Проверете дали линиите лежат во иста рамнина. Услов две права да припаѓаат на иста рамнина. Растојание од точка до линија

Оваа статија е за паралелни линии и паралелни линии. Најпрвин е дадена дефиниција на паралелни прави на рамнина и во простор, се воведуваат нотации, се даваат примери и графички илустрации на паралелни прави. Следно, се дискутираат знаците и условите за паралелизам на правите. Како заклучок, прикажани се решенија на типични проблеми за докажување на паралелизам на правите, кои се дадени со одредени равенки на права во правоаголен координатен систем на рамнина и во тродимензионален простор.

Навигација на страница.

Паралелни линии - основни информации.

Дефиниција.

Две линии во рамнината се нарекуваат паралелно, доколку немаат заеднички точки.

Дефиниција.

Се нарекуваат две линии во тродимензионален простор паралелно, ако лежат во иста рамнина и немаат заеднички точки.

Забележете дека клаузулата „ако лежат во иста рамнина“ во дефиницијата за паралелни прави во просторот е многу важна. Да ја разјасниме оваа точка: две прави во тридимензионален простор кои немаат заеднички точки и не лежат во иста рамнина не се паралелни, туку се пресекуваат.

Еве неколку примери на паралелни прави. Спротивните рабови на листот на тетратката лежат на паралелни линии. Правите линии по кои рамнината на ѕидот на куќата ги пресекува рамнините на таванот и подот се паралелни. Железничките шини на рамен терен може да се сметаат и како паралелни линии.

За да означите паралелни линии, користете го симболот „“. Односно, ако правите a и b се паралелни, тогаш можеме накратко да напишеме a b.

Забележете: ако правите a и b се паралелни, тогаш можеме да кажеме дека правата a е паралелна со правата b, а исто така и дека правата b е паралелна на правата a.

Да искажеме изјава која игра важна улога во проучувањето на паралелните прави на рамнина: низ точка што не лежи на дадена права, поминува единствената права линија паралелна на дадената. Овој исказ е прифатен како факт (не може да се докаже врз основа на познатите аксиоми на планиметријата), а се нарекува аксиома на паралелни прави.

За случајот во просторот важи теоремата: низ која било точка во просторот што не лежи на дадена права, поминува една права линија паралелна на дадената. Оваа теорема лесно се докажува со помош на горната аксиома на паралелни прави (нејзиниот доказ можете да го најдете во учебникот по геометрија за 10-11 одделение, кој е наведен на крајот од статијата во списокот на референци).

За случајот во просторот важи теоремата: низ која било точка во просторот што не лежи на дадена права, поминува една права линија паралелна на дадената. Оваа теорема може лесно да се докаже со помош на горната аксиома на паралелна линија.

Паралелизам на прави - знаци и услови на паралелизам.

Знак за паралелизам на линиитее доволен услов правата да бидат паралелни, односно услов чие исполнување гарантира дека правите се паралелни. Со други зборови, исполнувањето на овој услов е доволно за да се утврди фактот дека линиите се паралелни.

Исто така, постојат неопходни и доволни услови за паралелизам на правите на рамнина и во тродимензионален простор.

Да го објасниме значењето на фразата „неопходен и доволен услов за паралелни линии“.

Веќе се занимававме со доволниот услов за паралелни линии. Што е „неопходен услов за паралелни линии“? Од името „неопходно“ е јасно дека исполнувањето на овој услов е неопходно за паралелни линии. Со други зборови, ако не е исполнет потребниот услов правата да бидат паралелни, тогаш правата не се паралелни. Така, неопходен и доволен услов за паралелни линиие услов чие исполнување е и неопходно и доволно за паралелни прави. Тоа е, од една страна, ова е знак за паралелизам на правите, а од друга страна, ова е својство што го имаат паралелните прави.

Пред да се формулира неопходен и доволен услов за паралелизам на правите, препорачливо е да се потсетиме на неколку помошни дефиниции.

Пресечна линијае права која ја сече секоја од двете дадени прави кои не се совпаѓаат.

Кога две прави линии се сечат со трансверзала, се формираат осум неразвиени. Т.н лежи вкрстено, соодветноИ еднострани агли. Ајде да ги покажеме на цртежот.

Теорема.

Ако две прави во една рамнина се пресечени со трансверзала, тогаш за тие да бидат паралелни потребно е и доволно аглите што се пресекуваат да бидат еднакви, или соодветните агли се еднакви или збирот на едностраните агли да биде еднаков на 180 степени.

Дозволете ни да прикажеме графичка илустрација на овој неопходен и доволен услов за паралелизам на правите на рамнина.

Доказите за овие услови за паралелизам на правите можете да ги најдете во учебниците по геометрија за 7-9 одделение.

Забележете дека овие услови може да се користат и во тродимензионален простор - главната работа е што двете прави линии и секантата лежат во иста рамнина.

Еве уште неколку теореми кои често се користат за докажување на паралелизмот на правите.

Теорема.

Ако две прави во рамнината се паралелни со трета права, тогаш тие се паралелни. Доказот за овој критериум произлегува од аксиомата на паралелни прави.

Сличен услов има и за паралелни линии во тродимензионален простор.

Теорема.

Ако две прави во просторот се паралелни со трета права, тогаш тие се паралелни. Доказот за овој критериум се дискутира на часовите по геометрија во 10-то одделение.

Да ги илустрираме наведените теореми.

Да претставиме уште една теорема која ни овозможува да ја докажеме паралелизмот на правите на рамнина.

Теорема.

Ако две прави во рамнината се нормални на трета права, тогаш тие се паралелни.

Постои слична теорема за правите во просторот.

Теорема.

Ако две прави во тродимензионалниот простор се нормални на иста рамнина, тогаш тие се паралелни.

Дозволете ни да нацртаме слики што одговараат на овие теореми.

Сите теореми, критериуми и неопходни и доволни услови формулирани погоре се одлични за докажување на паралелизам на правите со помош на методите на геометријата. Односно, за да ја докажете паралелноста на две дадени прави, треба да покажете дека тие се паралелни со трета права, или да ја покажете еднаквоста на вкрстените агли итн. Многу слични проблеми се решаваат на часовите по геометрија во средно училиште. Сепак, треба да се забележи дека во многу случаи е погодно да се користи методот на координати за да се докаже паралелизмот на линиите на рамнина или во тродимензионален простор. Дозволете ни да ги формулираме неопходните и доволни услови за паралелизам на правите што се наведени во правоаголен координатен систем.

Паралелизам на правите во правоаголен координатен систем.

Во овој став од статијата ќе формулираме неопходни и доволни услови за паралелни линииво правоаголен координатен систем, во зависност од видот на равенките што ги дефинираат овие права, а ќе дадеме и детални решенија за карактеристичните проблеми.

Да почнеме со условот за паралелизам на две прави на рамнина во правоаголниот координатен систем Окси. Неговиот доказ се заснова на дефиницијата за векторот на насоката на правата и дефиницијата на нормалниот вектор на правата на рамнината.

Теорема.

За две прави кои не се совпаѓаат да бидат паралелни во една рамнина, потребно е и доволно векторите на насоката на овие прави да бидат колинеарни, или нормалните вектори на овие прави се колинеарни, или векторот на насоката на една права е нормален на нормалата. вектор на втората линија.

Очигледно, условот за паралелизам на две прави на рамнина е намален на (вектори на правци или нормални вектори на прави) или на (вектор на насока на една права и нормален вектор на втората права). Така, ако и се вектори на насоката на правите a и b, и И се нормални вектори на правите a и b, соодветно, тогаш потребниот и доволен услов за паралелизам на правите a и b ќе се запише како , или , или , каде што t е некој реален број. За возврат, координатите на водичите и (или) нормалните вектори на линиите a и b се наоѓаат со помош на познатите равенки на линии.

Конкретно, ако права линија a во правоаголниот координатен систем Oxy на рамнината дефинира општа права линија равенка на формата , и права линија b - , тогаш нормалните вектори на овие прави имаат координати и соодветно, а условот за паралелизам на правите a и b ќе се запише како .

Ако правата a одговара на равенката на правата со аголен коефициент на формата, и правата b -, тогаш нормалните вектори на овие прави имаат координати и, а условот за паралелизам на овие прави има форма . Следствено, ако линиите на рамнината во правоаголен координатен систем се паралелни и можат да се специфицираат со равенки на прави со аголни коефициенти, тогаш аголните коефициенти на правите ќе бидат еднакви. И обратно: ако несовпаѓачките линии на рамнина во правоаголен координатен систем може да се специфицираат со равенки на права со еднакви аголни коефициенти, тогаш таквите линии се паралелни.

Ако права a и права b во правоаголен координатен систем се определуваат со канонските равенки на права на рамнина од формата И , или параметарски равенки на права линија на рамнина на формата И соодветно, векторите на насоката на овие прави имаат координати и , а условот за паралелизам на правите a и b се запишува како .

Ајде да погледнеме решенија за неколку примери.

Пример.

Дали линиите се паралелни? И ?

Решение.

Дозволете ни да ја преработиме равенката на права во отсечки во форма на општа равенка на права: . Сега можеме да видиме дека е нормалниот вектор на правата , a е нормален вектор на правата. Овие вектори не се колинеарни, бидејќи не постои реален број t за кој еднаквоста ( ). Следствено, не е задоволен нужниот и доволен услов за паралелизам на правите на рамнина, па затоа дадените прави не се паралелни.

Одговор:

Не, линиите не се паралелни.

Пример.

Дали правите линии се паралелни?

Решение.

Да ја намалиме канонската равенка на права линија на равенката на права линија со аголен коефициент: . Очигледно, равенките на правите не се исти (во овој случај, дадените линии би биле исти) и аголните коефициенти на правите се еднакви, затоа, оригиналните линии се паралелни.

Правите линии лежат во истата рамнина. ако тие 1) се сечат, 2) се паралелни.

За правите L 1: и L 2: да припаѓаат на иста рамнина  така што векторите М 1 М 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), q 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) и q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) беа компланарни. Односно, според условот на компланарност на три вектори, мешаниот производ М 1 М 2 ·s 1 ·s 2 =Δ==0 (8)

Бидејќи условот за паралелизам на две прави има форма: потоа за пресек на правите L 1 и L 2 , така што тие го задоволуваат условот (8) и барем една од пропорциите е повредена.

Пример. Истражете ги релативните позиции на линиите:

Вектор на насока на права линија L 1 - q 1 =(1;3;-2). Правата L 2 е дефинирана како пресек на 2 рамнини α 1: x-y-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. Бидејќи линијата L 2 лежи во двете рамнини, тогаш таа, а со тоа и неговиот векторот на насоката, е нормална на нормата n 1 И n 2 . Затоа, векторот на насоката с 2 е вкрстен производ на вектори n 1 И n 2 , т.е. q 2 =n 1 X n 2 ==-јас-3ј+2к.

Тоа. с 1 =-с 2 , Ова значи дека линиите се или паралелни или совпаѓаат.

За да провериме дали правата се совпаѓаат, координатите на точката M 0 (1;2;-1)L 1 ги заменуваме во општите равенки L 2: 1-2+2+1=0 - неточни еднаквости, т.е. точка M 0 L 2,

затоа правите се паралелни.

Растојание од точка до права.

Растојанието од точката M 1 (x 1; y 1; z 1) до правата линија L, дадена со канонската равенка L: може да се пресмета со помош на векторскиот производ.

Од канонската равенка на права линија следува дека точката M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L и векторот на насоката на правата линија q=(l;m;n)

Ајде да изградиме паралелограм користејќи вектори qИ М 0 М 1 . Тогаш растојанието од точката M 1 до права линија L е еднакво на висината h на овој паралелограм. Бидејќи S=| q x М 0 М 1 |=h| q|, тогаш

h= (9)

Растојанието помеѓу две прави линии во просторот.

L 1: и L 2:

1) L 1 L 2 .

d=

2) L 1 и L 2 – вкрстување

d=

Релативната положба на права линија и рамнина во вселената.

За локацијата на права линија и рамнина во вселената, можни се 3 случаи:

права линија и рамнина се сечат во една точка;

правата линија и рамнината се паралелни;

правата линија лежи во рамнината.

Нека правата е дадена со нејзината канонска равенка, а рамнината - со општата

α: Ах+Бу+Сz+D=0

Равенките на правата ја даваат точката M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L и векторот на насоката q=(l;m;n), а равенката на рамнината е нормален вектор n=(A;B;C).

1. Пресек на права и рамнина.

Ако правата и рамнината се сечат, тогаш векторот на насоката на правата qне е паралелна со рамнината α, и затоа не е ортогонална на нормалниот вектор на рамнината n.Оние. нивниот производ со точки nq≠0 или, преку нивните координати,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

Да ги одредиме координатите на точката М - точки на пресек на права L и рамнина α.

Да преминеме од канонската равенка на правата на параметарската: , tR

Ајде да ги замениме овие односи во равенката на рамнината

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0,y 0,z 0 - се познати, ајде да го најдеме параметарот t:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

ако Am+Bn+Cp≠0, тогаш равенката има единствено решение кое ги одредува координатите на точката М:

t M = -→ (11)

Аголот помеѓу права линија и рамнина. Услови на паралелизам и перпендикуларност.

Агол φ помеѓу права линија L :

со водич вектор q=(l;m;n) и рамнина

: Ах+Ву+Сz+D=0 со нормален вектор n=(A;B;C) се движи од 0˚ (во случај на паралелна права и рамнина) до 90˚ (во случај на нормална права и рамнина). (Аголот помеѓу векторот qи неговата проекција на рамнината α).

– агол помеѓу вектори qИ n.

Бидејќи аголот  помеѓу правата L и рамнината  е комплементарен на аголот , тогаш sin φ=sin(-)=cos =- (се смета апсолутната вредност бидејќи аголот φ е акутен sin φ=sin( -) или sin φ =sin(+) во зависност од насоката на права линија L)

Поглавје IV. Прави линии и рамнини во вселената. Полиедра

§ 46. Меѓусебно распоредување на линиите во просторот

Во вселената, две различни линии може или не може да лежат во иста рамнина. Да ги погледнеме релевантните примери.

Нека точките A, B, C не лежат на иста права линија. Ајде да нацртаме авион низ нив Ри изберете некоја точка S што не припаѓа на рамнината Р(сл. 130).

Тогаш правите линии AB и BC лежат во иста рамнина, имено во рамнината Р, прави линии AS и CB не лежат во иста рамнина. Навистина, ако лежат во иста рамнина, тогаш точките A, B, C, S исто така би лежеле во оваа рамнина, што е невозможно, бидејќи S не лежи во рамнината што минува низ точките A, B, C.

Две различни прави кои лежат во иста рамнина и не се сечат се нарекуваат паралелни. Линиите кои се совпаѓаат се нарекуваат и паралелни. Ако директно 1 1 и 1 2 паралелно, па напишете 1 1 || 1 2 .

Така, 1 1 || 1 2 ако, прво, има авион Ртакви што
1 1 РИ 1 2 Ри второ, или 1 1 1 2 = или 1 1 = 1 2 .

Две прави кои не лежат во иста рамнина се нарекуваат коси линии. Очигледно, линиите што се пресекуваат не се сечат и не се паралелни.

Да докажеме едно важно својство на паралелните прави, кое се нарекува транзитивност на паралелизмот.

Теорема. Ако две прави се паралелни на трета, тогаш тие се паралелни една со друга.

Нека 1 1 || 1 2 и 1 2 || 1 3. Тоа е неопходно да се докаже 1 1 || 1 3

Ако директно 1 1 , 1 2 , 1 3 лежат во иста рамнина, тогаш оваа изјава се докажува во планиметријата. Ќе претпоставиме дека правите линии 1 1 , 1 2 , 1 3 не лежат во иста рамнина.

Преку прави линии 1 1 и 1 2 нацртајте авион Р 1, и преку 1 2 и 1 3 - авион Р 2 (сл. 131).

Имајте на ум дека права линија 1 3 содржи најмалку една точка М која не припаѓа на рамнината
Р 1 .

Нацртајте рамнина низ права линија и посочете М Р 3, кој ја пресекува рамнината Р 2 по некоја права линија л. Да го докажеме тоа лсе совпаѓа со 1 3. Ќе го докажеме тоа „со контрадикторност“.

Да претпоставиме дека правата линија 1 не се совпаѓа со права линија 1 3. Потоа 1 вкрстува линија 1 2 во одреден момент A. Следи дека рамнината Р 3 минува низ точката А Р 1 и директно 1 1 Р 1 и затоа се совпаѓа со авионот Р 1 . Овој заклучок е во спротивност со фактот дека точката М Р 3 не припаѓа на авионот Р 1 .
Затоа, нашата претпоставка е неточна, и затоа 1 = 1 3 .

Така, докажано е дека правите линии 1 1 и 1 3 лежат во иста рамнина Р 3. Да докажеме дека правите линии 1 1 и 1 3 не се вкрстуваат.

Навистина, ако 1 1 и 1 3 се сечат, на пример, во точката Б, потоа рамнината Р 2 ќе помине низ права линија 1 2 и преку точка Б 1 1 и, според тоа, ќе се совпадне со Р 1, што е невозможно.

Задача.Докажете дека аглите со страни во истонасочни страни имаат еднакви димензии.

Нека аглите MAN и M 1 A 1 N 1 имаат истонасочни страни: зракот AM е истовремено насочен со зракот A 1 M 1, а зракот AN е истовремено насочен со зракот A 1 N 1 (сл. 132).

На зраците AM и A 1 M 1 ќе ги поставиме отсечките AB и A 1 B 1 еднакви по должина. Потоа

|| и |BB 1 | = |AA 1 |

како спротивни страни на паралелограм.

Слично на тоа, на зраците AN и A 1 N 1 ќе ги нацртаме отсечките AC и A 1 C 1 еднакви по должина. Потоа

|| и |CC 1 | = |AA 1 |

Од транзитивноста на паралелизмот произлегува дека || . И бидејќи |BB 1 | = |CC 1 | , тогаш BB 1 C 1 C е паралелограм, и затоа |BC| = |B 1 C 1 |.
Оттука, /\ ABC /\ A 1 B 1 C 1 и .

Видео курсот „Земи А“ ги вклучува сите теми неопходни за успешно полагање на Единствениот државен испит по математика со 60-65 поени. Целосно сите задачи 1-13 од Профил унифициран државен испит по математика. Погоден е и за полагање на Основен унифициран државен испит по математика. Ако сакате да го положите обединетиот државен испит со 90-100 поени, првиот дел треба да го решите за 30 минути и без грешки!

Подготвен курс за Единствен државен испит за 10-11 одделение, како и за наставници. Сè што ви треба за да го решите Дел 1 од Единствениот државен испит по математика (првите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрија). И ова се повеќе од 70 поени на обединет државен испит и без нив не може ниту студент од 100, ниту студент на хуманитарни науки.

Целата потребна теорија. Брзи решенија, замки и тајни на Единствениот државен испит. Анализирани се сите тековни задачи од дел 1 од FIPI Task Bank. Курсот целосно е во согласност со барањата на Единствениот државен испит 2018 година.

Курсот содржи 5 големи теми, по 2,5 часа. Секоја тема е дадена од нула, едноставно и јасно.

Стотици задачи за обединет државен испит. Проблеми со зборови и теорија на веројатност. Едноставни и лесни за паметење алгоритми за решавање проблеми. Геометрија. Теорија, референтен материјал, анализа на сите видови задачи за унифициран државен испит. Стереометрија. Слабо решенија, корисни мамечки листови, развој на просторна имагинација. Тригонометрија од почеток до проблем 13. Разбирање наместо набивање. Јасни објаснувања на сложените концепти. Алгебра. Корени, моќи и логаритми, функција и извод. Основа за решавање на сложени проблеми од Дел 2 од Единствениот државен испит.

За две линии во просторот, можни се четири случаи:

Правите линии се совпаѓаат;

Линиите се паралелни (но не се совпаѓаат);

Линиите се сечат;

Правите линии се вкрстуваат, т.е. немаат заеднички точки и не се паралелни.

Ајде да разгледаме два начини за опишување прави линии: канонски равенки и општи равенки. Нека правите L 1 и L 2 се дадени со канонски равенки:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6,9)

За секоја права од нејзините канонски равенки веднаш ја одредуваме точката на неа M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ​​· z 2) ∈ L 2 и координатите од векторите на насоката s 1 = (l 1; m 1; n 1) за L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) за L 2.

Ако линиите се совпаѓаат или се паралелни, тогаш нивните вектори на насока s 1 и s 2 се колинеарни, што е еквивалентно на еднаквоста на односите на координатите на овие вектори:

l 1 / l 2 = m 1 / m 2 = n 1 / n 2. (6.10)

Ако линиите се совпаѓаат, тогаш векторот M 1 M 2 е колинеарен со векторите на насоката:

(x 2 - x 1) / l 1 = (y 2 - y 1) / m 1 = (z 2 - z 1) / n 1. (6.11)

Оваа двојна еднаквост значи и дека точката M 2 припаѓа на правата L 1. Следствено, условот за линиите да се совпаѓаат е да се задоволат еднаквостите (6.10) и (6.11) истовремено.

Ако линиите се сечат или се вкрстуваат, тогаш нивните вектори на насока се неколинеарни, т.е. е повреден условот (6.10). Пресечните линии лежат во иста рамнина и затоа, вектори s 1 , s 2 и M 1 M 2 се компланарниодредница од трет ред, составени од нивните координати (види 3.2):

Условот (6.12) е задоволен во три од четири случаи, бидејќи за Δ ≠ 0 правата не припаѓаат на иста рамнина и затоа се сечат.

Ајде да ги собереме сите услови:

Релативната положба на линиите се карактеризира со бројот на решенија на системот (6.13). Ако линиите се совпаѓаат, тогаш системот има бесконечно многу решенија. Ако линиите се сечат, тогаш овој систем има единствено решение. Во случај на паралелно или вкрстување, нема директни решенија. Последните два случаи може да се разделат со наоѓање на векторите на насоката на линиите. За да го направите ова, доволно е да пресметате два векторско уметничко дело n 1 × n 2 и n 3 × n 4, каде што n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. Ако добиените вектори се колинеарни, тогаш дадените линии се паралелни. Во спротивно тие се вкрстуваат.

Пример 6.4.

Векторот на насоката s 1 на права линија L 1 е пронајден со помош на канонските равенки на оваа права линија: s 1 = (1; 3; -2). Векторот на насоката s 2 на правата линија L 2 се пресметува со помош на векторскиот производ на нормалните вектори на рамнините чиј пресек е:

Бидејќи s 1 = -s 2, тогаш линиите се паралелни или се совпаѓаат. Дозволете ни да дознаеме која од овие ситуации е реализирана за овие редови. За да го направите ова, ги заменуваме координатите на точката M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 во општите равенки на правата линија L 2 . За првиот од нив добиваме 1 = 0. Следствено, точката M 0 не припаѓа на правата L 2 и правите што се разгледуваат се паралелни.

Агол помеѓу прави линии. Аголот помеѓу две прави линии може да се најде со користење насока векторидиректно Остриот агол помеѓу правите линии е еднаков на аголот помеѓу векторите на нивните правци (сл. 6.5) или е дополнителен на него ако аголот помеѓу векторите на насоката е тап. Така, ако за линиите L 1 и L 2 се познати нивните вектори на насока s x и s 2, тогаш акутниот агол φ помеѓу овие линии се одредува преку скаларниот производ:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

На пример, нека s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. Користење на формулите (2.9) и (2.14) за пресметување должина на вектороти скаларен производ во координати, добиваме