Својства на гревот и графикон. Синус (sin x) и косинус (cos x) – својства, графикони, формули. Изрази преку сложени променливи
ФУНКЦИСКА ГРАФИКА
Синусна функција
- еден куп Рсите реални броеви.
Повеќе функционални вредности— сегмент [-1; 1], т.е. синусна функција - ограничен.
Непарна функција: sin(−x)=−sin x за сите x ∈ Р.
Функцијата е периодична
sin(x+2π k) = sin x, каде k ∈ Зза сите x ∈ Р.
грев x = 0за x = π·k, k ∈ З.
грев x > 0(позитивно) за сите x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ З.
грев х< 0 (негативно) за сите x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ З.
Косинусна функција
Функциски домен- еден куп Рсите реални броеви.
Повеќе функционални вредности— сегмент [-1; 1], т.е. косинус функција - ограничен.
Изедначена функција: cos(−x)=cos x за сите x ∈ Р.
Функцијата е периодичнасо најмал позитивен период 2π:
cos(x+2π к) = cos x, каде к ∈ Зза сите x ∈ Р.
| cos x = 0на | |
| cos x > 0за сите |  |
| cos x< 0 за сите |  |
| Функцијата се зголемуваод −1 до 1 во интервали: | |
| Функцијата се намалуваод −1 до 1 во интервали: | |
| Најголемата вредност на функцијата sin x = 1на точки: |  |
| Најмалата вредност на функцијата sin x = −1на точки: |
Тангентна функција
Повеќе функционални вредности— целата нумеричка линија, т.е. тангента - функција неограничено.
Непарна функција: tg(−x)=−tg x
Графикот на функцијата е симетричен во однос на оската OY.
Функцијата е периодичнасо најмал позитивен период π, т.е. tg(x+π к) = тен x, к ∈ Зза сите x од доменот на дефиниција.
Котангентна функција
Повеќе функционални вредности— целата нумеричка линија, т.е. котангенс - функција неограничено.
Непарна функција: ctg(−x)=−ctg x за сите x од доменот на дефиниција.Графикот на функцијата е симетричен во однос на оската OY.
Функцијата е периодичнасо најмал позитивен период π, т.е. cotg(x+π к)=ctg x, к ∈ Зза сите x од доменот на дефиниција.
Функција на арксин
Функциски домен— сегмент [-1; 1]
Повеќе функционални вредности- сегмент -π /2 arcsin x π /2, т.е. лаксин - функција ограничен.
Непарна функција: arcsin(−x)=−arcsin x за сите x ∈ Р.
Графикот на функцијата е симетричен во однос на потеклото.
Низ целата област на дефиниција.
Косинусна функција на лак
Функциски домен— сегмент [-1; 1]
Повеќе функционални вредности— сегмент 0 arccos x π, т.е. аркозин - функција ограничен.
Функцијата се зголемуваниз целата област на дефиниција.
Арктангентна функција
Функциски домен- еден куп Рсите реални броеви.
Повеќе функционални вредности— отсечка 0 π, т.е. арктангенс - функција ограничен.
Непарна функција: arctg(−x)=−arctg x за сите x ∈ Р.
Графикот на функцијата е симетричен во однос на потеклото.
Функцијата се зголемуваниз целата област на дефиниција.
Функција на лак тангента
Функциски домен- еден куп Рсите реални броеви.
Повеќе функционални вредности— отсечка 0 π, т.е. аркотангенс - функција ограничен.
Функцијата не е ниту парна ниту непарна.
Графикот на функцијата не е асиметричен ниту во однос на потеклото на координатите, ниту во однос на оската Oy.
Функцијата се намалуваниз целата област на дефиниција.
Во оваа лекција детално ќе ја разгледаме функцијата y = sin x, нејзините основни својства и графикот. На почетокот на часот ќе ја дадеме дефиницијата за тригонометриската функција y = sin t на координатниот круг и ќе го разгледаме графикот на функцијата на кругот и правата. Да ја прикажеме периодичноста на оваа функција на графиконот и да ги разгледаме главните својства на функцијата. На крајот од лекцијата, ќе решиме неколку едноставни проблеми користејќи го графикот на функцијата и нејзините својства.
Тема: Тригонометриски функции
Лекција: Функција y=sinx, нејзините основни својства и графикон
Кога се разгледува функцијата, важно е секоја вредност на аргументот да се поврзе со една вредност на функцијата. Ова закон за кореспонденцијаи се нарекува функција.
Да го дефинираме законот за кореспонденција за .
Секој реален број одговара на една точка на единечната кружница.Точка има единствена ордината, која се нарекува синус на бројот (сл. 1).
Секоја вредност на аргументот е поврзана со една вредност на функцијата.
Очигледни својства следуваат од дефиницијата за синус.
Сликата го покажува тоа 
бидејќи е ордината на точка на единечната кружница.
Размислете за графикот на функцијата. Да се потсетиме на геометриското толкување на аргументот. Аргументот е централниот агол, мерено во радијани. По должината на оската ќе нацртаме реални броеви или агли во радијани, долж оската соодветните вредности на функцијата.
На пример, аголот на единечниот круг одговара на точка на графикот (сл. 2)
Добивме график на функцијата во областа, но знаејќи го периодот на синусот, можеме да го прикажеме графикот на функцијата низ целиот домен на дефиниција (сл. 3).
Главниот период на функцијата е Ова значи дека графикот може да се добие на сегмент и потоа да се продолжи низ целиот домен на дефиниција.
Размислете за својствата на функцијата:
1) Опсег на дефиниција:
2) Опсег на вредности: 
3) Непарна функција:
4) Најмал позитивен период:
5) Координати на точките на пресек на графикот со оската на апсцисата: 
6) Координати на точката на пресек на графикот со оската на ординатите:
7) Интервали во кои функцијата зема позитивни вредности:
8) Интервали во кои функцијата зема негативни вредности:
9) Зголемување на интервали:
10) Намалување на интервали:
11) Минимум поени: 
12) Минимални функции:
13) Максимални поени: 
14) Максимални функции:
Ги разгледавме својствата на функцијата и нејзиниот график. Својствата ќе се користат постојано при решавање на проблеми.
Библиографија
1. Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Учебник за општообразовни институции (ниво на профил), ед. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009 година.
2. Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Проблемска книга за образовни институции (ниво на профил), ед. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007 година.
3. Виленкин Н.Ја., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математичка анализа за 10 одделение (учебник за ученици од училишта и паралелки со продлабочено изучување на математиката) - М.: Просвешчение, 1996 година.
4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Продлабочено проучување на алгебрата и математичката анализа.-М.: Образование, 1997 г.
5. Збирка задачи по математика за апликанти на високообразовни институции (уреди М.И. Сканави) - М.: Виша школа, 1992 г.
6. Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир М.С. Алгебарски симулатор.-К.: А.С.К., 1997 г.
7. Сахакјан С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми за алгебра и принципи на анализа (прирачник за ученици од 10-11 одделение на општообразовните институции) - М.: Просвешчение, 2003 година.
8. Карп А.П. Збирка задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. додаток за 10-11 одделение. со длабочина студирал Математика.-М.: Образование, 2006 г.
Домашна работа
Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Проблемска книга за образовни институции (ниво на профил), ед.
А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007 година.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Дополнителни веб-ресурси
3. Едукативен портал за подготовка на испит ().
Назад напред
Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.
Железото рѓосува без да најде никаква употреба,
стоечката вода скапува или замрзнува на студ,
а човечкиот ум, не наоѓајќи никаква корист за себе, опаѓа.
Леонардо да Винчи
Користени технологии:учење базирано на проблем, критичко размислување, комуникативна комуникација.
Цели:
- Развивање на когнитивен интерес за учење.
- Проучување на својствата на функцијата y = sin x.
- Формирање на практични вештини при конструирање график на функцијата y = sin x врз основа на изучениот теоретски материјал.
Задачи:
1. Користете го постоечкиот потенцијал на знаење за својствата на функцијата y = sin x во конкретни ситуации.
2. Примени свесно воспоставување врски помеѓу аналитичките и геометриските модели на функцијата y = sin x.
Развијте иницијатива, одредена волја и интерес за изнаоѓање решение; способноста да донесувате одлуки, да не застанете тука и да ја браните својата гледна точка.
Да се поттикне кај учениците когнитивна активност, чувство на одговорност, почит еден кон друг, меѓусебно разбирање, меѓусебна поддршка и самодоверба; комуникациска култура.
За време на часовите
Фаза 1. Ажурирање на основни знаења, мотивирање за учење нов материјал
„Влегување во лекцијата“.
На таблата се напишани 3 изјави:
- Тригонометриската равенка sin t = a секогаш има решенија.
- Графикот на непарна функција може да се конструира со помош на трансформација на симетрија околу оската Oy.
- Тригонометриска функција може да се прикаже графички со користење на еден главен полубран.
Учениците дискутираат во парови: дали се вистинити изјавите? (1 минута). Резултатите од првичната дискусија (да, не) потоа се внесуваат во табелата во колоната „Пред“.
Наставникот ги поставува целите и задачите на часот.
2. Ажурирање на знаењето (фронтално на модел на тригонометриски круг).
Веќе се запознавме со функцијата s = sin t.
1) Кои вредности може да ги земе променливата t. Кој е опсегот на оваа функција?
2) Во кој интервал се содржани вредностите на изразот sin t? Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата s = sin t.
3) Решете ја равенката sin t = 0.
4) Што се случува со ординатата на точка додека се движи по првата четвртина? (ординатата се зголемува). Што се случува со ординатата на точка додека се движи по втората четвртина? (ординатата постепено се намалува). Како се поврзува ова со монотоноста на функцијата? (функцијата s = sin t се зголемува на сегментот и се намалува на сегментот ).
5) Да ја напишеме функцијата s = sin t во форма y = sin x што ни е позната (ќе ја конструираме во вообичаениот координатен систем xOy) и да составиме табела со вредностите на оваа функција.
| X | 0 | ||||||
| на | 0 | 1 | 0 |
Фаза 2. Перцепција, разбирање, примарна консолидација, неволно меморирање
Фаза 4. Примарна систематизација на знаењата и методите на активност, нивно пренесување и примена во нови ситуации
6. Бр. 10.18 (б, в)
Фаза 5. Конечна контрола, корекција, оценување и самооценување
7. Се враќаме на изјавите (почеток на часот), дискутираме за користење на својствата на тригонометриската функција y = sin x и ја пополнуваме колоната „По“ во табелата.
8. Д/з: клаузула 10, бр. 10.7(а), 10.8(б), 10.11(б), 10.16(а)
Геометриска дефиниција на синус и косинус
\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)
α - агол изразен во радијани.
Синус (грев α)е тригонометриска функција на аголот α помеѓу хипотенузата и кракот на правоаголен триаголник, еднаков на односот на должината на спротивната катета |BC| до должината на хипотенузата |AB|.
Косинус (cos α)е тригонометриска функција на аголот α помеѓу хипотенузата и кракот на правоаголен триаголник, еднаков на односот на должината на соседната катета |AC| до должината на хипотенузата |AB|.
Тригонометриска дефиниција
Користејќи ги формулите погоре, можете да ги најдете синусите и косинусите на остар агол. Но, треба да научите како да ги пресметате синусите и косинусите на агол со произволна големина. Правоаголен триаголник не дава таква можност (не може да има тап агол, на пример); Затоа, потребна ни е поопшта дефиниција за синус и косинус, која ќе ги содржи овие формули како посебен случај.
На помош доаѓа тригонометрискиот круг. Нека се даде некој агол; одговара на истоимената точка на тригонометрискиот круг.
Ориз. 2. Тригонометриска дефиниција на синус и косинус
Косинусот на аголот е апсциса на точка. Синус на агол е ордината на точка.
На сл. 2, аголот се зема за акутен, и лесно е да се разбере дека оваа дефиниција се совпаѓа со општата геометриска дефиниција. Всушност, гледаме правоаголен триаголник со единица хипотенуза O и остар агол. Соседната катета на овој триаголник е cos (спореди со сл. 1) и во исто време апсцисата на точката; спротивната страна е грев (како на сл. 1) и во исто време ординатата на точката.
Но, сега веќе не сме ограничени од првиот квартал и имаме можност да ја прошириме оваа дефиниција на кој било агол. На сл. Слика 3 покажува колку се синусите и косинусите на аголот во втората, третата и четвртата четвртина.
Ориз. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвртина
Табела вредности на синус и косинус
Нулта агол \(\ LARGE 0^(\circ ) \)
Апсцисата од точката 0 е еднаква на 1, ординатата на точката 0 е еднаква на 0. Оттука,
cos 0 = 1 грев 0 = 0
Сл. 4. Нулта агол
Агол \(\ LARGE \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)
Гледаме правоаголен триаголник со единица хипотенуза и остар агол од 30°. Како што знаете, ногата што лежи спроти аголот 30° е еднаква на половина од хипотенузата 1; со други зборови, вертикалната нога е еднаква на 1/2 и, според тоа,
\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]
Ја наоѓаме хоризонталната катета користејќи ја Питагоровата теорема (или, што е исто, го наоѓаме косинусот користејќи го основниот тригонометриски идентитет):
\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \десно)^(2) =\frac(\sqrt(3))(2 ) \]
1 Зошто се случува ова? Исечете рамностран триаголник со страна 2 долж неговата висина! Ќе се подели на два правоаголни триаголници со хипотенуза од 2, остар агол од 30° и пократок крак од 1.
Сл 5. Агол π/6
Агол \(\ LARGE \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)
Во овој случај, правоаголниот триаголник е рамнокрак; Синус и косинус од агол од 45° се еднакви еден на друг. Да ги означиме со x засега. Ние имаме:
\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]
од каде \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). Оттука,
\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]
Сл 5. Агол π/4
Својства на синус и косинус
Прифатени ознаки
\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).
\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\(\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).
Периодичноста
Функциите y = sin x и y = cos x се периодични со период од 2π.
\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \четири \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)
Паритет
Синусната функција е непарна. Косинусот е парен.
\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)
Области на дефиниција и вредности, екстреми, зголемување, намалување
Основните својства на синус и косинус се претставени во табелата ( n- целина).
| \(\мали< x < \) | \(\small -\pi + 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\small 2\pi n \) | |
| Опаѓачки | \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\мали< x < \) \(\small \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \) | \(\small 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \) |
| Максима, \(\мали x = \) \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\мал x = 2\pi n\) | |
| Минимум, \(\мал x = \) \(\small -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\мали x = \) \(\мали \pi + 2\pi n \) | |
| Нули, \(\мал x = \pi n\) | \(\small x = \dfrac(\pi)2 + \pi n \) | |
| Пресечни точки на Y-оската, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основни формули кои содржат синус и косинус
Збир на квадрати
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
Формули на синус и косинус за збир и разлика
\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)
\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \десно) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \десно) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)
Формули за производ од синуси и косинуси
\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Големи [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\Големи [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Големи ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Големи [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Големи ]) \)
\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 - \cos 2x (\Large ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 + \cos 2x (\Large ]) \)
Формули за збир и разлика
\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)
Изразување синус преку косинус
\(\sin x = \cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \десно) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \десно) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \десно) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).
Изразување косинус преку синус
\(\cos x = \sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \десно) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \десно) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \десно) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).
Изразување преку тангента
\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).
На \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
На \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \)
:
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Табела на синуси и косинуси, тангенти и котангенти
Оваа табела ги прикажува вредностите на синусите и косинусите за одредени вредности на аргументот.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Табела на синуси и косинуси" title="Табела на синуси и косинуси" ]!}
Изрази преку сложени променливи
\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)
Ојлерова формула
\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)
Изрази преку хиперболични функции
\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)
Деривати
\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Изведување формули > > >
Деривати од n-ти ред:
\(\лево(\sin x \десно)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \десно) \)\(\лево(\cos x \десно)^((n)) = \cos\лево(x + n\dfrac(\pi)2 \десно) \).
Интеграли
\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
Видете исто така дел Табела на неопределени интеграли >>>
Проширувања на сериите
\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \)
!} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
!} \(\( - \infty< x < \infty \} \)
Секант, косекант
\(\sec x = \dfrac1( \cos x) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x) \)
Инверзни функции
Инверзните функции на синус и косинус се лаксин и аркозин, соодветно.
Арксин, лаксин
\(y = \arcsin x\) \(\лево\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \десно\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\лево\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \десно\) \)
Аркозин, аркос
\(y = \arccos x\) \(\лево\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \десно\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)
Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.
За да извршите пресметки, мора да овозможите ActiveX контроли!
>>Математика: Функции y = sin x, y = cos x, нивните својства и графикони
Функции y = sin x, y = cos x, нивните својства и графикони
Во овој дел ќе разговараме за некои својства на функциите y = sin x, y = cos x и ќе ги конструираме нивните графикони.
1. Функција y = sin X.
Погоре, во § 20, формулиравме правило кое дозволува секој број t да се поврзе со број на cos t, т.е. ја карактеризираше функцијата y = sin t. Да забележиме некои од неговите својства.
Својства на функцијата u = sin t.
Доменот на дефиниција е множеството K од реални броеви.
Ова произлегува од фактот дека секој број 2 одговара на точката М(1) на кругот со броеви, која има добро дефинирана ордината; оваа ордината е кос т.
u = sin t е непарна функција.
Ова произлегува од фактот дека, како што беше докажано во § 19, за која било еднаквост
Ова значи дека графикот на функцијата u = sin t, како и графикот на секоја непарна функција, е симетричен во однос на потеклото во правоаголниот координатен систем tOi.
Функцијата u = sin t се зголемува на интервалот 
Ова произлегува од фактот дека кога точката се движи по првата четвртина од кругот на броеви, ординатата постепено се зголемува (од 0 до 1 - види Сл. 115), а кога точката се движи по втората четвртина од кругот на броеви, ординатата постепено се намалува (од 1 до 0 - види Сл. 116).
Функцијата u = sint е ограничена и долу и горе. Ова произлегува од фактот дека, како што видовме во § 19, за кој било t неравенството важи
(Функцијата ја достигнува оваа вредност во која било точка од формата 
(Функцијата ја достигнува оваа вредност во која било точка од формата
Користејќи ги добиените својства ќе конструираме график на функцијата што ни е интересна. Но (внимание!) наместо u - sin t ќе напишеме y = sin x (на крајот на краиштата, повеќе сме навикнати да пишуваме y = f(x), а не u = f(t)). Ова значи дека ќе изградиме график во вообичаениот xOy координатен систем (а не во tOy).
Ајде да направиме табела со вредностите на функцијата y - sin x:
Коментар.
Да дадеме една од верзиите за потеклото на терминот „синус“. На латински, синус значи свиткување (низа на лак).
Конструираниот график до одреден степен ја оправдува оваа терминологија. 
Правата што служи како график на функцијата y = sin x се нарекува синусен бран. Тој дел од синусоидот што е прикажан на сл. 118 или 119 се нарекува синусен бран, а тој дел од синусниот бран што е прикажан на сл. 117, се нарекува полубран или лак на синусен бран.
2. Функција y = cos x.
Проучувањето на функцијата y = cos x може да се изврши приближно според истата шема што беше користена погоре за функцијата y = sin x. Но, патот што води до целта побрзо ќе го избереме. Прво, ќе докажеме две формули кои се важни сами по себе (ова ќе го видите во средно училиште), но засега имаат само помошно значење за нашите цели.
За која било вредност на t важат следните еднаквости:
Доказ. Нека бројот t одговара на точката M од нумеричкиот круг n, а бројот * + - точка P (сл. 124; заради едноставност, ја зедовме точката M во првата четвртина). Лаците AM и BP се еднакви, а правоаголните триаголници OKM и OLBP се соодветно еднакви. Ова значи O K = Ob, MK = Pb. Од овие еднаквости и од локацијата на триаголниците OCM и OBP во координатниот систем, извлекуваме два заклучоци:
1) ординатата на точката P и по големина и по знак се совпаѓа со апсцисата на точката М; тоа значи дека
2) апсцисата на точката P е еднаква по апсолутна вредност на ординатата на точката М, но се разликува по знак од неа; тоа значи дека
Приближно истото размислување се спроведува во случаи кога точката М не припаѓа на првиот квартал.
Ајде да ја користиме формулата 
(ова е формулата докажана погоре, само наместо променливата t ја користиме променливата x). Што ни дава оваа формула? Тоа ни овозможува да тврдиме дека функциите
се идентични, што значи дека нивните графикони се совпаѓаат.
Ајде да ја нацртаме функцијата 
За да го направите ова, да преминеме на помошен координатен систем со почеток во точка (испрекината линија е нацртана на сл. 125). Да ја поврземе функцијата y = sin x за новиот координатен систем - ова ќе биде графикот на функцијата 
(сл. 125), т.е. график на функцијата y - cos x. Тој, како и графикот на функцијата y = sin x, се нарекува синусен бран (што е сосема природно).
Својства на функцијата y = cos x.
y = cos x е парна функција.
Фазите на изградба се прикажани на сл. 126:
1) изгради график на функцијата y = cos x (поточно, еден полубран);
2) со истегнување на конструираниот график од x-оската со фактор 0,5 добиваме еден полубран од бараниот график;
3) користејќи го добиениот полубран, го конструираме целиот график на функцијата y = 0,5 cos x.
Се вчитува...