Сфера впишана во права призма. Многуедрите опкружени околу сфера се нарекуваат ограничени полиедри. Комбинација на топка со скратена пирамида

Многуедра оградена околу сфера За полиедар се вели дека е ограничен околу сфера ако рамнините на сите негови лица ја допираат сферата. Се вели дека самата сфера е впишана во полиедарот. Теорема. Сфера може да се впише во призма ако и само ако може да се впише круг на нејзината основа, а висината на призмата е еднаква на дијаметарот на оваа кружница. Теорема. Можете да вклопите сфера во која било триаголна пирамида, и тоа само една.

Вежба 1 Избришете го квадратот и нацртајте два паралелограми што ги претставуваат горните и долните лица на коцката. Поврзете ги нивните темиња со отсечки. Добијте слика на сфера впишана во коцка. Нацртајте сфера впишана во коцка, како на претходниот слајд. За да го направите ова, нацртајте елипса впишана во паралелограм добиен со компресија на круг и квадрат за 4 пати. Означете ги половите на сферата и тангентните точки на елипсата и паралелограмот.

Вежба 4 Дали е можно да се впише сфера во правоаголен паралелепипед освен коцка? Одговор: Не.

Вежба 5 Дали е можно да се впише сфера во наклонет паралелепипед, чиишто лица се ромбови? Одговор: Не.

Вежба 1 Дали е можно да се впише сфера во наклонета триаголна призма со правилен триаголник во основата? Одговор: Не.

Вежба 2 Најдете ја висината на правилна триаголна призма и радиусот на впишаната сфера ако работ на основата на призмата е 1. 3 3 , . 3 6 h r Одговор:

Вежба 3 Во правилна триаголна призма е впишана сфера со радиус 1. Најдете ја страната на основата и висината на призмата. 2 3, 2. a h Одговор:

Вежба 4 Сфера е впишана во призма, во чија основа е правоаголен триаголник со катети еднакви на 1. Најдете го радиусот на сферата и висината на призмата. 2 2 , 2 2. 2 r h Површината на триаголникот ABC е, периметар Да ја користиме формулата r = S / p. Добиваме 2 2. 1,

Вежба 5 Сфера е впишана во призма, во чија основа е рамнокрак триаголник со страни 2, 3, 3. Најдете го радиусот на сферата и висината на призмата. 2, 2. 2 r h Плоштината на триаголникот ABC е еднаква Периметарот е 8. Да ја користиме формулата r = S / p. Добиваме 2 2.

Вежба 1 Во правоаголна четириаголна призма е впишана сфера, во чија основа е ромб со страна 1 и остар агол од 60 степени. Најдете го радиусот на сферата и висината на призмата. Решение. Радиусот на сферата е еднаков на половина од висината на основата DG, т.е. Висината на призмата е еднаква на дијаметарот на сферата, т.е. 3. 4 r 3. 2 h

Вежба 2 Единица сфера е впишана во правоаголна четириаголна призма, во чија основа е ромб со остар агол од 60 степени. Најдете ја страната на основата a и висината на призмата h. Одговор: 4 3 , 2. 3 a h

Вежба 3 Сфера е впишана во правоаголна четириаголна призма, во чија основа има трапез. Висината на трапезот е 2. Најдете ја висината на призмата h и радиусот r на впишаната сфера. Одговор: 1, 2. r h

Вежба 4 Во правоаголна четириаголна призма е впишана сфера, во чија основа е четириаголник, периметар 4 и плоштина 2. Најдете го радиусот r на впишаната сфера. 1. r Решение. Забележете дека радиусот на сферата е еднаков на радиусот на кругот впишан во основата на призмата. Да го искористиме фактот дека радиусот на кругот впишан во многуаголник е еднаков на плоштината на овој многуаголник поделен со неговиот полупериметар. добиваме,

Вежба 1 Најдете ја висината на правилна шестоаголна призма и радиусот на впишаната сфера ако страната на основата на призмата е 1. 3 3, . 2 часа Одговор:

Вежба 2 Во правилна шестоаголна призма е впишана сфера со радиус 1. Најдете ја страната на основата и висината на призмата. 2 3 , 2. 3 a h Одговор:

Вежба 1 Најдете го радиусот на сфера впишана во единица тетраедар. 6. 12 r Одговор: Решение. Во тетраедарот SABC имаме: SD = DE = SE = Од сличноста на триаголниците SOF и SDE добиваме равенка со решавање на која наоѓаме 3 , 2 3 , 6 6. 3 6 3 3: : , 3 6 2 r r 6 12 р

Вежба 2 Единица сфера е впишана во правилен тетраедар. Најдете го работ на овој тетраедар. 2 6. Одговор:

Вежба 3 Најдете го радиусот на сфера впишана во правилна триаголна пирамида, страната на основата е 2, а диедралните агли во основата се 60°. 3 1 30. 3 3 р tg Раствор. Да го искористиме фактот дека центарот на впишаната сфера е пресечната точка на симетралните рамнини на диедралните агли во основата на пирамидата. За радиусот на сферата OE важи следната еднаквост: Според тоа, . ОЕ ДЕ тг О

Вежба 4 Најдете го радиусот на сфера впишана во правилна триаголна пирамида, чии странични рабови се еднакви на 1, а рамнинските агли на врвот се еднакви на 90°. 3 3. 6 r Одговор: Решение. Во тетраедарот SABC имаме: SD = DE = SE = Од сличноста на триаголниците SOF и SDE добиваме равенка со решавање на која наоѓаме 2 , 2 6 , 6 3. 3 3 6 2: : , 3 6 2 r r 3 3. 6 р

Вежба 1 Најдете го радиусот на сфера впишана во правилна четириаголна пирамида, чии сите рабови се еднакви на 1. 6 2. 4 r Да го искористиме фактот дека за радиусот r на кругот впишан во триаголник, важи формулата : r = S / p, каде што S е плоштината , p – полупериметар на триаголникот. Во нашиот случај, S = p = 3, 2 2. 2 Решение. Радиусот на сферата е еднаков на радиусот на кругот впишан во триаголникот SEF, во кој SE = SF = EF= 1, SG = 2, 4 Затоа, 1 3.

Вежба 2 Најдете го радиусот на сфера впишана во правилна четириаголна пирамида, страната на основата е 1, а страничниот раб е 2. 14 (15 1). 28 r Да го искористиме фактот дека за радиусот r на кругот впишан во триаголник, важи формулата: r = S / p, каде што S е плоштината, p е полупериметарот на триаголникот. Во нашиот случај, S = p = 15, 214. 2 Решение. Радиусот на сферата е еднаков на радиусот на кругот впишан во триаголникот SEF, во кој SE = SF = EF= 1, SG = 14, 4 Затоа, 1 15.

Вежба 3 Најдете го радиусот на сфера впишана во правилна четириаголна пирамида, страната на основата е 2, а диедралните агли во основата се 60°. 3 30. 3 r tg Раствор. Да го искористиме фактот дека центарот на впишаната сфера е пресечната точка на симетралните рамнини на диедралните агли во основата на пирамидата. За радиусот на сферата OG важи следната еднаквост: Според тоа, . OG FG tg OFG

Вежба 4 Единицата сфера е впишана во правилна четириаголна пирамида, страната на основата е 4. Најдете ја висината на пирамидата. Да го искористиме фактот дека за радиусот r на кругот впишан во триаголник, важи формулата: r = S / p, каде што S е плоштината, p е полупериметарот на триаголникот. Во нашиот случај S = 2 h, p = 2 4 2. h. Решение. Висината SG на пирамидата да ја означиме како h. Радиусот на сферата е еднаков на радиусот на кругот впишан во триаголникот SEF, во кој SE = SF = EF= 4. 2 4, h 8. 3 h Затоа, имаме еднаквост од која наоѓаме 2 4 2 2, ч

Вежба 1 Најдете го радиусот на сфера впишана во правилна шестоаголна пирамида, чии основни рабови се еднакви на 1, а страничните рабови се еднакви на 2. 15 3. 4 r Да го искористиме фактот дека за радиусот r на кругот впишан во триаголник, важи формулата: r = S / p, каде што S е областа, p е полупериметарот на триаголникот. Во нашиот случај, S = p = 3, 2 Затоа, 15 3. 2 15, 2 Решение. Радиусот на сферата е еднаков на радиусот на кругот впишан во триаголникот SPQ, во кој SP = SQ = PQ = SH = 3.

Вежба 2 Најдете го радиусот на сфера впишана во правилна шестоаголна пирамида чии рабови на основата се еднакви на 1, а диедралните агли во основата се еднакви на 60°. 3 1 30. 2 2 r tg Раствор. Да го искористиме фактот дека центарот на впишаната сфера е пресечната точка на симетралните рамнини на диедралните агли во основата на пирамидата. За радиусот на сферата OH важи следната еднаквост: Според тоа, . OH HQ tg OQH

Вежба Најдете го радиусот на сфера впишана во единица октаедар. 6. 6 r Одговор: Решение. Радиусот на сферата е еднаков на радиусот на кругот впишан во ромбот SES'F, во кој SE = SF = EF= 1, SO = Тогаш висината на ромбот, спуштен од темето E, ќе биде еднаква на Потребниот радиус е еднаков на половина од висината и е еднаков на 6. 66. 3 2 .2 3 , 2 O

Вежба Најдете го радиусот на сфера впишана во единица икозаедар. 1 7 3 5. 2 6 r Решение. Да го искористиме фактот дека радиусот OA на опишаната сфера е еднаков на и радиусот AQ на опишаната кружница околу рамностран триаголник со страна 1 е еднаков на. 10 2 5, 4 3.

Вежба Најдете го радиусот на сфера впишана во единица додекаедар. 1 25 11 5. 2 10 r Решение. Да го искористиме фактот дека радиусот OF на опишаната сфера е еднаков на, а радиусот FQ на кругот опфатен околу рамностран петаголник со страна 1 е еднаков на. 5, 4 5 5.

Вежба 1 Дали е можно да се вклопи сфера во скратен тетраедар? Решение. Забележете дека центарот O на сферата впишана во скратен тетраедар мора да се совпаѓа со центарот на сферата впишана во тетраедар, што се совпаѓа со центарот на сферата полу-впишана во скратен тетраедар. Растојанието d 1 , d 2 од точката O до хексагоналните и триаголните лица се пресметуваат со помош на Питагоровата теорема: каде што R е радиус на полувпишана сфера, r 1 , r 2 се радиусите на круговите впишани во шестоаголник и триаголник, соодветно. Бидејќи r 1 > r 2, тогаш d 1< d 2 и, следовательно, сферы, вписанной в усеченный тетраэдр, не существует. 2 2 1 1 2 2 , d R r

Вежба 2 Дали е можно да се вклопи сфера во скратена коцка? Одговор: Не. Доказот е сличен на претходниот.

Вежба 3 Дали е можно да се вклопи сфера во пресечен октаедар? Одговор: Не. Доказот е сличен на претходниот.

Вежба 4 Дали е можно да се вклопи сфера во кубоктаедрон? Одговор: Не. Доказот е сличен на претходниот.

Темата „Различни проблеми за полиедар, цилиндар, конус и топка“ е една од најтешките во предметот геометрија од 11-то одделение. Пред да решат геометриски проблеми, тие обично ги проучуваат релевантните делови од теоријата на кои се повикуваат при решавање проблеми. Во учебникот на С. Атанасјан и други на оваа тема (стр. 138) може да се најдат само дефиниции за полиедар опишан околу сфера, полиедар впишан во сфера, сфера впишана во полиедар и сфера опишана околу полиедар. ВО методолошки препоракиовој учебник (види ја книгата „Изучување на геометријата во 10-11 одделение“ од С.М. Саакјан и В.Ф. Бутузов, стр. 159) кажува кои комбинации на тела се земаат предвид при решавање на проблемите бр. 629-646 и се осврнува на фактот дека „ при решавање на одреден проблем, пред сè, потребно е да се осигура дека учениците имаат добро разбирање за меѓусебно уредувањетелата наведени во состојбата“. Следното е решение за проблемите бр. 638(а) и бр.640.

Имајќи го предвид сето горенаведено, и фактот дека најтешките проблеми за учениците е комбинацијата на топка со други тела, неопходно е да се систематизираат релевантните теоретски принципи и да се соопштат на студентите.

Дефиниции.

1. Топката се нарекува впишана во полиедар, а полиедар опишан околу топката ако површината на топката ги допира сите лица на полиедарот.

2. Топката се нарекува ограничена околу полиедарот, а полиедарот впишан во топката, ако површината на топката минува низ сите темиња на многуедарот.

3. Се вели дека топката е впишана во цилиндар, скратен конус (конус), а цилиндар, скратен конус (конус) се вели дека е впишан околу топката ако површината на топката ги допира основите (основата) и сите генератриките на цилиндерот, скратен конус (конус).

(Од оваа дефиниција произлегува дека големиот круг на топката може да биде впишан во кој било аксијален дел од овие тела).

4. Се вели дека топката е ограничена околу цилиндар, скратен конус (конус), ако круговите на основите (основниот круг и врвот) припаѓаат на површината на топката.

(Од оваа дефиниција произлегува дека околу секој аксијален дел од овие тела може да се опише кругот на поголем круг на топката).

Општи белешки за положбата на центарот на топката.

1. Центарот на топката впишана во полиедар лежи на точката на пресек на симетралните рамнини на сите диедрални агли на полиедарот. Се наоѓа само внатре во полиедарот.

2. Центарот на топката опкружена со полиедар лежи на пресечната точка на рамнините нормални на сите рабови на полиедарот и минуваат низ нивните средни точки. Може да се наоѓа внатре, на површината или надвор од полиедарот.

Комбинација на сфера и призма.

1. Топка впишана во права призма.

Теорема 1. Сферата може да се впише во права призма ако и само ако може да се впише круг на основата на призмата, а висината на призмата е еднаква на дијаметарот на овој круг.

Заклучок 1.Центарот на сферата впишана во десната призма лежи на средината на висината на призмата што минува низ центарот на кругот впишан во основата.

Заклучок 2.Топката, особено, може да се впише во прави линии: триаголна, правилна, четириаголна (во која збировите на спротивните страни на основата се еднакви една со друга) под услов H = 2r, каде што H е висината на призма, r е радиусот на кругот впишан во основата.

2. Сфера ограничена на призма.

Теорема 2. Сферата може да се опише околу призмата ако и само ако призмата е права и може да се опише круг околу нејзината основа.

Заклучок 1. Центарот на сферата опкружена со права призма лежи на средината на висината на призмата извлечена низ центарот на кругот опфатен околу основата.

Заклучок 2.Топката, особено, може да се опише: во близина на правоаголна триаголна призма, во близина на правилна призма, во близина на правоаголен паралелепипед, во близина на правоаголна четириаголна призма, во која збирот на спротивните агли на основата е еднаков на 180 степени.

Од учебникот на Л.С. Атанасјан може да се предложат задачи бр.

Комбинација на топка со пирамида.

1. Топка опишана во близина на пирамида.

Теорема 3. Топката може да се опише околу пирамидата ако и само ако може да се опише круг околу нејзината основа.

Заклучок 1.Центарот на сферата опкружена со пирамида лежи на точката на пресек на права линија нормална на основата на пирамидата што минува низ центарот на кругот опкружен околу оваа основа и рамнина нормална на кој било страничен раб повлечен низ средината на овој раб.

Заклучок 2.Ако страничните рабови на пирамидата се еднакви еден со друг (или подеднакво наклонети кон рамнината на основата), тогаш околу таквата пирамида може да се опише топка. Центарот на оваа топка во овој случај лежи на точката на пресек на висината на пирамидата (или нејзиното продолжување) со оската на симетрија на страничниот раб што лежи во рамнината страничен раб и висина.

Заклучок 3.Топката, особено, може да се опише: во близина на триаголна пирамида, во близина на правилна пирамида, во близина на четириаголна пирамида во која збирот на спротивните агли е 180 степени.

2. Топка впишана во пирамида.

Теорема 4. Ако страничните лица на пирамидата се подеднакво наклонети кон основата, тогаш во таква пирамида може да се впише топка.

Заклучок 1.Центарот на топката впишана во пирамида чии странични лица се подеднакво наклонети кон основата лежи во точката на пресек на висината на пирамидата со симетралата на линеарниот агол на кој било диедрален агол во основата на пирамидата, страната од кои е висината на страничното лице извлечено од врвот на пирамидата.

Заклучок 2.Можете да вклопите топка во обична пирамида.

Од учебникот на Л.С. Атанасјан може да се предложат проблеми бр.

Комбинација на топка со скратена пирамида.

1. Топка оградена околу правилна скратена пирамида.

Теорема 5. Може да се опише сфера околу секоја редовна скратена пирамида. (Овој услов е доволен, но не е неопходен)

2. Топка впишана во редовна скратена пирамида.

Теорема 6. Топката може да се впише во правилна скратена пирамида ако и само ако апотемата на пирамидата е еднаква на збирот на апотемите на основите.

Има само еден проблем за комбинацијата на топка со скратена пирамида во учебникот на Л.С. Атанасјан (бр. 636).

Комбинација на топка со тркалезни тела.

Теорема 7. Сфера може да се опише околу цилиндар, скратен конус (прав кружен) или конус.

Теорема 8. Топката може да се впише во (прав кружен) цилиндар ако и само ако цилиндерот е рамностран.

Теорема 9. Може да ставите топка во кој било конус (право кружен).

Теорема 10. Топката може да се впише во скратен конус (прав кружен) ако и само ако нејзиниот генератор е еднаков на збирот на радиусите на основите.

Од учебникот на Л.С.Атанасјан, може да се предложат проблеми бр.

Повеќе успешно студирањематеријал на оваа тема, неопходно е да се вклучат усни задачи во текот на часовите:

1. Работ на коцката е еднаков на a. Најдете ги радиусите на топчињата: впишани во коцката и ограничени околу неа. (r = a/2, R = a3).

2. Дали е можно да се опише сфера (топка) околу: а) коцка; б) правоаголен паралелепипед; в) наклонет паралелепипед со правоаголник во основата; г) праволиниски паралелепипед; д) наклонет паралелепипед? (а) да; б) да; в) не; г) не; г) не)

3. Дали е вистина дека може да се опише сфера околу која било триаголна пирамида? (Да)

4. Дали е можно да се опише сфера околу која било четириаголна пирамида? (Не, не во близина на која било четириаголна пирамида)

5. Какви својства мора да има пирамидата за да опише сфера околу неа? (Во неговата основа треба да има многуаголник околу кој може да се опише круг)

6. Пирамида е впишана во сфера, чиј страничен раб е нормален на основата. Како да се најде центарот на сферата? (Центарот на сферата е пресечна точка на две геометриски места на точки во просторот. Првата е нормална поставена на рамнината на основата на пирамидата, низ центарот на кругот опкружен околу неа. Вториот е рамнина нормално на даден страничен раб и повлечен низ неговата средина)

7. Под кои услови можете да опишете сфера околу призма, во чија основа е трапез? (Прво, призмата мора да биде права, а второ, трапезот мора да биде рамнокрак за да може да се опише круг околу него)

8. Кои услови треба да ги исполнува една призма за да може да се опише сфера околу неа? (Призмата мора да биде права, а нејзината основа мора да биде многуаголник околу кој може да се опише круг)

9. Сфера е опишана околу триаголна призма, чиј центар лежи надвор од призмата. Кој триаголник е основата на призмата? (тап триаголник)

10. Дали е можно да се опише сфера околу навалена призма? (Не, не можеш)

11. Под кој услов ќе се наоѓа центарот на сфера опфатена со правоаголна триаголна призма на една од страничните страни на призмата? (Основата е правоаголен триаголник)

12. Основата на пирамидата е рамнокрак трапез Ортогоналната проекција на врвот на пирамидата на рамнината на основата е точка која се наоѓа надвор од трапезот. Дали е можно да се опише сфера околу таков трапез? (Да, можеш. Тоа што ортогоналната проекција на врвот на пирамидата се наоѓа надвор од нејзината основа не е важно. Важно е дека во основата на пирамидата лежи рамнокрак трапез - многуаголник околу кој може да биде кружна опишано)

13. Сфера е опишана во близина на правилна пирамида. Како се наоѓа неговиот центар во однос на елементите на пирамидата? (Центарот на сферата е на нормална поставена на рамнината на основата низ нејзиниот центар)

14. Под која состојба лежи центарот на сферата опишана околу правоаголна триаголна призма: а) внатре во призмата; б) надвор од призмата? (Во основата на призмата: а) остар триаголник; б) тап триаголник)

15. Опишана е сфера околу правоаголен паралелепипед чии рабови се 1 dm, 2 dm и 2 dm. Пресметајте го радиусот на сферата. (1,5 dm)

16. Во каков скратен конус може да се вклопи сферата? (Кај скратен конус, во чиј аксијален дел може да се впише круг. Аксијалниот пресек на конусот е рамнокрак трапез, збирот на неговите основи мора да биде еднаков на збирот на неговите странични страни. Со други зборови, збирот на радиусите на основите на конусот мора да биде еднаков на генераторот)

17. Во скратен конус е впишана сфера. Под кој агол е видлива генератриксот на конусот од центарот на сферата? (90 степени)

18. Какво својство треба да има правата призма за да биде впишана сфера во неа? (Прво, во основата на права призма мора да има многуаголник во кој може да се впише круг, и, второ, висината на призмата мора да биде еднаква на дијаметарот на кругот впишан во основата)

19. Наведи пример за пирамида која не може да одговара на сфера? (На пример, четириаголна пирамида, чија основа е правоаголник или паралелограм)

20. Во основата на права призма е ромб. Дали е можно да се вклопи сфера во оваа призма? (Не, тоа е невозможно, бидејќи воопшто е невозможно да се опише круг околу ромб)

21. Под кој услов може сфера да се впише во правоаголна триаголна призма? (Ако висината на призмата е двапати од радиусот на кругот впишан во основата)

22. Под кој услов може сфера да се впише во правилна четириаголна скратена пирамида? (Ако пресекот на дадена пирамида е рамнина што минува низ средината на страната на основата нормална на неа, тоа е рамнокрак трапез во кој може да се впише круг)

23. Во триаголна скратена пирамида е впишана сфера. Која точка на пирамидата е центарот на сферата? (Центарот на сферата впишана во оваа пирамида е на пресекот на три бисектрални рамнини на агли формирани од страничните страни на пирамидата со основата)

24. Дали е можно да се опише сфера околу цилиндар (десно кружно)? (Да ти можеш)

25. Дали е можно да се опише сфера околу конус, скратен конус (прав кружен)? (Да, можеш и во двата случаи)

26. Може ли сфера да се впише во кој било цилиндар? Какви својства треба да има цилиндерот за да се вклопи сфера во него? (Не, не секој пат: аксијалниот дел на цилиндерот мора да биде квадрат)

27. Може ли сфера да се впише во кој било конус? Како да се одреди положбата на центарот на сферата впишана во конус? (Да, апсолутно. Центарот на впишаната сфера е на пресекот на висината на конусот и симетралата на аголот на наклонетост на генератриксот до рамнината на основата)

Авторот верува дека од трите лекции за планирање на тема „Различни проблеми на полиедри, цилиндар, конус и топка“, препорачливо е да се посветат две лекции за решавање проблеми за комбинирање на топка со други тела. Не се препорачува докажување на теоремите дадени погоре поради недоволно време на час. Можете да ги поканите студентите кои имаат доволно вештини за тоа да ги докажат така што ќе го наведат (по дискреција на наставникот) текот или планот на доказот.

Топката и сферата

Телото добиено со ротирање на полукруг околу дијаметар се нарекува топка. Површината формирана во овој случај се нарекува сфера.Топката е тело кое се состои од сите точки во просторот лоцирани на растојание не поголемо од дадена од дадена точка.Оваа точка се нарекува центар на топката., и ова растојание се нарекува радиус на топката.Границата на топката се нарекува сферична површинаили сфера.Секој сегмент што го поврзува центарот на топката со точка на сферичната површина се нарекува радиус.Сегмент кој поврзува две точки на сферична површина и минува низ центарот на топката се нарекува дијаметар.Краевите на кој било дијаметар се нарекуваат дијаметрално спротивни точки на топката.Било кој дел од топкатаавион е круг. Центарот на оваа кружница е основата на нормалната спуштена од центарот на секантната рамнина.Равината што минува низ центарот на топката се нарекува дијаметрална рамнина. Пресекот на топката покрај дијаметралната рамнина се нарекува голем круг, а пресекот на сферата е голем круг.Секоја дијаметрална рамнина на топката е нејзина рамнина на симетрија. Центарот на топката е неговиот центар на симетрија.Равината што минува низ точка на сферичната површина и нормална на радиусот повлечен до оваа точка се нарекува тангентна рамнина. Оваа точканаречена точка на контакт.Тангентната рамнина има само една заедничка точка со топката - точката на допир.Права линија што минува низ дадена точкасферичната површина нормална на радиусот нацртан до оваа точка се нарекува тангентаНиз која било точка на сферичната површина минуваат бесконечен број тангенти и сите лежат во тангентата рамнина на топката.Сферична отсечкаделот од топката отсечен од него со рамнина се нарекува сферичен слојнаречен дел од топката сместен помеѓу две паралелни рамнини што ја сечат топката.Сферичен секторсе добива од сферичен сегмент и конус.Ако сферичниот сегмент е помал од хемисфера, тогаш сферичниот сегмент се надополнува со конус чие теме е во центарот на топката, а основата е основата на отсечка.Ако отсечката е поголема од хемисферата, тогаш наведениот конус се отстранува од него.Основни формулиТопка (R = OB - радиус): С б = 4πR 2 ; V = 4πR 3 / 3. Сегмент на топка (R = OB - радиус на топката, h = SK - висина на сегментот, r = KV - радиус на основата на отсечката): V сегм = πh 2 (R - h/3) или V сегм = πh(ч 2 + 3р 2 ) / 6; С сегм = 2πRh Сектор на топка (R = OB - радиус на топката, h = SC - висина на сегментот): V = V сегм ± V кон , „+“ - ако сегментот е помал, „-“ - ако сегментот е поголем од хемисферата.или V = V сегм +V кон = πh 2 (R - h/3) + πr 2 (R - h) / 3. Сферичен слој (Р 1 и Р 2 - радиуси на основите на сферичниот слој; h = SC - висина на сферичниот слој или растојание помеѓу базите):V w/sl = πh 3 / 6 + πh (R 1 2 + Р 2 2 ) / 2; С w/sl = 2πRh.Пример 1. Волуменот на топката е 288π cm 3 . Најдете го дијаметарот на топката РешениеV = πd 3 / 6288π = πd 3 / 6πd 3 = 1728 πd 3 = 1728d = 12 cm Одговор: 12. Пример 2. Три еднакви сфери со радиус r се допираат една со друга и некоја рамнина. Одреди го радиусот на четвртата сфера тангента на трите податоци и дадената рамнина.РешениеНека О 1 , ЗА 2 , ЗА 3 - центрите на овие сфери и О - центарот на четвртата сфера допирајќи ги трите податоци и дадената рамнина. Нека A, B, C, T се допирните точки на сферите со дадена рамнина. Точките на допир на две сфери лежат на линијата на центрите на овие сфери, затоа О 1 ЗА 2 = О 2 ЗА 3 = О 3 ЗА 1 = 2r. Точките се подеднакво оддалечени од рамнината ABC, значи ABO 2 ЗА 1 , АВО 2 ЗА 3 , АВО 3 ЗА 1 - еднакви правоаголници, значи, ∆ABC е рамностран со страна 2r Нека x е саканиот радиус на четвртата сфера. Тогаш OT = x. Оттука, Исто така Ова значи дека Т е центар на рамностран триаголник. Затоа Од тукаОдговор: r / 3. Сфера впишана во пирамида Во секоја правилна пирамида може да се впише сфера. Центарот на сферата лежи на висината на пирамидата во точката на нејзиното вкрстување со симетралата на линеарниот агол на работ на основата на пирамидата. Ако сферата може да се впише во пирамида, не мора да е правилна, тогаш радиусот r на оваа сфера може да се пресмета со формулата r = 3V / S стр , каде V е волуменот на пирамидата, С стр - неговата вкупна површина Пример 3. Конусна инка, радиусот на основата R и висината H, се полни со вода. Тешка топка се спушта во инката. Колкав треба да биде радиусот на топката за да биде максимален волуменот на водата изместена од инката со потопениот дел од топката?Решение Да нацртаме пресек низ центарот на конусот. Овој дел формира рамнокрак триаголник.Ако има топка во инката, тогаш максималната големина на нејзиниот радиус ќе биде еднаква на радиусот на кругот впишан во добиениот рамнокрак триаголник. Радиусот на кругот впишан во триаголникот е еднаков на: r = S / p , каде што S е плоштината на триаголникот, p е неговиот полупериметар. Областа на рамнокрак триаголник е еднаква на половина висина (H = SO) помножена со основата. Но, бидејќи основата е двапати поголем од радиусот на конусот, тогаш S = RH Полупериметарот е еднаков на p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m е должината на секоја од еднаквите страни на рамнокрак триаголник; R е радиусот на кругот што ја сочинува основата на конусот. Најдете m според Питагоровата теорема: , кадеНакратко изгледа вака:Одговор:Пример 4. Во правилна триаголна пирамида со диедрален агол во основата еднаков на α, има две топки. Првата топка ги допира сите лица на пирамидата, а втората топка ги допира сите странични страни на пирамидата и првата топка. Најдете го односот на радиусот на првото топче со радиусот на второто топче ако tgα = 24/7. Решение
Нека RABC е правилна пирамида, а точката H е центар на нејзината основа ABC. Нека M е средната точка на работ BC. Потоа - линеарен диедрален агол , кој по услов е еднаков на α, и α< 90°. Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой .Нека НН 1 - дијаметарот на првата топка и рамнината што минува низ точката H 1 нормално на правата линија RN, ги пресекува страничните рабови RA, PB, RS, соодветно, во точките А 1 , ВО 1 , СО 1 . Тогаш Н 1 ќе биде центар на точниот ∆A 1 ВО 1 СО 1 , и пирамидата РА 1 ВО 1 СО 1 ќе биде слична на пирамидата RABC со коефициент на сличност k = RN 1 / RN. Забележете дека втората топка, со центар во точката О 1 , е впишан во РА пирамидата 1 ВО 1 СО 1 и затоа односот на радиусите на впишаните топчиња е еднаков на коефициентот на сличност: OH / OH 1 = RN / RN 1 . Од еднаквоста tgα = 24/7 наоѓаме:Нека AB = x. Потоа Оттука и саканиот сооднос OH/O 1 Н 1 = 16/9 Одговор: 16/9.Сфера впишана во призма Дијаметарот D на сфера впишана во призма е еднаков на висината H на призмата: D = 2R = H. Радиусот R на сферата впишана во призмата е еднаква на радиусот на кругот впишан во призма на нормален пресек.Ако сфера е впишана во права призма, тогаш може да се впише круг во основата на оваа призма.Радиусот R на сфера впишана во права призмата е еднаква на радиусот на кругот впишан во основата на призмата Теорема 1 Нека е впишан круг во основата на права призма, а висината H на призмата е еднаква на дијаметарот D на оваа кружница. Тогаш во оваа призма може да се впише сфера со дијаметар D. Центарот на оваа впишана сфера се совпаѓа со средината на сегментот што ги поврзува центрите на круговите впишани во основите на призмата.Нека АБЦ...А 1 ВО 1 СО 1 ... е права призма и О е центар на круг впишан во неговата основа ABC. Тогаш точката O е еднакво оддалечена од сите страни на основата ABC. Нека О 1 - ортогонална проекција на точката О на основата А 1 ВО 1 СО 1 . Потоа О 1 подеднакво оддалечено од сите страни на основата А 1 ВО 1 СО 1 , и ОО 1 || АА 1 . Следи дека директна ОО 1 паралелно со секоја рамнина на страничното лице на призмата и должината на отсечката ОО 1 еднаква на висината на призмата и, по конвенција, дијаметарот на кругот впишан во основата на призмата. Тоа значи дека точките од отсечката ОО 1 се подеднакво оддалечени од страничните страни на призмата, а средината F на отсечката ОО 1 , на еднакво растојание од рамнините на основите на призмата, ќе биде еднакво оддалечено од сите страни на призмата. Односно, F е центар на сфера впишана во призма, а дијаметарот на оваа сфера е еднаков на дијаметарот на кругот впишан во основата на призмата. Теоремата е докажана Теорема 2 Нека е впишан круг во нормалниот пресек на навалена призма, а висината на призмата е еднаква на дијаметарот на оваа кружница. Тогаш може да се впише сфера во оваа наклонета призма. Центарот на оваа сфера ја дели висината што минува низ центарот на кругот впишан во нормален пресек на половина.
Нека АБЦ...А 1 ВО 1 СО 1 ... е наклонета призма и F е центар на круг со радиус FK впишан во неговиот нормален пресек. Бидејќи нормалниот пресек на призмата е нормален на секоја рамнина на нејзиното странично лице, радиусите на кругот впишан во нормалниот дел нацртан на страните на овој дел се нормални на страничните страни на призмата. Следствено, точката F е еднакво оддалечена од сите странични лица. Да повлечеме права линија OO низ точката F 1 , нормална на рамнината на основите на призмата, вкрстувајќи ги овие основи во точките O и O 1 . Потоа ОО 1 - висина на призмата. Бидејќи според условот ОО 1 = 2FK, тогаш F е средината на сегментот OO 1 :FK = ОО 1 / 2 = ФО = ФО 1 , т.е. точката F е еднакво оддалечена од рамнините на сите лица на призмата без исклучок. Ова значи дека сфера може да се впише во дадена призма, чиј центар се совпаѓа со точката F - центарот на кругот впишан во тој нормален дел од призмата што ја дели висината на призмата што минува низ точката F на половина. Теоремата е докажана.Пример 5. Топка со радиус 1 е впишана во правоаголен паралелепипед Најди го волуменот на паралелепипедот РешениеНацртајте го горниот приказ. Или од страна. Или од напред. Ќе го видите истото - круг впишан во правоаголник. Очигледно, овој правоаголник ќе биде квадрат, а паралелепипедот ќе биде коцка. Должината, ширината и висината на оваа коцка се двапати од радиусот на сферата AB = 2 и затоа волуменот на коцката е 8. Одговор: 8. Пример 6. Во правилна триаголна призма со страна на основата еднаква до , има две топки. Првата топка е впишана во призмата, а втората топка допира една основа од призмата, нејзините две странични страни и првата топка. Најдете го радиусот на второто топче Решение
Нека ABCA 1 ВО 1 СО 1 - правилна призма и точки P и P 1 - центрите на неговите основи. Тогаш центарот на топката O впишан во оваа призма е средната точка на отсечката PP 1 . Размислете за авионот RVV 1 . Бидејќи призмата е правилна, PB лежи на отсечката BN, која е симетрала и висина ΔABC. Затоа, авионот и е симетрална рамнина на диедралниот агол на страничниот раб на експлозивот 1 . Затоа, секоја точка на оваа рамнина е подеднакво оддалечена од страничните страни на АА 1 ББ 1 и СС 1 ВО 1 Б. Особено, нормалното ОК, спуштено од точката О до лицето ACC 1 А 1 , лежи во авионот RVV 1 и е еднаква на отсечката OP. Забележете дека KNPO е квадрат, чија страна е еднаква на радиусот на топката впишана во дадена призма. 1 - центарот на топката допира до впишаната топка со центар О и страничните страни АА 1 ББ 1 и СС 1 ВО 1 Во призми. Потоа точка О 1 лежи на авионот RVV 1 , и неговата проекција П 2 на рамнината ABC лежи на отсечката PB.Според условот страната на основата е еднаква , значи, PN = 2 и затоа радиусот на топката ИЛИ впишан во призмата е исто така еднаков на 2. Бидејќи топчињата со центри во точките О и О 1 допрете еден со друг, потоа сегментот ОО 1 = ИЛИ + О 1 Р 2 . Да означиме OP = r, O 1 Р 2 = x. Размислете за ΔOO 1 Т, каде Во овој триаголник ОО 1 = r + x, OT = r - x. Затоа Бидејќи фигурата е О 1 Р 2 RT е правоаголник, тогаш Понатаму, според својството на медијани на триаголник РВ = 2r, и Р 2 B = 2x, бидејќи во правоаголен триаголник и П 2 L = x. Бидејќи PB = PP 2 + Р 2 Б, тогаш ја добиваме равенката , од кои, земајќи ја предвид неравенката x< r, находим Заменувајќи ја вредноста r = 2, конечно наоѓаме Одговор:Сфера ограничена на полиедар
Се вели дека сферата е ограничена околу полиедарот, ако сите нејзини темиња лежат на оваа сфера. Во овој случај, се вели дека полиедарот е впишан во сферата.Од дефиницијата произлегува дека ако полиедар има ограничена сфера, тогаш сите негови лица се впишани многуаголници и затоа не секој многуедар има ограничена сфера околу себе. На пример, наклонет паралелепипед нема ограничена сфера, бидејќи Невозможно е да се опише круг околу паралелограм Центарот на сфера оградена околу десна призма е средината на отсечката што ги поврзува центрите на кругови опишани за основите на десната призма Пример 7. Најдете го радиусот на сферата ограничен на коцка ако волуменот на коцката е 27. Одговорот напиши го во форма Решение Волумен на коцка раб на коцката a = 3. Според Питагоровата теорема, дијагоналата на коцката Потоа го наоѓаме радиусот како половина од дијагоналата на коцката: Ајде да го напишеме одговорот во формуларот Одговор: 1.5 Пример 8 Една од основите на правилна триаголна призма припаѓа на големиот круг на топка со радиус R, а темињата на другата основа припаѓаат на површината на оваа топка. Одреди ја висината на призмата на која нејзиниот волумен ќе биде најголем Решение
Нормално на рамнината А 1 ВО 1 СО 1 извлечен од центарот на кругот опишан околу овој триаголник поминува низ центарот на топката. Да означиме ОБ 1 = R, OB = R 1 , ББ 1 = h = x. Тогаш Да го најдеме изводот и да го изедначиме со нула. Добиваме:Одговор:

XV ГРАДСКА ОТВОРЕНА КОНФЕРЕНЦИЈА НА СТУДЕНТИ

„ИНТЕЛЕКТУАЛЦИ НА XXI ВЕК“

Дел: МАТЕМАТИКА

Опишаната област на олимпијадите и обединетиот државен испит

Кијаева Ана Анатолевна

Оренбург – 2008 година

1.2 Опишан опсег

1.2.1 Основни својства и дефиниции

1.2.2 Комбинација на пирамида

1.2.3 Комбинација со призма

1.2.4 Комбинација со цилиндар

1.2.5 Комбинација со конус

2 Примери за задачи на Олимпијадата

2.1 Примери за задачи на Олимпијадата со пирамида

2.2 Примери за задачи на Олимпијадата со призма

2.3 Примери за задачи на Олимпијадата со цилиндар

2.4 Примери за задачи на Олимпијадата со конус

3.3 Примери на задачи за унифициран државен испит со цилиндар

3.4 Примери за задачи за унифициран државен испит со конус

Вовед

Оваа работа се изведува како дел од проектот за креирање математичка страница за ученици на веб-страницата на интернатот и ќе биде објавена во делот „Математички методи“.

Целработа - креирање на референтна книга посветена на методот на решение геометриски проблемисо опишаната сфера на олимпијадите и обединетиот државен испит.

За да ја постигнеме оваа цел, требаше да го решиме следново задачи :

1) запознајте се со концептот на опишаната сфера;

2) проучување на карактеристиките на комбинации на опишаната сфера со пирамида, призма, цилиндар и конус;

3) меѓу геометриските проблеми, изберете ги оние што го содржат условот за присуство на опишана сфера;

4) го анализира, систематизира и класифицира собраниот материјал;

5) направи избор на проблеми за самостојно решавање;

6) да го претстави резултатот од истражувањето во форма на апстракт.

Во текот на истражувањето, дознавме дека проблемите со опишаната област доста често им се нудат на учениците на Единствениот државен испит, така што способноста за решавање проблеми од овој тип игра многу важна улога во успешно завршувањеиспити. Исто така, проблемите со опишаната област често се среќаваат на математичките олимпијади на различни нивоа. Релевантни примери се дадени во нашата работа. Оваа темае релевантни, бидејќи задачите од овој тип обично предизвикуваат тешкотии кај учениците.

Практично значење– Материјалите што ги подготвивме може да се користат за подготовка на ученици за олимпијади, обединет државен испит и последователни студии на универзитет.

1 Сфера и топка

1.1 Сфера и топка: основни поими и дефиниции

Сферае површина која се состои од сите точки во просторот лоцирани на дадено растојание од дадена точка.

Оваа точка се нарекува центар на сферата(точка ЗАво Сл. 1), и ова растојание радиус на сферата. Секој сегмент што го поврзува центарот и која било точка на сферата се нарекува и радиус на сферата. Се вика отсечка што поврзува две точки на сфера и минува низ нејзиниот центар дијаметар на сфера(линиски сегмент DCво Сл. 1). Забележете дека сфера може да се добие со ротирање на полукруг околу неговиот дијаметар.

Топкасе нарекува тело ограничено со сфера. Центарот, радиусот и дијаметарот на сферата се нарекуваат и центар , радиусИ дијаметар на топката. Очигледно, топка со радиус Рцентриран во ЗАги содржи сите точки во просторот кои се наоѓаат од точката ЗАна растојание што не надминува Р(вклучувајќи точка ЗА), и не содржи други точки. Топканаречена и фигура на ротација на полукруг околу неговиот дијаметар. Сегмент на топка- дел од топката отсечен од него со некој авион. Секој дел од топката покрај рамнина е круг. Центарот на овој круг е основата на нормалната извлечена од центарот на топката на рамнината за сечење. Авионот што минува низ центарот на топката се нарекува дијаметрална рамнина.Пресекот на топката по дијаметралната рамнина се нарекува голем круг, а пресекот на сферата е голем круг. Сектор за топки -геометриско тело кое се добива со ротирање на кружен сектор со агол помал од 90° околу права линија која содржи еден од радиусите што го ограничува кружниот сектор. Сферичниот сектор се состои од сферичен сегмент и конус со заедничка основа.

Површина на сфера:

С = 4π Р 2 ,

Каде Р- радиус на топката, С- областа на сферата.

Волумен на сфера

Каде В– волумен на топката

Волумен на секторот на топката

В – волумен на сферичниот сегмент.

Сегментална површина

- висина на сегментот, сегментна површина

Радиус на основата на сегментот

, - радиус на основата на сегментот, - висина на сегментот, 0<Х < 2Р .

Сферична површина на сегмент на топка

- површина на сферичната површина на сферичниот сегмент.

Во просторот за топка и авион, можни се три случаи:

1) Ако растојанието од центарот на топката до рамнината е поголемо од радиусот на топката, тогаш топката и рамнината немаат заеднички точки.

2) Ако растојанието од центарот на топката до рамнината е еднакво на радиусот на топката, тогаш рамнината има само една заедничка точка со топката и сферата што ја ограничува.

3) Ако растојанието од центарот на топката до рамнината е помало од радиусот на топката, тогаш пресекот на топката со рамнината е круг. Центарот на овој круг е проекцијата на центарот на топката на дадена рамнина. Пресекот на рамнината со сферата е обемот на наведениот круг.

1.2 Опишана сфера

1.2.1 Дефиниции и својства

Сферата се нарекува опишан околу полиедарот(а полиедарот е вклучени во сферата), ако сите темиња на полиедарот лежат на сферата.

Од дефиницијата на опишаната сфера произлегуваат два факти:

1) сите темиња на полиедар впишан во сфера се подеднакво оддалечени од одредена точка (од центарот на ограничената сфера);

2) секое лице на многуедар впишан во сфера е многуаголник впишан во одреден круг, токму во кругот што се добива во пресекот на сферата со рамнината на лицето; во овој случај, основата на перпендикуларите спуштени од центарот на ограничената сфера на рамнината на лицата се центри на кругови опкружени околу лицата.

Теорема 1 . Сфера може да се опише околу полиедар ако и само ако некој од следниве услови е исполнет:

а) круг може да се опише околу секое лице на полиедар, а оските на круговите опишани околу лицата на полиедарот се сечат во една точка;

б) рамнините нормални на рабовите на полиедарот и минуваат низ нивните средни точки се сечат во една точка;

в) има една точка еднакво оддалечена од сите темиња на полиедарот.

Доказ.

Потреба.Нека се опише сфера околу полиедарот. Да докажеме дека условот а) е исполнет. Навистина, бидејќи рамнината на даденото лице на полиедарот пресекува сфера долж круг, тогаш темињата на лицето што припаѓаат на сферата и рамнината на лицето припаѓаат на линијата на нивното пресекување - кругот. Бидејќи центарот на сферата е подеднакво оддалечен од сите темиња на даденото лице, тој лежи на нормално на ова лице исцртано низ центарот на кругот опкружен околу лицето.

Адекватност.Нека условот а) е задоволен. Да докажеме дека може да се опише сфера околу полиедар. Всушност, бидејќи заедничката точка на перпендикуларите на лицата исцртани низ центрите на круговите опкружени околу лицата е подеднакво оддалечена од сите темиња на полиедарот, околу полиедарот е опишана сфера со центар во оваа точка.

Условот а) во овој случај е еквивалентен на условите б) и в).

Ако сферата е оградена околу полиедар, тогаш: а) основата на нормалната спуштена од центарот на сферата на кое било лице е центар на кругот опфатен околу ова лице (како основата на висината на пирамидата со еднаква странични рабови - радиусите на сферата повлечени од нејзиниот центар до темињата на даденото лице); б) центарот на сферата оградена околу полиедарот може да се наоѓа внатре во полиедарот, на неговата површина (во центарот на кругот опкружен со лице, особено во средината на некој раб), надвор од полиедарот.

1.2.2 Ограничена сфера и пирамида

Теорема 2 . Сфера може да се опише околу пирамидата ако и само ако може да се опише круг околу нејзината основа.

Доказ.Нека се опише круг околу основата на пирамидата. Тогаш овој круг и точка надвор од рамнината на овој круг - врвот на пирамидата - дефинираат една сфера, која ќе биде опкружена околу пирамидата. И назад. Ако сферата е оградена околу пирамида, тогаш пресекот на сферата со рамнината на основата на пирамидата е круг опкружен околу основата.

Заклучок 1.Може да се опише сфера околу кој било тетраедар.

Темата „Различни проблеми за полиедар, цилиндар, конус и топка“ е една од најтешките во предметот геометрија од 11-то одделение. Пред да решат геометриски проблеми, тие обично ги проучуваат релевантните делови од теоријата на кои се повикуваат при решавање проблеми. Во учебникот на С. Атанасјан и други на оваа тема (стр. 138) може да се најдат само дефиниции за полиедар опишан околу сфера, полиедар впишан во сфера, сфера впишана во полиедар и сфера опишана околу полиедар. Методолошките препораки за овој учебник (видете ја книгата „Изучување на геометријата во 10-11 одделение“ од С.М. Сахакјан и В.Ф. Бутузов, стр. 159) кажуваат кои комбинации на тела се земаат предвид при решавање на проблемите бр. 629-646 и се привлекува внимание на фактот дека „при решавање на одреден проблем, пред сè, неопходно е да се осигура дека учениците добро ги разбираат релативните позиции на телата наведени во состојбата“. Следното е решение за проблемите бр. 638(а) и бр.640.

Дефиниции.

Општи белешки за положбата на центарот на топката.

Комбинација на сфера и призма.

1. Топка впишана во права призма.

2. Сфера ограничена на призма.

Теорема 2. Сферата може да се опише околу призмата ако и само ако призмата е права и може да се опише круг околу нејзината основа.

Од учебникот на Л.С. Атанасјан може да се предложат задачи бр.

Комбинација на топка со пирамида.

1. Топка опишана во близина на пирамида.

Теорема 3. Топката може да се опише околу пирамидата ако и само ако може да се опише круг околу нејзината основа.

2. Топка впишана во пирамида.

Теорема 4. Ако страничните лица на пирамидата се подеднакво наклонети кон основата, тогаш во таква пирамида може да се впише топка.

Заклучок 2.Можете да вклопите топка во обична пирамида.

Од учебникот на Л.С. Атанасјан може да се предложат проблеми бр.

Комбинација на топка со скратена пирамида.

1. Топка оградена околу правилна скратена пирамида.

2. Топка впишана во редовна скратена пирамида.

Има само еден проблем за комбинацијата на топка со скратена пирамида во учебникот на Л.С. Атанасјан (бр. 636).

Комбинација на топка со тркалезни тела.

Теорема 7. Сфера може да се опише околу цилиндар, скратен конус (прав кружен) или конус.

Теорема 8. Топката може да се впише во (прав кружен) цилиндар ако и само ако цилиндерот е рамностран.

Теорема 9. Може да ставите топка во кој било конус (право кружен).

Теорема 10. Топката може да се впише во скратен конус (прав кружен) ако и само ако нејзиниот генератор е еднаков на збирот на радиусите на основите.

Од учебникот на Л.С.Атанасјан, може да се предложат проблеми бр.

За поуспешно проучување на материјалот на оваа тема, неопходно е да се вклучат усни задачи во лекциите:

3. Дали е вистина дека може да се опише сфера околу која било триаголна пирамида? (Да)

10. Дали е можно да се опише сфера околу навалена призма? (Не, не можеш)

19. Наведи пример за пирамида која не може да одговара на сфера? (На пример, четириаголна пирамида со правоаголник или паралелограм во основата)

24. Дали е можно да се опише сфера околу цилиндар (десно кружно)? (Да ти можеш)

25. Дали е можно да се опише сфера околу конус, скратен конус (прав кружен)? (Да, можеш и во двата случаи)

Или сфера. Секој сегмент што го поврзува центарот на топката со точка на сферичната површина се нарекува радиус. Се нарекува сегмент што поврзува две точки на сферична површина и минува низ центарот на топката дијаметар. Краевите на кој било дијаметар се нарекуваат дијаметрално спротивни точки на топката.Секакви работи дел од топкатаима авион круг. Центарот на овој круг е основата на нормалната извлечена од центарот до рамнината на сечењето.Авионот што минува низ центарот на топката се нарекува централна рамнина. Пресекот на топката по дијаметралната рамнина се нарекува голем круг, а пресекот на сферата е голем круг. Секоја дијаметрална рамнина на топката е нејзина рамнина на симетрија. Центарот на топката е негов центар на симетрија. Рамнината што минува низ точка на сферична површина и нормална на радиусот повлечен до оваа точка се нарекува тангентна рамнина. Оваа точка се нарекува точка на контакт. Тангентата рамнина има само една заедничка точка со топката - точката на допир.Права линија што минува низ дадена точка на сферична површина нормална на радиусот нацртан до оваа точка се нарекува тангента. Бесконечен број тангенти минуваат низ која било точка на сферичната површина и сите лежат во тангентата рамнина на топката.Сегмент на топкаДелот од топката отсечен од него со авионот се нарекува.Слој на топканаречен дел од топката сместен помеѓу две паралелни рамнини што ја сечат топката.Сектор за топкидобиени од топчест сегмент и конус.Ако сферичниот сегмент е помал од хемисферата, тогаш сферичниот сегмент е надополнет со конус, чие теме е во центарот на топката, а основата е основата на сегментот.Ако сегментот е поголем од хемисфера, тогаш наведениот конус се отстранува од него. Основни формули Топка (R = OB - радиус):S b = 4πR2; V = 4πR 3 / 3.Сегмент на топка (R = OB - радиус на топката, h = SC - висина на сегментот, r = KV - радиус на основата на сегментот):V сегм = πh 2 (R - h / 3)или V сегм = πh(h 2 + 3r 2) / 6; S сегм = 2πRh.Сектор на топка (R = OB - радиус на топката, h = SK - висина на сегментот):V = V сегмент ± V кон, „+“- ако сегментот е помал, „-“ - ако сегментот е поголем од хемисфера.или V = V segm + V con = πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3. Сферичен слој (R 1 и R 2 - радиуси на основите на сферичниот слој; h = SC - висина на сферичниот слој или растојание помеѓу основите):V sh/sl = πh 3 / 6 + πh (R 1 2 + R 2 2 ) / 2; S w/sl = 2πRh.Пример 1.Волуменот на сферата е 288 π cm 3. Најдете го дијаметарот на топката.РешениеV = πd 3/6288π = πd 3 / 6πd 3 = 1728πd3 = 1728d = 12 cm.Одговор: 12.Пример 2.Три еднакви сфери со радиус r се допираат една со друга и некоја рамнина. Одреди го радиусот на четвртата сфера тангента на трите податоци и дадената рамнина.Решение Нека O 1, O 2, O 3 се центрите на овие сфери и O е центарот на четвртата сфера што ги допира трите податоци и дадената рамнина. Нека A, B, C, T се допирните точки на сферите со дадена рамнина. Според тоа, допирните точки на две сфери лежат на линијата на центрите на овие сфери O 1 O 2 = O 2 O 3 = O 3 O 1 = 2r. Според тоа, точките се еднакво оддалечени од рамнината ABC AVO 2 O 1, AVO 2 O 3, AVO 3 O 1- еднакви правоаголници, значи, ∆ABC е рамностран со страна 2r.Нека x е саканиот радиус на четвртата сфера. Тогаш OT = x. Затоа, Слично Ова значи дека Т е центар на рамностран триаголник. Затоа од овдеОдговор: r/3. Сфера впишана во пирамидаВо секоја редовна пирамида може да се впише сфера. Центарот на сферата лежи на висината на пирамидата во точката на нејзиното пресекување со симетралата на линеарниот агол на работ на основата на пирамидата.Коментар. Ако сферата може да биде впишана во пирамида, не мора да е правилна, тогаш радиусот r на оваа сфера може да се пресмета со формулата r = 3V / S pp, каде V е волуменот на пирамидата, S pp е плоштина од неговата вкупна површина.Пример 3.Конусна инка со основен радиус R и висина H се полни со вода. Тешка топка се спушта во инката. Колку треба да биде радиусот на топката за да биде максимален волуменот на водата изместена од инката со потопениот дел од топката?РешениеАјде да нацртаме дел низ центарот на конусот. Овој дел формира рамнокрак триаголник. Ако има топка во инката, тогаш максималната големина на нејзиниот радиус ќе биде еднаква на радиусот на кругот впишан во добиениот рамнокрак триаголник.Радиусот на кругот впишан во триаголник е еднаков на:r = S / p, каде што S е областа на триаголникот, p е неговиот полупериметар.Површината на рамнокрак триаголник е еднаква на половина од висината (H = SO) повеќе од основата. Но, бидејќи основата е двојно поголема од радиусот на конусот, тогаш S = RH.Полупериметарот е p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m е должината на секоја од еднаквите страни на рамнокрак триаголник;R е радиусот на кругот што ја сочинува основата на конусот.Ајде да го најдеме m користејќи ја Питагоровата теорема: , кадеНакратко изгледа вака: Одговор: Пример 4.Во правилна триаголна пирамида со диедрален агол во основата еднаков на α, има две топки. Првата топка ги допира сите лица на пирамидата, а втората топка ги допира сите странични страни на пирамидата и првата топка. Најдете го односот на радиусот на првото топче со радиусот на второто топче ако tgα = 24/7.Решение
Нека RABC е правилна пирамида и точката H е центарот на нејзината основа ABC. Нека M е средната точка на работ BC. Тогаш е линеарниот агол на диедралниот агол, кој по услов е еднаков на α и α< 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . Нека НН 1 - дијаметарот на првата топка и рамнината што минува низ точката Н 1 нормално на правата линија РН, ги пресекува страничните рабови RA, РВ, РС соодветно во точките А 1, В 1, С 1. Тогаш H 1 ќе биде центар на точниот ∆A 1 B 1 C 1, а пирамидата RA 1 B 1 C 1 ќе биде слична на пирамидата RABC со коефициент на сличност k = PH 1 / PH. Забележете дека втората топка, со центар во точката O 1, е впишана во пирамидата RA 1 B 1 C 1 и затоа односот на радиусите на впишаните топчиња е еднаков на коефициентот на сличност: OH / OH 1 = RN / RN 1. Од еднаквоста tgα = 24/7 наоѓаме:Нека AB = x. ПотоаОттука и саканиот сооднос OH / O 1 H 1 = 16/9.Одговор: 16/9. Сфера впишана во призмаДијаметар D на сфера впишана во призма е еднаква на висината H на призмата: D = 2R = H.Радиус R на сфера впишана во призма е еднаква на радиусот на кругот впишан во нормален пресек на призмата.Ако сферата е впишана во права призма, тогаш во основата на оваа призма може да се впише круг.Радиус R на сфера впишана во десна призма е еднаква на радиусот на кругот впишан во основата на призмата.Теорема 1Нека е впишан круг во основата на права призма, а висината H на призмата е еднаква на дијаметарот D на оваа кружница. Тогаш во оваа призма може да се впише сфера со дијаметар D. Центарот на оваа впишана сфера се совпаѓа со средината на сегментот што ги поврзува центрите на круговите впишани во основите на призмата.Доказ Нека ABC...A 1 B 1 C 1... е права призма, а O е центар на круг впишан во неговата основа ABC. Тогаш точката O е еднакво оддалечена од сите страни на основата ABC. Нека O 1 е ортогоналната проекција на точката O на основата A 1 B 1 C 1. Тогаш O 1 е подеднакво оддалечен од сите страни на основата A 1 B 1 C 1, и OO 1 || АА 1. Следи дека права линија OO 1 е паралелна со секоја рамнина на страничното лице на призмата, а должината на сегментот OO 1 е еднаква на висината на призмата и, по конвенција, дијаметарот на кругот впишан во основата. на призмата. Ова значи дека точките на отсечката OO 1 се еднакво оддалечени од страничните страни на призмата, а средината F на отсечката OO 1, еднакво оддалечена од рамнините на основите на призмата, ќе биде еднакво оддалечена од сите страни на призмата. . Односно, F е центар на сфера впишана во призма, а дијаметарот на оваа сфера е еднаков на дијаметарот на кругот впишан во основата на призмата. Теоремата е докажана.Теорема 2Нека кругот е впишан во нормалниот пресек на навалената призма, а висината на призмата е еднаква на дијаметарот на овој круг. Тогаш може да се впише сфера во оваа наклонета призма. Центарот на оваа сфера ја дели висината што минува низ центарот на кругот впишан во нормален пресек на половина.Доказ
Нека ABC...A 1 B 1 C 1... е наклонета призма и F центар на круг со радиус FK впишан во неговиот нормален пресек. Бидејќи нормалниот пресек на призмата е нормален на секоја рамнина на нејзиното странично лице, радиусите на кругот впишан во нормалниот дел нацртан на страните на овој дел се нормални на страничните страни на призмата. Според тоа, точката F е еднакво оддалечена од сите странични страни.Да повлечеме низ точката F права линија OO 1, нормална на рамнината на основите на призмата, пресекувајќи ги овие основи во точките O и O 1. Тогаш OO 1 е висината на призмата. Бидејќи според условот OO 1 = 2FK, тогаш F е средината на сегментот OO 1:FK = OO 1 / 2 = FO = FO 1, т.е. точката F е еднакво оддалечена од рамнините на сите лица на призмата без исклучок. Ова значи дека сфера може да се впише во дадена призма, чиј центар се совпаѓа со точката F - центарот на кругот впишан во тој нормален дел од призмата што ја дели висината на призмата што минува низ точката F на половина. Теоремата е докажана.Пример 5.Во правоаголен паралелепипед е впишана сфера со радиус 1. Најдете го волуменот на паралелепипедот.Решение Нацртајте го горниот приказ. Или од страна. Или од напред. Ќе го видите истото - круг впишан во правоаголник. Очигледно, овој правоаголник ќе биде квадрат, а паралелепипедот ќе биде коцка. Должината, ширината и висината на оваа коцка се двојно поголеми од радиусот на топката.AB = 2, и затоа волуменот на коцката е 8.Одговор: 8.Пример 6.Во правилна триаголна призма со основна страна еднаква на , има две топки. Првата топка е впишана во призмата, а втората топка допира една основа од призмата, нејзините две странични страни и првата топка. Најдете го радиусот на втората топка.Решение
Нека ABCA 1 B 1 C 1 е правилна призма, а точките P и P 1 се центрите на нејзините основи. Тогаш центарот на топката О впишан во оваа призма е средната точка на отсечката PP 1. Да го разгледаме авионот RVV 1. Бидејќи призмата е правилна, тогаш PB лежи на сегментот BN, кој е симетрала и висина ΔABC. Следствено, рамнината е симетрална рамнина на диедралниот агол на страничниот раб BB 1. Затоа, секоја точка на оваа рамнина е еднакво оддалечена од страничните страни AA 1 BB 1 и CC 1 B 1 B. Особено, нормалното ОК, спуштено од точката O до лицето ACC 1 A 1, лежи во рамнината RVV 1 и е еднаква на отсечката ИЛИ.Забележете дека KNPO е квадрат, чија страна е еднаква на радиусот на топката впишана во дадена призма.Нека O 1 е центарот на топката што ја допира впишаната топка со центар O и страничните свртени кон AA 1 BB 1 и CC 1 B 1 B од призмата. Тогаш точката O 1 лежи на рамнината RVV 1, а нејзината проекција P 2 на рамнината ABC лежи на отсечката RV.Според условот, страната на основата е еднаква на