Ограничување на функцијата. Како да се решат границите за кукли? 1 пресметајте ги границите

Првата извонредна граница е следнава еднаквост:

\почеток(равенка)\lim_(\алфа\до(0))\frac(\sin\алфа)(\алфа)=1 \крај (равенка)

Бидејќи за $\alpha\to(0)$ имаме $\sin\alpha\to(0)$, тие велат дека првата извонредна граница открива несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Општо земено, во формулата (1), наместо променливата $\alpha$, секој израз може да се стави под синусниот знак и во именителот, се додека се исполнети два услови:

1. Изразите под синусниот знак и во именителот истовремено тежнеат кон нула, т.е. постои несигурност на формата $\frac(0)(0)$.
2. Изразите под синусниот знак и во именителот се исти.

Често се користат и последиците од првата извонредна граница:

\почеток(равенка) \lim_(\алфа\до(0))\frac(\tg\алфа)(\алфа)=1 \крај (равенка) \почеток(равенка) \lim_(\алфа\до(0) )\frac(\arcsin\алфа)(\алфа)=1 \крај(равенка) \почеток(равенка) \lim_(\алфа\до(0))\frac(\arctg\алфа)(\алфа)=1 \крај (равенка)

Единаесет примери се решени на оваа страница. Примерот бр. 1 е посветен на докажувањето на формулите (2)-(4). Примерите бр. 2, бр. 3, бр. 4 и бр. 5 содржат решенија со детални коментари. Примерите бр. 6-10 содржат решенија без практично никакви коментари, бидејќи во претходните примери беа дадени детални објаснувања. Решението користи некои тригонометриски формулишто може да се најде.

Забележувам дека присуството тригонометриски функциизаедно со неизвесноста $\frac (0) (0)$ сè уште не значи задолжителна примена на првата забележителна граница. Понекогаш едноставни тригонометриски трансформации се доволни - на пример, види.

Пример бр. 1

Докажете дека $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\алфа)=1$, $\lim_(\алфа\до(0))\frac(\arctg\алфа)(\алфа)=1$.

а) Бидејќи $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, тогаш:

$$ \lim_(\алфа\до(0))\frac(\tg(\алфа))(\алфа)=\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(\алфа\до(0))\frac(\sin(\алфа))(\алфа\cos(\алфа)) $$

Бидејќи $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ и $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Тоа:

$$ \lim_(\алфа\до(0))\frac(\sin(\алфа))(\алфа\cos(\алфа)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\алфа))(\алфа))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

б) Да ја направиме промената $\alpha=\sin(y)$. Бидејќи $\sin(0)=0$, тогаш од условот $\alpha\to(0)$ имаме $y\to(0)$. Дополнително, постои соседство од нула во кое $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, значи:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Еднаквоста $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ е докажана.

в) Да ја направиме замената $\alpha=\tg(y)$. Бидејќи $\tg(0)=0$, тогаш условите $\alpha\to(0)$ и $y\to(0)$ се еквивалентни. Покрај тоа, постои соседство на нула во кое $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, според тоа, врз основа на резултатите од точката а), ќе имаме:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Еднаквоста $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ е докажана.

Равенките а), б), в) често се користат заедно со првата извонредна граница.

Пример бр. 2

Пресметајте ја границата $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\десно))(\frac(x^2-4) ( x + 7)) $.

Бидејќи $\lim_(x\to (2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ и $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, т.е. а и броителот и именителот на дропката истовремено тежнеат кон нула, тогаш овде имаме работа со несигурност од формата $\frac(0)(0)$, т.е. направено. Покрај тоа, јасно е дека изразите под синусниот знак и во именителот се совпаѓаат (т.е. и е задоволен):

Значи, двата услови наведени на почетокот на страницата се исполнети. Од ова произлегува дека формулата е применлива, т.е. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\десно))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Одговори: $\lim_(x\to (2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\десно))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Пример бр. 3

Најдете $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Бидејќи $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ и $\lim_(x\to(0))x=0$, тогаш имаме работа со неизвесност од формата $\frac (0 )(0)$, т.е. направено. Меѓутоа, изразите под синусниот знак и во именителот не се совпаѓаат. Овде треба да го прилагодите изразот во именителот до саканата форма. Ни треба изразот $9x$ да биде во именителот, тогаш тој ќе стане вистинит. Во суштина, ни недостасува фактор од 9$ во именителот, што не е толку тешко да се внесе - само помножете го изразот во именителот со 9$. Секако, за да се компензира за множење со 9$, ќе мора веднаш да се подели со 9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Сега изразите во именителот и под синусниот знак се совпаѓаат. Двата услови за лимитот $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ се задоволени. Затоа, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. А ова значи дека:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Одговори: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Пример бр. 4

Најдете $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Бидејќи $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ и $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, овде имаме работа со несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Сепак, формата на првата извонредна граница е нарушена. Броител што содржи $\sin(5x)$ бара именител од $5x$. Во оваа ситуација, најлесниот начин е да се подели броителот со $5x$ и веднаш да се помножи со $5x$. Дополнително, ќе извршиме слична операција со именителот, множејќи и делејќи $\tg(8x)$ со $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(x\до (0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Намалувајќи за $x$ и земајќи ја константата $\frac(5)(8)$ надвор од знакот за ограничување, добиваме:

$$ \lim_(x\до (0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Забележете дека $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ целосно ги задоволува барањата за првата извонредна граница. За да го пронајдете $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ следнава формула е применлива:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Одговори: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Пример бр. 5

Најдете $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Бидејќи $\lim_(x\to (0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (запомнете дека $\cos(0)=1$) и $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, тогаш имаме работа со несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Меѓутоа, за да ја примените првата извонредна граница, треба да се ослободите од косинусот во броителот, преминувајќи на синусите (за потоа да ја примените формулата) или тангентите (за потоа да ја примените формулата). Ова може да се направи со следнава трансформација:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\десно)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\десно)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Да се ​​вратиме на лимитот:

$$ \lim_(x\до (0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\десно) $$

Дропката $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ е веќе блиску до формата потребна за првата извонредна граница. Ајде да работиме малку со дропката $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, прилагодувајќи ја на првата забележителна граница (забележете дека изразите во броителот и под синусот мора да се совпаѓаат):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\десно)^2$$

Да се ​​вратиме на границата за која станува збор:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\десно) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\десно)^2\десно)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\десно)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Одговори: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Пример бр. 6

Најдете го лимитот $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Бидејќи $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ и $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, тогаш имаме работа со неизвесност $\frac(0)(0)$. Дозволете ни да го откриеме со помош на првата извонредна граница. За да го направите ова, да преминеме од косинус на синус. Бидејќи $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, тогаш:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Премин на синусите во дадената граница, ќе имаме:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))(3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\лево(\ frac(\sin(3x))(3x)\десно)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\десно)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\десно)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\десно)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Одговори: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Пример бр. 7

Пресметајте го лимитот $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ предмет на $\alpha\neq \ бета$.

Детални објаснувања беа дадени претходно, но овде едноставно забележуваме дека повторно постои неизвесност $\frac(0)(0)$. Ајде да преминеме од косинус на синус користејќи ја формулата

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Користејќи ја оваа формула, добиваме:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\алфа(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\лево|\frac(0)( 0)\десно| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\алфа(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\алфа(x)-\ бета(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\алфа+\бета )(2)\десно)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\алфа-\бета)(2)\десно))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\алфа+\бета)(2)\десно))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\алфа-\бета)(2)\десно))(x)\десно)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\алфа+\бета)(2)\десно))(x\cdot\frac(\алфа+\бета)(2))\cdot\frac(\алфа+\бета)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\алфа-\бета)(2)\десно))(x\cdot\frac(\алфа-\бета)(2))\cdot\frac(\алфа- \бета)(2)\десно)=\\ =-\frac((\алфа+\бета)\cdot(\алфа-\бета))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\алфа+\бета)(2)\десно))(x\cdot\frac(\алфа+\бета)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\алфа-\бета)(2)\десно))(x\cdot\frac(\алфа-\бета)(2)) =-\frac(\ алфа^2-\бета^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\бета^2-\алфа^2)(2). $$

Одговори: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\алфа(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ алфа^2)(2)$.

Пример бр. 8

Најдете ја границата $\lim_(x\to (0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Бидејќи $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (запомнете дека $\sin(0)=\tg(0)=0$) и $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, тогаш овде имаме работа со несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Ајде да го разложиме на следниов начин:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\десно))(x^3) =\lim_(x\до(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\десно))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\десно)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\десно) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Одговори: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Пример бр. 9

Најдете го лимитот $\lim_(x\до (3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Бидејќи $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ и $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, тогаш постои несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Пред да продолжите со нејзиното проширување, погодно е да се изврши промена на променливата на таков начин што новата променлива ќе се стреми кон нула (забележете дека во формулите променливата $\alpha \до 0$). Најлесен начин е да се воведе променливата $t=x-3$. Сепак, заради погодност за понатамошни трансформации (оваа придобивка може да се види во текот на решението подолу), вреди да се направи следната замена: $t=\frac(x-3)(2)$. Забележувам дека и двете замени се применливи во во овој случај, само втората замена ќе ви овозможи помалку да работите со фракции. Од $x\to(3)$, потоа $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to (3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\лево|\frac (0)(0)\десно| =\лево|\почеток(порамнет)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\до(0)\крај (порамнет)\десно| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ до (0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\десно) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Одговори: $\lim_(x\to (3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Пример бр. 10

Најдете ја границата $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\десно)^ 2) $.

Уште еднаш се занимаваме со неизвесност $\frac(0)(0)$. Пред да продолжите со нејзиното проширување, погодно е да се направи промена на променливата на таков начин што новата променлива ќе се стреми кон нула (забележете дека во формулите променливата е $\alpha\to(0)$). Најлесен начин е да се воведе променливата $t=\frac(\pi)(2)-x$. Бидејќи $x\to\frac(\pi)(2)$, тогаш $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\десно)^2) =\лево|\frac(0)(0)\десно| =\лево|\почеток(порамнет)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\до(0)\крај (порамнет)\десно| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\десно))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\десно)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Одговори: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\десно)^2) =\frac(1)(2)$.

Пример бр. 11

Најдете ги границите $\lim_(x\to\frac(\pi)(2)\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Во овој случај, не мора да ја користиме првата прекрасна граница. Ве молиме имајте предвид дека и првата и втората граница содржат само тригонометриски функции и броеви. Често во примери од овој вид е можно да се поедностави изразот лоциран под знакот за граница. Притоа, по претходно споменатото поедноставување и намалување на некои фактори, неизвесноста исчезнува. Овој пример го дадов само со една цел: да покажам дека присуството на тригонометриски функции под знакот за граница не мора да значи употреба на првата забележителна граница.

Бидејќи $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (запомнете дека $\sin\frac(\pi)(2)=1$) и $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (да ве потсетам дека $\cos\frac(\pi)(2)=0$), тогаш имаме справување со несигурноста на формата $\frac(0)(0)$. Сепак, тоа не значи дека ќе треба да ја искористиме првата прекрасна граница. За да се открие неизвесноста, доволно е да се земе предвид дека $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Слично решение има и во книгата за решенија на Демидович (бр. 475). Што се однесува до втората граница, како и во претходните примери во овој дел, имаме несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Зошто се појавува? Настанува затоа што $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ и $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Ги користиме овие вредности за да ги трансформираме изразите во броителот и именителот. Целта на нашите акции е да го запишеме збирот во броителот и именителот како производ. Патем, често во сличен тип е погодно да се смени променлива, направена на таков начин што новата променлива се стреми кон нула (види, на пример, примери бр. 9 или бр. 10 на оваа страница). Меѓутоа, во овој пример нема смисла да се замени, иако ако сакате, заменувањето на променливата $t=x-\frac(2\pi)(3)$ не е тешко да се имплементира.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ до\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\десно )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\лево(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\десно))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \лево(x-\frac(2\pi)(3)\десно))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\лево(x-\frac(2\pi)(3)\десно))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\десно)\cdot\left( -\frac(1)(2)\десно)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Како што можете да видите, не моравме да ја примениме првата прекрасна граница. Се разбира, можете да го направите ова ако сакате (видете ја белешката подолу), но тоа не е неопходно.

Кое е решението со користење на првата извонредна граница? покаже/скриј

Користејќи ја првата извонредна граница, добиваме:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\десно))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ десно))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\десно) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\десно)\cdot\left(-\frac(1)(2)\десно)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Одговори: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

За оние кои сакаат да научат како да најдат граници, во оваа статија ќе ви кажеме за тоа. Нема да навлегуваме во теоријата; наставниците обично ја одржуваат на предавања. Значи, „досадната теорија“ треба да биде запишана во вашите тетратки. Ако тоа не е случај, тогаш можете да читате учебници позајмени од библиотеката. образовна институцијаили на други интернет ресурси.

Значи, концептот на граница е доста важен во изучувањето на вишата математика, особено кога ќе наидете на интегрална пресметка и ќе ја разберете врската помеѓу лимитот и интегралот. Во тековниот материјал ќе разгледаме едноставни примери, како и начини за нивно решавање.

Примери на решенија

Што да се прави со несигурноста на формата: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Ајде да ја потиснеме границата во последните два примери до бесконечност и да ја разгледаме неизвесноста: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Алгоритам за пресметување на граници

Значи, ајде накратко да ги сумираме примерите и да создадеме алгоритам за решавање на границите:

1. Заменете ја точката x во изразот што следи по знакот за граница. Ако се добие одреден број или бесконечност, тогаш границата е целосно решена. Во спротивно, имаме несигурност: „нула поделена со нула“ или „бесконечност поделена со бесконечност“ и преминете на следните чекори од инструкциите.
2. За да ја елиминирате неизвесноста на „нула поделена со нула“, треба да ги факторизирате броителот и именителот. Намалете ги сличните. Заменете ја точката x во изразот под знакот за граница.
3. Ако неизвесноста е „бесконечност поделена со бесконечност“, тогаш ги вадиме и броителот и именителот x до најголем степен. Ги скратуваме X-овите. Вредностите на x од под границата ги заменуваме во преостанатиот израз.

Во оваа статија ги научивте основите за решавање на границите што често се користат во курсот. Математичка анализа. Се разбира, ова не се сите видови проблеми што ги нудат испитувачите, туку само наједноставните граници. Ќе зборуваме за други видови задачи во идните статии, но прво треба да ја научите оваа лекција за да продолжите напред. Ајде да разговараме што да правиме ако има корени, степени, да проучуваме бесконечно мали еквивалентни функции, извонредни граници, правилото на L'Hopital.

Ако не можете сами да ги сфатите границите, не паничете. Ние секогаш сме среќни да помогнеме!

Ограничување на функцијата- број аќе биде граница на некое променливо количество ако, во процесот на нејзината промена, оваа променлива величина на неодредено време се приближува а.

Или со други зборови, бројот Ае граница на функцијата y = f(x)во точката x 0, ако за која било низа точки од доменот на дефинирање на функцијата не е еднаква x 0, и кој конвергира до точка x 0 (lim x n = x0), редоследот на соодветните функционални вредности конвергира до бројот А.

Графикот на функција чија граница, со оглед на аргументот кој тежи кон бесконечност, е еднаков на Л:

Значење Ае граница (гранична вредност) на функцијата f(x)во точката x 0во случај за која било низа точки , кој конвергира во x 0, но кој не содржи x 0како еден од неговите елементи (т.е. во дупнатата близина x 0), низа од вредностите на функциите конвергира во А.

Ограничување на функцијата Коши.

Значење Аќе биде граница на функцијата f(x)во точката x 0ако за кој било ненегативен број однапред земен ε ќе се најде соодветниот ненегативен број δ = δ(ε) така што за секој аргумент x, задоволувајќи ја состојбата 0 < | x - x0 | < δ , ќе се задоволи нееднаквоста | f(x)A |< ε .

Ќе биде многу едноставно ако ја разберете суштината на границата и основните правила за нејзино наоѓање. Која е границата на функцијата f (x)на xстремејќи се кон аеднакви А, е напишано вака:

Покрај тоа, вредноста кон која тежи променливата x, може да биде не само број, туку и бесконечност (∞), понекогаш +∞ или -∞, или може воопшто да нема ограничување.

За да се разбере како најдете ги границите на функцијата, најдобро е да се погледнат примери на решенија.

Неопходно е да се најдат границите на функцијата f (x) = 1/xна:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Ајде да најдеме решение до првата граница. За да го направите ова, можете едноставно да го замените xбројот кон кој се стреми, т.е. 2, добиваме:

Ајде да ја најдеме втората граница на функцијата. Тука наместо тоа, заменете ја чистата 0 xтоа е невозможно, бидејќи Не можете да делите со 0. Но, можеме да земеме вредности блиску до нула, на пример, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и така натаму, и вредноста на функцијата f (x)ќе се зголеми: 100; 1000; 10000; 100.000 и така натаму. Така, може да се разбере дека кога x→ 0 вредноста на функцијата која е под знакот за граница ќе се зголемува без ограничување, т.е. се стремиме кон бесконечноста. Што значи:

Во однос на третата граница. Истата ситуација како и во претходниот случај, невозможно е да се замени ∞ во својата најчиста форма. Треба да го разгледаме случајот на неограничено зголемување x. Заменуваме 1000 еден по еден; 10000; 100000 и така натаму, ја имаме таа вредност на функцијата f (x) = 1/xќе се намали: 0,001; 0,0001; 0,00001; и така натаму, со тенденција на нула. Затоа:

Неопходно е да се пресмета границата на функцијата

Почнувајќи да го решаваме вториот пример, гледаме несигурност. Оттука го наоѓаме највисокиот степен на броителот и именителот - ова е x 3, го вадиме од загради во броителот и именителот и потоа го намалуваме за:

Одговори

Првиот чекор во наоѓање на оваа граница, наместо тоа, заменете ја вредноста 1 x, што резултира со неизвесност. За да го решиме, ајде да го факторизираме броителот и да го направиме тоа користејќи го методот за наоѓање корени на квадратна равенка x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Значи, броителот ќе биде:

Одговори

Ова е дефиниција за нејзината специфична вредност или одредена област каде што паѓа функцијата, која е ограничена со лимитот.

За да ги решите ограничувањата, следете ги правилата:

Ја разбрав суштината и главната правила за решавање на лимитот, ќе добиете основно разбирање за тоа како да ги решите.

Обично втората извонредна граница е напишана во оваа форма:

\почеток(равенка) \lim_(x\до\infty)\left(1+\frac(1)(x)\десно)^x=e\крај (равенка)

Бројот $e$ означен на десната страна на еднаквоста (1) е ирационален. Приближната вредност на овој број е: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Ако ја направиме замената $t=\frac(1)(x)$, тогаш формулата (1) може да се препише на следниов начин:

\почеток(равенка) \lim_(t\до (0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\крај (равенка)

Што се однесува до првата извонредна граница, не е важно кој израз стои на местото на променливата $x$ во формулата (1) или наместо променливата $t$ во формулата (2). Главната работа е да се исполнат два услови:

1. Основата на степенот (т.е. изразот во заградите на формулите (1) и (2)) треба да тежнее кон единство;
2. Експонентот (т.е. $x$ во формулата (1) или $\frac(1)(t)$ во формулата (2)) мора да се стреми кон бесконечност.

Се вели дека втората извонредна граница ја открива неизвесноста од $1^\infty$. Забележете дека во формулата (1) не наведуваме за кој бесконечност ($+\infty$ или $-\infty$) зборуваме. Во секој од овие случаи, формулата (1) е точна. Во формулата (2), променливата $t$ може да има тенденција на нула и лево и десно.

Забележувам дека има и неколку корисни последици од втората извонредна граница. Примери за употреба на втората извонредна граница, како и нејзините последици, се многу популарни меѓу компајлерите на стандардни стандардни пресметки и тестови.

Пример бр. 1

Пресметајте го лимитот $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

Веднаш да забележиме дека основата на степенот (т.е. $\frac(3x+1)(3x-5)$) се стреми кон единство:

$$ \lim_(x\до\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\лево|\frac(\infty)(\infty)\десно| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

Во овој случај, експонентот (израз $4x+7$) се стреми кон бесконечност, т.е. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Основата на степенот се стреми кон единство, експонентот се стреми кон бесконечност, т.е. имаме работа со неизвесност $1^\infty$. Ајде да примениме формула за да ја откриеме оваа несигурност. Во основата на моќноста на формулата е изразот $1+\frac(1)(x)$, а во примерот што го разгледуваме, основата на моќноста е: $\frac(3x+1)(3x- 5) $. Затоа, првото дејство ќе биде формално прилагодување на изразот $\frac(3x+1)(3x-5)$ во формата $1+\frac(1)(x)$. Прво, додадете и одземете еден:

$$ \lim_(x\до\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\десно)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\десно)^(4x+7) $$

Ве молиме имајте предвид дека не можете едноставно да додадете единица. Ако сме принудени да додадеме еден, тогаш треба и да го одземеме за да не ја промениме вредноста на целиот израз. За да продолжиме со решението, го земаме предвид тоа

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

Бидејќи $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, тогаш:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\десно)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ лево(1+\frac(6)(3x-5)\десно)^(4x+7) $$

Да продолжиме со прилагодувањето. Во изразот $1+\frac(1)(x)$ од формулата, броителот на дропката е 1, а во нашиот израз $1+\frac(6)(3x-5)$ броителот е $6$. За да добиете $1$ во броителот, ставете $6$ во именителот користејќи ја следната конверзија:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Така,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\десно)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\десно)^(4x+7) $$

Значи, основата на степенот, т.е. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, приспособена на формата $1+\frac(1)(x)$ потребна во формулата. Сега да почнеме да работиме со експонентот. Забележете дека во формулата изразите во експонентите и во именителот се исти:

Ова значи дека во нашиот пример, експонентот и именителот мора да се сведат на иста форма. За да го добиеме изразот $\frac(3x-5)(6)$ во експонентот, ние едноставно го множиме експонентот со оваа дропка. Природно, за да се компензира таквото множење, ќе мора веднаш да се помножи со реципрочната дропка, т.е. од $\frac(6)(3x-5)$. Значи имаме:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\десно)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\десно)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\десно)^(\ frac(3x-5)(6))\десно)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Дозволете ни да ја разгледаме одделно границата на дропот $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ сместена во моќноста:

$$ \lim_(x\до\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\лево|\frac(\infty)(\infty)\десно| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\десно))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ фрак (4) (3) =8. $$

Одговори: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9)) $.

Пример бр. 4

Најдете ја границата $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\десно)$.

Бидејќи за $x>0$ имаме $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\десно)$, тогаш:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\десно) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ лево(\frac(x+1)(x)\десно)\десно) $$

Со проширување на дропката $\frac(x+1)(x)$ во збирот на дропките $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ добиваме:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\десно)\десно) =\lim_(x\to+\infty)\лево (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\десно)\десно) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\десно)^x\десно) =\n(e) =1. $$

Одговори: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\десно)=1$.

Пример бр. 5

Најдете го лимитот $\lim_(x\до (2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Бидејќи $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ и $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, тогаш имаме работа со несигурност на формата $1^\infty$. Детални објаснувања се дадени во примерот бр. 2, но овде ќе се ограничиме кратко решение. Правејќи ја замената $t=x-2$, добиваме:

$$ \lim_(x\to (2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\лево|\почеток(порамнет)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(порамнети)\десно| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\десно)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Овој пример можете да го решите на поинаков начин, користејќи ја замената: $t=\frac(1)(x-2)$. Се разбира, одговорот ќе биде ист:

$$ \lim_(x\to (2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\лево|\почеток(порамнет)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end (порамнет)\десно| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\десно)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\десно)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\десно)^(\frac(t)(3))\десно)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Одговори: $\lim_(x\to (2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Пример бр. 6

Најдете ја границата $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\десно)^(3x) $.

Ајде да дознаеме кон што се стреми изразот $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ под условот $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\до\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\лево|\frac(\infty)(\infty)\десно| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Така, во дадена граница имаме работа со несигурност од формата $1^\infty$, која ќе ја откриеме со помош на втората извонредна граница:

$$ \lim_(x\до\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\десно)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\десно)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\десно)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\десно)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4 )(7))\десно)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\до\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\десно)^(\frac(2x^2-4)(7))\десно)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Одговори: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\десно)^(3x)=1$.

Границите им задаваат многу проблеми на сите студенти по математика. За да решите ограничување, понекогаш треба да користите многу трикови и да изберете од различни методи за решение токму оној што е погоден за одреден пример.

Во оваа статија нема да ви помогнеме да ги разберете границите на вашите можности или да ги разберете границите на контролата, но ќе се обидеме да одговориме на прашањето: како да ги разберете границите во виша математика? Разбирањето доаѓа со искуство, па во исто време ќе дадеме неколку детални примерирешенија на лимити со објаснувања.

Концептот на граница во математиката

Првото прашање е: која е оваа граница и граница на што? Можеме да зборуваме за границите на нумеричките секвенци и функции. Ние сме заинтересирани за концептот на граница на функцијата, бидејќи тоа е она со што најчесто се среќаваат учениците. Но, прво - најмногу општа дефиницијаграница:

Да речеме дека има некоја променлива вредност. Доколку оваа вредност во процесот на промена неограничено се приближува до одредена бројка а , Тоа а – граница на оваа вредност.

За функција дефинирана во одреден интервал f(x)=y таквиот број се нарекува граница А , на која функцијата тежнее кога X , со тенденција до одредена точка А . Точка А припаѓа на интервалот на кој е дефинирана функцијата.

Звучи незгодно, но е напишано многу едноставно:

Лим- од англиски граница- граница.

Постои и геометриско објаснување за одредување на границата, но овде нема да навлегуваме во теоријата, бидејќи повеќе не интересира практичната, а не теоретската страна на прашањето. Кога ќе го кажеме тоа X се стреми кон некоја вредност, тоа значи дека променливата не ја зема вредноста на некој број, туку му се приближува бескрајно блиску.

Ајде да дадеме конкретен пример. Задачата е да се најде лимитот.

За да го решиме овој пример, ја заменуваме вредноста x=3 во функција. Добиваме:

Патем, ако ве интересираат основни операции на матрици, прочитајте посебна статијаза оваа тема.

Во примери X може да се стреми кон која било вредност. Може да биде кој било број или бесконечност. Еве еден пример кога X се стреми кон бесконечност:

Интуитивно, колку е поголем бројот во именителот, толку е помала вредноста на функцијата. Значи, со неограничен раст X значење 1/x ќе се намали и ќе се приближи до нула.

Како што можете да видите, за да го решите лимитот, само треба да ја замените вредноста кон која се стремите во функцијата X . Сепак, ова е наједноставниот случај. Често наоѓањето на границата не е толку очигледно. Во границите има несигурности од типот 0/0 или бесконечност/бесконечност . Што да се прави во такви случаи? Прибегнете кон трикови!

Неизвесности внатре

Несигурност на формата бесконечност/бесконечност

Нека има граница:

Ако се обидеме да ја замениме бесконечноста во функцијата, ќе добиеме бесконечност и во броителот и во именителот. Општо земено, вреди да се каже дека постои одреден елемент на уметноста во решавањето на таквите несигурности: треба да забележите како можете да ја трансформирате функцијата на таков начин што неизвесноста ќе исчезне. Во нашиот случај, ние ги делиме броителот и именителот со X во виша диплома. Што ќе се случи?

Од примерот веќе дискутиран погоре, знаеме дека поимите што содржат x во именителот ќе имаат тенденција на нула. Тогаш решението до границата е:

За да се решат несигурностите на типот бесконечност/бесконечностподели ги броителот и именителот со Xдо највисок степен.

Патем! За нашите читатели сега има попуст од 10%. секаков вид на работа

Друг тип на неизвесност: 0/0

Како и секогаш, замена на вредностите во функцијата x=-1 дава 0 во броителот и именителот. Погледнете малку повнимателно и ќе го забележите тоа во нашиот броител квадратна равенка. Ајде да ги најдеме корените и да напишеме:

Да намалиме и да добиеме:

Значи, ако сте соочени со типска несигурност 0/0 – пресметајте ги броителот и именителот.

За полесно да решавате примери, ви претставуваме табела со граници на некои функции:

Во рамките на владеењето на L'Hopital

Друг моќен начин да се елиминираат двата вида несигурност. Која е суштината на методот?

Ако има несигурност во границата, земете го изводот на броителот и именителот додека не исчезне неизвесноста.

Правилото на L'Hopital изгледа вака:

Важна точка : границата во која стојат изводите на броителот и именителот наместо броителот и именителот мора да постои.

И сега - вистински пример:

Постои типична неизвесност 0/0 . Да ги земеме изводите на броителот и именителот:

Воила, неизвесноста се решава брзо и елегантно.

Се надеваме дека ќе можете корисно да ги примените овие информации во пракса и да го најдете одговорот на прашањето „како да ги решите границите во повисоката математика“. Ако треба да ја пресметате границата на низа или лимитот на функцијата во точка, и нема апсолутно време за оваа работа, контактирајте со професионална студентска служба за брзо и детално решение.