Конструирање на централната линија на круг со помош на компас. Конструкции со компаси и линијар. Со помош на компас можете да конструирате круг

Во градежните проблеми, компасот и линијарот се сметаат за идеални алатки, особено, владетелот нема поделби и има само една страна со бесконечна должина, а компасот може да има произволно голем или произволно мал отвор.

Прифатливи конструкции.Следниве операции се дозволени во градежните задачи:

1. Означете точка:

• произволна точка на авионот;
• произволна точка на дадена права;
• произволна точка на даден круг;
• точката на пресек на две дадени прави;
• точки на пресек/тангенција на дадена права и дадена кружница;
• точки на пресек/тангенција на две дадени кругови.

2. Со помош на линијар можете да нацртате права линија:

• произволна права линија на рамнина;
• произволна права линија што минува низ оваа точка;
• права линија што минува низ две дадени точки.

3. Со помош на компас можете да конструирате круг:

• произволен круг на рамнина;
• произволен круг со центар во дадена точка;
• произволен круг со радиус еднаков на растојанието помеѓу две дадени точки;
• круг со центар во дадена точка и радиус еднаков на растојанието помеѓу две дадени точки.

Решавање на градежни проблеми.Решението на градежниот проблем содржи три суштински делови:

1. Опис на методот за конструирање на бараниот објект.
2. Доказ дека објектот конструиран на опишаниот начин е навистина посакуваниот.
3. Анализа на опишаниот метод на градба за неговата применливост на различни верзии на почетните услови, како и за уникатноста или неуникатноста на решението добиено со опишаниот метод.

Конструирање на отсечка еднаква на дадената.Нека е даден зрак со почеток во точката $O$ и отсечка $AB$. За да конструирате сегмент $OP = AB$ на зрак, треба да конструирате круг со центар во точката $O$ со радиус $AB$. Точката на пресек на зракот со кругот ќе биде потребната точка $P$.

Конструирање на агол еднаков на даден.Нека е даден зрак со почеток во точката $O$ и агол $ABC$. Со центарот во точката $B$ конструираме круг со произволен радиус $r$. Дозволете ни да ги означиме пресечните точки на кругот со зраците $BA$ и $BC$ како $A"$ и $C"$, соодветно.

Ајде да конструираме круг со центар во точката $O$ со радиус $r$. Дозволете ни да ја означиме точката на пресек на кругот со зракот како $P$. Ајде да конструираме круг со центар во точката $P$ со радиус $A"B"$. Пресечната точка на круговите ја означуваме како $Q$. Ајде да го нацртаме зракот $OQ$.

Добиваме агол $POQ$ еднаков на аголот $ABC$, бидејќи триаголниците $POQ$ и $ABC$ се еднакви на три страни.

Конструирање на нормална симетрала на отсечка.Ајде да конструираме два вкрстени кругови со произволен радиус со центри на краевите на отсечката. Со поврзување на две точки на нивното вкрстување, добиваме нормална симетрала.

Конструирање симетрала на агол.Ајде да нацртаме круг со произволен радиус со центарот на темето на аголот. Ајде да конструираме два пресечни кругови со произволен радиус со центри во точките на пресек на првиот круг со страните на аголот. Со поврзување на темето на аголот со која било од пресечните точки на овие два круга, ја добиваме симетралата на аголот.

Конструирање на збир од две отсечки.За да изградите на даден зрак отсечка еднаква на збирот на две дадени отсечки, треба двапати да го примените методот на конструирање отсечка еднаква на дадена.

Конструирање на збир од два агли.За да се одземе агол од даден зрак, еднаков на збиротдва дадени агли, треба двапати да го примените методот на конструирање агол еднаков на дадениот.

Наоѓање на средната точка на отсечка.За да ја означите средината на дадена отсечка, треба да конструирате нормална симетрала на отсечката и да ја означите точката на пресек на нормалната со самата отсечка.

Конструирање на нормална права низ дадена точка.Нека се бара да се конструира права нормална на дадена точка и која минува низ дадена точка. Ние цртаме круг со произволен радиус со центар во дадена точка (без разлика дали лежи на права или не), пресекувајќи ја правата во две точки. Конструираме нормална симетрала на отсечка со краеви на точките на пресек на кругот и правата. Ова ќе биде саканата нормална линија.

Конструирање на паралелна права низ дадена точка.Нека се бара да се конструира права паралелна на дадена точка и која минува низ дадена точка надвор од правата. Конструираме права која минува низ дадена точка и е нормална на дадена права. Потоа конструираме права линија што минува низ оваа точка, нормална на конструираната нормална. Резултирачката права линија ќе биде потребната.

Се нарекува реченица која го објаснува значењето на одреден израз или име дефиниција. Веќе наидовме на дефиниции, на пример, дефиниција за агол, соседни агли, рамнокрак триаголник итн. Да дадеме дефиниција за друга геометриска фигура - круг.

Дефиниција

Оваа точка се нарекува центар на кругот, а отсечката што го поврзува центарот со која било точка на кругот е радиус на кругот(Сл. 77). Од дефиницијата за круг произлегува дека сите радиуси имаат иста должина.

Ориз. 77

Отсечка што поврзува две точки на круг се нарекува нејзина акорда. Акорд што минува низ центарот на кругот се нарекува негов дијаметар.

На слика 78, отсечките AB и EF се акорди на кругот, сегментот CD е дијаметарот на кругот. Очигледно, дијаметарот на кругот е двојно поголем од неговиот радиус. Центарот на кругот е средната точка на кој било дијаметар.

Ориз. 78

Било кои две точки на кругот го делат на два дела. Секој од овие делови се нарекува лак на круг. На слика 79, ALB и AMB се лакови ограничени со точките A и B.

Ориз. 79

За да прикажете круг на цртеж, користете компас(Сл. 80).

Ориз. 80

За да нацртате круг на земја, можете да користите јаже (слика 81).

Ориз. 81

Делот од рамнината ограничен со круг се нарекува круг (сл. 82).

Ориз. 82

Конструкции со компаси и линијар

Веќе се занимававме со геометриски конструкции: нацртавме прави линии, нацртавме отсечки еднакви на податоци, цртавме агли, триаголници и други фигури. Во исто време користевме линијар за вага, компас, транспортер и квадрат за цртање.

Излегува дека многу конструкции може да се изведат само со помош на компас и владетел без поделби на скала. Затоа, во геометријата посебно се издвојуваат оние градежни задачи кои можат да се решат само со користење на овие две алатки.

Што можете да направите со нив? Јасно е дека владетелот ви овозможува да нацртате произволна права линија, како и да изградите права линија што минува низ две дадени точки. Со помош на компас, можете да нацртате круг со произволен радиус, како и круг со центар во дадена точка и радиус еднаков на даден сегмент. Со извршување на овие едноставни операции, можеме да решиме многу интересни градежни проблеми:

конструирај агол еднаков на дадениот;
низ дадена точка повлече права нормална на дадената права;
поделете го овој сегмент на половина и други задачи.

Да почнеме со едноставна задача.

Задача

На даден зрак, од неговиот почеток, нацртајте отсечка еднаква на дадената.

Решение

Дозволете ни да ги прикажеме бројките дадени во изјавата за проблемот: ray OS и сегмент AB (сл. 83, а). Потоа, со помош на компас, конструираме круг со радиус AB со центар O (Слика 83, б). Овој круг ќе го пресече зракот ОС во одредена точка D. Отсечката OD е потребната.

Ориз. 83

Примери на градежни проблеми

Конструирање на агол еднаков на даден

Задача

Одземете агол од даден зрак еднаков на даден.

Решение

Овој агол со темето А и зракот OM се прикажани на слика 84. Потребно е да се конструира агол еднаков на аголот А, така што едната негова страна се совпаѓа со зракот OM.

Ориз. 84

Да нацртаме круг со произволен радиус со неговиот центар на темето А од дадениот агол. Овој круг ги пресекува страните на аголот во точките B и C (Слика 85, а). Потоа цртаме круг со ист радиус со центарот на почетокот на овој зрак OM. Го пресекува зракот во точката D (слика 85, б). По ова, ќе конструираме круг со центар D, чиј радиус е еднаков на BC. Кругови со центри O и D се сечат на две точки. Да означиме една од овие точки со буквата E. Да докажеме дека аголот MOE е саканиот.

Ориз. 85

Размислете за триаголниците ABC и ODE. Сегментите AB и AC се радиуси на круг со центар A, а отсечките OD и OE се радиуси на круг со центар O (види слика 85, б). Бидејќи по конструкција овие кругови имаат еднакви радиуси, тогаш AB = OD, AC = OE. Исто така по конструкција BC = DE.

Затоа, Δ ABC = Δ ODE на три страни. Затоа, ∠DOE = ∠BAC, т.е., конструираниот агол MOE е еднаков на дадениот агол А.

Истата конструкција може да се направи и на земја ако користите јаже наместо компас.

Конструирање на симетрала на агол

Задача

Конструирај симетрала на дадениот агол.

Решение

Овој агол BAC е прикажан на слика 86. Да нацртаме круг со произволен радиус со центар на темето A. Ќе ги пресекува страните на аголот во точките B и C.

Ориз. 86

Потоа цртаме два круга со ист радиус BC со центри во точките B и C (само делови од овие кругови се прикажани на сликата). Тие ќе се вкрстат на две точки, од кои барем една лежи во аголот. Да го означиме со буквата E. Да докажеме дека зракот AE е симетрала на дадениот агол BAC.

Размислете за триаголниците ACE и ABE. Тие се еднакви на три страни. Навистина, AE е општата страна; AC и AB се еднакви како радиусите на истиот круг; CE = BE со изградба.

Од еднаквоста на триаголниците ACE и ABE произлегува дека ∠CAE = ∠BAE, односно зракот AE е симетрала на дадениот агол BAC.

Коментар

Дали е можно даден агол да се подели на два со помош на компас и линијар? еднакви агли? Јасно е дека е можно - за да го направите ова, треба да ја нацртате симетралата на овој агол.

Овој агол може да се подели и на четири еднакви агли. За да го направите ова, треба да го поделите на половина, а потоа повторно да ја делите секоја половина на половина.

Дали е можно да се подели даден агол на три еднакви агли со помош на компас и линијар? Оваа задача, наречена проблеми со трисекција на аголот, го привлекува вниманието на математичарите многу векови. Дури во 19 век е докажано дека таквата конструкција е невозможна за произволен агол.

Изградба на нормални линии

Задача

Дадена е права линија и точка на неа. Конструирај права што минува низ дадена точка и е нормална на дадена права.

Решение

Дадена права а и дадена точка М кои припаѓаат на оваа права се прикажани на Слика 87.

Ориз. 87

На зраците на права линија a, кои произлегуваат од точката M, ги исцртуваме еднаквите отсечки MA и MB. Потоа конструираме два круга со центри A и B со радиус AB. Тие се вкрстуваат во две точки: P и Q.

Да повлечеме права линија низ точката М и една од овие точки, на пример, права линија MR (види слика 87), и да докажеме дека оваа права е саканата, т.е. дека е нормална на дадената права а .

Всушност, бидејќи средната PM на рамнокрак триаголник RAB е исто така висината, тогаш PM ⊥ a.

Конструирање на средната точка на отсечка

Задача

Конструирај ја средната точка на овој сегмент.

Решение

Нека AB е дадената отсечка. Да конструираме два круга со центри A и B со радиус AB. Тие се сечат во точките P и Q. Да нацртаме права линија PQ. Точката O на пресекот на оваа права со отсечката AB е саканата средна точка на отсечката AB.

Всушност, триаголниците APQ и BPQ се еднакви на три страни, затоа ∠1 =∠2 (сл. 89).

Ориз. 89

Следствено, отсечката PO е симетрала на рамнокрак триаголник ARB, и затоа медијаната, т.е. точката O е средината на отсечката AB.

Задачи

143. Кои од отсечките прикажани на слика 90 се: а) акорди на кругот; б) дијаметри на круг; в) радиуси на кругот?

Ориз. 90

144. Сегментите AB и CD се дијаметри на круг. Докажи дека: а) акордите BD и AC се еднакви; б) акордите AD и BC се еднакви; в) ∠ BAD = ∠BCD.

145. Сегментот МК е дијаметар на круг со центар О, а МР и РК се еднакви акорди на оваа кружница. Најдете ∠POM.

146. Сегментите AB и CD се дијаметри на круг со центар O. Најдете го периметарот на триаголникот AOD ако се знае дека CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. На круг со центар О точките A и B се означени така што аголот AOB е прав агол. Сегментот BC е дијаметар на круг. Докажи дека акордите AB и AC се еднакви.

148. На права линија се дадени две точки A и B. На продолжението на зракот BA A, поставете отсечка BC така што BC = 2AB.

149. Дадена е права a, точка B што не лежи на неа и отсечка PQ. Конструирај ја точката М на правата a така што BM = PQ. Дали проблемот секогаш има решение?

150. Даден е круг, точка A што не лежи на неа и отсечка PQ. Конструирај точка М на кругот така што AM = PQ. Дали проблемот секогаш има решение?

151. Даден е остар агол BAC и зрак XY. Конструирај го аголот YXZ така што ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Даден е тап агол AOB. Конструирај го зракот OX така што аглите HOA и HOB да бидат еднакви тапи агли.

153. Дадена е права a и точка М што не лежи на неа. Конструирај права што минува низ точката M и е нормална на правата a.

Решение

Ајде да конструираме круг со центар во дадена точка М, пресекувајќи ја дадената права a на две точки, кои ги означуваме со буквите A и B (сл. 91). Потоа ќе конструираме две кругови со центри A и B кои минуваат низ точката M. Овие кругови се сечат во точката M и во друга точка, која ќе ја означиме со буквата N. Да повлечеме права MN и да докажеме дека оваа права е посакуваната еден, т.е. е нормално на права а.

Ориз. 91

Всушност, триаголниците AMN и BMN се еднакви на три страни, така што ∠1 = ∠2. Следи дека отсечката MC (C е точка на пресек на правите a и MN) е симетрала на рамнокрак триаголник AMB, а со тоа и нејзината висина. Така, MN ⊥ AB, т.е. MN ⊥ a.

154. Даден е триаголник ABC. Конструирај: а) симетрала АК; б) средна ВМ; в) висина CH на триаголникот. 155. Со помош на компас и линијар конструирај агол еднаков на: а) 45°; б) 22°30".

Одговори на проблеми

152. Упатство. Прво, конструирајте симетрала на аголот AOB.

При производство или обработка на дрвени делови, во некои случаи потребно е да се одреди каде се наоѓа нивниот геометриски центар. Ако делот има квадратна или правоаголна форма, тогаш тоа не е тешко да се направи. Доволно е да ги поврзете спротивните агли со дијагонали, кои ќе се вкрстат точно во центарот на нашата фигура.
За производите кои имаат облик на круг, ова решение нема да работи, бидејќи немаат агли, а со тоа и без дијагонали. Во овој случај, потребен е некој друг пристап, заснован на различни принципи.

И тие постојат, и тоа во бројни варијации. Некои од нив се прилично сложени и бараат неколку алатки, други се лесни за имплементација и не бараат цел сет на уреди.
Сега ќе погледнеме една од најпознатите едноставни начиниНаоѓање на центарот на кругот користејќи само обичен линијар и молив.

Редоследот на наоѓање на центарот на кругот:

1. Прво, треба да запомниме дека акорд е права линија што поврзува две точки на круг и не поминува низ центарот на кругот. Воопшто не е тешко да се репродуцира: само треба да поставите линијар на кругот каде било, така што ќе го пресече кругот на две места и да нацртате права линија со молив. Сегментот во кругот ќе биде акорд.
Во принцип, можете да поминете со еден акорд, но за да ја зголемиме точноста на воспоставување на центарот на кругот, ќе нацртаме барем неколку, или уште подобро - 3, 4 или 5 акорди со различни должини. Ова ќе ни овозможи да ги израмниме грешките во нашите конструкции и попрецизно да се справиме со задачата.

2. Следно, користејќи го истиот линијар, ги наоѓаме средните точки на акордите што ги репродуциравме. На пример, ако вкупната должина на една акорд е 28 cm, тогаш нејзиниот центар ќе биде во точка која е 14 cm права линија од пресекот на акорд со кругот.
Откако ги одредивме центрите на сите акорди на овој начин, повлекуваме нормални линии низ нив, користејќи, на пример, правоаголен триаголник.

3. Ако сега ги продолжиме овие прави нормални на акордите во правец кон центарот на кругот, тогаш тие ќе се вкрстат приближно во една точка, што ќе биде посакуваниот центар на кругот.

4. Откако ја утврдивме локацијата на центарот на нашиот конкретен круг, можеме да го користиме овој факт за различни цели. Значи, ако ја поставите ногата на столарскиот компас во оваа точка, можете да нацртате идеален круг, а потоа да исечете круг со помош на соодветната алатка за сечење и централната точка на кругот што ја одредивме.

§ 1 Заокружете. Основни концепти

Во математиката, постојат реченици кои го објаснуваат значењето на одредено име или израз. Таквите реченици се нарекуваат дефиниции.

Дозволете ни да го дефинираме концептот на круг. Круг е геометриска фигура која се состои од сите точки на рамнината лоцирани на дадено растојание од дадена точка.

Оваа точка, да ја наречеме точка О, се нарекува центар на кругот.

Отсечката што го поврзува центарот со која било точка на кругот се нарекува радиус на кругот. Има многу такви сегменти што можат да се нацртаат, на пример, ОА, ОБ, ОС. Сите ќе бидат со иста должина.

Отсечка што поврзува две точки на круг се нарекува акорд. МН е акорд на кругот.

Акордот што минува низ центарот на кругот се нарекува дијаметар. AB е дијаметарот на кругот. Дијаметарот се состои од два радиуси, што значи дека должината на дијаметарот е двојно поголема од радиусот. Центарот на кругот е средната точка на кој било дијаметар.

Било кои две точки на кругот го делат на два дела. Овие делови се нарекуваат лакови на круг.

ANB и AMB се лакови на круг.

Делот од рамнината што е ограничен со круг се нарекува круг.

За да се прикаже круг на цртеж, се користи компас. Кругот може да се нацрта и на земја. За да го направите ова, само користете јаже. Прицврстете го едниот крај од јажето на клин забиен во земјата и нацртајте круг со другиот крај.

§ 2 Конструкции со компаси и линијар

Во геометријата, многу конструкции може да се изведат само со помош на компас и линијар без поделби на скала.

Користејќи само линијар, можете да нацртате произволна права линија, како и произволна права линија што минува низ дадена точка или права линија што поминува низ две дадени точки.

Компас ви овозможува да нацртате круг со произволен радиус, како и круг со центар во дадена точка и радиус еднаков на даден сегмент.

Одделно, секоја од овие алатки овозможува да се направат наједноставните конструкции, но со помош на овие две алатки веќе можете да извршите посложени операции, на пример,

решаваат градежни проблеми како што се

Конструирај агол еднаков на дадениот,

Конструирај триаголник со дадените страни,

Поделете го сегментот на половина

Низ дадена точка повлечете права нормална на дадената права итн.

Да го разгледаме проблемот.

Задача: На даден зрак, од неговиот почеток, нацртајте отсечка еднаква на дадената.

Даден е зрак ОС и отсечка AB. Потребно е да се конструира отсечка OD еднаква на отсечката AB.

Со помош на компас, конструираме круг со радиус еднаков на должината на отсечката AB, со центар во точката O. Оваа кружница ќе го пресече дадениот зрак OS во одредена точка D. Отсечката OD е потребната отсечка.

Список на користена литература:

1. Геометрија. Одделение 7-9: учебник. за општо образование организации / Л.С. Атанасјан, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и други - М.: Образование, 2013. - 383 стр.: илустр.
2. Гаврилова Н.Ф. Развој на часот по геометрија одделение 7. - М.: „ВАКО“, 2004. - 288 стр. - (Да му помогнеме на училишниот учител).
3. Белицкаја О.В. Геометрија. 7-мо одделение. Дел 1. Тестови. – Саратов: Лицеум, 2014. – 64 стр.

Цели:

да ги консолидираат концептите „круг“ и „круг“ кај учениците; изведе концепт на „радиус на круг“; да научи да конструира кругови со даден радиус; развиваат способност за расудување и анализа.

Личен UUD:
развиваат позитивен став кон часовите по математика;
интерес за предметни истражувачки активности;

Мета-предмет задачи

Регулаторна UUD:
прифатете ја и зачувајте ја задачата за учење;
во соработка со наставникот и класот најдете неколку решенија;

Когнитивен UUD:
формулација и решавање на проблеми:
самостојно да го идентификува и формулира проблемот;
општо образование:
најдете ги потребните информации во учебникот;
конструирај круг со даден радиус со помош на компас;
мозок:
формираат концепт на „радиус“;
врши класификација, споредба;
самостојно формулира заклучоци;

UUD за комуникација:
активно учествуваат во тимската работа, користејќи говорни средства;
аргументирајте ја вашата гледна точка;

Предмет вештини:
да ги идентификува суштинските карактеристики на концептите „радиус на круг“;
изгради кругови со различни радиуси;
препознава радиуси на цртеж.

За време на часовите

Мотивација за активности за учење

- Ајде да провериме дали сите се подготвени за лекцијата?

„Емоционален влез во лекцијата“:

Насмевнете се како сонце.

Намуртено како облаци

Плачете како дожд

Бидете изненадени како да сте виделе виножито

Сега повторете по мене

Игра „Пријателско ехо“

2.Ажурирање на знаењето

Вербално броење

а) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

Откријте ја шемата. Продолжете со редот.

Одговор: 20, 48,30,46,40,44 50,42

б) Решете го проблемот:

1. Првиот ден продавницата продаде 42 кг овошје, а вториот ден 2 кг повеќе. Колку килограми се продадени вториот ден?

Што треба да се смени за да може проблемот да се реши во 2 чекори.

Топки - 16 ЕЕЗ.

Јажиња за скокање - 28 ЕЕЗ.

Најдете решение за овој проблем.

28-16 28+16

Променете го прашањето така што проблемот ќе се реши со одземање.

3. Станирање воспитна задача

1. Име геометриски фигури

Обем на круг овална топка

Која бројка е чудна?

Што имаат заедничко фигурите? (Круг, круг, топка има иста форма)

Што е разликата?

2. Б

Кои точки припаѓаат на кругот? Кои точки се надвор од кругот?

Што значи точката О? (центар на круг)

Како се вика отсечката OB?

Колку радиуси може да се нацртаат во круг?

Кој сегмент не е радиус? Зошто?

Што може да се заклучи?

Заклучок: сите радиуси имаат иста должина .

3. Колку кругови има на сликата?

Како се разликуваат круговите? (големина)

Што ја одредува големината на кругот?

Што може да се заклучи?

Заклучок: колку е поголем кругот, толку е поголем неговиот радиус.

Одредете ја темата на лекцијата.

Предмет: Конструирање на круг со даден радиус со помош на компас.

Какви задачи можеме да си поставиме за оваа лекција?

4. Работете на темата

а) Конструирање на круг.

Што треба да знаете за да нацртате круг со дадена големина?

Нацртајте круг со радиус од 3 см.

б) Подготовка за проектни активности

1) Погледнете ја сликата

Од какви форми се состои пеперутката? Кругови со ист радиус?

2) Работа во парови.

Вратете го редот на фазите на проектот.

Презентација или демонстрација на проектот

Концепт (направете скица)

Изградете бројки за спроведување на планот

Размислете каков радиус треба да имаат облиците

в) Работа на проектот.

Работа во групи според составениот алгоритам