Средно квадратно приближување на функциите наведени во табелата. Работа на предметната програма: нумерички методи за решавање типични математички задачи Тема: Методи за решавање системи на равенки

Често вредностите на интерполираната функција y, y2 , ..., y„ се одредуваат од експеримент со некои грешки, па затоа е неразумно да се користи точна апроксимација кај интерполационите јазли. Во овој случај, поприродно е да се приближи функцијата не по точки, туку по просек,односно, во една од нормите Л стр.

Простор 1 стр - многу функции d (x),дефинирани на сегментот [а, б]и модул кој може да се интегрира со p-та моќност ако е дефинирана нормата

Конвергенцијата во таква норма се нарекува конвергенција во просекПросторот 1,2 се нарекува Хилберт, а конвергенцијата во него е корен значи квадрат.

Нека се дадени функција Dx) и множество функции φ(x) од некој линеарен нормализиран простор. Во контекст на проблемот на интерполација, приближување и апроксимација, може да се формулираат следните два проблема.

Прва задачае приближување со дадена точност, т.е., според дадено днајдете φ(x) така што неравенката |[Dx) - φ(x)|| Г..

Втора задача- ова е пребарување најдобро приближувањет.е., пребарување на функција φ*(x) што ја задоволува релацијата:

Да дефинираме без доказ доволен услов за постоење на најдобро приближување. За да го направите ова, во линеарниот простор на функции избираме множество параметрирано со изразот

каде што множеството функции φ[(x), ..., φ„(x) ќе се смета за линеарно независно.

Може да се покаже дека во секој нормализиран простор со линеарна апроксимација (2.16) постои најдобрата апроксимација, иако таа не е единствена во ниту еден линеарен простор.

Дозволете ни да го разгледаме Хилбертовиот простор LzCp) на реални функции кои се квадратни интеграбилни со тежина p(x) > 0 на [, каде што скаларниот производ ( г, ч) утврдени со

формула:

Заменувајќи ја линеарната комбинација (2.16) во условот за најдобро приближување, наоѓаме

Изедначување на деривати во однос на коефициентите (D, к= 1, ..., P, добиваме систем на линеарни равенки

Детерминантата на системот равенки (2.17) се нарекува Грам детерминанта. Грам детерминантата е ненула, бидејќи се претпоставува дека системот на функции φ[(x), ..., φ„(x) е линеарно независен.

Така, најдобрата апроксимација постои и е единствена. За да се добие, потребно е да се реши системот на равенки (2.17). Ако системот на функции φ1(x), ..., φ„(x) е ортогонализиран, т.е. (φ/,φ,) = 5y, каде што 5, = 1, 8y = 0, SCH,ij = 1, ..., П,тогаш системот на равенки може да се реши во форма:

Коефициентите пронајдени според (2.18) П, ..., тисе нарекуваат коефициенти на генерализираната Фуриеова серија.

Ако множеството функции φ t (X),..., φ„(x),... формира целосен систем, тогаш врз основа на еднаквоста на Парсевал како P -» co нормата на грешка се намалува без ограничување. Ова значи дека најдоброто приближување конвергира корен-средно-квадрат до Dx) со која било дадена точност.

Забележете дека потрагата по коефициенти на најдоброто приближување со решавање на системот на равенки (2.17) е практично невозможно да се спроведе, бидејќи како што се зголемува редоследот на Грам-матрицата, нејзината детерминанта брзо се стреми кон нула, а матрицата станува лошо условена. Решавањето на систем на линеарни равенки со таква матрица ќе доведе до значително губење на точноста. Ајде да го провериме.

Нека степените се избрани како систем на функции φ„ i =1, ..., П, т.е. φ* = X 1", 1 = 1, ..., П,тогаш, под претпоставка дека сегментот е апроксимиран сегмент, ја наоѓаме матрицата Грам

Грам матрицата од формата (2.19) се нарекува и Хилбертова матрица. Ова е класичен пример на таканаречена лошо условена матрица.

Користејќи го MATLAB, ја пресметуваме детерминантата на матрицата Хилберт во форма (2.19) за некои први вредности П.Листата 2.5 го прикажува кодот за соодветната програма.

Листа 23

Пресметување на детерминантата на Хилбертовите матрици Расчистување на работната површинаисчисти се;

%изберете ја максималната вредност на нарачката на %Hilbert матрицатаптах =6;

Изградете јамка за генерирање %Hilbert матрици и пресметување на нивните детерминанти

за n = 1: ptah d(n)=det(hi I b(n)); крај

%отпечатете ги вредностите на детерминантите на %Хилберт матриците

f o g t краток крај

По извршувањето на кодот во списокот 2.5, командниот прозорец на MATLAB треба да ги прикаже вредностите на детерминантите на матриците Хилберт за првите шест матрици. Табелата подолу ги прикажува соодветните нумерички вредности на редот на матриците (n) и нивните детерминанти (d). Табелата јасно покажува колку брзо детерминантата на Хилбертовата матрица се стреми кон нула како што се зголемува редот и, почнувајќи од нарачките 5 и 6, станува неприфатливо мала.

Табела на вредности на детерминантата на Хилбертовите матрици

Нумеричката ортогонализација на систем на функции φ, i = 1, ..., П, исто така, доведува до забележливо губење на точноста, затоа, за да се земат предвид голем број поими при проширувањето (2.16), потребно е или да се изврши ортогонализација аналитички, т.е. точно, или да се користи готов систем на ортогонални функции.

Ако за време на интерполацијата тие обично користат степени како систем на основни функции, тогаш при приближување во просек, полиномите ортогонални со дадена тежина се избираат како основни функции. Од нив најчесто се користат полиномите Јакоби, чиј посебен случај се полиномите Лежандре и Чебишев. Се користат и полиноми Лагср и Хермит. Повеќе детали за овие полиноми може да се најдат, на пример, во додатокот Ортогонални полиномикниги

Нека табелата содржи вредности на функции добиени, на пример, од експеримент, т.е. измерени со грешка. Потоа приближување користејќи апарат за интерполација , што се заснова на изедначување на вредностите на полиномот во интерполационите јазли со вредностите на табелата, несоодветни.

Со оваа формулација на проблемот, неопходно е да се изврши приближување на просекот, т.е. да се опише табеларната функција со некоја прилично едноставна аналитичка зависност која има мал број параметри. Оптималниот избор на овие параметри ќе ни овозможи да извршиме приближување на коренот-средно-квадрат на функцијата наведена во табелата.

Избор на тип на аналитичка зависносттреба да започнете со исцртување на табеларни податоци на координатната рамнина - ова ќе формира поле од експериментални точки. Низ полето на овие точки се повлекува мазна крива така што некои од точките лежат на оваа крива, некои точки се над, а некои точки се под нацртаната крива. Врз основа на обликот на оваа крива, треба да се одреди типот на аналитичката зависност - дали е линеарна, закон за моќност, хиперболична или некоја друга.

Сепак, многу е тешко да се избере типот на аналитичка зависност од графикот по око. Затоа беше предложено метод на приближна проценка и избор на видот на аналитичката зависност. Овој метод е навистина приближен и неточен, бидејќи кривата може да се нацрта на различни начини низ полето на експериментални точки, а од табелата може да се земат различни референтни точки за пресметување, а точноста на предложениот метод е непозната. Во исто време, може да се смета како приближен начин за избор на типот на зависност.

Следниот алгоритам на дејства е предложен.

1. Во оригиналната табела, изберете две точки далеку една од друга со координати (x 1,y 1) и (x n,y n) - референтни точки и за секој пар координати пресметајте ја аритметичката средина, геометриската средина и хармоничната средина.

2. На кривата нацртана низ полето на експериментални точки, пронајдете три ординати што одговараат на пронајдените апсциси x ap, x geom, x штета:

3. Споредете ги оние што се наоѓаат на кривата со пресметаните со пресметување на следните модули за разлика:

4. Минималната вредност е избрана од пронајдените вредности:

5. Заклучоци:ако се покажа дека е минимално

Зависноста е линеарна

Зависноста е експоненцијална

Дробна линеарна врска

Логаритамска зависност

Зависност од моќ

Хиперболична зависност

Дробно-рационален однос

Било која од овие зависности може да се сведе на линеарна со извршување на координатна трансформација или т.н. усогласување на податоците.
Така, првата фаза завршува со избор на типот на аналитичка зависност, чии параметри не се дефинирани.

Втора фазасе состои во одредување на најдобрите вредности на коефициентите на избраната аналитичка зависност. За таа цел, математички метод на најмал квадрат.

Методот се заснова на минимизирање на збирот на квадратни отстапувања на дадените табеларни вредности () од оние пресметани од теоретската зависност (): .

Нека биде избраната зависност права линија: . Ајде да го замениме во функционално: . Тогаш функционалноста е минимизирана:

За да се најдат најдобрите вредности на коефициентите и потребно е да се најдат парцијалните деривати на и во однос на и и изедначени на нула:

По трансформациите, системот на равенки добива форма:

Решавањето на овој систем на линеарни равенки ви овозможува да ги пронајдете најдобрите вредности на коефициентите и линеарната зависност.

Ако избраната зависност е квадратна парабола:

тогаш функционалноста е минимизирана: .

Параболата има три променливи коефициенти - од кои најдобри вредности треба да се најдат со изедначување на нула парцијалните деривати на минимизираната функционалност во однос на бараните коефициенти. Ова ни овозможува да го добиеме следниов систем од три линеарни равенки за наоѓање на коефициентите:

Пример 1.Определи го типот на зависност даден со следната табела.

Решение.

Точките наведени во табелата треба да се исцртаат на координатната рамнина - а поле на експериментални податоци. Преку ова поле се спроведува мазна крива.

Изберете од табелата две референтни точки со координати (3;0,55) и (10;1,11) и за секој пар апсциси и ординати се пресметува аритметичката, геометриската и хармонската средина:

За три пресметани апсциси, по крива извлечена низ полето на експериментални точки, се одредуваат три соодветни ординати:

Забелешказа ориентацијата на пресметките што се вршат. Следно, дефинирани се седум различни модули:

Добиени се три минимални вредности блиску една до друга

Во втората фаза, треба да се одредат најдобрите вредности на коефициентите за секоја од овие зависности со методот на најмали квадрати, а потоа да се пресмета стандардното отстапување од дадените вредности на табелата.

Конечниот избор на аналитичката зависност се врши врз основа на минималната вредност на стандардното отстапување.

Пример 2.Табелата ги прикажува резултатите од експерименталните студии, кои може да се приближат со права линија. Најдете ги најдобрите вредности на коефициентите на правата користејќи го методот на најмали квадрати.

Решение.

Општа равенка на права линија: .

Системот на линеарни равенки од кои треба да се одредат најдобрите вредности на коефициентите, воден од методот на најмали квадрати, има форма:

Дозволете ни да ги замениме пресметаните збирови од 2-та, 3-та, 4-та и 5-та колона од последниот ред од табелата во системот на равенки:

Каде се одредуваат коефициентите на линеарна зависност? Ова значи дека равенката на теоретската линија ја има формата:

. (*)

Шестата колона од табелата ги прикажува вредностите на функциите пресметани со помош на теоретската равенка за дадените вредности на аргументот. Седмата колона од табелата ги прикажува разликите помеѓу наведените функционални вредности (3-та колона) и теоретските вредности (6-та колона) пресметани со помош на равенката (*).

Осмата колона ги прикажува квадратните отстапувања на теоретските вредности од експерименталните и го одредува збирот на квадратните отстапувања. Сега можете да најдете

Пример 3.Експерименталните податоци дадени во табелата нека се приближат со квадратна парабола: Најдете ги најдобрите вредности на коефициентите на параболата користејќи го методот на најмали квадрати.

Решение.

Системот на линеарни равенки за одредување на коефициентите на параболата има форма:

Од последниот ред на табелата, соодветните износи се заменуваат во системот на равенки:

Решавањето на системот на равенки ни овозможува да ги одредиме вредностите на коефициентите:

Значи, зависноста од сегментот наведен во табелата се приближува со квадратна парабола:

Пресметката со помош на дадената формула за дадените вредности на аргументот ви овозможува да ја формирате деветтата колона од табелата, која ги содржи теоретските вредности на функцијата.

Збирот на квадратни отстапувања на теоретските вредности од експерименталните е даден во последниот ред од 11-тата колона од табелата. Ова ви овозможува да одредите Стандардна девијација:

ПРАКТИЧЕН ЧАС бр.3

Тема: Методи за решавање системи на равенки

Гаусовиот метод - метод на секвенцијално исклучување на непознати - спаѓа во групата прецизни методи а доколку немаше грешка во пресметката, можеше да се добие точно решение.

При извршување на рачни пресметки, препорачливо е да се вршат пресметки во табела која содржи контролна колона. Подолу е општа верзија на таква табела за решавање на систем од линеарни равенки од 4-ти ред.

				Бесплатни членови	Контролна колона

				Бесплатни членови	Контролна колона

Пример 1.Користејќи го методот на Гаус, решете го системот од равенки од 4 ред:

Овие приближни вредности на корените може да се заменат во оригиналниот систем на равенки и да се пресметаат остатоци - , кои се разликите помеѓу десната и левата страна на секоја равенка на системот при замена на пронајдените корени во левата страна. Потоа тие се заменуваат како слободни услови на резидуалниот систем и добиваат амандмани

корени -:

Во претходното поглавје детално се дискутираше за еден од најчестите методи за приближување на функциите - интерполација. Но, овој метод не е единствениот. При решавање на различни применети проблеми и конструирање на пресметковни кола, често се користат и други методи. Во ова поглавје ќе ги разгледаме начините за добивање апроксимации на средната вредност на коренот. Името на приближувањата се поврзува со метричките простори во кои се разгледува проблемот на приближување на функцијата. Во поглавјето 1, ги воведовме концептите на „метрички линеарен нормализиран простор“ и „метрички евклидов простор“ и видовме дека грешката на приближување е одредена од метриката на просторот во кој се разгледува проблемот на приближување. Во различни простори, концептот на грешка има различни значења. Кога ја разгледувавме грешката во интерполацијата, не се фокусиравме на ова. И во ова поглавје ќе треба да се справиме со ова прашање подетално.

5.1. Апроксимации по тригонометриски полиноми и Лежандр полиноми Простор l2

Дозволете ни да го разгледаме множеството функции кои се интеграбилни на Лебезовиот квадрат на интервалот
, односно таков што интегралот мора да постои
.

Бидејќи постои очигледната нееднаквост, од интеграбилноста со квадратот на функциите
И
секоја нивна линеарна комбинација мора исто така да биде квадратна интеграбилна
, (Каде
И
 сите реални броеви), како и интеграбилноста на производот
.

Дозволете ни да се запознаеме со множеството на функции кои се квадратни интеграбилни во смисла на Lebesgue на интервалот
, скаларна работа на производот

. (5.1.1)

Од својствата на интегралот произлегува дека воведената операција на скаларниот производ ги има речиси сите својства на скаларниот производ во Евклидов простор (види параграф 1.10, стр. 57):

Само првиот имот не е целосно задоволен, односно условот нема да биде исполнет.

Всушност, ако
, тогаш тоа не следи
на сегментот
. За да може воведената операција да го има ова својство, во иднина ќе се договориме да не ги разликуваме (да ги сметаме за еквивалентни) функциите
И
, за кои

.

Земајќи ја предвид последната забелешка, убедени сме дека множеството Лебезови квадратни интеграбилни функции (поточно, множеството класи на еквивалентни функции) формира Евклидов простор во кој операцијата на скаларен производ е дефинирана со формулата (5.1.1). Овој простор се нарекува Lebesgue простор и се означува
или пократко .

Бидејќи секој Евклидов простор е автоматски и нормализиран и метрички, просторот
е исто така нормализиран и метрички простор. Нормата (големината на елементот) и метриката (растојанието помеѓу елементите) обично се внесуваат во него на стандарден начин:

(5.1.2)

(5.1.3)

Својствата (аксиомите) на нормата и метриката се дадени во делот 1.10. Елементи на просторот
не се функции, туку класи на еквивалентни функции. Функциите кои припаѓаат на иста класа може да имаат различни вредности на кое било конечно или дури и броичко подмножество
. Затоа, приближувања во просторот
се дефинираат двосмислено. Оваа непријатна карактеристика на просторот
се исплати поради практичноста за користење на скаларниот производ.

Со цел да се изедначат дискретните функции на Алтман и со тоа да се воведе идејата за континуитет во теоријата, користена е интегрална апроксимација на корен-средно-квадрат со полином со различни степени.

Познато е дека низа од интерполациони полиноми на јазли на еднакво оддалеченост не мора да се конвергира во функција, дури и ако функцијата е бесконечно диференцијабилна. За приближната функција, со користење на соодветен распоред на јазли, можно е да се намали степенот на полиномот. . Структурата на функциите на Алтман е таква што е попогодно да се користи приближувањето на функцијата не со интерполација, туку со конструирање на најдобрата просечна квадратна апроксимација во нормализиран линеарен простор. Да ги разгледаме основните концепти и информации при конструирање на најдобрата апроксимација. Проблемите со приближување и оптимизација се поставени во линеарни нормализирани простори.

Метрички и линеарни нормализирани простори

Најшироките концепти во математиката вклучуваат „множество“ и „мапа“. Концептите на „множество“, „множество“, „колекција“, „семејство“, „систем“, „класа“ во нестрогата теорија на множества се сметаат за синоними.

Терминот „оператор“ е идентичен со терминот „мапирање“. Термините „работа“, „функција“, „функционална“, „мерка“ се посебни случаи на концептот „мапирање“.

Термините „структура“ и „простор“ исто така добија фундаментално значење во аксиоматската конструкција на математичките теории. Математичките структури вклучуваат множества-теоретски структури (наредени и делумно подредени множества); апстрактни алгебарски структури (полугрупи, групи, прстени, прстени за делење, полиња, алгебри, решетки); диференцијални структури (надворешни диференцијални форми, влакнести простори) , , , , , , .

Структурата се подразбира како конечно множество кое се состои од множества на носител (главно множество), нумеричко поле (помошно множество) и мапирање дефинирано на елементите на носачот и броевите на полето. Ако множеството сложени броеви се земе како носител, тогаш тој ја игра улогата и на главното и на помошното множество. Терминот „структура“ е идентичен со концептот „простор“.

За да дефинирате празно место, прво мора да дефинирате сет на носител со неговите елементи (точки), означени со латински и грчки букви

Носачот може да биде збир на реални (или сложени) елементи: броеви; вектори, ; Матрици, ; Секвенци, ; Функции;

Следниве множества можат да дејствуваат и како елементи на носачот: реална оска, рамнина, тродимензионален (и повеќедимензионален) простор, пермутација, движење; апстрактни множества.

Дефиниција. Метрички простор е структура која формира тројка, каде што пресликувањето е ненегативна реална функција од два аргументи за кои било x и y од M и задоволува три аксиоми.

• 1- ненегативност; , во.
• 2- - симетрија;
• 3- - аксиома на рефлексивност.

каде се растојанијата помеѓу елементите.

Во метричкиот простор се одредува метрика и се формира концептот на близина на два елементи од множеството на носачот.

Дефиниција. Вистински линеарен (векторски) простор е структура каде што пресликувањето е адитивна операција на додавање елементи на кои припаѓаат, а мапирањето е операција на множење на број со елемент од.

Операцијата значи дека за кои било два елементи трет елемент е уникатно дефиниран, наречен нивниот збир и означен со, и важат следните аксиоми.

Комутативно својство.

Асоцијативна сопственост.

Во таму има посебен елемент, означен со таков што за секој важи.

за секој постои, таков што.

Елементот се нарекува спротивно на и се означува преку.

Операцијата значи дека за кој било елемент и кој било број е дефиниран елемент, означен со и аксиомите се задоволени:

Елемент (точка) на линеарен простор се нарекува и вектор. Аксиомите 1 - 4 дефинираат група (адитив), наречена модул, која е структура.

Ако операцијата во структурата не се потчинува на ниту една аксиома, тогаш таквата структура се нарекува групоид. Оваа структура е исклучително лоша; не содржи никаква аксиома на асоцијативност, тогаш структурата се нарекува моноид (полугрупа).

Во структурата, користејќи го пресликувањето и аксиомите 1-8, се одредува својството на линеарност.

Значи, линеарен простор е групен модул, во чија структура се додава уште една операција - множење на елементите на носачот со број со 4 аксиоми. Ако, наместо операцијата, наведеме, заедно со друга групна операција на множење елементи со 4 аксиоми и ја постулираме аксиомата на дистрибутивноста, тогаш се појавува структура наречена поле.

Дефиниција. Линеарно нормализиран простор е структура во која мапирањето ги задоволува следните аксиоми:

• 1. а ако и само ако.
• 2. , .
• 3. , .

И така натаму во вкупно 11 аксиоми.

На пример, ако модулот што ги има сите три нормални својства се додаде во структурата на полето со реални броеви, каде што се реалните броеви, тогаш полето со реални броеви станува нормализиран простор.

Постојат два вообичаени начини за воведување на нормата: или со експлицитно специфицирање на интервалната форма на хомогено конвексната функционална , или со специфицирање на скаларниот производ , .

Нека, тогаш типот на функционалноста може да се одреди на безброј начини, менувајќи ја вредноста:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Вториот вообичаен начин на пристап до задачата е да се воведе друго мапирање во структурата на просторот (функција од два аргументи, обично означени со и наречени скаларен производ).

Дефиниција. Евклидов простор е структура во која скаларниот производ содржи норма и ги задоволува аксиомите:

• 4. , и ако и само ако

Во Евклидов простор, нормата се генерира со формулата

Од својствата 1 - 4 на скаларниот производ произлегува дека се задоволени сите аксиоми на нормата. Ако скаларниот производ е во форма, тогаш нормата ќе се пресмета со помош на формулата

Нормата на просторот не може да се определи користејќи го скаларниот производ , .

Во просторите со скаларен производ се појавуваат такви квалитети кои ги нема во линеарните нормализирани простори (ортогоналност на елементите, еднаквост на паралелограм, Питагорова теорема, идентитет на Аполониј, Птоломејова нееднаквост. Воведувањето на скаларен производ дава начини за поефикасно решавање на апроксимацијата проблеми.

Дефиниција. Бесконечна низа на елементи во линеарно нормализиран простор се нарекува норма-конвергентна (едноставно конвергентна или има граница во) ако постои елемент таков што за кој било има број во зависност од таков што за

Дефиниција. Низата елементи во се нарекува фундаментална ако за некој има број во зависност од тоа што се задоволни (Треногин Колмогоров, Канторович, стр. 48)

Дефиниција. Просторот Банах е структура во која секоја фундаментална низа конвергира во однос на нормата.

Дефиниција. Хилбертовиот простор е структура во која секоја фундаментална секвенца конвергира во однос на нормата генерирана од скаларниот производ.

Да земеме полуквадратен координатен систем. Ова е координатен систем во кој скалата на оската на апсцисата е квадратна, т.е. вредностите на поделбите се нацртани според изразот, овде m -скала во некои единици должина, на пример, во cm.

Линеарна скала е нацртана долж оската на ординатите во согласност со изразот

Да ги нацртаме експерименталните точки на овој координатен систем. Ако точките на овој график се наоѓаат приближно во права линија, тогаш ова ја потврдува нашата претпоставка дека зависноста yод xдобро се изразува со функција од формата (4.4). Да се ​​најдат коефициентите аИ бСега можете да примените еден од методите дискутирани погоре: методот на испружена нишка, методот на избрани точки или методот на просечната нишка.

Метод на тесна нишкасе применува на ист начин како и за линеарна функција.

Метод на избрани точкиможеме да го примениме вака. На праволиниски графикон земете две точки (далеку една од друга). Ги означуваме координатите на овие точки и ( x, y). Потоа можеме да пишуваме

Од дадениот систем од две равенки наоѓаме аИ би заменете ги во формулата (4.4) и добијте ја конечната форма на емпириската формула.

Не треба да изградите праволиниски график, туку земете ги броевите, ( x, y) директно од табелата. Сепак, формулата добиена со овој избор на поени ќе биде помалку точна.

Процесот на претворање на заоблен график во прав график се нарекува израмнување.

Средна метода. Се применува на ист начин како и во случај на линеарна зависност. Експерименталните точки ги делиме на две групи со ист (или речиси ист) број на поени во секоја група. Еднаквоста (4.4) ја препишуваме на следниов начин

Го наоѓаме збирот на остатоците за бодовите од првата група и ги изедначуваме на нула. Истото го правиме и за бодовите од втората група. Добиваме две равенки со непознати аИ б. Решавајќи го системот на равенки, наоѓаме аИ б.

Забележете дека при користење на овој метод не е неопходно да се конструира приближна права линија. Дизајн на расејување во полуквадратен координатен систем е потребен само за да се потврди дали функцијата од формата (4.4) е погодна за емпириската формула.

Пример. При проучување на влијанието на температурата врз работата на хронометарот, беа добиени следниве резултати:

Во овој случај, не нè интересира самата температура, туку нејзиното отстапување од . Затоа, земаме како аргумент, каде т– температура во степени Целзиусови на вообичаената скала.

Откако ги нацртавме соодветните точки на Декартовиот координатен систем, забележуваме дека параболата со оска паралелна на оската на ординатите може да се земе како приближна крива (сл. 4). Да земеме полуквадратен координатен систем и да ги нацртаме експерименталните точки на него. Гледаме дека овие точки доста добро се вклопуваат на права линија. Значи, емпириската формула

може да се пребарува во формата (4.4).

Да ги одредиме коефициентите аИ бкористејќи го просечниот метод. За да го направите ова, ние ги делиме експерименталните точки во две групи: во првата група - првите три точки, во втората - преостанатите четири точки. Користејќи ја еднаквоста (4.5), го наоѓаме збирот на остатоците за секоја група и секоја сума ја изедначуваме со нула.