Решавање на системи на линеарни неравенки графички. Решавање на експоненцијални неравенки Решавање двојни неравенки онлајн

Прво, малку текст за да се почувствува проблемот што го решава интервалниот метод. Да речеме дека треба да ја решиме следната нееднаквост:

(x − 5)(x + 3) > 0

Кои се опциите? Првото нешто што им паѓа на ум на повеќето студенти се правилата „плус на плус дава плус“ и „минус на минус дава плус“. Затоа, доволно е да се разгледа случајот кога двете загради се позитивни: x − 5 > 0 и x + 3 > 0. Тогаш го разгледуваме и случајот кога двете загради се негативни: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Понапредните студенти (можеби) ќе се сетат дека лево е квадратна функција, чиј график е парабола. Покрај тоа, оваа парабола ја пресекува оската OX во точките x = 5 и x = −3. За понатамошна работа, треба да ги отворите заградите. Ние имаме:

x 2 − 2x − 15 > 0

Сега е јасно дека гранките на параболата се насочени нагоре, бидејќи коефициент a = 1 > 0. Да се обидеме да нацртаме дијаграм на оваа парабола:

Функцијата е поголема од нула каде што поминува над оската OX. Во нашиот случај, ова се интервалите (−∞ −3) и (5; +∞) - ова е одговорот.

Ве молиме запомнете: сликата точно покажува функционален дијаграм, не нејзиниот распоред. Затоа што за вистински график треба да броите координати, да пресметате поместувања и други глупости што засега немаме апсолутно никаква корист.

Зошто овие методи се неефикасни?

Значи, разгледавме две решенија за иста нееднаквост. И двајцата се покажаа прилично незгодни. Се јавува првата одлука - само размислете за тоа! — збир на системи на нееднаквости. Второто решение исто така не е особено лесно: треба да го запомните графикот на параболата и еден куп други мали факти.

Тоа беше многу едноставна нееднаквост. Има само 2 множители. Сега замислете дека нема да има 2, туку најмалку 4 множители. На пример:

(x − 7) (x − 1) (x + 4) (x + 9)< 0

Како да се реши таквата нееднаквост? Поминете низ сите можни комбинации на добрите и лошите страни? Да, побрзо ќе заспиеме отколку што ќе најдеме решение. Цртањето график исто така не е опција, бидејќи не е јасно како таква функција се однесува на координатната рамнина.

За такви нееднаквости, потребен е посебен алгоритам за решение, кој ќе го разгледаме денес.

Кој е интервалниот метод

Методот на интервал е специјален алгоритам дизајниран да решава сложени неравенки од формата f (x) > 0 и f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Решете ја равенката f (x) = 0. Така, наместо неравенка, добиваме равенка која е многу поедноставна за решавање;
Обележете ги сите добиени корени на координатната линија. Така, правата линија ќе биде поделена на неколку интервали;
Откријте го знакот (плус или минус) на функцијата f (x) на најдесниот интервал. За да го направите ова, доволно е да се замени со f (x) кој било број што ќе биде десно од сите означени корени;
Обележете ги знаците во преостанатите интервали. За да го направите ова, само запомнете дека кога поминувате низ секој корен, знакот се менува.

Тоа е се! После ова, останува само да ги запишеме интервалите што не интересираат. Тие се означени со знак „+“ ако неравенството е од формата f (x) > 0, или со знакот „−“ ако неравенството е од формата f (x)< 0.

На прв поглед, може да изгледа дека методот на интервал е некаква ситна работа. Но, во пракса сè ќе биде многу едноставно. Само вежбајте малку и се ќе ви стане јасно. Погледнете ги примерите и уверете се:

Задача. Решете ја неравенството:

(x − 2)(x + 7)< 0

Работиме користејќи го методот на интервал. Чекор 1: заменете ја неравенката со равенка и решете ја:

(x − 2) (x + 7) = 0

Производот е нула ако и само ако барем еден од факторите е нула:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Добивме два корени. Ајде да продолжиме на чекор 2: означете ги овие корени на координатната линија. Ние имаме:

Сега чекор 3: најдете го знакот на функцијата на најдесниот интервал (десно од означената точка x = 2). За да го направите ова, треба да земете кој било број што е поголем од бројот x = 2. На пример, да земеме x = 3 (но никој не забранува да се зема x = 4, x = 10, па дури и x = 10.000). Добиваме:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

Откривме дека f (3) = 10 > 0, па ставаме знак плус во најдесниот интервал.

Ајде да продолжиме до последната точка - треба да ги забележиме знаците на преостанатите интервали. Се сеќаваме дека при минување низ секој корен знакот мора да се промени. На пример, десно од коренот x = 2 има плус (за ова се уверивме во претходниот чекор), така што мора да има минус лево.

Овој минус се протега на целиот интервал (−7; 2), така што има минус десно од коренот x = −7. Затоа, лево од коренот x = −7 има плус. Останува да се означат овие знаци координатна оска. Ние имаме:

Да се вратиме на првобитната неравенка, која ја имаше формата:

(x − 2)(x + 7)< 0

Значи, функцијата мора да биде помала од нула. Тоа значи дека ние сме заинтересирани за знакот минус, кој се појавува само на еден интервал: (−7; 2). Ова ќе биде одговорот.

Задача. Решете ја неравенството:

(x + 9)(x − 3)(1 − x)< 0

Чекор 1: поставете ја левата страна на нула:

(x + 9) (x - 3) (1 - x) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Запомнете: производот е еднаков на нула кога барем еден од факторите е еднаков на нула. Затоа имаме право секоја поединечна заграда да ја изедначиме со нула.

Чекор 2: означете ги сите корени на координатната линија:

Чекор 3: дознајте го знакот на најдесната празнина. Земаме кој било број што е поголем од x = 1. На пример, можеме да земеме x = 10. Имаме:

f (x) = (x + 9) (x − 3) (1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9) (10 − 3) (1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

Чекор 4: поставување на преостанатите знаци. Се сеќаваме дека при минување низ секој корен знакот се менува. Како резултат, нашата слика ќе изгледа вака:

Тоа е се. Останува само да се запише одговорот. Погледнете уште еднаш на првобитната нееднаквост:

(x + 9)(x − 3)(1 − x)< 0

Ова е неравенство од формата f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Ова е одговорот.

Забелешка за функционалните знаци

Практиката покажува дека најголемите тешкотии во методот на интервал се јавуваат во последните два чекори, т.е. при поставување на знаци. Многу студенти почнуваат да се збунуваат: кои броеви да ги земат и каде да ги стават знаците.

За конечно да го разберете методот на интервал, разгледајте две набљудувања на кои се заснова:

Континуираната функција го менува знакот само во тие точки каде што е еднакво на нула. Таквите точки ја делат координатната оска на парчиња, во кои знакот на функцијата никогаш не се менува. Затоа ја решаваме равенката f (x) = 0 и најдените корени ги означуваме на права линија. Пронајдените бројки се „гранични“ точки што ги делат добрите и лошите страни.
За да го дознаете знакот на функцијата на кој било интервал, доволно е да се замени кој било број од овој интервал во функцијата. На пример, за интервалот (−5; 6) имаме право да земеме x = −4, x = 0, x = 4 и дури x = 1,29374 ако сакаме. Зошто е важно? Да, бидејќи сомнежите почнуваат да ги глодаат многу студенти. Како, што ако за x = −4 добиеме плус, а за x = 0 добиваме минус? Но, вакво нешто никогаш нема да се случи. Сите точки на истиот интервал даваат ист знак. Запомнете го ова.

Тоа е сè што треба да знаете за методот на интервал. Се разбира, го анализиравме во наједноставна форма. Постојат посложени нееднаквости - нестроги, фракциони и со повторени корени. Можете исто така да го користите методот интервал за нив, но ова е тема за посебна голема лекција.

Сега би сакал да погледнам напредна техника која драматично го поедноставува методот на интервал. Поточно, поедноставувањето влијае само на третиот чекор - пресметување на знакот на најдесниот дел од линијата. Поради некоја причина, оваа техника не се учи во училиштата (барем никој не ми го објасни ова). Но, залудно - затоа што всушност овој алгоритам е многу едноставен.

Значи, знакот на функцијата е на десниот дел од бројната права. Ова парче има форма (a ; +∞), каде што a е најголемиот корен од равенката f (x) = 0. За да не ве разбуди, да разгледаме конкретен пример:

(x − 1)(2 + x)(7 − x)< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x) (7 − x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Добивме 3 корени. Да ги наведеме во растечки редослед: x = −2, x = 1 и x = 7. Очигледно, најголемиот корен е x = 7.

За оние на кои им е полесно да расудуваат графички, ќе ги обележам овие корени на координатната линија. Ајде да видиме што ќе се случи:

Потребно е да се најде знакот на функцијата f (x) на најдесниот интервал, т.е. до (7; +∞). Но, како што веќе забележавме, за да го одредите знакот, можете да земете кој било број од овој интервал. На пример, можете да земете x = 8, x = 150, итн. И сега - истата техника што не се учи во училиштата: да ја земеме бесконечноста како број. Поточно, плус бесконечност, т.е. +∞.

„Дали сте каменувани? Како можеш да ја замениш бесконечноста во функција?“ - можеби ќе прашате. Но, размислете за тоа: не ни треба вредноста на самата функција, потребен ни е само знакот. Затоа, на пример, вредностите f (x) = -1 и f (x) = -938 740 576 215 го означуваат истото: функцијата на овој интервал е негативна. Затоа, сè што се бара од вас е да го пронајдете знакот што се појавува во бесконечноста, а не вредноста на функцијата.

Всушност, замената на бесконечноста е многу едноставна. Да се вратиме на нашата функција:

f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x)

Замислете дека x е многу голем број. Милијарда или дури трилиони. Сега да видиме што се случува во секоја заграда.

Прва заграда: (x − 1). Што ќе се случи ако од милијарда одземе една? Резултатот ќе биде бројка што не се разликува многу од милијарда, а оваа бројка ќе биде позитивна. Слично со втората заграда: (2 + x). Ако додадеме милијарда на два, добиваме милијарда и копејки - ова е позитивен број. Конечно, третата заграда: (7 − x). Овде ќе има минус милијарда, од која се „одгриза“ патетично парче во форма на седумка. Оние. добиениот број нема да се разликува многу од минус милијарди - ќе биде негативен.

Останува само да се најде знакот на целото дело. Бидејќи имавме плус во првите загради и минус во последните, ја добиваме следната конструкција:

(+) · (+) · (−) = (−)

Конечниот знак е минус! И не е важно која е вредноста на самата функција. Главната работа е дека оваа вредност е негативна, т.е. најдесниот интервал има знак минус. Останува само да се заврши четвртиот чекор од методот на интервал: распоредете ги сите знаци. Ние имаме:

Првичната нееднаквост беше:

(x − 1)(2 + x)(7 − x)< 0

Затоа, ние сме заинтересирани за интервалите означени со знакот минус. Го пишуваме одговорот:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Тоа е целиот трик што сакав да ви го кажам. Како заклучок, еве уште една неравенка што може да се реши со методот на интервал користејќи бесконечност. За визуелно да го скратам решението, нема да пишувам броеви на чекори и детални коментари. Ќе го напишам само она што навистина треба да го напишете кога решавате вистински проблеми:

Задача. Решете ја неравенството:

x (2x + 8) (x − 3) > 0

Неравенката ја заменуваме со равенка и ја решаваме:

x (2x + 8) (x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Ги означуваме сите три корени на координатната линија (со знаци одеднаш):

Има плус на десната страна на координатната оска, бидејќи функцијата изгледа вака:

f (x) = x (2x + 8) (x − 3)

И ако ја замениме бесконечноста (на пример, милијарда), добиваме три позитивни загради. Бидејќи оригиналниот израз мора да биде поголем од нула, нас не интересираат само позитивните страни. Останува само да се напише одговорот:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Во написот ќе разгледаме решавање на неравенки. Ние ќе ви кажеме јасно за како да се конструира решение за неравенки, со јасни примери!

Пред да го разгледаме решавањето на неравенките со помош на примери, ајде да ги разбереме основните концепти.

Општи информации за нееднаквостите

Нееднаквосте израз во кој функциите се поврзани со релации >, . Неравенките можат да бидат и нумерички и буквални.
Неравенките со два знака на односот се нарекуваат двојни, со три - тројни итн. На пример:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Неравенките што го содржат знакот > или или - не се строги.
Решавање на нееднаквостае која било вредност на променливата за која оваа неравенка ќе биде вистина.
"Решете ја нееднаквоста" значи дека треба да го најдеме збирот на сите негови решенија. Има различни методи за решавање на неравенки. За решенија за нееднаквостТие ја користат бројната линија, која е бесконечна. На пример, решение за нееднаквоста x > 3 е интервалот од 3 до +, а бројот 3 не е вклучен во овој интервал, затоа точката на правата се означува со празен круг, бидејќи нееднаквоста е строга.
+
Одговорот ќе биде: x (3; +).
Вредноста x=3 не е вклучена во множеството решенија, така што заградата е тркалезна. Знакот на бесконечност секогаш се истакнува со заграда. Знакот значи „припадност“.
Ајде да погледнеме како да ги решиме неравенките користејќи друг пример со знак:
x 2
-+
Вредноста x=2 е вклучена во множеството решенија, така што заградата е квадратна и точката на правата е означена со пополнета круг.
Одговорот ќе биде: x)