Решавање квадратни равенки, коренска формула, примери. Квадратни равенки. Решавање на квадратни равенки Како да се конвертира квадратна равенка во производ

Оваа тема може да изгледа тешка на почетокот поради многумина не едноставни формули. Не само што самите квадратни равенки имаат долги ознаки, туку корените се наоѓаат и преку дискриминантот. Вкупно се добиваат три нови формули. Не е многу лесно да се запомни. Ова е можно само по често решавање на таквите равенки. Тогаш сите формули ќе бидат запаметени сами по себе.

Општ приказ на квадратна равенка

Овде предлагаме нивно експлицитно снимање, кога прво се пишува најголемиот степен, а потоа во опаѓачки редослед. Често има ситуации кога термините се неконзистентни. Тогаш е подобро да се преработи равенката по опаѓачки редослед на степенот на променливата.

Да воведеме некоја нотација. Тие се претставени во табелата подолу.

Ако ги прифатиме овие ознаки, сите квадратни равенки се сведуваат на следната нотација.

Покрај тоа, коефициентот a ≠ 0. Нека оваа формула е означена број еден.

Кога е дадена равенка, не е јасно колку корени ќе има во одговорот. Затоа што една од трите опции е секогаш можна:

решението ќе има два корени;
одговорот ќе биде еден број;
равенката воопшто нема да има корени.

И додека одлуката не биде финализирана, тешко е да се разбере која опција ќе се појави во одреден случај.

Видови записи на квадратни равенки

Може да има различни записи во задачите. Нема секогаш да изгледаат општа формулаквадратна равенка. Понекогаш ќе му недостасуваат некои термини. Она што беше напишано погоре е целосната равенка. Ако го отстраните вториот или третиот термин во него, добивате нешто друго. Овие записи се нарекуваат и квадратни равенки, само нецелосни.

Покрај тоа, само термините со коефициенти „б“ и „в“ можат да исчезнат. Бројот „а“ под никакви околности не може да биде еднаков на нула. Бидејќи во овој случај формулата се претвора во линеарна равенка. Формулите за нецелосна форма на равенки ќе бидат како што следува:

Значи, постојат само два вида; покрај целосните, постојат и нецелосни квадратни равенки. Нека првата формула е број два, а втората - три.

Дискриминација и зависност на бројот на корените од неговата вредност

Треба да го знаете овој број за да ги пресметате корените на равенката. Секогаш може да се пресмета, без разлика каква е формулата на квадратната равенка. За да ја пресметате дискриминаторот, треба да ја користите еднаквоста напишана подолу, која ќе има број четири.

Откако ќе ги замените вредностите на коефициентите во оваа формула, можете да добиете броеви со различни знаци. Ако одговорот е да, тогаш одговорот на равенката ќе биде два различни корени. Ако бројот е негативен, нема да има корени на квадратната равенка. Ако е еднакво на нула, ќе има само еден одговор.

Како да се реши целосна квадратна равенка?

Всушност, разгледувањето на ова прашање веќе започна. Затоа што прво треба да се најде дискриминатор. Откако ќе се утврди дека има корени на квадратната равенка и нивниот број е познат, треба да користите формули за променливите. Ако има два корени, тогаш треба да ја примените следнава формула.

Бидејќи содржи знак „±“, ќе има две вредности. Изразот под знакот на квадратен корен е дискриминант. Затоа, формулата може да се преработи поинаку.

Формула број пет. Од истиот запис јасно е дека ако дискриминаторот е еднаков на нула, тогаш двата корени ќе ги земат истите вредности.

Ако решавањето на квадратните равенки сè уште не е разработено, тогаш подобро е да ги запишете вредностите на сите коефициенти пред да ги примените дискриминаторните и променливите формули. Подоцна овој момент нема да предизвика тешкотии. Но, на самиот почеток постои конфузија.

Како да се реши нецелосна квадратна равенка?

Сè е многу поедноставно овде. Нема ни потреба од дополнителни формули. А оние што се веќе запишани за дискриминатор и непознато нема да бидат потребни.

Прво, да ја погледнеме нецелосната равенка број два. При ова равенство потребно е непознатото количество да се извади од загради и да се реши линеарната равенка која ќе остане во загради. Одговорот ќе има два корени. Првиот е нужно еднаков на нула, бидејќи има множител кој се состои од самата променлива. Вториот ќе се добие со решавање на линеарна равенка.

Нецелосната равенка број три се решава со поместување на бројот од левата страна на еднаквоста надесно. Потоа треба да се подели со коефициентот свртен кон непознатото. Останува само да го извадите квадратниот корен и не заборавајте да го запишете двапати со спротивни знаци.

Подолу се дадени неколку чекори кои ќе ви помогнат да научите како да ги решавате сите видови еднаквости кои се претвораат во квадратни равенки. Тие ќе му помогнат на ученикот да избегне грешки поради невнимание. Овие недостатоци може да предизвикаат слаби оценки при изучување на обемната тема „Квадратни равенки (8-мо одделение). Последователно, овие дејства нема да треба постојано да се вршат. Затоа што ќе се појави стабилна вештина.

Прво треба да ја напишете равенката во стандардна форма. Односно, прво поимот со најголем степен на променливата, а потоа - без степен, и последен - само бројка.

Ако се појави минус пред коефициентот „а“, тоа може да ја комплицира работата за почетник кој ги проучува квадратните равенки. Подобро е да се ослободите од него. За таа цел, целата еднаквост мора да се помножи со „-1“. Ова значи дека сите поими ќе го променат знакот во спротивен.

Се препорачува да се ослободите од фракциите на ист начин. Едноставно помножете ја равенката со соодветниот фактор, така што именителот ќе се поништи.

Примери

Потребно е да се решат следните квадратни равенки:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Првата равенка: x 2 − 7x = 0. Таа е нецелосна, затоа е решена како што е опишано за формулата број два.

Откако ќе го извадите од загради, излегува: x (x - 7) = 0.

Првиот корен ја зема вредноста: x 1 = 0. Вториот ќе се најде од линеарната равенка: x - 7 = 0. Лесно е да се види дека x 2 = 7.

Втора равенка: 5x 2 + 30 = 0. Повторно нецелосно. Само тоа се решава како што е опишано за третата формула.

Откако ќе се премести 30 на десната страна на равенката: 5x 2 = 30. Сега треба да се подели со 5. Излегува: x 2 = 6. Одговорите ќе бидат броевите: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Третата равенка: 15 − 2x − x 2 = 0. Овде и понатаму, решавањето на квадратните равенки ќе започне со нивно препишување во стандардна форма: − x 2 − 2x + 15 = 0. Сега е време да се користи втората корисен совети помножете сè со минус еден. Излегува x 2 + 2x - 15 = 0. Користејќи ја четвртата формула, треба да ја пресметате дискриминаторот: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Тоа е позитивен број. Од она што е кажано погоре, излегува дека равенката има два корени. Тие треба да се пресметаат со помош на петтата формула. Излегува дека x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогаш x 1 = 3, x 2 = - 5.

Четвртата равенка x 2 + 8 + 3x = 0 се трансформира во ова: x 2 + 3x + 8 = 0. Неговата дискриминанта е еднаква на оваа вредност: -23. Бидејќи овој број е негативен, одговорот на оваа задача ќе биде следниот запис: „Нема корени“.

Петтата равенка 12x + x 2 + 36 = 0 треба да се преработи на следниов начин: x 2 + 12x + 36 = 0. По примената на формулата за дискриминаторката се добива бројот нула. Тоа значи дека ќе има еден корен, имено: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Шестата равенка (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) бара трансформации, кои се состојат во тоа што треба да донесете слични термини, прво отворајќи ги заградите. На местото на првиот ќе стои следниот израз: x 2 + 2x + 1. По еднаквоста ќе се појави овој запис: x 2 + 3x + 2. Откако ќе се избројат слични членови, равенката ќе добие форма: x 2 - x = 0. Стана нецелосно . Нешто слично на ова веќе е дискутирано малку повисоко. Корените на ова ќе бидат броевите 0 и 1.

Некои проблеми во математиката бараат способност да се пресмета вредноста на квадратниот корен. Таквите проблеми вклучуваат решавање равенки од втор ред. Во оваа статија ви претставуваме ефикасен метод за пресметување квадратни корении користете го при работа со формули за корени на квадратна равенка.

Што е квадратен корен?

Во математиката, овој концепт одговара на симболот √. Историските податоци велат дека за прв пат бил употребен околу првата половина на 16 век во Германија (првото германско дело за алгебра од Кристоф Рудолф). Научниците веруваат дека симболот е трансформирана латинска буква r (радикс значи „корен“ на латински).

Коренот на кој било број е еднаков на вредноста чиј квадрат одговара на радикалниот израз. На јазикот на математиката, оваа дефиниција ќе изгледа вака: √x = y, ако y 2 = x.

Коренот на позитивен број (x > 0) е исто така позитивен број (y > 0), но ако го земеме коренот на негативен број(х< 0), то его результатом уже будет комплексен број, вклучувајќи ја имагинарната единица i.

Еве два едноставни примери:

√9 = 3, бидејќи 3 2 = 9; √(-9) = 3i, бидејќи i 2 = -1.

Хероновата итеративна формула за пронаоѓање на вредностите на квадратните корени

Горенаведените примери се многу едноставни, а пресметувањето на корените во нив не е тешко. Почнуваат да се појавуваат тешкотии при наоѓање коренски вредности за која било вредност што не може да се претстави како квадрат природен број, на пример √10, √11, √12, √13, а да не зборуваме за фактот дека во пракса е неопходно да се најдат корени за нецелобројни броеви: на пример √(12,15), √(8,5) и така натаму.

Во сите горенаведени случаи, треба да се користи посебен метод за пресметување на квадратниот корен. Во моментов, познати се неколку такви методи: на пример, проширување на серијата Тејлор, поделба на колони и некои други. Од сите познати методи, можеби наједноставниот и најефикасен е употребата на Хероновата итеративна формула, која е позната и како вавилонски метод за одредување квадратни корени (постојат докази дека античките Вавилонци го користеле во своите практични пресметки).

Нека биде неопходно да се одреди вредноста на √x. Формулата за наоѓање на квадратен корен е како што следува:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), каде што lim n->∞ (a n) => x.

Ајде да ја дешифрираме оваа математичка нотација. За да пресметате √x, треба да земете одреден број a 0 (може да биде произволен, но за брзо да го добиете резултатот, треба да го изберете така што (a 0) 2 е што е можно поблиску до x. Потоа заменете го во означена формула за пресметување на квадратен корен и добијте нов број a 1, кој веќе ќе биде поблиску до саканата вредност. По ова, треба да го замените 1 во изразот и да добиете 2. Оваа постапка треба да се повторува додека не се бара се добива точност.

Пример за користење на итеративната формула на Херон

Алгоритмот опишан погоре за добивање на квадратен корен на даден број може да звучи прилично комплициран и збунувачки за многумина, но во реалноста сè се покажува многу поедноставно, бидејќи оваа формула се конвергира многу брзо (особено ако се избере успешен број a 0) .

Да дадеме едноставен пример: треба да пресметате √11. Ајде да избереме 0 = 3, бидејќи 3 2 = 9, што е поблиску до 11 отколку 4 2 = 16. Заменувајќи во формулата, добиваме:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Нема смисла да се продолжи со пресметките, бидејќи откривме дека 2 и 3 почнуваат да се разликуваат само на 5-то децимално место. Така, беше доволно да се примени формулата само 2 пати за да се пресмета √11 со точност од 0,0001.

Во денешно време, калкулаторите и компјутерите се широко користени за пресметување на корените, меѓутоа, корисно е да се запамети означената формула за да може рачно да се пресмета нивната точна вредност.

Равенки од втор ред

Разбирањето што е квадратен корен и способноста за негово пресметување се користи при решавање на квадратни равенки. Овие равенки се нарекуваат еднаквости со една непозната, чија општа форма е прикажана на сликата подолу.

Овде c, b и a претставуваат некои броеви, а a не смее да биде еднаква на нула, а вредностите на c и b можат да бидат целосно произволни, вклучително и еднакви на нула.

Сите вредности на x што ја задоволуваат еднаквоста наведена на сликата се нарекуваат негови корени (овој концепт не треба да се меша со квадратниот корен √). Бидејќи равенката што се разгледува е од втор ред (x 2), тогаш не може да има повеќе од два корени за неа. Ајде да погледнеме понатаму во статијата како да ги пронајдеме овие корени.

Наоѓање на корените на квадратна равенка (формула)

Овој метод на решавање на видот на еднаквостите што се разгледуваат уште се нарекува и универзален метод, или метод на дискриминација. Може да се користи за какви било квадратни равенки. Формулата за дискриминација и корените на квадратната равенка е следна:

Тоа покажува дека корените зависат од вредноста на секој од трите коефициенти на равенката. Покрај тоа, пресметката на x 1 се разликува од пресметката на x 2 само со знакот пред квадратниот корен. Радикалниот израз, кој е еднаков на b 2 - 4ac, не е ништо повеќе од дискриминатор на односната еднаквост. Дискриминаторот во формулата за корените на квадратната равенка игра важна улога бидејќи го одредува бројот и видот на решенијата. Значи, ако е еднакво на нула, тогаш ќе има само едно решение, ако е позитивно, тогаш равенката има два реални корени, и на крајот, негативната дискриминантна води до два сложени корени x 1 и x 2.

Теорема на Виета или некои својства на корените на равенките од втор ред

На крајот на 16 век, еден од основачите на модерната алгебра, Французин, кој ги проучувал равенките од втор ред, можел да ги добие својствата на нејзините корени. Математички тие можат да бидат напишани вака:

x 1 + x 2 = -b / a и x 1 * x 2 = c / a.

Двете еднаквости може лесно да ги добие секој; за да го направите ова, само треба да ги извршите соодветните математички операции со корените добиени преку формулата со дискриминаторот.

Комбинацијата на овие два изрази со право може да се нарече втората формула за корените на квадратната равенка, што овозможува да се погодат нејзините решенија без користење на дискриминатор. Овде треба да се забележи дека иако и двата израза се секогаш валидни, погодно е да се користат за решавање на равенката само ако може да се факторизира.

Задача за консолидирање на стекнатото знаење

Ајде да одлучиме математички проблем, во која ќе ги демонстрираме сите техники што се дискутирани во статијата. Условите на проблемот се следни: треба да најдете два броја за кои производот е -13, а збирот е 4.

Оваа состојба веднаш не потсетува на теоремата на Виета; користејќи ги формулите за збир на квадратни корени и нивниот производ, пишуваме:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Ако претпоставиме дека a = 1, тогаш b = -4 и c = -13. Овие коефициенти ни овозможуваат да создадеме равенка од втор ред:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Ајде да ја користиме формулата со дискриминаторот и да ги добиеме следните корени:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Односно, проблемот се сведе на пронаоѓање на бројот √68. Забележете дека 68 = 4 * 17, а потоа, користејќи го својството на квадратен корен, добиваме: √68 = 2√17.

Сега да ја користиме формулата за разгледување квадратен корен: a 0 = 4, а потоа:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Нема потреба да се пресметува 3, бидејќи пронајдените вредности се разликуваат само за 0,02. Така, √68 = 8,246. Заменувајќи го во формулата за x 1,2, добиваме:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 и x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Како што можеме да видиме, збирот на пронајдените броеви е навистина еднаков на 4, но ако го најдеме нивниот производ, тогаш тој ќе биде еднаков на -12,999, што ги задоволува условите на проблемот со точност од 0,001.

Само. Според формули и јасни, едноставни правила. Во првата фаза

потребно е дадената равенка да се доведе во стандардна форма, т.е. до формата:

Ако равенката веќе ви е дадена во оваа форма, не треба да ја правите првата фаза. Најважно е да го направите тоа правилно

определи ги сите коефициенти, А, бИ в.

Формула за наоѓање корени на квадратна равенка.

Изразот под знакот на коренот се нарекува дискриминаторски . Како што можете да видите, за да го пронајдеме X, ние

користиме само а, б и в. Оние. коефициенти од квадратна равенка. Само внимателно ставете го

вредности а, б и вНие пресметуваме во оваа формула. Заменуваме со нивнитезнаци!

На пример, во равенката:

А =1; б = 3; в = -4.

Ги заменуваме вредностите и пишуваме:

Примерот е речиси решен:

Ова е одговорот.

Најчести грешки се конфузијата со вредностите на знакот а, бИ Со. Или подобро кажано, со замена

негативни вредности во формулата за пресметување на корените. Детална снимка на формулата доаѓа на помош овде

со конкретни бројки. Ако имате проблеми со пресметките, направете го тоа!

Да претпоставиме дека треба да го решиме следниов пример:

Еве а = -6; б = -5; в = -1

Опишуваме сè детално, внимателно, без да пропуштиме ништо со сите знаци и загради:

Квадратните равенки често изгледаат малку поинаку. На пример, вака:

Сега забележете ги практичните техники кои драматично го намалуваат бројот на грешки.

Прв состанок. Не бидете мрзливи порано решавање на квадратна равенкадоведете го во стандардна форма.

Што значи тоа?

Да речеме дека по сите трансформации ја добивате следнава равенка:

Не брзајте да ја напишете коренската формула! Речиси сигурно ќе ги измешате шансите а, б и в.

Правилно конструирај го примерот. Прво, X квадрат, потоа без квадрат, па слободниот член. Како ова:

Ослободете се од минусот. Како? Треба да ја помножиме целата равенка со -1. Добиваме:

Но, сега можете безбедно да ја запишете формулата за корените, да го пресметате дискриминантот и да завршите со решавање на примерот.

Одлучете сами. Сега треба да имате корени 2 и -1.

Прием второ.Проверете ги корените! Од страна на Теорема на Виета.

Да се решат дадените квадратни равенки, т.е. ако коефициентот

x 2 +bx+c=0,

Потоаx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−б

За целосна квадратна равенка во која a≠1:

x 2 +бx+в=0,

подели ја целата равенка со А:

→ →

Каде x 1И x 2 - корени на равенката.

Трет прием. Ако вашата равенка има фракциони коефициенти, ослободете се од дропките! Умножете се

равенка со заеднички именител.

Заклучок. Практични совети:

1. Пред да го решиме, ја доведуваме квадратната равенка во стандардна форма и ја градиме Во право.

2. Ако има негативен коефициент пред квадратот Х, го елиминираме со множење на сè

равенки од -1.

3. Ако коефициентите се фракционо, ги елиминираме дропките со множење на целата равенка со соодветната

фактор.

4. Ако х квадрат е чист, неговиот коефициент е еднаков на еден, решението лесно може да се провери со

Решавањето равенки во математиката зазема посебно место. На овој процес му претходат многу часови учење теорија, при што студентот учи како да решава равенки, да го одредува нивниот тип и да ја доведе вештината до целосна автоматизација. Сепак, потрагата по корени не секогаш има смисла, бидејќи тие можеби едноставно не постојат. Постојат посебни техники за наоѓање корени. Во оваа статија ќе ги анализираме главните функции, нивните домени на дефиниција, како и случаите кога недостасуваат нивните корени.

Која равенка нема корени?

Равенката нема корени ако нема вистински аргументи x за кои равенката е идентично вистинита. За не-специјалист, оваа формулација, како и повеќето математички теореми и формули, изгледа многу нејасно и апстрактно, но ова е во теорија. Во пракса, сè станува исклучително едноставно. На пример: равенката 0 * x = -53 нема решение, бидејќи не постои број x чиј производ со нула би дал нешто друго освен нула.

Сега ќе ги разгледаме најосновните типови равенки.

1. Линеарна равенка

Равенката се нарекува линеарна ако нејзината десна и лева страна се претставени како линеарни функции: ax + b = cx + d или во генерализирана форма kx + b = 0. Каде a, b, c, d се познати броеви, а x е an непозната количина. Која равенка нема корени? Примери линеарни равенкисе претставени на илустрацијата подолу.

Во основа, линеарните равенки се решаваат со едноставно пренесување на бројниот дел на еден дел и содржината на x во друг. Резултатот е равенка од формата mx = n, каде што m и n се броеви, а x е непозната. За да најдете x, само поделете ги двете страни со m. Тогаш x = n/m. Повеќето линеарни равенки имаат само еден корен, но има случаи кога има или бесконечно многу корени или воопшто нема корени. Кога m = 0 и n = 0, равенката добива форма 0 * x = 0. Решението на таквата равенка ќе биде апсолутно секој број.

Меѓутоа, која равенка нема корени?

За m = 0 и n = 0, равенката нема корени во множеството реални броеви. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - овие равенки немаат корени.

2. Квадратна равенка

Квадратна равенка е равенка од формата ax 2 + bx + c = 0 за a = 0. Најчестото решение е преку дискриминантата. Формулата за наоѓање на дискриминантата на квадратна равенка е: D = b 2 - 4 * a * c. Потоа има два корени x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

За D > 0 равенката има два корени, за D = 0 има еден корен. Но, која квадратна равенка нема корени? Најлесен начин да се набљудува бројот на корените на квадратната равенка е со графички приказ на функцијата, која е парабола. За a > 0 гранките се насочени нагоре, за a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Можете исто така визуелно да го одредите бројот на корените без да го пресметате дискриминаторот. За да го направите ова, треба да го пронајдете темето на параболата и да одредите во која насока се насочени гранките. Координатата x на темето може да се одреди со помош на формулата: x 0 = -b / 2a. Во овој случај, y координатата на темето се наоѓа со едноставно замена на вредноста x 0 во првобитната равенка.

Квадратната равенка x 2 - 8x + 72 = 0 нема корени, бидејќи има негативна дискриминантна D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Ова значи дека параболата не ја допира оската x и функцијата никогаш не ја зема вредноста 0, па затоа равенката нема вистински корени.

3. Тригонометриски равенки

Тригонометриските функции се разгледуваат на тригонометриски круг, но можат да бидат претставени и во Декартов координатен систем. Во оваа статија ќе разгледаме две главни тригонометриски функциии нивните равенки: sinx и cosx. Бидејќи овие функции формираат тригонометриски круг со радиус 1, |sinx| и |cosx| не може да биде поголема од 1. Значи, која равенка синкс нема корени? Размислете за графикот на функцијата sinx прикажан на сликата подолу.

Гледаме дека функцијата е симетрична и има период на повторување од 2pi. Врз основа на ова, можеме да кажеме дека максималната вредност на оваа функција може да биде 1, а минималната -1. На пример, изразот cosx = 5 нема да има корени, бидејќи неговата апсолутна вредност е поголема од еден.

Ова е наједноставниот пример на тригонометриски равенки. Всушност, нивното решавање може да потрае многу страници, на крајот од кои сфаќате дека сте користеле погрешна формула и треба да започнете одново. Понекогаш, дури и ако правилно ги пронајдете корените, може да заборавите да ги земете предвид ограничувањата на ОД, поради што во одговорот се појавува дополнителен корен или интервал, а целиот одговор се претвора во грешка. Затоа, строго следете ги сите ограничувања, бидејќи не сите корени се вклопуваат во опсегот на задачата.

4. Системи на равенки

Систем од равенки е збир на равенки споени со кадрави или квадратни загради. Кадравите загради покажуваат дека сите равенки се поставени заедно. Односно, ако барем една од равенките нема корени или противречи на друга, целиот систем нема решение. Квадратни загради го означуваат зборот „или“. Ова значи дека ако барем една од равенките на системот има решение, тогаш целиот систем има решение.

Одговорот на системот c е множество од сите корени на поединечните равенки. И системите со кадрави загради имаат само заеднички корени. Системите на равенки можат да вклучуваат сосема различни функции, така што таквата сложеност не ни дозволува веднаш да кажеме која равенка нема корени.

Во проблематичните книги и учебниците постојат различни видови равенки: оние што имаат корени и оние што немаат. Како прво, ако не можете да ги најдете корените, немојте да мислите дека тие воопшто ги нема. Можеби сте згрешиле некаде, тогаш само треба внимателно да ја проверите вашата одлука.

Ги разгледавме најосновните равенки и нивните типови. Сега можете да кажете која равенка нема корени. Во повеќето случаи тоа не е тешко да се направи. Постигнувањето успех во решавањето на равенките бара само внимание и концентрација. Вежбајте повеќе, тоа ќе ви помогне многу подобро и побрзо да се движите низ материјалот.

Значи, равенката нема корени ако:

во линеарната равенка mx = n вредноста е m = 0 и n = 0;
во квадратна равенка, ако дискриминантата е помала од нула;
во тригонометриска равенка од формата cosx = m / sinx = n, ако |m| > 0, |n| > 0;
во систем на равенки со кадрави загради ако барем една равенка нема корени, и со квадратни загради ако сите равенки немаат корени.

“, односно равенки од прв степен. Во оваа лекција ќе разгледаме што се нарекува квадратна равенкаи како да се реши.

Што е квадратна равенка?

Важно!

Степенот на равенката се одредува според највисокиот степен до кој стои непознатата.

Ако максималната моќност во која непознатата е „2“, тогаш имате квадратна равенка.

Примери на квадратни равенки

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Важно! Општата форма на квадратна равенка изгледа вака:

A x 2 + b x + c = 0

„а“, „б“ и „в“ се дадени броеви.

„а“ е првиот или највисокиот коефициент;
„б“ е вториот коефициент;
„c“ е слободен член.

За да ги најдете „а“, „б“ и „в“ треба да ја споредите вашата равенка со општата форма на квадратната равенка „секира 2 + bx + c = 0“.

Да вежбаме одредување на коефициентите „а“, „б“ и „в“ во квадратни равенки.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Равенката	Шансите
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

= 0

a = −1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0,25x = 0

a = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
c = −8

Како да се решат квадратни равенки

За разлика од линеарните равенки, се користи посебен метод за решавање на квадратни равенки. формула за наоѓање корени.

Запомнете!

За да решите квадратна равенка ви треба:

доведете ја квадратната равенка во општ облик „ax 2 + bx + c = 0“. Тоа е, само „0“ треба да остане на десната страна;
користете формула за корени:

Ајде да погледнеме пример како да се користи формулата за да се најдат корените на квадратната равенка. Ајде да решиме квадратна равенка.

X 2 − 3x − 4 = 0

Равенката „x 2 − 3x − 4 = 0“ е веќе сведена на општата форма „ax 2 + bx + c = 0“ и не бара дополнителни поедноставувања. За да го решиме, само треба да аплицираме формула за наоѓање корени на квадратна равенка.

Да ги одредиме коефициентите „а“, „б“ и „в“ за оваа равенка.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Може да се користи за решавање на која било квадратна равенка.

Во формулата „x 1;2 =“ радикалниот израз често се заменува
„b 2 − 4ac“ за буквата „D“ и се нарекува дискриминантна. Концептот на дискриминатор е подетално дискутиран во лекцијата „Што е дискриминатор“.

Ајде да погледнеме друг пример на квадратна равенка.

x 2 + 9 + x = 7x

Во оваа форма, доста е тешко да се одредат коефициентите „а“, „б“ и „в“. Ајде прво да ја намалиме равенката на општата форма „ax 2 + bx + c = 0“.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Сега можете да ја користите формулата за корените.

X 1;2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

x = 3
Одговор: x = 3

Има моменти кога квадратните равенки немаат корени. Оваа ситуација се јавува кога формулата содржи негативен број под коренот.