Деривати од повисок ред

Во оваа лекција ќе научиме како да наоѓаме деривати од повисоки редови, како и да пишуваме општа формула„n-ти“ дериват. Дополнително, формулата на Лајбниц за таков дериват и, по популарна побарувачка, деривати од повисок ред на имплицитна функција. Ви предлагам веднаш да направите мини-тест:

Еве ја функцијата: и еве го неговиот прв дериват:

Во случај да имате какви било потешкотии/забуни околу овој пример, ве молиме започнете со двете основни написи од мојот курс: Како да се најде дериватот?И Извод на сложена функција. Откако ќе ги совладате елементарните деривати, ви препорачувам да ја прочитате лекцијата Наједноставните проблеми со деривати, на кој се занимававме, особено втор дериват.

Не е тешко ни да се погоди дека вториот дериват е изводот на првиот извод:

Во принцип, вториот дериват веќе се смета за извод од повисок ред.

Слично: третиот извод е изводот на вториот извод:

Четвртиот извод е изводот на третиот дериват:

Петти дериват: , и очигледно е дека сите деривати од повисоки редови исто така ќе бидат еднакви на нула:

Покрај римското нумерирање, во пракса често се користат следниве ознаки:
, изводот од редот „n-ти“ се означува со . Во овој случај, надписот мора да биде затворен во загради– да разликува извод од „y“ по степен.

Понекогаш гледате вакво нешто: – трети, четврти, петти, ..., „nth“ деривати, соодветно.

Напред без страв и сомнеж:

Пример 1

Функцијата е дадена. Најдете .

Решение: што можеш да кажеш... - продолжи за четвртиот извод :)

Веќе не е вообичаено да се ставаат четири удари, па затоа се префрламе на нумерички индекси:

Одговори:

Добро, сега да размислиме за ова прашање: што да правиме ако условот бара да се најде не четвртиот, туку на пример, 20-тиот извод? Ако за дериватот 3-4-5 (максимум 6-7-ми)редослед на големина, решението се формализира доста брзо, тогаш нема да „дојдеме“ до деривати од повисоки редови многу брзо. Всушност, не запишувајте 20 реда! Во таква ситуација, треба да анализирате неколку пронајдени деривати, да ја видите шемата и да креирате формула за „n-тиот“ дериват. Значи, во примерот бр. дериватот, значи:

Каде е произволен природен број.

И навистина, ако , тогаш се добива точно првиот дериват: , ако – тогаш 2-ри: итн. Така, дваесеттиот дериват се одредува веднаш: – и без „километарски листови“!

Самостојно загревање:

Пример 2

Најдете функции. Напишете го изводот на редот

Решението и одговорот се на крајот од лекцијата.

По охрабрувачко загревање, ќе разгледаме повеќе сложени примери, во кој ќе го разработиме горенаведениот алгоритам за решение. За оние кои успеаја да се запознаат со лекцијата Ограничување на низата, ќе биде малку полесно:

Пример 3

Најдете за функција.

Решение: за да се разјасни ситуацијата, да најдеме неколку деривати:

Не брзаме да ги помножиме добиените бројки! ;-)


Можеби тоа е доволно. ...Дури и малку претерав.

Следниот чекор е најдобро да се создаде формулата за изводот „n-ти“. (ако состојбата не го бара ова, тогаш можете да се справите со нацрт). За да го направите ова, ги гледаме добиените резултати и ги идентификуваме шемите со кои се добива секој следен дериват.

Прво, тие се менуваат. Порамнувањето обезбедува „светло што трепка“, и бидејќи првиот извод е позитивен, следниот фактор ќе влезе во општата формула: . Еквивалентна опција исто така би функционирала, но лично, како оптимист, го сакам знакот плус =)

Второ, во броителот „навива“ факторски, и „заостанува“ зад изводниот број за една единица:

И трето, моќта на „два“ во броителот се зголемува, што е еднакво на бројот на изводот. Истото може да се каже и за степенот на именителот. Конечно:

За да провериме, да замениме неколку вредности „en“, на пример, и:

Одлично, сега правењето грешка е едноставно грев:

Одговори:

Поедноставна функција за независна одлука:

Пример 4

Најдете функции.

И уште поинтересен проблем:

Пример 5

Најдете функции.

Да ја повториме постапката уште еднаш:

1) Прво наоѓаме неколку изводи. За да се фатат обрасци, обично се доволни три или четири.

2) Тогаш силно препорачувам правење (барем во нацрт-форма)Дериватот „n-ти“ - гарантирано ќе ве заштити од грешки. Но, можете без него, т.е. ментално проценете и веднаш запишете го, на пример, дваесеттиот или осмиот извод. Згора на тоа, некои луѓе генерално се способни да ги решат спорните проблеми усно. Сепак, треба да запомните дека „брзите“ методи се преполни и подобро е да бидете безбедни.

3) Во последната фаза, го проверуваме дериватот „n-ти“ - земаме пар вредности „nth“ (по можност соседни) и вршиме замена. И уште посигурно е да се проверат сите претходно пронајдени деривати. Потоа го заменуваме во саканата вредност, на пример, или и внимателно го чешламе резултатот.

Брзо решение 4 и 5 примери на крајот од часот.

Во некои задачи, за да избегнете проблеми, треба да направите малку магија на функцијата:

Пример 6

Решение: Воопшто не сакам да ја разликувам предложената функција, бидејќи тоа ќе резултира со „лоша“ дропка, што во голема мера ќе го отежне наоѓањето последователни деривати.

Во овој поглед, препорачливо е да се извршат прелиминарни трансформации: ние користиме формула за квадратна разликаИ својство на логаритам :

Тоа е сосема друга работа:

И стари пријатели:

Мислам дека се се гледа. Ве молиме имајте предвид дека втората дропка алтернативен знак, но првата дропка не. Ние го конструираме дериватот на редот:

Контрола:

Па, за доброто на убавината, да го извадиме факторот од загради:

Одговори:

Интересна задачаза независно решение:

Пример 7

Запишете ја формулата за извод на редослед за функцијата

А сега за непоколебливата меѓусебна гаранција на која би и позавидела и италијанската мафија:

Пример 8

Функцијата е дадена. Најдете

Осумнаесеттиот извод во точката. Само.

Решение: прво, очигледно, треба да најдете. Оди:

Почнавме со синус и завршивме со синус. Јасно е дека со понатамошна диференцијација овој циклус ќе продолжи бесконечно и се поставува следното прашање: кој е најдобриот начин да се „стигне“ до осумнаесеттиот извод?

„Аматерски“ метод: брзо запишете ги броевите на следните деривати во колоната десно:

Така:

Но, ова функционира ако редоследот на изводот не е премногу голем. Ако треба да го пронајдете, да речеме, стотиот извод, тогаш треба да користите деливост со 4. Сто се дели со 4 без остаток, и лесно е да се види дека таквите броеви се наоѓаат во долната линија, затоа: .

Патем, 18-тиот дериват може да се одреди и од слични размислувања:
Втората линија содржи броеви кои се деливи со 4 со остаток од 2.

Друг, поакадемски метод се заснова на синусна периодичностИ формули за намалување. Ја користиме готовата формула за „n-тиот“ дериват на синус , во кој саканиот број едноставно се заменува. На пример:
(формула за намалување ) ;
(формула за намалување )

Во нашиот случај:

(1) Бидејќи синус е периодична функцијасо точка , тогаш аргументот може безболно да се „одврти“ 4 периоди (т.е. ).

Дериватот на редоследот на производот од две функции може да се најде со помош на формулата:

Особено:

Нема потреба да запомнувате ништо конкретно, бидејќи колку повеќе формули знаете, толку помалку разбирате. Многу е покорисно да се запознаете Бином на Њутн, бидејќи формулата на Лајбниц е многу, многу слична со неа. Па, оние среќниците што ќе добијат дериват од 7-ми или повисок ред (што е навистина малку веројатно), ќе биде принуден да го направи ова. Меѓутоа, кога ќе дојде редот комбинаторика– тогаш сè уште треба =)

Да го најдеме третиот извод на функцијата. Ја користиме формулата на Лајбниц:

ВО во овој случај: . Дериватите лесно се рецитираат усно:

Сега внимателно и ВНИМАТЕЛНО извршете ја замената и поедноставете го резултатот:

Одговори:

Слична задача за независно решение:

Пример 11

Најдете карактеристики

Ако во претходниот пример решението „главно“ сè уште се натпреваруваше со формулата на Лајбниц, тогаш тука ќе биде навистина непријатно. И уште понепријатно - во случај на дериват од повисок ред:

Пример 12

Најдете го изводот од наведениот редослед

Решение: првата и значајна забелешка е дека веројатно не треба да одлучувате вака =) =)

Ајде да ги запишеме функциите и да ги најдеме нивните деривати до 5-ти ред вклучувајќи. Претпоставувам дека дериватите од десната колона станаа усни за вас:

Во левата колона, „живите“ деривати брзо „завршија“ и ова е многу добро - три члена во формулата на Лајбниц ќе се ресетираат на нула:

Дозволете ми повторно да се задржам на дилемата што се појави во написот за сложени деривати: Дали треба да го поедноставам резултатот? Во принцип, можете да го оставите вака - на наставникот ќе му биде уште полесно да провери. Но, тој може да бара одлуката да биде финализирана. Од друга страна, поедноставувањето на сопствена иницијатива е полн со алгебарски грешки. Сепак, имаме одговор добиен на „примитивен“ начин =) (видете ја врската на почетокот)и се надевам дека е точно:

Одлично, сè се собра.

Одговори:

Среќна задача за независно решение:

Пример 13

За функција:
а) најдете со директно диференцијација;
б) најдете користејќи ја формулата на Лајбниц;
в) пресметај .

Не, јас воопшто не сум садист - точката „а“ овде е прилично едноставна =)

Но, сериозно, „директното“ решение со последователна диференцијација има и „право на живот“ - во некои случаи неговата сложеност е споредлива со сложеноста на примената на формулата Лајбниц. Користете ако сметате дека е соодветно - ова е малку веројатно да биде причина за неуспех на задачата.

Кратко решение и одговор на крајот од часот.

За да го подигнете последниот пасус, треба да бидете во можност разликуваат имплицитни функции:

Деривати од повисок ред на функции наведени имплицитно

Многумина од нас имаат поминато долги часови, денови и недели од нашиот живот проучувајќи кругови, параболи, хипербола– а понекогаш дури и изгледаше како вистинска казна. Па ајде да се одмаздиме и правилно да ги разликуваме!

Да почнеме со „училишната“ парабола во нејзината канонска позиција:

Пример 14

Равенката е дадена. Најдете .

Решение: Првиот чекор е познат:

Фактот дека функцијата и нејзиниот дериват се изразени имплицитно не ја менува суштината на материјата; вториот извод е изводот на првиот извод:

Сепак, постојат правила на игра: обично се изразуваат деривати од 2-ри и повисоки редови само преку „X“ и „Y“. Затоа, го заменуваме : во добиениот втор извод:

Третиот дериват е изводот на вториот дериват:

Слично на тоа, да го замениме:

Одговори:

„Училиште“ хипербола во канонска позиција- За самостојна работа:

Пример 15

Равенката е дадена. Најдете .

Повторувам дека вториот извод и резултатот треба да се изразат само преку „x“/„y“!

Кратко решение и одговор на крајот од часот.

По детските бељи, да погледнеме германска порнографија, да погледнеме повеќе примери за возрасни, од кои ќе научиме уште едно важно решение:

Пример 16

Елипсасамиот себе.

Решение: ајде да го најдеме првиот извод:

Сега да застанеме и да ја анализираме следната точка: сега треба да ја разликуваме дропот, што воопшто не е пријатно. Во овој случај, тоа е, се разбира, едноставно, но во реалните проблеми таквите подароци се премалку. Дали постои начин да се избегне наоѓање на незгодниот дериват? Постои! Ја земаме равенката и ја користиме истата техника како при наоѓање на првиот дериват - „висиме“ потези на двете страни:

Вториот извод мора да се изрази само во однос на и , па сега (веднаш)Удобно е да се ослободите од 1-виот дериват. За да го направите ова, заменете го во добиената равенка:

За да избегнеме непотребни технички тешкотии, ајде да ги помножиме двата дела со:

И само во последната фаза ја формулираме фракцијата:

Сега ја гледаме оригиналната равенка и забележуваме дека добиениот резултат може да се поедностави:

Одговори:

Како да се најде вредноста на вториот извод во која било точка (што, се разбира, припаѓа на елипсата), на пример, во точката ? Многу лесно! Овој мотив веќе се сретнал во лекцијата за нормална равенка: треба да го замените вториот извод во изразот :

Се разбира, во сите три случаи може да се добие експлицитно одредени функциии разграничете ги, но потоа бидете ментално подготвени да работите со две функции кои содржат корени. Според мое мислење, попогодно е да се спроведе решението на „имплицитен начин“.

Последен пример што треба да го решите сами:

Пример 17

Најдете имплицитно одредена функција

Формулата на Лајбниц е дадена за n-ти пресметкиизвод на производ од две функции. Неговиот доказ е даден на два начина. Се разгледува пример за пресметување на изводот од n-ти ред.

содржина

Исто така види: Извод на производот од две функции

Формула Лајбниц

Користејќи ја формулата на Лајбниц, можете да го пресметате изводот од n-ти ред на производот од две функции. Изгледа вака:
(1) ,
Каде
- биномни коефициенти.

Биномните коефициенти се коефициенти на проширување на бином во моќности и:
.
Исто така, бројот е и бројот на комбинации од n преку k.

Доказ за формулата на Лајбниц

Да ја примениме формулата за изводот на производот од две функции:
(2) .
Дозволете ни да ја преработиме формулата (2) во следната форма:
.
Односно, сметаме дека едната функција зависи од променливата x, а другата од променливата y. На крајот од пресметката претпоставуваме . Тогаш претходната формула може да се напише на следниов начин:
(3) .
Бидејќи изводот е еднаков на збирот на членовите, а секој член е производ на две функции, тогаш за пресметување на изводи од повисоки редови, правилото (3) може доследно да се примени.

Тогаш за изводот од n-ти ред имаме:

.
Со оглед на тоа и , ја добиваме формулата на Лајбниц:
(1) .

Доказ со индукција

Дозволете ни да претставиме доказ за формулата на Лајбниц користејќи го методот на математичка индукција.

Да ја напишеме формулата на Лајбниц уште еднаш:
(4) .
За n = 1 имаме:
.
Ова е формулата за изводот на производот од две функции. Таа е фер.

Да претпоставиме дека формулата (4) е валидна за изводот од n-ти ред. Да докажеме дека важи за изводот n + 1 -ти ред.

Ајде да разликуваме (4):
;



.
Така најдовме:
(5) .

Да го замениме (5) и да земеме предвид дека:

.
Ова покажува дека формулата (4) ја има истата форма за дериватот n + 1 -ти ред.

Значи, формулата (4) важи за n = 1 . Од претпоставката дека важи за некој број n = m, следува дека важи за n = m + 1 .
Формулата на Лајбниц е докажана.

Пример

Пресметај го n-тиот извод на функцијата
.

Да ја примениме формулата на Лајбниц
(2) .
Во нашиот случај
;
.

Од табелата на деривати имаме:
.
Ги применуваме својствата на тригонометриските функции:
.
Потоа
.
Ова покажува дека диференцијацијата на синусната функција доведува до нејзино поместување за . Потоа
.

Наоѓање деривати на функцијата.
;
;
;
, .

Бидејќи за , тогаш во формулата на Лајбниц само првите три члена се ненула. Наоѓање биномни коефициенти.
;
.

Според формулата на Лајбниц имаме:

.

Исто така види:

Решавањето на применетите проблеми се сведува на пресметување на интегралот, но не е секогаш можно тоа точно да се направи. Понекогаш е неопходно да се знае вредноста на одреден интеграл со одреден степен на точност, на пример, до илјадити.

Има проблеми кога би било потребно да се најде приближната вредност на одреден интеграл со потребната точност, тогаш се користи нумеричка интеграција како што е методот Симпосни, трапезоиди и правоаголници. Не сите случаи ни дозволуваат да го пресметаме со одредена точност.

Оваа статија ја испитува примената на формулата Њутн-Лајбниц. Ова е неопходно за точно пресметување на дефинитивниот интеграл. Ќе се даде детални примери, се разгледуваат промените на променливата во определениот интеграл и ги наоѓаме вредностите на определениот интеграл при интегрирање по делови.

Формула Њутн-Лајбниц

Дефиниција 1

Кога функцијата y = y (x) е континуирана од интервалот [ a ; b ] , а F (x) е еден од антидериватите на функцијата на овој сегмент, тогаш Формула Њутн-Лајбницсе смета за фер. Да го запишеме вака: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Оваа формулада се разгледа основната формула на интегрално сметање.

За да се добие доказ за оваа формула, неопходно е да се користи концептот на интеграл со достапна променлива горна граница.

Кога функцијата y = f (x) е континуирана од интервалот [ a ; b ], тогаш вредноста на аргументот x ∈ a; b , а интегралот има форма ∫ a x f (t) d t и се смета за функција од горната граница. Неопходно е да се земе ознаката на функцијата ќе има форма ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , таа е континуирана, и неравенство од формата ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) важи за него.

Да поправиме дека зголемувањето на функцијата Φ (x) одговара на зголемувањето на аргументот ∆ x, потребно е да се користи петтото главно својство на определениот интеграл и да се добие

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (в) ∆ x

каде што вредноста c ∈ x; x + ∆ x .

Да ја поправиме еднаквоста во форма Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . По дефиниција на изводот на функцијата, потребно е да се оди до границата како ∆ x → 0, потоа се добива формула од формата Φ " (x) = f (x). Откриваме дека Φ (x) е еден од антидериватите за функција од формата y = f (x), сместена на [a;b]. Во спротивно изразот може да се напише

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, каде што вредноста на C е константна.

Да го пресметаме F (a) користејќи го првото својство на определениот интеграл. Тогаш го добиваме тоа

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, па оттука добиваме дека C = F (a). Резултатот е применлив при пресметување на F (б) и добиваме:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), со други зборови, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (а) . Еднаквоста се докажува со формулата Њутн-Лајбниц ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Прирастот на функцијата го земаме како F x a b = F (b) - F (a) . Користејќи ја ознаката, формулата на Њутн-Лајбниц ја зема формата ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

За да се примени формулата, потребно е да се знае еден од антидериватите y = F (x) на интеграндската функција y = f (x) од отсечката [a ; b ], пресметајте го зголемувањето на антидериватот од овој сегмент. Ајде да погледнеме неколку примери на пресметки користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц.

Пример 1

Пресметај го определениот интеграл ∫ 1 3 x 2 d x користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц.

Решение

Сметаме дека интеграндот од формата y = x 2 е континуиран од интервалот [1; 3 ], тогаш може да се интегрира на овој интервал. Според табелата неопределени интегралигледаме дека функцијата y = x 2 има множество антидеривати за сите реални вредности на x, што значи x ∈ 1; 3 ќе се запише како F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Неопходно е да се земе антидериватот со C = 0, тогаш добиваме дека F (x) = x 3 3.

Ја користиме формулата Њутн-Лајбниц и наоѓаме дека пресметувањето на определениот интеграл има форма ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Одговор:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Пример 2

Пресметај го определениот интеграл ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц.

Решение

Дадената функција е континуирана од интервалот [-1; 2 ], што значи дека може да се интегрира на него. Неопходно е да се најде вредноста на неопределениот интеграл ∫ x · e x 2 + 1 d x со помош на методот на подведување под диференцијалниот знак, потоа се добива ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C.

Оттука имаме множество антидеривати на функцијата y = x · e x 2 + 1, кои важат за сите x, x ∈ - 1; 2.

Неопходно е да се земе антидериватот на C = 0 и да се примени формулата Њутн-Лајбниц. Потоа добиваме израз на формата

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (е 3 - 1)

Одговор:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Пример 3

Пресметај ги интегралите ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x и ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x.

Решение

Сегмент - 4; - 1 2 вели дека функцијата под знакот интегрален е континуирана, што значи дека е интегрирана. Оттука го наоѓаме множеството антидеривати на функцијата y = 4 x 3 + 2 x 2. Го добиваме тоа

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Неопходно е да се земе антидериватот F (x) = 2 x 2 - 2 x, а потоа, со примена на формулата Њутн-Лајбниц, го добиваме интегралот, кој го пресметуваме:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Продолжуваме со пресметката на вториот интеграл.

Од сегментот [-1; 1 ] имаме дека функцијата интегранд се смета за неограничена, бидејќи lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , тогаш следува дека неопходен условинтеграбилност од сегмент. Тогаш F (x) = 2 x 2 - 2 x не е антидериват за y = 4 x 3 + 2 x 2 од интервалот [-1; 1 ], бидејќи точката O припаѓа на сегментот, но не е вклучена во доменот на дефиниција. Ова значи дека постои дефинитивен интеграл на Риман и Њутн-Лајбниц за функцијата y = 4 x 3 + 2 x 2 од интервалот [ - 1 ; 1 ] .

Одговор: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,постои дефинитивен интеграл на Риман и Њутн-Лајбниц за функцијата y = 4 x 3 + 2 x 2 од интервалот [ - 1 ; 1 ] .

Пред да ја користите формулата Њутн-Лајбниц, треба точно да знаете за постоењето на дефинитивен интеграл.

Промена на променлива во определен интеграл

Кога функцијата y = f (x) е дефинирана и континуирана од интервалот [ a ; b], потоа достапното множество [a; b] се смета дека е опсегот на вредностите на функцијата x = g (z), дефиниран на сегментот α; β со постоечкиот континуиран извод, каде што g (α) = a и g β = b, од ова добиваме дека ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Оваа формула се користи кога треба да го пресметате интегралот ∫ a b f (x) d x, каде што неопределениот интеграл има форма ∫ f (x) d x, ние пресметуваме со методот на замена.

Пример 4

Пресметај определен интеграл од формата ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x.

Решение

Функцијата интегранд се смета за континуирана на интервалот на интеграција, што значи дека постои дефинитивен интеграл. Да ја дадеме ознаката дека 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. Вредноста x = 9 значи дека z = 2 9 - 9 = 9 = 3, а за x = 18 добиваме дека z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, тогаш g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. При замена на добиените вредности во формулата ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z добиваме дека

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Според табелата со неопределени интеграли, имаме дека еден од антидериватите на функцијата 2 z 2 + 9 ја зема вредноста 2 3 a r c t g z 3 . Потоа, при примена на формулата Њутн-Лајбниц, го добиваме тоа

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 π4 π4 π4

Наодот може да се направи без користење на формулата ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z.

Ако со методот на замена користиме интеграл од формата ∫ 1 x 2 x - 9 d x, тогаш можеме да дојдеме до резултатот ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

Оттука ќе извршиме пресметки користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц и ќе го пресметаме дефинитивниот интеграл. Го добиваме тоа

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 4 π3 - = π 18

Резултатите беа исти.

Одговор: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Интеграција по делови при пресметување на определен интеграл

Ако на сегментот [a; b ] функциите u (x) и v (x) се дефинирани и непрекинати, тогаш нивните деривати од прв ред v " (x) · u (x) се интеграбилни, така што од оваа отсечка за интеграбилната функција u " (x) · v ( x) еднаквоста ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x е точно.

Формулата може да се користи тогаш, неопходно е да се пресмета интегралот ∫ a b f (x) d x, а ∫ f (x) d x беше неопходно да се бара со помош на интеграција по делови.

Пример 5

Пресметај го определениот интеграл ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Решение

Функцијата x · sin x 3 + π 6 е интегрирана на интервалот - π 2 ; 3 π 2, што значи дека е континуирано.

Нека u (x) = x, потоа d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x, и d (u (x)) = u " (x) d x = d x, и v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Од формулата ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x добиваме дека

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 грев π 2 + π 6 - грев - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Примерот може да се реши на друг начин.

Најдете го множеството антидеривати на функцијата x · sin x 3 + π 6 користејќи интеграција по делови користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Одговор: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter