Редоследот на диференцијалната равенка и неговото решение, проблемот на Коши. Алгоритам за решавање на линеарни системи на диференцијални равенки од трет ред Линеарни нехомогени равенки со константни коефициенти

За оваа равенка имаме:

; (5.22)

. (5.23)

Последната детерминанта го дава условот 3 > 0. Условот Δ 2 > 0, за 0 > 0, 1 > 0 и 3 > 0, може да се задоволи само за 2 > 0.

Следствено, за равенка од трет ред, позитивноста на сите коефициенти на карактеристичната равенка повеќе не е доволна. Исто така, потребно е да се исполни одредена врска помеѓу коефициентите a 1 a 2 > a 0 a 3.

4. Равенка од четврти ред

Слично на она што беше направено погоре, можеме да добиеме дека за равенка од четврти ред, покрај позитивноста на сите коефициенти, мора да се исполни и следниот услов:

Значаен недостаток на алгебарските критериуми, вклучувајќи ги и критериумите на Хурвиц, е и тоа што за равенките од висок ред, во најдобар случај, може да се добие одговор дали системот за автоматска контрола е стабилен или нестабилен. Покрај тоа, во случај на нестабилен систем, критериумот не одговара како параметрите на системот треба да се променат за да се направи стабилен. Оваа околност доведе до барање други критериуми кои би биле попогодни во инженерската пракса.

5.3. Критериум за стабилност на Михајлов

Да ја разгледаме одделно левата страна на карактеристичната равенка (5.7), која е карактеристичниот полином

Да ја замениме во овој полином чисто имагинарната вредност p = j, каде што  ја претставува аголната фреквенција на осцилациите што одговараат на чисто имагинарниот корен на карактеристичното решение. Во овој случај го добиваме карактеристичниот комплекс

каде што реалниот дел ќе содржи дури и моќи на фреквенција

и имагинарното - непарни степенифреквенции

Е

Ориз. 5.4. Ходограф на Михајлов

Ако се дадени сите коефициенти и одредена вредност на фреквенцијата, тогаш вредноста D(j) ќе биде прикажана на сложената рамнина како точка со координати U и V или како вектор што ја поврзува оваа точка со почетокот. Ако вредноста на фреквенцијата постојано се менува од нула до бесконечност, тогаш векторот ќе се менува по големина и насока, опишувајќи со својот крај одредена крива (ходограф), која се нарекува Михајловската крива (Сл. 5.4).

Во пракса, кривата на Михајлов се конструира точка по точка, а се наведени различни вредности на фреквенцијата  и U() и V() се пресметуваат со помош на формулите (5.28), (5.29). Резултатите од пресметката се сумирани во табела. 5.1.

Табела 5.1

Изградба на Михајловската крива

Со помош на оваа табела се конструира самата крива (сл. 5.4).

Да одредиме колку аголот на ротација  на векторот D(j) треба да биде еднаков кога фреквенцијата  се менува од нула до бесконечност. За да го направите ова, го запишуваме карактеристичниот полином како производ на множители

каде што  1 –  n се корените на карактеристичната равенка.

Карактеристичниот вектор потоа може да се претстави на следниов начин:

Секоја заграда претставува комплексен број. Според тоа, D(j) е производ сложени броеви. При множење се додаваат аргументите на сложените броеви. Според тоа, добиениот агол на ротација на векторот D(j) ќе биде еднаков на збиротагли на ротација на поединечни фактори (5.31) кога фреквенцијата се менува од нула до бесконечност

Дозволете ни да го дефинираме секој поим во (5.31) посебно. За да го генерализирате проблемот, размислете различни видовикорени.

1. Нека биде некој корен, на пример  1 реални и негативни , тоа е 1 = – 1 . Факторот во изразот (5.31), определен со овој корен, ќе има форма ( 1 + j). Ајде да конструираме ходограф на овој вектор на сложената рамнина додека фреквенцијата се менува од нула до бесконечност (сл. 5.5, А). Кога= 0, реалниот дел е U= 1, а имагинарниот дел е V= 0. Ова одговара на точката А, која лежи на реалната оска. На0, векторот ќе се промени на тој начин што неговиот реален дел сепак ќе биде еднаков на, а имагинарниот дел V = (точка B на графикот). Како што фреквенцијата се зголемува до бесконечност, векторот оди до бесконечност, а крајот на векторот секогаш останува на вертикалната права линија што минува низ точката А, а векторот се ротира спротивно од стрелките на часовникот.

Ориз. 5.5. Вистински корени

Добиениот агол на ротација на векторот  1 = +( / 2).

2. Нека сега е коренот  1 реално и позитивно , односно 1 = + 1.Тогаш факторот во (5.31) определен со овој корен ќе има форма (– 1 + j). Слични конструкции (сл. 5.5, б) покажете дека добиениот агол на ротација ќе биде 1 = –( / 2). Знакот минус покажува дека векторот ротира во насока на стрелките на часовникот.

3. Нека се два конјугирани корени, на пример  2 и  3, комплекс со негативен реален дел , тоа е 2;3 = –±j. Слично, факторите во изразот (5.31), определени со овие корени, ќе имаат форма (–j + j)( + j + j).

Кога = 0, почетните позиции на два вектори се одредуваат со точките A 1 и A 2 (сл. 5.6, А). Првиот вектор се ротира во насока на стрелките на часовникот во однос на реалната оска со агол еднаков на arctg( / ), а вториот вектор се ротира за истиот агол спротивно од стрелките на часовникот. Со постепено зголемување на  од нула до бесконечност, краевите на двата вектори одат до бесконечност и двата вектори на крајот се спојуваат со имагинарната оска.

Добиениот агол на ротација на првиот вектор е  2 = ( / 2) + . Добиениот агол на ротација на вториот вектор 3 = ( / 2) –. Векторот што одговара на производот (–j + j)( + j + j) ќе ротира низ аголот 2 +  3 = 2 / 2 =.

Ориз. 5.6. Комплексни корени

4. Нека бидат исти сложените корени имаат позитивен реален дел , тоа е 2;3 = +±j.

Изведување на конструкцијата слично на претходно разгледаниот случај (сл. 5.6, б), го добиваме добиениот агол на ротација 2 +  3 = –2 / 2 = –.

Така, ако карактеристичната равенка има f корени со позитивен реален дел, тогаш какви и да се овие корени (реални или сложени), тие ќе одговараат на збирот на аглите на ротација еднаков на –f ( / 2). Сите други (n – f) корени на карактеристичната равенка кои имаат негативни реални делови ќе одговараат на збирот на аглите на ротација еднаков на +(n – f)( / 2). Како резултат на тоа, вкупниот агол на ротација на векторот D(j) кога фреквенцијата се менува од нула до бесконечност според формулата (5.32) ќе има форма

 = (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f . (5.33)

Овој израз ја одредува саканата врска помеѓу обликот на Михајловската крива и знаците на реалните делови на корените на карактеристичната равенка. Во 1936 година А.В. Михајлов го формулираше следниов критериум за стабилност за линеарни системикаква било нарачка.

За стабилност на систем од n-ти ред потребно е и доволно векторот D(j  ), опишувајќи ја кривата на Михајлов, при промена  имал агол на ротација од нула до бесконечност  = n (  / 2).

Оваа формулација следи директно од (5.33). За системот да биде стабилен, неопходно е сите корени да лежат во левата полурамнина. Оттука се одредува потребниот агол на ротација на векторот.

Критериумот за стабилност на Михајлов е формулиран на следниов начин: за стабилноста на линеарен ACS, потребно е и доволно ходографот Михаилов, кога фреквенцијата се менува од нула до бесконечност, почнувајќи од позитивната полурамнина и без да го премине потеклото на координатите, секвенцијално пресекува исто толку квадранти од комплексот. рамнина како ред на полиномот на карактеристичната равенка на системот.

ЗА

Ориз. 5.7. Отпорен ATS

се чини дека Михајловската крива за стабилни системи секогаш има мазна спирална форма, а нејзиниот крај оди до бесконечност во тој квадрант на сложената рамнина, чиј број е еднаков на степенот на карактеристичната равенка (сл. 5.7). Михајловската крива не може да помине низ повеќе од n број квадранти. Затоа, нестабилноста на системот е секогаш поврзана со фактот дека во Михајловската крива се нарушува низата на премин на квадрантите, како резултат на што аголот на ротација на векторот D(j) се покажува помал отколку n ( / 2) (сл. 5.8).

За стабилен систем, Михајловската крива поминува низ последователно n квадранти на сложената рамнина.

Присуството на граници на стабилност од сите три типа може да се одреди од кривата Михајлов на следниов начин.

Во присуство на граница на стабилност прв тип (нула корен) нема слободен член на карактеристичниот полином n = 0, а кривата Михајлов го напушта потеклото (сл. 5.9, крива 1)

Ориз. 5.8. Нестабилен АТС

Ориз. 5.9. Граници на стабилност

На границата на стабилност втор тип (граница на осцилаторна стабилност) левата страна на карактеристичната равенка, односно карактеристичниот полином, исчезнува кога се заменува p = j 0

D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)

Ова имплицира две еднаквости: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. Тоа значи дека точката  =  0 на кривата Михајлов паѓа на почетокот на координатите (сл. 5.9, крива 2). Во овој случај, вредноста  0 е фреквенцијата на непридушените осцилации на системот.

За границата на стабилноста трет тип (бесконечен корен) крајот на кривата на Михајлов е исфрлен (сл. 5.9, крива 3) од еден квадрант во друг низ бесконечноста. Во овој случај, коефициентот a 0 на карактеристичниот полином (5.7) ќе помине низ нултата вредност, менувајќи го знакот од плус во минус.

Наведени се главните типови на обични диференцијални равенки од повисок ред (DEs) кои можат да се решат. Накратко се наведени методите за нивно решавање. Обезбедени се линкови до страници со детални описи на методите за решение и примери.

содржина

Исто така види: Диференцијални равенки од прв ред
Линеарни парцијални диференцијални равенки од прв ред

Диференцијални равенки од повисоки редови, овозможувајќи намалување на редот

Равенки решени со директна интеграција

Размислете за следната диференцијална равенка:
.
Интегрираме n пати.
;
;
и така натаму. Можете исто така да ја користите формулата:
.
Видете Диференцијални равенки што може директно да се решат интеграција >>

Равенките кои експлицитно не ја содржат зависната променлива y

Замената го намалува редот на равенката за еден. Еве една функција од.
Видете Диференцијални равенки од повисоки редови кои не содржат експлицитно функција > > >

Равенките кои експлицитно не ја вклучуваат независната променлива x

.
Сметаме дека тоа е функција на . Потоа
.
Слично на другите деривати. Како резултат на тоа, редоследот на равенката е намален за еден.
Видете Диференцијални равенки од повисоки редови кои не содржат експлицитна променлива > > >

Равенките се хомогени во однос на y, y′, y′′, ...

За да ја решиме оваа равенка, ја правиме замената
,
каде е функција од . Потоа
.
Слично ги трансформираме дериватите итн. Како резултат на тоа, редоследот на равенката е намален за еден.
Видете диференцијални равенки од повисок ред кои се хомогени во однос на функцијата и нејзините деривати > > >

Линеарни диференцијални равенки од повисоки редови

Ајде да размислиме линеарна хомогена диференцијална равенка од n-ти ред:
(1) ,
каде се функциите на независната променлива. Нека има n линеарно независни решенија за оваа равенка. Потоа заедничка одлукаравенката (1) има форма:
(2) ,
каде што се произволни константи. Самите функции формираат основен систем на решенија.
Систем за фундаментално решениена линеарна хомогена равенка од n-ти ред се n линеарно независни решенија на оваа равенка.

Ајде да размислиме линеарна нехомогена диференцијална равенка од n-ти ред:
.
Нека има одредено (кое било) решение за оваа равенка. Тогаш општото решение има форма:
,
каде е општото решение на хомогената равенка (1).

Линеарни диференцијални равенки со константни коефициенти и сведени на нив

Линеарни хомогени равенки со константни коефициенти

Ова се равенки на формата:
(3) .
Еве реални бројки. За да најдеме општо решение за оваа равенка, треба да најдеме n линеарно независни решенија кои формираат основен систем на решенија. Тогаш општото решение се одредува со формулата (2):
(2) .

Бараме решение во форма. Добиваме карактеристична равенка:
(4) .

Ако оваа равенка има разни корени, тогаш основниот систем на решенија има форма:
.

Ако е достапен комплексен корен
,
тогаш има и сложен конјугиран корен. Овие два корени одговараат на решенија и , кои ги вклучуваме во основниот систем наместо сложени решенија и .

Повеќекратни коренимножители одговараат на линеарно независни решенија: .

Повеќекратни сложени коренимножители и нивните сложени конјугирани вредности одговараат на линеарно независни решенија:
.

Линеарни нехомогени равенки со посебен нехомоген дел

Ајде да размислиме равенка на формата
,
каде се полиноми со степени s 1 и с 2 ; - трајно.

Прво бараме општо решение за хомогената равенка (3). Ако карактеристичната равенка (4) не содржи корен, тогаш бараме одредено решение во форма:
,
Каде
;
;
s - најголем од с 1 и с 2 .

Ако карактеристичната равенка (4) има коренмноштво, тогаш бараме одредено решение во форма:
.

После ова го добиваме општото решение:
.

Линеарни нехомогени равенки со константни коефициенти

Тука има три можни решенија.

1) Бернули метод.
Прво, наоѓаме кое било ненула решение за хомогената равенка
.
Потоа ја правиме замената
,
каде е функција од променливата x. Добиваме диференцијална равенка за u, која содржи само изводи на u во однос на x. Извршувајќи ја замената, ја добиваме равенката n - 1 - ти ред.

2) Метод на линеарна замена.
Ајде да направиме замена
,
каде е еден од корените на карактеристичната равенка (4). Како резултат на тоа, добиваме линеарна нехомогена равенка со константни коефициенти на ред. Доследно применувајќи ја оваа замена, ја намалуваме оригиналната равенка на равенка од прв ред.

3) Метод на варијација на Лагранжовите константи.
Во овој метод, прво ја решаваме хомогената равенка (3). Неговото решение изгледа вака:
(2) .
Понатаму претпоставуваме дека константите се функции на променливата x. Тогаш решението на оригиналната равенка има форма:
,
каде се непознати функции. Заменувајќи се во првобитната равенка и наметнувајќи некои ограничувања, добиваме равенки од кои можеме да го најдеме типот на функциите.

Ојлерова равенка

Се сведува на линеарна равенкасо константни коефициенти на замена:
.
Меѓутоа, за да се реши Ојлеровата равенка, нема потреба да се прави таква замена. Можете веднаш да побарате решение за хомогената равенка во форма
.
Како резултат на тоа, ги добиваме истите правила како за равенка со константни коефициенти, во која наместо променлива треба да се замени .

Референци:
В.В. Степанов, Курс на диференцијални равенки, „ЛКИ“, 2015 г.
Н.М. Гинтер, Р.О. Кузмин, Збирка задачи по виша математика, „Лан“, 2003 г.

Исто така види:

Обична диференцијална равенка е равенка што поврзува независна променлива, непозната функција на оваа променлива и нејзините деривати (или диференцијали) од различен ред.

Во ред диференцијална равенка се нарекува ред на највисокиот извод содржан во него.

Покрај обичните, се изучуваат и парцијални диференцијални равенки. Станува збор за равенки кои ги поврзуваат независните променливи, непозната функција на овие променливи и нејзините парцијални деривати во однос на истите променливи. Но, ние само ќе размислиме обични диференцијални равенки и затоа, заради краткост, ќе го изоставиме зборот „обичен“.

Примери на диференцијални равенки:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Равенката (1) е од четврти ред, равенката (2) е трет ред, равенките (3) и (4) се од втор ред, равенката (5) е од прв ред.

Диференцијална равенка nриот ред не мора нужно да содржи експлицитна функција, сите нејзини деривати од првиот до n-ти ред и независна променлива. Може експлицитно да не содржи изводи на одредени редови, функција или независна променлива.

На пример, во равенката (1) јасно е дека нема изводи од трет и втор ред, како и функција; во равенката (2) - изводот од втор ред и функцијата; во равенката (4) - независната променлива; во равенката (5) - функции. Само равенката (3) ги содржи експлицитно сите изводи, функцијата и независната променлива.

Решавање на диференцијална равенка се повикува секоја функција y = f(x), кога ќе се замени во равенката се претвора во идентитет.

Процесот на изнаоѓање решение за диференцијална равенка се нарекува нејзин интеграција.

Пример 1.Најдете го решението на диференцијалната равенка.

Решение. Ајде да ја напишеме оваа равенка во форма . Решението е да се најде функцијата од нејзиниот извод. Оригиналната функција, како што е познато од интегралното сметање, е антидериват за, т.е.

Тоа е она што е решение на оваа диференцијална равенка . Менување во него В, ќе добиеме различни решенија. Дознавме дека има бесконечен број решенија за диференцијална равенка од прв ред.

Општо решение на диференцијалната равенка nредот е негово решение, изразено експлицитно во однос на непознатата функција и содржи nнезависни произволни константи, т.е.

Решението на диференцијалната равенка во Пример 1 е општо.

Делумно решение на диференцијалната равенка се нарекува решение во кое произволни константи се дадени специфични нумерички вредности.

Пример 2.Најдете го општото решение на диференцијалната равенка и одредено решение за .

Решение. Ајде да ги интегрираме двете страни на равенката неколку пати еднаков на редот на диференцијалната равенка.

,

.

Како резултат на тоа, добивме општо решение -

на дадена диференцијална равенка од трет ред.

Сега да најдеме одредено решение под наведените услови. За да го направите ова, заменете ги нивните вредности наместо произволни коефициенти и добијте

.

Ако, покрај диференцијалната равенка, почетната состојба е дадена во форма, тогаш таквиот проблем се нарекува Коши проблем . Заменете ги вредностите и во општото решение на равенката и пронајдете ја вредноста на произволна константа В, а потоа одредено решение на равенката за пронајдената вредност В. Ова е решение за проблемот на Коши.

Пример 3.Решете ја задачата на Коши за диференцијалната равенка од Пример 1 предмет на .

Решение. Дозволете ни да ги замениме вредностите од почетната состојба во општото решение y = 3, x= 1. Добиваме

Го запишуваме решението на проблемот на Коши за оваа диференцијална равенка од прв ред:

Решавањето на диференцијални равенки, дури и наједноставните, бара добри вештини за интеграција и изведување, вклучувајќи сложени функции. Ова може да се види во следниот пример.

Пример 4.Најдете го општото решение на диференцијалната равенка.

Решение. Равенката е напишана во таква форма што можете веднаш да ги интегрирате двете страни.

.

Го применуваме методот на интеграција со промена на променлива (замена). Нека биде тогаш.

Потребно да се земе dxи сега - внимание - ова го правиме според правилата за диференцијација на сложена функција, бидејќи xи постои комплексна функција(„јаболко“ - екстракција квадратен коренили, што е истото - подигање на моќта „половина“, и „мелено месо“ е самиот израз под коренот):

Го наоѓаме интегралот:

Враќање на променливата x, добиваме:

.

Ова е општо решение за оваа диференцијална равенка од прв степен.

Не само вештините од претходните делови виша математикаќе бидат потребни при решавање на диференцијални равенки, но и вештини од основно, односно училишна математика. Како што веќе беше споменато, во диференцијална равенка од кој било ред не може да има независна променлива, односно променлива x. Знаењето за пропорциите од училиштето кое не е заборавено (сепак, во зависност од тоа кој) од училиште ќе помогне да се реши овој проблем. Ова е следниот пример.

За подлабоко разбирање на она што се случува во оваа статија, можете да прочитате.

Размислете за хомоген систем на диференцијални равенки од трет ред

Овде x(t), y(t), z(t) се потребните функции на интервалот (a, b), а ij (i, j =1, 2, 3) се реални броеви.

Дозволете ни да го напишеме оригиналниот систем во форма на матрица
,
Каде

Ќе бараме решение за оригиналниот систем во форма
,
Каде , C 1 , C 2 , C 3 се произволни константи.

За да го пронајдете основниот систем на решенија, треба да ја решите таканаречената карактеристична равенка

Оваа равенка е алгебарска равенка од трет ред, затоа има 3 корени. Можни се следниве случаи:

1. Корените (сопствените вредности) се реални и различни.

2. Меѓу корените (сопствените вредности) има сложени конјугирани, нека
- вистински корен
=

3. Корените (сопствените вредности) се реални. Еден од корените е повеќекратен.

За да дознаеме како да постапиме во секој од овие случаи, ќе ни требаат:
Теорема 1.
Нека се пар различни сопствени вредности на матрицата А и нека се нивните соодветни сопствени вектори. Потоа

формираат основен систем на решенија за оригиналниот систем.

Коментар .
Нека е вистинската сопствена вредност на матрицата А (вистинскиот корен на карактеристичната равенка) и нека е соодветниот сопствен вектор.
= - комплексни сопствени вредности на матрицата А, - соодветниот - сопствен вектор. Потоа

(Ре - реален дел, Im - имагинарен дел)
формираат основен систем на решенија за оригиналниот систем. (т.е. и = разгледани заедно)

Теорема 3.
Нека е коренот на карактеристичната равенка на мноштвото 2. Тогаш оригиналниот систем има 2 линеарно независни решенија на формата
,
каде , се векторски константи. Ако множеството е 3, тогаш има 3 линеарно независни решенија на формата
.
Векторите се наоѓаат со замена на решенијата (*) и (**) во оригиналниот систем.
За подобро разбирање на методот за наоѓање решенија од формата (*) и (**), видете ги типичните примери подолу.

Сега да го разгледаме секој од горенаведените случаи подетално.

1. Алгоритам за решение хомогени системидиференцијални равенки од трет ред во случај на различни реални корени на карактеристичната равенка.
Со оглед на системот

1) Составуваме карактеристична равенка

- реални и различни сопствени вредности на 9-те корени на оваа равенка).
2) Градиме каде

3) Градиме каде
- сопствен вектор на матрицата А, што одговара на , т.е. - секое системско решение

4) Градиме каде
- сопствен вектор на матрицата А, што одговара на , т.е. - секое системско решение

5)

сочинуваат основен систем на решенија. Следно, го пишуваме општото решение на оригиналниот систем во форма
,
тука C 1, C 2, C 3 се произволни константи,
,
или во координатна форма

Ајде да погледнеме неколку примери:
Пример 1.




2) Најдете


3) Ние наоѓаме


4) Векторски функции



или во координатна нотација

Пример 2.

1) Ја составуваме и решаваме карактеристичната равенка:

2) Најдете


3) Ние наоѓаме


4) Најдете


5) Векторски функции

формираат фундаментален систем. Општото решение има форма

или во координатна нотација

2. Алгоритам за решавање на хомогени системи на диференцијални равенки од трет ред во случај на сложени конјугирани корени на карактеристичната равенка.


- вистински корен,

2) Градиме каде

3) Градиме

- сопствен вектор на матрицата А, што одговара на , т.е. го задоволува системот

Тука Re е вистинскиот дел
Im - имагинарен дел
4) сочинуваат основен систем на решенија. Следно, го запишуваме општото решение на оригиналниот систем:
, Каде
C 1, C 2, C 3 се произволни константи.

Пример 1.

1) Состави и реши ја карактеристичната равенка

2) Градиме

3) Градиме
, Каде

Да ја намалиме првата равенка за 2. Потоа, на втората равенка додадете ја првата равенка помножена со 2i, а од третата равенка одземете ја првата помножена со 2.

Понатаму

Оттука,

4) - фундаментален систем на решенија. Да го запишеме општото решение на оригиналниот систем:

Пример 2.

1) Ја составуваме и решаваме карактеристичната равенка


2) Градиме

(т.е. и разгледани заедно), каде

Помножете ја втората равенка со (1-i) и намалете за 2.


Оттука,

3)
Општо решение на оригиналниот систем

или

2. Алгоритам за решавање на хомогени системи на диференцијални равенки од трет ред во случај на повеќе корени на карактеристичната равенка.
Ја составуваме и решаваме карактеристичната равенка

Постојат два можни случаи:

Размислете за случајот а) 1), каде

- сопствен вектор на матрицата А, што одговара на, т.е. го задоволува системот

2) Да се ​​повикаме на теорема 3, од која произлегува дека постојат две линеарно независни решенија на формата
,
каде , се константни вектори. Ајде да ги земеме за.
3) - фундаментален систем на решенија. Следно, го запишуваме општото решение на оригиналниот систем:

Размислете за случајот б):
1) Да се ​​повикаме на теорема 3, од која произлегува дека постојат три линеарно независни решенија на формата
,
каде , , се константни вектори. Ајде да ги земеме за.
2) - фундаментален систем на решенија. Следно, го запишуваме општото решение на оригиналниот систем.

За подобро да разберете како да најдете решенија од формата (*), разгледајте неколку типични примери.

Пример 1.

Ја составуваме и решаваме карактеристичната равенка:

Имаме случај а)
1) Градиме
, Каде

Од втората равенка ја одземаме првата:

? Третата линија е слична на втората, ја прецртуваме. Одземете го вториот од првата равенка:

2) = 1 (повеќе од 2)
Според Т.3, овој корен мора да одговара на две линеарно независни решенија од формата .
Да се ​​обидеме да ги најдеме сите линеарно независни решенија за кои, т.е. решенија на формата
.
Таквиот вектор ќе биде решение ако и само ако сопствениот вектор одговара на =1, т.е.
, или
, втората и третата линија се слични на првата, исфрлете ги.

Системот е намален на една равенка. Следствено, постојат две слободни непознати, на пример, и . Ајде прво да им ги дадеме вредностите 1, 0; потоа вредностите 0, 1. Ги добиваме следниве решенија:
.
Оттука, .
3) - фундаментален систем на решенија. Останува да се запише општото решение на оригиналниот систем:
. .. Така, има само едно решение од формата Ајде да го замениме X 3 во овој систем: Пречкртајте ја третата линија (слична е на втората). Системот е конзистентен (има решение) за било кој в. Нека c=1.
или