text(arcsec ) a\)) е вредноста на аголот \(x\) на кој \(\sec x = a\). Инверзната функција \(y = \text(arcsec) x\) е дефинирана на \(x \in \left(( - \infty, - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty) \десно )\ ), неговиот опсег на вредности припаѓа на множеството \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi) \десно] \).

Arccosecant функција
Аркосекантот на бројот \(a\) (означен \(\text(arccsc) a\) или \(\text(arccosec) a\)) е вредноста на аголот \(x\) на кој \(\ csc x = a\ ). Инверзната функција \(y = \text(arccsc) x\) е дефинирана на \(x \in \left(( - \infty, - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty) \десно )\ ), опсегот на неговите вредности припаѓа на множеството \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \десно ]\).

Главните вредности на арксинските и аркозинските функции (во степени)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

Главните вредности на арктангентните и аркотангентните функции (во степени)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\текст (арко) x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)