Презентација „Функција y=ax2, нејзиниот график и својства. Експоненцијална функција - својства, графикони, формули Цртање график на функцијата y ax2 bx c
Презентација и лекција на тема:
„График на функцијата $y=ax^2+bx+c$. Својства“
Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.
Едукативни помагала и симулатори во онлајн продавницата Integral за 8 одделение
Прирачник за учебникот од Дорофеев Г.В. Прирачник за учебникот од Николски С.М.
Момци, во последните часови изградивме голем број графикони, вклучувајќи и многу параболи. Денес ќе го сумираме знаењето што го стекнавме и ќе научиме како да ја нацртаме оваа функција во нејзината најопшта форма.
Да го погледнеме квадратниот трином $a*x^2+b*x+c$. $a, b, c$ се нарекуваат коефициенти. Тие можат да бидат какви било броеви, но $a≠0$. $a*x^2$ се нарекува водечки член, $a$ е водечки коефициент. Вреди да се напомене дека коефициентите $b$ и $c$ можат да бидат еднакви на нула, односно триномот ќе се состои од два члена, а третиот е еднаков на нула.
Да ја погледнеме функцијата $y=a*x^2+b*x+c$. Оваа функција се нарекува „квадратна“ затоа што најголемата моќност е втора, односно квадрат. Коефициентите се исти како што е дефинирано погоре.
Во последната лекција, во последниот пример, погледнавме како нацртавме график на слична функција.
Да докажеме дека секој таков квадратна функцијаможе да се сведе на формата: $y=a(x+l)^2+m$.
Графикот на таква функција е конструиран со помош на дополнителен координатен систем. Во големата математика, бројките се доста ретки. Речиси секој проблем треба да се докаже во најопшт случај. Денес ќе разгледаме еден таков доказ. Момци, можете да ја видите целата моќ на математичкиот апарат, но и неговата сложеност.
Да го изолираме совршениот квадрат од квадратниот трином:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2а))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Го добивме тоа што го сакавме.
Секоја квадратна функција може да се претстави како:
$y=a(x+l)^2+m$, каде што $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.
За да го нацртате графикот $y=a(x+l)^2+m$, треба да ја нацртате функцијата $y=ax^2$. Покрај тоа, темето на параболата ќе се наоѓа во точката со координати $(-l;m)$.
Значи, нашата функција $y=a*x^2+b*x+c$ е парабола.
Оската на параболата ќе биде права линија $x=-\frac(b)(2a)$, а координатите на темето на параболата долж оската на апсцисата, како што можеме да видиме, се пресметуваат со формулата: $ x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
За да ја пресметате координатата на y-оската на темето на параболата, можете:
- користете ја формулата: $y_(в)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
- директно заменете ја координатата на темето долж $x$ во оригиналната функција: $y_(в)=ax_(в)^2+b*x_(в)+c$.
Ако треба да опишете некои својства или да одговорите на некои конкретни прашања, не треба секогаш да изградите график на функцијата. Ќе ги разгледаме главните прашања на кои може да се одговори без конструкција во следниот пример.
Пример 1.
Без графика на функцијата $y=4x^2-6x-3$, одговорете на следниве прашања:
Решение.
а) Оската на параболата е права линија $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3 ) (4) $.
б) Ја најдовме апсцисата на темето над $x_(c)=\frac(3)(4)$.
Ја наоѓаме ординатата на темето со директна замена во оригиналната функција:
$y_(в)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
в) Графикот на потребната функција ќе се добие со паралелно пренесување на графикот $y=4x^2$. Неговите гранки гледаат нагоре, што значи дека гранките на параболата на оригиналната функција исто така ќе гледаат нагоре.
Во принцип, ако коефициентот $a>0$, тогаш гранките гледаат нагоре, ако коефициентот $a
Пример 2.
Графиконирајте ја функцијата: $y=2x^2+4x-6$.
Решение.
Да ги најдеме координатите на темето на параболата:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(в)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Да ја означиме координатата на темето на координатната оска. Во овој момент, како во нов системкоординати ќе конструираме парабола $y=2x^2$.
Постојат многу начини да се поедностави конструкцијата на графикони со параболи.
- Можеме да најдеме две симетрични точки, да ја пресметаме вредноста на функцијата во овие точки, да ги означиме координатна рамнинаи поврзете ги со темето на кривата што ја опишува параболата.
- Можеме да конструираме гранка на параболата десно или лево од темето и потоа да ја рефлектираме.
- Можеме да градиме точка по точка.
Пример 3.
Најдете ја најголемата и најмалата вредност на функцијата: $y=-x^2+6x+4$ на отсечката $[-1;6]$.
Решение.
Ајде да изградиме график на оваа функција, да го избереме потребниот интервал и да ги најдеме најниските и највисоките точки на нашиот график.
Да ги најдеме координатите на темето на параболата:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(в)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
Во точката со координати $(3;13)$ конструираме парабола $y=-x^2$. 
Ајде да го избереме потребниот интервал. 
Најниската точка има координата -3, највисоката точка има координата 13.
$y_(име)=-3$; $y_(максимум)=13$.
Проблеми кои треба да се решаваат самостојно
1. Без графика на функцијата $y=-3x^2+12x-4$, одговорете на следниве прашања:а) Идентификувајте ја правата линија што служи како оска на параболата.
б) Најдете ги координатите на темето.
в) На која страна покажува параболата (нагоре или надолу)?
2. Конструирај график на функцијата: $y=2x^2-6x+2$.
3. Графиконирајте ја функцијата: $y=-x^2+8x-4$.
4. Најдете ја најголемата и најмалата вредност на функцијата: $y=x^2+4x-3$ на отсечката $[-5;2]$.
Забелешки за лекција од алгебра за 8-мо одделение средно училиште
Тема на часот: Функција
Целта на лекцијата:
Образовни: дефинирајте го концептот на квадратна функција на формата (спореди графикони на функции и ), прикажете ја формулата за наоѓање на координатите на темето на параболата (научете како да се користи оваа формулана пракса); развиваат способност за одредување на својствата на квадратна функција од графикон (наод оска на симетрија, координати на темето на параболата, координати на точките на пресек на графикот со координатните оски).
Развој: развој на математички говор, способност за правилно, доследно и рационално изразување на мислите; развивање на вештината за правилно пишување математички текст со употреба на симболи и нотации; развој на аналитичко размислување; развој на когнитивната активност на учениците преку способност за анализа, систематизирање и генерализирање на материјалот.
Образовни: негување независност, способност да се слушаат другите, развивање на точност и внимание во пишаниот математички говор.
Тип на лекција: учење нов материјал.
Наставни методи:
генерализирана репродуктивна, индуктивна хеуристичка.
Барања за знаење и вештини на учениците
знае што е квадратна функција на формата, формулата за наоѓање на координатите на темето на параболата; да може да ги најде координатите на темето на параболата, координатите на точките на пресек на графикот на функцијата со координатните оски и да го користи графикот на функцијата за одредување на својствата на квадратната функција.
Опрема:
План за лекција
Организациски момент (1-2 мин.)
Ажурирање на знаењето (10 мин.)
Презентација на нов материјал (15 мин.)
Консолидирање на нов материјал (12 мин.)
Сумирање (3 мин.)
Домашна задача (2 мин.)
За време на часовите
Време на организирање
Поздравување, проверка на отсутни, собирање тетратки.
Ажурирање на знаењето
Наставник: Во денешниот час ќе проучуваме нова тема: „Функција“. Но, прво, да го повториме претходно проучениот материјал.
Фронтална анкета:
Што е квадратна функција? (Функција каде дадените реални броеви, , е реална променлива, се нарекува квадратна функција.)
Каков е графикот на квадратна функција? (Графикот на квадратна функција е парабола.)
Кои се нулите на квадратна функција? (Нулите на квадратната функција се вредностите при кои таа станува нула.)
Наведете ги својствата на функцијата. (Вредностите на функцијата се позитивни во и еднакви на нула во; графикот на функцијата е симетричен во однос на оските на ординатите; во - функцијата се зголемува, на - се намалува.)
Наведете ги својствата на функцијата. (Ако, тогаш функцијата зема позитивни вредности на , ако, тогаш функцијата зема негативни вредности на , вредноста на функцијата е само 0; параболата е симетрична во однос на оската на ординатите; ако, тогаш функцијата се зголемува на и се намалува на , ако , тогаш функцијата се зголемува на , се намалува - на .)
Презентација на нов материјал
Наставник: Да почнеме да учиме нов материјал. Отворете ги тетратките, запишете го датумот и темата на лекцијата. Обрнете внимание на таблата.
Пишување на табла: Број.
Функција.
Наставник: На таблата гледате два графикони на функции. Првиот графикон, а вториот. Ајде да се обидеме да ги споредиме.
Ги знаете својствата на функцијата. Врз основа на нив, и споредувајќи ги нашите графикони, можеме да ги истакнеме својствата на функцијата.
Значи, што мислите дека ќе ја одреди насоката на гранките на параболата?
Ученици: Насоката на гранките на двете параболи ќе зависи од коефициентот.
Наставникот: Апсолутно во право. Можете исто така да забележите дека и двете параболи имаат оска на симетрија. Во првиот график од функцијата, која е оската на симетрија?
Ученици: За парабола, оската на симетрија е ординатна оска.
Наставникот: Така е. Која е оската на симетрија на параболата?
Ученици: Оската на симетрија на параболата е правата што минува низ темето на параболата, паралелно со оската на ординатите.
Наставник: Точно. Значи, оската на симетрија на графикот на функцијата ќе се нарече права линија што минува низ темето на параболата, паралелна со оската на ординатите.
А темето на параболата е точка со координати . Тие се одредуваат со формулата:
Напишете ја формулата во вашата тетратка и заокружете ја во рамка.
Пишување на табла и во тетратки
Координати на темето на параболата.
Наставникот: Сега, за да биде појасно, да погледнеме пример.
Пример 1: Најдете ги координатите на темето на параболата 
.
Решение: Според формулата
Наставник: Како што веќе забележавме, оската на симетријата поминува низ темето на параболата. Погледнете ја таблата. Нацртајте ја оваа слика во вашата тетратка.
Напиши на табла и во тетратки:
Наставник: На цртежот: - равенката на оската на симетрија на параболата со темето во точката каде што апсцисата е теме на параболата.
Ајде да погледнеме на пример.
Пример 2: Со помош на графикот на функцијата определи ја равенката на оската на симетријата на параболата.
Равенката за оската на симетрија има форма: , што значи равенката за оската на симетрија на оваа парабола е .
Одговор: - равенка на оската на симетрија.
Консолидирање на нов материјал
Наставник: На таблата има напишани задачи кои треба да се решат на час.
Внес на табла: бр. 609(3), 612(1), 613(3)
Наставникот: Но, прво, да решиме пример не од учебникот. Ќе одлучуваме на одборот.
Пример 1: Најдете ги координатите на темето на параболата
Решение: Според формулата
Одговор: координати на темето на параболата.
Пример 2: Најдете ги координатите на пресечните точки на параболата 
со координатни оски.
Решение: 1) Со оска:
Оние. 
Според теоремата на Виета:
Пресечните точки со оската x се (1;0) и (2;0).
Размислете за израз од формата ax 2 + bx + c, каде што a, b, c се реални броеви, а a се разликува од нула. Овој математички израз е познат како квадратен трином.
Потсетиме дека секирата 2 е водечки член на овој квадратен трином, а a е неговиот водечки коефициент.
Но, квадратниот трином не ги има секогаш сите три члена. Да го земеме на пример изразот 3x 2 + 2x, каде што a=3, b=2, c=0.
Да преминеме на квадратната функција y=ax 2 +in+c, каде што a, b, c се произволни броеви. Оваа функција е квадратна бидејќи содржи член од втор степен, односно x квадрат.
Сосема е лесно да се конструира график на квадратна функција; на пример, можете да го користите методот за изолирање на совршен квадрат.
Да разгледаме пример за конструирање график на функцијата y еднакво на -3x 2 - 6x + 1.
За да го направите ова, првото нешто што го паметиме е шемата за изолирање на целосен квадрат во триномот -3x 2 - 6x + 1.
Ајде да земеме -3 од загради за првите два мандата. Имаме -3 пати од збирот x на квадрат плус 2x и додаваме 1. Со собирање и одземање на една во заграда, ја добиваме формулата за збир на квадрат, која може да се склопи. Добиваме -3 помножено со збирот (x+1) на квадрат минус 1 додаваме 1. Отворајќи ги заградите и собирајќи слични членови, го добиваме изразот: -3 помножен со квадратот на збирот (x+1) додадете 4.
Ајде да изградиме график на добиената функција со преместување во помошен координатен систем со почеток во точката со координати (-1; 4).
На сликата од видеото, овој систем е означен со точки со точки. Да ја поврземе функцијата y еднаква -3x2 со конструираниот координатен систем. За погодност, да ги преземеме контролните точки. На пример, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). Во исто време ќе ги оставиме на страна во конструираниот координатен систем. Параболата добиена за време на изградбата е графикот што ни треба. На сликата е црвена парабола.
Користејќи го методот на изолирање на целосен квадрат, имаме квадратна функција од формата: y = a*(x+1) 2 + m.
Графикот на параболата y = ax 2 + bx + c може лесно да се добие од параболата y = ax 2 со паралелно преведување. Ова е потврдено со теорема што може да се докаже со изолирање на совршениот квадрат на биномот. Изразот ax 2 + bx + c по последователни трансформации се претвора во израз од формата: a*(x+l) 2 + m. Ајде да нацртаме графикон. Да извршиме паралелно движење на параболата y = ax 2, порамнувајќи го темето со точката со координати (-l; m). Важно е x = -l, што значи -b/2a. Ова значи дека оваа права линија е оската на параболата секира 2 + bx + c, нејзиното теме е во точката со апсциса x нула е еднаква на минус b поделена со 2a, а ординатата се пресметува со помош на незгодната формула 4ac - b 2 /. Но, не мора да се сеќавате на оваа формула. Бидејќи, со замена на вредноста на апсцисата во функцијата, ја добиваме ординатата.
За да ја одредите равенката на оската, насоката на нејзините гранки и координатите на темето на параболата, разгледајте го следниот пример.
Да ја земеме функцијата y = -3x 2 - 6x + 1. Откако ја составивме равенката за оската на параболата, имаме дека x = -1. И оваа вредност е x координатата на темето на параболата. Останува само да се најде ординатата. Заменувајќи ја вредноста -1 во функцијата, добиваме 4. Темето на параболата е во точката (-1; 4).
Графикот на функцијата y = -3x 2 - 6x + 1 е добиен со паралелно пренесување на графикот на функцијата y = -3x 2, што значи дека се однесува слично. Водечкиот коефициент е негативен, па гранките се насочени надолу.
Гледаме дека за која било функција од формата y = ax 2 + bx + c, најлесното прашање е последното прашање, односно насоката на гранките на параболата. Ако коефициентот a е позитивен, тогаш гранките се нагоре, а ако се негативни, тогаш гранките се надолу.
Следното најтешко прашање е првото прашање, бидејќи бара дополнителни пресметки.
А второто е најтешко, бидејќи покрај пресметките ви треба и познавање на формулите според кои x е нула, а y е нула.
Ајде да изградиме график на функцијата y = 2x 2 - x + 1.
Веднаш одредуваме дека графикот е парабола, гранките се насочени нагоре, бидејќи водечкиот коефициент е 2, а ова е позитивен број. Користејќи ја формулата, наоѓаме дека апсцисата x е нула, таа е еднаква на 1,5. За да ја пронајдете ординатата, запомнете дека y нулата е еднаква на функција од 1,5, кога пресметуваме, добиваме -3,5.
Врв - (1,5;-3,5). Оска - x=1,5. Да ги земеме точките x=0 и x=3. y=1. Да ги означиме овие точки. Врз основа на три познати точки, го конструираме саканиот график.
За да нацртате график на функцијата ax 2 + bx + c ви треба:
Најдете ги координатите на темето на параболата и означете ги на сликата, а потоа нацртајте ја оската на параболата;
На оската о, земете две точки кои се симетрични во однос на оската на параболата, најдете ја вредноста на функцијата во овие точки и означете ги на координатната рамнина;
Конструирајте парабола низ три точки; доколку е потребно, можете да земете уште неколку точки и да изградите график врз основа на нив.
Во следниот пример ќе научиме како да ги најдеме најголемите и најмалите вредности на функцијата -2x 2 + 8x - 5 на сегментот.
Според алгоритмот: a=-2, b=8, што значи x нула е 2, а y нула е 3, (2;3) е темето на параболата, а x=2 е оската.
Да ги земеме вредностите x=0 и x=4 и да ги најдеме ординатите на овие точки. Ова е -5. Градиме парабола и одредуваме дека најмалата вредност на функцијата е -5 при x=0, а најголемата е 3 на x=2.
Лошиот учител ја презентира вистината, добриот учител учи како да ја добиеш.
А.Дистервег
Наставник: Нетикова Маргарита Анатолиевна, наставник по математика, GBOU училиште бр. 471, област Виборг во Санкт Петербург.
Тема на часот: „График на функцијаy= секира 2 »
Тип на лекција:лекција за учење на нови знаења.
Цел:научете ги учениците да графираат функција y= секира 2 .
Задачи:
Образовни:развиваат способност да конструираат парабола y= секира 2 и воспостави шема помеѓу графикот на функцијата y= секира 2
и коефициент А.
Образовни:развој на когнитивни вештини, аналитичко и компаративно размислување, математичка писменост, способност за генерализирање и донесување заклучоци.
Едукатори:негување интерес за темата, точност, одговорност, бараност кон себе и кон другите.
Планирани резултати:
Предмет:да може да користи формула за одредување на правецот на гранките на параболата и да ја конструира со помош на табела.
Лично:да може да го брани своето гледиште и да работи во парови и во тим.
Метатема:да можат да го планираат и проценат процесот и резултатот од нивните активности, да обработуваат информации.
Педагошки технологии:елементи на проблемско учење и напредно учење.
Опрема:интерактивна табла, компјутер, материјали.
1.Формула на корени квадратна равенкаи распаѓање квадратен триномсо множители.
2. Намалување на алгебарските дропки.
3.Својства и графикон на функцијата y= секира 2 , зависност од насоката на гранките на параболата, неговото „истегнување“ и „компресија“ долж оската на ординатите на коефициентот а.
Структура на лекцијата.
1.Организациски дел.
2. Ажурирање на знаењето:
Испитување домашна работа
Усна работа врз основа на готови цртежи
3. Самостојна работа
4.Објаснување на нов материјал
Подготовка за проучување на нов материјал (создавање проблемска ситуација)
Примарна асимилација на ново знаење
5. Прицврстување
Примена на знаењата и вештините во нова ситуација.
6. Сумирање на лекцијата.
7.Домашна работа.
8. Рефлексија на лекцијата.
Технолошка карта на час по алгебра во IX одделение на тема: „График на функцијаy=
секира 2
»
| Чекори од лекцијата | Сценски задачи | Активности на наставникот | Активности на учениците | UUD |
| 1.Организациски дел 1 минута | Создавање работно расположение на почетокот на часот | Ги поздравува студентите ја проверува нивната подготовка за часот, ги забележува отсутните, го запишува датумот на табла. | Подготвување за работа на час, поздравување на наставникот | Регулаторни: организација на воспитно-образовни активности. |
| 2.Ажурирање на знаењето 4 минути | Проверете ја домашната задача, повторете и сумирајте го научениот материјал во претходните лекции и создадете услови за успешна самостојна работа. | Собира тетратки од шест ученици (селективно по двајца од секој ред) за проверка на домашната задача за оценување (Анекс 1),потоа работи со класата на интерактивна табла (Прилог 2). | Шест ученици ги предаваат своите тетратки за домашни задачи на проверка, а потоа одговараат на прашања од предниот дел од анкетата. (Прилог 2). | Когнитивно: внесување на знаење во системот. Комуникативно: способност да се слушаат мислењата на другите. Регулаторни: оценување на резултатите од вашите активности. Лично: оценување на степенот на владеење на материјалот. |
| 3. Самостојна работа 10 минути | Тестирајте ја вашата способност да факторизирате квадратен трином, да ги намалите алгебарските дропки и да опишете некои својства на функциите користејќи го нивниот график. | На учениците им дели картички со индивидуални диференцирани задачи (Прилог 3). и листови со раствори. | Изврши самостојна работа, независно избирајќи го нивото на тежина на вежбите врз основа на поени. | Когнитивно: Лично: проценување на нивото на владеење на материјалот и нечии способности. |
| 4.Објаснување на нов материјал Подготовка за проучување на нов материјал Примарна асимилација на ново знаење | Создавање поволна средина за излез од проблематична ситуација, перцепција и разбирање на нов материјал, независна доаѓа до правилен заклучок | Значи, знаете како да графикорате функција y= x 2 (графиконите се претходно изградени на три табли). Наведете ги главните својства на оваа функција: 3. Теме координати 5. Периоди на монотонија Што има во во овој случаједнаков на коефициентот во x 2 ? Користејќи го примерот на квадратниот трином, видовте дека тоа воопшто не е потребно. Каков знак може да биде тој? Наведи примери. Како ќе изгледаат параболите со други коефициенти, ќе треба сами да дознаете. Најдобар начин за учење нешто треба да откриете сами. Д.Поја Се делиме на три тима (во редови), избираме капетани кои доаѓаат на таблата. Задачата за тимовите е напишана на три табли, натпреварот започнува! Конструирајте графикони на функции во еден координатен систем 1 тим: а) y=x 2 б) y= 2x 2 в) y= x 2 Тим 2: a)y= - x 2 b)y=-2x 2 c)y= - x 2 Тим 3: а) y=x 2 б) y=4x 2 в) y=-x 2 Мисијата е завршена! (Прилог 4). Најдете функции кои имаат исти својства. Капитените се консултираат со своите тимови. Од што зависи ова? Но, како се разликуваат овие параболи и зошто? Што ја одредува „дебелината“ на параболата? Што ја одредува насоката на гранките на параболата? Графикот а) конвенционално ќе го наречеме „почетен“. Замислете гумена лента: ако ја истегнете, таа станува потенка. Тоа значи дека графиконот б) е добиен со истегнување на оригиналниот график по ординатата. Како е добиен графиконот в)? Значи, кога x 2 може да има било кој коефициент кој влијае на конфигурацијата на параболата. Ова е темата на нашата лекција: „Графикон на функцијаy= секира 2 » | 1. Р 4. Гранки нагоре 5. Се намалува за (- Се зголемува за ) Споделете со пријателите или заштедете за себе:
 Се вчитува... |
