Проектирање вектори на оски. Проекција (геометриска, алгебарска) на вектор на оска. Својства на проекциите. Видови проекции по дефиниција векторска проекција

Проекцијавектор на оска е вектор кој се добива со множење на скаларната проекција на векторот на оваа оска и единечниот вектор на оваа оска. На пример, ако x - скаларна проекцијавектор Адо оската X, потоа x јас- неговата векторска проекција на оваа оска.

Да означиме векторска проекција исто како и самиот вектор, но со индекс на оската на која е проектиран векторот. Значи, векторската проекција на векторот Ана X оската што ја означуваме А x ( мастибуква што означува вектор и знак на името на оската) или (незадебелена буква што означува вектор, но со стрелка на врвот (!) и знак на името на оската).

Скаларна проекцијавектор по оска се нарекува број, чија апсолутна вредност е еднаква на должината на сегментот на оската (на избраната скала) затворен помеѓу проекциите на почетната точка и крајната точка на векторот. Обично наместо изразот скаларна проекцијатие едноставно велат - проекција. Проекцијата се означува со истата буква како и проектираниот вектор (во нормално, незадебелено пишување), со помал индекс (по правило) на името на оската на која се проектира овој вектор. На пример, ако вектор е проектиран на оската X А,тогаш неговата проекција се означува со x. При проектирање на истиот вектор на друга оска, ако оската е Y, нејзината проекција ќе биде означена со y.

Да се ​​пресмета проекцијата векторна оската (на пример, оската X), потребно е да се одземе координатата на почетната точка од координатата на нејзината крајна точка, т.е.
a x = x k − x n.
Проекцијата на вектор на оска е бројка.Покрај тоа, проекцијата може да биде позитивна ако вредноста x k е поголема од вредноста x n,

негативен ако вредноста x k е помала од вредноста x n

и еднакво на нула ако x k е еднакво на x n.

Проекцијата на векторот на оската може да се најде и со познавање на модулот на векторот и аголот што го прави со оваа оска.

Од сликата е јасно дека a x = a Cos α

односно, проекцијата на векторот на оската е еднаква на производот од модулот на векторот и косинусот на аголот помеѓу насоката на оската и векторска насока. Ако аголот е акутен, тогаш
Cos α > 0 и a x > 0, и ако е тап, тогаш косинусот на тапиот агол е негативен, а проекцијата на векторот на оската исто така ќе биде негативна.

Аглите измерени од оската спротивно од стрелките на часовникот се сметаат за позитивни, а аглите измерени долж оската се негативни. Меѓутоа, бидејќи косинус е парна функција, односно Cos α = Cos (− α), кога се пресметуваат проекциите, аглите може да се бројат и во насока на стрелките на часовникот и спротивно од стрелките на часовникот.

За да се најде проекцијата на векторот на оската, модулот на овој вектор мора да се помножи со косинус на аголот помеѓу насоката на оската и насоката на векторот.

Векторски координати— коефициенти на единствената можна линеарна комбинација на основни вектори во избраниот координатен систем, еднакви на дадениот вектор.

каде се координатите на векторот.

Скаларен производвектори

Скаларен производ на вектори[- во конечни-димензионални векторски просторсе дефинира како збир од производите на идентични компоненти што се множат вектори.

На пример, S.p.v. а = (а 1 , ..., a n) И б = (б 1 , ..., b n):

(а , б ) = а 1 б 1 + а 2 б 2 + ... + a n b n

А. Проекцијата на точката А на оската PQ (сл. 4) е основата a на нормалната отфрлена од дадена точка на дадена оска. Оската на која проектираме се нарекува оска на проекција.

б. Нека се дадени две оски и вектор A B, прикажани на сл. 5.

Вектор чиј почеток е проекција на почетокот и чиј крај е проекција на крајот на овој вектор се нарекува проекција на векторот A B на оската PQ. Се пишува вака;

Понекогаш индикаторот PQ не е напишан на дното; тоа се прави во случаи кога, освен PQ, нема друг оперативен систем на кој би можел да се дизајнира.

Со. Теорема I. Големините на векторите што лежат на една оска се поврзани како големини на нивните проекции на која било оска.

Нека се дадени оските и векторите наведени на слика 6. Од сличноста на триаголниците јасно е дека должините на векторите се поврзани како должини на нивните проекции, т.е.

Бидејќи векторите на цртежот се насочени во различни насоки, нивните големини имаат различни знаци, затоа,

Очигледно, големините на проекциите исто така имаат различни знаци:

заменувајќи го (2) во (3) во (1), добиваме

Свртувајќи ги знаците, добиваме

Ако векторите се подеднакво насочени, тогаш нивните проекции исто така ќе бидат во иста насока; нема да има знаци минус во формулите (2) и (3). Заменувајќи ги (2) и (3) со еднаквост (1), веднаш добиваме еднаквост (4). Значи, теоремата е докажана за сите случаи.

г. Теорема II. Големината на проекцијата на векторот на која било оска е еднаква на големината на векторот помножена со косинус на аголот помеѓу оската на проекциите и оската на векторот.Нека оските се дадени како вектор како што е наведено на сл. . 7. Да конструираме вектор со иста насока како и неговата оска и да го нацртаме, на пример, од точката на пресек на оските. Нека неговата должина е еднаква на една. Потоа нејзината големина

Дефиниција 1. На рамнина, паралелна проекција на точката A на оската l е точка - точката на пресек на оската l со права линија повлечена низ точката А паралелна со векторот што ја одредува насоката на дизајнот.

Дефиниција 2. Паралелната проекција на векторот на оската l (кон векторот) е координатата на векторот во однос на основата оската l, каде точките и се паралелни проекции на точките A и B на оската l, соодветно (сл. 1).

Според дефиницијата што ја имаме

Дефиниција 3. ако и l основа на оската Декартов, односно проекцијата на векторот на оската l наречена ортогонална (сл. 2).

Во просторот, дефиницијата 2 на векторската проекција на оската останува на сила, само насоката на проекцијата е специфицирана со два неколинеарни вектори (сл. 3).

Од дефиницијата за проекцијата на вектор на оска произлегува дека секоја координата на векторот е проекција на овој вектор на оската дефинирана со соодветниот основен вектор. Во овој случај, насоката на дизајнирање е специфицирана со два други основни вектори ако дизајнот се изведува (се разгледува) во просторот, или со друг основен вектор ако дизајнот се разгледува на рамнина (сл. 4).

Теорема 1. Ортогоналната проекција на векторот на оската l е еднаква на производот од модулот на векторот и косинусот на аголот помеѓу позитивната насока на оската l и, т.е.

На другата страна

Од наоѓаме

Заменувајќи го AC во еднаквост (2), добиваме

Од бројките xи истиот знак во двата случаја што се разгледуваат ((сл. 5, а) ; (сл. 5, б), потоа од еднаквоста (4) следува

Коментар. Во продолжение, ќе ја разгледаме само ортогоналната проекција на векторот на оската и затоа зборот „ort“ (ортогонално) ќе биде изоставен од ознаката.

Дозволете ни да претставиме голем број формули кои подоцна се користат при решавање на проблеми.

а) Проекција на векторот на оската.

Ако, тогаш ортогоналната проекција на векторот според формулата (5) ја има формата

в) Растојание од точка до рамнина.

Нека b е дадена рамнина со нормален вектор, M е дадена точка,

d е растојанието од точката M до рамнината b (сл. 6).

Ако N е произволна точка на рамнината b, и и се проекции на точките M и N на оската, тогаш

• G) Растојанието помеѓу линиите што се вкрстуваат.

Нека a и b се дадени линии на вкрстување, нека биде вектор нормален на нив, A и B се произволни точки на правите a и b, соодветно (сл. 7), и се проекции на точките A и B на, тогаш

д) Растојание од точка до права.

Нека л- дадена права линија со вектор на насока, M - дадена точка,

N - неговата проекција на линијата л, потоа - потребното растојание (слика 8).

Ако А е произволна точка на права л, потоа во правоаголен триаголникМоже да се најдат MNA, хипотенуза MA и нозе. Средства,

ѓ) Аголот помеѓу права линија и рамнина.

Нека е векторот на насоката на оваа права л, - нормален вектор на дадена рамнина b, - проекција на права линија лдо рамнината b (сл. 9).

Како што е познато, аголот μ помеѓу права линија ла неговата проекција на рамнината b се нарекува агол помеѓу правата и рамнината. Ние имаме

Дозволете ни да дадеме примери за решавање на метрички задачи со помош на методот векторско-координати.

Нека два вектори и се дадени во просторот. Ајде да одложиме од произволна точка Овектори и . Аголпомеѓу векторите се нарекува најмал од аглите. Назначен .

Размислете за оската ли нацртајте единичен вектор на него (т.е. вектор чија должина е еднаква на еден).

Под агол помеѓу векторот и оската лда го разбере аголот помеѓу векторите и .

Па нека ле некоја оска и е вектор.

Да означиме со А 1И Б 1проекции на оската лсоодветно поени АИ Б. Ајде да се преправаме дека А 1има координати x 1, А Б 1– координира x 2на оската л.

Потоа проекцијавектор по оска лнаречена разлика x 1 – x 2помеѓу координатите на проекциите на крајот и почетокот на векторот на оваа оска.

Проекција на векторот на оската лќе означиме .

Јасно е дека ако аголот помеѓу векторот и оската лтогаш зачинета x 2> x 1, и проекција x 2 – x 1> 0; ако овој агол е тап, тогаш x 2< x 1и проекција x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси л, Тоа x 2= x 1И x 2– x 1=0.

Така, проекцијата на векторот на оската ле должината на сегментот А 1 Б 1, земен со одреден знак. Затоа, проекцијата на векторот на оската е број или скалар.

Слично се одредува и проекцијата на еден вектор на друг. Во овој случај, се наоѓаат проекциите на краевите на овој вектор на линијата на која лежи вториот вектор.

Ајде да погледнеме некои основни својства на проекциите.

ЛИНЕАРНО ЗАВИСНИ И ЛИНЕАРНО НЕЗАВИСНИ ВЕКТОРСКИ СИСТЕМИ

Да разгледаме неколку вектори.

Линеарна комбинацијаод овие вектори е кој било вектор од формата, каде што има некои броеви. Броевите се нарекуваат коефициенти на линеарни комбинации. Велат и дека во овој случај линеарно се изразува преку овие вектори, т.е. се добива од нив со употреба на линеарни дејства.

На пример, ако се дадени три вектори, тогаш следните вектори може да се сметаат како нивна линеарна комбинација:

Ако векторот е претставен како линеарна комбинација на некои вектори, тогаш се вели дека е поставенипо овие вектори.

Векторите се нарекуваат линеарно зависни, ако има броеви, не сите се еднакви на нула, така што . Јасно е дека дадените вектори ќе бидат линеарно зависни ако некој од овие вектори е линеарно изразен во однос на другите.

Во спротивно, т.е. кога односот врши само кога , овие вектори се нарекуваат линеарно независни.

Теорема 1.Било кои два вектори се линеарно зависни ако и само ако се колинеарни.

Доказ:

Слично може да се докаже и следната теорема.

Теорема 2.Три вектори се линеарно зависни ако и само ако се компланарни.

Доказ.

ОСНОВА

Основае збирка од линеарно независни вектори кои не се нула. Елементите на основата ќе ги означиме со .

Во претходниот пасус, видовме дека два неколинеарни вектори на рамнина се линеарно независни. Според тоа, според теорема 1 од претходниот став, основа на рамнина се кои било два неколинеарни вектори на оваа рамнина.

Слично на тоа, сите три некомпланарни вектори се линеарно независни во просторот. Следствено, ние нарекуваме три некомпланарни вектори основа во просторот.

Следното тврдење е точно.

Теорема.Нека се даде основа во просторот. Тогаш секој вектор може да се претстави како линеарна комбинација , Каде x, y, z- некои бројки. Ова е единственото распаѓање.

Доказ.

Така, основата дозволува секој вектор уникатно да се поврзе со тројка од броеви - коефициентите на проширување на овој вектор во основните вектори: . Вистина е и обратното, за секои три броја x, y, zкористејќи ја основата, можете да го споредите векторот ако направите линеарна комбинација .

Доколку основата и , потоа бројките x, y, zсе нарекуваат координативектор во дадена основа. Векторските координати се означуваат со .

ДЕКАРСКИ КООРДИНАТЕН СИСТЕМ

Нека биде дадена точка во просторот Ои три некомпланарни вектори.

Декартов координатен системво просторот (на рамнината) е збирка точка и основа, т.е. множество од точка и три некомпланарни вектори (2 неколинеарни вектори) кои произлегуваат од оваа точка.

Точка Онаречен потекло; прави линии што минуваат низ потеклото на координатите во насока на основните вектори се нарекуваат координатни оски - абсциса, ординатна и апликативна оска. Рамнините што минуваат низ координатните оски се нарекуваат координатни рамнини.

Размислете за произволна точка во избраниот координатен систем М. Да го воведеме концептот на координати на точки М. Вектор што го поврзува потеклото со точка М. повикани вектор на радиуспоени М.

Вектор во избраната основа може да се поврзе со тројка броеви - неговите координати: .

Координати на векторот на радиусот на точката М. се нарекуваат координати на точката М. во координатниот систем што се разгледува. M(x,y,z). Првата координата се нарекува апсциса, втората е ординатата, а третата е апликативната.

Декартови координати на рамнината се одредуваат слично. Овде точката има само две координати - апсциса и ордината.

Лесно е да се види дека за даден координатен систем, секоја точка има одредени координати. Од друга страна, за секоја тројка од броеви постои единствена точка која ги има овие броеви како координати.

Ако векторите земени како основа во избраниот координатен систем имаат единечна должина и се парно нормални, тогаш координатниот систем се нарекува Декартови правоаголни.

Лесно е да се покаже тоа.

Косинусите на насоката на векторот целосно ја одредуваат неговата насока, но не кажуваат ништо за неговата должина.

Векторскиот опис на движењето е корисен, бидејќи во еден цртеж секогаш можете да прикажете многу различни вектори и да добиете визуелна „слика“ на движење пред вашите очи. Сепак, користењето линијар и транспортер секој пат за извршување на операции со вектори е многу трудоинтензивно. Затоа овие дејствија се сведуваат на дејствија со позитивни и негативни броеви– проекции на вектори.

Проекција на векторот на оскатанаречена скаларна големина еднаква на производот на модулот на проектираниот вектор и косинус на аголот помеѓу насоките на векторот и избраната координатна оска.

На левиот цртеж е прикажан вектор на поместување, чиј модул е ​​50 km, а неговата насока се формира тап агол 150° со насоката на оската X. Користејќи ја дефиницијата, ја наоѓаме проекцијата на поместувањето на оската X:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Бидејќи аголот помеѓу оските е 90°, лесно е да се пресмета дека насоката на движење формира остар агол од 60° со насоката на оската Y. Користејќи ја дефиницијата, ја наоѓаме проекцијата на поместување на оската Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Како што можете да видите, ако насоката на векторот формира остар агол со насоката на оската, проекцијата е позитивна; ако насоката на векторот формира тап агол со насоката на оската, проекцијата е негативна.

Десниот цртеж покажува вектор на брзина, чиј модул е ​​5 m/s, а насоката формира агол од 30° со насоката на оската X. Да ги најдеме проекциите:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Многу е полесно да се најдат проекции на вектори на оските ако проектираните вектори се паралелни или нормални на избраните оски. Ве молиме имајте предвид дека за случајот на паралелизам, можни се две опции: векторот е конасочен кон оската и векторот е спротивен на оската, а за случајот на перпендикуларност има само една опција.

Проекцијата на вектор нормално на оската е секогаш нула (види sy и ay на левиот цртеж и sx и υx на десниот цртеж). Навистина, за вектор нормален на оската, аголот помеѓу него и оската е 90°, така што косинусот е нула, што значи дека проекцијата е нула.

Проекцијата на еден вектор конасочен со оската е позитивна и еднаква на нејзината апсолутна вредност, на пример, sx = +s (види лев цртеж). Навистина, за вектор во истонасочна насока со оската, аголот помеѓу него и оската е нула, а неговиот косинус е „+1“, односно проекцијата е еднаква на должината на векторот: sx = x – xo = + с .

Проекцијата на векторот спроти оската е негативна и еднаква на неговиот модул земен со знак минус, на пример, sy = –s (видете го десниот цртеж). Навистина, за вектор спротивен на оската, аголот помеѓу него и оската е 180°, а неговиот косинус е „–1“, односно проекцијата е еднаква на должината на векторот земен со негативен знак: sy = y – yo = –s .

На десната страна на двата цртежи се прикажани други случаи каде што векторите се паралелни на еден од координатни оскии нормално на другиот. Ве повикуваме сами да се уверите дека и во овие случаи се почитуваат правилата формулирани во претходните ставови.