Постојан број Аповикани граница секвенци(x n ), ако за кој било произволно мал позитивен бројε > 0 има број N кој ги има сите вредности x n, за кои n>N ја задоволуваат неравенката

|x n - a|< ε. (6.1)

Запишете го на следниов начин: или x n →а.

Неравенката (6.1) е еквивалентна двојна нееднаквост

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

што значи дека точките x n, почнувајќи од некој број n>N, лежи во интервалот (a-ε, a+ ε ), т.е. спаѓаат во било која малаε -соседство на точка А.

Се нарекува низа со граница конвергентенинаку - дивергентни.

Концептот на функционална граница е генерализација на концептот на граница на низа, бидејќи границата на низата може да се смета како граница на функцијата x n = f(n) на цел број аргумент n.

Нека е дадена функцијата f(x) и нека а - гранична точкадомен на дефиниција на оваа функција D(f), т.е. таква точка, чие соседство содржи точки од множеството D(f) освен а. Точка аможе или не може да припаѓа на множеството D(f).

Дефиниција 1.Се повикува константниот број А граница функции f(x) на x→a, ако за која било низа (x n ) на вредности на аргументи кои се стремат кон А, соодветните низи (f(x n)) имаат иста граница А.

Оваа дефиниција се нарекува со дефинирање на границата на функцијата според Хајне,или " во секвенцискиот јазик”.

Дефиниција 2. Се повикува константниот број А граница функции f(x) на x→а, ако, со наведување на произволно произволно мал позитивен број ε, може да се најде таков δ>0 (во зависност од ε), што е за секого x, лежејќи внатреε-населби на бројот А, т.е. За x, задоволувајќи ја нееднаквоста
0 < x-a< ε , ќе лежат вредностите на функцијата f(x).ε-соседство на бројот А, т.е.|f(x)-A|< ε.

Оваа дефиниција се нарекува со дефинирање на границата на функцијата според Коши,или „во јазикот ε - δ “.

Дефинициите 1 и 2 се еквивалентни. Ако функцијата f(x) како x →а има граница, еднакво на А, ова е напишано во форма

. (6.3)

Во случај низата (f(x n)) да се зголеми (или да се намали) без ограничување за кој било метод на приближување xдо вашата граница А, тогаш ќе кажеме дека функцијата f(x) има бесконечна граница,и напишете го во форма:

Се повикува променлива (т.е. низа или функција) чија граница е нула бескрајно мал.

Се нарекува променлива чија граница е еднаква на бесконечност бескрајно голем.

За да се најде границата во пракса, се користат следните теореми.

Теорема 1 . Ако постои секоја граница

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Коментар. Изрази како 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - се неизвесни, на пример, односот на две бесконечно мали или бесконечно големи количини, а наоѓањето на граница од овој тип се нарекува „откривање несигурности“.

Теорема 2. (6.7)

тие. може да се оди до границата врз основа на моќноста со константен експонент, особено, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

Каде д » 2.7 - основа на природен логаритам. Формулите (6.10) и (6.11) се нарекуваат први прекрасна границаи втората извонредна граница.

Последиците од формулата (6.11) исто така се користат во пракса:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

особено границата,

Ако x → a и во исто време x > a, па напишете x→a + 0. Ако, особено, a = 0, тогаш наместо симболот 0+0 напишете +0. Слично ако x→а и во исто време x а-0. Броеви и соодветно се повикуваат десна границаИ левата граница функции f(x) во точката А. За да постои граница на функцијата f(x) како x→а е неопходно и доволно за да . Се повикува функцијата f(x). континуирано во точката x 0 ако лимит

. (6.15)

Условот (6.15) може да се преработи како:

,

односно премин до границата под знакот на функција е возможен ако е континуиран во дадена точка.

Ако се наруши еднаквоста (6.15), тогаш тоа го велиме на x = x o функција f(x) Тоа има јазРазмислете за функцијата y = 1/x. Доменот на дефиниција на оваа функција е множеството Р, освен x = 0. Точката x = 0 е гранична точка на множеството D(f), бидејќи во кое било соседство од него, т.е. во кој било отворен интервал кој ја содржи точката 0, има точки од D(f), но самиот тој не припаѓа на ова множество. Вредноста f(x o)= f(0) не е дефинирана, па во точката x o = 0 функцијата има дисконтинуитет.

Се повикува функцијата f(x). континуирано десно во точката x o ако лимитот

,

И континуирано лево во точката x o, ако лимитот

.

Континуитет на функција во точка xoе еквивалентно на неговиот континуитет во оваа точка и десно и лево.

Со цел функцијата да биде континуирана во точката xo, на пример, од десната страна, потребно е, прво, да има конечна граница, и второ, оваа граница да биде еднаква на f(x o). Според тоа, доколку барем еден од овие два услови не е исполнет, тогаш функцијата ќе има дисконтинуитет.

1. Ако границата постои и не е еднаква на f(x o), тогаш велат дека функција f(x) во точката x o има руптура од прв вид,или скок.

2. Ако границата е+∞ или -∞ или не постои, тогаш велат дека во точка xo функцијата има дисконтинуитет втор вид.

На пример, функцијата y = cot x на x→ +0 има граница еднаква на +∞, што значи дека во точката x=0 има дисконтинуитет од втор вид. Функција y = E(x) (целоброен дел од x) на точките со цели апсциси има дисконтинуитети од прв вид, или скокови.

Се повикува функцијата која е континуирана во секоја точка од интервалот континуираноВ. Континуираната функција е претставена со цврста крива.

Многу проблеми поврзани со континуираниот раст на одредена количина доведуваат до втората извонредна граница. Ваквите задачи, на пример, вклучуваат: раст на наслаги според законот за сложена камата, раст на населението во земјата, распаѓање на радиоактивни материи, размножување на бактерии итн.

Ајде да размислиме пример на Ya. I. Perelman, давајќи толкување на бројот дво проблемот со сложената камата. Број дима граница . Во штедилниците, парите од камати се додаваат на основниот капитал годишно. Ако пристапувањето се прави почесто, тогаш капиталот расте побрзо, бидејќи поголема сума е вклучена во формирањето на каматата. Да земеме чисто теоретски, многу поедноставен пример. Нека се депонираат 100 деманти во банка. единици врз основа на 100% годишно. Ако парите од камати се додадат на основниот капитал дури по една година, тогаш до овој период 100 ден. единици ќе се претвори во 200 парични единици. Сега да видиме во што ќе се претворат 100 дени. единици, доколку парите од камата се додаваат на основниот капитал на секои шест месеци. По шест месеци 100 ден. единици ќе порасне на 100× 1,5 = 150, а по уште шест месеци - 150× 1,5 = 225 (ден. единици). Ако пристапувањето се прави на 1/3 од годината, тогаш после една година 100 ден. единици ќе се претвори во 100× (1 +1/3) 3" 237 (ден. единици). Условите за додавање каматни пари ќе ги зголемиме на 0,1 година, на 0,01 година, на 0,001 година итн. Потоа од 100 ден. единици после една година ќе биде:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. единици),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. единици),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. единици).

Со неограничено намалување на условите за додавање камата, акумулираниот капитал не расте на неодредено време, туку се приближува до одредена граница еднаква на приближно 271. Капиталот депониран на 100% годишно не може да се зголеми за повеќе од 2,71 пати, дури и ако пресметаната камата се додаваа на главниот град секоја секунда бидејќи лимитот

Пример 3.1.Користејќи ја дефиницијата за граница на бројна низа, докажете дека низата x n =(n-1)/n има граница еднаква на 1.

Решение.Тоа треба да го докажеме, без разлика на сеε > 0, што и да земеме, за него има природен број N таков што за сите n N важи неравенката|x n -1|< ε.

Да земеме било која e > 0. Бидејќи ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, тогаш за да се најде N доволно е да се реши неравенството 1/n< д. Оттука n>1/ e и, според тоа, N може да се земе како цел дел од 1/ e, N = E(1/ e ). Со тоа докажавме дека лимитот .

Пример 3.2 . Најдете ја границата на низата дадена со заеднички член .

Решение.Да ја примениме границата на теоремата за збир и да ја најдеме границата на секој член. Кога н→ ∞ броителот и именителот на секој член тежнеат кон бесконечност и не можеме директно да ја примениме теоремата за гранични количници. Затоа, прво се трансформираме x n, делејќи ги броителот и именителот на првиот член со n 2, а вториот на n. Потоа, применувајќи ја границата на количникот и границата на теоремата за збир, наоѓаме:

.

Пример 3.3. . Најдете .

Решение. .

Овде ја користевме границата на теоремата за степен: границата на степен е еднаква на степенот на границата на основата.

Пример 3.4 . Најдете ( ).

Решение.Невозможно е да се примени теоремата за граница на разлика, бидејќи имаме несигурност на формата ∞-∞ . Ајде да ја трансформираме формулата за општиот термин:

.

Пример 3.5 . Дадена е функцијата f(x)=2 1/x. Докажете дека нема ограничување.

Решение.Да ја користиме дефиницијата 1 за граница на функција преку низа. Да земеме низа ( x n ) која конвергира на 0, т.е. Да покажеме дека вредноста f(x n)= се однесува различно за различни секвенци. Нека x n = 1/n. Очигледно, тогаш границата Сега да избереме како x nниза со заеднички член x n = -1/n, исто така со тенденција на нула. Затоа нема ограничување.

Пример 3.6 . Докажете дека нема ограничување.

Решение.Нека x 1 , x 2 ,..., x n ,... е низа за која
. Како се однесува низата (f(x n)) = (sin x n) за различни x n → ∞

Ако x n = p n, тогаш sin x n = грев стр n = 0 за сите nи границата Ако
x n =2 p n+ p /2, потоа sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 за сите nа со тоа и границата. Значи не постои.

Виџет за пресметување на лимити на интернет

Во горниот прозорец, наместо sin(x)/x внесете ја функцијата чија граница сакате да ја најдете. Во долниот прозорец внесете го бројот кон кој се стреми x и кликнете на копчето Calcular, добијте ја саканата граница. И ако во прозорецот со резултати кликнете на Прикажи чекори во горниот десен агол, ќе добиете детално решение.

Правила за внесување функции: sqrt(x) - квадратен корен, cbrt(x) - корен од коцка, exp(x) - експонент, ln(x) - природен логаритам, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan (x) - тангента, cot(x) - котангента, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Знаци: * множење, / делење, ^ степенување, наместо бесконечностБесконечност. Пример: функцијата се внесува како sqrt(tan(x/2)).

Функција y = f (x)е закон (правило) според кој секој елемент x од множеството X се поврзува со еден и само еден елемент y од множеството Y.

Елемент x ∈ Xповикани функционален аргументили независната променлива.
Елемент y ∈ Yповикани вредност на функцијатаили зависна променлива.

Множеството X се нарекува домен на функцијата.
Множество елементи y ∈ Y, кои имаат претслики во множеството X, се нарекува област или множество на вредности на функции.

Вистинската функција се нарекува ограничен од горе (од долу), ако има број M таков што неравенството важи за сите:
.
Се повикува функцијата број ограничен, ако има број М таков што за сите:
.

Горниот рабили точната горна границаВистинската функција се нарекува најмал број што го ограничува неговиот опсег на вредности одозгора. Односно, ова е број s за кој, за секого и за кој било, постои аргумент чија вредност на функцијата надминува s′: .
Горната граница на функцијата може да се означи на следниов начин:
.

Соодветно долниот рабили точната долна границаВистинската функција се нарекува најголем број што го ограничува неговиот опсег на вредности од долу. Односно, ова е број i за кој, за секого и за кој било, постои аргумент чија вредност на функцијата е помала од i′: .
Инфимумот на функцијата може да се означи на следниов начин:
.

Одредување на граница на функција

Определување на граница на функција според Коши

Конечни граници на функцијата на крајните точки

Нека функцијата е дефинирана во некое соседство на крајната точка, со можен исклучок на самата точка. во точка ако за некој постои такво нешто, во зависност од , дека за сите x за кои важи неравенката
.
Границата на функцијата се означува на следниов начин:
.
Или во.

Користејќи ги логичките симболи на постоење и универзалност, дефиницијата на границата на функцијата може да се напише на следниов начин:
.

Еднострани граници.
Лева граница во точка (ограничување од лево):
.
Десна граница во точка (граница од десната страна):
.
Левата и десната граница често се означуваат на следниов начин:
; .

Конечни граници на функција во точки на бесконечност

Границите во точките на бесконечност се одредуваат на сличен начин.
.
.
.
Тие често се нарекуваат:
; ; .

Користење на концептот соседство на точка

Ако го воведеме концептот на пробиено соседство на точка, тогаш можеме да дадеме унифицирана дефиниција за конечната граница на функција на конечни и бесконечно оддалечени точки:
.
Еве за крајните точки
; ;
.
Секое соседство на точки на бесконечност е пробиено:
; ; .

Бесконечни функционални граници

Дефиниција
Нека функцијата е дефинирана во некое пробиено соседство на точка (конечно или на бесконечност). Граница на функцијата f (x)како x → x 0 еднакво на бесконечност, ако за кој било произволно голем број М > 0 , постои број δ M > 0 , во зависност од M, дека за сите x кои припаѓаат на пробиената δ M - соседството на точката: , важи следнава неравенка:
.
Бесконечната граница е означена на следниов начин:
.
Или во.

Користејќи ги логичките симболи на постоење и универзалност, дефиницијата за бесконечната граница на функцијата може да се напише на следниов начин:
.

Можете исто така да воведете дефиниции за бесконечни граници на одредени знаци еднакви на и:
.
.

Универзална дефиниција на граница на функција

Користејќи го концептот за соседство на точка, можеме да дадеме универзална дефиниција за конечната и бесконечната граница на функцијата, применлива и за конечни (двострани и еднострани) и бесконечно оддалечени точки:
.

Определување на граница на функција според Хајне

Нека функцијата е дефинирана на некое множество X:.
Бројот a се нарекува граница на функцијатаво точка:
,
ако за која било низа што конвергира на x 0 :
,
чии елементи припаѓаат на множеството X: ,
.

Да ја напишеме оваа дефиниција користејќи ги логичките симболи на постоење и универзалност:
.

Ако го земеме левото соседство на точката x како множество X 0 , тогаш ја добиваме дефиницијата за левата граница. Ако е деснак, тогаш ја добиваме дефиницијата за десната граница. Ако го земеме соседството на точка во бесконечност како множество X, ќе ја добиеме дефиницијата на границата на функцијата во бесконечност.

Теорема
Дефинициите на Коши и Хајн за границата на функцијата се еквивалентни.
Доказ

Својства и теореми на граница на функција

Понатаму, претпоставуваме дека функциите што се разгледуваат се дефинирани во соодветното соседство на точката, што е конечен број или еден од симболите: . Може да биде и еднострана гранична точка, односно да има форма или . Соседството е двострано за двострана граница и еднострано за еднострана граница.

Основни својства

Ако вредностите на функцијата f (x)промени (или направи недефиниран) конечен број точки x 1, x 2, x 3, ... x n, тогаш оваа промена нема да влијае на постоењето и вредноста на границата на функцијата во произволна точка x 0 .

Ако има конечна граница, тогаш има пробиено соседство на точката x 0 , на која функцијата f (x)ограничено:
.

Нека функцијата има во точката x 0 конечна не-нулта граница:
.
Тогаш, за кој било број c од интервалот , постои такво пробиено соседство на точката x 0 , за што ,
, Ако ;
, Ако .

Ако, на некое пробиено соседство на точката, , е константа, тогаш .

Ако има конечни граници и и на некое пробиено соседство на точката x 0
,
Тоа .

Ако , и на некое соседство на точката
,
Тоа .
Конкретно, ако во некое соседство на точка
,
тогаш ако , тогаш и ;
ако , тогаш и .

Ако на некое издупчено соседство на точка x 0 :
,
и има конечни (или бесконечни од одреден знак) еднакви граници:
, Тоа
.

Доказите за главните својства се дадени на страницата
„Основни својства на границите на функцијата“.

Аритметички својства на граница на функција

Нека се дефинираат функциите во некое пробиено соседство на точката. И нека има конечни граници:
И .
И нека C е константа, односно даден број. Потоа
;
;
;
, Ако .

Ако тогаш.

Доказите за аритметички својства се дадени на страницата
„Аритметички својства на границите на функцијата“.

Коши критериум за постоење на граница на функција

Теорема
Со цел за функција дефинирана на некое пробиено соседство на конечна или во бесконечна точка x 0 , имаше конечна граница во оваа точка, потребно е и доволно што за кое било ε > 0 имаше вакво дупнато соседство на точката x 0 , дека за која било точка и од ова соседство, важи следнава неравенка:
.

Граница на сложена функција

Гранична теорема комплексна функција
Нека функцијата има граница и мапира пробиено соседство на точка на пробиено соседство на точка. Нека функцијата е дефинирана на оваа населба и нека има ограничување на неа.
Еве ги конечните или бескрајно оддалечените точки: . Населбите и нивните соодветни граници можат да бидат или двострани или еднострани.
Тогаш постои граница на сложена функција и таа е еднаква на:
.

Граничната теорема на сложена функција се применува кога функцијата не е дефинирана во точка или има вредност различна од границата. За да се примени оваа теорема, мора да има пробиено соседство на точката каде што множеството вредности на функцијата не ја содржи точката:
.

Ако функцијата е континуирана во точката, тогаш знакот за ограничување може да се примени на аргументот континуирана функција:
.
Следното е теорема што одговара на овој случај.

Теорема за граница на континуирана функција на функција
Нека има граница на функцијата g (т)како t → t 0 , и тоа е еднакво на x 0 :
.
Еве ја точката т 0 може да биде конечна или бесконечно далечна: .
И нека функцијата f (x)е континуиран во точката x 0 .
Тогаш постои граница на комплексната функција f (g(t)), и тоа е еднакво на f (x0):
.

Доказите за теоремите се дадени на страницата
„Граница и континуитет на сложена функција“.

Бесконечно мали и бесконечно големи функции

Бесконечно мали функции

Дефиниција
Се вели дека функцијата е бесконечно мала ако
.

Збир, разлика и производна конечен број на бесконечно мали функции во е бесконечно мала функција во .

Производ на ограничена функцијана некое пробиено соседство на точката, до бесконечно мало во е бесконечно мала функција во.

За да има една функција конечна граница потребно е и доволно тоа
,
каде е бесконечно мала функција во.

„Својства на бесконечно мали функции“.

Бесконечно големи функции

Дефиниција
Се вели дека функцијата е бесконечно голема ако
.

Збирот или разликата на ограничена функција, на некое пробиено соседство на точката, и бесконечно голема функција во е бесконечно голема функција во .

Ако функцијата е бесконечно голема за , и функцијата е ограничена на некое пробиено соседство на точката , тогаш
.

Ако функцијата , на некое пробиено соседство на точката , ја задоволува нееднаквоста:
,
а функцијата е бесконечно мала на:
, и (на некое дупнато соседство на точката), потоа
.

Доказите за својствата се претставени во делот
„Својства на бесконечно големи функции“.

Врска помеѓу бесконечно големи и бесконечно мали функции

Од двете претходни својства следува врската помеѓу бесконечно големи и бесконечно мали функции.

Ако функцијата е бесконечно голема во , тогаш функцијата е бесконечно мала на .

Ако функцијата е бесконечно мала за , и , тогаш функцијата е бесконечно голема за .

Односот помеѓу бесконечно мала и бесконечно голема функција може да се изрази симболично:
, .

Ако бесконечно мала функција има одреден знак на , односно е позитивна (или негативна) на некое пробиено соседство на точката, тогаш овој факт може да се изрази на следниов начин:
.
На ист начин, ако бесконечно голема функција има одреден знак на , тогаш тие пишуваат:
.

Тогаш симболичката врска помеѓу бесконечно малите и бесконечно големите функции може да се надополни со следните односи:
, ,
, .

Дополнителни формули кои се однесуваат на симболите за бесконечност може да се најдат на страницата
„Точки во бесконечност и нивните својства“.

Граници на монотони функции

Дефиниција
Се повикува функција дефинирана на некое множество реални броеви X строго се зголемува, ако за сите такви што важи следнава неравенка:
.
Според тоа, за строго се намалувафункцијата важи следнава неравенка:
.
За неопаѓачки:
.
За не-зголемување:
.

Следи дека строго растечката функција исто така не се намалува. Строго опаѓачка функција исто така не се зголемува.

Функцијата се нарекува монотоно, доколку е неопаѓачки или нерастечки.

Теорема
Нека функцијата не се намалува на интервалот каде .
Ако горе е ограничен со бројот М: тогаш постои конечна граница. Ако не е ограничено одозгора, тогаш .
Ако е ограничен од долу со бројот m: тогаш постои конечна граница. Ако не е ограничено одоздола, тогаш .

Ако точките a и b се на бесконечност, тогаш во изразите граничните знаци значат дека .
Оваа теорема може да се формулира покомпактно.

Нека функцијата не се намалува на интервалот каде . Тогаш има еднострани граници во точките a и b:
;
.

Слична теорема за функција која не се зголемува.

Нека функцијата не се зголемува на интервалот каде што . Потоа, постојат еднострани граници:
;
.

Доказот за теоремата е претставен на страницата
„Граници на монотони функции“.

Референци:
Л.Д. Кудрјавцев. Курс за математичка анализа. Том 1. Москва, 2003 година.
ЦМ. Николски. Курс за математичка анализа. Том 1. Москва, 1983 година.

Теоријата на граници е една од гранките на математичката анализа. Прашањето за решавање на лимитите е доста опширно, бидејќи постојат десетици методи за решавање на границите разни видови. Постојат десетици нијанси и трикови кои ви дозволуваат да ја решите оваа или онаа граница. Сепак, ние сепак ќе се обидеме да ги разбереме главните типови на граници кои најчесто се среќаваат во пракса.

Да почнеме со самиот концепт на граница. Но, прво, кратка историска позадина. Таму во 19 век живеел Французин, Аугустин Луј Коши, кој ги поставил основите на математичката анализа и дал строги дефиниции, особено дефинирање на граница. Мора да се каже дека истиот тој Коши бил, е и ќе биде во кошмарите на сите студенти по физика и математика, бидејќи докажал огромен број теореми за математичка анализа, а секоја теорема е поодвратна од другата. Во овој поглед, нема да разгледаме строга дефиниција на границата, туку ќе се обидеме да направиме две работи:

1. Разберете што е ограничување.
2. Научете да ги решавате главните типови на граници.

Се извинувам за некои ненаучни објаснувања, важно е материјалот да биде разбирлив дури и за чајник, што, всушност, е задача на проектот.

Значи, која е границата?

И само пример зошто да бушава баба....

Секое ограничување се состои од три дела:

1) Добро познатата икона за ограничување.
2) Записи под иконата за ограничување, во во овој случај. Влезот гласи „Х се стреми кон едно“. Најчесто - точно, иако наместо „Х“ во пракса има други променливи. Во практични задачи, местото на еден може да биде апсолутно секој број, како и бесконечност ().
3) Функционира под знакот за граница, во овој случај.

Самиот запис гласи вака: „границата на функцијата како x се стреми кон единство“.

Ајде да го разгледаме следното важно прашање - што значи изразот „x“? се стремина еден“? И што воопшто значи „стремиме“?
Концептот на граница е концепт, така да се каже, динамичен. Ајде да изградиме низа: прво , потоа , , ..., , ….
Односно изразот „х се стремидо еден“ треба да се сфати на следниов начин: „x“ постојано ги зема вредностите кои му пристапуваат на единството бескрајно блиску и практично се совпаѓаат со него.

Како да се реши горниот пример? Врз основа на горенаведеното, само треба да замените еден во функцијата под знакот за ограничување:

Значи, првото правило: Кога е дадено некакво ограничување, прво едноставно се обидуваме да го вклучиме бројот во функцијата.

Ја разгледавме наједноставната граница, но тие се случуваат и во пракса, а не толку ретко!

Пример со бесконечност:

Ајде да дознаеме што е тоа? Тоа е случај кога се зголемува без ограничување, односно: прво, потоа, потоа, потоа и така натаму до бесконечност.

Што се случува со функцијата во овој момент?
, , , …

Значи: ако , тогаш функцијата се стреми кон минус бесконечност:

Грубо кажано, според нашето прво правило, наместо „Х“ ја заменуваме бесконечноста во функцијата и го добиваме одговорот.

Друг пример со бесконечност:

Повторно почнуваме да се зголемуваме до бесконечност и го гледаме однесувањето на функцијата:

Заклучок: кога функцијата се зголемува без ограничување:

И уште една серија примери:

Ве молиме обидете се сами ментално да го анализирате следново и запомнете ги наједноставните типови на ограничувања:

, , , , , , , , ,
Ако некаде се сомневате, можете да земете калкулатор и да вежбате малку.
Во случај тоа , обидете се да ја конструирате низата , , . Ако тогаш , , .

Забелешка: строго кажано, овој пристап за конструирање низи од неколку броеви е неточен, но за разбирање на наједноставните примери е сосема соодветен.

Обрнете внимание и на следново. Дури и ако е дадена граница со голем број на врвот, па дури и со милион: , тогаш се е исто , бидејќи порано или подоцна „Х“ ќе добие такви гигантски вредности што милион во споредба со нив ќе биде вистински микроб.

Што треба да запомните и разберете од горенаведеното?

1) Кога е дадено некакво ограничување, прво едноставно се обидуваме да го замениме бројот во функцијата.

2) Мора да ги разберете и веднаш да ги решите наједноставните граници, како што се , итн.

Сега ќе ја разгледаме групата граници кога , а функцијата е дропка чиј броител и именител содржат полиноми

Пример:

Пресметајте го лимитот

Според нашето правило, ќе се обидеме да ја замениме бесконечноста во функцијата. Што добиваме на врвот? Бесконечност. И што се случува подолу? Исто така бесконечност. Така, го имаме она што се нарекува несигурност на видовите. Некој може да помисли дека и одговорот е готов, но во општиот случај тоа воопшто не е така, и неопходно е да се примени некоја техника на решение, која сега ќе ја разгледаме.

Како да се решат границите од овој тип?

Прво го гледаме броителот и ја наоѓаме најголемата моќност:

Водечката моќ во броителот е два.

Сега го гледаме именителот и исто така го наоѓаме до највисоката моќност:

Највисокиот степен на именителот е два.

Потоа ја избираме највисоката моќност на броителот и именителот: во овој пример, тие се исти и еднакви на два.

Значи, методот на решение е како што следува: за да се открие несигурноста, потребно е да се подели броителот и именителот со највисоката моќност.

Еве го, одговорот, а не бесконечност.

Што е фундаментално важно во дизајнирањето на одлуката?

Прво, укажуваме на несигурност, доколку ја има.

Второ, препорачливо е да се прекине решението за посредни објаснувања. Јас обично го користам знакот, тој нема никакво математичко значење, туку значи дека решението е прекинато за средно објаснување.

Трето, во границата препорачливо е да се означи што каде оди. Кога работата е изготвена рачно, попогодно е да се направи на овој начин:

Подобро е да користите едноставен молив за белешки.

Се разбира, не треба да правите ништо од ова, но тогаш, можеби, наставникот ќе ги посочи недостатоците во решението или ќе почне да поставува дополнителни прашања за задачата. Дали ви треба?

Пример 2

Најдете ја границата
Повторно во броителот и именителот наоѓаме во највисок степен:

Максимален степен во броител: 3
Максимален степен во именител: 4
Изберете најголемвредност, во овој случај четири.
Според нашиот алгоритам, за да откриеме несигурност, ги делиме броителот и именителот со .
Целосната задача може да изгледа вака:

Поделете ги броителот и именителот со

Пример 3

Најдете ја границата
Максимален степен на „Х“ во броителот: 2
Максимален степен на „X“ во именителот: 1 (може да се запише како)
За да се открие неизвесноста, потребно е броителот и именителот да се подели со . Конечното решение може да изгледа вака:

Поделете ги броителот и именителот со

Нотацијата не значи делење со нула (не можете да делите со нула), туку делење со бесконечно мал број.

Така, со откривање на несигурноста на видовите, можеби ќе можеме конечен број, нула или бесконечност.

Граници со неизвесност на видот и методот за нивно решавање

Следната група на граници е нешто слична на границите што сега ги разгледавме: броителот и именителот содржат полиноми, но „x“ повеќе не се стреми кон бесконечност, туку кон конечен број.

Пример 4

Решете го лимитот
Прво, да се обидеме да го замениме -1 во дропката:

Во овој случај се добива таканаречената неизвесност.

Општо правило : ако броителот и именителот содржат полиноми, и има несигурност на формата, тогаш да се открие треба да ги земете предвид броителот и именителот.

За да го направите ова, најчесто треба да решите квадратна равенка и/или да користите скратени формули за множење. Ако овие работи се заборавени, тогаш посетете ја страницата Математички формули и табелии проверете методолошки материјал Топла формули училишен курсматематичари. Патем, најдобро е да го испечатите, тоа се бара многу често, а информациите подобро се апсорбираат од хартијата.

Значи, да ја решиме нашата граница

Факторирајте ги броителот и именителот

За да го факторизирате броителот, треба да ја решите квадратната равенка:

Прво го наоѓаме дискриминаторот:

И квадратниот корен од него: .

Ако дискриминаторот е голем, на пример 361, користиме калкулатор, функцијата за извлекување квадратен корендостапни на наједноставниот калкулатор.

! Ако коренот не се извлече во целост (се добива фракционен број со запирка), голема е веројатноста дека дискриминаторот е погрешно пресметан или имало печатна грешка во задачата.

Следно ги наоѓаме корените:

Така:

Сите. Бројачот е факторизиран.

Именителот. Именителот е веќе наједноставниот фактор и не постои начин да се поедностави.

Очигледно, може да се скрати на:

Сега го заменуваме -1 во изразот што останува под знакот за граница:

Нормално, во тест работа, за време на тест или испит, решението никогаш не се пишува толку детално. Во финалната верзија, дизајнот треба да изгледа вака:

Ајде да го факторизираме броителот.

Пример 5

Пресметајте го лимитот

Прво, „финиш“ верзија на решението

Ајде да ги факторизираме броителот и именителот.

броител:
Именител:



,

Што е важно во овој пример?
Прво, мора да имате добро разбирање за тоа како се открива броителот, прво извадивме 2 од загради, а потоа ја искористивме формулата за разликата на квадратите. Ова е формулата што треба да ја знаете и да ја видите.

Методи за решавање на лимити. Несигурности.
Редоследот на раст на функцијата. Метод на замена

Пример 4

Најдете ја границата

Ова е поедноставен пример за независна одлука. Во предложениот пример, повторно неизвесност (повеќе висок редвисина од коренот).

Ако „x“ се стреми кон „минус бесконечност“

Сеништето на „минус бесконечност“ лебди во оваа статија долго време. Да разгледаме граници со полиноми во кои . Принципите и методите на решение ќе бидат сосема исти како во првиот дел од лекцијата, со исклучок на голем број нијанси.

Ајде да погледнеме 4 трикови што ќе бидат потребни за решавање на практични задачи:

1) Пресметајте ја границата

Вредноста на лимитот зависи само од терминот бидејќи има највисок ред на раст. Ако тогаш бескрајно голем во модул негативен бројдо ИЗРАМЕН степен, во овој случај – во четвртиот, е еднакво на „плус бесконечност“: . Постојана („два“) позитивен, Затоа:

2) Пресметајте ја границата

Еве ја пак матурата дури, Затоа: . Но, пред него има „минус“ ( негативенконстанта -1), затоа:

3) Пресметајте ја границата

Граничната вредност зависи само од . Како што се сеќавате од училиште, „минусот“ „искокнува“ од непарниот степен, така бескрајно голем во модулнегативен број до непарна моќносте еднакво на „минус бесконечност“, во овој случај: .
Постојана („четири“) позитивен, значи:

4) Пресметајте ја границата

Првиот тип во селото има повторно чудностепен, покрај тоа, во пазувите негативенконстанта, што значи: Така:
.

Пример 5

Најдете ја границата

Користејќи ги горенаведените точки, доаѓаме до заклучок дека тука постои несигурност. Бројачот и именителот се од ист ред на раст, што значи дека во лимитот резултатот ќе биде конечен број. Ајде да го дознаеме одговорот со отфрлање на целото пржено месо:

Решението е тривијално:

Пример 6

Најдете ја границата

Ова е пример за да го решите сами. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

И сега, можеби, најсуптилните случаи:

Пример 7

Најдете ја границата

Имајќи ги предвид водечките термини, доаѓаме до заклучок дека тука постои неизвесност. Бројачот е од повисок ред на раст од именителот, така што веднаш можеме да кажеме дека границата е еднаква на бесконечност. Но, каков вид на бесконечност, „плус“ или „минус“? Техниката е иста - да се ослободиме од малите нешта во броителот и именителот:

Ние одлучуваме:

Поделете ги броителот и именителот со

Пример 15

Најдете ја границата

Ова е пример за да го решите сами. Приближен примерок од конечниот дизајн на крајот од лекцијата.

Уште неколку интересни примери на тема замена на променливи:

Пример 16

Најдете ја границата

При замена на единството во граница, се добива несигурност. Менувањето на променливата веќе се сугерира, но прво ја трансформираме тангентата користејќи ја формулата. Навистина, зошто ни е потребна тангента?

Забележете дека, затоа. Ако не е сосема јасно, погледнете ги синусните вредности во тригонометриска табела. Така, веднаш се ослободуваме од мултипликаторот, дополнително ја добиваме попознатата неизвесност од 0:0. Би било убаво ако нашата граница се стреми кон нула.

Да го замениме:

Ако тогаш

Под косинусот имаме „x“, што исто така треба да се изрази преку „те“.
Од замената изразуваме: .

Го комплетираме решението:

(1) Ја извршуваме замената

(2) Отворете ги заградите под косинус.

(4) Да организира првата прекрасна граница, вештачки помножете го броителот со и реципрочниот број.

Задача за независно решение:

Пример 17

Најдете ја границата

Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Тоа беа едноставни задачи во нивниот клас, во пракса сè може да биде полошо, и покрај тоа формули за намалување, мора да користите различни тригонометриски формули, како и други трикови. Во написот Комплексни граници погледнав неколку вистински примери =)

Во пресрет на празникот, конечно ќе ја разјасниме ситуацијата со уште една заедничка неизвесност:

Елиминација на неизвесноста „еден до моќта на бесконечноста“

Оваа неизвесност се „сервира“ втора прекрасна граница, а во вториот дел од таа лекција детално разгледавме стандардни примери на решенија кои се наоѓаат во пракса во повеќето случаи. Сега сликата со експонентите ќе биде завршена, покрај тоа, последните задачи на лекцијата ќе бидат посветени на „лажни“ граници, во кои ИЗГЛЕДА дека е неопходно да се примени 2-та прекрасна граница, иако тоа воопшто не е случај.

Недостатокот на двете работни формули за второто извонредно ограничување е тоа што аргументот мора да има тенденција кон „плус бесконечност“ или кон нула. Но, што ако аргументот се стреми кон друг број?

На помош доаѓа универзална формула (што всушност е последица на втората извонредна граница):

Несигурноста може да се елиминира со помош на формулата:

Некаде мислам дека веќе објаснив што значат квадратните загради. Ништо посебно, заградите се само загради. Тие обично се користат за појасно истакнување на математичката нотација.

Да ги истакнеме основните точки на формулата:

1) Се работи за само за неизвесност и ништо друго.

2) Аргументот „x“ може да има тенденција да произволна вредност(и не само до нула или, особено, до „минус бесконечност“ или до било којконечен број.

Со помош на оваа формула можете да ги решите сите примери во лекцијата. Прекрасни граници, кои припаѓаат на 2-та извонредна граница. На пример, да ја пресметаме границата:

Во овој случај , и според формулата :

Точно, не препорачувам да го направите ова; традицијата е сè уште да се користи „вообичаениот“ дизајн на решението, доколку може да се примени. Сепак користејќи ја формулата многу е погодно да се провери„класични“ примери до втората извонредна граница.

За оние кои сакаат да научат како да најдат граници, во оваа статија ќе ви кажеме за тоа. Нема да навлегуваме во теоријата; наставниците обично ја одржуваат на предавања. Значи, „досадната теорија“ треба да биде запишана во вашите тетратки. Ако тоа не е случај, тогаш можете да читате учебници позајмени од библиотеката. образовна институцијаили на други интернет ресурси.

Значи, концептот на лимит е доста важен при изучувањето на курсот виша математика, особено штом ќе наидете на интегрална пресметка и ќе ја разберете врската помеѓу лимитот и интегралот. Во тековниот материјал ќе разгледаме едноставни примери, како и начини за нивно решавање.

Примери на решенија

Пример 1

Пресметајте a) $ \lim_(x \до 0) \frac(1)(x) $; б)$ \lim_(x \до \infty) \frac(1)(x) $

Решение

а) $$ \lim \limits_(x \до 0) \frac(1)(x) = \infty $$ б)$$ \lim_(x \до \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Луѓето често ни ги испраќаат овие ограничувања со барање да помогнеме да ги решиме. Решивме да ги истакнеме како посебен пример и да објасниме дека овие граници, по правило, само треба да се запаметат. Ако не можете да го решите вашиот проблем, тогаш испратете го кај нас. Ќе обезбедиме детално решение. Ќе можете да го видите напредокот на пресметката и да добиете информации. Ова ќе ви помогне да ја добиете вашата оценка од вашиот наставник навремено!

Одговори

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \до 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \до \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Што да се прави со несигурноста на формата: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Пример 3

Реши $ \lim \limits_(x \до -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Решение

Како и секогаш, започнуваме со замена на вредноста $ x $ во изразот под знакот за ограничување. $$ \lim \limits_(x \до -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0) (0) $$ Што е следно сега? Што треба да се случи на крајот? Бидејќи се работи за неизвесност, ова се уште не е одговор и продолжуваме со пресметката. Бидејќи имаме полином во броителите, ќе го факторизираме користејќи ја формулата позната на сите од училиштето $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Дали се сеќаваш? Одлично! Сега повелете и искористете ја со песната :) Откриваме дека броителот $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продолжуваме да решаваме земајќи ја предвид горната трансформација: $$ \lim \limits_(x \до -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \до -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \до -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Одговори

$$ \lim \limits_(x \до -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Ајде да ја потиснеме границата во последните два примери до бесконечност и да ја разгледаме неизвесноста: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Пример 5

Пресметајте $ \lim \limits_(x \до \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Решение

$ \lim \limits_(x \до \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Што да се прави? Што да правам? Не паничете, бидејќи невозможното е можно. Неопходно е да се извади x и во броителот и во именителот, а потоа да се намали. По ова, обидете се да ја пресметате границата. Да пробаме... $$ \lim \limits_(x \до \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \до \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \до \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Користејќи ја дефиницијата од Пример 2 и заменувајќи ја бесконечноста за x, добиваме: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Одговори

$$ \lim \limits_(x \до \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Алгоритам за пресметување на граници

Значи, ајде накратко да ги сумираме примерите и да создадеме алгоритам за решавање на границите:

1. Заменете ја точката x во изразот што следи по знакот за граница. Ако се добие одреден број или бесконечност, тогаш границата е целосно решена. Во спротивно, имаме несигурност: „нула поделена со нула“ или „бесконечност поделена со бесконечност“ и преминете на следните чекори од инструкциите.
2. За да ја елиминирате неизвесноста на „нула поделена со нула“, треба да ги факторизирате броителот и именителот. Намалете ги сличните. Заменете ја точката x во изразот под знакот за граница.
3. Ако неизвесноста е „бесконечност поделена со бесконечност“, тогаш ги вадиме и броителот и именителот x до најголем степен. Ги скратуваме X-овите. Вредностите на x од под границата ги заменуваме во преостанатиот израз.

Во оваа статија ги научивте основите за решавање на границите што често се користат во курсот. Математичка анализа. Се разбира, ова не се сите видови проблеми што ги нудат испитувачите, туку само наједноставните граници. Ќе зборуваме за други видови задачи во идните статии, но прво треба да ја научите оваа лекција за да продолжите напред. Ајде да разговараме што да правиме ако има корени, степени, да проучуваме бесконечно мали еквивалентни функции, извонредни граници, правилото на L'Hopital.

Ако не можете сами да ги сфатите границите, не паничете. Ние секогаш сме среќни да помогнеме!