Изводи на елементарни доказни функции. Извод на функција. Детална теорија со примери. Концепт на инверзна функција
Операцијата за наоѓање на изводот се нарекува диференцијација.
Како резултат на решавање на проблеми за пронаоѓање на изводи на наједноставните (и не многу едноставни) функции со дефинирање на изводот како граница на односот на зголемувањето на зголемувањето на аргументот, се појави табела на деривати и прецизно дефинирани правила на диференцијација. . Први кои работеле на полето на пронаоѓање деривати биле Исак Њутн (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лајбниц (1646-1716).
Затоа, во нашево време, за да го пронајдете изводот на која било функција, не треба да ја пресметате горенаведената граница на односот на зголемувањето на функцијата кон зголемувањето на аргументот, туку треба да ја користите само табелата на деривати и правила на диференцијација. Следниот алгоритам е погоден за наоѓање на дериватот.
Да се најде изводот, потребен ви е израз под знакот прв разложи едноставни функции на компонентии одреди кои дејствија (производ, збир, количник)овие функции се поврзани. Следно, изводите на елементарните функции ги наоѓаме во табелата со деривати, а формулите за дериватите на производот, збирот и количникот - во правилата за диференцијација. Табелата за деривати и правилата за диференцијација се дадени по првите два примери.
Пример 1.Најдете го изводот на функцијата
Решение. Од правилата на диференцијација дознаваме дека изводот на збир на функции е збир на изводи на функции, т.е.
Од табелата со деривати дознаваме дека изводот на „x“ е еднаков на еден, а изводот на синус е еднаков на косинус. Ги заменуваме овие вредности во збир на деривати и го наоѓаме изводот што го бара состојбата на проблемот:
Пример 2.Најдете го изводот на функцијата
Решение. Диференцираме како извод на збир во кој вториот член има постојан фактор, може да се извади од знакот на изводот:
Ако сè уште се појавуваат прашања за тоа од каде доаѓа нешто, тие обично се расчистуваат откако ќе се запознаете со табелата на деривати и наједноставните правила на диференцијација. Во моментов продолжуваме кон нив.
Табела на деривати на едноставни функции
| 1. Извод на константа (број). Било кој број (1, 2, 5, 200...) што е во функционалниот израз. Секогаш еднаква на нула. Ова е многу важно да се запамети, бидејќи се бара многу често | |
| 2. Извод на независната променлива. Најчесто „Х“. Секогаш еднаков на еден. Ова е исто така важно да се запамети долго време | |
| 3. Извод на степен. Кога решавате проблеми, треба да ги претворите неквадратните корени во моќи. | |
| 4. Извод на променлива со моќност -1 | |
| 5. Извод на квадратен корен | |
| 6. Дериват на синус | |
| 7. Извод на косинус |  |
| 8. Извод на тангента |  |
| 9. Дериват на котангенс |  |
| 10. Дериват на арсин |  |
| 11. Дериват на аркозин |  |
| 12. Дериват на арктангенс |  |
| 13. Дериват на лак котангенс |  |
| 14. Извод на природниот логаритам | |
| 15. Извод на логаритамска функција |  |
| 16. Извод на експонентот | |
| 17. Извод на експоненцијална функција |
Правила за диференцијација
| 1. Извод на збир или разлика |  |
| 2. Дериват на производот |  |
| 2а. Извод на израз помножен со константен фактор | |
| 3. Извод на количник |  |
| 4. Извод на сложена функција |  |
Правило 1.Доколку функциите
се диференцијабилни во одреден момент, тогаш функциите се диференцијабилни во истата точка
и
тие. изводот на алгебарскиот збир на функции е еднаков на алгебарскиот збир на изводите на овие функции.
Последица. Ако две диференцијабилни функции се разликуваат за константен член, тогаш нивните изводи се еднакви, т.е.
Правило 2.Доколку функциите
се разликуваат во одреден момент, тогаш нивниот производ е диференцијабилен во истата точка
и
тие. Изводот на производот на две функции е еднаков на збирот на производите на секоја од овие функции и изводот на другата.
Заклучок 1. Константниот фактор може да се извади од знакот на дериватот:
Заклучок 2. Изводот на производот на неколку диференцијабилни функции е еднаков на збирот на производите на изводот на секој фактор и на сите други.
На пример, за три множители:
Правило 3.Доколку функциите
може да се разликува во одреден момент И , тогаш во овој момент нивниот количник е исто така диференцијабиленu/v и
тие. изводот на количникот на две функции е еднаков на дропка, чиј броител е разликата помеѓу производите на именителот и изводот на броителот и броителот и изводот на именителот, а именителот е квадратот на поранешниот броител.
Каде да барате работи на други страници
При наоѓање на дериват на производ и количник во реални проблеми, секогаш е неопходно да се применат неколку правила за диференцијација одеднаш, така што има повеќе примери за овие деривати во статијата„Дериват на производот и количник на функции“.
Коментар.Не треба да мешате константа (односно бројка) како член во збир и како константен фактор! Во случај на член, неговиот извод е еднаков на нула, а во случај на постојан фактор, тој се вади од знакот на изводите. Ова е типична грешка што се јавува во почетната фаза од изучувањето на дериватите, но додека просечниот студент решава неколку примери од еден и два дела, тој повеќе не ја прави оваа грешка.
И ако, кога разликувате производ или количник, имате термин u"v, во која u- број, на пример, 2 или 5, односно константа, тогаш изводот на овој број ќе биде еднаков на нула и, според тоа, целиот член ќе биде еднаков на нула (овој случај се дискутира во примерот 10).
Друга честа грешка е механичкото решавање на изводот на сложена функција како извод на едноставна функција. Затоа извод на сложена функцијае посветена посебна статија. Но, прво ќе научиме да наоѓаме деривати на едноставни функции.
На патот, не можете без да ги трансформирате изразите. За да го направите ова, можеби ќе треба да го отворите прирачникот во нови прозорци. Дејства со моќ и корениИ Операции со дропки .
Ако барате решенија за деривати на дропки со сили и корени, односно кога функцијата изгледа како 
, потоа следете ја лекцијата „Дериват на збирови на дропки со сили и корени“.
Ако имате задача како 
, потоа ќе ја земете лекцијата „Деривати на едноставни тригонометриски функции“.
Примери чекор-по-чекор - како да се најде изводот
Пример 3.Најдете го изводот на функцијата
Решение. Ги дефинираме деловите на функционалниот израз: целиот израз претставува производ, а неговите фактори се збирови, од кои во вториот еден од поимите содржи константен фактор. Го применуваме правилото за диференцијација на производот: изводот на производот од две функции е еднаков на збирот на производите на секоја од овие функции со изводот на другата:
Следно, го применуваме правилото за диференцијација на збирот: изводот на алгебарскиот збир на функции е еднаков на алгебарскиот збир на изводите на овие функции. Во нашиот случај, во секоја сума вториот член има знак минус. Во секој збир гледаме и независна променлива, чиј извод е еднаков на еден, и константа (број), чиј извод е еднаков на нула. Значи, „Х“ се претвора во едно, а минус 5 се претвора во нула. Во вториот израз, „x“ се множи со 2, па множиме два со иста единица како изводот на „x“. Ги добиваме следните изводни вредности:
Пронајдените деривати ги заменуваме во збир на производи и го добиваме изводот на целата функција што ја бара состојбата на проблемот:
И можете да го проверите решението на проблемот со дериватот на.
Пример 4.Најдете го изводот на функцијата
Решение. Од нас се бара да го најдеме изводот на количникот. Ја применуваме формулата за диференцијација на количникот: изводот на количникот на две функции е еднаков на дропка, чиј броител е разликата помеѓу производите на именителот и изводот на броителот и броителот и изводот на именителот, а именителот е квадратот на поранешниот броител. Добиваме:
Веќе го најдовме изводот на множителите во броителот во примерот 2. Да не заборавиме и дека производот, кој е втор фактор во броителот во тековниот пример, се зема со знак минус:
Ако барате решенија за проблеми во кои треба да го пронајдете изводот на функцијата, каде што има континуиран куп корени и моќи, како на пример, 
, тогаш добредојде на час „Дериват на збирови на дропки со сили и корени“ .
Ако треба да дознаете повеќе за дериватите на синусите, косинусите, тангентите и другите тригонометриски функции, односно кога функцијата изгледа како , тогаш лекција за вас „Деривати на едноставни тригонометриски функции“ .
Пример 5.Најдете го изводот на функцијата
Решение. Во оваа функција гледаме производ, чиј еден од факторите е квадратниот корен на независната променлива, чиј извод се запознавме во табелата со деривати. Користејќи го правилото за разликување на производот и табеларната вредност на дериватот на квадратниот корен, добиваме:
Можете да го проверите решението на проблемот со изводот на онлајн калкулатор за деривати .
Пример 6.Најдете го изводот на функцијата
Решение. Во оваа функција гледаме количник чија дивиденда е квадратен корен на независната променлива. Користејќи го правилото за диференцијација на количниците, кое го повторивме и применивме во примерот 4, и табеларната вредност на изводот на квадратниот корен, добиваме:
За да се ослободите од дропка во броителот, помножете ги броителот и именителот со .
Докажете ги сами формулите 3 и 5.
ОСНОВНИ ПРАВИЛА НА ДИФЕРЕНЦИЈАЦИЈА
Користејќи го општиот метод за наоѓање на изводот со користење на лимитот, може да се добијат наједноставните формули за диференцијација. Нека u=u(x),v=v(x)– две диференцијабилни функции на променлива x.
Докажете ги самите формули 1 и 2.
Доказ за Формула 3.
Нека y = u(x) + v(x).За вредност на аргументот x+Δ xние имаме y(x+Δ x)=u(x+Δ x) + v(x+Δ x).
Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.
Оттука,
Доказ за Формула 4.
Нека y=u(x)·v(x).Потоа y(x+Δ x)=u(x+Δ x)· v(x+Δ x), Затоа
Δ y=u(x+Δ x)· v(x+Δ x) – u(x)· v(x).
Забележете дека бидејќи секоја од функциите uИ vдиференцијабилна во точката x, тогаш тие се континуирани во оваа точка, што значи u(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), на Δ x→0.
Затоа можеме да пишуваме
Врз основа на ова својство, може да се добие правило за диференцирање на производот на кој било број функции.
Нека, на пример, y=u·v·w.Потоа,
y " = u "·( v w) + u·( v· w) " = u "· v·w + u·( v„·w+ v·w ") = u "· v·w + u· v„·w+ u·v·w“.
Доказ за формула 5.
Нека . Потоа
Во доказот го искористивме фактот дека v(x+Δ x)→v(x)на Δ x→0.
Примери.
ТЕОРЕМА ЗА ДЕРИВАТ НА КОМПЛЕКСНА ФУНКЦИЈА
Нека y = f(u),А u= u(x). Ја добиваме функцијата yво зависност од аргументот x: y = f(u(x)).Последната функција се нарекува функција на функција или комплексна функција.
Домен за дефиниција на функција y = f(u(x))е или целиот домен на дефинирање на функцијата u=u(x) или оној дел во кој се одредуваат вредностите u, не напуштање на доменот на дефинирање на функцијата y= f(u).
Операцијата функција од функција може да се изврши не само еднаш, туку било кој број пати.
Да воспоставиме правило за диференцирање на сложена функција.
Теорема.Доколку функцијата u= u(x) има во одреден момент x 0извод и ја зема вредноста во овој момент u 0 = u(x 0), и функцијата y=f(u)има во точката u 0дериват y" u = ѓ "(u 0), потоа сложена функција y = f(u(x))во наведената точка x 0има и извод, кој е еднаков на y" x = ѓ "(u 0)· u "(x 0), каде што наместо uизразот мора да се замени u= u(x).
Така, изводот на сложена функција е еднаков на производот од изводот на дадена функција во однос на средниот аргумент uна дериватот на меѓуаргументот во однос на x.
Доказ. За фиксна вредност X 0 ќе имаме u 0 =u(x 0), на 0 =f(u 0 ). За нова вредност на аргументот x 0+Δ x:
Δ u= u(x 0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=ѓ(u 0+Δ u) – ѓ(u 0).
Бидејќи u– диференцијабилна во точка x 0, Тоа u– во овој момент е континуирано. Затоа, на Δ x→0 Δ u→0. Слично за Δ u→0 Δ y→0.
По услов 
. Од оваа релација, користејќи ја дефиницијата за граница, добиваме (на Δ u→0)
каде α→0 на Δ u→0, и, следствено, на Δ x→0.
Да ја преработиме оваа еднаквост како:
Δ y=y" uΔ u+α·Δ u.
Добиената еднаквост важи и за Δ u=0 за произволна α, бидејќи се претвора во идентитетот 0=0. На Δ u=0 ќе претпоставиме α=0. Да ги поделиме сите членови на добиената еднаквост со Δ x
.
По услов 
. Затоа, поминувајќи до границата на Δ x→0, добиваме y" x = y„u·u“ x. Теоремата е докажана.
Значи, да се разликува сложена функција y = f(u(x)),треба да го земете изводот на функцијата „надворешна“. ѓ, третирајќи го неговиот аргумент едноставно како променлива и множете се со изводот на „внатрешната“ функција во однос на независната променлива.
Доколку функцијата y=f(x)може да се претстави во форма y=f(u), u=u(v), v=v(x),тогаш наоѓањето на изводот y " x се врши со секвенцијална примена на претходната теорема.
Според докажаното правило имаме y" x = y„у u„x. Примена на истата теорема за u„x добиваме, т.е.
y" x = y" x u" v v" x = ѓ"у( u)· u" v ( v)· v" x ( x).
Примери.
ПОИМ ЗА ОБРАТНА ФУНКЦИЈА
Да почнеме со пример. Размислете за функцијата y= x 3. Ќе ја разгледаме еднаквоста y= x 3како релативна равенка x. Ова е равенката за секоја вредност надефинира една вредност x: . Геометриски, тоа значи дека секоја права линија е паралелна на оската Волго пресекува графикот на функцијата y= x 3само во еден момент. Затоа можеме да размислиме xкако функција на y. Функцијата се нарекува инверзна функција y= x 3.
Пред да преминеме на општиот случај, воведуваме дефиниции.
Функција y = f(x)повикани се зголемувана одреден сегмент, доколку поголемата вредност на аргументот xод овој сегмент одговара поголема вредност на функцијата, т.е. Ако x 2 >x 1, тогаш f(x 2 ) > f(x 1 ).
Функцијата се нарекува слично се намалува, ако помала вредност на аргументот одговара на поголема вредност на функцијата, т.е. Ако X 2 < X 1, тогаш f(x 2 ) > f(x 1 ).
Значи, да ни се даде функција на зголемување или намалување y=f(x), дефинирани на одреден интервал [ а; б]. За дефинитивно, ќе разгледаме растечка функција (за опаѓачка сè е слично).
Размислете за две различни вредности X 1 и X 2. Нека y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Од дефиницијата на растечка функција произлегува дека ако x 1 <x 2, тогаш на 1 <на 2. Затоа, две различни вредности X 1 и X 2 одговара на две различни функциски вредности на 1 и на 2. Исто така важи и спротивното, т.е. Ако на 1 <на 2, тогаш од дефиницијата за растечка функција произлегува дека x 1 <x 2. Оние. повторно две различни вредности на 1 и на 2 одговара на две различни вредности x 1 и x 2. Така, помеѓу вредностите xи нивните соодветни вредности yсе воспоставува кореспонденција еден на еден, т.е. равенката y=f(x)за секој y(преземено од опсегот на функцијата y=f(x))дефинира една вредност x, и можеме да го кажеме тоа xима некоја аргументирана функција y: x= g(y).
Оваа функција се нарекува обратноза функција y=f(x). Очигледно, функцијата y=f(x)е инверзна на функцијата x=g(y).
Забележете дека инверзната функција x=g(y)најдени со решавање на равенката y=f(x)релативно X.
Пример.Нека е дадена функцијата y= e x. Оваа функција се зголемува на –∞< x <+∞. Она имеет обратную функцию x= дневник y. Домен на инверзна функција 0< y < + ∞.
Ајде да дадеме неколку коментари.
Забелешка 1.Ако растечка (или опаѓачка) функција y=f(x)е континуиран во интервалот [ а; б], и f(a)=c, f(b)=d, тогаш инверзната функција е дефинирана и континуирана на интервалот [ в; г].
Забелешка 2.Доколку функцијата y=f(x)ниту се зголемува ниту се намалува на одреден интервал, тогаш може да има неколку инверзни функции.
Пример.Функција y=x2дефинирано на –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 функција – се намалува и нејзината инверзна.
Забелешка 3.Доколку функциите y=f(x)И x=g(y)се меѓусебно инверзни, тогаш тие ја изразуваат истата врска помеѓу променливите xИ y. Според тоа, графикот на двете е иста крива. Но, ако аргументот на инверзната функција повторно го означиме со x, и функцијата преку yи да ги нацртаме во ист координатен систем, ќе добиеме два различни графикони. Лесно е да се забележи дека графиконите ќе бидат симетрични во однос на симетралата на првиот координатен агол.
ТЕОРЕМА ЗА ДЕРИВАТНАТА ОБРАТНА ФУНКЦИЈА
Да докажеме теорема што ни овозможува да го најдеме изводот на функцијата y=f(x), знаејќи го изводот на инверзната функција.
Теорема.Ако за функцијата y=f(x)постои инверзна функција x=g(y), што во одреден момент на 0 има извод е "(v 0), не нула, потоа во соодветната точка x 0=е(x 0) функција y=f(x)има дериват ѓ "(x 0), еднакво на , т.е. формулата е точна.
Доказ. Бидејќи x=g(y)диференцијабилна во точката y 0, Тоа x=g(y)е континуиран во овој момент, па функцијата y=f(x)континуирано во една точка x 0=е(y 0). Затоа, на Δ x→0 Δ y→0.
Да го покажеме тоа 
.
Нека . Потоа, според својството на лимитот 
. Дозволете ни да поминеме во оваа еднаквост до границата на Δ y→0. Потоа Δ x→0 и α(Δx)→0, т.е. .
Оттука,
,
Q.E.D.
Оваа формула може да се напише во форма.
Ајде да ја разгледаме примената на оваа теорема користејќи примери.
Без доказ ги прикажуваме формулите за изводите на основните елементарни функции:
1. Функција на моќност: (x n)` =nx n -1 .
2. Експоненцијална функција: (a x)` =a x lna(особено, (e x)` = e x).
3. Логаритамска функција: (особено, (lnx)` = 1/x).
4. Тригонометриски функции:
(cosх)` = -sinx
(tgх)` = 1/cos 2 x
(ctgх)` = -1/sin 2 x
5. Инверзни тригонометриски функции:
Може да се докаже дека за да се диференцира моќно-експоненцијална функција, потребно е двапати да се користи формулата за изводот на сложена функција, имено, да се диференцира и како сложена функција на моќност и како сложена експоненцијална функција и да се додадат резултатите. : (f(x) (x))` =(x)*f(x) (x)-1 *f(x)` +f(x) (x) *lnf(x)* (x)`.
Деривати од повисок ред
Бидејќи изводот на функција е сам по себе функција, може да има и извод. Концептот на дериват, кој беше дискутиран погоре, се однесува на дериват од прв ред.
Дериватn-ти редсе нарекува извод на изводот од (n- 1)-ти ред. На пример, f``(x) = (f`(x))` - дериват од втор ред (или втор извод), f```(x) = (f``(x))` - извод од трет ред ( или трет дериват) итн. Понекогаш римските арапски бројки во загради се користат за означување на деривати од повисок ред, на пример, f (5) (x) или f (V) (x) за извод од петти ред.
Физичкото значење на дериватите од повисок ред се одредува на ист начин како и за првиот извод: секој од нив ја претставува стапката на промена на изводот од претходниот ред. На пример, вториот извод ја претставува стапката на промена на првиот, т.е. брзина брзина. За праволиниско движење, тоа значи забрзување на точка во одреден момент во времето.
Функција на еластичност
Функција на еластичност E x (y) е граница на односот на релативното зголемување на функцијата y до релативното зголемување на аргументот x бидејќи вториот се стреми кон нула: 
.
Еластичноста на функцијата покажува приближно колку проценти ќе се промени функцијата y = f(x) кога независната променлива x ќе се промени за 1%.
Во економска смисла, разликата помеѓу овој индикатор и дериватот е во тоа што изводот има мерни единици и затоа неговата вредност зависи од единиците во кои се мерат променливите. На пример, ако зависноста на обемот на производството од времето е изразена во тони и месеци, соодветно, тогаш дериватот ќе покаже маргинално зголемување на волуменот во тони месечно; ако ги измериме овие показатели, да речеме, во килограми и денови, тогаш и самата функција и нејзиниот дериват ќе бидат различни. Еластичноста во суштина е бездимензионална количина (мерена во проценти или удел) и затоа не зависи од скалата на индикаторите.
Основни теореми за диференцијабилни функции и нивна примена
Теорема на Ферма. Ако функцијата што може да се диференцира на интервал ја достигне својата најголема или минимална вредност во внатрешна точка од овој интервал, тогаш изводот на функцијата во оваа точка е нула.
Нема доказ.
Геометриското значење на теоремата на Ферма е дека во точката на најголемата или најмалата вредност постигната внатре во интервалот, тангентата на графикот на функцијата е паралелна со оската на апсцисата (слика 3.3).
Ролова теорема. Нека функцијата y =f(x) ги задоволува следните услови:
2) диференцијабилно на интервалот (а, б);
3) на краевите на сегментот зема еднакви вредности, т.е. f(a) =f(b).
Тогаш има барем една точка во отсечката во која изводот на функцијата е еднаков на нула.
Нема доказ.
Геометриското значење на теоремата на Роле е дека има барем една точка во која тангентата на графикот на функцијата ќе биде паралелна со оската на апсцисата (на пример, на слика 3.4 има две такви точки).
Ако f(a) =f(b) = 0, тогаш теоремата на Роле може да се формулира поинаку: помеѓу две последователни нули од диференцијабилната функција има најмалку една нула од изводот.
Теоремата на Рол е посебен случај на теоремата на Лагранж.
Лагранжова теорема. Нека функцијата y =f(x) ги задоволува следните услови:
1) континуирано на интервалот [a, b];
2) диференцијабилно на интервалот (а, б).
Тогаш внатре во сегментот има барем една таква точка c, во која изводот е еднаков на количникот на зголемувањето на функцијата поделено со зголемувањето на аргументот на оваа отсечка: 
.
Нема доказ.
За да го разбереме физичкото значење на теоремата на Лагранж, го забележуваме тоа 
не е ништо повеќе од просечната стапка на промена на функцијата во текот на целиот интервал [a, b]. Така, теоремата вели дека внатре во сегментот има барем една точка во која „моменталната“ стапка на промена на функцијата е еднаква на просечната стапка на нејзината промена во текот на целиот сегмент.
Геометриското значење на теоремата на Лагранж е илустрирано на Слика 3.5. Забележете дека изразот 
го претставува аголниот коефициент на правата линија на која лежи акордот AB. Теоремата вели дека на графикот на функцијата ќе има барем една точка во која тангентата на неа ќе биде паралелна со оваа акорд (т.е., наклонот на тангентата - изводот - ќе биде ист).
Заклучок: ако изводот на функцијата е еднаков на нула на одреден интервал, тогаш функцијата е идентично константна на овој интервал.
Всушност, да го земеме интервалот. Според теоремата на Лагранж, во овој интервал има точка c за која 
. Оттука f(a) – f(x) = f `(с)(a – x) = 0; f(x) = f(a) = конст.
Правилото на L'Hopital. Границата на односот на две бесконечно мали или бесконечно големи функции е еднаква на границата на односот на нивните деривати (конечни или бесконечни), доколку второто постои во наведената смисла.
Со други зборови, ако постои неизвесност на формата 
, Тоа 
.
Нема доказ.
Примената на правилото на L'Hopital за наоѓање граници ќе се дискутира на практичната настава.
Доволен услов за зголемување (намалување) на функција. Ако изводот на диференцијабилна функција е позитивен (негативен) во одреден интервал, тогаш функцијата се зголемува (намалува) на овој интервал.
Доказ. Размислете за две вредности x 1 и x 2 од овој интервал (нека x 2 > x 1). Според теоремата на Лаграндо на [x 1, x 2] постои точка c во која Теоремата е докажана. Геометриска интерпретација на условот за монотоност на функцијата: ако тангентите на кривата во одреден интервал се насочени под остри агли на оската на апсцисата, тогаш функцијата се зголемува, а ако е под тапи агли, тогаш се намалува (види Слика 3.6 ). Забелешка: неопходниот услов за монотоност е послаб. Ако функцијата се зголемува (намалува) во одреден интервал, тогаш изводот е ненегативен (непозитивен) на овој интервал (односно, во одделни точки изводот на монотона функција може да биде еднаков на нула). Пресметката на дериватот често се наоѓа во задачите за унифициран државен испит. Оваа страница содржи список на формули за наоѓање деривати. Ви претставуваме збирна табела за погодност и јасност при проучувањето на темата. Постојанаy = C Функција на моќност y = x p (x p) " = p x p - 1 Експоненцијална функцијаy = a x (a x) " = a x ln a Особено, когаa = eние имаме y = e x (e x) " = e x Логаритамска функција (log a x) " = 1 x ln a Особено, когаa = eние имаме y = logx (ln x) " = 1 x Тригонометриски функции (грев x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 грев 2 x Инверзни тригонометриски функции (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 Хиперболични функции (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x Дозволете ни да анализираме како се добиени формулите од наведената табела или, со други зборови, ќе го докажеме изведувањето на изводните формули за секој тип на функција. За да ја изведеме оваа формула, како основа ја земаме дефиницијата на изводот на функцијата во точка. Ние користиме x 0 = x, каде xја зема вредноста на кој било реален број, или, со други зборови, xе кој било број од доменот на функцијата f (x) = C. Ајде да ја запишеме границата на односот на зголемување на функцијата со зголемувањето на аргументот како ∆ x → 0: lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0 Ве молиме имајте предвид дека изразот 0 ∆ x спаѓа под знакот за граница. Не е неизвесноста „нула поделена со нула“, бидејќи броителот не содржи бесконечно мала вредност, туку точно нула. Со други зборови, зголемувањето на константна функција е секогаш нула. Значи, изводот на константната функција f (x) = C е еднаков на нула низ целиот домен на дефиниција. Пример 1 Дадени се постојаните функции: f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7 Решение
Да ги опишеме дадените услови. Во првата функција го гледаме изводот на природниот број 3. Во следниот пример, треба да го земете дериватот на А, Каде А- кој било реален број. Третиот пример ни го дава изводот на ирационалниот број 4. 13 7 22, четвртиот е извод на нула (нулата е цел број). Конечно, во петтиот случај го имаме изводот на рационалната дропка - 8 7. Одговор:изводите на дадените функции се нула за која било реална x(во целата област на дефиниција) f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (а) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0" = 0, f 5" (x) = - 8 7" = 0 Да преминеме на функцијата моќност и формулата за нејзиниот извод, која има форма: (x p) " = p x p - 1, каде што експонентот стре кој било реален број. Доказ 2 Еве го доказот за формулата кога експонентот е природен број: p = 1, 2, 3,… Повторно се потпираме на дефиницијата за дериват. Ајде да ја запишеме границата на односот на зголемување на функцијата на моќност до зголемувањето на аргументот: (x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x За да го поедноставиме изразот во броителот, ја користиме биномната формула на Њутн: (x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) стр Така: (x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + .. + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1 Така, ја докажавме формулата за изводот на функцијата моќ кога експонентот е природен број. Доказ 3 Да се обезбедат докази за случајот кога p-кој било реален број освен нула, го користиме логаритамскиот извод (тука треба да ја разбереме разликата од изводот на логаритамска функција). За поцелосно разбирање, препорачливо е да се проучи изводот на логаритамска функција и дополнително да се разбере изводот на имплицитна функција и изводот на сложена функција. Да разгледаме два случаи: кога xпозитивно и кога xнегативен. Значи x> 0. Потоа: x p > 0 . Дозволете да ја логаритаме равенството y = x p на основата e и да го примениме својството на логаритамот: y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x Во оваа фаза, добивме имплицитно одредена функција. Ајде да го дефинираме неговиот дериват: (ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1 Сега го разгледуваме случајот кога x -негативен број. Доколку индикаторот стре парен број, тогаш функцијата моќност е дефинирана за x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1 Потоа x стр< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную. Ако стре непарен број, тогаш функцијата моќност е дефинирана за x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции: y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1 Последната транзиција е можна поради фактот што ако стртогаш е непарен број стр - 1или парен број или нула (за p = 1), значи, за негативен xеднаквоста (- x) p - 1 = x p - 1 е точно. Значи, ја докажавме формулата за извод на функција на моќност за која било реална стр. Пример 2 Дадени функции: f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12 Определи ги нивните деривати. Решение
Некои од дадените функции ги трансформираме во табеларна форма y = x p , врз основа на својствата на степенот, а потоа ја користиме формулата: f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x лог 7 12 = x - лог 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - дневник 7 12 x - дневник 7 12 - 1 = - дневник 7 12 x - дневник 7 12 - дневник 7 7 = - дневник 7 12 x - дневник 7 84 Дозволете ни да ја изведеме дериватната формула користејќи ја дефиницијата како основа: (a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0 Добивме неизвесност. За да ја прошириме, да напишеме нова променлива z = a ∆ x - 1 (z → 0 како ∆ x → 0). Во овој случај, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . За последната транзиција користена е формулата за премин кон нова логаритамска основа. Дозволете ни да го замениме во оригиналната граница: (a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z Да се потсетиме на втората извонредна граница и потоа да ја добиеме формулата за изводот на експоненцијалната функција: (a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a Пример 3 Дадени се експоненцијалните функции: f 1 (x) = 2 3 x, f 2 (x) = 5 3 x, f 3 (x) = 1 (e) x Неопходно е да се најдат нивните деривати. Решение
Ја користиме формулата за изводот на експоненцијалната функција и својствата на логаритамот: f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2" (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x Дозволете ни да обезбедиме доказ за формулата за изводот на логаритамска функција за која било xво доменот на дефиниција и сите дозволени вредности на основата a на логаритамот. Врз основа на дефиницијата за дериват, добиваме: (log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a Од посочениот синџир на еднаквости е јасно дека трансформациите се базирани на својството на логаритамот. Границата на еднаквоста ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e е точно во согласност со втората забележителна граница. Пример 4 Дадени се логаритамските функции: f 1 (x) = log ln 3 x, f 2 (x) = ln x Неопходно е да се пресметаат нивните деривати. Решение
Да ја примениме добиената формула: f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3); f 2 "(x) = (ln x)" = 1 x ln e = 1 x Значи, дериватот на природниот логаритам е поделен со еден x. Ајде да користиме неколку тригонометриски формули и првата прекрасна граница за да ја изведеме формулата за изводот на тригонометриска функција. Според дефиницијата на изводот на синусната функција, добиваме: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x Формулата за разликата на синусите ќе ни овозможи да ги извршиме следните дејства: (грев x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 Конечно, ја користиме првата прекрасна граница: sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x Значи, изводот на функцијата грев хќе cos x. Ќе ја докажеме и формулата за изводот на косинус: cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x Оние. изводот на функцијата cos x ќе биде – грев x. Ние ги изведуваме формулите за деривати на тангента и котангента врз основа на правилата за диференцијација: t g " x = грев x cos x " = грев " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - грев x · (- грев x) cos 2 x = грев 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - грев x · грев x - cos x · cos x грев 2 x = - грев 2 x + cos 2 x грев 2 x = - 1 грев 2 x Делот за дериватот на инверзните функции дава сеопфатни информации за докажувањето на формулите за дериватите на арксин, аркозин, арктангенс и аркотангенс, па затоа нема да го дуплираме материјалот овде. Можеме да ги изведеме формулите за изводите на хиперболичен синус, косинус, тангента и котангента користејќи го правилото за диференцијација и формулата за изводот на експоненцијалната функција: s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s - h h 2 x = Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
. Оттука f(x 2) –f(x 1) =f`(c)(x 2 –x 1). Тогаш за f`(c) > 0 левата страна на неравенката е позитивна, т.е. f(x 2) >f(x 1), а функцијата се зголемува. Whenf`(c)< 0 левая часть неравенства
отрицательна, т.е.f(х 2)
Правила за диференцијација
Ве советуваме да ја зачувате врската, бидејќи оваа табела може да биде потребна многу пати.
Извод на константа
Доказ 1 Извод на функција на моќност
Извод на експоненцијална функција
Доказ 4 Извод на логаритамска функција
Доказ 5 Изводи на тригонометриски функции
Доказ 6 Изводи на инверзни тригонометриски функции
Деривати на хиперболични функции
Доказ 7
Се вчитува...