Пример за решение на проблемот

Синодиски период на револуција(S) на планетата е временскиот интервал помеѓу нејзините две последователни конфигурации со исто име.

Сидерален или сидерален период на револуција(Т) на планета е временскиот период во кој планетата прави една целосна револуција околу Сонцето во својата орбита.

Сидералниот период на Земјината револуција се нарекува сидерална година (T☺). Може да се воспостави едноставна математичка врска помеѓу овие три периоди од следното расудување. Аголното движење во орбитата дневно е еднакво за планетата и за Земјата. Разликата помеѓу дневните аголни поместувања на планетата и Земјата (или Земјата и планетата) е привидното поместување на планетата дневно, т.е. за пониските планети

за горните планети

Овие еднаквости се нарекуваат равенки на синодично движење.

Само синодските периоди на вртежи на планетите S и сидералниот период на револуција на Земјата може да се утврдат директно од набљудувањата, т.е. сиреална година Т ☺. Сидералните периоди на ротација на планетите Т се пресметуваат со користење на соодветната равенка на синодично движење.

Времетраењето на сидерална година е 365,26... просечен сончев ден.

7.4. Кеплеровите закони

Кеплер бил поддржувач на учењата на Коперник и си поставил задача да го подобри својот систем врз основа на набљудувањата на Марс, кои биле вршени од данскиот астроном Тихо Брахе (1546-1601) дваесет години и од самиот Кеплер неколку години.

Отпрвин, Кеплер го споделувал традиционалното верување дека небесните тела можат да се движат само во круг, и затоа потрошил многу време обидувајќи се да најде кружна орбита за Марс.

По долги години на многу трудоинтензивни пресметки, напуштајќи ја општата заблуда за кружноста на движењата, Кеплер откри три закони за планетарните движења, кои моментално се формулирани на следниов начин:

1. Сите планети се движат во елипсови, во еден од фокусите (заеднички за сите планети) е Сонцето.

2. Векторот на радиусот на планетата опишува еднакви области во еднакви временски интервали.

3. Квадратите на сидералните периоди на вртежи на планетите околу Сонцето се пропорционални со коцките на полуглавните оски на нивните елипсовидни орбити.

Како што е познато, во елипса збирот на растојанијата од која било од нејзините точки до две фиксни точки f 1 и f 2 што лежат на нејзината оска AP и наречени фокуси е константна вредност еднаква на главната оска AP (сл. 27). Растојанието PO (или OA), каде што O е центарот на елипсата, се нарекува полуглавна оска , а односот е ексцентричноста на елипсата. Вториот го карактеризира отстапувањето на елипсата од круг за кој e = 0.

Орбитите на планетите малку се разликуваат од круговите, т.е. нивната ексцентричност е мала. Орбитата на Венера има најмала ексцентричност (e = 0,007), најголемата ексцентричност е орбитата на Плутон (e = 0,247). Ексцентричноста на земјината орбита е e = 0,017.

Според првиот Кеплеров закон, Сонцето се наоѓа на едно од фокусите на елипсовидната орбита на планетата. Нека во Сл. 27, и ова ќе биде фокусот f 1 (C - Сонце). Тогаш се нарекува точката на орбитата P најблиску до Сонцето перихел, а точката А најоддалечена од Сонцето е афел. Се нарекува главната оска на орбитата на АП Апси линија d, а линијата f 2 P што ги поврзува Сонцето и планетата P во нејзината орбита е радиус вектор на планетата.

Растојанието на планетата од Сонцето во перихел

q = a (1 - e), (2.3)

Q = a (l + e). (2.4)

Просечното растојание на планетата од Сонцето се зема како полуглавна оска на орбитата.

Според вториот закон на Кеплер, областа CP 1 P 2 опишана со векторот на радиусот на планетата со текот на времето t во близина на перихел, еднаква на површината на CP 3 P 4 опишана од него во исто време t во близина на афел (сл. 27, б). Бидејќи лакот P 1 P 2 е поголем од лакот P 3 P 4, тогаш, следствено, планетата во близина на перихел има брзина поголема од блиску афел. Со други зборови, неговото движење околу Сонцето е нерамномерно.

Планетарните конфигурации се однесуваат на некои карактеристични меѓусебни позиции на планетите на Земјата и Сонцето.

Како прво, забележуваме дека условите за видливост на планетите од Земјата остро се разликуваат за внатрешните планети (Венера и Меркур), чии орбити се наоѓаат во орбитата на Земјата и за надворешните планети (сите други).

Внатрешната планета може да биде помеѓу Земјата и Сонцето или зад Сонцето. Во такви позиции планетата е невидлива, бидејќи се губи во зраците на Сонцето. Овие позиции се нарекуваат сврзници планета-Сонце. При долната врска планетата е најблиску до Земјата, а при супериорна конјукција е најдалеку од нас (сл. 26).

Лесно е да се види дека аголот помеѓу насоките од Земјата кон Сонцето и кон внатрешната планета никогаш не надминува одредена вредност, останувајќи акутен. Овој ограничувачки агол се нарекува најголемо растојание на планетата од Сонцето. Најголемото растојание на Меркур достигнува 28 °, Венера - до 48 °. Затоа, внатрешните планети се секогаш видливи во близина на Сонцето, или наутро на источната страна на небото, или навечер на западната страна на небото.Поради близината на Меркур до Сонцето, тоа е ретко можно да се види Меркур со голо око (сл. 26 и 27).

Венера се оддалечува од Сонцето на небото под поголем агол и е посветла од сите ѕвезди и планети. По зајдисонце, тој останува на небото подолго во зори и е јасно видлив дури и на неговата позадина. Тоа е јасно видливо и на утринската светлина. Лесно е да се разбере дека на јужниот дел на небото и во средината на ноќта не се гледа ниту Меркур ниту Венера.

Ако, минувајќи помеѓу Земјата и Сонцето, Меркур или Венера се проектираат на сончевиот диск, тогаш тие се видливи на него како мали црни кругови. Ваквите премини низ дискот на Сонцето за време на инфериорната конјукција на Меркур и особено на Венера се релативно ретки, не почесто од секои 7-8 години.

Хемисферата на внатрешната планета осветлена од Сонцето е видлива за нас различно на различни позиции во однос на Земјата. Затоа, за земните набљудувачи, внатрешните планети ги менуваат своите фази, како Месечината. Во инфериорна врска со Сонцето, планетите ја свртуваат својата неосветлена страна кон нас и се невидливи. Малку подалеку од оваа положба имаат облик на срп. Како што се зголемува аголното растојание на планетата од Сонцето, аголниот дијаметар на планетата се намалува, а ширината на полумесечината станува поголема. Кога аголот на планетата помеѓу насоките кон Сонцето и Земјата е 90°, гледаме точно половина од осветлената хемисфера на планетата. Таквата планета е целосно свртена кон нас со својата дневна хемисфера за време на ерата на супериорна конјукција. Но, тогаш таа е изгубена во сончевите зраци и невидлива.

Надворешните планети можат да се наоѓаат зад Сонцето во однос на Земјата (во врска со неа), како Меркур и Венера, а потоа тие

Ориз. 26. Планетарни конфигурации.

се губат и во сончевите зраци.Но можат да се лоцираат и на продолжението на правата линија Сонце - Земја, така што Земјата е помеѓу планетата и Сонцето. Оваа конфигурација се нарекува опозиција. Најпогодно е за набљудување на планетата, бидејќи во тоа време планетата, прво, е најблиску до Земјата, второ, нејзината осветлена хемисфера е свртена кон неа и, трето, се наоѓа на небото на место спротивно на Сонцето, планетата е во горната кулминација е околу полноќ и, според тоа, е видлива долго време и пред и по полноќ.

Моментите на планетарните конфигурации и условите на нивната видливост во дадена година се дадени во „Училишниот астрономски календар“.

2. Синодиски периоди.

Синодискиот период на револуција на планетата е временскиот период што поминува помеѓу повторувањата на нејзините идентични конфигурации, на пример, помеѓу две спротивставени страни.

Колку се поблиску до Сонцето, толку побрзо се движат планетите. Затоа, по спротивставувањето на Марс, Земјата ќе почне да го престигнува. Секој ден таа ќе се оддалечува од него. Кога таа ќе го престигне со полн свиок, повторно ќе има конфронтација. Синодичниот период на надворешната планета е временскиот период по кој Земјата ја престигнува планетата за 360° додека се движат околу Сонцето. Аголната брзина на Земјата (аголот што го опишува на ден) е аголната брзина на Марс каде што е бројот на денови во годината, T е сидералниот период на револуција на планетата, изразен во денови. Ако е синодскиот период на планетата во денови, тогаш за еден ден Земјата ќе ја престигне планетата за 360°, т.е.

Ако ги замениме соодветните броеви во оваа формула (види Табела V во Додатокот), можеме да откриеме, на пример, дека синодскиот период на Марс е 780 дена, итн. За внатрешните планети кои орбитираат побрзо од Земјата, мораме напиши:

За Венера, синодскиот период е 584 дена.

Ориз. 27. Локацијата на орбитите на Меркур и Венера во однос на хоризонтот за набљудувач кога Сонцето заоѓа (фазите и привидните дијаметри на планетите во различни позиции во однос на Сонцето се означени за иста позиција на набљудувач).

Астрономите првично не ги знаеле сидералните периоди на планетите, додека синодските периоди на планетите биле одредени од директни набљудувања. На пример, тие забележале колку време поминува помеѓу последователните спротивставувања на планетата, односно помеѓу деновите кога таа кулминира точно на полноќ. Откако ги утврдија синодските периоди S од набљудувањата, тие со пресметка ги открија сидералните периоди на револуција на планетите Т. Кога Кеплер подоцна ги откри законите на планетарното движење, користејќи го третиот закон, тој беше во можност да ги утврди релативните растојанија на планетите од Сонце, бидејќи сидералните периоди на планетите веќе беа пресметани врз основа на синодските периоди.

1 Сидералниот период на Јупитеровата револуција е 12 години. По кој временски период се повторуваат неговите конфронтации?

2. Се забележува дека спротивставувањата на одредена планета се повторуваат по 2 години. Која е полуглавната оска на неговата орбита?

3. Синодискиот период на планетата е 500 дена. Одреди ја полуглавната оска на нејзината орбита. (Прочитајте ја оваа задача внимателно.)

Заслугата за откривање на законите на планетарното движење му припаѓа на извонредниот германски научник Јоханес Кеплер(1571-1630). На почетокот на 17 век. Кеплер, проучувајќи ја револуцијата на Марс околу Сонцето, воспостави три закони за планетарно движење.

Првиот Кеплеров закон. Секоја планета ротира во елипса, со Сонцето во еден фокус(Сл. 30).

Елипса(види Сл. 30) е рамно затворена крива која има својство дека збирот на растојанијата на секоја точка од две точки, наречени фокуси, останува константен. Овој збир на растојанија е еднаков на должината на главната оска DA на елипсата. Точката O е центарот на елипсата, K и S се фокуси. Сонцето во овој случај е во фокусот S. DO=OA=a е полуглавната оска на елипсата. Полуглавната оска е просечното растојание на планетата од Сонцето:

Точката на орбита А најблиску до Сонцето се нарекува перихел, а најоддалечената точка D од неа е афел.

Степенот на издолжување на елипсата се карактеризира со нејзината ексцентричност д. Ексцентричноста е еднаква на односот на растојанието на фокусот од центарот (OK=OS) до должината на полуглавната оска a, т.е. кога фокусите се совпаѓаат со центар (e=0), елипсата се претвора во круг.

Орбитите на планетите се елипсови, малку различни од круговите; нивната ексцентричност е мала. На пример, ексцентричноста на Земјината орбита е e=0,017.

Вториот закон на Кеплер(закон за области). Векторот на радиусот на планетата опишува еднакви области во еднакви временски интервали, т.е., областите SAH и SCD се еднакви (види Сл. 30), ако лаковите и се опишани од планетата во еднакви временски интервали. Но, должините на овие лаци, разграничувајќи еднакви области, се различни: >. Следствено, линеарната брзина на движење на планетата не е иста во различни точки од нејзината орбита. Колку е поблиску една планета до Сонцето, толку побрзо се движи во својата орбита. Во перихел, брзината на планетата е најголема, а кај афелот е најмала. Така, вториот закон на Кеплер ја квантифицира промената на брзината на движењето на планетата по елипса.

Третиот Кеплеров закон. Плоштадите на сидералните периоди на планетите се поврзани како коцки од полуглавните оски на нивните орбити. Ако полуглавната оска на орбитата и сидералниот период на револуција на една планета се означени со 1, T 1, а на другата планета со 2, T 2, тогаш формулата на третиот закон ќе биде како што следува:

Овој Кеплер закон ги поврзува просечните растојанија на планетите од Сонцето со нивните странични периоди и ни овозможува да ги утврдиме релативните растојанија на планетите од Сонцето, бидејќи сидералните периоди на планетите се веќе пресметани врз основа на синодските периоди, во со други зборови, ни овозможува да ги изразиме полуглавните оски на сите планетарни орбити во единици од орбитата на полуголемата оска на Земјата.

Полуглавната оска на земјината орбита се зема како астрономска единица за растојание (a = 1 AU).

Неговата вредност во километри била утврдена подоцна, дури во 18 век.

Пример за решение на проблемот

Задача. Спротивставувањата на одредена планета се повторуваат после 2 години. Која е полуглавната оска на неговата орбита?

Вежба 8

2. Определи го периодот на обиколување на вештачки сателит на Земјата ако највисоката точка на неговата орбита над Земјата е 5000 km, а најниската точка е 300 km. Сметаат дека Земјата е сфера со радиус од 6370 km. Споредете го движењето на сателитот со револуцијата на Месечината.

3. Синодискиот период на планетата е 500 дена. Одреди ја полуглавната оска на нејзината орбита и ѕвездениот орбитален период.

12. Определување растојанија и големини на телата во Сончевиот систем

1. Одредување на растојанија

Просечното растојание на сите планети од Сонцето во астрономски единици може да се пресмета со помош на третиот закон на Кеплер. Имајќи утврдено просечно растојание на Земјата од Сонцето(т.е., вредноста на 1 AU) во километри, растојанијата до сите планети во Сончевиот систем може да се најдат во овие единици.

Од 40-тите години на нашиот век, радио технологијата овозможи да се одредат растојанијата до небесните тела со помош на радар, за што знаете од курсот по физика. Советските и американските научници користеле радар за да ги разјаснат растојанијата до Меркур, Венера, Марс и Јупитер.

Запомнете како растојанието до објектот може да се одреди со времето на патување на радарскиот сигнал.

Класичниот начин за одредување растојанија бил и останува гониометрискиот геометриски метод. Тие, исто така, одредуваат растојанија до далечни ѕвезди, на кои методот на радар не е применлив. Геометрискиот метод се заснова на феноменот паралактичко поместување.

Паралаксното поместување е промена на насоката на објектот кога набљудувачот се движи (сл. 31).

Погледнете го вертикалниот молив прво со едното око, а потоа со другото. Ќе видите како тој ја смени својата позиција наспроти позадината на далечните објекти, насоката кон него се смени. Колку подалеку го поместувате моливот, толку помалку ќе има паралактичко поместување. Но, колку точките на набљудување се подалеку една од друга, т.е., толку повеќе основа, толку е поголемо паралактичкото поместување на исто растојание од објектот. Во нашиот пример, основата беше растојанието помеѓу очите. За да се измери растојанијата до телата на Сончевиот систем, погодно е да се земе радиусот на Земјата како основа. Положбите на ѕвездата, како што е Месечината, се набљудуваат на позадината на далечните ѕвезди истовремено од две различни точки. Растојанието меѓу нив треба да биде што поголемо, а сегментот што ги поврзува треба да направи агол со насоката кон светилката, што е можно поблиску до права линија, така што паралактичкото поместување е максимално. Откако ги определивме насоките кон набљудуваниот објект од две точки А и Б (сл. 32), лесно е да се пресмета аголот p под кој од овој објект би била видлива отсечка еднаква на радиусот на Земјата. Затоа, за да ги одредите растојанијата до небесните тела, треба да ја знаете вредноста на основата - радиусот на нашата планета.

2. Големина и облик на Земјата

На фотографиите направени од вселената, Земјата се појавува како топка осветлена од Сонцето и ги прикажува истите фази како и Месечината (види Сл. 42 и 43).

Даден е точниот одговор за обликот и големината на Земјата мерења на степени, т.е. мерења во километри на должината на лак од 1° на различни места на површината на Земјата. Овој метод датира од 3 век п.н.е. д. користен од грчки научник кој живеел во Египет Ератостен. Овој метод сега се користи во геодезија- наука за обликот на Земјата и за мерењата на Земјата, земајќи ја предвид нејзината кривина.

На рамен терен, изберете две точки што лежат на истиот меридијан и определете ја должината на лакот меѓу нив во степени и километри. Потоа пресметајте колку километри одговара на должината на лакот од 1°. Јасно е дека должината на меридијанскиот лак помеѓу избраните точки во степени е еднаква на разликата во географските ширини на овие точки: Δφ= = φ 1 - φ 2. Ако должината на овој лак, измерена во километри, е еднаква на l, тогаш ако Земјата е сферична, еден степен (1°) од лакот ќе одговара на должина во километри: Тогаш обемот на земјиниот меридијан L, изразен во километри, е еднаков на L = 360°n. Поделувајќи го со 2π, го добиваме радиусот на Земјата.

Еден од најголемите меридијански лакови од Арктичкиот Океан до Црното Море бил измерен во Русија и Скандинавија во средината на 19 век. под раководство на V. Ya. Струве(1793-1864), директор на опсерваторијата Пулково. Големи геодетски мерења кај нас се извршени по Големата октомвриска социјалистичка револуција.

Мерењата на степени покажаа дека должината на 1° меридијанскиот лак во километри во поларниот регион е најголема (111,7 km), а на екваторот е најмала (110,6 km). Следствено, на екваторот кривината на површината на Земјата е поголема отколку на половите, што значи дека Земјата не е сфера. Екваторијалниот радиус на Земјата е за 21,4 km поголем од поларниот радиус. Затоа, Земјата (како и другите планети) е компресирана на половите поради ротација.

Топката еднаква по големина на нашата планета има радиус од 6370 km. Оваа вредност се смета за радиус на Земјата.

Вежба 9

1. Ако астрономите можат да одредат географска ширина со точност од 0,1", на која максимална грешка во километри долж меридијанот одговара ова?

2. Пресметај ја должината на наутичка милја во километри, која е еднаква на должината на V-лакот на екваторот.

3. Паралакса. Астрономска единица вредност

Аголот под кој радиусот на Земјата е видлив од светлото, нормално на линијата на видот, се нарекува хоризонтална паралакса..

Колку е поголемо растојанието до ѕвездата, толку е помал аголот ρ. Овој агол е еднаков на паралактичкото поместување на светилката за набљудувачите лоцирани во точките A и B (види слика 32), исто како ∠CAB за набљудувачите во точките C и B (види слика 31). Удобно е да се определи ∠CAB со неговата еднаква ∠DCA, а тие се еднакви како агли на паралелни прави (DC AB по конструкција).

Растојание (види слика 32)

каде што R е радиусот на Земјата. Земајќи го R како едно, можеме да го изразиме растојанието до ѕвездата во радиусите на Земјата.

Хоризонталната паралакса на Месечината е 57". Сите планети и Сонцето се многу подалеку, а нивните паралакси се лачни секунди. Паралаксата на Сонцето, на пример, е ρ = 8,8". Одговара на паралаксата на Сонцето Просечното растојание на Земјата од Сонцето е приближно 150.000.000 km.Ова е растојанието се зема како една астрономска единица (1 AU).Растојанието помеѓу телата на Сончевиот систем често се мерат во астрономски единици.

При мали агли sinρ≈ρ, ако аголот ρ е изразен во радијани. Ако ρ е изразен во лачни секунди, тогаш се воведува множителот каде што 206265 е бројот на секунди во еден радијан.

Потоа

Познавањето на овие односи ја поедноставува пресметката на растојанието од позната паралакса:

Пример за решение на проблемот

Задача. Колку е далеку Сатурн од Земјата кога неговата хоризонтална паралакса е 0,9"?

Вежба 10

1. Која е хоризонталната паралакса на Јупитер забележана од Земјата во спротивставеност, ако Јупитер е 5 пати подалеку од Сонцето од Земјата?

2. Растојанието на Месечината од Земјата во точката на нејзината орбита најблиску до Земјата (перигеј) е 363.000 km, а на најоддалечената точка (апогеј) 405.000 km. Одреди ја хоризонталната паралакса на Месечината на овие позиции.

4. Определување на големини на светилки

На слика 33, T е центар на Земјата, M е центар на светилката со линеарен радиус r. По дефиниција за хоризонтална паралакса, радиусот на Земјата R е видлив од светилката под агол ρ. Радиусот на ѕвездата r е видлив од Земјата под агол.

Затоа што

Ако аглите и ρ се мали, тогаш синусите се пропорционални на аглите и можеме да напишеме:

Овој метод за одредување на големината на светилките е применлив само кога е видлив дискот на светилката.

Знаејќи го растојанието D до ѕвездата и мерејќи го нејзиниот аголен радиус, можете да го пресметате нејзиниот линеарен радиус r: r=Dsin или r=D, ако аголот е изразен во радијани.

Пример за решение на проблемот

Задача. Колку изнесува линеарниот дијаметар на Месечината ако е видлива од далечина од 400.000 km под агол од приближно 0,5°?

Вежба 11

1. Колку пати е Сонцето поголемо од Месечината ако нивните аголни дијаметри се исти и нивните хоризонтални паралакси се соодветно 8,8" и 57"?

2. Колку изнесува аголниот дијаметар на Сонцето како што се гледа од Плутон?

3. Колку пати повеќе енергија добива секој квадратен метар од површината на Меркур од Сонцето од онаа на Марс? Земете ги потребните податоци од апликациите.

4. Во кои точки на небото земниот набљудувач го гледа светилникот, кој е во точките B и A (сл. 32)?

5. Во кој однос аголниот дијаметар на Сонцето, видлив од Земјата и од Марс, нумерички се менува од перихел во афел ако ексцентричностите на нивните орбити се соодветно еднакви на 0,017 и 0,093?

Задача 5

1. Измерете ги ∠DCA (сл. 31) и ∠ASC (сл. 32) со транспортер и должината на основите со линијар. Пресметајте ги растојанијата CA и SC од нив, соодветно, и проверете го резултатот со директно мерење користејќи ги цртежите.

2. Измерете ги аглите p и I на слика 33 со транспортер и, од добиените податоци, определете го односот на дијаметрите на прикажаните тела.

3. Определете ги орбиталните периоди на вештачките сателити кои се движат во елиптични орбити прикажани на слика 34 со мерење на нивните главни оски со линијар и земајќи го радиусот на Земјата на 6370 km.