Систем од три меѓусебно нормални рамнини. Проекција на три меѓусебно нормални проекциски рамнини Три меѓусебно нормални рамнини

Позиција на точка	Визуелен слика	Комплексен цртеж	Карактеристични знаци
припаѓа на рамнината  1			A 1 - под оската X, A 2 - на оската X
припаѓа на рамнината  1			B 1 - над оската X, B 2 - на оската X
припаѓа на рамнината  2			C 2 - над оската X, C 1 - на оската X
припаѓа на рамнината  2			D 1 - на оската X, D 2 - под оската X
припаѓа на оската X			E 1 се совпаѓа со E 2 и припаѓа на оската X

Задача бр. 1.

Конструирај сложен цртеж на точката А ако:

точката се наоѓа во втората четвртина и е еднакво оддалечена од рамнините  1 и  2.

точката се наоѓа во третата четвртина, а нејзиното растојание до рамнината  1 е двојно поголемо од рамнината  2.

точката се наоѓа во IV четвртина, а нејзиното растојание до рамнината  1 е поголемо отколку до рамнината  2.

Задача бр. 2.

Определи во кои четвртини се наоѓаат точките (сл. 2.21).

Задача бр.3.

Конструирај визуелен приказ на точките во четвртините:

а) А – општа позиција во третиот квартал;

б) Б – општа позиција во IV квартал;

в) C – во втората четвртина, ако неговото растојание од  1 е 0;

г) D – во првата четвртина, ако неговото растојание од  2 е 0.

Задача бр.4.

Конструирај сложен цртеж од точките A, B, C, D (види задача 3).

§ 5. Систем од три меѓусебно нормални рамнини

Во пракса, истражување и сликање, систем од две меѓусебно нормални рамнини не секогаш дава можност за недвосмислено решение. Така, на пример, ако ја поместите точката А по оската X, нејзината слика нема да се промени.

Позицијата на точката во просторот (сл. 2.22) е променета (сл. 2.24), но сликите во сложениот цртеж остануваат непроменети (сл. 2.23 и сл. 2.25).

За да се реши овој проблем, се воведува систем од три меѓусебно нормални рамнини, бидејќи при изготвување цртежи, на пример, машини и нивни делови, не се потребни две, туку повеќе слики. Врз основа на тоа, кај некои конструкции при решавање на проблеми потребно е во системот да се внесат  1,  2 и други проекциски рамнини.

Размислете за три меѓусебно нормални рамнини 1 ,  2 ,  3 (оризот. 2.26). Вертикалната рамнина 3 се нарекува профилна рамнина на проекција. Се сечат едни со други, рамнини 1 ,  2 ,  3 ги формираат проекционите оски, додека просторот е поделен на 8 октани.  1  2 = x; -х  1  3 = y; -y  2  3 = z; -з 0 – точка на пресек на проекционите оски.

Овие рамнини го делат целиот простор на VIII делови, кои се нарекуваат октанти (од латинскиот okto eight). Авионите немаат дебелина, се непроѕирни и бесконечни. Набљудувачот се наоѓа во првата четвртина (за системи  1,  2) или првиот октант (за системи  1,  2,  3) на бесконечно растојание од проекционите рамнини.

Задача бр.4.

Задача бр.3.

Задача бр. 2.

Задача бр. 1.

Формирање на комплексен цртеж (дијаграм)

За погодност за користење на добиените слики од просторниот систем на рамнини, да преминеме на рамнината.

За ова:

1. Применете го методот на ротирање на рамнината p 1 околу оската X додека не се усогласи со рамнината p 2 (сл. 2.7)

2. Комбинирајте ги рамнините p 1 и p 2 во една рамнина за цртање (сл. 2.8)

Ориз. 2.7	Ориз. 2.8

Проекциите A 1 и A 2 се наоѓаат на иста линија за поврзување нормална на оската X. Оваа линија се нарекува проекциона линија за поврзување (сл. 2.9).

Бидејќи проекциската рамнина се смета за бесконечна во просторот, границите на рамнината p 1, p 2 не треба да се прикажуваат (сл. 2.10).

Како резултат на комбинирање на рамнините p 1 и p 2, се добива сложен цртеж или дијаграм (од францускиот цртеж на епуре), т.е. цртање во системот p 1 и p 2 или во системот на две проекциски рамнини. Откако ја заменивме визуелната слика со дијаграм, ја изгубивме просторната слика за локацијата на проекционите рамнини и точки. Но, дијаграмите обезбедуваат точност и лесни за мерење слики со значителна едноставност на конструкцијата. За да се замисли просторна слика од дијаграм потребна е работа на имагинација: на пример, според Сл. 2.11 треба да ја замислите сликата прикажана на сл. 2.12.

Ако има оска на проекција во сложениот цртеж долж проекциите A 1 и A 2, можете да ја утврдите позицијата на точката A во однос на p 1 и p 2 (види Сл. 2.5 и 2.6). Споредување на Сл. 2.11 и 2.12 лесно е да се утврди дека отсечката A 2 A X е растојанието од точката A до рамнината p 1, а отсечката A 1 A X е растојанието од точката A до p 2. Локацијата на A 2 над проекциската оска значи дека точката A се наоѓа над рамнината p 1. Ако A 1 на дијаграмот се наоѓа под проекционата оска, тогаш точката A е пред рамнината p 2. Така, хоризонталната проекција на геометриската слика ја одредува нејзината позиција во однос на фронталната рамнина на проекциите p 2 , а фронталната проекција на геометриската слика - во однос на хоризонталната рамнина на проекциите p 1 .

Ориз. 2.11	Ориз. 2.12

§ 4. Карактеристики на положбата на точка во системот p 1 и p 2

Точка дефинирана во просторот може да има различни позиции во однос на проекционите рамнини (сл. 2.13).

Ајде да ги разгледаме можните опции за локацијата на точка во просторот на првиот квартал:

1. Точка се наоѓа во просторот на првата четвртина на кое било растојание од оската X и рамнините p 1 p 2, на пример, точките A, B (таквите точки се нарекуваат точки на општа положба) (сл. 2.14 и сл. 2.15).

3. Точката K припаѓа истовремено и на рамнината p 1 и p 2, односно припаѓа на оската X (сл. 2.18):

Врз основа на горенаведеното, можеме да го извлечеме следниот заклучок:

1. Ако точката се наоѓа во просторот на првата четвртина, тогаш нејзината проекција A 2 се наоѓа над оската X, а A 1 е под X оската; A 2 A 1 – легнете на иста нормална (врска линија) на оската X (сл. 2.14).

2. Ако точката припаѓа на рамнината p 2, тогаш нејзината проекција C 2 C (се совпаѓа со самата точка C) и проекцијата C 1 X (припаѓа на оската X) и се совпаѓа со C X: C 1 C X.

3. Ако точката припаѓа на рамнината p 1, тогаш нејзината проекција D 1 на оваа рамнина се совпаѓа со самата точка D D 1, а проекцијата D 2 припаѓа на оската X и се совпаѓа со D X: D 2 D X.

4. Ако точката припаѓа на оската X, тогаш сите нејзини проекции се совпаѓаат и припаѓаат на оската X: K K 1 K 2 K X.

Вежба:

1. Карактеризирај ја положбата на точките во просторот од првата четвртина (сл. 2.19).

2. Конструирај визуелна слика и сеопфатен цртеж на точката според описот:

а) точката C се наоѓа во првата четвртина и е еднакво оддалечена од рамнините p 1 и p 2.

б) точката М припаѓа на рамнината p 2.

в) точката K се наоѓа во првата четвртина, а нејзиното растојание до p 1 е двојно поголемо од рамнината p 2.

г) точката L припаѓа на оската X.

3. Конструирај сложен цртеж на точка според описот:

а) точката P се наоѓа во првата четвртина, а нејзиното растојание од рамнината p 2 е поголемо отколку од рамнината p 1.

б) точката А се наоѓа во првата четвртина и нејзиното растојание до рамнината p 1 е 3 пати поголемо отколку до рамнината p 2.

в) точката Б се наоѓа во првата четвртина, а нејзиното растојание до рамнината е p 1 =0.

4. Споредете ја положбата на точките во однос на проекционите рамнини p 1 и p 2 и една со друга. Споредбата се прави врз основа на карактеристики или карактеристики. За точките, овие карактеристики се растојанието до рамнините p 1; стр 2 (сл. 2.20).

Примената на горната теорија при конструирање слики на точка може да се изврши на различни начини:

• зборови (вербални);
• графички (цртежи);
• визуелна слика (волуметриска);
• рамнински (комплексен цртеж).

Способноста да се преведат информации од еден метод на друг придонесува за развој на просторното размислување, т.е. од вербално во визуелно (волуметриско), а потоа во планарно и обратно.

Да го погледнеме ова со примери (Табела 2.1 и Табела 2.2).

Табела 2.1

Пример за слика со точки
во систем од две проекциски рамнини

Четврт простор	Визуелна слика	Комплексен цртеж	Карактеристични знаци
Јас			Фронтална проекција на точката А над оската X, хоризонтална проекција на точката А под оската X
II			Фронтални и хоризонтални проекции на точката B над оската X
III			Фронтална проекција на точката C под оската X, хоризонтална проекција на точката C над оската X
IV			Фронтални и хоризонтални проекции на точката D под оската X

Табела 2.2

Пример за слика на точки кои припаѓаат на рамнините p 1 и p 2

Позиција на точка	Визуелна слика	Комплексен цртеж	Карактеристични знаци
Точката А припаѓа на рамнината p 1			A 1 - под оската X, A 2 - на оската X
Точката Б припаѓа на рамнината p 1			B 1 - над оската X, B 2 - на оската X
Точката C припаѓа на рамнината p 2			C 2 - над оската X, C 1 - на оската X
Точката D припаѓа на рамнината p 2			D 1 - на оската X, D 2 - под оската X
Точката Е припаѓа на оската X			E 1 се совпаѓа со E 2 и припаѓа на оската X

Конструирај сложен цртеж на точката А ако:

1. Точката се наоѓа во II четвртина и е еднакво оддалечена од рамнините p 1 и p 2.

2. Точката се наоѓа во третата четвртина, а нејзиното растојание до рамнината p 1 е двојно поголемо од рамнината p 2.

3. Точката се наоѓа во IV четвртина, а нејзиното растојание до рамнината p1 е поголемо отколку до рамнината p2.

Определи во кои четвртини се наоѓаат точките (сл. 2.21).

1. Конструирај визуелна слика на точките во четвртините:

а) А – општа позиција во третиот квартал;

б) Б – општа позиција во IV квартал;

в) C – во втората четвртина, ако неговото растојание од p 1 е 0;

г) D – во првата четвртина, ако неговото растојание од p 2 е 0.

Конструирај сложен цртеж од точките A, B, C, D (види задача 3).

Во пракса, истражување и сликање, систем од две меѓусебно нормални рамнини не секогаш дава можност за недвосмислено решение. Така, на пример, ако ја поместите точката А по оската X, нејзината слика нема да се промени.

Позицијата на точката во просторот (сл. 2.22) е променета (сл. 2.24), но сликите во сложениот цртеж остануваат непроменети (сл. 2.23 и сл. 2.25).

Ориз. 2.22	Ориз. 2.23
Ориз. 2.24	Ориз. 2.25

За да се реши овој проблем, се воведува систем од три меѓусебно нормални рамнини, бидејќи при изготвување цртежи, на пример, машини и нивни делови, не се потребни две, туку повеќе слики. Врз основа на тоа, во некои конструкции при решавање на проблеми, неопходно е да се воведат p 1, p 2 и други проекциски рамнини во системот.

Овие рамнини го делат целиот простор на VIII делови, кои се нарекуваат октанти (од латинскиот okto eight). Авионите немаат дебелина, се непроѕирни и бесконечни. Набљудувачот се наоѓа во првата четвртина (за системи p 1, p 2) или првиот октант (за системи p 1, p 2, p 3) на бесконечно растојание од проекционите рамнини.

§ 6. Точка во системот стр 1, стр 2, стр 3

Изградбата на проекции на одредена точка А, сместена во првиот октант, на три меѓусебно нормални рамнини p 1, p 2, p 3 е прикажана на сл. 2.27. Користејќи ја комбинацијата на проекционите рамнини со рамнината p 2 и користејќи го методот на ротирање на рамнините, добиваме сложен цртеж на точката А (сл. 2.28):

AA 1 ^ p 1; AA 2 ^ p 2; АА 3 ^ стр 3,

каде A 3 – профилна проекција на точката А; А Х, А y, А Z – аксијални проекции на точката А.

Проекциите A 1, A 2, A 3 се нарекуваат, соодветно, фронтална, хоризонтална и профилна проекција на точката А.

Ориз. 2.27	Ориз. 2.28

Проекциските рамнини, кои се сечат во парови, дефинираат три оски x, y, z, кои може да се сметаат како систем на Декартови координати: оска Xнаречена оска на апсциса, оска y– ординатна оска, оска З– апликативна оска, точка на пресек на оските, означена со буквата ЗА,е потеклото на координатите.

Така, гледачот што гледа во објектот е во првиот октант.

За да добиеме сложен цртеж, го применуваме методот на ротирање на рамнините p 1 и p 3 (како што е прикажано на слика 2.27) додека не се порамни со рамнината p 2. Конечниот приказ на сите рамнини во првиот октант е прикажан на сл. 2.29.

Еве ги секирите ОИ Оз, лежејќи во фиксната рамнина стр 2, се прикажани само еднаш, оската Оприкажан двапати. Ова се објаснува со фактот дека, ротирајќи со рамнината p 1, оската yна дијаграмот се комбинира со оската Оз, и ротирајќи со рамнината p 3, истата оска се совпаѓа со оската О.

Ајде да погледнеме на Сл. 2.30, каде е точката во просторот А, дадени со координати (5,4,6). Овие координати се позитивни, а таа самата е во првиот октант. Изградбата на слика на самата точка и нејзините проекции на просторен модел се изведува со помош на координатен правоаголен паралелограм. За да го направите ова, исцртуваме отсечки на координатните оски, што одговараат на сегментите со должина: Оаа = 5, ОАј = 4, ОАЗ= 6. На овие сегменти ( ОАx, ОАy, ОАz), како на рабовите, градиме правоаголен паралелепипед. Едно од неговите темиња ќе дефинира дадена точка А.

Зборувајќи за системот од три проекциски рамнини во сложен цртеж (сл. 2.30), потребно е да се забележи следново.

При решавање на проблемите понекогаш не се доволни две проекции. Затоа, трета рамнина се воведува нормално на рамнините P 1 и P 2. Ја викаат профил рамнина (П 3 ) .

Три авиони го делат просторот на 8 дела - октанти (сл. 6). Како и досега, ќе претпоставиме дека гледачот што го гледа објектот е во првиот октант. За да се добие дијаграм (сл. 7), се ротира секоја геометриска слика на рамнината P 1 и P 3, како што е прикажано на сл. 6.

Проекционите рамнини, кои се сечат во парови, дефинираат три оски x, yИ z, кој може да се смета како систем на Декартови координати во просторот со потеклото во точката ЗА.

За да се добие дијаграм, точките во системот од три проекциски рамнини, рамнините P 1 и P 3, се ротираат додека не се порамнат со рамнината P 2 (сл. 8). При означување на оски на дијаграм, негативните полуоски обично не се означени.

За да ја пронајдете профилната проекција на точките постапете на следниов начин: од фронталната проекција А 2 поени Анацртајте права линија нормална на оската Зи на оваа права линија од оската zнацртајте отсечка еднаква на координатата напоени А(сл. 9).

Сл.8 Сл. 9
Координатите се броеви кои се доделуваат на точка за да се одреди нејзината положба во просторот или на површината. Во тродимензионалниот простор, положбата на точката се одредува со помош на правоаголни Декартови координати x, yИ z(апциса, ординација и примена):

А
?
бсциса X = ………..= …..…..= ….….. = ……….. – растојание од точката до рамнината P 3;

ординација на = ……….= ………= …...... = ………… – растојание од точката до рамнината P 2;

аплицираат z= …….. = ………= ……..= ………… – растојание од точката до рамнината P 1
А 1 А 2 – вертикална линија за поврзување нормална на оската x;

А 2 А 3 – хоризонтална линија за поврзување нормална на оскатаz.
А
?
1 (….,….) Проекциска позиција на секоја точка

А 2 (….,….) се дефинира со две координати

А 3 (….,….)
Ако точката припаѓа на барем една проекција рамнина, таа зафаќа приватен позиција во однос на проекционите рамнини. Ако точката не припаѓа на ниту една од проекциските рамнини, таа зафаќа општо позиција.

Предавање бр.2
ДИРЕКТ

1. Директно. 2. Положба на линијата во однос на проекционите рамнини. 3. Точката припаѓа на права линија. 4. Трагите се прави. 5. Поделба на права отсечка во даден сооднос. 6. Определување на должината на права отсечка и аглите на наклонетост на правата кон проекционите рамнини. 7. Меѓусебна положба на линиите.
1ДИРЕКТ
Проекцијата на права во општиот случај е права линија, освен во случај кога правата е нормална на рамнината (сл. 10).

За да се изгради дијаграм на права линија, определи ги координатите x, y, zдве точки на права линија и префрлете ги овие вредности на цртежот.

2 ПОЛОЖБА НА ЛИНИЈАТА ВО ОДНОС НА ПРОЕКЦИСКИТЕ РАМНИНИ
ВО

Во зависност од положбата на линијата во однос на проекционите рамнини, таа може да зазема и општи и посебни позиции.

П проекцијата на генеричка линија е помала од самата права линија.

Постои нагорна права линија - ова е права линија, која се крева додека се оддалечува од набљудувачот (сл. 11) и права линија на опаѓање, која се намалува.

ч   П 1 ; З = конст

ч 2  0xзнак

ч 3  0нахоризонтална

ч 1 =  ч – имот

хоризонтална

 – агол на наклон на правата кон

рамнина P1

 – агол на наклон на правата кон

рамнина P 2

 – агол на наклон на правата кон

рамнина P 3


?
= 0

 = (ч 1  P 2) назначи


Ориз. 12. Хоризонтална
= (ч 1  P 3) на цртежот

ѓ   П 2 ; y = конст

ѓ 1  0xзнак

ѓ 3  0zфронтален

ѓ 2 = ѓ – фронтален имот

?
= 0

 = (ѓ 2  P 1) назначи

 = (ѓ 2  P 3) на цртежот

Ориз. 13. Предна страна

Р   П 3 ; x = конст

Р 1  0назнак

Р 2  0zпрофил директно

Р 3 =  Р – својство на профилот

директно
 = 0


?
= (Р 3  P 1) назначи

 = (Р 3  P 2) на цртежот

Ориз. 14. Профил директно

А P 1

А 2  0Xзнак

А 3  0на

?
=

б P 2

б 1  0Xзнак

б 3  0z

?
=

в P 3

в 1  0назнак

Со 2  0z

?
=

3 ПРИПАЃАЊЕ НА ПРАВНА ТОЧКА
Т теорема: Ако точка во просторот припаѓа на права, тогаш на дијаграмот проекциите на оваа точка се на истите проекции на правата (сл. 18):

М  АБ,

Е АБ.
Фер конверзна теорема :

М 1  А 1 Б 1 ;

М 2  А 2 Б 2  М АБ.

4 ТРАГИ ДИРЕКТНИ
СО
?
мраз – ова е точката што е пресечена со права линија со проекциската рамнина (сл. 19).Бидејќи трагата припаѓа на една од проекционите рамнини, една од нејзините координати мора да биде еднаква на нула.

марка на Х = к ∩ П 1 – хоризонтална трага

цртеж (сл. 19) Ф = к ∩ П 2 – фронтална трага

?
P =к ∩ П 3 – трага на профилот

Правило за изградба на траги:

За да се конструира хоризонтална трага на права линија..... потребно е да се изврши фронтална проекција..... права линија..... продолжи додека не се вкрсти со оската X, потоа од точката на вкрстување со оската Xвратете нормална на неа, и продолжете со хоризонталната..... проекција на правата линија...... додека не се пресече со оваа нормална.

На сличен начин е конструирана и фронталната трага.

5 ПОДЕЛБА НА ЛИНИСКИ СЕГМЕНТ ВО ДАДЕН ОДНОС
Од својствата на паралелната проекција се знае дека ако точка дели отсечка во даден однос, тогаш проекциите на оваа точка ги делат истите проекции на правата во ист однос.

Затоа, за да се подели одреден сегмент на дијаграм во даден сооднос, потребно е неговите проекции да се поделат во истиот однос.

Знаејќи ја оваа состојба, можете да одредите дали точка и припаѓа ДО директно АБ : А 2 ДО 2 : ДО 2 ВО 2 ¹ А 1 ДО 1 : ДО 1 ВО 1 Þ ДО Ï АБ

Пример:Да се ​​подели линија АБ во сооднос 2:3 од точка А 1 ајде да нацртаме произволен сегмент А 1 ВО 0 1 поделено на пет еднакви делови (сл. 20): А 1 К 0 1 = 2 дела, К 0 1 Б 0 1 = 3 дела, А 1 ДО 0 1 :ДО 0 1 ВО 0 1 =2: 3

Поврзете ја точката ВО 0 1 со точка ВО 1 и цртање од точката ДО 0 1 права паралелна ( ВО 1 ВО 0 1) ја добиваме проекцијата на точката ДО 1 . Според Талесовата теорема (ако еднакви отсечки се поставени на едната страна од аголот и паралелни линии се повлекуваат низ нивните краеви, пресекувајќи ја другата страна, тогаш еднакви отсечки се поставени на другата страна) А 1 ДО 1: ДО 1 ВО 1 = = 2: 3, тогаш наоѓаме ДО 2. Така проекциите на точката ДОподелете ги истите проекции на отсечка АБво овој поглед, оттука и поентата ДОдели сегмент АБво сооднос 2:3.

6 ОПРЕДЕЛУВАЊЕ НА ДОЛЖИНА НА ПРАВЕН СЕГМЕНТ И АГЛИ

НАКЛУВАЊЕ ПРАВО КОН ПРОЕКЦИОНИ РАМИНИ
Должина на сегментот АБ може да се одреди од правоаголен триаголник ABC , каде! А СО  = А 1 Б 1 ,  CB  = Д.З, агол а- агол на наклон на сегментот кон рамнината П 1 . За да го направите ова, на дијаграмот (слика 21) од точката Б 1 нацртајте отсечка под агол од 90  Б 1 Б 1 0 = Д.З, добиениот сегмент А 1 Б 1 0 и ќе биде природна вредност на сегментот АБ , и аголот Б 1 А 1 Б 1 0 = α . Разгледаниот метод се нарекува метод правоаголен триаголник . Сепак, сите конструкции може да се објаснат како ротација на триаголник ABC околу страната AC додека не стане паралелна со рамнината П 1 , во овој случај триаголникот се проектира на проекциската рамнина без изобличување. За одредување б- аголот на наклон на сегментот кон рамнината П 2 конструкциите се слични (сл. 22). Само во триаголник ABC страна  Сонцето  = ДУ а триаголникот е порамнет со рамнината П 2 .

? Означете ги проекциите на линијата и

определи го аголот α.

Означете ги проекциите на линијата и

определи го аголот α.

Означете ги проекциите на линијата и

определи го аголот β.

7 МЕЃУЕМЕНА ПОЗИЦИЈА НА СТРАЈТИТЕ
Линиите во просторот можат да се сечат, вкрстуваат и да бидат паралелни.

1. Пресечни линии - ова се линии кои лежат во иста рамнина и имаат заедничка точка (а ∩ б = К).

Теорема:Ако прави линии се сечат во просторот, тогаш нивните истоимени проекции се сечат на цртежот (сл. 23).

Т точката на пресек на истоимените проекции се наоѓа на истата нормална на оската X (ДО 1 ДО 2  О X).

ДО = а ∩ б  ДО  а; ДО  б  ДО 1 = а 1 ∩ б 1 ;

ДО 2 = а 2 ∩ б 2 .
Конверзната теорема е исто така вистинита:

Ако ДО 1  А 1 ; ДО 2  б 2, тогаш

ДО 1 = А 1 ∩ б 1 ;

ДО 2 = А 2 ∩ б 2  ДО = А ∩ б.
2. Преминување линии - тоа се прави линии кои не лежат во иста рамнина и немаат заедничка точка (сл. 24).

Парови поени 1 И 2 , кои лежат на хоризонтално испакната линија се нарекуваат хоризонтално натпреварувачки, а точките 3 И 4 – фронтално конкурентни. Од нив се одредува видливоста на дијаграмот.

П за хоризонтално натпреварувачките точки 1 И 2 Се одредува видливоста во однос на P 1. Точка 1 поблиску до окото на набљудувачот, ќе биде видливо на рамнината P 1. Од точка 1 м, потоа директно мќе биде повисоко од правата линија n.

Која линија ќе биде видлива во однос на рамнинатаП 2 ?
3. Паралелни линии - ова се линии кои лежат во иста рамнина и имаат неправилна заедничка точка.

Теорема:

Е Ако линиите се паралелни во просторот, тогаш нивните проекции со исто име се паралелни на цртежот (сл. 25).

Ако к  м  к 1!!! м 1 , к 2!!! м 2 , к 3!!! м 3
Конверзната теорема е вистинита:

Ако к 1!!! м 1 ; к 2!!! м 2  к  м
Предавање бр.3
РАМНИНА

1. Методи за дефинирање на рамнина во цртеж. Траги од авион. 2. Положба на рамнината во однос на проекционите рамнини. 3. Припадност на точка и права рамнина. 4. Главни (специјални) линии на авионот.
1 НАЧИНИ НА ПОСТАВУВАЊЕ НА АВИОН НА ЦРТЕГ.

АВИОН ЗА ТРАГА

Рамнина- бесконечна управувана површина во сите правци, која низ целата своја должина нема искривување или прекршување.

Рамнината на цртежот може да се одреди:

1. 
   Три точки кои не лежат на иста линија - П (А, Б, В) , ориз. 26.
2. 
   Права линија и точка што не лежи на оваа линија - П (м, А; А м) , ориз. 27.

   Ориз. 29 Сл. триесет
   Одредување рамнина со помош на траги

   Авион за трага – линија на пресек на рамнината со проекциската рамнина (сл. 31).

   Хоризонтална патеката се добива со пресекот на рамнината P со хоризонталната рамнина на проекции (P P1 = P ∩ P 1).

   P P2 = P ∩ P 2 - фронтална трага ;

   Р P3 = P ∩ P 3 - трага на профилот ;

   Р x, Р y, Р z – точки на исчезнување .

   

10.1 Диедрален агол. Агол помеѓу рамнините

Две линии кои се пресекуваат формираат два пара вертикални агли. Исто како што две пресечни линии на рамнина формираат пар вертикални агли (слика 89, а), така и две пресечни рамнини во просторот формираат два пара вертикални диедрални агли (сл. 89, б).

Ориз. 89

Диедрален агол е фигура која се состои од две полурамнини кои имаат заедничка гранична права линија и не лежат во иста рамнина (сл. 90). Самите полурамнини се нарекуваат лица на диедрален агол, а нивната заедничка гранична права линија се нарекува нејзин раб.

Ориз. 90

Диедралните агли се мерат на следниов начин.

Да ја земеме точката O на работ p на диедрален агол со лица α и β. Нацртајте зраци a и b од точката O на нејзините лица, нормално на работ p: a - во лицето α и b - во лицето β (сл. 91 , а).

Ориз. 91

Агол со страни a, b се нарекува линеарен диедрален агол.

Големината на линеарниот агол не зависи од изборот на неговото теме на работ на диедралниот агол.

Навистина, да земеме уште една точка O 1 од работ p и да ги нацртаме зраците a 1 ⊥ p и b 1 ⊥ p во лицата α и β (слика 91, б).

Да го нацртаме на зрак a отсечката OA, на зракот a 1 отсечката O 1 A 1, еднаква на отсечката OA, на зракот b отсечката OB и на зракот b 1 отсечката O 1 B 1, еднаква на отсечката ОБ (Сл. 91, в).

Во правоаголниците OAA 1 O 1 и 0BB 1 0 1, страните AA 1 и BB 1 се еднакви на нивната заедничка страна OO 1 и се паралелни со неа. Затоа AA 1 = BB 1 и AA 1 || ББ 1.

Следствено, четириаголникот ABV 1 A 1 е паралелограм (сл. 91, г), што значи AB = A 1 B 1. Според тоа, триаголниците ABO и A 1 B 1 O 1 се еднакви (на три страни), а аголот ab е еднаков на аголот a 1 b 1.

Сега можеме да ја дадеме следната дефиниција: големината на диедралниот агол е големината на неговиот линеарен агол.

Аголот помеѓу рамнините што се пресекуваат е големината на помалиот од диедралните агли формирани од нив. Ако овој агол е 90°, тогаш рамнините се нарекуваат меѓусебно нормални. Аголот помеѓу паралелните рамнини се претпоставува дека е 0°.

Аголот помеѓу рамнините α и β, како и вредноста на диедралниот агол со лица α и β, се означува ∠αβ.

Аголот помеѓу лицата на полиедар кои имаат заеднички раб е вредноста на диедралниот агол што одговара на овие лица.

10.2 Својства на меѓусебно нормални рамнини

Имотот 1. Права која лежи во една од двете меѓусебно нормални рамнини и нормална на нивната заедничка права линија е нормална на другата рамнина.

Доказ. Нека рамнините α и β се меѓусебно нормални и се сечат по права линија c. Нека лежат права линија во рамнината α и a ⊥ с (сл. 92). Правата a ја сече c во одредена точка O. Да повлечеме права b во рамнината β низ точката O, нормална на правата c. Бидејќи α ⊥ β, тогаш a ⊥ b. Бидејќи a ⊥ b и a ⊥ c, тогаш α ⊥ β врз основа на перпендикуларноста на правата и рамнината.

Ориз. 92

Второто својство е обратно од првото својство.

Имотот 2. Права која има заедничка точка со една од двете меѓусебно нормални рамнини и е нормална на другата рамнина лежи во првата од нив.

Доказ. Нека рамнините α и β се меѓусебно нормални и се сечат по права линија c, правата a ⊥ β и a имаат заедничка точка A со a (сл. 93). Низ точката А повлекуваме права p во рамнината α, нормална на правата c. Според својството 1 p ⊥ β. Правилата a и p минуваат низ точката A и се нормални на рамнината β. Затоа, тие се совпаѓаат, бидејќи само една права линија поминува низ точка, нормална на одредена рамнина. Бидејќи правата p лежи во α рамнината, тогаш правата a лежи во α рамнината.

Ориз. 93

Последица на својството 2 е следниов знак за нормалност на права и рамнина: ако две рамнини нормални на трета рамнина се сечат, тогаш правата на нивното вкрстување е нормална на третата рамнина.

Доказ. Нека две рамнини α и β, кои се сечат по права линија a, се нормални на рамнината γ (сл. 94). Потоа низ која било точка од правата a повлекуваме права нормална на рамнината γ. Според својството 2, оваа права лежи и во рамнината α и во рамнината β, т.е. се совпаѓа со правата a. Значи, a ⊥ γ.

Ориз. 94

10.3 Знак за перпендикуларност на рамнините

Да почнеме со практични примери. Рамнината на вратата закачена на гребенот нормална на подот е нормална на рамнината на подот во која било положба на вратата (сл. 95). Кога сакаат да проверат дали рамна површина (ѕид, ограда и сл.) е поставена вертикално, тоа го прават со помош на водовод - јаже со товар. Водоводната линија е секогаш насочена вертикално, а ѕидот стои вертикално ако линијата на водоводот, лоцирана по неа, не отстапува. Овие примери ни го кажуваат следниот едноставен знак за нормалност на рамнините: ако рамнината минува низ нормална на друга рамнина, тогаш овие рамнини се меѓусебно нормални.

Ориз. 95

Доказ. Нека рамнината α содржи права нормална на рамнината β (види слика 92). Тогаш права линија a ја пресекува рамнината β во одредена точка O. Точката O лежи на правата c по која се сечат рамнините α и β. Да повлечеме права b во β рамнината низ точката O, нормална на правата c. Бидејќи a ⊥ β, тогаш a ⊥ b и a ⊥ c. Тоа значи дека линеарните агли на диедралните агли формирани од пресечните рамнини α и β се прави. Според тоа, рамнините α и β се меѓусебно нормални.

Забележете дека секоја две од трите прави a, b и c, разгледани сега (види слика 92), се меѓусебно нормални. Ако изградиме друга права што минува низ точката О и е нормална на две од овие три прави, тогаш таа ќе се совпадне со третата права. Овој факт зборува за тродимензионалноста на просторот околу нас: не постои четврта права нормална на секоја од правата a, b и c.

Прашања за самоконтрола

1. Како се пресметува диедралниот агол?
2. Како да се пресмета аголот помеѓу рамнините?
3. Кои рамнини се нарекуваат меѓусебно нормални?
4. Кои својства на меѓусебно нормални рамнини ги знаете?
5. Кој знак за перпендикуларност на рамнините го знаете?

Постојат многу делови чии информации за формата не можат да се пренесат со две проекции на цртежи. Со цел информациите за сложената форма на делот да бидат доволно целосно претставени, проекцијата се користи на три меѓусебно нормални проекциски рамнини: фронтална - В, хоризонтална - Хи профил - В .

Системот на проекциони рамнини е триедарен агол со неговото теме во точката ЗА. Пресеците на рамнините на триедарски агол формираат прави линии - оските на проекциите ( Вол, OY, ОЗ) (сл. 23).

Објектот е поставен во триедрален агол, така што неговиот формативен раб и основата се паралелни со фронталната и хоризонталната проекција рамнина, соодветно. Потоа, проекционите зраци се пренесуваат низ сите точки на објектот, нормално на сите три проекциски рамнини, на кои се добиваат фронтални, хоризонтални и профилни проекции на објектот. По проекцијата, објектот се отстранува од триедралниот агол, а потоа хоризонталната и профилната проекција рамнина се ротираат за 90°, соодветно, околу оските. ОИ ОЗдодека не се порамни со фронталната проекција рамнина и не се добие цртеж на делот кој содржи три проекции.

Ориз. 23.Проекција на три меѓусебно нормални

проекциони рамнини

Трите проекции на цртежот се меѓусебно поврзани. Фронталните и хоризонталните проекции ја зачувуваат проекциската врска на сликите, т.е. се воспоставуваат проекциски врски помеѓу фронталните и хоризонталните, фронталните и профилите, како и хоризонталните и профилните проекции (види Сл. 23). Линиите за проекција ја дефинираат локацијата на секоја проекција на полето за цртање.

Во многу земји во светот, усвоен е друг систем на правоаголна проекција на три меѓусебно нормални проекциски рамнини, кој конвенционално се нарекува „американски“. Неговата главна разлика е во тоа што триедарниот агол се наоѓа во просторот различно, во однос на проектираниот објект. а рамнините се расплетуваат во други правци проекции. Затоа, хоризонталната проекција се појавува над фронталната, а проекцијата на профилот се појавува десно од фронталната.

Обликот на повеќето предмети е комбинација од различни геометриски тела или нивни делови. Затоа, за да ги прочитате и комплетирате цртежите, треба да знаете како геометриските тела се прикажани во систем од три проекции.

Концепт на поглед

Знаете дека фронталните, хоризонталните и профилните проекции се слики на проекциски цртеж. Проекциските слики на надворешната видлива површина на објектот се нарекуваат погледи.

Прикажи- Ова е слика на видливата површина на објект свртен кон набљудувачот.

Главни типови.Стандардот воспоставува шест главни погледи кои се добиваат при проектирање на објект поставен во коцка, чии шест лица се земени како проекциони рамнини (сл. 24). Имајќи проектиран објект на овие лица, тие се свртуваат додека не се порамнат со фронталната рамнина на проекции (сл. 25).

Ориз. 24.Добивање основни погледи

Преден изглед(главен поглед) се поставува на местото на фронталната проекција. Поглед одозгорапоставен на хоризонталната проекција (под главниот приказ). Лев погледсе наоѓа на местото на проекцијата на профилот (десно од главниот приказ). Прикажи десносе наоѓа лево од главниот приказ. Долниот поглед е над главниот приказ. Задниот поглед е поставен десно од левиот приказ.

Ориз. 25. Главни типови

Главните погледи, како и проекциите, се сместени во проекциски однос. Бројот на прегледи на цртежот е избран да биде минимален, но доволен за прецизно претставување на обликот на прикажаниот предмет. Во погледите, доколку е потребно, дозволено е да се прикажат невидливи делови од површината на објектот со помош на испрекинати линии (сл. 26).

Главниот приказ треба да содржи најмногу информации за ставката. Затоа, делот мора да биде поставен во однос на фронталната рамнина на проекции така што неговата видлива површина може да се проектира со најголем број елементи на формата. Покрај тоа, главниот приказ треба да даде јасна претстава за карактеристиките на формата, прикажувајќи ја нејзината силуета, површинските кривини, корнизи, вдлабнатини, дупки, што обезбедува брзо препознавање на обликот на прикажаниот производ.