Лекции за програмата COMPASS.

Лекција бр. 12. Конструирање кругови во Compass 3D.
Кругови тангентни на криви, круг заснован на две точки.

Компас 3Д има неколку начини за конструирање тангентни кругови:

• круг тангента на 1-ви крива;
• круг тангента на 2 кривини;
• круг тангента на 3 кривини;

За да конструирате круг тангентен на кривата, притиснете го копчето „Круг тангента на 1 крива“во компактниот панел или во горното мени, притискајте ги командите последователно „Алатки“ - „Геометрија“ - „Кругови“ - „Круг тангента на 1 крива“.

Со помош на курсорот, прво ја означуваме кривата низ која ќе помине кругот, а потоа ги одредуваме 1-та и 2-та точка од овој круг (координатите на точките може да се внесат во панелот за својства).

На екранот ќе се прикажат фантоми од сите можни опции за круг. Користејќи го курсорот, изберете ги оние што ни се потребни и поправете ги со кликнување на копчето „Креирај објект“. Ја завршуваме конструкцијата со кликнување на копчето „Прекини команда“.

Пред да ја наведете втората точка, можете да внесете вредност на радиус или дијаметар во соодветното поле на панелот за својства. Таков круг нема секогаш да се конструира. Ова зависи од дадениот радиус или дијаметар. На неможноста за изградба ќе укаже исчезнувањето на фантомката по внесувањето на вредноста на радиусот.

Ако централната точка на кругот е позната, таа може да се постави и во панелот за својства.

За да изградите круг тангентен на две кривини, притиснете го копчето „Кружете тангента на 2 кривини“во компактен панел. Или во горното мени, притиснете ги командите последователно „Алатки“ - „Геометрија“ - „Кругови“ - „Круг тангента на 2 кривини“.

Користејќи го курсорот, ги означуваме предметите што кругот треба да ги допре. На екранот ќе се прикажат фантоми од сите можни опции за градба.

Ако е позната позицијата на точката што припаѓа на кругот, тогаш таа мора да биде одредена со помош на курсорот или координатите мора да се внесат во панелот за својства. Можете исто така да внесете вредности за радиус или дијаметар во панелот со својства. За да ја завршите конструкцијата, изберете ја саканата фантомка и притиснете ги копчињата последователно „Креирај објект“И „Прекинете ја командата“.

За да изградите круг тангентен на три кривини, притиснете го копчето „Заокружи тангента на 3 кривини“во компактен панел. Или во горното мени, притиснете ги командите последователно „Алатки“ - „Геометрија“ - „Кругови“ - „Кружете тангента на 3 кривини“.

Конструкциите се слични на претходните, затоа направете ги сами, резултатот е прикажан на сликата подолу.

Друг начин да се најде центарот (на пример, свртени производи) - со помош на специјална алатка, „пронаоѓач на центар“ - се заснова на својствата на т.н. тангентни линии. Тангента на круг е секоја права линија која, во точката на средба со кругот, е нормална на радиусот нацртан до оваа точка. На пример, во пеколот. 174 директно А БЕ ЦЕ ДЕИ Е.Ф.– тангенти на круг ACE. Поени А, Ц, Есе нарекуваат „точки на допир“. Особеноста на тангентата права е тоа што има круг со само една заедничка точка. Навистина, ако тангентата АБ(сл. 175) беше со круг, покрај ова има уште една заедничка точка, на пример, СО, тогаш, поврзувајќи го со центарот, би добиле рамнокрак триаголник SOAсо два прави агли СА,и ова, знаеме, е невозможно (зошто?).

Доста често се среќаваме со линии тангентни на круг практичниот живот. Јажето фрлено над блок во неговите напнати делови ја зазема положбата на тангентни линии на кругот на блокот. Појасите на дигалки (комбинации од неколку блокови, Сл. 176) се наоѓаат по линијата на заеднички тангенти на обемот на тркалата. Преносните појаси на макари, исто така, заземаат позиција на заеднички тангенти на круговите на макарите на „надворешните“ тангенти во т.н. отворен пренос и „внатрешен“ - во затворен пренос.

Како да се нацрта тангента на него низ дадена точка надвор од кругот? Со други зборови: како преку точка А(цртеж 177) повлече права линија АБдо агол АБОдали беше директно? Ова е направено на следниов начин. Поврзете се Асо центар ЗА(цртеж 178). Правата линија е поделена на половина и околу нејзината средина ВО, како центар, опишете круг со радиус ВО. Со други зборови, на ОПнаправете круг како на дијаметар. Пресечни точки СОИ Ддвата круга се поврзани со Аправи линии: тоа ќе бидат тангенти.

За да го потврдиме ова, да нацртаме од центарот до точките СОИ Дпомошни линии ОСИ ОД. Агли ОСАИ ОДА- прави, бидејќи се впишани во полукруг. И ова значи дека ОСИ О.Д.– тангенти на кругот.

Со оглед на нашата конструкција, гледаме, меѓу другото, дека од секоја точка надвор од кругот можеме да нацртаме две тангенти на неа. Лесно е да се потврди дека и двете од овие тангенти се со иста должина, т.е А.Ц.= АД. Навистина, точка ЗАподеднакво оддалечени од страните на аголот А; Средства ОПе еквидименик, а со тоа и триаголници OASИ ОАДеднакви ( СУС).

По патот, утврдивме дека правата линија што го преполовува аголот помеѓу двете тангенти поминува низ центарот на кругот. Ова е основа за дизајнот на уредот за наоѓање на центарот на свртените производи - центарот на пронаоѓачот (слика 179). Се состои од две линии АБИ AC, фиксиран под агол, а третиот владетел БД, чиј раб БДго преполовува аголот меѓу рабовите

првите два реда. Уредот се нанесува на тркалезниот производ, така што рабовите на владетелите во непосредна близина на него АБИ Сонцетодојде во контакт со обемот на производот. Во овој случај, рабовите ќе имаат само една заедничка точка со кругот, така што работ на линијарот мора, според сега посоченото својство на тангенти, да помине низ центарот на кругот. Откако ќе го нацртате дијаметарот на кругот на производот со помош на линијар, нанесете го централниот пронаоѓач на производот во различна положба и нацртајте различен дијаметар. Посакуваниот центар ќе биде на пресекот на двата дијаметри.

Ако треба да нацртате заедничка тангента на два круга, односно да нацртате права линија што би допрела два круга истовремено, тогаш постапете на следниов начин. Во близина на центарот на еден круг, на пример, околу ВО(сл. 180), опишете помошен круг со радиус еднаков на разликата помеѓу радиусите на двата круга. Потоа од точката Анацртајте тангенти ACИ АДна овој помошен круг. Од поени АИ ВОнацртајте прави линии нормално на ACИ АД, додека не се вкрстат со дадените кругови во точките Е, Ф, ХИ Г. Прави линии што се поврзуваат ЕСо Ф, ГСо Х, ќе има заеднички тангенти на овие кругови, бидејќи тие се нормални на радиусите AE, CF, AGИ Д.Х..

Покрај двете тангенти кои штотуку се нацртани и кои се нарекуваат надворешни, можно е да се нацртаат и две други тангенти, лоцирани како пеколот. 181 (внатрешни тангенти). За да ја извршите оваа конструкција, опишете околу центарот на еден од овие кругови - на пример, околу ВО– помошен круг со радиус еднаков на збирот на радиусите на двете кругови. Од точка Анацртајте тангенти на овој помошен круг. Читателите сами ќе можат да го дознаат понатамошниот тек на изградбата.

Повторете прашања

Како се нарекува тангента? Колку заеднички точки имаат тангентата и кругот? – Како да се нацрта тангента на круг низ точка што лежи надвор од кругот? – Колку такви тангенси може да се нацртаат? – Што е центрифуга? – На што се базира неговиот уред? – Како да нацртате заедничка тангента на два круга? - Колку тангенти има?

Геометриски конструкции

Конструирање тангенти на кругови

Да го разгледаме проблемот што лежи во основата на решението на други проблеми кои вклучуваат цртање тангенти на кругови.

Нека од поентатаА(сл. 1) потребно е да се нацртаат тангенти на кругот со центар во точкатаЗА.

За прецизно да се конструираат тангенти, неопходно е да се одредат точките на тангенција на линиите на кругот. За оваа точкаАтреба да се поврзе со бодЗАи подели го сегментотОПна половина. Од средината на овој сегмент - поениСО, како од центарот, опишете круг чиј дијаметар треба да биде еднаков на сегментотОП. ПоениДО1 ИДО2 пресек на кругови центрирани во точкаСОи со центар во точкаЗАсе точките на тангенција на правитеАК1 ИАК2 до даден круг.

Точноста на решението на проблемот се потврдува со фактот дека радиусот на кругот нацртан до точката на допир е нормален на тангентата на кругот. Аглидобро1 АИдобро2 Асе прави бидејќи се потпираат на дијаметаротАДкруг со центар во точкаСО.

Ориз. 1.

Кога се конструираат тангенти на два круга, се разликуваат тангентивнатрешенИнадворешен. Ако центрите на дадените кругови се наоѓаат на едната страна од тангентата, тогаш таа се смета за надворешна, а ако центрите на круговите се на спротивните страни на тангентата, таа се смета за внатрешна.

ЗА1 ИЗА2 Р1 ИР2 . Потребно е да се нацртаат надворешни тангенти на дадените кругови.

За точна конструкција потребно е да се одредат тангентните точки на правите линии и дадените кругови. Ако радиусите на круговите со центриЗА1 ИЗА2 почнете последователно да се намалувате за истата вредност, тогаш можете да добиете серија концентрични кругови со помали дијаметри. Покрај тоа, во секој случај на намалување на радиусот, тангентите на помалите кругови ќе бидат паралелни со саканите. По намалувањето на двата радиуси за големината на помалиот радиусР2 круг со центарЗА2 се претвора во точка, а кругот со центаротЗА1 ќе се трансформира во концентричен круг со радиусР3 , еднаква на разликата помеѓу радиуситеР1 ИР2 .

Користејќи го претходно опишаниот метод, од точкаЗА2 нацртајте надворешни тангенти на круг со радиусР3 , поврзете ги точкитеЗА1 ИЗА2 , подели со точкаСОлиниски сегментЗА1 ЗА2 на половина и нацртајте радиусCO1 лак, чиј пресек со дадена кружница ќе ги определи точките на тангенција на правитеЗА2 ДО1 ИЗА2 ДО2 .

ТочкаА1 ИА2 тангенцијата на бараните прави со поголемиот круг се наоѓа на продолжението на правите линииЗА1 ДО1 ИЗА1 ДО2 . ПоениВО1 ИВО2 тангентните линии на помалиот круг се нормални на основатаЗА2 соодветно на помошните тангентиЗА2 ДО1 ИЗА2 ДО2 . Со поставување на допирните точки, можете да ги нацртате саканите прави линииА1 ВО1 ИА2 ВО2 .

Ориз. 2.

Нека се дадени два круга со центри во точкитеЗА1 ИЗА2 (сл. 2), со радиуси соодветноР1 ИР2 . Потребно е да се нацртаат внатрешни тангенти на дадените кругови.

За да ги одредиме точките на тангенција на прави линии и кругови, користиме расудување слично на она дадено при решавање на претходната задача. Ако го намалите радиусотР2 на нула, потоа кругот со центарЗА2 оди на поентата. Меѓутоа, во овој случај, да се одржи паралелизам на помошните тангенти со саканиот радиусР1 треба да се зголеми за една големинаР2 и нацртајте круг со радиусР3 , еднаков на износотрадиусиР1 ИР2 .

Од точкаЗА2 нацртајте тангенти на круг со радиусР3 , зошто да ги поврзете точкитеЗА1 ИЗА2 , подели со точкаСОлиниски сегментЗА1 ЗА2 на половина и нацртајте лак од круг со центарот на точкатаСОи радиусCO1 . Пресек на лак со круг со радиусР3 ќе ја одреди позицијата на бодовитеДО1 ИДО2 тангенција на помошни линииЗА2 ДО1 ИЗА2 ДО2 .

ТочкаА1 ИА2 Р1 е на пресекот на овој круг со отсечкатаЗА1 ДО1 ИЗА1 ДО2 . Да се ​​дефинираат точкитеВО 1ИНА 2тангенција на бараните прави линии со круг од радиусР2 следи од поентатаО2вратете ги перпендикуларите на помошните линииO2K1ИO2K2додека не се вкрсти со дадена кружница. Имајќи ги точките на тангенција помеѓу саканите линии и дадените кругови, цртаме прави линииA1B1ИA2B2.

Ориз. 3.

Во ова поглавје се враќаме на едно од главните геометриски форми- до кругот. Ќе се докажат различни теореми поврзани со кругови, вклучувајќи теореми за кругови впишани во триаголник, четириаголник и ограничени кругови околу овие фигури. Дополнително, ќе се докажат три тврдења за забележителните точки на триаголникот - точката на пресек на симетралите на триаголникот, точката на пресек на неговите надморски височини и точката на пресек на нормалните симетрали на страните на триаголникот. Првите две изјави беа формулирани уште во 7 одделение, а сега можеме да ги докажеме.

Ајде да откриеме колку заеднички точки може да има права линија и круг, во зависност од нивната релативна положба. Јасно е дека ако линијата поминува низ центарот на кругот, тогаш таа го пресекува кругот на две точки - краевите на дијаметарот што лежат на оваа линија.

Нека правата p не поминува низ центарот O на круг со радиус r. Да нацртаме нормална OH на правата линија p и да ја означиме со буквата d должината на оваа нормална, односно растојанието од центарот на овој круг до права линија (сл. 211).

Ориз. 211

Ајде да истражуваме меѓусебно уредувањеправа и круг во зависност од односот помеѓу d и r. Постојат три можни случаи.

1) г< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

Следствено, точките A и B лежат на кругот и, според тоа, се заеднички точки на правата линија p и дадената кружница.

Да докажеме дека правата p и дадената кружница немаат други заеднички точки. Да претпоставиме дека тие имаат уште една заедничка точка C. Тогаш средната OD на рамнокрак триаголник O AC нацртана до основата AC е висината на овој триаголник, затоа OD ⊥ стр. Сегментите OD и OH не се совпаѓаат, бидејќи средната точка D на сегментот AC не се совпаѓа со точката H - средната точка на сегментот AB. Откривме дека од точката O две нормални (сегменти OH и OD) се повлечени до права линија p, што е невозможно.

Значи, ако растојанието од центарот на кругот до правата линија е помало од радиусот на кругот (г< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . Во овој случај, правата линија се нарекува секант во однос на кругот.

2) d = r. Во овој случај OH = r, т.е. точката H лежи на кругот и, според тоа, е заедничка точка на правата и кругот (сл. 211.6). Правата p и кругот немаат други заеднички точки, бидејќи за која било точка M од правата линија p, различна од точката H, OM > OH = r (наклонетата OM е поголема од нормалната OH), и затоа , точката М не лежи на кругот.

Значи, ако растојанието од центарот на кругот до правата линија е еднакво на радиусот на кругот, тогаш правата линија и кругот имаат само една заедничка точка.

3) г > р. Во овој случај, OH > r, значи, за која било точка M од правата r OM ≥ OH > r (сл. 211, в). Според тоа, точката М не лежи на кругот.

Значи, ако растојанието од центарот на кругот до правата линија е поголемо од радиусот на кругот, тогаш правата линија и кругот немаат заеднички точки.

Тангента на круг

Докажавме дека правата и кругот можат да имаат една или две заеднички точки и да немаат никакви заеднички точки.

Правата која има само една заедничка точка со круг се нарекува тангента на кружницата, а нивната заедничка точка се нарекува тангента на правата и кругот. На слика 212, права линија p е тангента на круг со центар O, A е точка на тангенција.

Да докажеме теорема за својството на тангента на круг.

Теорема

Доказ

Нека p е тангента на кругот со центар О, А точка на тангенција (види Сл. 212). Да докажеме дека тангентата p е нормална на радиусот OA.

Ориз. 212

Да претпоставиме дека тоа не е така. Тогаш радиусот ОА е наклонет кон правата линија r. Бидејќи нормалното извлечено од точката O до права линија p е помало од наклонето OA, растојанието од центарот O на кругот до правата линија p е помало од радиусот. Следствено, правата p и кругот имаат две заеднички точки. Но, ова е во спротивност со условот: права линија p е тангента.

Така, права линија p е нормална на радиусот OA. Теоремата е докажана.

Размислете за две тангенти на кружница со центар O, кои минуваат низ точката A и ја допираат кружницата во точките B и C (сл. 213). Да ги наречеме отсечките AB и AC тангентни отсечки извлечени од точкаА. Тие го имаат следниов имот:

Ориз. 213

За да го докажеме ова тврдење, да се свртиме на слика 213. Според теоремата за својството тангента, аглите 1 и 2 се прави агли, па затоа триаголниците ABO и ACO се правоаголни. Тие се еднакви бидејќи имаат заедничка хипотенуза ОА и еднакви краци OB и OS. Затоа, AB = AC и ∠3 = ∠4, што треба да се докаже.

Ајде сега да ја докажеме теоремата обратно на теоремата за тангентното својство (својство на тангента).

Теорема

Доказ

Од условите на теоремата произлегува дека овој радиус е нормална извлечена од центарот на кругот до дадената права. Затоа, растојанието од центарот на кругот до правата линија е еднакво на радиусот, и затоа правата линија и кругот имаат само една заедничка точка. Но, тоа значи дека оваа линија е тангента на кругот. Теоремата е докажана.

Решението на проблемите кои вклучуваат конструирање на тангента линија се заснова на оваа теорема. Ајде да решиме еден од овие проблеми.

Задача

Низ дадена точка А на кружница со центар О, нацртајте тангента на оваа кружница.

Решение

Да нацртаме права O A, а потоа да конструираме права p што минува низ точката A нормална на правата O A. Според критериумот тангента, правата p е саканата тангента.

Задачи

631. Нека d е растојанието од центарот на круг со радиус r до права линија r. Колкава е релативната положба на правата r и кружницата ако: а) r = 16 cm, d = 12 cm; б) r = 5 cm, d = 4,2 cm; в) r = 7,2 dm, (2 = 3,7 dm; г) r = 8 cm, d = 1,2 dm; д) r = 5 cm, d = 50 mm?

632. Растојанието од точката А до центарот на кругот е помало од радиусот на кругот. Докажете дека секоја права што минува низ точката А е секант во однос на дадената кружница.

633. Даден е квадрат O ABC чија страна е 6 cm и круг со центар во точката O со радиус 5 cm Кои од правите OA, AB, BC и AC се секираат во однос на оваа кружница?

634. Радиусот OM на круг со центар О ја дели акордот AB на половина. Докажи дека тангентата исцртана низ точката M е паралелна со акордот AB.

635. Низ точката А од кружницата се повлекуваат тангента и акорд еднаква на радиусот на кружницата. Најдете го аголот меѓу нив.

636. Две тангенти се повлечени низ краевите на акордот AB, еднакви на радиусот на кругот, се сечат во точката C. Најдете го аголот AC B.

637. Аголот помеѓу дијаметарот AB и акордот AC е 30°. Низ точката C се повлекува тангента и ја пресекува правата AB во точката D. Докажете дека триаголникот ACD е рамнокрак.

638. Правата AB допира круг со центар O со радиус r во точката B. Најдете AB ако OA = 2 cm и r = 1,5 cm.

639. Правата AB допира круг со центар O со радиус r во точката B. Најдете AB ако ∠AOB = 60° и r = 12 cm.

640. Дадена е кружница со центар O со радиус 4,5 cm и точка A. Низ точката A се повлечени две тангенти на кружницата. Најдете го аголот меѓу нив ако ОА = 9 cm.

641. Отсечките AB и AC се тангентни отсечки на кружница со центар O, извлечена од точката A. Најдете го аголот BAC ако средната точка на отсечката AO лежи на кругот.

642. На слика 213 OB = 3cm, CM. = 6 cm Најдете AB, AC, ∠3 и ∠4.

643. Правите AB и AC допираат круг со центар O во точките B и C. Најдете BC ако ∠OAB = 30°, AB = 5 cm.

644. Правите MA и MB допираат круг со центар O во точките A и B. Точката C е симетрична на точката O во однос на точката B. Докажете дека ∠AMC = 3∠BMC.

645. Од краевите на дијаметарот AB на дадена кружница се повлекуваат нормални AA 1 и BB 1 на тангентата која не е нормална на дијаметарот AB. Докажете дека точката на тангенција е средната точка на отсечката A 1 B 1 .

646. Во триаголникот ABC аголот B е правилен. Докажи дека: а) правата BC е тангента на кружница со центар А со радиус AB; б) права линија AB е тангента на круг со центар C со радиус CB; в) права линија AC не е тангента на кругови со центар B и радиуси BA и BC.

647. Отсекот AN е нормална извлечена од точката А на права линија што минува низ центарот O на кружница со радиус 3 cm Дали правата AN е тангентна на кружницата ако: а) CM. = 5 cm, AN = 4 cm; б) ∠HAO = 45°, CM = 4 cm; в) ∠HAO = 30°, O A = 6 cm?

648. Конструирај тангента на кружница со центар О: а) паралелна на дадената права; б) нормално на дадена права.

Одговори на проблеми

Директно ( МН), имајќи само една заедничка точка со кругот ( А), повикан тангента до кругот.

Заедничката точка се нарекува во овој случај точка на контакт.

Можност за постоење тангента, и, згора на тоа, извлечен низ која било точка круг, како точка на тангенција, се докажува на следниов начин теорема.

Нека се бара да се спроведе кругсо центар О тангентапреку точката А. За да го направите ова од точка А,како од центарот, опишуваме лакрадиус А.О., и од точка О, како центар, го пресекуваме овој лак на точките БИ СОраствор за компас еднаков на дијаметарот на дадениот круг.

По трошењето тогаш акорди О.Б.И ОС, поврзете ја точката Асо точки ДИ Е, на кој овие акорди се вкрстуваат со даден круг. Директно АДИ А.Е. - тангенти на круг О. Навистина, од конструкцијата е јасно дека триаголници AOBИ AOC рамнокрак(AO = AB = AC) со основи О.Б.И ОС, еднаков на дијаметарот на кругот О.

Бидејќи О.Д.И О.Е.- радиуси, тогаш Д - средината О.Б., А Е- средината ОС, Средства АДИ А.Е. - медијани, повлечен до основите на рамнокрак триаголници, па затоа е нормално на овие основи. Ако директно Д.А.И Е.А.нормално на радиусите О.Д.И О.Е., тогаш тие - тангенти.

Последица.

Две тангенти нацртани од една точка до круг се еднакви и формираат еднакви агли со права линија што ја поврзува оваа точка со центарот.

Значи АД=АЕи ∠ ОАД = ∠ОАЕбидејќи правоаголни триаголници AODИ АОЕ, имајќи заедничко хипотенуза А.О.и еднакви нозете О.Д.И О.Е.(како радиуси), се еднакви. Забележете дека овде зборот „тангента“ всушност значи „ тангентен сегмент“ од дадена точка до точка на контакт.