Извод и диференцијал на комплексна функција од повеќе променливи. Делумни изводи Делумни изводи на сложена функција примери со решение

1°. Случај на една независна променлива. Ако z=f(x,y) е диференцијабилна функција од аргументите x и y, кои пак се диференцијабилни функции на независната променлива т: , тогаш изводот на сложената функција може да се пресмета со помош на формулата

Пример. Најдете дали, каде.

Решение. Според формулата (1) имаме:

Пример. Најдете го парцијалниот извод и вкупниот извод ако .

Решение. .

Врз основа на формулата (2) добиваме .

2°. Случајот на неколку независни променливи.

Нека z =f (x ;y) -функција на две променливи XИ y,од кои секоја е функција на независната променлива t : x =x (t), y =y (т).Во овој случај функцијата z =f (x (т);y (т ))е сложена функција на една независна променлива т;променливи x и y се средни променливи.

Теорема. Ако z == ѓ(x; y) -диференцијабилна во точка M(x;y)Дфункција и x =x (т)И на =y (т) -диференцијабилни функции на независната променлива т,тогаш изводот на сложена функција z (т) == ѓ(x (т);y (т ))пресметано со формулата

Посебен случај:z = f (x ; y),каде y = y (x),тие. z = f (x ;y (x)) -комплексна функција на една независна променлива X.Овој случај се сведува на претходниот, и улогата на променливата тдрами X.Според формулата (3) имаме:

.

Последната формула се нарекува вкупни деривативни формули.

Општ случај:z = f (x ;y),Каде x =x (u ;v),y=y (u ;v).Тогаш z = f (x (u ;v);y (u ;v)) -комплексна функција на независни променливи ИИ v.Неговите парцијални деривати може да се најдат со помош на формулата (3) како што следува. Имајќи фиксна v,ги заменуваме во него соодветните парцијални деривати

Така, изводот на сложената функција (z) во однос на секоја независна променлива (ИИ v)е еднаков на збирот на производите на парцијалните изводи на оваа функција (z) во однос на нејзините меѓупроменливи (x и y)на нивните деривати во однос на соодветната независна променлива (u и v).

Во сите разгледани случаи, формулата е валидна

(својство на непроменливост на вкупен диференцијал).

Пример. Најдете и ако z = ѓ(x,y), каде што x =uv,.

Решение. Применувајќи ги формулите (4) и (5), добиваме:

Пример. Покажете дека функцијата ја задоволува равенката .

Решение. Функцијата зависи од x и y преку среден аргумент, па

Заменувајќи ги парцијалните деривати во левата страна на равенката, имаме:

Односно, функцијата z ја задоволува оваа равенка.

Извод во дадена насока и градиент на функцијата

1°. Извод на функција во дадена насока. Дериватфункции z= ѓ(x,y) во оваа насокаповикани , каде и се вредностите на функцијата во точките и . Ако функцијата z е диференцијабилна, тогаш формулата е валидна

каде се аглите помеѓу насоките ли соодветните координатни оски. Изводот во дадена насока ја карактеризира брзината на промена на функцијата во таа насока.

Пример. Најдете го изводот на функцијата z = 2x 2 - 3 2 во точката P (1; 0) во насока правејќи агол од 120° со оската OX.

Решение. Ајде да ги најдеме парцијалните деривати на оваа функција и нивните вредности во точката P.

Даден е доказ за формулата за извод на сложена функција. Детално се разгледуваат случаите кога сложената функција зависи од една или две променливи. Се прави генерализација на случајот на произволен број на променливи.

Исто така види: Примери за користење на формулата за извод на сложена функција

Основни формули

Овде даваме изведување на следните формули за извод на сложена функција.
Ако тогаш
.
Ако тогаш
.
Ако тогаш
.

Извод на сложена функција од една променлива

Нека функцијата од променливата x е претставена како сложена функција во следнава форма:
,
каде што има некои функции. Функцијата е диференцијабилна за некоја вредност на променливата x. Функцијата е диференцијабилна по вредноста на променливата.
Тогаш сложената (композитна) функција е диференцијабилна во точката x и нејзиниот дериват се одредува со формулата:
(1) .

Формулата (1) може да се запише и на следниов начин:
;
.

Доказ

Да ја воведеме следната нотација.
;
.
Овде постои функција на променливите и , постои функција на променливите и . Но, ќе ги испуштиме аргументите на овие функции за да не ги натрупуваме пресметките.

Бидејќи функциите и се диференцијабилни во точките x и , соодветно, тогаш во овие точки постојат изводи на овие функции, кои се следните граници:
;
.

Размислете за следнава функција:
.
За фиксна вредност на променливата u, е функција од . Очигледно е дека
.
Потоа
.

Бидејќи функцијата е диференцијабилна функција во точката, таа е континуирана во таа точка. Затоа
.
Потоа
.

Сега го наоѓаме дериватот.

.

Формулата е докажана.

Последица

Ако функција од променлива x може да се претстави како сложена функција од сложена функција
,
тогаш неговиот дериват се одредува со формулата
.
Еве , и има некои диференцијабилни функции.

За да ја докажеме оваа формула, последователно го пресметуваме изводот користејќи го правилото за диференцијација на сложена функција.
Размислете за сложената функција
.
Неговиот дериват
.
Размислете за оригиналната функција
.
Неговиот дериват
.

Извод на сложена функција од две променливи

Сега нека комплексната функција зависи од неколку променливи. Прво да погледнеме случај на сложена функција од две променливи.

Нека функцијата во зависност од променливата x биде претставена како сложена функција од две променливи во следнава форма:
,
Каде
и има диференцијабилни функции за некоја вредност на променливата x;
- функција од две променливи, диференцијабилни во точката , . Тогаш комплексната функција е дефинирана во одредено соседство на точката и има извод, кој се одредува со формулата:
(2) .

Доказ

Бидејќи функциите и се диференцијабилни во точката, тие се дефинирани во одредено соседство на оваа точка, се континуирани во точката, а нивните изводи постојат во точката, што се следните граници:
;
.
Еве
;
.
Поради континуитетот на овие функции во една точка, имаме:
;
.

Бидејќи функцијата е диференцијабилна во точката, таа е дефинирана во одредено соседство на оваа точка, е континуирана во оваа точка, а нејзиното зголемување може да се запише во следната форма:
(3) .
Еве

- зголемување на функцијата кога нејзините аргументи се зголемуваат со вредности и ;
;

- парцијални изводи на функцијата во однос на променливите и .
За фиксни вредности на и и се функции на променливите и . Тие имаат тенденција на нула на и:
;
.
Оттогаш и тогаш
;
.

Зголемување на функцијата:

. :
.
Да го замениме (3):



.

Формулата е докажана.

Извод на сложена функција од неколку променливи

Горенаведениот заклучок лесно може да се генерализира во случај кога бројот на променливи на сложена функција е повеќе од две.

На пример, ако f е функција од три променливи, Тоа
,
Каде
, и има диференцијабилни функции за некоја вредност на променливата x;
- диференцијабилна функција од три променливи во точка , , .
Тогаш, од дефиницијата за диференцијабилност на функцијата, имаме:
(4)
.
Бидејќи, поради континуитет,
; ; ,
Тоа
;
;
.

Поделувајќи го (4) со и преминувајќи до границата, добиваме:
.

И, конечно, да размислиме најопшт случај.
Нека функција од променлива x е претставена како сложена функција од n променливи во следнава форма:
,
Каде
има диференцијабилни функции за некоја вредност на променливата x;
- диференцијабилна функција на n променливи во точка
, , ... , .
Потоа
.

§ 5. Парцијални изводи на сложени функции. диференцијали на сложени функции

1. Парцијални изводи на сложена функција.

Нека е функција од две променливи чии аргументи И , самите се функции на две или повеќе променливи. На пример, нека
,
.

Потоа ќе комплексна функција независни променливи И , променливите ќе бидат за неа меѓупроменливи. Во овој случај, како да се најдат парцијалните изводи на функцијата во однос на И ?

Можете, се разбира, да го изразите директно во однос на и:

и побарајте парцијални изводи на добиената функција. Но, изразот може да биде многу сложен и наоѓање делумни деривати , тогаш тоа ќе бара многу напор.

Доколку функциите
,
,
се диференцијабилни, потоа најдете а тоа е можно без прибегнување кон директно изразување преку и . Во овој случај, формулите ќе бидат валидни

(5.1)

Навистина, да го дадеме аргументот зголемување
, – конст. Потоа функциите
И ќе добијат зголемувања

а функцијата ќе се зголемува

Каде , – бесконечно мало во
,
. Да ги поделиме сите членови на последното равенство со . Добиваме:

Бидејќи по услов функциите и се диференцијабилни, тие се континуирани. Затоа, ако
, потоа и. Ова значи дека поминувајќи до границата во последното равенство добиваме:

(бидејќи , се бесконечно мали за , ).

На сличен начин се докажува и втората еднаквост од (5.1).

ПРИМЕР. Нека
, Каде
,
. Потоа е сложена функција на независните променливи и . За да ги пронајдеме неговите парцијални деривати, ја користиме формулата (5.1). Ние имаме

Заменувајќи во (5.1), добиваме

,

Формулите (5.1) природно се генерализираат во случај на функција со поголем број независни и средни аргументи. Имено, ако

………………………

и сите функции што се разгледуваат се разликуваат, тогаш за која било
постои еднаквост

Исто така, можно е функциските аргументи да се функции на само една променлива, т.е.

,
.

Тогаш тоа ќе биде сложена функција од само една променлива и можеме да го поставиме прашањето за наоѓање на дериватот . Доколку функциите
,
се диференцијабилни, тогаш може да се најде по формулата
(5.2)

ПРИМЕР. Нека
, Каде
,
. Еве комплексна функција на една независна променлива. Со формулата (5.2) добиваме

.

И конечно, можно е улогата на независната променлива да ја игра т.е. ,

Каде
.

Од формулата (5.2) потоа добиваме

(5.3)

(затоа што
). Дериват , стои во формулата (5.3) десно е парцијалниот извод на функцијата во однос на . Се пресметува со фиксна вредност. Дериват на левата страна од формулата (5.3) се нарекува целосен извод на функцијата . При неговото пресметување беше земено предвид дека зависи на два начина: директно и преку вториот аргумент.

ПРИМЕР. Најдете и за функција
, Каде
.

Ние имаме
.

За да најдеме, ја користиме формулата (5.3). Добиваме

.

И како заклучок на овој став, забележуваме дека формулите (5.2) и (5.3) лесно се генерализираат во случајот на функции со голем број средни аргументи.

2. Диференцијал на сложена функција.

Да потсетиме дека ако

е диференцијабилна функција од две независни променливи, тогаш по дефиниција

, (5.4)

или во друга форма
. (5.5)

Предноста на формулата (5.5) е што таа останува вистинита дури и кога е сложена функција.

Навистина, нека , каде , . Да претпоставиме дека функциите , , се диференцијабилни. Тогаш сложената функција исто така ќе биде диференцијабилна и нејзиниот вкупен диференцијал според формулата (5.5) ќе биде еднаков на

.

Применувајќи ја формулата (5.1) за пресметување на парцијалните изводи на сложена функција, добиваме

Бидејќи целосните диференцијали на функциите и се во заграда, конечно имаме

Значи, убедени сме дека и во случај кога и се независни променливи, и во случај кога и се зависни променливи, диференцијалот на функцијата може да се запише во формата (5.5). Во овој поглед, оваа форма на снимање на вкупниот диференцијал се нарекува непроменлив . Формата на запишување на диференцијалот предложена во (5.4) нема да биде непроменлива; може да се користи само во случај кога и се независни променливи. Нема да биде непроменлива ниту формата на запишување на диференцијалот -ти ред. Потсетиме дека претходно покажавме дека диференцијал на ред функцијата на две променливи може да се најде со формулата

. (4.12)

Но, ако тие не се независни променливи, тогаш формулата (4.12) со
престанува да биде вистина.

Очигледно, целото расудување спроведено во овој дел за функција од две променливи може да се повтори во случај на функција со поголем број аргументи. Затоа, за функција диференцијалот може да се запише и во две форми:

а втората форма на нотација ќе биде непроменлива, т.е. фер дури и во случај кога
не се независни променливи, туку посредни аргументи.

§ 6. Диференцијација на имплицитни функции

Зборувајќи за начините за дефинирање на функција од една или повеќе променливи, забележавме дека аналитичката дефиниција на функцијата може да биде експлицитна или имплицитна. Во првиот случај, вредноста на функцијата се наоѓа од познатите вредности на аргументите; во втората, вредноста на функцијата и нејзините аргументи се поврзани со некоја равенка. Сепак, не прецизиравме кога равенките

И

дефинираат имплицитно одредени функции и соодветно. Лесни за употреба доволни услови за постоење на имплицитна функција променливи (
) се содржани во следната теорема.

ТЕОРЕМА6.1 . (постоење на имплицитна функција) Нека функцијата
и неговите парцијални деривати
се дефинирани и континуирани во некое соседство на точката. Ако
И
, тогаш има таква населба точка во која равенката

дефинира континуирана функција и

1) Размислете за равенката
. Условите на теоремата се задоволени, на пример, во кое било соседство на точката
. Затоа, во некое соседство на точката
оваа равенка дефинира како имплицитна функција на две променливи и . Експлицитен израз на оваа функција може лесно да се добие со решавање на равенката за:

2) Размислете за равенката
. Тој дефинира две функции од две променливи и . Навистина, условите на теоремата се задоволени, на пример, во кое било соседство на точката

, во која дадената равенка дефинира континуирана функција која ја зема вредноста
.

Од друга страна, условите на теоремата се задоволени во секое соседство на точката
. Следствено, во одредено соседство на точката равенката дефинира континуирана функција која ја зема вредноста во точката
.

Бидејќи функцијата не може да преземе две вредности во една точка, тоа значи дека зборуваме за две различни функции
и соодветно. Да ги најдеме нивните експлицитни изрази. За да го направите ова, да ја решиме оригиналната равенка за . Добиваме

3) Размислете за равенката
. Очигледно е дека условите на теоремата се задоволени во секое соседство на точката
. Следствено, постои такво соседство на точката
, во која равенката се дефинира како имплицитна функција на променливата . Невозможно е да се добие експлицитен израз за оваа функција, бидејќи равенката не може да се реши во однос на .

4) Равенка
не дефинира никаква имплицитна функција, бидејќи нема парови на реални броеви и кои ја задоволуваат.

Функција
, дадена со равенката
, според теорема 6.1, има континуирани парцијални изводи во однос на сите аргументи во соседството на точката. Ајде да дознаеме како да ги најдеме без експлицитно да ја специфицираме функцијата.

Нека функцијата
ги задоволува условите од теорема 6.1. Потоа равенката
континуирана функција
. Размислете за сложената функција
, Каде. Функцијата е сложена функција на една променлива, и ако
, Тоа

(6.1)

Од друга страна, според формулата (5.3) да се пресмета вкупниот дериват
(6.2)

Од (6.1) и (6.2) добиваме дека ако , тогаш

(6.3)

Коментар.Поделете по можно е, бидејќи според теорема 6.1
каде било во близина.

ПРИМЕР. Најдете го изводот на имплицитната функција дадена со равенката и пресметајте ја неговата вредност во
.

,
.

Заменувајќи ги парцијалните деривати во формулата (6.3), добиваме

.

Следно, заменувајќи се во оригиналната равенка, наоѓаме две вредности:
И
.

Следствено, во соседството на точката равенката дефинира две функции:
И
, Каде
,
. Нивните деривати при ќе бидат еднакви

И
.

Ајде сега равенката
дефинира во некое соседство на точка
функција Ајде да го најдеме. Да потсетиме дека всушност ова е обичен извод на функција која се смета како функција на променлива со константна вредност. Затоа, можеме да ја примениме формулата (6.3) за да ја најдеме, сметајќи ја за функција, аргумент, константа. Добиваме

. (6.4)

Слично, земајќи ја предвид функцијата, аргументот, константата, користејќи ја формулата (6.3) наоѓаме

. (6.5)

ПРИМЕР. Најдете ги парцијалните изводи на функцијата дадена со равенката
.

,
,
.

Користејќи ги формулите (6.4) и (6.5), добиваме

,
.

Конечно, разгледајте го општиот случај кога равенката

дефинира функција на променливи во одредено соседство на точка. Повторувајќи ги аргументите спроведени за имплицитно дадена функција од две променливи, добиваме

,
, …,
.

§ 7. Насочен извод

1. Насочен дериват.

Нека е дефинирана функција од две променливи во некој домен
рамнина
, – точка на регионот, -вектор од која било насока. Да тргнеме од поентата
до точка во насока на векторот. Функцијата ќе добие зголемување

Да го поделиме функцискиот прираст
по должината на офсет сегментот
. Резултат сооднос
ја дава просечната стапка на промена на функцијата во областа
. Тогаш границата на овој сооднос на
(ако постои и е конечна) ќе биде брзината на промена на функцијата во точката
во насока на векторот. Тој се вика извод на функција во точка во насока на векторот и означуваат
или
.

Покрај брзината на промена на функцијата, исто така ви овозможува да ја одредите природата на промената на функцијата во точка во насока на векторот (зголемување или намалување):

Овие искази се докажуваат на ист начин како и сличните за функција од една променлива.

Забележете дека парцијалните изводи на функцијата се посебен случај на насочен извод. Имено,
ова е изводот на функцијата во насока на векторот (насока на оската
), е изводот на функцијата во насока на векторот (насока на оската
).

Да претпоставиме дека функцијата е диференцијабилна во точката. Потоа

Каде – бесконечно мало во
.