Операции со деривати. Што е извод Дефиниција и значење на дериватна функција. Вообичаени ознаки за изводот на функцијата во точка

Поим на дериват

Нека функцијата ѓ(x) се дефинира на одреден интервал X.Да ја дадеме вредноста на аргументот во точката x 0 X произволно зголемување Δ xтака што поентата x 0 + Δ xисто така припаѓал на X.Потоа соодветните зголемување на функцијата f(x)ќе биде Δ на = ѓ(x 0 + Δ x) - ѓ(x 0).

Дефиниција 1. Извод на функцијата f(x)во точката x 0се нарекува граница на односот на зголемувањето на функцијата во овој момент до зголемувањето на аргументот на Δ x 0 (ако оваа граница постои).

За да означиме извод на функција, ги користиме симболите y" (x 0) или ѓ"(x 0):

Ако во одреден момент x 0границата (4.1) е бесконечна:

тогаш тие велат дека во точка x 0функција ѓ(x) Тоа има бесконечен дериват.

Доколку функцијата ѓ(x) има извод во секоја точка од множеството X,потоа дериватот f"(x)е исто така функција на аргументот X,дефинирана на X.

Геометриско значење на дериватот

За да се разјасни геометриското значење на изводот, треба да ја одредиме тангентата на графикот на функцијата во дадена точка.

Дефиниција 2. Тангентана графикот на функцијата y = f(x) во точка Мнаречена гранична положба на секантата МН,кога е поентата Нсе стреми кон точка Мдолж кривата ѓ(x).

Нека поентата Мна кривата ѓ(x) одговара на вредноста на аргументот x 0, и точка N-вредност на аргументот x 0 + Δ x(Сл. 4.1). Од дефиницијата на тангента произлегува дека за неговото постоење во точка x 0потребно е да постои граница, која е еднаква на аголот на наклонетост на тангентата на оската О. Од триаголник М.Н.А.следи тоа

Ако изводот на функцијата ѓ(x) во точка x 0постои, тогаш според (4.1), добиваме

Од ова произлегува јасен заклучок дека дериват f"(x 0) еднаков на аголниот коефициент (тангента на аголот на наклон кон позитивната насока на оската Ox) на тангентата на графикот на функцијата y = ѓ(x) В точка М(x 0, ѓ(x 0)). Во овој случај, аголот на тангентата се одредува од формулата (4.2):

Физичко значење на дериватот

Да претпоставиме дека функцијата l = f(т) го опишува законот за движење на материјална точка во права линија како зависност од патека лод времето т.Тогаш разликата Δ l = f(t +Δ t) - f (t) -е патеката помината за време на временскиот интервал Δ т, и односот Δ л/Δ т- просечна брзина со текот на времето Δ т. Тогаш се одредува границата моментална брзина на точкаво одреден момент од времето ткако дериват на патеката во однос на времето.

Во одредена смисла, изводот на функцијата на = f(x)може да се толкува и како стапка на промена на функцијата: колку е поголема вредноста ѓ"(x), колку е поголем аголот на наклонетост на тангентата на кривата, толку е поостриот графикон ѓ(x) и функцијата расте побрзо.

Десни и леви деривати

По аналогија со концептите за еднострани граници на функција, се воведуваат концептите на десни и леви изводи на функција во точка.

Дефиниција 3. Десно лево)извод на функција на = f(x)во точката x 0се нарекува десна (лева) граница на релацијата (4.1) за Δ x 0 ако постои оваа граница.

Следната симболика се користи за означување на еднострани деривати:

Доколку функцијата ѓ(x) има во точката x 0дериват, тогаш има леви и десни деривати во оваа точка, кои се совпаѓаат.

Да дадеме пример за функција која има еднострани изводи во точка кои не се еднакви една со друга. Ова ѓ(x) = |x|. Навистина, во точката x = 0ние имаме f' +(0) = 1, ѓ" -(0) = -1 (сл. 4.2) и f' +(0) ≠ f' -(0), т.е. функцијата нема извод на X = 0.

Операцијата за наоѓање на изводот на функцијата се нарекува диференцијација;се вика функција која има извод во точка диференцијабилна.

Врската помеѓу диференцијабилноста и континуитетот на функцијата во точка се утврдува со следнава теорема.

ТЕОРЕМА 1 . Ако функцијата е диференцијабилна во точка x 0, тогаш таа е континуирана во оваа точка.

Обратно не е точно: функција ѓ(x), континуирано во точка, може да нема извод во таа точка. Таков пример е функцијата на = |x| тој е континуиран во точка x= 0, но нема извод во овој момент.

Така, барањето за диференцијабилност на функцијата е посилно од барањето за континуитет, бидејќи втората автоматски следи од првата.

Равенка на тангента на графикот на функција во дадена точка

Како што е наведено во Дел 3.9, равенката на права што минува низ точка М(x 0, y 0) со наклон кизгледа како

Нека е дадена функцијата на = ѓ(x). Потоа од неговиот дериват во одреден момент М(x 0, y 0) е наклонот на тангентата на графикот на оваа функција во точката М,тогаш следува дека равенката на тангентата на графикот на функцијата ѓ(x) во овој момент ја има формата

Изводот на функцијата $y = f(x)$ во дадена точка $x_0$ е граница на односот на зголемувањето на функцијата до соодветниот прираст на нејзиниот аргумент, под услов вториот да има тенденција на нула:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Диференцијацијата е операција на пронаоѓање на изводот.

Табела на деривати на некои елементарни функции

Основни правила на диференцијација

1. Дериватот на збирот (разликата) е еднаков на збирот (разликата) на изводите

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Најдете го изводот на функцијата $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Дериватот на збирот (разликата) е еднаков на збирот (разликата) на изводите.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Дериват на производот

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Најдете го изводот $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Извод на количник

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Најдете го изводот $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Изводот на сложена функција е еднаков на производот на изводот на надворешната функција и изводот на внатрешната функција

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Физичко значење на дериватот

Ако материјалната точка се движи праволиниски и нејзината координата се менува во зависност од времето според законот $x(t)$, тогаш моменталната брзина на оваа точка е еднаква на изводот на функцијата.

Точката се движи по координатната линија според законот $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, каде што $x(t)$ е координатата во времето $t$. Во кој момент брзината на точката ќе биде еднаква на $12 $?

1. Брзината е извод на $x(t)$, па да го најдеме изводот на дадената функција

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. За да откриеме во кој момент од времето $t$ брзината била еднаква на $12$, ја креираме и решаваме равенката:

Геометриско значење на дериватот

Потсетиме дека равенката на права линија која не е паралелна со координатните оски може да се запише во форма $y = kx + b$, каде што $k$ е наклонот на правата линија. Коефициентот $k$ е еднаков на тангентата на аголот на наклон помеѓу правата линија и позитивната насока на оската $Ox$.

Изводот на функцијата $f(x)$ во точката $х_0$ е еднаков на наклонот $k$ на тангентата на графикот во оваа точка:

Затоа, можеме да создадеме општа еднаквост:

$f"(x_0) = k = тана$

На сликата, тангентата на функцијата $f(x)$ се зголемува, па затоа коефициентот $k > 0$. Бидејќи $k > 0$, тогаш $f"(x_0) = tanα > 0$. Аголот $α$ помеѓу тангентата и позитивната насока $Ox$ е остар.

На сликата, тангентата на функцијата $f(x)$ се намалува, според тоа, коефициентот $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На сликата, тангентата на функцијата $f(x)$ е паралелна со оската $Ox$, затоа, коефициентот $k = 0$, значи, $f"(x_0) = tan α = 0$. точка $x_0$ во која повикана е $f "(x_0) = 0$ екстремен.

Сликата покажува график на функцијата $y=f(x)$ и тангента на овој график нацртан во точката со апсцисата $x_0$. Најдете ја вредноста на изводот на функцијата $f(x)$ во точката $x_0$.

Тангентата на графикот се зголемува, затоа, $f"(x_0) = tan α > 0$

За да најдеме $f"(x_0)$, ја наоѓаме тангентата на аголот на наклон помеѓу тангентата и позитивната насока на оската $Ox$. За да го направиме ова, ја градиме тангентата на триаголникот $ABC$.

Да ја најдеме тангентата на аголот $BAC$. (Тангента на остар агол во правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со соседната страна.)

$tg BAC = (BC) / (AC) = (3) / (12) = (1) / (4) = 0,25 $

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Одговор: 0,25 долари

Изводот исто така се користи за пронаоѓање на интервалите на функциите за зголемување и намалување:

Ако $f"(x) > 0$ на интервал, тогаш функцијата $f(x)$ се зголемува на овој интервал.

Ако $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На сликата е прикажан графикот на функцијата $y = f(x)$. Најди ги меѓу точките $х_1,х_2,х_3...х_7$ оние точки во кои изводот на функцијата е негативен.

Како одговор, запишете го бројот на овие точки.

План:

1. Извод на функција

2. Диференцијална функција

3. Примена на диференцијално сметање за проучување на функции

Извод на функција од една променлива

Нека функцијата е дефинирана на одреден интервал. На аргументот му даваме инкремент: , тогаш функцијата ќе добие инкремент. Ајде да ја најдеме границата на овој сооднос на Ако оваа граница постои, тогаш таа се нарекува извод на функцијата. Изводот на функцијата има неколку ознаки: . Понекогаш при означувањето на изводот се користи индекс, кој покажува за која променлива се зема изводот.

Дефиниција.Изводот на функцијата во точка е граница на односот на зголемувањето на функцијата до зголемувањето на аргументот кога зголемувањето на аргументот се стреми кон нула (ако оваа граница постои):

Дефиниција.Се повикува функцијата која има извод во секоја точка од интервалот диференцијабилнаво овој интервал.

Дефиниција.Операцијата на пронаоѓање на изводот на функцијата се нарекува диференцијација.

Вредноста на изводот на функцијата во точка се означува со еден од симболите: .

Пример.Најдете го изводот на функцијата во произволна точка.

Решение. На вредноста и даваме зголемување. Да го најдеме инкрементот на функцијата во точката: . Ајде да создадеме врска. Да преминеме на границата: . Така,.

Механичко значење на дериватот. Бидејќи или, т.е. брзината на праволиниско движење на материјална точка во еден момент од времето е изводот на патеката во однос на времето. Ова е механичко значење на дериватот .

Ако функцијата опишува каков било физички процес, тогаш дериватот е стапката на појава на овој процес. Ова е физичко значење на дериватот .

Геометриско значење на дериватот. Размислете за график на континуирана крива која има невертикална тангента во точка. Да го најдеме неговиот аголен коефициент, каде е тангентаниот агол со оската. За да го направите ова, нацртајте секна линија низ точката и графиконот (слика 1).

Да го означиме со - аголот помеѓу секантата и оската. Сликата покажува дека аголниот коефициент на секантата е еднаков на

Кога, поради континуитетот на функцијата, зголемувањето исто така се стреми кон нула; затоа, точката неодредено се приближува до точката долж кривата, а секантата, вртејќи се околу точката, станува тангента. Агол, т.е. . Затоа, , затоа наклонот на тангентата е еднаков на .

Наклон на тангента на крива

Оваа еднаквост ја препишуваме во форма: , т.е. изводот во точка е еднаков на наклонот на тангентата на графикот на функцијата во точката чија апсциса е еднаква на . Ова е геометриско значење на дериватот .

Ако точката на тангенција има координати (слика 2), аголниот коефициент на тангентата е еднаков на: .

Равенката на права што минува низ дадена точка во дадена насока има форма: .

Потоа тангентна равенкасе пишува во форма: .

Дефиниција.Се нарекува права линија нормална на тангентата на допирната точка нормално на кривата.

Аголниот коефициент на нормалата е еднаков на: (бидејќи нормалата е нормална на тангентата).

Нормалната равенка има форма:, Ако .

Заменувајќи ги пронајдените вредности ги добиваме тангентните равенки, т.е. .

Нормална равенка: или .

Ако функцијата има конечен извод во точка, тогаш таа е диференцијабилна во таа точка. Ако функцијата е диференцијабилна во секоја точка од интервалот, тогаш таа е диференцијабилна во тој интервал.

Теорема 6.1Ако функцијата е диференцијабилна во одреден момент, тогаш таа е континуирана таму.

Конверзната теорема не е точна. Непрекината функција може да нема извод.

Пример.Функцијата е континуирана во текот на интервалот (слика 3).

Решение.

Дериватот на оваа функција е еднаков на:

Во одреден момент - функцијата не е диференцијабилна.

Коментар. Во пракса, најчесто треба да најдете деривати на сложени функции. Затоа, во табелата со формули за диференцијација, аргументот се заменува со среден аргумент.

Табела со деривати

Постојана

Функција за напојување:

2) особено;

Експоненцијална функција:

3) особено;

Логаритамска функција:

4) особено;

Тригонометриски функции:

Инверзни тригонометриски функции , , , :

Да се ​​разликува функција значи да се најде нејзиниот извод, односно да се пресмета границата: . Сепак, одредувањето на границата во повеќето случаи е незгодна задача.

Ако ги знаете изводите на основните елементарни функции и ги знаете правилата за диференцирање на резултатите од аритметичките операции на овие функции, тогаш лесно можете да ги најдете изводите на која било елементарна функција, според правилата за определување изводи, добро познати од училишниот курс. .

Нека функциите и се две диференцијабилни функции во одреден интервал.

Теорема 6.2Изводот на збирот (разликата) на две функции е еднаков на збирот (разликата) на изводите на овие функции: .

Теоремата важи за секој конечен број членови.

Пример.Најдете го изводот на функцијата.

Решение.

Теорема 6.3Изводот на производот на две функции е еднаков на производот од изводот на првиот фактор и вториот плус производот на првиот фактор и изводот на вториот: .

Пример.Најдете го изводот на функцијата .

Решение.

Теорема 6.4Изводот на количникот на две функции, ако е еднаков на дропка, чиј броител е разликата помеѓу производите на именителот на дропката и изводот на броителот и броителот на дропката и изводот на именителот, а именителот е квадратот на поранешниот именител: .

Пример.Најдете го изводот на функцијата .

Решение. .

За да го пронајдете изводот на сложена функција, треба да го помножите изводот на оваа функција во однос на средниот аргумент со изводот на средниот аргумент во однос на независниот аргумент

Ова правило останува во сила ако има неколку посредни аргументи. Значи, ако , , , тогаш

Нека и, тогаш - сложена функција со среден аргумент и независен аргумент.

Теорема 6.5Ако функцијата има извод во точка, а функцијата има извод во соодветната точка, тогаш сложената функција има извод во точка, кој се наоѓа со формулата. , Најдете го изводот на функцијата дадена со равенката: .

Решение. Функцијата е имплицитно одредена. Да ја диференцираме равенката во однос на , имајќи во предвид дека: . Потоа наоѓаме: .

Нека функцијата е дефинирана во точка и дел од нејзиното соседство. Да му дадеме на аргументот инкремент така што точката паѓа во доменот на дефинирање на функцијата. Функцијата потоа ќе се зголеми.

ДЕФИНИЦИЈА. Извод на функција во точка се нарекува граница на односот на зголемувањето на функцијата во овој момент до зголемувањето на аргументот, во (ако оваа граница постои и е конечна), т.е.

Означи: ,,,.

Извод на функција во точка десно (лево) повикани

(ако оваа граница постои и е конечна).

Означено со: , – извод во точката десно,

, е изводот на точката лево.

Очигледно, следнава теорема е вистинита.

ТЕОРЕМА. Функцијата има извод во точка ако и само ако во овој момент изводите на функцијата десно и лево постојат и се еднакви еден на друг. Згора на тоа

Следната теорема воспоставува врска помеѓу постоењето на извод на функција во точка и континуитетот на функцијата во таа точка.

ТЕОРЕМА (неопходен услов за постоење на извод на функција во точка). Ако функцијата има извод во точка, тогаш функцијата во таа точка е континуирана.

ДОКАЗ

Нека постои. Потоа

,

каде е бесконечно мало во.

Коментар

извод на функција и означуваат

диференцијација на функцијата .

ГЕОМЕТРИСКО И ФИЗИЧКО ЗНАЧЕЊЕ

1) Физичко значење на дериватот. Ако функцијата и нејзиниот аргумент се физички големини, тогаш изводот е стапката на промена на променливата во однос на променливата во точка. На пример, ако е растојанието поминато од точка во времето, тогаш неговиот извод е брзината во моментот на времето. Ако е количината на електрична енергија што тече низ пресекот на спроводникот во еден момент, тогаш е стапката на промена на количината на електрична енергија во еден момент, т.е. моменталната сила во одреден момент во времето.

2) Геометриско значење на дериватот.

Нека биде некоја крива, биде точка на кривата.

Секоја права линија што пресекува најмалку две точки се нарекува секант .

Тангента на крива во точка наречена гранична положба на секанта ако точката има тенденција да се движи по крива.

Од дефиницијата е очигледно дека ако во точка постои тангента на крива, тогаш таа е единствената

Размислете за крива (т.е. график на функција). Нека има невертикална тангента во точка. Нејзината равенка: (равенка на права линија што минува низ точка и има аголен коефициент).

По дефиниција на наклонот

каде е аголот на наклон на правата линија кон оската.

Нека е аголот на наклон на секантата кон оската, каде. Бидејќи е тангента, тогаш кога

Оттука,

Така, го добивме тоа – аголен коефициент на тангента на графикот на функцијата во точката(геометриско значење на изводот на функција во точка). Затоа, равенката на тангентата на кривата во точка може да се запише во форма

Коментар . Правата линија што минува низ точка нормална на тангентата нацртана на кривата во точката се вика нормално на кривата во точката . Бидејќи аголните коефициенти на нормалните прави се поврзани со релацијата, равенката на нормалата на кривата во точка ќе има форма

, Ако .

Ако , тогаш тангентата на кривата во точката ќе ја има формата

и нормално.

ТАНГЕНТА И НОРМАЛНИ РАВЕНКИ

Тангентна равенка

Нека функцијата е дадена со равенката y=ѓ(x), треба да ја напишете равенката тангентаво точката x 0. Од дефиницијата за извод:

y/(x)=limΔ x→0Δ yΔ x

Δ y=ѓ(x+Δ x)−ѓ(x).

Равенката тангентадо графиконот на функции: y=kx+б (к,б=конст). Од геометриското значење на дериватот: ѓ/(x 0)=тгα= кБидејќи x 0 и ѓ(x 0)∈ права линија, па равенката тангентасе пишува како: y−ѓ(x 0)=ѓ/(x 0)(x−x 0), или

y=ѓ/(x 0)· x+ѓ(x 0)−ѓ/(x 0)· x 0.

Нормална равенка

Нормално- е нормално на тангента(види слика). Врз основа на ова:

тгβ= тг(2π−α)= ctgα=1 тгα=1 ѓ/(x 0)

Бидејќи аголот на наклон на нормалата е агол β1, тогаш имаме:

тгβ1= тг(π−β)=− тгβ=−1 ѓ/(x).

Точка ( x 0,ѓ(x 0))∈ нормално, равенката ја има формата:

y−ѓ(x 0)=−1ѓ/(x 0)(x−x 0).

ДОКАЗ

Нека постои. Потоа

,

каде е бесконечно мало во.

Но, тоа значи дека е континуирано во точка (видете ја геометриската дефиниција за континуитет). ∎

Коментар . Континуитетот на функција во точка не е доволен услов за постоење на извод на оваа функција во точка. На пример, функцијата е континуирана, но нема извод во точка. Навистина,

и затоа не постои.

Очигледно, кореспонденцијата е функција дефинирана на одреден сет. Ја викаат извод на функција и означуваат

Операцијата на пронаоѓање на функцијата се нарекува нејзина изводна функција диференцијација на функцијата .

Извод на збир и разлика

Нека се дадени функциите f(x) и g(x) чии изводи ни се познати. На пример, можете да ги земете елементарните функции дискутирани погоре. Потоа можете да го најдете изводот на збирот и разликата на овие функции:

(f + g)' = f ' + g'

(f − g)’ = f ’ − g’

Значи, изводот на збирот (разликата) на две функции е еднаков на збирот (разликата) на изводите. Може да има повеќе термини. На пример, (f + g + h)' = f' + g' + h'.

Строго кажано, не постои концепт на „одземање“ во алгебрата. Постои концепт на „негативен елемент“. Според тоа, разликата f − g може да се препише како збир f + (−1) g, а потоа останува само една формула - изводот на збирот.

Во координатната рамнина xOyразгледајте го графикот на функцијата y=f(x). Ајде да ја поправиме поентата M(x 0 ; f (x 0)). Ајде да додадеме апсциса x 0зголемување Δх. Ќе добиеме нова апсциса x 0 +Δx. Ова е апсцисата на поентата Н, а ординатата ќе биде еднаква f (x 0 +Δx). Промената на апсцисата повлекувала промена на ординатата. Оваа промена се нарекува функционален инкремент и се означува Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0).Преку точки МИ Најде да нацртаме секант МН, кој формира агол φ со насока на позитивна оска О. Да ја одредиме тангентата на аголот φ од правоаголен триаголник MPN.

Нека Δхсе стреми кон нула. Потоа секантот МНќе има тенденција да заземе тангентна положба МТ, и аголот φ ќе стане агол α . Значи, тангента на аголот α е граничната вредност на тангентата на аголот φ :

Границата на односот на зголемувањето на функцијата до зголемувањето на аргументот, кога вториот се стреми кон нула, се нарекува извод на функцијата во дадена точка:

Геометриско значење на дериватот лежи во фактот дека нумеричкиот извод на функцијата во дадена точка е еднаков на тангентата на аголот формиран од тангентата повлечена низ оваа точка до дадената крива и позитивната насока на оската О:

Примери.

1. Најдете го зголемувањето на аргументот и зголемувањето на функцијата y= x 2, ако почетната вредност на аргументот беше еднаква на 4 и ново - 4,01 .

Решение.

Нова вредност на аргументот x=x 0 +Δx. Да ги замениме податоците: 4.01=4+Δх, па оттука и зголемувањето на аргументот Δх=4,01-4=0,01. Зголемувањето на функцијата, по дефиниција, е еднакво на разликата помеѓу новите и претходните вредности на функцијата, т.е. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Бидејќи имаме функција y=x2, Тоа Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Одговор: зголемување на аргументот Δх=0,01; зголемување на функцијата Δу=0,0801.

Зголемувањето на функцијата може да се најде поинаку: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Најдете го аголот на наклонетост на тангентата на графикот на функцијата y=f(x)во точката x 0, Ако f "(x 0) = 1.

Решение.

Вредноста на дериватот во точката на тангенција x 0и е вредноста на тангентата на аголот на тангентата (геометриското значење на дериватот). Ние имаме: f "(x 0) = тана = 1 → α = 45°,бидејќи tg45°=1.

Одговор: тангентата на графикот на оваа функција формира агол со позитивна насока на оската Ox еднаква на 45°.

3. Изведете ја формулата за изводот на функцијата y=x n.

Диференцијацијае дејството на наоѓање на изводот на функцијата.

Кога наоѓате деривати, користете формули што се изведени врз основа на дефиницијата за дериват, на ист начин како што ја изведовме формулата за степенот на изводот: (x n)" = nx n-1.

Ова се формулите.

Табела на дериватиЌе биде полесно да се запамети со изговарање вербални формулации:

1. Дериватот на константна величина е нула.

2. X проста е еднаква на еден.

3. Константниот фактор може да се извади од знакот на дериватот.

4. Изводот на степен е еднаков на производот на експонентот на овој степен за степен со иста основа, но експонентот е еден помалку.

5. Дериватот на коренот е еднаков на еден поделен со два еднакви корени.

6. Изводот на еден поделен со x е еднаков на минус еден поделен со x квадрат.

7. Дериватот на синусот е еднаков на косинус.

8. Дериватот на косинус е еднаков на минус синус.

9. Дериватот на тангентата е еднаков на еден поделен со квадратот на косинус.

10. Дериватот на котангенсот е еднаков на минус еден поделен со квадратот на синусот.

Ние предаваме правила за диференцијација.

1. Изводот на алгебарскиот збир е еднаков на алгебарскиот збир на изводите на поимите.

2. Дериватот на производот е еднаков на производот од дериватот на првиот фактор и вториот плус производот на првиот фактор и дериватот на вториот.

3. Изводот на „y“ поделен со „ve“ е еднаков на дропка во која броителот е „y прост помножен со „ve“ минус „y помножен со ve прост“, а именителот е „ve квадрат“.

4. Посебен случај на формулата 3.