Случајната променлива е дадена со функцијата на дистрибуција; најдете ја константата. Очекување на континуирана случајна променлива

СЛУЧАЈНИ ПРОМЕНЛИВИ

Пример 2.1.Случајна вредност Xдадена со функцијата на дистрибуција

Најдете ја веројатноста дека како резултат на тестот Xќе ги земе вредностите содржани во интервалот (2,5; 3,6).

Решение: Xво интервалот (2,5; 3,6) може да се одреди на два начина:

Пример 2.2.На кои параметри вредности АИ ВОфункција Ф(x) = A + Be - xможе да биде дистрибутивна функција за ненегативни вредности случајна променлива X.

Решение:Бидејќи сите можни вредности на случајната променлива Xприпаѓаат на интервалот , тогаш со цел функцијата да биде функција на дистрибуција за X, имотот мора да биде задоволен:

.

Одговор: .

Пример 2.3.Случајната променлива X е специфицирана со функцијата за дистрибуција

Најдете ја веројатноста дека, како резултат на четири независни тестови, вредноста Xточно 3 пати ќе земе вредност што припаѓа на интервалот (0,25;0,75).

Решение:Веројатност за постигнување вредност Xво интервалот (0,25; 0,75) наоѓаме користејќи ја формулата:

Пример 2.4.Веројатноста топката да го погоди кошот со еден удар е 0,3. Подгответе закон за распределба за бројот на удари со три фрлања.

Решение:Случајна вредност X– бројот на удари во кошот со три удари – може да ги има следните вредности: 0, 1, 2, 3. Веројатности кои X

X:

Пример 2.5.Двајца стрелци пукаат по еден истрел во цел. Веројатноста првиот стрелец да го погоди е 0,5, вториот - 0,4. Подгответе закон за дистрибуција за бројот на удари на целта.

Решение:Да го најдеме законот за распределба на дискретна случајна променлива X– број на удари на целта. Настанот нека биде првиот стрелец кој ќе ја погоди целта, а вториот стрелец нека ја погоди целта и тоа е нивно промашување, соодветно.

Да го составиме законот за распределба на веројатност на SV X:

Пример 2.6.Се тестираат три елементи, кои работат независно еден од друг. Времетраењето на времето (во часови) на работа без дефект на елементите има функција на густина на дистрибуција: за првото: Ф 1 (т) =1-е- 0,1 т, за второто: Ф 2 (т) = 1-е- 0,2 т, за третото: Ф 3 (т) =1-е- 0,3 т. Најдете ја веројатноста дека во временскиот интервал од 0 до 5 часа: само еден елемент ќе пропадне; само два елементи ќе пропаднат; сите три елементи ќе пропаднат.

Решение:Ајде да ја користиме дефиницијата за функцијата за генерирање на веројатност:

Веројатноста дека во независни испитувања од кои во првата веројатноста да се случи некој настан Аеднакво на , во вториот, итн., настан Асе појавува точно еднаш, еднаков на коефициентот во проширувањето на генерирачката функција во моќи од . Да ги најдеме веројатностите за неуспех и неуспех, соодветно, на првиот, вториот и третиот елемент во временскиот интервал од 0 до 5 часа:

Ајде да создадеме функција за генерирање:

Коефициентот во е еднаков на веројатноста дека настанот Аќе се појави точно три пати, односно веројатноста за неуспех на сите три елементи; коефициентот во е еднаков на веројатноста дека точно два елементи ќе откажат; коефициентот во е еднаков на веројатноста дека само еден елемент ќе пропадне.

Пример 2.7.Со оглед на густината на веројатноста ѓ(x)случајна променлива X:

Најдете ја функцијата за распределба F(x).

Решение:Ја користиме формулата:

.

Така, функцијата за дистрибуција изгледа вака:

Пример 2.8.Уредот се состои од три независни елементи кои работат. Веројатноста за неуспех на секој елемент во еден експеримент е 0,1. Направете закон за дистрибуција за бројот на неуспешни елементи во еден експеримент.

Решение:Случајна вредност X– бројот на елементи кои не успеале во еден експеримент – може да ги земе следните вредности: 0, 1, 2, 3. Веројатности кои Xги зема овие вредности, наоѓаме користејќи ја формулата на Бернули:

Така, го добиваме следниов закон за распределба на веројатност на случајна променлива X:

Пример 2.9.Во серија од 6 делови има 4 стандардни. По случаен избор беа избрани 3 дела. Подгответе закон за распределба за бројот на стандардни делови меѓу избраните.

Решение:Случајна вредност X– бројот на стандардни делови меѓу избраните – може да ги има следните вредности: 1, 2, 3 и има хипергеометриска распределба. Веројатности кои X

Каде -- број на делови во серијата;

-- број на стандардни делови во серија;

– број на избрани делови;

-- број на стандардни делови меѓу избраните.

.

.

.

Пример 2.10.Случајната променлива има густина на дистрибуција

и не се познати, но, а и . Најдете и.

Решение:ВО во овој случајслучајна вредност Xима триаголна распределба (дистрибуција Симпсон) на интервалот [ а, б]. Нумерички карактеристики X:

Оттука, . Одлучување овој систем, добиваме два пара вредности: . Бидејќи според условите на проблемот, конечно имаме: .

Одговор: .

Пример 2.11.Во просек 10% од договорите Друштво за осигурувањеплаќа суми за осигурување во врска со настанување на осигурен случај. Пресметајте го математичкото очекување и дисперзијата на бројот на такви договори меѓу четири случајно избрани.

Решение:Математичкото очекување и варијансата може да се најдат со помош на формулите:

.

Можни вредности на SV (број на договори (од четири) со појава на осигурен случај): 0, 1, 2, 3, 4.

Ја користиме формулата на Бернули за да ги пресметаме веројатностите разни броевидоговори (од четири) за кои се платени осигурените износи:

.

Серијата за дистрибуција на ИЦ (бројот на договори со појава на осигурен случај) има форма:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Одговор: ,.

Пример 2.12.Од петте рози, две се бели. Направете закон за распределба на случајна променлива што го изразува бројот на бели рози меѓу две истовремено земени.

Решение:Во изборот од две рози, може или да нема бела роза, или може да има една или две бели рози. Затоа, случајната променлива Xможе да земе вредности: 0, 1, 2. Веројатности кои Xги зема овие вредности, го наоѓаме користејќи ја формулата:

Каде -- број на рози;

-- број на бели рози;

– број на рози земени во исто време;

-- бројот на бели рози меѓу земените.

.

.

.

Тогаш законот за распределба на случајната променлива ќе биде како што следува:

Пример 2.13.Меѓу 15-те собрани единици, 6 бараат дополнително подмачкување. Подгответе закон за распределба за бројот на единици на кои им е потребно дополнително подмачкување меѓу пет случајно избрани од вкупниот број.

Решение:Случајна вредност X– бројот на единици за кои е потребно дополнително подмачкување меѓу петте избрани – може да ги има следните вредности: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и има хипергеометриска распределба. Веројатности кои Xги зема овие вредности, го наоѓаме користејќи ја формулата:

Каде -- број на собрани единици;

-- бројот на единици за кои е потребно дополнително подмачкување;

– број на избрани единици;

-- бројот на единици кои бараат дополнително подмачкување меѓу избраните.

.

.

.

.

.

Тогаш законот за распределба на случајната променлива ќе биде како што следува:

Пример 2.14.Од 10-те часовници добиени за поправка, 7 бараат општо чистење на механизмот. Часовниците не се подредени по вид на поправка. Господарот, сакајќи да најде часовници на кои им е потребно чистење, ги испитува еден по еден и, откако ги нашол таквите часовници, престанува да ги гледа понатаму. Најдете ги математичкото очекување и варијансата на бројот на гледани часови.

Решение:Случајна вредност X– бројот на единици на кои им е потребно дополнително подмачкување меѓу петте избрани – може да ги има следните вредности: 1, 2, 3, 4. Веројатности кои Xги зема овие вредности, го наоѓаме користејќи ја формулата:

.

.

.

.

Тогаш законот за распределба на случајната променлива ќе биде како што следува:

Сега да ги пресметаме нумеричките карактеристики на количината:

Одговор: ,.

Пример 2.15.Претплатникот ја заборавил последната цифра од телефонскиот број што му треба, но се сеќава дека е непарен. Најдете ги математичкото очекување и варијансата на бројот на пати кога бирал телефонски број пред да го достигне саканиот број, ако ја бира последната цифра по случаен избор и последователно не ја бира бираната цифра.

Решение:Случајната променлива може да ги земе следните вредности: . Бидејќи претплатникот не ја бира бираната цифра во иднина, веројатноста за овие вредности се еднакви.

Ајде да составиме дистрибутивна серија на случајна променлива:

	0,2

Да го пресметаме математичкото очекување и варијансата на бројот на обиди за бирање:

Одговор: ,.

Пример 2.16.Веројатноста за неуспех за време на тестовите за доверливост за секој уред од серијата е еднаква на стр. Определете го математичкото очекување на бројот на уреди кои не успеале доколку биле тестирани Нуреди.

Решение:Дискретна случајна променлива X е бројот на неуспешни уреди во Ннезависни тестови, од кои секоја веројатност за неуспех е еднаква стр,распоредени според биномниот закон. Очекувана вредност биномна дистрибуцијае еднаков на производот од бројот на испитувања и веројатноста да се случи настан во едно испитување:

Пример 2.17.Дискретна случајна променлива Xзема 3 можни вредности: со веројатност ; со веројатност и со веројатност. Најдете и, знаејќи дека М( X) = 8.

Решение:Ги користиме дефинициите за математичко очекување и законот за распределба на дискретна случајна променлива:

Ние најдовме: .

Пример 2.18.Одделот за техничка контрола ги проверува производите за стандардност. Веројатноста дека производот е стандарден е 0,9. Секоја серија содржи 5 производи. Најдете го математичкото очекување на случајна променлива X– бројот на серии, од кои секоја содржи точно 4 стандардни производи, доколку 50 серии се предмет на проверка.

Решение:Во овој случај, сите спроведени експерименти се независни, а веројатностите дека секоја серија содржи точно 4 стандардни производи се исти, затоа, математичкото очекување може да се одреди со формулата:

,

каде е бројот на партии;

Веројатноста дека една серија содржи точно 4 стандардни производи.

Ја наоѓаме веројатноста користејќи ја формулата на Бернули:

Одговор: .

Пример 2.19.Најдете ја варијансата на случајна променлива X– број на појави на настанот Аво две независни испитувања, доколку веројатностите за појава на настан во овие испитувања се исти и се знае дека М(X) = 0,9.

Решение:Проблемот може да се реши на два начина.

1) Можни вредности на SV X: 0, 1, 2. Користејќи ја формулата Бернули, ги одредуваме веројатностите на овие настани:

, , .

Потоа законот за распределба Xима форма:

Од дефиницијата за математичко очекување, ја одредуваме веројатноста:

Да ја најдеме дисперзијата на СВ X:

.

2) Можете да ја користите формулата:

.

Одговор: .

Пример 2.20.Очекување и стандардно отстапување на нормално распределена случајна променлива Xсоодветно еднакво на 20 и 5. Најдете ја веројатноста дека како резултат на тестот Xќе ја земе вредноста содржана во интервалот (15; 25).

Решение:Веројатност да се погоди нормална случајна променлива Xна делот од до се изразува преку функцијата Лапласова:

Пример 2.21.Дадена функција:

Со која вредност на параметарот Воваа функција е густина на дистрибуција на некоја континуирана случајна променлива X? Најдете ги математичкото очекување и варијансата на случајна променлива X.

Решение:За да може функцијата да биде густина на дистрибуција на некоја случајна променлива, таа мора да биде ненегативна и мора да го задоволува својството:

.

Оттука:

Ајде да го пресметаме математичкото очекување користејќи ја формулата:

.

Ајде да ја пресметаме варијансата користејќи ја формулата:

Т е еднаков стр. Неопходно е да се најде математичкото очекување и варијансата на оваа случајна променлива.

Решение:Законот за распределба на дискретна случајна променлива X - бројот на појавувања на настан во независни испитувања, во секое од кои веројатноста да се случи настанот е еднаква на , се нарекува бином. Математичкото очекување на биномната распределба е еднакво на производот од бројот на испитувања и веројатноста за појава на настанот А во едно испитување:

.

Пример 2.25.Во целта се испукани три независни истрели. Веројатноста да се погоди секој истрел е 0,25. Определете го стандардното отстапување на бројот на удари со три истрели.

Решение:Бидејќи се вршат три независни испитувања, а веројатноста за појава на настанот А (погодок) во секое испитување е иста, ќе претпоставиме дека дискретната случајна променлива X - бројот на удари на целта - е распределена според биномниот закон.

Варијансата на биномната распределба е еднаква на производот од бројот на испитувања и веројатноста за појава и непојавување на настан во едно испитување:

Пример 2.26.Просечниот број на клиенти кои посетуваат осигурителна компанија за 10 минути е три. Најдете ја веројатноста дека барем еден клиент ќе пристигне во следните 5 минути.

Просечен број на клиенти кои пристигнуваат за 5 минути: . .

Пример 2.29.Времето на чекање за апликација во редот на процесорот го почитува законот за експоненцијална дистрибуција со просечна вредност од 20 секунди. Најдете ја веројатноста следното (случајно) барање да чека на процесорот повеќе од 35 секунди.

Решение:Во овој пример, математичкото очекување , а стапката на неуспех е еднаква на .

Тогаш саканата веројатност:

Пример 2.30.Група од 15 студенти одржува состанок во сала со 20 редови од по 10 седишта. Секој ученик зазема место во салата по случаен избор. Колкава е веројатноста дека на седмото место од редот нема повеќе од три лица?

Решение:

Пример 2.31.

Потоа, според класичната дефиниција за веројатност:

Каде -- број на делови во серијата;

-- број на нестандардни делови во серијата;

– број на избрани делови;

-- број на нестандардни делови меѓу избраните.

Тогаш законот за распределба на случајната променлива ќе биде како што следува.

Густина на дистрибуција веројатности Xповикајте ја функцијата f(x)– првиот извод на функцијата на дистрибуција F(x):

Концептот на густина на дистрибуција на веројатност на случајна променлива XЗа дискретна вредностне се применува.

Густина на дистрибуција на веројатност f(x)– наречена функција на диференцијална дистрибуција:

Имотот 1.Густината на дистрибуција е ненегативна количина:

Имотот 2. Несоодветен интегралод густината на дистрибуцијата во опсегот од до е еднаква на единството:

Пример 1.25.Со оглед на функцијата на распределба на континуирана случајна променлива X:

f(x).

Решение:Густината на распределбата е еднаква на првиот извод на функцијата на дистрибуција:

1. Дадена е дистрибутивна функција на континуирана случајна променлива X:

Најдете ја густината на дистрибуцијата.

2. Дадена е дистрибутивната функција на континуирана случајна променлива X:

Најдете ја густината на дистрибуцијата f(x).

1.3. Нумерички карактеристики на континуирано случаен избор

количини

Очекувана вредностконтинуирана случајна променлива X, чии можни вредности припаѓаат на целата оска О, се определува со еднаквоста:

Се претпоставува дека интегралот апсолутно конвергира.

а, б), Тоа:

f(x)– густина на дистрибуција на случајна променлива.

Дисперзија континуирана случајна променлива X, чиишто можни вредности припаѓаат на целата оска, се определува со еднаквоста:

Посебен случај. Ако вредностите на случајна променлива припаѓаат на интервалот ( а, б), Тоа:

Веројатноста дека Xќе земе вредности кои припаѓаат на интервалот ( а, б), се определува со еднаквоста:

.

Пример 1.26.Континуирана случајна променлива X

Најдете ги математичкото очекување, варијансата и веројатноста за погодување на случајна променлива Xво интервалот (0;0,7).

Решение:Случајната променлива се дистрибуира низ интервалот (0,1). Дозволете ни да ја одредиме густината на дистрибуција на континуирана случајна променлива X:

а) Математичко очекување :

б) Варијанса

V)

Задачи за самостојна работа:

1. Случајна променлива Xдадена од функцијата за дистрибуција:

M(x);

б) варијанса D(x);

Xво интервалот (2,3).

2. Случајна променлива X

Најдете: а) математичко очекување M(x);

б) варијанса D(x);

в) да се определи веројатноста за погодување на случајна променлива Xво интервалот (1;1,5).

3. Случајна променлива Xе дадена со кумулативната дистрибутивна функција:

Најдете: а) математичко очекување M(x);

б) варијанса D(x);

в) да се определи веројатноста за погодување на случајна променлива Xво интервалот

1.4. Закони на распределба на континуирана случајна променлива

1.4.1. Униформа дистрибуција

Континуирана случајна променлива Xима униформа дистрибуција на сегментот [ а, б], ако на овој сегмент густината на распределбата на веројатноста на случајната променлива е константна, а надвор од неа е еднаква на нула, т.е.

Ориз. 4.

; ; .

Пример 1.27.Автобус на одредена релација се движи рамномерно во интервали од 5 минути. Најдете ја веројатноста дека рамномерно распределена случајна променлива X– времето на чекање на автобусот ќе биде помалку од 3 минути.

Решение:Случајна вредност X– рамномерно распоредени во интервалот .

Густина на веројатност: .

За времето на чекање да не надминува 3 минути, патникот мора да се појави на постојката во рок од 2 до 5 минути по тргнувањето на претходниот автобус, т.е. случајна вредност Xмора да падне во интервалот (2;5). Тоа. потребна веројатност:

Задачи за самостојна работа:

1. а) најдете го математичкото очекување на случајна променлива Xрамномерно распоредени во интервалот (2;8);

б) најдете ја варијансата и стандардното отстапување на случајната променлива X,рамномерно распоредени во интервалот (2;8).

2. Минутичката стрелка на електричниот часовник нагло се поместува на крајот од секоја минута. Најдете ја веројатноста дека во даден момент часовникот ќе покаже време што се разликува од вистинското време за не повеќе од 20 секунди.

1.4.2. Експоненцијална дистрибуција

Континуирана случајна променлива Xсе распределува според експоненцијалниот закон ако неговата густина на веројатност има форма:

каде е параметарот на експоненцијалната распределба.

Така

Ориз. 5.

Нумерички карактеристики:

Пример 1.28.Случајна вредност X– време на работа на сијалица - има експоненцијална распределба. Определете ја веројатноста времето на работа на сијалицата да биде најмалку 600 часа ако просечното време на работа е 400 часа.

Решение:Според условите на проблемот, математичкото очекување на случајна променлива Xе еднакво на 400 часа, значи:

;

Потребната веројатност, каде

Конечно:

Задачи за самостојна работа:

1. Напишете ја функцијата за густина и распределба на експоненцијалниот закон ако параметарот .

2. Случајна променлива X

Најдете ги математичкото очекување и варијансата на количината X.

3. Случајна променлива Xе дадена со функцијата за распределба на веројатност:

Најдете ги математичкото очекување и стандардното отстапување на случајна променлива.

1.4.3. Нормална дистрибуција

Нормалносе нарекува распределба на веројатност на континуирана случајна променлива X, чија густина има форма:

Каде А– математичко очекување, – стандардна девијација X.

Веројатноста дека Xќе земе вредност што припаѓа на интервалот:

, Каде

– Лапласова функција.

Дистрибуција за која ; , т.е. со густина на веројатност наречен стандарден.

Ориз. 6.

Веројатноста дека апсолутната вредност е отфрлена е помала позитивен број :

.

Особено, кога a= 0 еднаквоста е вистина:

Пример 1.29.Случајна вредност Xнормално дистрибуирани. Стандардна девијација. Најдете ја веројатноста дека отстапувањето на случајната променлива од нејзините математичко очекување во апсолутна вредност ќе биде помало од 0,3.

Решение: .

Задачи за самостојна работа:

1. Напишете ја густината на веројатноста нормална дистрибуцијаслучајна променлива X, знаејќи го тоа M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Очекување и стандардно отстапување на нормално распределена случајна променлива Xсоодветно еднакво на 20 и 5. Најдете ја веројатноста дека како резултат на тестот Xќе ја земе вредноста содржана во интервалот (15;20).

3. Случајните мерни грешки се предмет на нормалниот закон со стандардна девијација mm и математичко очекување a= 0. Најдете ја веројатноста дека од 3 независни мерења грешката на барем едно нема да надмине 4 mm во апсолутна вредност.

4. Одредена супстанција се мери без систематски грешки. Случајните грешки при мерење подлежат на нормалниот закон со стандардно отстапување r. Најдете ја веројатноста дека мерењето ќе се изврши со грешка што не надминува 10 g во апсолутна вредност.

Поглавје 1. Дискретна случајна променлива

§ 1. Поими за случајна променлива.

Закон за распределба на дискретна случајна променлива.

Дефиниција : Случајна е величина која, како резултат на тестирањето, зема само една вредност од можен сет на нејзини вредности, однапред непозната и во зависност од случајни причини.

Постојат два вида случајни променливи: дискретни и континуирани.

Дефиниција : Се повикува случајната променлива X дискретни (дисконтинуирано) ако множеството од неговите вредности е конечно или бесконечно, но може да се брои.

Со други зборови, можните вредности на дискретна случајна променлива може да се пренумерираат.

Случајна променлива може да се опише со користење на нејзиниот закон за дистрибуција.

Дефиниција : Закон за распределба на дискретна случајна променлива повикајте ја кореспонденцијата помеѓу можните вредности на случајна променлива и нивните веројатности.

Законот за дистрибуција на дискретна случајна променлива X може да биде наведен во форма на табела, во првиот ред од која сите можни вредности на случајната променлива се наведени во растечки редослед, а во вториот ред соодветните веројатности на овие вредности, т.е.

каде што р1+ р2+…+ рn=1

Таквата табела се нарекува дистрибутивна серија на дискретна случајна променлива.

Ако множеството можни вредности на случајна променлива е бесконечно, тогаш серијата p1+ p2+…+ pn+… конвергира и нејзиниот збир е еднаков на 1.

Законот за распределба на дискретна случајна променлива X може да се прикаже графички, за која е изградена скршена линија во правоаголен координатен систем, поврзувајќи секвенцијално точки со координати (xi; pi), i=1,2,…n. Резултирачката линија се нарекува дистрибутивен полигон (сл. 1).

Органска хемија" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органската хемија се 0,7 и 0,8, соодветно. Направете закон за распределба за случајната променлива X - бројот на испити што студентот ќе ги положи.

Решение. Разгледуваната случајна променлива X како резултат на испитот може да земе една од следните вредности: x1=0, x2=1, x3=2.

Да ја најдеме веројатноста за овие вредности Да ги означиме настаните:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Значи, законот за распределба на случајната променлива X е даден со табелата:

Контрола: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Функција на дистрибуција

Целосен опис на случајна променлива е даден и со функцијата за дистрибуција.

Дефиниција: Дистрибутивна функција на дискретна случајна променлива X се нарекува функција F(x), која за секоја вредност x ја одредува веројатноста случајната променлива X да земе вредност помала од x:

F(x)=P(X<х)

Геометриски, функцијата на дистрибуција се толкува како веројатност случајната променлива X да ја земе вредноста што е претставена на бројната права со точка која лежи лево од точката x.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) е неопаѓачка функција на (-∞;+∞);

3) F(x) - континуирано лево во точките x= xi (i=1,2,...n) и континуирано во сите други точки;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Ако законот за распределба на дискретна случајна променлива X е даден во форма на табела:

тогаш функцијата за дистрибуција F(x) се одредува со формулата:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 за x≤ x1,

р1 на x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 на x2< х≤ х3

1 за x> xn.

Неговиот график е прикажан на Сл. 2:

§ 3. Нумерички карактеристики на дискретна случајна променлива.

Една од важните нумерички карактеристики е математичкото очекување.

Дефиниција: Математичко очекување M(X) дискретна случајна променлива X е збир на производите на сите нејзини вредности и нивните соодветни веројатности:

М(Х) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Математичкото очекување служи како карактеристика на просечната вредност на случајна променлива.

Својства на математичкото очекување:

1)M(C)=C, каде што C е константна вредност;

2)M(C X)=C M(X),

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4) M(X Y)=M(X) M(Y), каде што X, Y се независни случајни променливи;

5)M(X±C)=M(X)±C, каде што C е константна вредност;

За да се карактеризира степенот на дисперзија на можните вредности на дискретна случајна променлива околу нејзината средна вредност, се користи дисперзија.

Дефиниција: Варијанса Д ( X ) случајната променлива X е математичко очекување на квадратното отстапување на случајната променлива од нејзиното математичко очекување:

Карактеристики на дисперзија:

1)D(C)=0, каде што C е константна вредност;

2)D(X)>0, каде што X е случајна променлива;

3)D(C X)=C2 D(X), каде што C е константна вредност;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), каде што X, Y се независни случајни променливи;

За да се пресмета варијансата, често е погодно да се користи формулата:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

каде M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Варијансата D(X) има димензија на квадратна случајна променлива, што не е секогаш погодно. Затоа, вредноста √D(X) се користи и како индикатор за дисперзија на можните вредности на случајна променлива.

Дефиниција: Стандардна девијација σ(X) случајната променлива X се нарекува квадратен корен на варијансата:

Задача бр. 2.Дискретната случајна променлива X е специфицирана со законот за распределба:

Најдете го P2, функцијата за распределба F(x) и нацртајте го нејзиниот график, како и M(X), D(X), σ(X).

Решение: Бидејќи збирот на веројатностите на можните вредности на случајната променлива X е еднаков на 1, тогаш

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Да ја најдеме функцијата за распределба F(x)=P(X

Геометриски, оваа еднаквост може да се толкува на следниов начин: F(x) е веројатноста случајната променлива да ја земе вредноста што е претставена на бројната оска со точката што лежи лево од точката x.

Ако x≤-1, тогаш F(x)=0, бидејќи нема ниту една вредност на оваа случајна променлива на (-∞;x);

Ако -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Ако 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) има две вредности x1=-1 и x2=0;

Ако 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Ако 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Ако x>3, тогаш F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, бидејќи четири вредности x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 спаѓаат во интервалот (-∞;x) и x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 на x≤-1,

0,1 на -1<х≤0,

0,2 на 0<х≤1,

F(x)= 0,5 на 1<х≤2,

0,7 во 2<х≤3,

1 на x>3

Да ја претставиме функцијата F(x) графички (сл. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Закон за биномна распределба

дискретна случајна променлива, Поасонов закон.

Дефиниција: Бином се нарекува закон за распределба на дискретна случајна променлива X - бројот на појавувања на настанот А во n независни повторени испитувања, во секое од кои настанот А може да се случи со веројатност p или да не се случи со веројатност q = 1-p. Тогаш P(X=m) - веројатноста за појава на настанот A точно m пати во n испитувања се пресметува со помош на формулата Бернули:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Математичкото очекување, дисперзија и стандардно отстапување на случајна променлива X распределена според бинарен закон се пронајдени, соодветно, користејќи ги формулите:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Веројатноста за настанот А - „поставување петка“ во секоја проба е иста и еднаква на 1/6 , т.е. P(A)=p=1/6, потоа P(A)=1-p=q=5/6, каде

- „недобивање А“.

Случајната променлива X може да ги земе следните вредности: 0;1;2;3.

Ја наоѓаме веројатноста за секоја од можните вредности на X користејќи ја формулата на Бернули:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Тоа. законот за распределба на случајната променлива X има форма:

Контрола: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Ајде да ги најдеме нумеричките карактеристики на случајната променлива X:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Задача бр.4.Автоматска машина запечатува делови. Веројатноста дека произведениот дел ќе биде неисправен е 0,002. Најдете ја веројатноста дека меѓу 1000 избрани делови ќе има:

а) 5 неисправни;

б) барем еден е неисправен.

Решение: Бројот n=1000 е голем, веројатноста да се произведе неисправен дел p=0,002 е мала, а настаните што се разгледуваат (делот се покажува како дефектен) се независни, затоа важи Поасоновата формула:

Рn(m)= д- λ λm

Да најдеме λ=np=1000 0,002=2.

а) Најдете ја веројатноста дека ќе има 5 неисправни делови (m=5):

Р1000(5)= д-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

б) Најдете ја веројатноста дека ќе има барем еден неисправен дел.

Настан А - „барем еден од избраните делови е неисправен“ е спротивен на настанот - „сите избрани делови не се неисправни.“ Затоа, P(A) = 1-P(). Оттука саканата веројатност е еднаква на: P(A)=1-P1000(0)=1- д-2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

Задачи за самостојна работа.

1.1

1.2. Дисперзираната случајна променлива X е специфицирана со законот за дистрибуција:

Најдете p4, функцијата за распределба F(X) и нацртајте го нејзиниот график, како и M(X), D(X), σ(X).

1.3. Во кутијата има 9 маркери, од кои 2 повеќе не пишуваат. Земете 3 маркери по случаен избор. Случајната променлива X е бројот на маркери за пишување меѓу земените. Направете закон за распределба на случајна променлива.

1.4. Има 6 учебници по случаен избор наредени на полица од библиотеката, од кои 4 се врзани. Библиотекарката зема 4 учебници по случаен избор. Случајна променлива X е бројот на врзани учебници меѓу земените. Направете закон за распределба на случајна променлива.

1.5. На билетот има две задачи. Веројатноста за правилно решавање на првиот проблем е 0,9, вториот е 0,7. Случајна променлива X е бројот на правилно решени проблеми во тикетот. Направете закон за распределба, пресметајте ги математичкото очекување и варијансата на оваа случајна променлива, а исто така пронајдете ја функцијата за распределба F(x) и изградете го нејзиниот график.

1.6. Тројца стрелци пукаат во цел. Веројатноста да се погоди целта со еден истрел е 0,5 за првиот стрелец, 0,8 за вториот и 0,7 за третиот. Случајната променлива X е бројот на удари во целта ако стрелците испукаат еден по еден истрел. Најдете го законот за распределба, M(X),D(X).

1.7. Кошаркар ја фрла топката во кошот со веројатност да го погоди секој удар од 0,8. За секој погодок добива по 10 поени, а доколку промаши не му се доделуваат поени. Направете закон за распределба за случајната променлива X - бројот на поени што ги добил кошаркар во 3 шута. Најдете M(X),D(X), како и веројатноста дека ќе добие повеќе од 10 поени.

1.8. На картите се напишани букви, вкупно 5 самогласки и 3 согласки. 3 картички се избираат по случаен избор и секој пат кога земената картичка се враќа назад. Случајната променлива X е бројот на самогласки меѓу земените. Направете закон за распределба и најдете M(X),D(X),σ(X).

1.9. Во просек, под 60% од договорите, осигурителната компанија плаќа суми за осигурување во врска со појава на осигурен случај. Подгответе закон за распределба за случајната променлива X - бројот на договори за кои е платен износот на осигурувањето меѓу четири договори избрани по случаен избор. Најдете ги нумеричките карактеристики на оваа величина.

1.10. Радио станицата испраќа повик (не повеќе од четири) во одредени интервали додека не се воспостави двонасочна комуникација. Веројатноста да се добие одговор на повик е 0,3. Случајната променлива X е бројот на испратени повик знаци. Направете закон за распределба и најдете F(x).

1.11. Има 3 клучеви, од кои само еден одговара на бравата. Подгответе закон за распределба на случајната променлива X-број на обиди за отворање на бравата, доколку испробаниот клуч не учествува во следните обиди. Најдете M(X), D(X).

1.12. Се вршат последователни независни тестови на три уреди за доверливост. Секој следен уред се тестира само ако претходниот се покажа како сигурен. Веројатноста да се помине тестот за секој уред е 0,9. Подгответе закон за дистрибуција за случајната променлива X-број на тестирани уреди.

1.13 .Дискретната случајна променлива X има три можни вредности: x1=1, x2, x3 и x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Блокот на електронски уреди содржи 100 идентични елементи. Веројатноста за неуспех на секој елемент во времето Т е 0,002. Елементите работат независно. Најдете ја веројатноста дека не повеќе од два елементи ќе откажат во времето Т.

1.15. Учебникот е објавен во тираж од 50.000 примероци. Веројатноста дека учебникот е погрешно врзан е 0,0002. Најдете ја веројатноста дека циркулацијата содржи:

а) четири неисправни книги,

б) помалку од две неисправни книги.

1 .16. Бројот на повици кои пристигнуваат во PBX секоја минута се распределува според законот на Поасон со параметар λ=1,5. Најдете ја веројатноста дека за една минута ќе пристигне следново:

а) два повици;

б) барем еден повик.

1.17.

Најдете M(Z),D(Z) ако Z=3X+Y.

1.18. Дадени се законите за распределба на две независни случајни променливи:

Најдете M(Z),D(Z) ако Z=X+2Y.

Одговори:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0,4; 0 на x≤-2,

0,3 на -2<х≤0,

F(x)= 0,5 на 0<х≤2,

0,9 во 2<х≤5,

1 на x>5

1.2. p4=0,1; 0 на x≤-1,

0,3 на -1<х≤0,

0,4 на 0<х≤1,

F(x)= 0,6 на 1<х≤2,

0,7 во 2<х≤3,

1 на x>3

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 на x≤0,

0,03 во 0<х≤1,

F(x)= 0,37 на 1<х≤2,

1 за x>2

М(Х)=2; D(X)=0,62

М(Х)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

М(Х)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈

М(Х)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

М(Х)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. а) 0,0189; б) 0,00049

1.16. а) 0,0702; б)0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Поглавје 2. Континуирана случајна променлива

Дефиниција: Континуирано е величина чиишто сите можни вредности целосно пополнуваат конечен или бесконечен распон на бројната права.

Очигледно, бројот на можни вредности на континуирана случајна променлива е бесконечен.

Континуирана случајна променлива може да се специфицира со помош на функцијата за дистрибуција.

Дефиниција:Ф функција на дистрибуција континуирана случајна променлива X се нарекува функција F(x), која одредува за секоја вредност xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> Р

Функцијата за дистрибуција понекогаш се нарекува и кумулативна дистрибутивна функција.

Својства на дистрибутивната функција:

1)1≤ F(x) ≤1

2) За континуирана случајна променлива, функцијата на дистрибуција е континуирана во која било точка и може да се диференцира насекаде, освен, можеби, во поединечни точки.

3) Веројатноста случајната променлива X да падне во еден од интервалите (a;b), [a;b], [a;b], е еднаква на разликата помеѓу вредностите на функцијата F(x) во точките a и b, т.е. R(a)<Х

4) Веројатноста дека континуираната случајна променлива X ќе земе една посебна вредност е 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Одредувањето на континуирана случајна променлива со помош на функцијата за дистрибуција не е единствениот начин. Да го воведеме концептот на густина на дистрибуција на веројатност (густина на дистрибуција).

Дефиниција : Густина на дистрибуција на веројатност ѓ ( x ) на континуирана случајна променлива X е изводот на нејзината дистрибутивна функција, т.е.

Функцијата за густина на веројатност понекогаш се нарекува функција на диференцијална распределба или закон за диференцијална распределба.

Се вика графикот на распределбата на густината на веројатноста f(x). крива на дистрибуција на веројатност .

Својства на дистрибуција на густина на веројатност:

1) f(x) ≥0, на xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8s;

б) Познато е дека F(x)= ∫ f(x)dx

Затоа, x

ако x≤2, тогаш F(x)= ∫ 0dx=0;

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6

ако x>6, тогаш F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) =

1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1.

Така,

0 на x≤2,

F(x)= (x-2)2/16 на 2<х≤6,

1 за x>6.

Графикот на функцијата F(x) е прикажан на сл.3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 на x≤0,

F(x)= (3 арктан x)/π на 0<х≤√3,

1 за x>√3.

Најдете ја функцијата за диференцијална распределба f(x)

Решение: Бидејќи f(x)= F’(x), тогаш

DIV_ADBLOCK93">

· Математичко очекување M (X) континуираната случајна променлива X се определува со еднаквоста:

M(X)= ∫ x f(x)dx,

под услов овој интеграл апсолутно да конвергира.

· Дисперзија Д ( X ) континуираната случајна променлива X се определува со еднаквоста:

D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, или

D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2

· Стандардна девијација σ(X) континуираната случајна променлива се определува со еднаквоста:

Сите својства на математичкото очекување и дисперзија, дискутирани претходно за дисперзирани случајни променливи, важат и за континуирани.

Задача бр.3.Случајната променлива X е специфицирана со диференцијалната функција f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Проблеми за самостојно решавање.

2.1. Континуирана случајна променлива X е одредена со функцијата за дистрибуција:

0 на x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 за x≤ π/6,

F(x)= - cos 3x на π/6<х≤ π/3,

1 за x> π/3.

Најдете ја функцијата за диференцијална распределба f(x), а исто така

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 на x≤2,

f(x)= c x на 2<х≤4,

0 за x>4.

2.4. Континуирана случајна променлива X е одредена со густината на дистрибуцијата:

0 на x≤0,

f(x)= c √x на 0<х≤1,

0 за x>1.

Најдете: а) број в; б) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> на x,

0 на x.

Најдете: а) F(x) и конструирај го неговиот график; б) M(X),D(X), σ(X); в) веројатноста дека во четири независни испитувања вредноста на X ќе потрае точно 2 пати поголема од вредноста што му припаѓа на интервалот (1;4).

2.6. Густината на распределбата на веројатноста на континуирана случајна променлива X е дадена:

f(x)= 2(x-2) на x,

0 на x.

Најдете: а) F(x) и конструирај го неговиот график; б) M(X),D(X), σ (X); в) веројатноста дека во три независни испитувања вредноста на X ќе потрае точно 2 пати поголема од вредноста што му припаѓа на сегментот.

2.7. Функцијата f(x) е дадена како:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Функцијата f(x) е дадена како:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

Најдете ја: а) вредноста на константата c на која функцијата ќе биде густина на веројатност на некоја случајна променлива X; б) функција на дистрибуција F(x).

2.9. Случајната променлива X, концентрирана на интервалот (3;7), е специфицирана со дистрибутивната функција F(x)= . Најдете ја веројатноста за тоа

случајната променлива X ќе ја земе вредноста: а) помала од 5, б) не помала од 7.

2.10. Случајна променлива X, концентрирана на интервалот (-1;4),

е дадена со функцијата за распределба F(x)= . Најдете ја веројатноста за тоа

случајната променлива X ќе ја земе вредноста: а) помала од 2, б) не помала од 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Најдете: а) број в; б) M(X); в) веројатност P(X> M(X)).

2.12. Случајната променлива е специфицирана со функцијата за диференцијална дистрибуција:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Најдете: а) M(X); б) веројатност P(X≤M(X))

2.13. Рем распределбата е дадена со густината на веројатноста:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> за x ≥0.

Докажете дека f(x) е навистина функција на густина на веројатност.

2.14. Густината на распределбата на веројатноста на континуирана случајна променлива X е дадена:

DIV_ADBLOCK96">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(сл. 5)

2.16. Случајната променлива X е распределена според законот “ правоаголен триаголник„во интервалот (0;4) (сл. 5). Најдете аналитички израз за густината на веројатноста f(x) на целата бројна права.

Одговори

0 на x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 за x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x на π/6<х≤ π/3, Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.

0 за x≤a,

f(x)= за a<х

0 за x≥b.

Графикот на функцијата f(x) е прикажан на сл. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 за x≤a,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Задача бр. 1.Случајната променлива X е рамномерно распределена на сегментот. Најдете:

а) густина на распределбата на веројатноста f(x) и нацртајте ја;

б) функцијата за распределба F(x) и нацртајте ја;

в) M(X),D(X), σ(X).

Решение: Користејќи ги формулите дискутирани погоре, со a=3, b=7, наоѓаме:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> на 3≤х≤7,

0 за x>7

Ајде да го изградиме неговиот график (сл. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 на x≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">сл. 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 на x<0,

f(x)= λε-λх за x≥0.

Функцијата на распределба на случајна променлива X, распределена според експоненцијалниот закон, е дадена со формулата:

DIV_ADBLOCK98">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> Сл. 6

Математичкото очекување, варијансата и стандардното отстапување на експоненцијалната распределба се соодветно еднакви на:

M(X)= , D(X)=, σ (Х)=

Така, математичкото очекување и стандардното отстапување на експоненцијалната распределба се еднакви меѓу себе.

Веројатноста X да падне во интервалот (a;b) се пресметува со формулата:

P(a<Х

Задача бр. 2.Просечното време на работа без дефекти на уредот е 100 часа. Под претпоставка дека времето на работа без дефекти на уредот има закон за експоненцијална дистрибуција, најдете:

а) густина на дистрибуција на веројатност;

б) функција на дистрибуција;

в) веројатноста дека времето на работа без дефекти на уредот ќе надмине 120 часа.

Решение: Според условот, математичката распределба M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 на x<0,

а) f(x)= 0,01e -0,01x за x≥0.

б) F(x)= 0 на x<0,

1-e -0,01x на x≥0.

в) Ја наоѓаме саканата веројатност користејќи ја функцијата за распределба:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3.

§ 3.Закон за нормална дистрибуција

Дефиниција: Континуирана случајна променлива X има закон за нормална дистрибуција (закон на Гаус), ако неговата густина на дистрибуција има форма:

,

каде m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Се нарекува кривата на нормална дистрибуција нормална или Гаусова крива (сл.7)

Нормалната крива е симетрична во однос на правата x=m, има максимум на x=a, еднаква на .

Функцијата на распределба на случајна променлива X, распределена според нормалниот закон, се изразува преку Лапласовата функција Ф (x) според формулата:

,

каде е Лапласовата функција.

Коментар: Функцијата Ф(x) е непарна (Ф(-х)=-Ф(х)), освен тоа, за x>5 можеме да претпоставиме Ф(х) ≈1/2.

Графикот на дистрибутивната функција F(x) е прикажан на сл. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Веројатноста дека апсолутната вредност на отстапувањето е помала од позитивен број δ се пресметува со формулата:

Конкретно, за m=0 важи следнава еднаквост:

„Правило на три сигма“

Ако случајната променлива X има закон за нормална распределба со параметри m и σ, тогаш речиси е сигурно дека нејзината вредност лежи во интервалот (a-3σ; a+3σ), бидејќи

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

б) Да ја користиме формулата:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

Од табелата со вредности на функции Ф(х) наоѓаме Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413.

Значи, саканата веројатност:

P(28

Задачи за самостојна работа

3.1. Случајната променлива X е рамномерно распределена во интервалот (-3;5). Најдете:

б) функција на дистрибуција F(x);

в) нумерички карактеристики;

г) веројатност P(4<х<6).

3.2. Случајната променлива X е рамномерно распределена на сегментот. Најдете:

а) густина на дистрибуција f(x);

б) функција на дистрибуција F(x);

в) нумерички карактеристики;

г) веројатност P(3≤х≤6).

3.3. На автопатот има автоматски семафор, на кој зеленото светло е вклучено 2 минути, жолтото 3 секунди, црвеното 30 секунди итн. Автомобил вози по автопатот во случаен момент. Најдете ја веројатноста дека автомобилот ќе помине на семафор без да застане.

3.4. Возовите на метрото сообраќаат редовно во интервали од 2 минути. Патник влегува во платформата по случаен момент. Која е веројатноста дека патникот ќе мора да чека повеќе од 50 секунди за воз? Најдете го математичкото очекување на случајната променлива X - времето на чекање за возот.

3.5. Најдете ја варијансата и стандардното отстапување на експоненцијалната распределба дадена со функцијата за распределба:

F(x)= 0 на x<0,

1-8x за x≥0.

3.6. Континуирана случајна променлива X е специфицирана со густината на распределбата на веројатноста:

f(x)= 0 на x<0,

0,7 e-0,7x на x≥0.

а) Наведете го законот за распределба на случајната променлива што се разгледува.

б) Најдете ја функцијата за распределба F(X) и нумеричките карактеристики на случајната променлива X.

3.7. Случајната променлива X се распределува според експоненцијалниот закон специфициран со густината на распределбата на веројатноста:

f(x)= 0 на x<0,

0,4 e-0,4 x на x≥0.

Најдете ја веројатноста дека како резултат на тестот X ќе земе вредност од интервалот (2,5;5).

3.8. Континуирана случајна променлива X се распределува според експоненцијалниот закон специфициран со функцијата за распределба:

F(x)= 0 на x<0,

1-0,6x на x≥0

Најдете ја веројатноста дека, како резултат на тестот, X ќе земе вредност од сегментот.

3.9. Очекуваната вредност и стандардното отстапување на нормално распределената случајна променлива се 8 и 2, соодветно.

а) густина на дистрибуција f(x);

б) веројатноста дека како резултат на тестот X ќе земе вредност од интервалот (10;14).

3.10. Случајната променлива X е нормално распределена со математичко очекување од 3,5 и варијанса од 0,04. Најдете:

а) густина на дистрибуција f(x);

б) веројатноста дека како резултат на тестот X ќе земе вредност од сегментот .

3.11. Случајната променлива X е нормално распределена со M(X)=0 и D(X)=1. Кој од настаните: |X|≤0,6 или |X|≥0,6 е поверојатен?

3.12. Случајната променлива X се распределува нормално со M(X)=0 и D(X)=1. Од кој интервал (-0,5;-0,1) или (1;2) е поверојатно да се земе вредност за време на еден тест?

3.13. Тековната цена по акција може да се моделира со користење на законот за нормална дистрибуција со M(X)=10 ден. единици и σ (X)=0,3 ден. единици Најдете:

а) веројатноста дека моменталната цена на акцијата ќе биде од 9,8 ден. единици до 10,4 дена единици;

б) користејќи го „правилото три сигма“, пронајдете ги границите во кои ќе се наоѓа моменталната цена на акциите.

3.14. Супстанцијата се мери без систематски грешки. Случајните грешки при мерење подлежат на нормалниот закон со просечен однос на квадрат σ=5g. Најдете ја веројатноста дека во четири независни експерименти нема да се појави грешка во три мерење во апсолутна вредност 3r.

3.15. Случајната променлива X е нормално распределена со M(X)=12,6. Веројатноста случајната променлива да падне во интервалот (11,4;13,8) е 0,6826. Најдете ја стандардната девијација σ.

3.16. Случајната променлива X се распределува нормално со M(X)=12 и D(X)=36. Најдете го интервалот во кој ќе падне случајната променлива X како резултат на тестот со веројатност од 0,9973.

3.17. Делот произведен од автоматска машина се смета за неисправен ако отстапувањето X на неговиот контролиран параметар од номиналната вредност надминува модуло 2 мерни единици. Се претпоставува дека случајната променлива X е нормално распределена со M(X)=0 и σ(X)=0,7. Колкав процент на неисправни делови произведува машината?

3.18. Параметарот X на делот е распределен нормално со математичко очекување 2 еднакво на номиналната вредност и стандардно отстапување од 0,014. Најдете ја веројатноста дека отстапувањето на X од номиналната вредност нема да надмине 1% од номиналната вредност.

Одговори

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

б) 0 за x≤-3,

F(x)= лево">

3.10. а) f(x)= ,

б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. а) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

4. Густина на веројатност на континуирана случајна променлива

Континуирана случајна променлива може да се специфицира со помош на функцијата за дистрибуција Ф(x) . Овој метод на доделување не е единствениот. Континуирана случајна променлива може да се специфицира и со помош на друга функција наречена густина на дистрибуција или густина на веројатност (понекогаш наречена диференцијална функција).

Дефиниција 4.1: Густина на дистрибуција на континуирана случајна променлива Xповикајте ја функцијата ѓ (x) - првиот извод на функцијата на дистрибуција Ф(x) :

ѓ ( x ) = Ф "( x ) .

Од оваа дефиниција произлегува дека функцијата на дистрибуција е антидериват на густината на распределбата. Забележете дека густината на распределбата не е применлива за да се опише распределбата на веројатноста на дискретна случајна променлива.

Веројатност континуирана случајна променлива да падне во даден интервал

Знаејќи ја густината на дистрибуцијата, можете да ја пресметате веројатноста дека континуираната случајна променлива ќе земе вредност што припаѓа на даден интервал.

Теорема: Веројатноста дека континуираната случајна променлива X ќе земе вредности кои припаѓаат на интервалот (а, б), е еднаков на одреден интеграл на густината на дистрибуцијата, земен во опсегот одапредб :

Доказ:Ние го користиме соодносот

П(а ≤ Xб) = Ф(б) – Ф(а).

Според формулата Њутн-Лајбниц,

Така,

.

Бидејќи П(а ≤ X б)= П(а X б) , тогаш конечно добиваме

.

Геометриски, добиениот резултат може да се толкува на следниов начин: веројатноста дека континуираната случајна променлива ќе земе вредност што припаѓа на интервалот (а, б), еднаква на плоштината на криволинеарен трапез ограничен со оскатаВол, крива на дистрибуцијаѓ(x) и директноx = аИx = б.

Коментар:Конкретно, ако ѓ(x) – функцијата е парна, а краевите на интервалот се симетрични во однос на потеклото, тогаш

Пример.Дадена е густината на веројатноста на случајна променлива X

Најдете ја веројатноста дека како резултат на тестот Xќе земе вредности кои припаѓаат на интервалот (0,5, 1).

Решение:Потребна веројатност

.

Наоѓање на функцијата на дистрибуција од позната густина на дистрибуција

Познавање на густината на дистрибуција ѓ(x) , можеме да ја најдеме функцијата за дистрибуција Ф(x) според формулата

.

Навистина, Ф(x) = П(X x) = П(-∞ X x) .

Оттука,

Така, Знаејќи ја густината на дистрибуцијата, можете да ја најдете функцијата на дистрибуција. Се разбира, од позната дистрибутивна функција може да се најде густината на дистрибуцијата, имено:

ѓ(x) = Ф"(x).

Пример.Најдете ја функцијата за распределба за дадената густина на дистрибуција:

Решение:Ајде да ја користиме формулата

Ако x ≤ а, Тоа ѓ(x) = 0 , оттука, Ф(x) = 0 . Ако а, тогаш f(x) = 1/(b-a),

оттука,

.

Ако x > б, Тоа

.

Значи, потребната дистрибутивна функција

Коментар:Ја добивме функцијата на дистрибуција на рамномерно распределена случајна променлива (види униформа дистрибуција).

Својства на густината на дистрибуцијата

Сопственост 1:Густината на дистрибуција е ненегативна функција:

ѓ ( x ) ≥ 0 .

Сопственост 2:Неправилниот интеграл на густината на дистрибуцијата во опсег од -∞ до ∞ е еднаков на единство:

Коментар:Се нарекува графиконот за густина на дистрибуција крива на дистрибуција.

Коментар:Густината на распределбата на континуирана случајна променлива се нарекува и закон за распределба.

Пример.Густината на распределбата на случајната променлива ја има следната форма:

Најдете константен параметар а.

Решение:Густината на дистрибуцијата мора да го задоволува условот, така што ќе бараме еднаквоста да биде исполнета

.

Од тука
. Да го најдеме неопределениот интеграл:

.

Да го пресметаме неправилниот интеграл:

Така, потребниот параметар

Веројатно значење на густината на дистрибуцијата

Нека Ф(x) – функција на дистрибуција на континуирана случајна променлива X. Според дефиницијата за густина на дистрибуција, ѓ(x) = Ф"(x) , или

.

Разлика Ф(x+∆x) -Ф(x) ја одредува веројатноста дека Xќе земе вредност која припаѓа на интервалот (x, x+∆x). Така, границата на соодносот на веројатност дека континуираната случајна променлива ќе земе вредност што припаѓа на интервалот (x, x+∆x), до должината на овој интервал (на ∆х→0) е еднаква на вредноста на густината на распределбата во точката X.

Значи функцијата ѓ(x) ја одредува густината на распределбата на веројатноста за секоја точка X. Од диференцијалното сметање се знае дека зголемувањето на функцијата е приближно еднакво на диференцијалот на функцијата, т.е.

Бидејќи Ф"(x) = ѓ(x) И dx = ∆ x, Тоа Ф(x+∆ x) - Ф(x) ≈ ѓ(x)∆ x.

Веројатното значење на оваа еднаквост е: веројатноста дека случајната променлива ќе земе вредност што припаѓа на интервалот (x, x+∆ x) е приближно еднаков на производот од густината на веројатноста во точката x и должината на интервалот ∆x.

Геометриски, овој резултат може да се толкува на следниов начин: веројатноста дека случајната променлива ќе земе вредност што припаѓа на интервалот (x, x+∆ x) е приближно еднаква на плоштината на правоаголник со основа ∆х и висинаѓ(x).

5. Типични распределби на дискретни случајни променливи

5.1. Бернули дистрибуција

Дефиниција 5.1: Случајна вредност X, земајќи две вредности 1 И 0 со веројатности („успех“) стри („неуспех“) q, повикан Бернулиевскаја:

, Каде к=0,1.

5.2. Биномна дистрибуција

Нека се произведува n независни испитувања, во секоја од кои настанот Аможе или не може да се појави. Веројатноста да се случи настан во сите испитувања е константна и еднаква стр(оттука и веројатноста да не се случи q = 1 - стр).

Размислете за случајната променлива X– број на појави на настанот Аво овие тестови. Случајна вредност Xзема вредности 0,1,2,… nсо веројатности пресметани со формулата Бернули: , Каде к = 0,1,2,… n.

Дефиниција 5.2: Биномсе нарекува распределба на веројатност одредена со формулата на Бернули.

Пример.Во целта се испукани три истрели, а веројатноста за погодување на секој истрел е 0,8. Размислете за случајна променлива X– број на удари на целта. Најдете ја неговата дистрибутивна серија.

Решение:Случајна вредност Xзема вредности 0,1,2,3 со веројатности пресметани со Бернулиевата формула, каде n = 3, стр = 0,8 (веројатност за удар), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (веројатност да недостасува).

Така, серијата на дистрибуција ја има следната форма:

Користете ја формулата на Бернули за големи вредности nприлично тешко, затоа, да се пресметаат соодветните веројатности, користете ја локалната теорема Лапласова, која ви овозможува приближно да ја пронајдете веројатноста за појава на настан точно кеднаш на секои nтестови, доколку бројот на тестови е доволно голем.

Локална Лапласова теорема: Ако веројатноста стрпојава на настан А
дека настанот А ќе се појави во nточно тестови кпати, приближно еднакви (колку попрецизно, толку повеќе n) вредност на функцијата
, Каде
,
.

Забелешка 1:Табели кои ги содржат вредностите на функциите
, се дадени во Додаток 1, и
. Функција е густината на стандардната нормална дистрибуција (види нормална дистрибуција).

Пример:Најдете ја веројатноста дека настанот А точно ќе дојде 80 еднаш на секои 400 испитувања доколку веројатноста за појава на овој настан во секое испитување е еднаква на 0,2.

Решение:По услов n = 400, к = 80, стр = 0,2 , q = 0,8 . Ајде да ја пресметаме вредноста одредена од податоците за задачата x:
. Од табелата во Додаток 1 наоѓаме
. Тогаш потребната веројатност ќе биде:

Ако треба да ја пресметате веројатноста дека некој настан Аќе се појави во nтестови не помалку к 1 еднаш и не повеќе к 2 пати, тогаш треба да ја искористите интегралната теорема на Лаплас:

Лапласова интегрална теорема: Ако веројатноста стрпојава на настан Аво секое испитување е константна и различна од нула и еден, тогаш веројатноста
дека настанот А ќе се појави во nтестови од к 1 пред к 2 пати, приближно еднаква на одреден интеграл

, Каде И
.

Со други зборови, веројатноста дека некој настан А ќе се појави во nтестови од к 1 пред к 2 пати, приближно еднакво

Каде
, И .

Забелешка 2:Функција
наречена Лапласова функција (види нормална дистрибуција). Табели кои ги содржат вредностите на функциите , се дадени во Додаток 2, и .

Пример:Најдете ја веројатноста дека меѓу 400 случајно избраните делови ќе испаднат дека се неиспитани од 70 до 100 делови, доколку веројатноста дека делот не ја поминал проверката на контролата на квалитетот е еднаква на 0,2.

Решение:По услов n = 400, стр = 0,2 , q = 0,8, к 1 = 70, к 2 = 100 . Да ги пресметаме долните и горните граници на интеграцијата:

;
.

Така имаме:

Од табелата во Додаток 2 дознаваме дека
И
. Тогаш потребната веројатност е:

Забелешка 3:Во серија независни испитувања (кога n е големо, p е мало), Поасоновата формула се користи за пресметување на веројатноста некој настан да се случи точно k пати (види Поасонова распределба).

5.3. Поасон дистрибуција

Дефиниција 5.3: Се нарекува дискретна случајна променлива Поасон,ако неговиот закон за распределба ја има следната форма:

, Каде И (константна вредност).

Примери на Поасон случајни променливи:

Број на повици до автоматска станица во одреден временски период Т.

Бројот на честички на распаѓање на некоја радиоактивна супстанција во одреден временски период Т.

Број на телевизори кои пристигнуваат на работилницата во одреден временски период Тво големиот град .

Број на автомобили што ќе пристигнат на линијата за застанување на раскрсница во голем град .

Забелешка 1:Посебни табели за пресметување на овие веројатности се дадени во Додаток 3.

Забелешка 2:Во серија независни тестови (кога nодлично, стрне е доволно) точно да се пресмета веројатноста некој настан да се случи кпати користејќи ја Поасоновата формула: , Каде , односно просечниот број на појави на настани останува константен.

Забелешка 3:Ако постои случајна променлива која е распределена според законот на Поасон, тогаш нужно постои случајна променлива што е распределена според експоненцијалниот закон и, обратно (види Експоненцијална распределба).

Пример.Фабриката испратена до базата 5000 производи со добар квалитет. Веројатноста дека производот ќе се оштети при транзит е еднаква на 0,0002 . Најдете ја веројатноста дека точно три неупотребливи производи ќе пристигнат во основата.

Решение:По услов n = 5000, стр = 0,0002, к = 3. Ќе најдеме λ: λ = н.п.= 5000·0,0002 = 1.

Според формулата Поасон, саканата веројатност е еднаква на:

, каде е случајната променлива X– број на неупотребливи производи.

5.4. Геометриска дистрибуција

Нека се спроведат независни тестови, од кои секоја е веројатноста да се случи настанот Аеднаква на стр(0 стр

q = 1 - стр. Предизвиците завршуваат веднаш штом се појави настанот А. Така, доколку некој настан Асе појави во к-ти тест, потоа во претходниот к – 1 не се појави на тестовите.

Да означиме со Xдискретна случајна променлива - бројот на испитувања што треба да се спроведат пред првото појавување на настанот А. Очигледно, можните вредности Xсе цели броеви x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Прво нека к-1 настан за тестирање Ане дојде, туку во к- се појави тест. Веројатноста за овој „комплексен настан“, според теоремата за множење на веројатностите на независни настани, П (X = к) = q к -1 стр.

Дефиниција 5.4: Дискретна случајна променлива има геометриска дистрибуција, ако неговиот закон за распределба ја има следната форма:

П ( X = к ) = q к -1 стр , Каде .

Забелешка 1:Верувајќи к = 1,2,… , добиваме геометриска прогресија со првиот член стри именител q (0q. Поради оваа причина, распределбата се нарекува геометриска.

Забелешка 2:Ред конвергира и неговиот збир е еднаков на еден. Навистина, збирот на серијата е еднаков на .

Пример.Пиштолот се пука во целта додека не се постигне првиот удар. Веројатност за погодување на целта стр = 0,6 . Најдете ја веројатноста дека ќе се случи удар при третиот истрел.

Решение:По услов стр = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, к = 3. Потребната веројатност е:

П (X = 3) = 0,4 2 · 0,6 = 0,096.

5.5. Хипергеометриска дистрибуција

Да го разгледаме следниот проблем. Пуштете ја забавата надвор Ндостапни производи Мстандарден (МН). Случајно земено од серијата nпроизводи (секој производ може да се извлече со иста веројатност), а избраниот производ не се враќа во серијата пред да се избере следниот (затоа, формулата Бернули не е применлива овде).

Да означиме со Xслучајна променлива - број мстандардни производи меѓу nизбрани. Потоа можните вредности Xќе биде 0, 1, 2,…, мин; Да ги етикетираме и... Од страна навредностите на независната променлива (Fonds) користете го копчето ( поглавје ...

Едукативно-методолошки комплекс за дисциплината „Општа психолошка работилница“

Комплекс за обука и методологија

... методолошки инструкции Од страна навршење практична работа 5.1 Методичкипрепораки Од страна нареализација на образовни проекти 5.2 Методичкипрепораки Од страна на... чувствителност), еднодимензионалнии повеќедимензионални... случајнокомпонента во големина... Со дел„Перформанс...

Образовно-методолошки комплекс за дисциплина физика (наслов)

Комплекс за обука и методологија

... секцииво учебниците. Решавање на проблем Од страна насекоја тема. Елаборација методолошки инструкцииза лабораториска работа Од страна на ... случајнои инструментална мерна грешка 1.8 Теми тестовиИ методолошки инструкции Од страна на...Честичка во еднодимензионалнипотенцијална дупка. ...

Упатство за лабораториска работа во дисциплината компјутерски науки

Насоки

... Методички инструкцииза ЛАБОРАТОРСКА РАБОТА Од страна на ... големина, а најголемата сума количини... низа случајноброеви... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 а) еднодимензионалниниза б) дводимензионална низа Сл. 2– Датотеките... се опишани во делимплементација по...