Дефиниција на проекција на координатни оски. Проекција на сила на оската. Проекција на векторскиот збир на сили на оската. Класификација на векторски проекции

А. Проекцијата на точката А на оската PQ (сл. 4) е основата a на нормалната отфрлена од дадена точка на дадена оска. Оската на која проектираме се нарекува оска на проекција.

б. Нека се дадени две оски и вектор A B, прикажани на сл. 5.

Вектор чиј почеток е проекција на почетокот и чиј крај е проекција на крајот на овој вектор се нарекува проекција на векторот A B на оската PQ.

Понекогаш индикаторот PQ не е напишан на дното, тоа се прави во случаи кога, освен PQ, нема друг оперативен систем на кој може да се дизајнира.

Со. Теорема I. Големините на векторите што лежат на една оска се поврзани како големини на нивните проекции на која било оска.

Нека се дадени оските и векторите наведени на сл.6 Од сличноста на триаголниците јасно се гледа дека должините на векторите се поврзани како должини на нивните проекции, т.е.

Бидејќи векторите на цртежот се насочени во различни насоки, нивните големини имаат различни знаци, затоа,

Очигледно, големините на проекциите исто така имаат различни знаци:

заменувајќи го (2) во (3) во (1), добиваме

Свртувајќи ги знаците, добиваме

Ако векторите се подеднакво насочени, тогаш нивните проекции исто така ќе бидат во иста насока; нема да има знаци за минус во формулите (2) и (3). Заменувајќи ги (2) и (3) со еднаквост (1), веднаш добиваме еднаквост (4). Значи, теоремата е докажана за сите случаи.

г. Теорема II. Големината на проекцијата на векторот на која било оска е еднаква на големината на векторот помножена со косинус на аголот помеѓу оската на проекциите и оската на векторот . 7. Да конструираме вектор со иста насока како и неговата оска и да го нацртаме, на пример, од точката на пресек на оските. Нека неговата должина е еднаква на една. Потоа нејзината големина

Проекцијавектор на оска е вектор кој се добива со множење на скаларната проекција на векторот на оваа оска и единечниот вектор на оваа оска. На пример, ако x - скаларна проекцијавектор Адо оската X, потоа x јас- неговата векторска проекција на оваа оска.

Да означиме векторска проекција исто како и самиот вектор, но со индекс на оската на која е проектиран векторот. Значи, векторската проекција на векторот Ана X оската што ја означуваме А x( мастибуква што означува вектор и знак на името на оската) или (незадебелена буква што означува вектор, но со стрелка на врвот (!) и знак на името на оската).

Скаларна проекцијавектор по оска се нарекува број, чија апсолутна вредност е еднаква на должината на сегментот на оската (на избраната скала) затворен помеѓу проекциите на почетната точка и крајната точка на векторот. Обично наместо изразот скаларна проекцијатие едноставно велат - проекција. Проекцијата се означува со истата буква како и проектираниот вектор (во нормално, незадебелено пишување), со помал индекс (по правило) на името на оската на која се проектира овој вектор. На пример, ако вектор е проектиран на оската X А,тогаш неговата проекција се означува со x. При проектирање на истиот вектор на друга оска, ако оската е Y, нејзината проекција ќе биде означена како y.

Да се ​​пресмета проекцијата векторна оската (на пример, оската X), потребно е да се одземе координатата на почетната точка од координатата на нејзината крајна точка, т.е.
a x = x k − x n.
Проекцијата на вектор на оска е бројка.Покрај тоа, проекцијата може да биде позитивна ако вредноста x k е поголема од вредноста x n,

негативен ако вредноста x k е помала од вредноста x n

И еднаква на нула, ако x k е еднакво на x n.

Проекцијата на векторот на оската може да се најде и со познавање на модулот на векторот и аголот што го прави со оваа оска.

Од сликата е јасно дека a x = a Cos α

односно, проекцијата на векторот на оската е еднаква на производот од модулот на векторот и косинусот на аголот помеѓу насоката на оската и векторска насока. Ако аголот е акутен, тогаш
Cos α > 0 и a x > 0, и, ако е тап, тогаш косинусот на тапиот агол е негативен, а проекцијата на векторот на оската исто така ќе биде негативна.

Аглите измерени од оската спротивно од стрелките на часовникот се сметаат за позитивни, а аглите измерени долж оската се негативни. Меѓутоа, бидејќи косинус е парна функција, односно Cos α = Cos (− α), кога се пресметуваат проекциите, аглите може да се бројат и во насока на стрелките на часовникот и спротивно од стрелките на часовникот.

За да се најде проекцијата на векторот на оската, модулот на овој вектор мора да се помножи со косинус на аголот помеѓу насоката на оската и насоката на векторот.

Векторски координати— коефициенти на единствената можна линеарна комбинација на основни вектори во избраниот координатен систем, еднакви на дадениот вектор.

каде се координатите на векторот.

Производ со точкивектори

Скаларен производ на вектори[- во конечни-димензионални векторски просторсе дефинира како збир од производите на идентични компоненти што се множат вектори.

На пример, S.p.v. а = (а 1 , ..., a n) И б = (б 1 , ..., b n):

(а , б ) = а 1 б 1 + а 2 б 2 + ... + a n b n

Одговор:

Карактеристики на проекција:

Својства на векторска проекција

Имотот 1.

Проекцијата на збирот на два вектори на оската е еднаква на збирот на проекциите на вектори на истата оска:

Ова својство ви овозможува да ја замените проекцијата на збир на вектори со збирот на нивните проекции и обратно.

Имотот 2.Ако векторот се множи со бројот λ, тогаш неговата проекција на оската исто така се множи со овој број:

Имотот 3.

Проекцијата на векторот на оската l е еднаква на производот на векторскиот модул и косинусот на аголот помеѓу векторот и оската:

Оска оска. Разложување на вектор во вектори на координатни единици. Векторски координати. Координатни својства

Одговор:

Единечни вектори на оските.

Правоаголен координатен систем (од која било димензија) се опишува и со множество единечни вектори порамнети со координатните оски. Бројот на единечни вектори е еднаков на димензијата на координатниот систем и сите се нормални еден на друг.

Во тродимензионалниот случај, единечните вектори обично се означуваат

И симболите на стрелките и исто така може да се користат.

Покрај тоа, во случај на координатен систем со десница, следните формулисо векторски производи на вектори:

Разложување на вектор во вектори на координатни единици.

Единечниот вектор на координатната оска се означува со , оските со , оските со (сл. 1)

За секој вектор што лежи во рамнината, се случува следното проширување:

Ако векторот лоциран во просторот, тогаш проширувањето во единечни вектори на координатните оски има форма:

Векторски координати:

За да ги пресметате координатите на векторот, знаејќи ги координатите (x1; y1) на неговиот почеток A и координатите (x2; y2) на неговиот крај B, треба да ги одземете координатите на почетокот од координатите на крајот: ( x2 – x1 y2 – y1).

Својства на координатите.

Размислете за координатна права со почеток во точката O и единичен вектор i. Тогаш за кој било вектор a на оваа права: a = оска.

Бројната оска се нарекува координата на векторот a на координатната оска.

Имотот 1.Кога се собираат вектори на оска, се додаваат нивните координати.

Имотот 2.Кога векторот се множи со број, неговата координата се множи со тој број.

Точка производ на вектори. Својства.

Одговор:

Скаларниот производ на два вектори не-нула е бројот

еднаков на производот на овие вектори и косинус на аголот меѓу нив.

Својства:

1. Скаларниот производ има комутативно својство: ab=ba

Скаларен производ на вектори на координатни единици. Определување на скаларниот производ на вектори специфицирани со нивните координати.

Одговор:

Точка производ (×) на единечни вектори

Определување на скаларниот производ на вектори специфицирани со нивните координати.

Скаларниот производ на два вектори и даден со нивните координати може да се пресмета со помош на формулата

Вкрстен производ на два вектори. Својства на векторски производ.

Одговор:

Три некомпланарни вектори формираат десна тројка ако, од крајот на третиот, ротацијата од првиот до вториот вектор се прави спротивно од стрелките на часовникот. Ако е во насока на стрелките на часовникот, тогаш лево, ако не, тогаш во спротивна насока (. покажете како се покажа со „рачки“)

Вкрстен производ на вектор Адо вектор бнаречен вектор од кои:

1. Нормално на вектори АИ б

2. Има должина, нумерички еднаква на површинатапаралелограм формиран на аИ бвектори

3. Вектори, а , б, И вформираат десна тројка вектори

Својства:

1.

3.

4.

Векторски производ на вектори на координатни единици. Определување на векторскиот производ на вектори специфицирани со нивните координати.

Одговор:

Векторски производ на вектори на координатни единици.

Определување на векторскиот производ на вектори специфицирани со нивните координати.

Нека векторите a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2) се дадени со нивните координати во правоаголниот Декартов координатен систем O, i, j, k, а тројната i, j, k е деснак.

Да ги прошириме a и b во основни вектори:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Користејќи ги својствата на векторскиот производ, добиваме

[A; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

Според дефиницијата за векторски производ наоѓаме

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i.

= 0.

Земајќи ги предвид овие еднаквости, формулата (1) може да се запише на следниов начин:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Формулата (2) дава израз за векторскиот производ на два вектори специфицирани со нивните координати.

Резултирачката формула е незгодна Користејќи ја ознаката на детерминантите, можете да ја напишете во друга форма што е попогодна за меморирање.

Обично формулата (3) се пишува уште пократко: Прво, да се потсетиме што е тоа, координатна оскаИ проекција на точка на оска.

координати на точка на оскатаКоординатна оска

координати на точка на оската- Ова е права линија на која и се дава некаков правец. Можете да го замислите како вектор со бескрајно голем модул.

означено со некоја буква: X, Y, Z, s, t... Обично на оската (произволно) се избира точка која се нарекува почеток и по правило се означува со буквата O. Од оваа точка се мерат растојанија до други точки од интерес за нас.Проекција на точка на оска

- ова е основата на нормалната спуштена од оваа точка до оваа оска (сл. 8). Тоа е, проекцијата на точка на оската е точка.Точка координата на оската

- ова е број чија апсолутна вредност е еднаква на должината на сегментот на оската (на избраната скала) склучен помеѓу потеклото на оската и проекцијата на точката на оваа оска. Овој број се зема со знак плус ако проекцијата на точката се наоѓа во правец на оската од нејзиното потекло и со знак минус ако е во спротивна насока.Скаларна проекција на вектор на оска број, чија апсолутна вредност е еднаква на должината на сегментот на оската (на избраната скала) затворен помеѓу проекциите на почетната точка и крајната точка на векторот. важно! Обично наместо изразот скаларна проекција на вектор на оскатие едноставно велат - проекција на векторот на оската, односно зборот скаларенспуштена. Векторска проекцијасе означува со истата буква како проектираниот вектор (во нормално, незадебелено пишување), со помал (по правило) индекс на името на оската на која е проектиран овој вектор. На пример, ако вектор е проектиран на оската X А,тогаш неговата проекција се означува со x. При проектирање на истиот вектор на друга оска, да речеме, на оската Y, неговата проекција ќе биде означена со y (сл. 9).

Да се ​​пресмета проекција на векторот на оската(на пример, оската X), потребно е да се одземе координатата на почетната точка од координатата на нејзината крајна точка, т.е.

a x = x k − x n.

Треба да запомниме: скаларната проекција на вектор на оска (или, едноставно, проекцијата на вектор на оска) е број (не вектор)!Освен тоа, проекцијата може да биде позитивна ако вредноста x k е поголема од вредноста x n, негативна ако вредноста x k е помала од вредноста x n и еднаква на нула ако x k е еднаква на x n (сл. 10).

Проекцијата на векторот на оската може да се најде и со познавање на модулот на векторот и аголот што го прави со оваа оска.

Од Слика 11 е јасно дека a x = a Cos α

Односно, проекцијата на векторот на оската е еднаква на производот на модулот на векторот и косинусот на аголот помеѓу насоката на оската и насоката на векторот. Ако аголот е остар, тогаш Cos α > 0 и a x > 0, а ако е тап, тогаш косинусот на тапиот агол е негативен, а проекцијата на векторот на оската исто така ќе биде негативна.

Аглите измерени од оската спротивно од стрелките на часовникот се сметаат за позитивни, а аглите измерени долж оската се негативни. Меѓутоа, бидејќи косинус е парна функција, односно Cos α = Cos (− α), кога се пресметуваат проекциите, аглите може да се бројат и во насока на стрелките на часовникот и спротивно од стрелките на часовникот.

При решавање на проблеми често ќе се користат следните својства на проекциите: ако

А = б + в +…+ г, потоа a x = b x + c x +…+ d x (слично на другите оски),

а= m б, тогаш a x = mb x (слично за другите оски).

Формулата a x = a Cos α ќе биде многу честосе јавуваат при решавање на проблеми, па дефинитивно треба да го знаете тоа. Треба да го знаете правилото за одредување на проекцијата напамет!

Запомнете!

За да се најде проекцијата на векторот на оската, модулот на овој вектор мора да се помножи со косинус на аголот помеѓу насоката на оската и насоката на векторот.

Уште еднаш - напамет!

Векторскиот опис на движењето е корисен, бидејќи во еден цртеж секогаш можете да прикажете многу различни вектори и да добиете визуелна „слика“ на движење пред вашите очи. Сепак, користењето линијар и транспортер секој пат за извршување на операции со вектори е многу трудоинтензивно. Затоа овие дејствија се сведуваат на дејствија со позитивни и негативни броеви– проекции на вектори.

Проекција на векторот на оскатанаречена скаларна големина еднаква на производот на модулот на проектираниот вектор и косинус на аголот помеѓу насоките на векторот и избраната координатна оска.

На левиот цртеж е прикажан вектор на поместување, чиј модул е ​​50 km, а неговата насока се формира тап агол 150° со насоката на оската X Користејќи ја дефиницијата, ја наоѓаме проекцијата на поместувањето на оската X:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Бидејќи аголот помеѓу оските е 90°, лесно е да се пресмета дека насоката на движење формира остар агол од 60° со насоката на оската Y. Користејќи ја дефиницијата, ја наоѓаме проекцијата на поместување на оската Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Како што можете да видите, ако насоката на векторот формира остар агол со насоката на оската, проекцијата е позитивна; ако насоката на векторот формира тап агол со насоката на оската, проекцијата е негативна.

Десниот цртеж покажува вектор на брзина, чиј модул е ​​5 m/s, а насоката формира агол од 30° со насоката на оската X.

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Многу е полесно да се најдат проекции на вектори на оските ако проектираните вектори се паралелни или нормални на избраните оски. Ве молиме имајте предвид дека за случајот на паралелизам, можни се две опции: векторот е ко-насочен кон оската и векторот е спротивен на оската, а за случајот на перпендикуларност има само една опција.

Проекцијата на вектор нормално на оската е секогаш нула (види sy и ay на левиот цртеж и sx и υx на десниот цртеж). Навистина, за вектор нормален на оската, аголот помеѓу него и оската е 90°, така што косинусот е нула, што значи дека проекцијата е нула.

Проекцијата на еден вектор конасочен со оската е позитивна и еднаква на нејзината апсолутна вредност, на пример, sx = +s (види лев цртеж). Навистина, за вектор во истонасочна насока со оската, аголот помеѓу него и оската е нула, а неговиот косинус е „+1“, односно проекцијата е еднаква на должината на векторот: sx = x – xo = + с .

Проекцијата на векторот спротивна на оската е негативна и еднаква на нејзината апсолутна вредност, земена со знак минус, на пример, sy = –s (види го десниот цртеж). Навистина, за вектор спротивен на оската, аголот помеѓу него и оската е 180°, а неговиот косинус е „–1“, односно проекцијата е еднаква на должината на векторот земен со негативен знак: sy = y – yo = –s .

Десните страни на двата цртежи покажуваат други случаи каде што векторите се паралелни со едната од координатните оски и нормални на другата. Ве повикуваме сами да се уверите дека и во овие случаи се почитуваат правилата формулирани во претходните ставови.