Дистрибуција на Пирсон (дистрибуција на хи-квадрат). Класични методи на статистика: хи-квадрат тест Кси квадратна дистрибуција

Дистрибуцијата хи-квадрат е една од најкористените во статистиката за тестирање на статистичките хипотези. Врз основа на дистрибуцијата на хи-квадрат, конструиран е еден од најмоќните тестови за доброто на вклопувањето - Пирсоновиот хи-квадрат тест.

Критериумот на согласност е критериумот за тестирање на хипотезата за претпоставениот закон на непозната распределба.

Тестот χ2 (хи-квадрат) се користи за тестирање на хипотезата за различни распределби. Ова е неговото достоинство.

Формулата за пресметка на критериумот е еднаква на

каде што m и m’ се емпириски и теоретски фреквенции, соодветно

дистрибуцијата за која станува збор;

n е бројот на степени на слобода.

За да провериме, треба да ги споредиме емпириските (набљудувани) и теоретските (пресметани под претпоставка за нормална дистрибуција) фреквенции.

Ако емпириските фреквенции целосно се совпаѓаат со пресметаните или очекуваните фреквенции, S (E – T) = 0 и х2 критериумот исто така ќе биде еднаков на нула. Ако S (E – T) не е еднакво на нула, тоа ќе укаже на несовпаѓање помеѓу пресметаните фреквенции и емпириските фреквенции од серијата. Во такви случаи, неопходно е да се оцени значајноста на критериумот χ2, кој теоретски може да варира од нула до бесконечност. Ова се прави со споредување на реално добиената вредност на χ2ф со неговата критична вредност (χ2st).Нултата хипотеза, односно претпоставката дека несовпаѓањето помеѓу емпириската и теоретската или очекуваните фреквенции е случајна, се побива ако χ2ф е поголема или еднаква на χ2-та за прифатеното ниво на значајност (а) и бројот на степени на слобода (n).

Распределбата на веројатните вредности на случајната променлива χ2 е континуирана и асиметрична. Тоа зависи од бројот на степени на слобода (n) и се приближува до нормална дистрибуција како што се зголемува бројот на набљудувања. Според тоа, примената на х2 критериумот при оценувањето дискретни распределбие поврзан со некои грешки кои влијаат на неговата вредност, особено кај малите примероци. За да се добијат попрецизни проценки, се дистрибуира примерок во варијација серија, мора да има најмалку 50 опции. Правилната примена на критериумот χ2 исто така бара фреквенциите на варијантите во екстремните класи да не бидат помали од 5; ако ги има помалку од 5, тогаш тие се комбинираат со фреквенциите на соседните класи така што вкупниот износ е поголем или еднаков на 5. Според комбинацијата на фреквенции, бројот на класи (N) се намалува. Бројот на степени на слобода се утврдува со секундарниот број на класи, земајќи го предвид бројот на ограничувања на слободата на варијација.

Бидејќи точноста на определувањето на х2 критериумот во голема мера зависи од точноста на пресметувањето на теоретските фреквенции (Т), незаокружените теоретски фреквенции треба да се користат за да се добие разликата помеѓу емпириските и пресметаните фреквенции.

Како пример, да земеме студија објавена на веб-локација посветена на употребата на статистички методиво хуманистичките науки.

Тестот Хи-квадрат ви овозможува да ги споредите дистрибуциите на фреквенција без разлика дали тие се нормално распределени или не.

Фреквенцијата се однесува на бројот на појавувања на некој настан. Вообичаено, зачестеноста на појавата на настаните се решава кога променливите се мерат на скала од имиња и нивните други карактеристики, освен зачестеноста, се невозможни или проблематични за избор. Со други зборови, кога променливата има квалитативни карактеристики. Исто така, многу истражувачи имаат тенденција да ги претворат резултатите од тестовите во нивоа (високи, просечни, ниски) и да градат табели со распределба на резултати за да го откријат бројот на луѓе на овие нивоа. За да се докаже дека во едно од нивоата (во една од категориите) бројот на луѓе е навистина поголем (помалку) се користи и коефициентот Хи-квадрат.

Да го погледнеме наједноставниот пример.

Беше спроведен тест меѓу помладите адолесценти за да се идентификува самодовербата. Резултатите од тестот беа претворени во три нивоа: високо, средно, ниско. Фреквенциите беа дистрибуирани на следниов начин:

Висок (Б) 27 луѓе.

Просечно (C) 12 луѓе.

Ниско (L) 11 лица

Очигледно е дека поголемиот дел од децата имаат висока самодоверба, но тоа треба статистички да се докаже. За да го направите ова, го користиме тестот Хи-квадрат.

Наша задача е да провериме дали добиените емпириски податоци се разликуваат од теоретски подеднакво веројатните. За да го направите ова, треба да ги пронајдете теоретските фреквенции. Во нашиот случај, теоретските фреквенции се подеднакво веројатни фреквенции, кои се наоѓаат со собирање на сите фреквенции и делење со бројот на категории.

Во нашиот случај:

(B + C + H)/3 = (27+12+11)/3 = 16,6

Формула за пресметување на хи-квадрат тест:

χ2 = ∑(E - T)I / T

Ја градиме табелата:

Најдете го збирот на последната колона:

Сега треба да ја пронајдете критичната вредност на критериумот користејќи ја табелата со критични вредности (Табела 1 во Додатокот). За да го направите ова, потребен ни е бројот на степени на слобода (n).

n = (R - 1) * (C - 1)

каде што R е бројот на редови во табелата, C е бројот на колони.

Во нашиот случај, има само една колона (се мисли на оригиналните емпириски фреквенции) и три реда (категории), така што формулата се менува - ги исклучуваме колоните.

n = (R - 1) = 3-1 = 2

За веројатноста за грешка p≤0,05 и n = 2, критичната вредност е χ2 = 5,99.

Добиената емпириска вредност е поголема од критичната - разликите во фреквенциите се значајни (χ2= 9,64; p≤0,05).

Како што можете да видите, пресметувањето на критериумот е многу едноставно и не зазема многу време. Практичната вредност на хи-квадрат тестот е огромна. Овој метод е највреден кога се анализираат одговорите на прашалниците.

Ајде да погледнеме покомплексен пример.

На пример, психолог сака да знае дали е вистина дека наставниците се попристрасни кон момчињата отколку кон девојчињата. Оние. со поголема веројатност да ги фалат девојките. За да го направите ова, психологот ги анализираше карактеристиките на учениците напишани од наставниците за зачестеноста на појавувањето на три збора: „активен“, „вреден“, „дисциплиниран“, а исто така беа избројани и синоними на зборовите. Податоците за фреквенцијата на појавување на зборови беа внесени во табелата:

За обработка на добиените податоци го користиме хи-квадрат тестот.

За да го направите ова, ќе изградиме табела за дистрибуција на емпириски фреквенции, т.е. оние фреквенции што ги набљудуваме:

Теоретски очекуваме дека фреквенциите ќе бидат подеднакво распределени, т.е. фреквенцијата ќе биде пропорционално распределена помеѓу момчињата и девојчињата. Ајде да изградиме табела на теоретски фреквенции. За да го направите ова, помножете го збирот на редови со збирот на колоните и поделете го добиениот број со вкупниот збир (и).

Конечната табела за пресметки ќе изгледа вака:

χ2 = ∑(E - T)I / T

n = (R - 1), каде што R е бројот на редови во табелата.

Во нашиот случај, хи-квадрат = 4,21; n = 2.

Користејќи ја табелата со критични вредности на критериумот, наоѓаме: со n = 2 и ниво на грешка од 0,05, критичната вредност е χ2 = 5,99.

Добиената вредност е помала од критичната вредност, што значи дека нултата хипотеза е прифатена.

Заклучок: наставниците не придаваат значење на полот на детето кога му пишуваат карактеристики.

Заклучок.

К. Пирсон даде значаен придонес во развојот математичка статистика(голем број на фундаментални концепти). Главната филозофска позиција на Пирсон е формулирана на следниов начин: концептите на науката се вештачки конструкции, средства за опишување и подредување на сетилно искуство; правилата за нивно поврзување во научни реченици се изолирани од граматиката на науката, која е филозофија на науката. Универзалната дисциплина - применета статистика - ни овозможува да поврземе различни концепти и појави, иако според Пирсон таа е субјективна.

Многу од конструкциите на К. Пирсон се директно поврзани или развиени со користење на антрополошки материјали. Развил бројни методи на нумеричка класификација и статистички критериуми кои се користат во сите области на науката.

Литература.

1. Богољубов А.Н. Математика. Механика. Биографска референтна книга. - Киев: Наукова Думка, 1983 година.

2. Колмогоров А.Н., Јушкевич А.П. (уред.). Математика од 19 век. - М.: Наука. - Т.И.

3. 3. Боровков А.А. Статистика по математика. М.: Наука, 1994 година.

4. 8. Feller V. Вовед во теоријата на веројатност и нејзините примени. - М.: Мир, Т.2, 1984 година.

5. 9. Харман Г., Модерна факторска анализа. - М.: Статистика, 1972 година.

Пред крајот на XIXвек, нормалната дистрибуција се сметаше за универзален закон за варијација во податоците. Сепак, К. Пирсон забележа дека емпириските фреквенции може многу да се разликуваат од нормалната дистрибуција. Се појави прашањето како да се докаже ова. Не се бараше само графичка споредба, која е субјективна, туку и строго квантитативно оправдување.

Така е измислен критериумот χ 2(хи квадрат), кој го тестира значењето на несовпаѓањето помеѓу емпириските (набљудуваните) и теоретските (очекуваните) фреквенции. Ова се случило во далечната 1900 година, но критериумот се користи и денес. Покрај тоа, тој е прилагоден да решава широк спектар на проблеми. Пред се, ова е анализа на категорични податоци, т.е. оние кои се изразуваат не по количина, туку со припадност на некоја категорија. На пример, класата на автомобилот, полот на учесникот во експериментот, видот на растението итн. Математичките операции како собирање и множење не можат да се применат на таквите податоци; фреквенциите може да се пресметаат само за нив.

Ги означуваме набљудуваните фреквенции За (забележано), очекувано - Е (Очекувано). Како пример, да го земеме резултатот од тркалање матрица 60 пати. Ако е симетрична и униформа, веројатноста да се добие која било страна е 1/6 и затоа очекуваниот број на добивање на секоја страна е 10 (1/6∙60). Набљудуваните и очекуваните фреквенции ги запишуваме во табела и цртаме хистограм.

Нултата хипотеза е дека фреквенциите се конзистентни, односно, вистинските податоци не се во спротивност со очекуваните податоци. Алтернативна хипотеза е дека отстапувањата во фреквенциите ги надминуваат случајните флуктуации, отстапувањата се статистички значајни. За да извлечеме ригорозен заклучок, ни треба.

1. Збирна мерка за несовпаѓање помеѓу набљудуваните и очекуваните фреквенции.
2. Распределбата на оваа мерка ако е вистинита хипотезата дека нема разлики.

Да почнеме со растојанието помеѓу фреквенциите. Ако ја земете само разликата О - Е, тогаш таквата мерка ќе зависи од скалата на податоците (фреквенциите). На пример, 20 - 5 = 15 и 1020 - 1005 = 15. Во двата случаи, разликата е 15. Но, во првиот случај, очекуваните фреквенции се 3 пати помали од набљудуваните, а во вториот случај - само 1,5 %. Ни треба релативна мерка која не зависи од обемот.

Да обрнеме внимание на следните факти. Општо земено, бројот на категории во кои се мерат фреквенциите може да биде многу поголем, така што веројатноста дека едно набљудување ќе падне во една или друга категорија е прилично мала. Ако е така, тогаш распределбата на таква случајна променлива ќе го почитува законот за ретки настани, познат како Поасоновиот закон. Во законот на Поасон, како што е познато, вредноста на математичкото очекување и варијансата се совпаѓаат (параметар λ ). Ова значи дека очекуваната фреквенција за некоја категорија на номиналната променлива Е јасќе биде симултана и нејзина дисперзија. Понатаму, законот на Поасон се стреми кон нормала со голем број на набљудувања. Со комбинирање на овие два факти, добиваме дека ако хипотезата за усогласеноста помеѓу набљудуваните и очекуваните фреквенции е точна, тогаш, со голем број на набљудувања, изразување

Важно е да се запамети дека нормалноста ќе се појави само на доволно високи фреквенции. Во статистиката, општо е прифатено дека вкупниот број на набљудувања (збир на фреквенции) мора да биде најмалку 50, а очекуваната фреквенција во секоја градација мора да биде најмалку 5. Само во овој случај, вредноста прикажана погоре има стандардна нормална дистрибуција . Да претпоставиме дека овој услов е исполнет.

Стандардната нормална дистрибуција ги има скоро сите вредности во рамките на ±3 (правило три сигма). Така, ја добивме релативната разлика во фреквенциите за една градација. Ни треба генерализирана мерка. Не можете само да ги соберете сите отстапувања - добиваме 0 (погодете зошто). Пирсон предложи да се соберат квадратите на овие отстапувања.

Ова е знакот Хи-квадрат тест Пирсон. Ако фреквенциите навистина одговараат на очекуваните, тогаш вредноста на критериумот ќе биде релативно мала (бидејќи повеќето отстапувања се околу нула). Но, ако критериумот се испостави дека е голем, тогаш ова укажува на значителни разлики помеѓу фреквенциите.

Пирсоновиот критериум станува „голем“ кога појавата на таква или уште поголема вредност станува малку веројатна. А за да се пресмета таквата веројатност, неопходно е да се знае распределбата на критериумот кога експериментот се повторува многу пати, кога хипотезата за договор на фреквенцијата е точна.

Како што е лесно да се види, вредноста на хи-квадратот зависи и од бројот на термини. Колку повеќе ги има, толку е поголема вредноста што треба да ја има критериумот, бидејќи секој поим ќе придонесе за вкупниот број. Затоа, за секоја количина независнауслови, ќе има своја дистрибуција. Излегува дека χ 2е цело семејство на дистрибуции.

И тука доаѓаме до еден деликатен момент. Што е број независнауслови? Се чини дека секој термин (т.е. отстапување) е независен. Така мислеше и К. Пирсон, но се покажа дека не е во право. Всушност, бројот на независни членови ќе биде еден помал од бројот на градации на номиналната променлива n. Зошто? Бидејќи ако имаме примерок за кој веќе е пресметан збирот на фреквенции, тогаш една од фреквенциите секогаш може да се определи како разлика помеѓу вкупниот број и збирот на сите други. Оттука, варијацијата ќе биде нешто помала. Роналд Фишер го забележал овој факт 20 години откако Пирсон го развил својот критериум. Дури и масите мораа да се преработат.

Во оваа прилика, Фишер воведе нов концепт во статистиката - степен на слобода(степени на слобода), што го претставува бројот на независни членови во збирот. Концептот на степени на слобода има математичко објаснување и се појавува само во распределбите поврзани со нормалата (Student's, Fisher-Snedecor и самиот хи-квадрат).

За подобро да го сфатиме значењето на степените на слобода, да се свртиме кон физички аналог. Ајде да замислиме точка која слободно се движи во вселената. Има 3 степени на слобода, бидејќи може да се движи во која било насока во тридимензионален простор. Ако точката се движи по која било површина, тогаш таа веќе има два степени на слобода (напред и назад, лево и десно), иако продолжува да биде во тродимензионален простор. Точка која се движи по пружина повторно е во тродимензионален простор, но има само еден степен на слобода, бидејќи може да се движи напред или назад. Како што можете да видите, просторот каде што се наоѓа објектот не секогаш одговара на вистинската слобода на движење.

Приближно на ист начин, распределбата на статистичкиот критериум може да зависи од помал број елементи од термините потребни за негово пресметување. Генерално, бројот на степени на слобода е помал од бројот на набљудувања според бројот на постоечките зависности.

Така, дистрибуцијата на хи квадратот ( χ 2) е фамилија на распределби, од кои секоја зависи од параметарот за степени на слобода. И формалната дефиниција на хи-квадрат тестот е како што следува. Дистрибуција χ 2(хи-квадрат) с кстепени на слобода е распределба на збирот на квадрати кнезависни стандардни нормални случајни променливи.

Следно, би можеле да преминеме на самата формула со која се пресметува функцијата на дистрибуција на хи-квадрат, но, за среќа, сè ни е одамна пресметано. За да ја добиете веројатноста за интерес, можете да ја користите или соодветната статистичка табела или готова функција во Excel.

Интересно е да се види како се менува обликот на дистрибуцијата на хи-квадрат во зависност од бројот на степени на слобода.

Со зголемени степени на слобода, дистрибуцијата на хи-квадрат има тенденција да биде нормална. Ова се објаснува со дејството на централната гранична теорема, според која збирот на голем број независни случајни променливи има нормална распределба. Тоа не кажува ништо за квадрати)).

Тестирање на хипотезата со помош на Пирсон хи-квадрат тест

Сега доаѓаме до тестирање на хипотези со помош на методот хи-квадрат. Во принцип, технологијата останува. Нултата хипотеза е дека набљудуваните фреквенции одговараат на очекуваните (т.е. нема разлика меѓу нив бидејќи се земени од иста популација). Ако е така, тогаш расејувањето ќе биде релативно мало, во границите на случајните флуктуации. Мерката на дисперзија се одредува со помош на тестот хи-квадрат. Следно, или самиот критериум се споредува со критичната вредност (за соодветното ниво на значајност и степени на слобода), или, што е поточно, се пресметува набљудуваната p-вредност, т.е. веројатноста да се добие иста или уште поголема критериумска вредност ако нултата хипотеза е вистинита.

Бидејќи ние сме заинтересирани за усогласеност на фреквенциите, тогаш хипотезата ќе биде отфрлена кога критериумот е поголем од критичното ниво. Оние. критериумот е едностран. Сепак, понекогаш (понекогаш) е неопходно да се тестира левата хипотеза. На пример, кога емпириските податоци се многу слични со теоретските податоци. Тогаш критериумот може да падне во неверојатен регион, но на левата страна. Факт е дека во природни услови, мала е веројатноста да се добијат фреквенции што практично се совпаѓаат со теоретските. Секогаш има некоја случајност што дава грешка. Но, ако нема таква грешка, тогаш можеби податоците се фалсификувани. Но, сепак, хипотезата за десната страна обично се тестира.

Да се ​​вратиме на проблемот со коцките. Дозволете ни да ја пресметаме вредноста на хи-квадрат тестот користејќи ги достапните податоци.

Сега да ја најдеме критичната вредност на 5 степени на слобода ( к) и ниво на значајност 0,05 ( α ) според табелата со критични вредности на распределбата на хи квадратот.

Односно, квантилот 0,05 е дистрибуција на хи квадрат (десна опашка) со 5 степени на слобода χ 2 0,05; 5 = 11,1.

Ајде да ги споредиме вистинските и табеларните вредности. 3.4 ( χ 2) < 11,1 (χ 2 0,05; 5). Пресметаниот критериум се покажа како помал, што значи дека хипотезата за еднаквост (договор) на фреквенциите не се отфрла. На сликата, ситуацијата изгледа вака.

Доколку пресметаната вредност паднела во критичниот регион, нултата хипотеза би била отфрлена.

Би било поправилно да се пресмета и p-вредноста. За да го направите ова, треба да ја пронајдете најблиската вредност во табелата за даден број на степени на слобода и да го погледнете соодветното ниво на значајност. Но, ова минатиот век. Ќе користиме компјутер, особено MS Excel. Excel има неколку функции поврзани со хи-квадрат.

Подолу е краток опис на нив.

CH2.OBR– критична вредност на критериумот при дадена веројатност лево (како во статистичките табели)

CH2.OBR.PH– критична вредност на критериумот за дадена веројатност на десната страна. Функцијата во суштина ја дуплира претходната. Но, тука можете веднаш да го означите нивото α , наместо да се одземе од 1. Ова е попогодно, бидејќи во повеќето случаи, потребна е десната опашка на дистрибуцијата.

CH2.DIST– p-вредност лево (густината може да се пресмета).

CH2.DIST.PH– p-вредност десно.

CHI2.ТЕСТ– веднаш спроведува хи-квадрат тест за два опсега на фреквенции. Бројот на степени на слобода се зема за еден помал од бројот на фреквенции во колоната (како што треба да биде), враќајќи p-вредност.

Да ја пресметаме за нашиот експеримент критичната (табеларна) вредност за 5 степени на слобода и алфа 0,05. Формулата на Excel ќе изгледа вака:

CH2.OBR(0,95;5)

CH2.OBR.PH(0.05;5)

Резултатот ќе биде ист - 11.0705. Ова е вредноста што ја гледаме во табелата (заокружена на 1 децимална точка).

Дозволете конечно да ја пресметаме p-вредноста за критериумот за 5 степени на слобода χ 2= 3,4. Ни треба веројатноста од десната страна, па ја земаме функцијата со додавање на HH (десна опашка)

CH2.DIST.PH(3.4;5) = 0.63857

Тоа значи дека со 5 степени на слобода веројатноста за добивање на критериумската вредност е χ 2= 3,4 и повеќе е еднакво на речиси 64%. Секако, хипотезата не се отфрла (p-вредноста е поголема од 5%), фреквенциите се во многу добра согласност.

Сега да ја провериме хипотезата за усогласеноста на фреквенциите користејќи го тестот хи-квадрат и функцијата Excel CHI2.TEST.

Без табели, без незгодни пресметки. Со одредување на колони со набљудувани и очекувани фреквенции како функциски аргументи, веднаш ја добиваме p-вредноста. Убавина.

Сега замислете дека играте коцки со сомнителен тип. Распределбата на поени од 1 до 5 останува иста, но тој фрла 26 шестки (вкупниот број на фрлања станува 78).

P-вредноста во овој случај излегува дека е 0,003, што е многу помалку од 0,05. Има добри причини да се сомневаме во валидноста на коцките. Еве како изгледа таа веројатност на дијаграмот за дистрибуција на хи-квадрат.

Самиот хи-квадрат критериум овде излегува дека е 17,8, што, нормално, е поголемо од табела (11,1).

Се надевам дека успеав да објаснам кој е критериумот на договор χ 2(Пирсон хи-квадрат) и како може да се користи за тестирање на статистички хипотези.

Конечно, уште еднаш за важен услов! Хи-квадрат тестот работи правилно само кога бројот на сите фреквенции надминува 50, а минималната очекувана вредност за секоја градација не е помала од 5. Ако во која било категорија очекуваната фреквенција е помала од 5, но збирот на сите фреквенции надминува 50, тогаш таквата категорија се комбинира со најблиската така што нивната вкупна фреквенција надминува 5. Ако тоа не е можно, или збирот на фреквенциите е помал од 50, тогаш треба да се користат попрецизни методи за тестирање на хипотезите. Ќе зборуваме за нив друг пат.

Подолу е видео за тоа како да тестирате хипотеза во Excel користејќи го тестот хи-квадрат.

Нека U 1 , U 2 , ..,U k се независен стандард нормални вредности. Распределбата на случајната променлива K = U 1 2 +U 2 2 + .. + U k 2 се нарекува хи-квадрат дистрибуција со кстепени на слобода (напиши K~χ 2 (k)). Ова е унимодална дистрибуција со позитивна искривност и следните карактеристики: режим М=к-2 очекуваната вредност m=k дисперзија D=2k (сл.). Со доволно голема вредност на параметарот краспределба χ 2 (k) има приближно нормална распределба со параметри

При решавање на задачи од математичка статистика се користат критични точки χ 2 (k), во зависност од дадената веројатност α и бројот на степени на слобода к(Прилог 2). Критичната точка Χ 2 kr = Χ 2 (k; α) е граница на областа десно од која лежи 100- α % од површината под кривата на густина на распределбата. Веројатноста дека вредноста на случајната променлива K~χ 2 (k) за време на тестирањето ќе падне десно од точката χ 2 (k) не надминува α P(K≥χ 2 kp)≤ α). На пример, за случајната променлива K~χ 2 (20) ја поставивме веројатноста α=0,05. Користејќи ја табелата со критични точки на дистрибуцијата на хи-квадрат (табели), наоѓаме χ 2 kp = χ 2 (20;0,05) = 31,4. Ова значи дека веројатноста за оваа случајна променлива Кприфати вредност поголема од 31,4, помала од 0,05 (сл.).

Ориз. График на густина на дистрибуција χ 2 (k) за различни вредности на бројот на степени на слобода к

Критичните точки χ 2 (k) се користат во следните калкулатори:

1. Проверка за присуство на мултиколинеарност (за мултиколинеарност).

Тестирањето на хипотезата со користење на хи-квадрат ќе одговори само на прашањето „дали постои врска?“, потребни се дополнителни истражувања за да се тестира насоката на врската. Покрај тоа, Chi-square тестот има одредена грешка при работа со податоци со ниска фреквенција.

Затоа, за да ја проверите насоката на комуникација, изберете анализа на корелација, особено, тестирање на хипотезата со помош на коефициентот на корелација Пирсон со понатамошно тестирање за значајност со помош на t-тестот.

За која било вредност на нивото на значајност α Χ 2 може да се најде со помош на функцијата MS Excel: =HI2OBR(α;степени на слобода)

n-1	.995	.990	.975	.950	.900	.750	.500	.250	.100	.050	.025	.010	.005
1	0.00004	0.00016	0.00098	0.00393	0.01579	0.10153	0.45494	1.32330	2.70554	3.84146	5.02389	6.63490	7.87944
2	0.01003	0.02010	0.05064	0.10259	0.21072	0.57536	1.38629	2.77259	4.60517	5.99146	7.37776	9.21034	10.59663
3	0.07172	0.11483	0.21580	0.35185	0.58437	1.21253	2.36597	4.10834	6.25139	7.81473	9.34840	11.34487	12.83816
4	0.20699	0.29711	0.48442	0.71072	1.06362	1.92256	3.35669	5.38527	7.77944	9.48773	11.14329	13.27670	14.86026
5	0.41174	0.55430	0.83121	1.14548	1.61031	2.67460	4.35146	6.62568	9.23636	11.07050	12.83250	15.08627	16.74960
6	0.67573	0.87209	1.23734	1.63538	2.20413	3.45460	5.34812	7.84080	10.64464	12.59159	14.44938	16.81189	18.54758
7	0.98926	1.23904	1.68987	2.16735	2.83311	4.25485	6.34581	9.03715	12.01704	14.06714	16.01276	18.47531	20.27774
8	1.34441	1.64650	2.17973	2.73264	3.48954	5.07064	7.34412	10.21885	13.36157	15.50731	17.53455	20.09024	21.95495
9	1.73493	2.08790	2.70039	3.32511	4.16816	5.89883	8.34283	11.38875	14.68366	16.91898	19.02277	21.66599	23.58935
10	2.15586	2.55821	3.24697	3.94030	4.86518	6.73720	9.34182	12.54886	15.98718	18.30704	20.48318	23.20925	25.18818
11	2.60322	3.05348	3.81575	4.57481	5.57778	7.58414	10.34100	13.70069	17.27501	19.67514	21.92005	24.72497	26.75685
12	3.07382	3.57057	4.40379	5.22603	6.30380	8.43842	11.34032	14.84540	18.54935	21.02607	23.33666	26.21697	28.29952
13	3.56503	4.10692	5.00875	5.89186	7.04150	9.29907	12.33976	15.98391	19.81193	22.36203	24.73560	27.68825	29.81947
14	4.07467	4.66043	5.62873	6.57063	7.78953	10.16531	13.33927	17.11693	21.06414	23.68479	26.11895	29.14124	31.31935
15	4.60092	5.22935	6.26214	7.26094	8.54676	11.03654	14.33886	18.24509	22.30713	24.99579	27.48839	30.57791	32.80132
16	5.14221	5.81221	6.90766	7.96165	9.31224	11.91222	15.33850	19.36886	23.54183	26.29623	28.84535	31.99993	34.26719
17	5.69722	6.40776	7.56419	8.67176	10.08519	12.79193	16.33818	20.48868	24.76904	27.58711	30.19101	33.40866	35.71847
18	6.26480	7.01491	8.23075	9.39046	10.86494	13.67529	17.33790	21.60489	25.98942	28.86930	31.52638	34.80531	37.15645
19	6.84397	7.63273	8.90652	10.11701	11.65091	14.56200	18.33765	22.71781	27.20357	30.14353	32.85233	36.19087	38.58226
20	7.43384	8.26040	9.59078	10.85081	12.44261	15.45177	19.33743	23.82769	28.41198	31.41043	34.16961	37.56623	39.99685
21	8.03365	8.89720	10.28290	11.59131	13.23960	16.34438	20.33723	24.93478	29.61509	32.67057	35.47888	38.93217	41.40106
22	8.64272	9.54249	10.98232	12.33801	14.04149	17.23962	21.33704	26.03927	30.81328	33.92444	36.78071	40.28936	42.79565
23	9.26042	10.19572	11.68855	13.09051	14.84796	18.13730	22.33688	27.14134	32.00690	35.17246	38.07563	41.63840	44.18128
24	9.88623	10.85636	12.40115	13.84843	15.65868	19.03725	23.33673	28.24115	33.19624	36.41503	39.36408	42.97982	45.55851
25	10.51965	11.52398	13.11972	14.61141	16.47341	19.93934	24.33659	29.33885	34.38159	37.65248	40.64647	44.31410	46.92789
26	11.16024	12.19815	13.84390	15.37916	17.29188	20.84343	25.33646	30.43457	35.56317	38.88514	41.92317	45.64168	48.28988
27	11.80759	12.87850	14.57338	16.15140	18.11390	21.74940	26.33634	31.52841	36.74122	40.11327	43.19451	46.96294	49.64492
28	12.46134	13.56471	15.30786	16.92788	18.93924	22.65716	27.33623	32.62049	37.91592	41.33714	44.46079	48.27824	50.99338
29	13.12115	14.25645	16.04707	17.70837	19.76774	23.56659	28.33613	33.71091	39.08747	42.55697	45.72229	49.58788	52.33562
30	13.78672	14.95346	16.79077	18.49266	20.59923	24.47761	29.33603	34.79974	40.25602	43.77297	46.97924	50.89218	53.67196

Број на степени на слобода к	Ниво на значајност a
	0,01	0,025	0.05	0,95	0,975	0.99
1	6.6	5.0	3.8	0.0039	0.00098	0.00016
2	9.2	7.4	6.0	0.103	0.051	0.020
3	11.3	9.4	7.8	0.352	0.216	0.115
4	13.3	11.1	9.5	0.711	0.484	0.297
5	15.1	12.8	11.1	1.15	0.831	0.554
6	16.8	14.4	12.6	1.64	1.24	0.872
7	18.5	16.0	14.1	2.17	1.69	1.24
8	20.1	17.5	15.5	2.73	2.18	1.65
9	21.7	19.0	16.9	3.33	2.70	2.09
10	23.2	20.5	18.3	3.94	3.25	2.56
11	24.7	21.9	19.7	4.57	3.82	3.05
12	26.2	23.3	21 .0	5.23	4.40	3.57
13	27.7	24.7	22.4	5.89	5.01	4.11
14	29.1	26.1	23.7	6.57	5.63	4.66
15	30.6	27.5	25.0	7.26	6.26	5.23
16	32.0	28.8	26.3	7.96	6.91	5.81
17	33.4	30.2	27.6	8.67	7.56	6.41
18	34.8	31.5	28.9	9.39	8.23	7.01
19	36.2	32.9	30.1	10.1	8.91	7.63
20	37.6	34.2	31.4	10.9	9.59	8.26
21	38.9	35.5	32.7	11.6	10.3	8.90
22	40.3	36.8	33.9	12.3	11.0	9.54
23	41.6	38.1	35.2	13.1	11.7	10.2
24	43.0	39.4	36.4	13.8	12.4	10.9
25	44.3	40.6	37.7	14.6	13.1	11.5
26	45.6	41.9	38.9	15.4	13.8	12.2
27	47.0	43.2	40.1	16.2	14.6	12.9
28	48.3	44.5	41.3	16.9	15.3	13.6
29	49.6	45.7	42.6	17.7	16.0	14.3
30	50.9	47.0	43.8	18.5	16.8	15.0

Дистрибуции на Пирсон (хи-квадрат), Студент и Фишер

Користејќи ја нормалната дистрибуција, дефинирани се три дистрибуции кои сега често се користат во статистичка обработка на податоци. Овие дистрибуции се појавуваат многу пати во подоцнежните делови од книгата.

Дистрибуција на Пирсон (хи - квадрат) – распределба на случајна променлива

Каде случајни променливи X 1 , X 2 ,…, X nнезависни и имаат иста дистрибуција Н(0,1). Во овој случај, бројот на термини, т.е. n, се нарекува „број на степени на слобода“ на дистрибуцијата на хи-квадрат.

Дистрибуцијата хи-квадрат се користи при проценка на варијансата (со користење на интервал на доверба), при тестирање на хипотези за согласност, хомогеност, независност, првенствено за квалитативни (категоризирани) променливи кои земаат конечен број вредности и во многу други задачи Статистичка анализаподатоци

Дистрибуција т Student's t е распределба на случајна променлива

каде се случајните променливи УИ Xнезависна, Уима стандардна нормална дистрибуција Н(0,1) и X– чи дистрибуција – квадрат в nстепени на слобода. При што nсе нарекува „број на степени на слобода“ на студентската распределба.

Студентската дистрибуција беше воведена во 1908 година од англискиот статистичар В. Госет, кој работеше во фабрика за пиво. Во оваа фабрика биле користени веројатност и статистички методи за донесување економски и технички одлуки, па нејзиното раководство му забранило на В. Госет да објавува научни написи под свое име. На овој начин беа заштитени трговските тајни и „know-how“ во форма на веројатност и статистички методи развиени од V. Gosset. Сепак, тој имаше можност да објавува под псевдонимот „Студент“. Приказната за Gosset-Student покажува дека и пред сто години британските менаџери биле свесни за големиот економска ефикасностверојатностичко-статистички методи.

Во моментов, Студентската распределба е една од најпознатите дистрибуции што се користи во анализата на реалните податоци. Се користи при проценка на математичкото очекување, прогнозирана вредност и други карактеристики со помош на интервали на доверба, тестирање хипотези за вредностите на математичките очекувања, коефициенти на регресија, хипотези за хомогеност на примерокот итн. .

Дистрибуцијата на Фишер е распределба на случајна променлива

каде се случајните променливи X 1И X 2се независни и имаат хи-квадратни распределби со бројот на степени на слобода к 1 И к 2 соодветно. Во исто време, парот (к 1 , к 2 ) - пар „степени на слобода“ на распределбата на Фишер, имено, к 1 е бројот на степени на слобода на броителот и к 2 – број на степени на слобода на именителот. Дистрибуција на случајна променлива Фименуван по големиот англиски статистичар R. Fisher (1890-1962), кој активно го користел во своите дела.

Дистрибуцијата на Фишер се користи при тестирање на хипотези за адекватноста на моделот при регресивна анализа, еднаквост на варијанси и во други проблеми на применетата статистика.

Изразите за функциите хи-квадрат, Студент и Фишер дистрибуција, нивните густини и карактеристики, како и табелите неопходни за нивна практична употреба, може да се најдат во специјализираната литература (види, на пример,).

23. Концепт на хи-квадрат и студентска дистрибуција и графички приказ

1) Дистрибуција (хи-квадрат) со n степени на слобода е распределба на збирот на квадрати од n независни стандардни нормални случајни променливи.

Дистрибуција (хи-квадрат)– распределба на случајна променлива (и математичкото очекување за секоја од нив е 0, а стандардното отстапување е 1)

каде се случајните променливи се независни и имаат иста дистрибуција. Во овој случај, бројот на термини, т.е. , се нарекува „број на степени на слобода“ на дистрибуцијата на хи-квадрат. Бројот на хи-квадрат се одредува со еден параметар, бројот на степени на слобода. Како што се зголемува бројот на степени на слобода, дистрибуцијата полека се приближува до нормалата.

Тогаш збирот на нивните квадрати

е случајна променлива распределена според таканаречениот хи-квадрат закон со k = n степени на слобода; ако поимите се поврзани со некоја релација (на пример, ), тогаш бројот на степени на слобода k = n – 1.

Густината на оваа дистрибуција

Еве ја гама функцијата; особено, Г(n + 1) = n! .

Затоа, дистрибуцијата на хи-квадрат се одредува со еден параметар - бројот на степени на слобода k.

Забелешка 1. Како што се зголемува бројот на степени на слобода, дистрибуцијата на хи-квадрат постепено се приближува до нормалата.

Забелешка 2. Со употреба на хи-квадрат дистрибуција се одредуваат многу други распределби кои се среќаваат во практиката, на пример, распределба на случајна променлива - должина на случаен вектор (X1, X2,..., Xn), координатите на кои се независни и распределени според нормалниот закон.

Дистрибуцијата χ2 првпат била разгледана од R. Helmert (1876) и K. Pearson (1900).

Math.expect.=n; D=2n

2) Студентска распределба

Размислете за две независни случајни променливи: Z, која има нормална дистрибуција и е нормализирана (односно, M(Z) = 0, σ(Z) = 1) и V, која е распределена според законот хи-квадрат со k степени на слобода. Потоа вредноста

има распределба наречена t-распределба или Студентска распределба со k степени на слобода. Во овој случај, k се нарекува „број на степени на слобода“ на студентската распределба.

Како што се зголемува бројот на степени на слобода, студентската распределба брзо се приближува до нормалата.

Оваа дистрибуција била воведена во 1908 година од англискиот статистичар В. Госет, кој работел во фабрика за пиво. Во оваа фабрика биле користени веројатност и статистички методи за донесување економски и технички одлуки, па нејзиното раководство му забранило на В. Госет да објавува научни написи под свое име. На овој начин беа заштитени трговските тајни и „know-how“ во форма на веројатност и статистички методи развиени од V. Gosset. Сепак, тој имаше можност да објавува под псевдонимот „Студент“. Приказната за Gosset-Student покажува дека дури и пред сто години, менаџерите во ОК биле свесни за поголемата економска ефикасност на веројатните и статистичките методи на донесување одлуки.