Странична површина на правилна четириаголна пирамида: формули и примери на проблеми. Како да се најде страничната површина на пирамидата Страничната површина на пирамидата е еднаква на збирот

е повеќеслојна фигура, чија основа е многуаголник, а останатите лица се претставени со триаголници со заедничко теме.

Ако основата е квадрат, тогаш пирамидата се нарекува четириаголна, ако триаголник – тогаш триаголен. Висината на пирамидата е извлечена од нејзиниот врв нормално на основата. Се користи и за пресметување на површина апотема– висината на страничното лице, спуштено од нејзиниот врв.
Формулата за плоштината на страничната површина на пирамидата е збирот на површините на нејзините странични лица, кои се еднакви една со друга. Сепак, овој метод на пресметка се користи многу ретко. Во основа, површината на пирамидата се пресметува преку периметарот на основата и апотемата:

Да разгледаме пример за пресметување на површината на страничната површина на пирамидата.

Нека е дадена пирамида со основа ABCDE и врвот F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Апотема a = 5 cm Најдете ја плоштината на страничната површина на пирамидата.
Ајде да го најдеме периметарот. Бидејќи сите рабови на основата се еднакви, периметарот на пентагонот ќе биде еднаков на:
Сега можете да ја најдете страничната област на пирамидата:

Областа на правилна триаголна пирамида

Правилната триаголна пирамида се состои од основа во која лежи правилен триаголник и три странични страни кои се еднакви по површина.
Формулата за страничната површина на правилна триаголна пирамида може да се пресмета на различни начини. Можете да ја примените вообичаената формула за пресметка користејќи го периметарот и апотемата, или можете да ја пронајдете плоштината на едно лице и да ја помножите со три. Бидејќи лицето на пирамидата е триаголник, ја применуваме формулата за плоштина на триаголник. Ќе бара апотема и должина на основата. Ајде да разгледаме пример за пресметување на страничната површина на правилна триаголна пирамида.

Дадена е пирамида со апотема a = 4 cm и основа на лицето b = 2 cm. Најдете ја плоштината на страничната површина на пирамидата.
Прво, пронајдете ја областа на едно од страничните лица. ВО во овој случајТаа ќе биде:
Заменете ги вредностите во формулата:
Бидејќи во обична пирамида сите страни се исти, површината на страничната површина на пирамидата ќе биде еднаква на збирот на површините на трите лица. Соодветно:

Областа на скратена пирамида

СкратенПирамида е полиедар кој е формиран од пирамида и нејзиниот пресек паралелен со основата.
Формулата за страничната површина на скратена пирамида е многу едноставна. Плоштината е еднаква на производот од половина од збирот на периметрите на основите и апотемата:

Дефиниција за пирамида

Пирамидае многуедар, чија основа е многуаголник, а лицата му се триаголници.

Онлајн калкулатор

Вреди да се задржиме на дефиницијата на некои компоненти на пирамидата.

Таа, како и другите полиедри, има ребра. Тие се спојуваат во една точка наречена врвпирамиди. Може да се заснова на произволен многуаголник. Работповикани геометриска фигура, формирана од една од страните на основата и две најблиски ребра. Во нашиот случај тоа е триаголник. Висинапирамида е растојанието од рамнината во која се наоѓа нејзината основа до врвот на полиедарот. За обична пирамида има и концепт апотеми- ова е нормално спуштено од врвот на пирамидата до нејзината основа.

Видови пирамиди

Постојат 3 типа на пирамиди:

1. Правоаголни- оној во кој кој било раб формира прав агол со основата.
2. Точно- неговата основа е правилна геометриска фигура, а темето на самиот многуаголник е проекција на центарот на основата.
3. Тетраедар- пирамида составена од триаголници. Покрај тоа, секој од нив може да се земе како основа.

Формула за површина на пирамида

За да ја пронајдете вкупната површина на пирамидата, треба да ја додадете површината на страничната површина и површината на основата.

Наједноставниот случај е случајот со обична пирамида, па ќе се справиме со тоа. Дозволете ни да ја пресметаме вкупната површина на таквата пирамида. Површината на страничната површина е:

S страна = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(страна))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pС страна​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅стр

Ll л- апотема на пирамидата;
стр стр стр- периметарот на основата на пирамидата.

Вкупна површина на пирамидата:

S = S страна + S главна S=S_(\текст(страна))+S_(\текст(главна))S=С страна​ + С основни​

S страна S_(\текст(страна)) С страна​ - површина на страничната површина на пирамидата;
Главен S_(\текст(основен)) С основни​ - областа на основата на пирамидата.

Пример за решавање на проблем.

Најдете ја вкупната површина на триаголна пирамида ако нејзината апотема е 8 (cm), а во основата има рамностран триаголник со страна 3 (cm)

Решение

L = 8 l=8 l =8
a = 3 a = 3 a =3

Ајде да го најдеме периметарот на основата. Бидејќи основата е рамностран триаголник со страна а а а, потоа неговиот периметар стр стр стр(збир на сите негови страни):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9стр =a +a +a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

Тогаш страничната област на пирамидата е:

S страна = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(страна))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cточка 8\cточка 9=36С страна​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅стр =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (види квадрат)

Сега да ја најдеме областа на основата на пирамидата, односно областа на триаголникот. Во нашиот случај, триаголникот е рамностран и неговата површина може да се пресмета со формулата:

S main = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)С основни​ = 4 3 ​ ⋅ а 2 ​

А а а- страна на триаголникот.

Добиваме:

S main = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3,9 S_(\text(основно))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3 )\cточка 3^2)(4)\приближно 3.9С основни​ = 4 3 ​ ⋅ а 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (види квадрат)

Вкупна површина:

S = S страна + S главна ≈ 36 + 3,9 = 39,9 S=S_(\текст(страна))+S_(\текст(главна))\приближно36+3,9=39,9S=С страна​ + С основни​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (види квадрат)

Одговор: 39,9 см квадратни.

Друг пример, малку покомплициран.

Основата на пирамидата е квадрат со површина од 36 (cm2). Апотемата на многуедар е 3 пати поголема од страната на основата а а а. Најдете ја вкупната површина на оваа бројка.

Решение

S quad = 36 S_(\text(quad))=36С четири​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ а

Да ја најдеме страната на основата, односно страната на квадратот. Неговата површина и должината на страната се поврзани:

S quad = a 2 S_(\text(quad))=a^2С четири​ = а 2
36 = a 2 36 = a^2 3 6 = а 2
a = 6 a=6 a =6

Ајде да го најдеме периметарот на основата на пирамидата (т.е. периметарот на квадратот):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24стр =a +a +a +a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

Ајде да ја најдеме должината на апотемата:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

Во нашиот случај:

S quad = S главен S_(\text(quad))=S_(\text(основен))С четири​ = С основни​

Останува само да се најде областа на страничната површина. Според формулата:

S страна = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(страна))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216С страна​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅стр =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (види квадрат)

Вкупна површина:

$С={С}^{\text{страна + Сосновни = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (види квадрат)}}$

Одговор: 252 см квадратни.

Во редовна триаголна пирамида САБЦ Р- средината на реброто АБ, С- врв.
Познато е дека SR = 6, а страничната површина е еднаква на 36 .
Најдете ја должината на сегментот п.н.е..

Ајде да направиме цртеж. Во правилна пирамида, страничните лица се рамнокраки триаголници.

Линиски сегмент С.Р.- средната спуштена до основата, а со тоа и висината на страничното лице.

Површината на страничната површина на правилна триаголна пирамида е еднаква на збирот на површините
три еднакви странични лица S страна = 3 S ABS. Од тука S ABS = 36: 3 = 12- област на лицето.

Површината на триаголникот е еднаква на половина од производот на неговата основа и висина
S ABS = 0,5 AB SR. Знаејќи ја областа и висината, ја наоѓаме страната на основата AB = п.н.е.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Одговори: 4

Можете да му пристапите на проблемот од другиот крај. Нека основата страна AB = BC = a.
Потоа пределот на лицето S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Површината на секое од трите лица е еднаква на 3а, површината на трите лица е еднаква 9а.
Според условите на проблемот, површината на страничната површина на пирамидата е 36.
S страна = 9а = 36.
Од тука a = 4.

Пред да ги проучувате прашањата за оваа геометриска фигура и нејзините својства, треба да разберете некои поими. Кога човек ќе слушне за пирамида, замислува огромни градби во Египет. Вака изгледаат наједноставните. Но, тие се случуваат различни типовии форми, што значи дека формулата за пресметка за геометриските форми ќе биде различна.

Видови фигури

Пирамида - геометриска фигура, означувајќи и претставувајќи неколку лица. Во суштина, ова е истиот полиедар, во основата на кој лежи многуаголник, а на страните има триаголници што се поврзуваат во една точка - темето. Бројката доаѓа во два главни типа:

• точно;
• скратена.

Во првиот случај, основата е правилен многуаголник. Овде сите странични површини се еднаквимеѓу себе и самата фигура ќе го задоволи окото на перфекционистот.

Во вториот случај, има две основи - голема на самото дно и мала помеѓу врвот, повторувајќи ја формата на главната. Со други зборови, скратена пирамида е полиедар со пресек формиран паралелно со основата.

Термини и симболи

Клучни услови:

• Правилен (рамностран) триаголник- фигура со три еднакви агли и еднакви страни. Во овој случај, сите агли се 60 степени. Фигурата е наједноставната од редовните полиедри. Ако оваа бројка лежи во основата, тогаш таков полиедар ќе се нарече правилен триаголен. Ако основата е квадрат, пирамидата ќе се нарече правилна четириаголна пирамида.
• Теме– највисоката точка каде што се спојуваат рабовите. Висината на врвот се формира со права линија која се протега од врвот до основата на пирамидата.
• Работ– една од рамнините на многуаголникот. Може да биде во форма на триаголник во случај на триаголна пирамида или во форма на трапез за скратена пирамида.
• Секција – рамна фигура, формирана како резултат на дисекција. Не треба да се меша со дел, бидејќи дел исто така покажува што се наоѓа зад делот.
• Апотема- сегмент извлечен од врвот на пирамидата до нејзината основа. Тоа е и висината на лицето каде што се наоѓа втората висинска точка. Оваа дефиницијаважи само за обичен полиедар. На пример, ако ова не е скратена пирамида, тогаш лицето ќе биде триаголник. Во овој случај, висината на овој триаголник ќе стане апотема.

Формули за области

Најдете ја страничната површина на пирамидатабило кој тип може да се направи на неколку начини. Ако фигурата не е симетрична и е многуаголник со различни страни, тогаш во овој случај полесно е да се пресмета вкупната површина преку севкупноста на сите површини. Со други зборови, треба да ја пресметате површината на секое лице и да ги соберете заедно.

Во зависност од тоа кои параметри се познати, може да бидат потребни формули за пресметување на квадрат, трапез, произволен четириаголник итн. Самите формули во различни случаиќе има и разлики.

Во случај на редовна фигура, наоѓањето на областа е многу полесно. Доволно е да знаете само неколку клучни параметри. Во повеќето случаи, пресметките се потребни посебно за такви бројки. Затоа, соодветните формули ќе бидат дадени подолу. Во спротивно, ќе треба да напишете сè на неколку страници, што само ќе ве збуни и збуни.

Основна формула за пресметкаСтраничната површина на правилната пирамида ќе ја има следната форма:

S=½ Pa (P е периметар на основата и е апотема)

Ајде да погледнеме еден пример. Полиедарот има основа со отсечки A1, A2, A3, A4, A5 и сите се еднакви на 10 cm Апотемата нека биде еднаква на 5 cm Прво треба да го пронајдете периметарот. Бидејќи сите пет лица на основата се исти, можете да ја најдете вака: P = 5 * 10 = 50 cm Следно, ја применуваме основната формула: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm на квадрат.

Странична површина на правилна триаголна пирамиданајлесно за пресметување. Формулата изгледа вака:

S =½* ab *3, каде што a е апотема, b е лицето на основата. Факторот три овде значи број на лица на основата, а првиот дел е површината на страничната површина. Ајде да погледнеме на пример. Дадена е фигура со апотема 5 cm и основен раб 8 cm Пресметуваме: S = 1/2*5*8*3=60 cm на квадрат.

Странична површина на скратена пирамидаМалку е потешко да се пресмета. Формулата изгледа вака: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, каде што p_01 и p_02 се периметрите на базите и е апотема. Ајде да погледнеме на пример. Да речеме дека за четириаголна фигура димензиите на страните на основите се 3 и 6 cm, а апотемата е 4 cm.

Овде, прво треба да ги пронајдете периметрите на основите: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 см. Останува да ги замениме вредностите во главната формула и да добиеме: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 см на квадрат.

Така, можете да ја најдете страничната површина на редовна пирамида од секаква сложеност. Треба да бидете внимателни и да не се мешатеовие пресметки со вкупната површина на целиот полиедар. И ако сè уште треба да го направите ова, само пресметајте ја површината на најголемата основа на полиедарот и додајте ја во областа на страничната површина на полиедарот.

Видео

Ова видео ќе ви помогне да ги консолидирате информациите за тоа како да ја пронајдете страничната површина на различни пирамиди.

Пирамида- една од сортите на полиедар формирана од многуаголници и триаголници кои лежат во основата и се негови лица.

Покрај тоа, на врвот на пирамидата (т.е. во една точка) сите лица се обединети.

За да се пресмета површината на пирамидата, вреди да се утврди дека нејзината странична површина се состои од неколку триаголници. И лесно можеме да ги најдеме нивните области користејќи ги

различни формули. Во зависност од тоа какви податоци знаеме за триаголниците, ја бараме нивната плоштина.

Набројуваме неколку формули кои можат да се користат за да се најде плоштината на триаголниците:

1. S = (a*h)/2 . Во овој случај, ја знаеме висината на триаголникот ч , кој се спушта на страна а .
2. S = a*b*sinβ . Еве ги страните на триаголникот а , б , а аголот меѓу нив е β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Еве ги страните на триаголникот а, б, в . Радиусот на круг кој е впишан во триаголник е р .
4. S = (a*b*c)/4*R . Радиусот на ограничен круг околу триаголник е Р .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Оваа формула треба да се применува само кога триаголникот е правоаголен.
6. S = (a²*√3)/4 . Оваа формула ја применуваме на рамностран триаголник.

Само откако ќе ги пресметаме плоштините на сите триаголници кои се лица на нашата пирамида, можеме да ја пресметаме површината на нејзината странична површина. За да го направите ова, ќе ги користиме горенаведените формули.

За да се пресмета површината на страничната површина на пирамидата, не се појавуваат никакви тешкотии: треба да го дознаете збирот на површините на сите триаголници. Да го изразиме ова со формулата:

Sp = ΣSi

Еве Си е плоштината на првиот триаголник и С П - површина на страничната површина на пирамидата.

Ајде да погледнеме на пример. Со оглед на правилна пирамида, нејзините странични лица се формираат од неколку рамностран триаголници,

« Геометријата е најмоќната алатка за изострување на нашите ментални способности».

Галилео Галилеј.

а квадратот е основата на пирамидата. Покрај тоа, работ на пирамидата има должина од 17 см. Ајде да ја најдеме областастраничната површина на оваа пирамида.

Размислуваме вака: знаеме дека лицата на пирамидата се триаголници, тие се рамнострани. Знаеме и колкава е должината на работ на оваа пирамида. Следи дека сите триаголници имаат еднакви страни и нивната должина е 17 cm.

За да ја пресметате плоштината на секој од овие триаголници, можете да ја користите следнава формула:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 cm²

Значи, бидејќи знаеме дека квадратот лежи во основата на пирамидата, излегува дека имаме четири рамностран триаголници. Ова значи дека површината на страничната површина на пирамидата може лесно да се пресмета со користење следнава формула: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Нашиот одговор е како што следува: 500,548 cm² - ова е областа на страничната површина на оваа пирамида.