Како систем на равенки, или аритметички односи, или геометриски форми, или комбинација од двете, чие проучување со помош на математика треба да одговори на прашањата поставени за својствата на одреден сет на својства на објект од реалниот свет, како збир од математички врски, равенки, неравенки кои ги опишуваат основните обрасци. својствени за процесот, објектот или системот што се проучува.

Во автоматизираните системи за контрола, се користи математички модел за одредување на оперативниот алгоритам на контролорот. Овој алгоритам одредува како треба да се смени контролното дејство во зависност од промената на мастерот за да се постигне контролната цел.

Класификација на модели

Формална класификација на модели

Формалната класификација на моделите се заснова на класификацијата на користените математички алатки. Често конструирани во форма на дихотомии. На пример, еден од популарните групи на дихотомии:

и така натаму. Секој конструиран модел е линеарен или нелинеарен, детерминистички или стохастичен, ... Природно, можни се и мешани типови: концентрирани во еден поглед (во однос на параметрите), распоредени во друг итн.

Класификација според начинот на кој е претставен објектот

Заедно со формалната класификација, моделите се разликуваат во начинот на кој тие претставуваат објект:

• Структурни или функционални модели

Моделните хипотези во науката не можат да се докажат еднаш засекогаш, можеме да зборуваме само за нивно побивање или непобивање како резултат на експеримент.

Ако се изгради модел од првиот тип, тоа значи дека тој е привремено прифатен како вистина и може да се концентрира на други проблеми. Сепак, ова не може да биде точка во истражувањето, туку само привремена пауза: статусот на модел од првиот тип може да биде само привремен.

Феноменолошки модел

Вториот тип е феноменолошкиот модел ( „Се однесуваме како да...“), содржи механизам за опишување на феноменот, иако овој механизам не е доволно убедлив, не може да биде доволно потврден со достапните податоци или не се вклопува добро со постоечките теории и акумулираното знаење за објектот. Затоа, феноменолошките модели имаат статус на привремени решенија. Се верува дека одговорот сè уште е непознат, а потрагата по „вистинските механизми“ мора да продолжи. Peierls вклучува, на пример, калорискиот модел и моделот на кваркови на елементарни честички како втор тип.

Улогата на моделот во истражувањето може да се промени со текот на времето и може да се случи новите податоци и теории да ги потврдат феноменолошките модели и тие да бидат промовирани во статус на хипотеза. Слично на тоа, новото знаење постепено може да дојде во конфликт со моделите на хипотези од првиот тип, а тие можат да се преведат во вториот. Така, кварковиот модел постепено преминува во категоријата хипотези; атомизмот во физиката се појави како привремено решение, но со текот на историјата стана првиот тип. Но, моделите на етер го направија својот пат од тип 1 до тип 2 и сега се надвор од науката.

Идејата за поедноставување е многу популарна при изградба на модели. Но, поедноставувањето доаѓа во различни форми. Peierls идентификува три типа на поедноставувања во моделирањето.

Приближување

Третиот тип на модели се приближни ( „Сметаме нешто многу големо или многу мало“). Ако е можно да се конструираат равенки кои го опишуваат системот што се проучува, тоа не значи дека тие можат да се решат дури и со помош на компјутер. Општо прифатена техника во овој случај е употребата на апроксимации (модели од тип 3). Меѓу нив модели на линеарен одговор. Равенките се заменуваат со линеарни. Стандарден пример е законот на Ом.

Мислен експеримент

m x ¨ = − k x (\стил на прикажување m(\dточка (x))=-kx),

Каде x ¨ (\стил на приказ (\dточка (x)))значи вториот дериват на x (\displaystyle x)по време: x ¨ = d 2 x d t 2 (\стил на прикажување (\dточка (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Добиената равенка го опишува математичкиот модел на разгледуваниот физички систем. Овој модел се нарекува „хармоничен осцилатор“.

Според формалната класификација, овој модел е линеарен, детерминистички, динамичен, концентриран, континуиран. Во процесот на неговата конструкција, направивме многу претпоставки (за отсуство на надворешни сили, отсуство на триење, маланост на отстапувања итн.), кои во реалноста можеби не се исполнети.

Во однос на реалноста, ова е најчесто тип 4 модел поедноставување(„ќе испуштиме некои детали за јасност“), бидејќи некои суштински универзални карактеристики (на пример, дисипација) се испуштени. До одредено приближување (да речеме, додека отстапувањето на оптоварувањето од рамнотежата е мало, со мало триење, не премногу време и подложно на одредени други услови), таквиот модел доста добро опишува вистински механички систем, бидејќи отфрлените фактори имаат незначителен ефект врз неговото однесување. Сепак, моделот може да се рафинира ако се земат предвид некои од овие фактори. Ова ќе доведе до нов модел, со поширок (иако повторно ограничен) опсег на применливост.

Меѓутоа, при рафинирање на моделот, сложеноста на неговото математичко истражување може значително да се зголеми и да го направи моделот практично бескорисен. Често, поедноставниот модел овозможува подобро и подлабоко истражување на реален систем отколку покомплексен (и, формално, „поправилен“).

Ако го примениме моделот на хармониски осцилатор на објекти далеку од физиката, неговиот суштински статус може да биде различен. На пример, кога се применува овој модел на биолошки популации, најверојатно треба да се класифицира како тип 6 аналогија(„да земеме предвид само некои карактеристики“).

Тврди и меки модели

Хармонискиот осцилатор е пример за таканаречениот „тврд“ модел. Се добива како резултат на силна идеализација на вистински физички систем. Својствата на хармонискиот осцилатор квалитативно се менуваат со мали пертурбации. На пример, ако додадете мал термин на десната страна − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\точка (x)))(триење) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- некој мал параметар), тогаш добиваме експоненцијално пригушени осцилации ако го смениме знакот на дополнителниот член (ε x ˙) (\стил на приказ (\varepsilon (\точка (x))))тогаш триењето ќе премине во пумпање и амплитудата на осцилациите експоненцијално ќе се зголеми.

За да се реши прашањето за применливоста на крут модел, неопходно е да се разбере колку се значајни факторите што ги запоставивме. Неопходно е да се проучат меките модели добиени со мала пертурбација на тврдиот. За хармоничен осцилатор тие можат да се дадат, на пример, со следнава равенка:

m x ¨ = − k x + ε f (x , x ˙) (\приказ стил m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\точка (x)))).

Еве f (x, x ˙) (\стил на приказ f(x,(\точка (x))))- некоја функција која може да ја земе предвид силата на триење или зависноста на коефициентот на вкочанетост на пружината од степенот на неговото истегнување. Експлицитна форма на функција f (\displaystyle f)Во моментов не сме заинтересирани.

Ако докажеме дека однесувањето на мекиот модел не е суштински различно од однесувањето на тврдиот (без оглед на експлицитниот тип на вознемирувачки фактори, доколку се доволно мали), проблемот ќе се сведе на проучување на тврдиот модел. Во спротивно, примената на резултатите добиени од проучувањето на крутиот модел ќе бара дополнително истражување.

Ако системот го одржува своето квалитативно однесување при мали нарушувања, се вели дека е структурно стабилен. Хармоничниот осцилатор е пример за структурно нестабилен (не-груб) систем. Сепак, овој модел може да се користи за проучување на процесите во ограничен временски период.

Разновидност на моделите

Најважните математички модели обично имаат важно својство разноврсност: Фундаментално различни реални појави може да се опишат со ист математички модел. На пример, хармоничен осцилатор го опишува не само однесувањето на оптоварувањето на пружината, туку и други осцилаторни процеси, честопати од сосема поинаква природа: мали осцилации на нишалото, флуктуации на нивото на течноста во U (\displaystyle U)-облик на сад или промена на јачината на струјата во осцилаторно коло. Така, со проучување на еден математички модел, ние веднаш проучуваме цела класа на феномени опишани со него. Токму овој изоморфизам на законите изразен со математички модели во различни сегменти на научното знаење го инспирирал Лудвиг фон Берталанфи да создаде „општа теорија на системи“.

Директни и инверзни проблеми на математичко моделирање

Има многу проблеми поврзани со математичкото моделирање. Прво, треба да излезете со основен дијаграм на моделираниот објект, да го репродуцирате во рамките на идеализациите на оваа наука. Така, вагонот се претвора во систем од плочи и посложени тела од различни материјали, секој материјал е наведен како негова стандардна механичка идеализација (густина, модули на еластичност, стандардни карактеристики на јачината), по што се изготвуваат равенки, по патот некои деталите се отфрлаат како неважни, се прават пресметки, се споредуваат со мерењата, моделот се рафинира итн. Меѓутоа, за да се развијат технологии за математичко моделирање, корисно е овој процес да се расклопи во неговите главни компоненти.

Традиционално, постојат две главни класи на проблеми поврзани со математичките модели: директни и инверзни.

Директна задача: структурата на моделот и сите негови параметри се сметаат за познати, главната задача е да се спроведе студија на моделот за да се извлече корисно знаење за објектот. Какво статичко оптоварување ќе издржи мостот? Како ќе реагира на динамично оптоварување (на пример, на марш на група војници или на минување на воз со различни брзини), како авионот ќе ја надмине звучната бариера, дали ќе се распадне од трепет - ова се типични примери на директен проблем. Поставувањето на вистинскиот директен проблем (поставување на вистинското прашање) бара посебна вештина. Ако не се постават вистинските прашања, мостот може да се урне, дури и ако е изграден добар модел за неговото однесување. Така, во 1879 година, во Велика Британија се урна металниот железнички мост преку Фирт од Теј, чии дизајнери направиле модел на мостот, го пресметале за 20-кратен безбедносен фактор за дејството на товарот, но заборавиле на на тие места постојано дуваат ветришта. И после година и пол пропадна.

Во наједноставниот случај (една осцилаторна равенка, на пример), директниот проблем е многу едноставен и се сведува на експлицитно решение на оваа равенка.

Инверзен проблем: познати се многу можни модели, мора да се избере специфичен модел врз основа на дополнителни податоци за објектот. Најчесто, структурата на моделот е позната, а треба да се утврдат некои непознати параметри. Дополнителни информации може да се состојат од дополнителни емпириски податоци или барања за објектот ( проблем со дизајнот). Дополнителни податоци може да пристигнат без оглед на процесот на решавање на инверзниот проблем ( пасивно набљудување) или е резултат на експеримент специјално планиран за време на решението ( активен надзор).

Еден од првите примери на маестрално решение на инверзен проблем со целосна употреба на достапните податоци беше методот на Њутн за реконструкција на силите на триење од набљудуваните пригушени осцилации.

Друг пример е математичката статистика. Задачата на оваа наука е да развие методи за запишување, опишување и анализа на набљудувачки и експериментални податоци со цел да се изградат веројатни модели на масовни случајни појави. Односно, множеството можни модели е ограничено на веројатни модели. Во конкретни задачи, множеството модели е поограничено.

Компјутерски симулациски системи

За поддршка на математичкото моделирање, развиени се компјутерски математички системи, на пример, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim итн. Тие ви дозволуваат да креирате формални и блокирани модели на едноставни и сложени процеси и уреди и лесно да ги менувате параметрите на моделот за време на моделирање. Блокирајте моделисе претставени со блокови (најчесто графички), чие множество и поврзување се наведени со дијаграмот на моделот.

Дополнителни примери

Моделот на Малтус

Според моделот предложен од Малтус, стапката на раст е пропорционална на моменталната големина на населението, односно опишана со диференцијалната равенка:

x ˙ = α x (\стил на прикажување (\точка (x))=\алфа x),

Каде α (\displaystyle \alpha)- одреден параметар утврден со разликата помеѓу плодноста и смртноста. Решението на оваа равенка е експоненцијалната функција x (t) = x 0 e α t (\приказ на стил x(t)=x_(0)e^(\алфа t)). Ако стапката на наталитет ја надминува стапката на смртност ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), големината на населението е неограничена и расте многу брзо. Во реалноста тоа не може да се случи поради ограничените ресурси. Кога ќе се достигне одредена критична големина на населението, моделот престанува да биде соодветен, бидејќи не ги зема предвид ограничените ресурси. Усовршување на моделот Малтус може да биде логистички модел, кој е опишан со диференцијалната равенка на Верхулст:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\приказ стил (\точка (x))=\алфа \лево(1-(\frac (x)(x_(s)))\десно)x),

каде е „рамнотежата“ големина на населението, при која наталитетот точно се компензира со стапката на смртност. Големината на населението во таков модел се стреми кон рамнотежна вредност x s (\displaystyle x_(s)), и ова однесување е структурно стабилно.

Систем предатор-плен

Да речеме дека во одредена област живеат два вида животни: зајаци (јадат растенија) и лисици (јадат зајаци). Нека бројот на зајаци x (\displaystyle x), број на лисици y (\displaystyle y). Користејќи го моделот Малтус со потребните измени за да се земе предвид јадењето зајаци од страна на лисиците, доаѓаме до следниот систем, именуван модели Послужавници - Volterra:

( x ˙ = (α − c y) x y ˙ = (− β + d x) y (\displaystyle (\begin(scases)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y ))=(-\бета +dx)y\крај (случаи)))

Однесувањето на овој систем не е структурно стабилно: мала промена во параметрите на моделот (на пример, земајќи ги предвид ограничените ресурси што им се потребни на зајаците) може да доведе до квалитативна промена во однесувањето.

За одредени вредности на параметрите, овој систем има рамнотежна состојба кога бројот на зајаци и лисици е константен. Отстапувањето од оваа состојба доведува до постепено исчезнување на флуктуациите на бројот на зајаци и лисици.

Можна е и спротивна ситуација, кога секое мало отстапување од рамнотежната положба ќе доведе до катастрофални последици, до целосно изумирање на еден од видовите. Моделот Volterra - Trats не одговара на прашањето кое од овие сценарија се реализира: тука е потребно дополнително истражување.

исто така види

Белешки

1. „Математичко претставување на реалноста“ (Encyclopaedia Britanica)
2. Новик И.Б., За филозофските прашања на кибернетичкото моделирање. М., Знаење, 1964 година.
3. Советов Б. Ја., Јаковлев С. А., Моделирање на системи: Проц. за универзитети - 3. изд., ревидирана. и дополнителни - М.: Повисоко. училиште, 2001. - 343 стр. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарски А.А., Михаилов А.П.Математичко моделирање. Идеи. Методи. Примери. - 2. ed., rev. - М.: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Мишкис А.Д., Елементи на теоријата на математички модели. - 3. ed., rev. - М.: КомКнига, 2007. - 192 со ISBN 978-5-484-00953-4
6. Севостјанов, А. Г. Моделирање на технолошки процеси: учебник / А. Г. Севостјанов, П. А. Севостјанов. - М.: Светлина и прехранбената индустрија, 1984. - 344 стр.
7. Ротач V.Ya.Теорија на автоматска контрола. - 1-ви. - М.: ЗАО „Издавачка куќа МПЕИ“, 2008. - С. 333. - 9 стр. - ISBN 978-5-383-00326-8.
8. Намалување на моделот и пристапи со грубо зрно за феномени со повеќе размери(Англиски) . Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4. Преземено на 18 јуни 2013 година. Архивирана на 18 јуни 2013 година.
9. „Теоријата се смета за линеарна или нелинеарна во зависност од тоа каков вид на математички апарат - линеарен или нелинеарен - и какви линеарни или нелинеарни математички модели користи. ...без да го негираме второто. Современиот физичар, ако треба повторно да ја создаде дефиницијата за толку важен ентитет како што е нелинеарноста, најверојатно би постапил поинаку и, давајќи предност на нелинеарноста како поважна и пораспространета од двете спротивности, би ја дефинирал линеарноста како „не нелинеарност“. Данилов Ју А., Предавања за нелинеарна динамика. Елементарен вовед. Серија „Синергетика: од минатото до иднината“. Издание 2. - М.: УРСС, 2006. - 208 стр. ISBN 5-484-00183-8
10. „Динамичките системи моделирани со конечен број обични диференцијални равенки се нарекуваат концентрирани или точки системи. Тие се опишани со користење на конечно-димензионален фазен простор и се карактеризираат со конечен број на степени на слобода. Истиот систем под различни услови може да се смета или концентриран или дистрибуиран. Математички модели на дистрибуирани системи се диференцијални равенкиво парцијални деривати, интегрални равенки или обични равенки со ретардиран аргумент. Бројот на степени на слобода на дистрибуираниот систем е бесконечен, а потребен е бесконечен број на податоци за да се одреди неговата состојба“.
    Анишченко В.С., Динамички системи, Соросово образовно списание, 1997 година, бр. 11, стр. 77-84.
11. „Во зависност од природата на процесите што се проучуваат во системот S, сите видови моделирање можат да се поделат на детерминистичко и стохастичко, статичко и динамично, дискретно, континуирано и дискретно-континуирано. Детерминистичкото моделирање рефлектира детерминистички процеси, односно процеси во кои се претпоставува отсуство на какви било случајни влијанија; стохастичкото моделирање прикажува веројатни процеси и настани. ... Статичкото моделирање служи за опишување на однесувањето на објектот во кој било момент од времето, а динамичкото моделирање го одразува однесувањето на објектот со текот на времето. Дискретното моделирање се користи за опишување на процеси за кои се претпоставува дека се дискретни, соодветно, континуираното моделирање ни овозможува да ги рефлектираме континуираните процеси во системите, а дискретно-континуираното моделирање се користи за случаи кога сакаат да го истакнат присуството и на дискретни и на континуирани процеси. ”
    Советов Б. Ја., Јаковлев С. А., Моделирање на системи: Проц. за универзитети - 3. изд., ревидирана. и дополнителни - М.: Повисоко. училиште, 2001. - 343 стр. ISBN 5-06-003860-2
12. Вообичаено, математичкиот модел ја рефлектира структурата (уредот) на моделираниот објект, својствата и односите на компонентите на овој објект кои се од суштинско значење за целите на истражувањето; таквиот модел се нарекува структурен. Ако моделот одразува само како функционира објектот - на пример, како реагира на надворешни влијанија - тогаш се нарекува функционална или, фигуративно, црна кутија. Можни се и комбинирани модели. Мишкис А.Д., Елементи на теоријата на математички модели. - 3. ed., rev. - М.: КомКнига, 2007. - 192 стр.

За теоријата на математичкото моделирање потребно е да се знае целта на моделирањето и да се претстави објектот за моделирање во математичка форма. Зборот „модел“ доаѓа од латинскиот modus (копија, слика, преглед). Наједноставниот и најочигледен пример за моделирање се географските и топографските карти. Моделите се структурни формули во хемијата. Моделот како средство за сознание стои помеѓу логично размислувањеи процесот или феноменот што се проучува.

Моделирањето е замена на некој објект А со друг објект Б. Заменетиот објект се нарекува оригинал, а заменетиот се нарекува модел. Така, моделот е замена за оригиналот. Во зависност од целта на замената, моделот на истиот оригинал може да биде различен. Во науката и технологијата, главната цел на моделирањето е да се проучи оригиналот користејќи поедноставен модел на него. Замената на еден објект со друг има смисла само ако постои одредена сличност или аналогија меѓу нив.

Математички модел е приближна претстава, изразена во математички термини, на предмети, концепти, системи или процеси. Објектите, концептите, системите или процесите што треба да се моделираат се нарекуваат објекти на моделирање (OM).

Сите објекти и појави се меѓусебно поврзани во поголема или помала мера, но при моделирањето повеќето меѓусебни односи се занемаруваат и објектот на моделирање се смета како посебен систем. Доколку објектот за моделирање е дефиниран како посебен систем, тогаш потребно е да се воведе принципот на селективност, обезбедувајќи избор на потребните врски со надворешната средина. На пример, при моделирање на електронски кола, термичките, акустичните, оптичките и механичките интеракции со надворешното опкружување се занемарени и се земаат предвид само електричните променливи. Принципот на селективност воведува грешка во системот, т.е. разлика во однесувањето на моделот и моделираниот објект. Следниот важен фактор за моделирање е принципот на каузалност, кој ги поврзува влезните и излезните променливи во системот.

За да се измери системот, се воведува концептот на „држава“. На пример, состојбата на електронското коло се однесува на вредностите на напоните и струите во електронското коло во дадено време.

Кога аналитички се изведува математички модел, најчесто се користат познати категории: закони, структури и параметри.

Ако некоја променлива y зависи од друга променлива x, тогаш првата величина е функција на втората. Оваа зависност е напишана во форма y = f(x) или y = y(x). Во оваа нотација, променливата x се нарекува аргумент. Важна карактеристика на функцијата е нејзиниот дериват, процесот на наоѓање кој се нарекува диференцијација. Равенките кои според математичките правила поврзуваат непозната функција, нејзините изводи и аргументи се нарекуваат диференцијални. Процесот инверзен на диференцијација, кој овозможува да се најде самата функција од даден извод, се нарекува интеграција.

Да разгледаме посебен случај кога функцијата е патека која зависи од аргументот - време. Тогаш дериватот на патеката во однос на времето е брзината, а изводот на брзината (или вториот извод на патеката) е забрзувањето. Ако, на пример, брзината е позната, тогаш интеграцијата се користи за да се најде патеката што ја поминува телото кога се движи во одредено време. Ако се знае само забрзувањето, тогаш операцијата за интеграција се изведува двапати за да се најде патеката. Во овој случај, по пресметувањето на првиот интеграл, брзината станува позната.

Крајната цел на создавањето математички модели е да се воспостават функционални зависности помеѓу променливите. Функционалната зависност за секој специфичен модел може да има строго дефинирана форма. Кога се симулира уред, чиј влез добива сигнал x y и се појавува излезниот сигнал y, врската може да се запише во форма на табела. За да го направите ова, целиот опсег на промени во влезните и излезните сигнали е поделен на одреден број делови. Секој дел од опсегот на варијација на влезниот сигнал ќе одговара на одреден дел од опсегот на варијација на излезниот сигнал. Во сложените системи, каде што има неколку влезови и неколку излези, аналитичките зависности се изразуваат со системи на диференцијални равенки.

* Законите обично се формулираат за одредени области, како што се законите на Кирхоф и Њутн. Примената на овие закони на еден систем обично го фокусира нашето внимание на една област на науката и технологијата. Со користење на Кирхофовите закони и Максвеловите равенки за анализа на електричен систем, истражувачот игнорира други (на пример, термички) процеси во системот.

Создавањето математички модел бара познавање на елементите присутни во системот и нивните односи. Параметрите на математичкиот модел (ММ) се оние кои се вклучени во системот на равенки различни шанси. Овие коефициенти, заедно со равенките и граничните услови, формираат целосен MM.

Секој математички модел може да се добие како резултат на: 1) директно набљудување на некоја појава, негово директно проучување и разбирање (моделите се феноменолошки); 2) некој процес на дедукција, кога се добива нов модел како посебен случај од некој поопшт модел (таквите модели се нарекуваат асимптотични); 3) некој процес на индукција, кога новиот модел е природна генерализација на елементарните модели (таквите модели се нарекуваат композитни или ансамбл модели).

Сите системи постојат во времето и просторот. Математички, тоа значи дека времето и трите просторни променливи може да се сметаат за независни променливи.

Постојат многу знаци на класификација на математичките модели врз основа на употребата на одредени променливи како независни, претставени во континуирана или дискретна форма; ММ е класифициран на следниов начин:

1) модели со дистрибуирани параметри (сите независни променливи се земаат во континуирана форма);

2) модели со збирни параметри (сите независни просторни променливи се дискретни, а временската променлива е континуирана);

3) модели со дискретни параметри (сите независни променливи се земаат во дискретна форма).

На сл. 3.10 a... покажува приближна класификација на моделите. Сите модели може да се поделат на реални и идеални (сл. 3.10, а). Во ова поглавје се разгледуваат само идеални модели, кои се објективни по својата содржина (ја одразуваат реалната реалност), но субјективни по форма и не можат да постојат надвор од неа. Идеалните модели постојат само во човековото знаење и функционираат според законите на логиката. Логичките модели вклучуваат различни потпишани модели. Суштинска точка во креирањето на кој било симболичен модел е процедурата за формализирање (формули, азбука, системи на броеви).

Во моментов, во голем број области на науката и технологијата, концептот на модел се толкува не во духот на класичната физика, како визуелен, на пример, механички систем, туку во духот модерна сценазнаењето како апстрактна логичко-математичка структура.

Во современото моделирање, заедно со зголемената улога на апстрактните логички модели во познанието, постои уште еден тренд поврзан со широката употреба на кибернетичките функционални информациски модели.

Единственоста на кибернетичкото моделирање е во тоа што објективната сличност на моделот и симулираниот објект се однесува само на нивните функции, области на примена и поврзаност со надворешната средина. Основата на информацискиот пристап кон проучувањето на кибернетичките процеси е апстракцијата.

Да ги разгледаме моделите што се одвиваат во CAD LSI: структурни, функционални, геометриски, симболички, ментални, аналитички, нумерички и симулациски.

Структурните модели го репродуцираат составот на елементите на објектот или системот, нивната локација во просторот и односите, т.е. структурата на системот. Структурните модели можат да бидат и реални (распоред) и идеални (на пример, машински инженерски цртежи, топологија на печатено коло и IC топологија).

Функционалните модели го имитираат само начинот на кој се однесува оригиналот, неговата функционална зависност од надворешното опкружување. Најтипичен пример се моделите изградени на концептот „црна кутија“.

Во овие модели, можно е да се репродуцира функционирањето на оригиналот, целосно апстрахирање од неговата содржина и структура, поврзувајќи различни влезни и излезни количини користејќи математичка врска.

Ориз. 3.10. Општа класификација на модели (а), како и модели со целосен размер (б), физички (в), реални математички (г), визуелни (д), симболични (ѓ), идеални математички (g) модели

Геометриските модели ја рефлектираат само структурата на објектот и се од големо значење во врска со дизајнот електронски системи. Овие модели, изградени врз основа на геометриска сличност, овозможуваат решавање на проблеми поврзани со оптимално поставување на предмети, поставување на траги на печатени кола и интегрирани кола.

Моделите на знаци се подреден запис на симболи (знаци). Знаците комуницираат едни со други не според физичките закони, туку според правилата утврдени во одредено поле на знаење или, како што велат, според природата на знаците. Иконските модели сега се исклучително распространети. Скоро секое поле на знаење - лингвистика, програмирање, електроника и многу други - развила своја симболика за опишување модели. Тоа се програми, шеми итн.

Менталните модели се производ на сетилната перцепција и активноста на апстрактното размислување. Менталните модели го вклучуваат добро познатиот планетарен модел на атомот Бор. За да се пренесат овие модели, тие се претставени во форма на вербален или симболичен опис, односно менталните модели можат да се снимаат во форма на различни знаци на системи.

Аналитичките модели овозможуваат да се добијат експлицитни зависности на потребните количини од параметрите и променливите што го карактеризираат феноменот што се проучува. Аналитичкото решение на математичка врска е генерализиран опис на објектот

Нумеричките модели се карактеризираат со тоа што вредностите на потребните количини може да се добијат како резултат на примена на соодветните нумерички методи. Сите нумерички методи овозможуваат да се добијат само приватни информации за саканите количини, бидејќи за нивна имплементација тие бараат специфицирање на специфични вредности на сите параметри вклучени во математичката врска. За секоја посакувана вредност, треба да се трансформира математичкиот модел на свој начин и да се примени соодветната нумеричка постапка.

Моделите за симулација се имплементираат на компјутер во форма на алгоритми за моделирање (програми) кои овозможуваат да се пресметаат вредностите на излезните променливи и да се одреди новата состојба во која оди моделот за дадените вредности на влезните променливи, параметрите и почетна состојба на моделот. Симулациското моделирање, за разлика од нумеричкото моделирање, се карактеризира со независност на алгоритмот за моделирање од типот на информации што треба да се добијат како резултат на моделирањето. Математичкиот модел кој е претставен во апстрактна математичка форма преку променливи, параметри, равенки и неравенки е доста универзален, флексибилен и ефективен.

ММ ги вклучува следните елементи: променливи (зависни и независни); константи или фиксни параметри (одредување на степенот на поврзаност помеѓу променливите); математички изрази (равенки и/или неравенки кои комбинираат променливи и параметри); логички изрази (дефинирање на различни ограничувања во математичкиот модел); информации (алфанумерички и графички).

Математичките модели се класифицираат според следните критериуми: 1) однесување на моделите со текот на времето; 2) видови на влезни информации, параметри и изрази што го сочинуваат математичкиот модел; 3) структурата на математичкиот модел; 4) видот на употребениот математички апарат.

Во однос на интегрираните кола, може да се предложи следната класификација.

Во зависност од природата на својствата на интегрираното коло, математичките модели се поделени на функционални и структурни.

Функционалните модели ги рефлектираат функционалните процеси на објектот; овие модели имаат форма на системи на равенки.

При решавање на голем број дизајнерски проблеми, широко се користат математички модели кои ги рефлектираат само структурните својства на дизајнираниот објект; таквите структурни модели можат да бидат во форма на матрици, графикони, листи на вектори и изразуваат меѓусебно уредувањеелементи во просторот, присуство на директна врска во форма на спроводници итн. Структурните модели се користат во случај кога проблемите на структурната синтеза можат да се формализираат и решат, апстрахирајќи се од особеностите на физичките процеси во објектот.

Ориз. 3.11. Структурен модел на инвертер = тоа. г.)

Според начинот на добивање, функционалните математички модели се делат на теоретски и формални.

Теоретските модели се добиени врз основа на проучување на физичките закони, а структурата на равенките и параметрите на моделите имаат јасна физичка основа.

Формалните модели се добиваат со разгледување на својствата на вистински објект како црна кутија.

Теоретски пристапни овозможува да добиеме повеќе универзални модели кои важат за различни режими на работа и за широк опсег на промени во надворешните параметри.

Голем број карактеристики во класификацијата се поврзани со карактеристиките на равенките што го сочинуваат математичкиот модел; Во зависност од линеарноста или нелинеарноста на равенките, моделите се делат на линеарни и нелинеарни.

Во зависност од моќноста на множеството променливи вредности, моделите се делат на континуирани и дискретни (сл. 3.12).

Кај континуираните модели, променливата што се појавува во нив е континуирана или на делови континуирана.

Променливите во дискретните модели се дискретни големини, чие множество може да се брои.

Ориз. 3.12. Континуирани и дискретни променливи

Врз основа на формата на поврзување помеѓу излезните, внатрешните и надворешните параметри, се разликуваат модели во форма на системи на равенки и модели во форма на експлицитна зависност на излезните параметри од внатрешните и надворешните параметри. Првиот од нив се нарекува алгоритамски, а вториот - аналитички.

Во зависност од тоа дали моделските равенки ја земаат предвид инерцијата на процесите во проектниот објект, се разликуваат динамички и статички модели.

Концептот на модел и симулација.

Модел во широка смисла- ова е каква било слика, ментален аналог или воспоставена слика, опис, дијаграм, цртеж, карта итн. на кој било волумен, процес или феномен, што се користи како негова замена или претставник. Самиот објект, процес или феномен се нарекува оригинал на овој модел.

Моделирање - ова е проучување на кој било објект или систем на објекти преку конструирање и проучување на нивните модели. Ова е употреба на модели за одредување или разјаснување на карактеристиките и рационализирање на методите за изградба на новоизградени објекти.

Секој метод на научно истражување се заснова на идејата за моделирање, додека теоретските методи користат различни видови симболички, апстрактни модели, а експерименталните методи користат модели на тема.

За време на истражувањето, сложениот реален феномен се заменува со некоја поедноставена копија или дијаграм; понекогаш таквата копија служи само за запомнување и препознавање на посакуваниот феномен на следниот состанок. Понекогаш конструираниот дијаграм одразува некои суштински карактеристики, овозможува да се разбере механизмот на феноменот и овозможува да се предвиди неговата промена. Различни модели може да одговараат на истиот феномен.

Задачата на истражувачот е да ја предвиди природата на феноменот и текот на процесот.

Понекогаш, се случува некој предмет да е достапен, но експериментите со него се скапи или доведуваат до сериозни еколошки последици. Знаењето за ваквите процеси се добива со помош на модели.

Важна точка е дека самата природа на науката вклучува проучување не на еден специфичен феномен, туку на широка класа на поврзани феномени. Претпоставува потреба од формулирање на некои општи категорични изјави, кои се нарекуваат закони. Нормално, со ваква формулација се занемаруваат многу детали. Со цел појасно да се идентификува шема, тие свесно одат на грубост, идеализација и скицираност, односно не го проучуваат самиот феномен, туку неговата повеќе или помалку точна копија или модел. Сите закони се закони за модели, и затоа не е чудно што со текот на времето некои научни теориисе сметаат за несоодветни. Ова не води до колапс на науката, бидејќи еден модел е заменет со друг помодерно.

Посебна улога во науката играат математичките модели, градежните материјали и алатките на овие модели - математички концепти. Тие се акумулирале и се подобрувале во текот на илјадници години. Модерната математика обезбедува исклучително моќни и универзални средства за истражување. Речиси секој концепт во математиката, секој математички објект, почнувајќи од концептот број, е математички модел. Кога се конструира математички модел на предметот или феноменот што се проучува, се идентификуваат оние негови карактеристики, карактеристики и детали кои, од една страна, содржат повеќе или помалку целосни информации за објектот, а од друга, овозможуваат математичка формализирање. Математичката формализирање значи дека карактеристиките и деталите на објектот може да се поврзат со соодветни адекватни математички концепти: броеви, функции, матрици итн. Потоа, врските и врските откриени и претпоставени во предметот што се проучува помеѓу неговите поединечни делови и компоненти може да се напишат со помош на математички односи: еднаквости, неравенки, равенки. Резултатот е математички опис на процесот или феноменот што се проучува, односно неговиот математички модел.

Проучувањето на математички модел е секогаш поврзано со одредени правила на дејствување на предметите што се проучуваат. Овие правила ги одразуваат односите помеѓу причините и последиците.

Изградбата на математички модел е централна фаза на истражување или дизајн на кој било систем. Сите последователни анализи на објектот зависи од квалитетот на моделот. Изградбата на модел не е формална процедура. Тоа силно зависи од истражувачот, неговото искуство и вкус и секогаш се заснова на одреден експериментален материјал. Моделот мора да биде доволно прецизен, соодветен и удобен за употреба.

Математичко моделирање.

Класификација на математички модели.

Математичките модели можат да бидатдетерминистички И стохастички .

Утврди модел и се модели во кои се воспоставува кореспонденција еден на еден помеѓу променливите кои опишуваат објект или феномен.

Овој пристап се заснова на познавање на механизмот на функционирање на објектите. Честопати објектот што се моделира е сложен и дешифрирањето на неговиот механизам може да биде многу трудоинтензивно и одзема време. Во овој случај, постапете на следниов начин: се вршат експерименти на оригиналот, резултатите се обработуваат и, без да навлегуваме во механизмот и теоријата на симулираниот објект, користејќи методи математичка статистикаи теориите на веројатност, воспоставуваат врски помеѓу променливите кои опишуваат објект. Во овој случај добиватестохастички модел . ВО стохастички модел, односот помеѓу променливите е случаен, понекогаш е фундаментален. Влијанието на огромен број фактори, нивната комбинација доведува до случаен сет на променливи кои опишуваат објект или феномен. Според природата на режимите, моделот естатистички И динамичен.

Статистичкимоделвклучува опис на односите помеѓу главните променливи на моделираниот објект во стабилна состојба без да се земат предвид промените во параметрите со текот на времето.

ВО динамиченмоделисе опишуваат односите помеѓу главните променливи на моделираниот објект при преминот од еден режим во друг.

Постојат модели дискретниИ континуирано, и измешани тип. ВО континуирано променливите земаат вредности од одреден интервал, водискретнипроменливите земаат изолирани вредности.

Линеарни модели- сите функции и релации кои го опишуваат моделот линеарно зависат од променливите ине линеарнаво спротивно.

Математичко моделирање.

Барања ,p претставени на моделите.

1. Разновидност- ја карактеризира комплетноста на претставата на моделот за проучуваните својства на реален објект.

1. Адекватноста е способност да се рефлектираат саканите својства на објектот со грешка не повисока од дадената.
2. Точноста се проценува според степенот на усогласеност помеѓу вредностите на карактеристиките на реалниот објект и вредностите на овие карактеристики добиени со помош на модели.
3. Економичен - определено со трошењето на ресурсите на компјутерската меморија и времето за негово спроведување и функционирање.

Математичко моделирање.

Главните фази на моделирање.

1. Изјава за проблемот.

Утврдување на целта на анализата и начинот на нејзино постигнување и развивање општ пристап кон проблемот што се проучува. Во оваа фаза, потребно е длабоко разбирање на суштината на задачата. Понекогаш, правилното поставување на проблемот не е помалку тешко од неговото решавање. Сценографијата не е формален процес, нема општи правила.

2. Проучување на теоретските основи и собирање информации за оригиналниот објект.

Во оваа фаза се избира или развива соодветна теорија. Ако го нема, се воспоставуваат причинско-последични односи помеѓу променливите што го опишуваат објектот. Се одредуваат влезните и излезните податоци и се прават поедноставни претпоставки.

3. Формализација.

Се состои во избор на систем на симболи и нивно користење за запишување на односите помеѓу компонентите на објектот во форма на математички изрази. Се утврдува класата на проблеми на кои може да се класифицира добиениот математички модел на објектот. Вредностите на некои параметри можеби сè уште не се специфицирани во оваа фаза.

4. Избор на метод на решение.

Во оваа фаза, крајните параметри на моделите се воспоставуваат земајќи ги предвид работните услови на објектот. За добиениот математички проблем, се избира метод на решение или се развива посебен метод. При изборот на метод, се земаат предвид знаењето на корисникот, неговите преференции и преференциите на развивачот.

5. Имплементација на моделот.

Имајќи развиено алгоритам, се пишува програма, која се дебагира, се тестира и се добива решение за саканиот проблем.

6. Анализа на добиените информации.

Се споредуваат добиените и очекуваните решенија, а се следи грешката во моделирањето.

7. Проверка на соодветноста на реалниот објект.

Резултатите добиени од моделот се споредуваатили со достапните информации за објектот, или се врши експеримент и неговите резултати се споредуваат со пресметаните.

Процесот на моделирање е итеративен. Во случај на незадоволителни резултати од фазите 6. или 7. се враќа на една од претходните фази, што можеше да доведе до развој на неуспешен модел. Оваа фаза и сите последователни се рафинирани и таквото префинетост на моделот се случува додека не се добијат прифатливи резултати.

Математички модел е приближен опис на која било класа на феномени или предмети од реалниот свет на јазикот на математиката. Главната цел на моделирањето е да се истражат овие објекти и да се предвидат резултатите од идните набљудувања. Сепак, моделирањето е и метод за разбирање на светот околу нас, што овозможува да се контролира.

Математичкото моделирање и поврзаниот компјутерски експеримент се неопходни во случаите кога експериментот со целосен обем е невозможен или тежок поради една или друга причина. На пример, невозможно е да се постави природен експеримент во историјата за да се провери „што ќе се случеше ако...“ Невозможно е да се провери исправноста на една или друга космолошка теорија. Можно е, но веројатно нема да биде разумно, да се експериментира со ширење на болест, како што е чумата, или да се изврши нуклеарна експлозија за да се проучат нејзините последици. Сепак, сето тоа може да се направи на компјутер со прво конструирање математички модели на појавите што се проучуваат.

1.1.2 2. Главни фази на математичко моделирање

1) Модел зграда. Во оваа фаза е наведен некој „нематематички“ објект - природен феномен, дизајн, економски план, производствен процес итн. Во овој случај, по правило, е тешко да се направи јасен опис на ситуацијата.Прво, се идентификуваат главните карактеристики на феноменот и врските меѓу нив на квалитативно ниво. Потоа пронајдените квалитативни зависности се формулираат на јазикот на математиката, односно се гради математички модел. Ова е најтешката фаза на моделирање.

2) Решавање на математичката задача до која води моделот. Во оваа фаза се посветува големо внимание на развојот на алгоритми и нумерички методи за решавање на проблемот на компјутер, со чија помош може да се најде резултатот со потребната точност и во прифатливо време.

3) Толкување на добиените последици од математичкиот модел.Последиците кои произлегуваат од моделот на јазикот на математиката се толкуваат на јазикот прифатен на терен.

4) Проверка на соодветноста на моделот.Во оваа фаза, се утврдува дали експерименталните резултати се согласуваат со теоретските последици од моделот во одредена точност.

5) Измена на моделот.Во оваа фаза или моделот е комплициран за да биде поадекватен на реалноста или е поедноставен за да се постигне практично прифатливо решение.

1.1.3 3. Класификација на модели

Моделите можат да се класифицираат според различни критериуми. На пример, според природата на проблемите што се решаваат, моделите можат да се поделат на функционални и структурни. Во првиот случај, сите величини што карактеризираат феномен или предмет се изразуваат квантитативно. Покрај тоа, некои од нив се сметаат за независни променливи, додека други се сметаат за функции на овие големини. Математичкиот модел обично е систем на равенки од различни типови (диференцијални, алгебарски, итн.) кои воспоставуваат квантитативни односи помеѓу големините што се разгледуваат. Во вториот случај, моделот ја карактеризира структурата на комплексен објект кој се состои од поединечни делови, меѓу кои има одредени врски. Вообичаено, овие врски не се квантитативни. За да се конструираат такви модели, погодно е да се користи теоријата на графикони. Графикот е математички објект кој претставува збир на точки (темиња) на рамнина или во простор, од кои некои се поврзани со линии (рабови).

Врз основа на природата на првичните податоци и резултати, моделите за предвидување можат да се поделат на детерминистички и веројатност-статистички. Моделите од првиот тип даваат одредени, недвосмислени предвидувања. Моделите од вториот тип се засноваат на статистички информации, а предвидувањата добиени со нивна помош се со веројатен карактер.

МАТЕМАТИЧКО МОДЕЛИРАЊЕ И ОПШТА КОМПЈУТЕРИЗАЦИЈА ИЛИ СИМУЛАЦИОНИ МОДЕЛИ

Сега, кога во земјата се одвива речиси универзална компјутеризација, слушаме изјави од специјалисти од различни професии: „Ако воведеме компјутер, тогаш сите проблеми ќе бидат решени веднаш“. Оваа гледна точка е целосно неточна, самите компјутери, без математички модели на одредени процеси, нема да можат да направат ништо, а може само да се сонува за универзална компјутеризација.

Како поддршка на горенаведеното, ќе се обидеме да ја потврдиме потребата за моделирање, вклучително и математичко моделирање, и да ги откриеме неговите предности во човечкото сознание и трансформација надворешниот свет, да ги идентификуваме постоечките недостатоци и да одиме... на симулационо моделирање, т.е. моделирање со помош на компјутер. Но, се е во ред.

Најпрво да одговориме на прашањето: што е модел?

Модел е материјален или ментално претставен објект, кој во процесот на сознавање (проучување) го заменува оригиналот, зачувувајќи некои типични својства кои се важни за оваа студија.

Добро изграден модел е попристапен за истражување отколку вистински објект. На пример, експериментите со економијата на земјата во образовни цели, овде не можете без модел.

Сумирајќи го кажаното, можеме да одговориме на прашањето: за што служат моделите? Со цел да се

• разбере како работи објектот (неговата структура, својства, закони на развој, интеракција со надворешниот свет).
• научете да управувате со објект (процес) и да ги одредите најдобрите стратегии
• предвиди ги последиците од ударот врз објектот.

Што е позитивно кај кој било модел? Тоа ви овозможува да стекнете нови знаења за објектот, но, за жал, тоа е нецелосно до еден или друг степен.

Моделформулиран на јазикот на математиката користејќи математички методи се нарекува математички модел.

Почетната точка за неговата изградба е обично некој проблем, на пример економски. И описните и оптимизациските математички се широко распространети, карактеризирајќи различни економските процесии феномени, на пример:

• распределба на ресурси
• рационално сечење
• транспортот
• консолидација на претпријатијата
• мрежно планирање.

Како се конструира математички модел?

• Прво, се формулираат целта и предметот на студијата.
• Второ, се истакнуваат најважните карактеристики што одговараат на оваа цел.
• Трето, односите помеѓу елементите на моделот се вербално опишани.
• Следно, врската е формализирана.
• И се прави пресметка со помош на математички модел и се анализира добиеното решение.

Користејќи го овој алгоритам, можете да решите каков било проблем за оптимизација, вклучително и мултикритериуми, т.е. онаа во која се следат не една, туку повеќе цели, вклучително и контрадикторни.

Да дадеме пример. Теорија редица– проблемот со редици. Неопходно е да се балансираат два фактори - трошоците за одржување на сервисните уреди и трошоците за останување во ред. Имајќи конструиран формален опис на моделот, пресметките се направени со помош на аналитички и пресметковни методи. Ако моделот е добар, тогаш одговорите пронајдени со негова помош се соодветни на системот за моделирање; ако е лош, тогаш мора да се подобри и замени. Критериум за соодветност е практиката.

Моделите за оптимизација, вклучувајќи ги и мултикритериумите, имаат заедничко својство - позната е цел (или неколку цели), за да се постигне која често треба да се справи со сложени системи, каде што не се работи толку за решавање оптимизациски проблеми, туку за проучување и предвидување држави во зависност од избраните стратегии за управување. И тука сме соочени со тешкотиите за спроведување на претходниот план. Тие се како што следува:

• комплексен систем содржи многу врски помеѓу елементите
• реалниот систем е под влијание на случајни фактори, нивно аналитички земање предвид е невозможно
• можноста за споредба на оригиналот со моделот постои само на почетокот и по користењето на математичкиот апарат, бидејќи средните резултати може да немаат аналози во реалниот систем.

Во врска со наведените тешкотии што се јавуваат при проучување на сложени системи, практиката бараше пофлексибилен метод, и се појави - „Моделирање на симујацијата“.

Типично, симулациониот модел се подразбира како збир на компјутерски програми кои го опишуваат функционирањето на поединечните системски блокови и правилата за интеракција помеѓу нив. Употреба случајни променливиго прави неопходно да се извршат повторени експерименти со системот за симулација (на компјутер) и последователни Статистичка анализадобиени резултати. Многу чест пример за користење на модели за симулација е решавањето на проблемот со редици со помош на методот МОНТЕ КАРЛО.

Така, работата со систем за симулација е експеримент спроведен на компјутер. Кои се предностите?

– Поголема близина до реалниот систем од математичките модели;

– Принципот на блок овозможува да се потврди секој блок пред неговото вклучување во целокупниот систем;

– Употреба на зависности од посложена природа кои не можат да се опишат со едноставни математички врски.

Наведените предности ги одредуваат недостатоците

– изградбата на симулациски модел трае подолго, е потешко и поскапо;

– за работа со системот за симулација, мора да имате компјутер соодветен за часот;

– интеракцијата помеѓу корисникот и симулациониот модел (интерфејс) не треба да биде премногу сложена, удобна и добро позната;

-изградбата на симулациски модел бара подлабинско проучување на реалниот процес отколку математичко моделирање.

Се поставува прашањето: дали симулационото моделирање може да ги замени методите за оптимизација? Не, но погодно ги надополнува. Симулациски модел е програма која имплементира одреден алгоритам, за оптимизирање на контролата на која прво се решава оптимизацискиот проблем.

Значи, ниту компјутер, ниту математички модел, ниту алгоритам за негово проучување сами по себе не можат да решат доволно сложен проблем. Но, заедно тие ја претставуваат силата што ни овозможува да го разбереме светот околу нас и да управуваме со него во интерес на човекот.

1.2 Класификација на модели

1.2.1 Класификација земајќи го предвид временскиот фактор и областа на употреба (Макарова Н.А.) Статички модел -тоа е како еднократна снимка на информации за објект (резултат од едно истражување) Динамичен модел-дозволува види промени во објектот со текот на времето (картичка во клиниката) Моделите може да се класифицираат и според на која област на знаење припаѓаат тие?(биолошки, историски, еколошки, итн.) Врати се на врвот

1.2.2 Класификација по област на употреба (Макарова Н.А.) едукативни-визуеленприрачници, симулатори о, завивањапрограми Искусни модели-намалени копии (автомобил во ветерен тунел) Научно-техничкисинхрофазотрон, штанд за тестирање на електронска опрема играње-економски, спорт, деловни игри Имитација -НеТие едноставно ја рефлектираат реалноста, но ја имитираат (лековите се тестираат на глувци, експериментите се спроведуваат во училиштата итн. Овој метод на моделирање се нарекува обиди и грешки Врати се на врвот

1.2.3 Класификација според методот на презентација Макаров Н.А.) Материјал модели- во спротивно може да се нарече предмет. Тие воочуваат геометриски и физички својстваоригинални и секогаш имаат вистинско олицетворение Информации моделите не се дозволени допрете или видете. Тие се базираат само на информации .И информативнимодел е збир на информации кои ги карактеризираат својствата и состојбите на некој предмет, процес, феномен, како и односот со надворешниот свет. Вербален модел -информативен модел во ментална или говорна форма. Иконски модел-информации модел изразен со знаци , т.е.. со помош на кој било формален јазик. Компјутерски модел - м Модел имплементиран со помош на софтверско опкружување.

1.2.4 Класификација на модели дадена во книгата „Информатика на земјата“ (Gein A.G.)) „...еве една навидум едноставна задача: колку време ќе биде потребно да се помине пустината Каракум? Одговорот е секакозависи од начинот на превоз. Ако патуваат понатамукамили, тогаш ќе треба еден термин, друг ако одиш со кола, трет ако леташ со авион. И што е најважно, потребни се различни модели за да се планира патување. За првиот случај, бараниот модел може да се најде во мемоарите познати истражувачипустини: на крајот на краиштата, овде не можете без информации за оази и патеки со камили. Во вториот случај, информациите содржани во патниот атлас се незаменливи. Во третата, можете да го користите распоредот на летот. Овие три модели се разликуваат - мемоари, атлас и распоред - и природата на презентацијата на информациите. Во првиот случај, моделот е претставен со вербален опис на информациите (описен модел), во втората - како фотографија од животот (модел со целосен размер), во третиот - табела која содржи симболи: времиња на поаѓање и пристигнување, ден во неделата, цена на билетот (т.н. знак модел)Сепак, оваа поделба е многу произволна - во мемоарите може да најдете мапи и дијаграми (елементи на модел со целосен размер), на картите има симболи (елементи на симболичен модел), во распоредот има декодирање на симболи (елементи на описен модел). Значи оваа класификација на модели... според нас е непродуктивна“ Според мое мислење, овој фрагмент го демонстрира описниот (прекрасен јазик и стил на презентација) и, како да е, сократски стил на настава заеднички за сите книги на Хајн (Сите мислат дека е вака. Потполно се согласувам со тебе, но ако погледнеш внимателно...).Во таквите книги е доста тешко да се најде јасен систем на дефиниции (не е наменет од авторот). Во учебникот уреден од Н.А. Макарова демонстрира поинаков пристап - дефинициите на концептите се јасно истакнати и донекаде статични.

1.2.5 Класификација на модели дадена во прирачникот од А.И.Бочкин Има невообичаено голем број методи на класификација .П донесесамо некои од најпознатите основи и знаци: дискретностИ континуитет, матрицаи скаларни модели, статични и динамички модели, аналитички и информациски модели, модели со предмет и фигуративен знак, големи и неразмерни... Секој знак дава одреденознаење за својствата и на моделот и на симулираната реалност. Знакот може да послужи како навестување за методот на завршено или претстојно моделирање. Дискретност и континуитет Дискретност - карактеристика на компјутерските модели .После секомпјутерот може да биде во конечен, иако многу голем број состојби. Затоа, дури и ако објектот е континуиран (време), во моделот ќе се менува во скокови. Може да се разгледа континуитетзнак на модели од некомпјутерски тип. Шанса и детерминизам . Неизвесност, несреќапрвично се спротивстави компјутерски свет: Алгоритмот што е повторно стартуван треба да се повтори и да ги даде истите резултати. Но, за да се симулираат случајни процеси, се користат сензори за псевдослучајни броеви. Воведувањето на случајноста во детерминистичките проблеми води до моќни и интересни модели (Пресметка на плоштина со случаен фрлање). Матриксација - скаларност. Достапност на параметри матрицамоделот укажува на неговата поголема сложеност и, можеби, точност во споредба со скаларен. На пример, ако не ги идентификуваме сите старосни групи во населението на земјата, земајќи ја предвид нејзината промена во целина, ќе добиеме скаларен модел (на пример, моделот Малтус); ако го изолираме, ќе добиеме матрица (пол -возраст) модел. Тоа беше матричниот модел што овозможи да се објаснат флуктуациите во плодноста по војната. Статична динамика. Овие својства на моделот обично се предодредени од својствата на вистинскиот објект. Тука нема слобода на избор. Само статичнимоделот може да биде чекор кон динамичен, или некои од променливите на моделот засега може да се сметаат за непроменети. На пример, сателит се движи околу Земјата, неговото движење е под влијание на Месечината. Ако ја земеме предвид Месечината неподвижна за време на револуцијата на сателитот, ќе добиеме поедноставен модел. Аналитички модели. Опис на процесите аналитички, формули и равенки. Но, кога се обидувате да изградите график, попогодно е да имате табели со вредности на функции и аргументи. Модели за симулација. Имитацијамоделите се појавија многу одамна во форма на копии од бродови, мостови итн. се појавија многу одамна, но неодамна се разгледуваат во врска со компјутерите. Знаејќи колку е поврзаноелементи на моделот аналитички и логички, полесно е да не се реши систем на одредени врски и равенки, туку да се прикаже реалниот систем во компјутерската меморија, земајќи ги предвид врските помеѓу мемориските елементи. Информациски модели. ИнформацииМоделите обично се во контраст со математичките, поточно алгоритамските. Односот на волуменот на податоци и алгоритмите е важен овде. Ако има повеќе податоци или е поважно, имаме информативен модел, во спротивно - математички. Модели на тема. Ова е првенствено детски модел - играчка. Иконски модели. Ова е првенствено модел во човечкиот ум: фигуративно, доколку преовладуваат графичките слики и иконски, ако има повеќе зборови и/или бројки. Моделите со фигуративни знаци се изградени на компјутер. Модели во скала. ДО големимодели се оние на предметни или фигуративни модели кои ја повторуваат формата на објектот (карта).

Можно е да се следи динамиката на развојот на објектот, внатрешната суштина на односите на неговите елементи и различни состојби во процесот на дизајнирање само со помош на модели кои го користат принципот на динамичка аналогија, т.е. со помош на математичка модели.

Математички моделе систем на математички врски што го опишуваат процесот или феноменот што се проучува. За да составите математички модел, можете да користите какви било математички средства - теорија на множества, математичка логика, јазик на диференцијални или интегрални равенки. Процесот на составување математички модел се нарекува математичко моделирање. Како и другите типови на модели, математичкиот модел претставува проблем во поедноставена форма и ги опишува само својствата и обрасците кои се најважни за даден објект или процес. Математичкиот модел овозможува мултилатерални квантитативна анализа. Со менување на првичните податоци, критериуми, ограничувања, секој пат можете да добиете оптимално решение под дадени услови и да одредите понатамошна насокапребарување.

Создавањето на математички модели бара од нивните развивачи, покрај познавање на формалните логички методи, и темелна анализа на предметот што се изучува со цел строго да се формулираат главните идеи и правила, како и да се идентификуваат доволно количество веродостојни фактички, статистички и регулаторни податоци.

Треба да се напомене дека сите тековно користени математички модели се однесуваат на прописни. Целта на развивањето на рецептивни модели е да се укаже насоката на изнаоѓање решение, додека целта на развивањето опишувајќимоделите се одраз на реалните човечки процеси на размислување.

Постои прилично распространето гледиште дека со помош на математиката е можно да се добијат само некои нумерички податоци за предметот или процесот што се проучува. „Се разбира, многу математички дисциплини се насочени кон добивање конечен нумерички резултат. Но, да се сведат математичките методи само на проблемот со добивање број, значи бескрајно да се осиромашува математиката, да се осиромашува можноста за тоа моќно оружје што денес е во рацете на истражувачите...

Математички модел напишан на еден или друг приватен јазик (на пример, диференцијални равенки) се одразува одредени својствавистински физички процеси. Како резултат на анализата на математичките модели, добиваме, пред сè, квалитативни идеи за карактеристиките на процесите што се проучуваат, воспоставуваме обрасци што ја одредуваат динамичната серија на последователни состојби и добиваме можност да го предвидиме текот на процесот. и да ги определи неговите квантитативни карактеристики“.

Математичките модели се користат во многу познати методи на моделирање. Меѓу нив се развојот на модели кои ја опишуваат статичната и динамичката состојба на објектот, модели за оптимизација.

Пример за математички модели кои ја опишуваат статичката и динамичката состојба на објектот може да бидат различни методи на традиционални структурни пресметки. Процесот на пресметување, претставен во форма на низа од математички операции (алгоритам), ни овозможува да кажеме дека е составен математички модел за пресметување на одредена структура.

ВО оптимизацијамоделите содржат три елементи:

Целна функција која го одразува прифатениот критериум за квалитет;

Прилагодливи параметри;

Наметнати ограничувања.

Сите овие елементи мора да се опишат математички во форма на равенки, логички услови итн. Решавањето на проблем за оптимизација е процес на наоѓање на минималната (максималната) вредност на функцијата на целта додека се усогласуваат со наведените ограничувања. Резултатот од решението се смета за оптимален ако целната функција ја достигне својата екстремна вредност.

Пример за модел за оптимизација е математички опис на критериумот „должина на поврзување“ во методот на алтернативен дизајн на индустриски згради.

Целната функција ја одразува вкупната пондерирана должина на сите функционални врски, која треба да се стреми кон минимум:

каде е тежинската вредност на врската на елементот со ;

– должина на поврзување помеѓу и елементи;

– вкупниот број на поставени елементи.

Бидејќи областите на поставените елементи на просториите се еднакви во сите варијанти на дизајнерското решение, варијантите се разликуваат една од друга само во различните растојанија помеѓу елементите и нивната локација релативно една на друга. Следствено, прилагодливите параметри во овој случај се координатите на елементите поставени на плановите на подот.

Наметнати ограничувања за местоположбата на елементите (на однапред фиксирано место на планот, на надворешниот периметар, еден врз друг итн.) и на должината на приклучоците (должините на врските меѓу елементите се строго специфицирани, минимум или максималните граници на вредностите се специфицирани, границите на промената се одредени вредности) се напишани формално.

Опција се смета за оптимална (според овој критериум) ако вредноста на целната функција пресметана за оваа опција е минимална.

Различни математички модели - економско-математички модел– претставува модел на комуникација економски карактеристикии системски параметри.

Пример за економско-математички модели е математичкиот опис на критериумите за трошоци во гореспоменатиот метод на алтернативно проектирање на индустриски објекти. Математичките модели добиени врз основа на употребата на методи за математичка статистика ја одразуваат зависноста на цената на рамката, темелите, земјените работи на еднокатни и повеќекатни индустриски згради и нивната висина, распон и чекор на носечки конструкции.

Врз основа на методот на земање предвид на влијанието на случајните фактори врз одлучувањето, математичките модели се делат на детерминистички и веројатни. Детерминистичкимоделот не го зема предвид влијанието на случајните фактори во процесот на функционирање на системот и се заснова на аналитичко прикажување на функционалните обрасци. Веројатно (стохастичко)моделот го зема предвид влијанието на случајните фактори во текот на работата на системот и се заснова на статистички, т.е. квантитативна проценка на масовните феномени, овозможувајќи да се земе предвид нивната нелинеарност, динамика, случајни нарушувања опишани со различни закони за дистрибуција.

Користејќи ги горенаведените примери, можеме да кажеме дека математичкиот модел кој го опишува критериумот „должина на врски“ се однесува на детерминистички модели, а математичките модели кои ја опишуваат групата критериуми „трошоци“ се однесуваат на веројатност.

Јазични, семантички и информациски модели

Математичките модели имаат очигледни предности бидејќи квантифицирањето на аспектите на проблемот дава јасна слика за приоритетите на целите. Важно е специјалистот секогаш да може да го оправда донесувањето на одредена одлука со презентирање на релевантни нумерички податоци. Сепак, целосниот математички опис проектни активностиневозможно, затоа повеќето од проблемите решени во почетната фаза на архитектонскиот и градежен дизајн се однесуваат на лошо структурирани.

Една од карактеристиките на полуструктурираните проблеми е вербалниот опис на критериумите што се користат во нив. Воведување критериуми опишани на природен јазик (такви критериуми се нарекуваат лингвистички), ви овозможува да користите помалку сложени методи за да најдете оптимални решенија за дизајн. Со оглед на таквите критериуми, дизајнерот донесува одлука врз основа на познати, несомнени изрази на цели.

Смислениот опис на сите аспекти на проблемот воведува систематизација во процесот на негово решавање, од една страна, а од друга, во голема мера ја олеснува работата на специјалистите кои, без да ги проучуваат соодветните гранки на математиката, можат повеќе да ги решаваат своите професионални проблеми. рационално. На сл. 5.2 е дадена јазичен модел, опишувајќи ги можностите за создавање услови за природна вентилација во различни опции за распоред на пекара.

Други придобивки од значајните описи на проблеми вклучуваат:

Способност да се опишат сите критериуми кои ја одредуваат ефективноста на дизајнерското решение. Во исто време, важно е сложените концепти да можат да се воведат во описот и видното поле на специјалистот, заедно со квантитативните, мерливи фактори, ќе вклучува и квалитативни, немерливи. Така, во моментот на одлучување ќе се користат сите субјективни и објективни информации;

Ориз. 5.2 Опис на содржината на критериумот „вентилација“ во форма на лингвистички модел

Способноста недвосмислено да се процени степенот на постигнување на целта во опциите за овој критериум врз основа на формулациите прифатени од специјалисти, со што се обезбедува веродостојноста на добиените информации;

Способност да се земе предвид неизвесноста поврзана со нецелосно познавање на сите последици од донесените одлуки, како и предвидливи информации.

Моделите кои користат природен јазик за да го опишат предметот на проучување, исто така, вклучуваат семантички модели.

Семантички модел- постои таква претстава на објект што го одразува степенот на меѓусебна поврзаност (блискост) помеѓу различните компоненти, аспекти, својства на објектот. Меѓусебната поврзаност не значи релативно просторно уредување, туку поврзаност по значење.

Така, во семантичка смисла, односот помеѓу коефициентот на природно осветлување и светлосната површина на проѕирните огради ќе биде претставен како поблизок од односот помеѓу отворите на прозорците и соседните слепи делови на ѕидот.

Множеството на врски за поврзување покажува што претставува секој елемент избран во објектот и објектот како целина. Во исто време, семантичкиот модел ја рефлектира, покрај степенот на поврзаност на различните аспекти во објектот, и содржината на концептите. Елементарните модели се концепти изразени на природен јазик.

Конструкцијата на семантичките модели се заснова на принципите според кои концептите и врските не се менуваат во текот на целото време кога се користи моделот; содржината на еден концепт не се пренесува на друг; врските меѓу два концепта имаат еднаква и неориентирана интеракција во однос на нив.

Секоја анализа на моделот има за цел да избере елементи од моделот кои имаат одреден заеднички квалитет. Ова дава основа за конструирање на алгоритам кој ги зема предвид само директните врски. При конвертирање на модел во ненасочен график, се наоѓа патека помеѓу два елементи која го следи движењето од еден елемент до друг, користејќи го секој елемент само еднаш. Редоследот по кој се појавуваат елементите се нарекува низа на двата елементи. Секвенците може да имаат различни должини. Најкратките од нив се нарекуваат односи со елементи. Низа од два елементи постои дури и ако постои директна врска меѓу нив, но во овој случај нема врска.

Како пример за семантички модел, даваме опис на распоредот на стан заедно со комуникациските врски. Концептот е простории на стан. Под директно поврзување се подразбира функционално поврзување на две простории, на пример со врата (види Табела 5.1).

Трансформирањето на моделот во форма на ненасочен график ни овозможува да добиеме низа елементи (сл. 5.3).

Примери за низата формирана помеѓу елементот 2 (бања) и елементот 6 (шпајзот) се дадени во табелата. 5.2. Како што може да се види од табелата, низата 3 ја претставува врската на овие два елементи.

Табела 5.1

Опис на распоредот на станот

Ориз. 5.3 Опис на планското решение во форма на ненасочен график

Што е математички модел?

Концептот на математички модел.

Математичкиот модел е многу едноставен концепт. И многу важно. Токму математичките модели ги поврзуваат математиката и реалниот живот.

Зборувајќи на едноставен јазик, математички модел е математички опис на која било ситуација.Тоа е се. Моделот може да биде примитивен, или може да биде супер комплексен. Без оглед на ситуацијата, таков е моделот.)

Во било кој (повторувам - во било која!) во случај кога треба да броите и пресметате нешто - ние сме ангажирани во математичко моделирање. Дури и ако не се сомневаме.)

P = 2 CB + 3 CM

Овој запис ќе биде математички модел на трошоците за нашите набавки. Моделот не ја зема предвид бојата на пакувањето, рокот на употреба, учтивоста на касиерите итн. Затоа таа модел,не е вистинско купување. Но трошоците, т.е. што ни треба- ќе дознаеме сигурно. Ако моделот е точен, се разбира.

Корисно е да се замисли што е математички модел, но тоа не е доволно. Најважно е да можете да ги изградите овие модели.

Изработка (конструкција) на математички модел на задачата.

Да се ​​создаде математички модел значи да се преведат условите на проблемот во математичка форма. Оние. претворете ги зборовите во равенка, формула, неравенство итн. Покрај тоа, трансформирајте го така што оваа математика строго одговара оригинален текст. Во спротивно, ќе завршиме со математички модел на некој друг за нас непознат проблем.)

Поконкретно, ви треба

Во светот има бесконечен број задачи. Затоа, понудете јасни чекор-по-чекор инструкции за изготвување математички модел било којзадачите се невозможни.

Но, постојат три главни точки на кои треба да обрнете внимание.

1. Секој проблем содржи текст, чудно е доволно.) Овој текст, по правило, содржи експлицитни, отворени информации.Броеви, вредности итн.

2. Секој проблем има скриени информации.Ова е текст кој претпоставува дополнително знаење во вашата глава. Нема начин без нив. Покрај тоа, математичките информации често се кријат зад едноставни зборови и... го лизнуваат вниманието од минатото.

3. Секоја задача мора да се даде поврзување на податоци едни со други.Оваа врска може да се даде во обичен текст (нешто е еднакво на нешто), или може да се скрие зад едноставни зборови. Но, едноставните и јасни факти често се занемаруваат. И моделот не е компајлиран на кој било начин.

Веднаш ќе кажам: за да ги примените овие три точки, треба да го прочитате проблемот (и внимателно!) неколку пати. Вообичаена работа.

И сега - примери.

Да почнеме со едноставен проблем:

Петрович се вратил од риболов и гордо го претставил својот улов на семејството. По внимателно испитување, се покажа дека 8 риби потекнуваат од северните мориња, 20% од сите риби потекнуваат од јужните мориња, а ниту една не доаѓа од локалната река каде што Петрович риболов. Колку риби купи Петрович во продавницата за морска храна?

Сите овие зборови треба да се претворат во некаква равенка. За да го направите ова ви треба, повторувам, воспостави математичка врска помеѓу сите податоци во проблемот.

Каде да се започне? Прво, да ги извлечеме сите податоци од задачата. Да почнеме по редослед:

Ајде да обрнеме внимание на првата точка.

Кој е тука? експлицитнаматематички информации? 8 риби и 20%. Не многу, но не ни треба многу.)

Да обрнеме внимание на втората точка.

Се бараат скриениинформации. Тука е. Ова се зборовите: „20% од сите риби". Овде треба да разберете кои се процентите и како се пресметуваат. Во спротивно, проблемот не може да се реши. Токму тоа е она што дополнителни информации, што треба да биде во вашата глава.

Исто така постои математичкиинформации кои се целосно невидливи. Ова прашање на задача: "Колку риби купив...“Ова е исто така бројка. И без него нема да се формира модел. Затоа, да го означиме овој број со буквата „Х“.Сè уште не знаеме на што е x, но оваа ознака ќе ни биде многу корисна. Повеќе детали за тоа што да земете за X и како да се справите со него се напишани во лекцијата Како да решавате проблеми по математика? Ајде да го запишеме веднаш:

x парчиња - вкупен број риби.

Во нашиот проблем, јужните риби се дадени во проценти. Треба да ги претвориме во парчиња. За што? Тогаш што во било којмора да се изготви проблемот на моделот во ист тип на количини.Парчиња - значи сè е на парчиња. Ако се дадени, да речеме, часови и минути, ние преведуваме сè во една работа - или само часови, или само минути. Не е важно што е тоа. Важно е дека сите вредности беа од ист тип.

Да се ​​вратиме на откривањето информации. Кој не знае што е интерес никогаш нема да го открие, да... Ама кој знае веднаш ќе каже дека интересот овде е од вкупен бројсе даваат риби. И ние не ја знаеме оваа бројка. Ништо нема да работи!

Не за џабе го пишуваме вкупниот број риби (на парчиња!) "Х"назначен. Нема да може да се изброи бројот на јужните риби, но можеме да ги запишеме? Како ова:

0,2 x парчиња - бројот на риби од јужните мориња.

Сега ги преземавме сите информации од задачата. И очигледни и скриени.

Да обрнеме внимание на третата точка.

Се бараат математичка врскапомеѓу податоците за задачите. Оваа врска е толку едноставна што многумина не ја забележуваат... Ова често се случува. Тука е корисно едноставно да ги запишете собраните податоци на куп и да видите што е.

Што имаме ние? Јадете 8 парчињасеверна риба, 0,2 x парчиња- јужна риба и x риба- вкупна количина. Дали е можно некако да се поврзат овие податоци заедно? Да Лесно! Вкупен број на риби еднаквизбир на јужна и северна! Па, кој би помислил...) Затоа го запишуваме:

x = 8 + 0,2x

Ова е равенката математички модел на нашиот проблем.

Ве молиме имајте предвид дека во овој проблем Од нас не се бара ништо да виткаме!Ние самите, без глава, сфативме дека збирот на јужната и северната риба ќе ни го даде вкупниот број. Работата е толку очигледна што останува незабележана. Но, без овие докази, не може да се создаде математички модел. Како ова.

Сега можете да ја искористите целата моќ на математиката за да ја решите оваа равенка). Токму затоа е составен математичкиот модел. Ја решаваме оваа линеарна равенка и го добиваме одговорот.

Одговор: x=10

Ајде да создадеме математички модел на друг проблем:

Го прашаа Петрович: „Имаш ли многу пари? Петрович почна да плаче и одговори: „Да, само малку. Ако потрошам половина од сите пари, а половина од остатокот, тогаш ќе ми остане само една вреќа пари...“ Колку пари има Петрович ?

Повторно работиме точка по точка.

1. Бараме експлицитни информации. Нема да го најдете веднаш! Експлицитни информации се еденторба со пари. Има уште неколку половини... Па, тоа ќе го разгледаме во втората точка.

2. Бараме скриени информации. Ова се половини. Што? Не многу јасно. Ние бараме понатаму. Има уште едно прашање: „Колку пари има Петрович?Со буквата да ја означиме сумата на пари "Х":

X- сите пари

И повторно го читаме проблемот. Веќе знаејќи дека Петрович Xпари. Ова е местото каде што половините ќе работат! Запишуваме:

0,5 x- половина од сите пари.

Остатокот исто така ќе биде половина, т.е. 0,5 x.И половина од половина може да се напише вака:

0,5 0,5 x = 0,25x- половина од остатокот.

Сега сите скриени информации се откриени и снимени.

3. Бараме врска помеѓу снимените податоци. Овде можете едноставно да го прочитате страдањето на Петрович и да го запишете математички):

Ако потрошам половина од сите пари...

Ајде да го снимиме овој процес. Сите пари - X.Половина - 0,5 x. Да се ​​троши значи да се одземе. Фразата се претвора во снимка:

x - 0,5 x

да, половина од остатокот...

Да одземеме уште половина од остатокот:

x - 0,5 x - 0,25x

тогаш ќе ми остане само една вреќа пари...

И тука најдовме еднаквост! По сите одземања, останува една вреќа пари:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Еве го, математички модел! Ова е повторно линеарна равенка, ја решаваме, добиваме:

Прашање за разгледување. Што е четири? Рубља, долар, јуани? И во кои единици се напишани парите во нашиот математички модел? Во вреќи!Тоа значи четири торбапари од Петрович. Добро исто така.)

Задачите се, се разбира, елементарни. Ова е конкретно за да се долови суштината на изготвувањето на математички модел. Некои задачи може да содржат многу повеќе податоци, во кои може лесно да се изгубите. Ова често се случува во т.н. задачи за компетентност. Како да се извлече математичка содржина од куп зборови и бројки е прикажано со примери

Уште една забелешка. Во класичните училишни проблеми (цевки што полнат базен, чамци лебдат некаде итн.), сите податоци, по правило, се избираат многу внимателно. Постојат две правила:
- има доволно информации во проблемот за да се реши,
- Нема непотребни информации во некој проблем.

Ова е навестување. Ако има некоја вредност неискористена во математичкиот модел, размислете дали има грешка. Доколку нема доволно податоци, најверојатно, не се идентификувани и снимени сите скриени информации.

Во надлежност и друго животни задачиовие правила не се почитуваат строго. Нема поим. Но, и таквите проблеми можат да се решат. Ако, се разбира, вежбате на класичните.)

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.