Збирот на првите n членови на аритметичка прогресија. Формула за n-ти член на аритметичка прогресија Како да се најде во формула за аритметичка прогресија

Математиката има своја убавина, исто како сликарството и поезијата.

Рускиот научник, механичар Н.Е. Жуковски

Многу чести задачи во приемни испитиво математиката се проблеми поврзани со поимот аритметичка прогресија. За успешно решавање на ваквите проблеми, мора да имате добро познавање на својствата на аритметичката прогресија и да имате одредени вештини во нивната примена.

Прво да се потсетиме на основните својства на аритметичката прогресија и да ги претставиме најважните формули, поврзани со овој концепт.

Дефиниција. Редоследот на броеви, во кој секој нареден член се разликува од претходниот за ист број, наречена аритметичка прогресија. Во овој случај бројотнаречена прогресивна разлика.

За аритметичка прогресија важат следните формули:

, (1)

Каде. Формулата (1) се нарекува формула на општиот член на аритметичка прогресија, а формулата (2) го претставува главното својство на аритметичката прогресија: секој член од прогресијата се совпаѓа со аритметичката средина на нејзините соседни членови и .

Имајте на ум дека токму поради ова својство прогресијата што се разгледува се нарекува „аритметичка“.

Горенаведените формули (1) и (2) се генерализирани на следниов начин:

(3)

За да се пресмета износотпрво услови на аритметичка прогресијаформулата обично се користи

(5) каде и .

Ако ја земеме предвид формулата (1), тогаш од формулата (5) следува

Ако означиме, тогаш

Каде. Бидејќи , формулите (7) и (8) се генерализација на соодветните формули (5) и (6).

Конкретно, од формулата (5) следува, Што

Малку познато за повеќето студенти е својството на аритметичка прогресија, формулирана преку следнава теорема.

Теорема.Ако, тогаш

Доказ.Ако, тогаш

Теоремата е докажана.

На пример, користејќи ја теоремата, може да се покаже дека

Ајде да продолжиме да разгледуваме типични примери за решавање проблеми на темата " Аритметичка прогресија».

Пример 1.Нека биде. Најдете .

Решение.Применувајќи ја формулата (6), добиваме . Од и , тогаш или .

Пример 2.Нека е трипати поголем, а кога се дели со количникот, резултатот е 2, а остатокот е 8. Определи и .

Решение.Од условите на примерот следува системот на равенки

Бидејќи , , и , тогаш од системот равенки (10) добиваме

Решението на овој систем на равенки е и .

Пример 3.Најдете дали и.

Решение.Според формулата (5) имаме или . Меѓутоа, користејќи го својството (9), добиваме .

Од и , тогаш од еднаквоста следи равенкатаили .

Пример 4.Најдете дали.

Решение.Според формулата (5) имаме

Сепак, користејќи ја теоремата, можеме да напишеме

Од тука и од формулата (11) добиваме .

Пример 5. Дадено:. Најдете .

Решение.Оттогаш. Меѓутоа, затоа.

Пример 6.Нека, и. Најдете .

Решение.Користејќи ја формулата (9), добиваме . Затоа, ако , тогаш или .

Бидејќи и тогаш тука имаме систем на равенки

Решавајќи го, добиваме и .

Природен корен на равенкатае .

Пример 7.Најдете дали и.

Решение.Бидејќи според формулата (3) го имаме тоа , тогаш системот на равенки следи од проблемските услови

Ако го замениме изразотво втората равенка на системот, тогаш добиваме или .

Корените на квадратната равенка сеИ .

Да разгледаме два случаи.

1. Нека , тогаш . Оттогаш и тогаш.

Во овој случај, според формулата (6), имаме

2. Ако , тогаш , и

Одговор: и.

Пример 8.Познато е дека и. Најдете .

Решение.Земајќи ја предвид формулата (5) и состојбата на примерот, пишуваме и .

Ова го подразбира системот на равенки

Ако првата равенка на системот ја помножиме со 2 и потоа ја додадеме на втората равенка, ќе добиеме

Според формулата (9) имаме. Во овој поглед, произлегува од (12)или .

Оттогаш и тогаш.

Одговор:.

Пример 9.Најдете дали и.

Решение.Бидејќи , и по услов , тогаш или .

Од формулата (5) се знае, Што . Оттогаш.

Оттука, овде имаме систем на линеарни равенки

Од тука добиваме и . Земајќи ја предвид формулата (8), пишуваме .

Пример 10.Решете ја равенката.

Решение.Од дадената равенка произлегува дека . Да претпоставиме дека , , и . Во тој случај.

Според формулата (1), можеме да напишеме или .

Бидејќи , тогаш равенката (13) го има единствениот соодветен корен .

Пример 11.Најдете ја максималната вредност под услов и .

Решение.Од , тогаш аритметичката прогресија што се разгледува се намалува. Во овој поглед, изразот ја зема својата максимална вредност кога е бројот на минималниот позитивен член на прогресијата.

Да ја искористиме формулата (1) и фактот, тоа и. Потоа го добиваме тоа или .

Оттогаш или . Меѓутоа, во оваа нееднаквостнајголем природен број, Затоа.

Ако вредностите на и се заменат во формулата (6), добиваме.

Одговор:.

Пример 12.Одреди го збирот на сите двоцифрени природни броеви кои, кога се делат со бројот 6, оставаат остаток од 5.

Решение.Да означиме со множеството од сите двоцифрени природни броеви, т.е. . Следно, ќе конструираме подмножество кое се состои од оние елементи (броеви) од множеството кои, кога се делат со бројот 6, даваат остаток од 5.

Лесно се инсталира, Што . Очигледно, дека елементите на множествотоформираат аритметичка прогресија, во која и .

За да се утврди кардиналноста (бројот на елементи) на множеството, претпоставуваме дека . Бидејќи и , произлегува од формулата (1) или . Земајќи ја предвид формулата (5), добиваме .

Горенаведените примери за решавање проблеми во никој случај не можат да тврдат дека се исцрпни. Оваа статија е напишана врз основа на анализата современи методирешенија типични задачина дадена тема. За подлабинско проучување на методите за решавање проблеми поврзани со аритметичка прогресија, препорачливо е да се повикате на списокот со препорачана литература.

1. Збирка задачи по математика за кандидати на колеџи / Ед. М.И. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 стр.

2. Супрун В.П. Математика за средношколци: дополнителни делови училишна наставна програма. – М.: Ленанд / УРСС, 2014. – 216 стр.

3. Медински М.М. Целосен курселементарна математика во задачи и вежби. Книга 2: Секвенци на броеви и прогресии. – М.: Едитус, 2015. – 208 стр.

Сè уште имате прашања?

За да добиете помош од учител, регистрирајте се.

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.

На пример, низата \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... е аритметичка прогресија, бидејќи секој следен елемент се разликува од претходниот по три (може да се добие од претходниот со додавање три):

Во оваа прогресија, разликата \(d\) е позитивна (еднаква на \(3\)), и затоа секој следен член е поголем од претходниот. Ваквите прогресии се нарекуваат се зголемува.

Сепак, \(d\) исто така може да биде негативен број. На пример, во аритметичка прогресија \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... разликата во прогресијата \(d\) е еднаква на минус шест.

И во овој случај, секој следен елемент ќе биде помал од претходниот. Овие прогресии се нарекуваат се намалува.

Нотација на аритметичка прогресија

Напредокот е означен со мала латиница.

Броевите кои формираат прогресија се нарекуваат членови(или елементи).

Тие се означуваат со иста буква како аритметичка прогресија, но со нумерички индекс еднаков на бројот на елементот по ред.

На пример, аритметичката прогресија \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) се состои од елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така натаму.

Со други зборови, за прогресијата \(a_n = \лево\(2; 5; 8; 11; 14…\десно\)\)

Решавање проблеми со аритметичка прогресија

Во принцип, информациите презентирани погоре се веќе доволни за да се реши речиси секој проблем со аритметичка прогресија (вклучувајќи ги и оние понудени во OGE).

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е специфицирана со условите \(b_1=7; d=4\). Најдете \(b_5\).
Решение:

Одговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени се првите три члена на аритметичка прогресија: \(62; 49; 36…\) Најдете ја вредноста на првиот негативен член од оваа прогресија..
Решение:

	Ни се дадени првите елементи од низата и знаеме дека тоа е аритметичка прогресија. Односно, секој елемент се разликува од својот сосед со ист број. Ајде да дознаеме кој со одземање на претходниот од следниот елемент: \(d=49-62=-13\).
	Сега можеме да ја вратиме нашата прогресија до (првиот негативен) елемент што ни треба.
	Подготвени. Можете да напишете одговор.

Одговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени се неколку последователни елементи на аритметичка прогресија: \(…5; x; 10; 12,5...\) Најдете ја вредноста на елементот означен со буквата \(x\).
Решение:

	За да го пронајдеме \(x\), треба да знаеме колку следниот елемент се разликува од претходниот, со други зборови, разликата во прогресијата. Да го најдеме од два познати соседни елементи: \(d=12,5-10=2,5\).
	И сега лесно можеме да го најдеме она што го бараме: \(x=5+2,5=7,5\).
	Подготвени. Можете да напишете одговор.

Одговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е дефинирана со следните услови: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Најдете го збирот на првите шест членови од оваа прогресија.
Решение:

Треба да го најдеме збирот на првите шест члена од прогресијата. Но, ние не ги знаеме нивните значења, ни е даден само првиот елемент. Затоа, прво ги пресметуваме вредностите една по една, користејќи го она што ни е дадено: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) И откако ги пресметавме шесте елементи што ни се потребни, го наоѓаме нивниот збир.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Пронајдена е потребната сума.

Одговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). Во аритметичка прогресија \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Најдете ја разликата на оваа прогресија.
Решение:

Одговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметичка прогресија

Како што можете да видите, многу проблеми за аритметичката прогресија можат да се решат едноставно со разбирање на главната работа - дека аритметичката прогресија е синџир од броеви, а секој следен елемент во овој синџир се добива со додавање на истиот број на претходниот (на разлика на прогресијата).

Сепак, понекогаш има ситуации кога одлучувањето „главно“ е многу незгодно. На пример, замислете дека во првиот пример не треба да го најдеме петтиот елемент \(b_5\), туку триста осумдесет и шестиот \(b_(386)\). Дали треба да додадеме четири \(385\) пати? Или замислете дека во претпоследниот пример треба да го најдете збирот на првите седумдесет и три елементи. Ќе ви здосади да броите...

Затоа, во такви случаи тие не ги решаваат работите „главно“, туку користат специјални формули изведени за аритметичка прогресија. А главните се формулата за n-тиот член на прогресијата и формулата за збир на \(n\) првите членови.

Формула на \(n\)тиот член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), каде што \(a_1\) е првиот член од прогресијата;
\(n\) – број на потребниот елемент;
\(a_n\) – член на прогресијата со број \(n\).

Оваа формула ни овозможува брзо да го најдеме дури тристатиот или милионитиот елемент, знаејќи го само првиот и разликата во прогресијата.

Пример. Аритметичката прогресија е специфицирана со условите: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Најдете \(b_(246)\).
Решение:

Одговор: \(b_(246)=1850\).

Формула за збир на првите n членови: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), каде

\(a_n\) – последниот сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е специфицирана со условите \(a_n=3,4n-0,6\). Најдете го збирот на првите \(25\) членови од оваа прогресија.
Решение:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		За да го пресметаме збирот на првите дваесет и пет члена, треба да ја знаеме вредноста на првиот и дваесет и петтиот член. Нашата прогресија е дадена со формулата на n-тиот член во зависност од неговиот број (за повеќе детали, видете). Ајде да го пресметаме првиот елемент со замена на еден за \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Сега да го најдеме дваесет и петтиот член со замена на дваесет и пет наместо \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Па, сега можеме лесно да ја пресметаме потребната сума.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Одговорот е подготвен.

Одговор: \(S_(25)=1090\).

За збирот \(n\) од првите членови, можете да добиете друга формула: само треба да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) наместо \(a_n\) заменете ја формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Добиваме:

Формула за збир од првите n членови: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), каде

\(S_n\) – потребната сума од \(n\) првите елементи;
\(a_1\) – првиот сумиран член;
\(d\) – разлика во прогресијата;
\(n\) – број на елементи вкупно.

Пример. Најдете го збирот на првите \(33\)-ex членови на аритметичката прогресија: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

Одговор: \(S_(33)=-231\).

Покомплексни проблеми со аритметичка прогресија

Сега ги имате сите информации што ви се потребни за да го решите речиси секој проблем со аритметичката прогресија. Ајде да ја завршиме темата со разгледување на проблеми во кои не само што треба да примените формули, туку и да размислите малку (во математиката ова може да биде корисно ☺)

Пример (OGE). Најдете го збирот на сите негативни членови на прогресијата: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Задачата е многу слична на претходната. Почнуваме да го решаваме истото: прво го наоѓаме \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Сега би сакал да го заменам \(d\) во формулата за збирот... и тука се појавува мала нијанса - не знаеме \(n\). Со други зборови, не знаеме колку термини ќе треба да се додадат. Како да дознаете? Ајде да размислиме. Ќе престанеме да додаваме елементи кога ќе го достигнеме првиот позитивен елемент. Тоа е, треба да го дознаете бројот на овој елемент. Како? Да ја запишеме формулата за пресметување на кој било елемент на аритметичка прогресија: \(a_n=a_1+(n-1)d\) за нашиот случај.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Ни треба \(a_n\) да стане поголемо од нула. Ајде да дознаеме на што \(n\) ќе се случи ова.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|: 0,3\)		Ние ги делиме двете страни на неравенката со \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Пренесуваме минус еден, не заборавајќи да ги смениме знаците
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Ајде да пресметаме...
\(n>65.333…\)		...и излегува дека првиот позитивен елемент ќе го има бројот \(66\). Според тоа, последниот негативен има \(n=65\). За секој случај, ајде да го провериме ова.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Значи, треба да ги додадеме првите \(65\) елементи.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Одговорот е подготвен.

Одговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е специфицирана со условите: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Пронајдете го збирот од \(26\)-тиот до елементот \(42\) вклучувајќи го.
Решение:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Во овој проблем, исто така, треба да го пронајдете збирот на елементи, но почнувајќи не од првиот, туку од \(26\)-тиот. За таков случај немаме формула. Како да се одлучи? Лесно е - за да го добиете збирот од \(26\)-то до \(42\)-то, прво мора да го најдете збирот од \(1\)-то до \(42\)-то, а потоа да го одземете од него збирот од првиот до \(25\)ти (види слика).
	За нашата прогресија \(a_1=-33\), и разликата \(d=4\) (на крајот на краиштата, ги додаваме четирите на претходниот елемент за да го најдеме следниот). Знаејќи го ова, го наоѓаме збирот на првите \(42\)-y елементи.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Сега збирот на првите \(25\) елементи.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	И, конечно, го пресметуваме одговорот.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Одговор: \(S=1683\).

За аритметичка прогресија, има уште неколку формули кои не ги разгледавме во оваа статија поради нивната мала практична корисност. Сепак, можете лесно да ги најдете.

Да, да: аритметичката прогресија не е играчка за вас :)

Па, пријатели, ако го читате овој текст, тогаш внатрешната капа-доказ ми кажува дека сè уште не знаете што е аритметичка прогресија, но навистина (не, вака: ТООООО!) сакате да знаете. Затоа, нема да ве измачувам со долги воведи и ќе навлезам директно на поентата.

Прво, неколку примери. Ајде да погледнеме неколку групи на броеви:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Што имаат заедничко сите овие комплети? На прв поглед ништо. Но, всушност има нешто. Имено: секој следен елемент се разликува од претходниот по ист број.

Проценете сами. Првиот сет е едноставно последователни броеви, секој следен е еден повеќе од претходниот. Во вториот случај, разликата помеѓу соседните броеви е веќе пет, но оваа разлика е сè уште константна. Во третиот случај, воопшто нема корени. Сепак, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ и $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, т.е. и во овој случај, секој следен елемент едноставно се зголемува за $\sqrt(2)$ (и не плашете се дека овој број е ирационален).

Значи: сите такви низи се нарекуваат аритметички прогресии. Ајде да дадеме строга дефиниција:

Дефиниција. Низата од броеви во која секој следен се разликува од претходниот за точно иста количина се нарекува аритметичка прогресија. Самиот износ по кој се разликуваат броевите се нарекува прогресивна разлика и најчесто се означува со буквата $d$.

Ознака: $\left(((a)_(n)) \right)$ е самата прогресија, $d$ е нејзината разлика.

И само неколку важни забелешки. Прво, само се разгледува прогресијата нарединиза броеви: дозволено е да се читаат строго по редоследот по кој се напишани - и ништо друго. Броевите не можат да се преуредуваат или заменуваат.

Второ, самата низа може да биде или конечна или бесконечна. На пример, множеството (1; 2; 3) е очигледно конечна аритметичка прогресија. Но, ако напишете нешто во духот (1; 2; 3; 4; ...) - ова е веќе бесконечна прогресија. Елипсата по четирите се чини дека навестува дека претстојат уште неколку бројки. Бескрајно многу, на пример.

Исто така, би сакал да забележам дека прогресијата може да се зголемува или намалува. Веќе видовме зголемени - истиот сет (1; 2; 3; 4; ...). Еве примери за намалување на прогресијата:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt (5);\ \sqrt (5) -1;\ \sqrt (5) -2;\ \sqrt (5) -3;...$

Во ред, во ред: последниот пример може да изгледа премногу комплициран. Но, остатокот, мислам, го разбираш. Затоа, воведуваме нови дефиниции:

Дефиниција. Аритметичката прогресија се нарекува:

1. се зголемува ако секој следен елемент е поголем од претходниот;
2. се намалува ако, напротив, секој следен елемент е помал од претходниот.

Покрај тоа, постојат и таканаречени „стационарни“ секвенци - тие се состојат од ист број што се повторува. На пример, (3; 3; 3; ...).

Останува само едно прашање: како да се разликува растечката прогресија од опаѓачката? За среќа, овде сè зависи само од знакот на бројот $d$, т.е. разлики во прогресијата:

1. Ако $d \gt 0$, тогаш прогресијата се зголемува;
2. Ако $d \lt 0$, тогаш прогресијата очигледно се намалува;
3. Конечно, постои случајот $d=0$ - во овој случај целата прогресија се сведува на стационарна низа од идентични броеви: (1; 1; 1; 1; ...), итн.

Ајде да се обидеме да ја пресметаме разликата $d$ за трите опаѓачки прогресии дадени погоре. За да го направите ова, доволно е да земете кои било два соседни елементи (на пример, првиот и вториот) и да го одземете бројот лево од бројот од десната страна. Ќе изгледа вака:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Како што можеме да видиме, во сите три случаи разликата всушност се покажа негативна. И сега кога повеќе или помалку ги сфативме дефинициите, време е да откриеме како се опишани прогресиите и какви својства имаат.

Термини за прогресија и формула за повторување

Бидејќи елементите на нашите секвенци не можат да се заменат, тие можат да се нумерираат:

\[\left(((a)_(n)) \десно)=\лево\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \десно\)\]

Поединечните елементи на ова множество се нарекуваат членови на прогресија. Тие се означени со број: прв член, втор член итн.

Покрај тоа, како што веќе знаеме, соседните термини на прогресијата се поврзани со формулата:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\десна стрелка ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Накратко, за да го најдете $n$-тиот член на прогресијата, треба да го знаете членот $n-1$th и разликата $d$. Оваа формула се нарекува повторлива, бидејќи со нејзина помош можете да најдете кој било број само со познавање на претходниот (и всушност, сите претходни). Ова е многу незгодно, па затоа постои полукава формула која ги сведува сите пресметки на првиот член и разликата:

\[((a)_(n))=((а)_(1))+\лево(n-1 \десно)d\]

Веројатно веќе сте наишле на оваа формула. Тие сакаат да го даваат во секакви референтни книги и книги за решенија. И во секој разумен учебник по математика тој е еден од првите.

Сепак, предлагам да вежбате малку.

Задача бр. 1. Запишете ги првите три члена од аритметичката прогресија $\left((a)_(n)) \десно)$ ако $((a)_(1))=8,d=-5$.

Решение. Значи, го знаеме првиот член $((a)_(1))=8$ и разликата во прогресијата $d=-5$. Ајде да ја користиме формулата штотуку дадена и да ги замениме $n=1$, $n=2$ и $n=3$:

\[\begin(порамни) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \десно)d; \\ & ((a)_(1))=((а)_(1))+\лево(1-1 \десно)d=((а)_(1))=8; \\ & ((а)_(2))=(а)_(1))+\лево(2-1 \десно)d=((а)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((а)_(3))=(а)_(1))+\лево(3-1 \десно)d=((а)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \крај (порамни)\]

Одговор: (8; 3; −2)

Тоа е тоа! Ве молиме имајте предвид: нашиот напредок се намалува.

Се разбира, $n=1$ не можеше да се замени - првиот термин ни е веќе познат. Меѓутоа, со замена на единството, се уверивме дека и за првиот мандат нашата формула функционира. Во други случаи, сè се сведуваше на банална аритметика.

Задача бр. 2. Запиши ги првите три члена на аритметичка прогресија ако нејзиниот седми член е еднаков на -40, а седумнаесеттиот член е еднаков на -50.

Решение. Ајде да ја напишеме проблемската состојба со познати термини:

\[((а)_(7))=-40;\четири ((а)_(17))=-50.\]

\[\лево\( \почеток(порамни) & ((а)_(7))=((а)_(1))+6d \\ & ((а)_(17))=(а) _(1))+16d \\ \крај (порамни) \десно.\]

\[\лево\( \почеток(порамни) & ((а)_(1))+6д=-40 \\ & ((а)_(1))+16д=-50 \\ \крај (порамни) \десно.\]

Го ставив знакот систем затоа што овие барања мора да се исполнат истовремено. Сега да забележиме дека ако ја одземеме првата од втората равенка (имаме право да го направиме ова, бидејќи имаме систем), ќе го добиеме ова:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))+16d-\лево(((а)_(1))+6d \десно)=-50-\лево(-40 \десно); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \крај (порамни)\]

Така е лесно да се најде разликата во прогресијата! Останува само да се замени пронајдениот број со која било од равенките на системот. На пример, во првиот:

\[\begin(матрица) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Надолу \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \крај (матрица)\]

Сега, знаејќи го првиот член и разликата, останува да ги најдеме вториот и третиот член:

\[\begin(порамни) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((а)_(3))=(а)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \крај (порамни)\]

Подготвени! Проблемот е решен.

Одговор: (−34; −35; −36)

Забележете го интересното својство на прогресијата што го откривме: ако ги земеме членовите $n$th и $m$th и ги одземеме еден од друг, ќе ја добиеме разликата на прогресијата помножена со бројот $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \лево(n-m \десно)\]

Едноставно, но многу корисно својство, што дефинитивно треба да го знаете - со негова помош можете значително да го забрзате решавањето на многу проблеми со прогресијата. Еве јасен пример за ова:

Задача бр.3. Петтиот член на аритметичката прогресија е 8,4, а нејзиниот десетти член е 14,4. Најдете го петнаесеттиот член од оваа прогресија.

Решение. Бидејќи $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ и треба да најдеме $((a)_(15))$, го забележуваме следново:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(15))-((а)_(10))=5д; \\ & ((а)_(10))-((а)_(5))=5г. \\ \крај (порамни)\]

Но по услов $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, значи $5d=6$, од кои имаме:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \крај (порамни)\]

Одговор: 20.4

Тоа е тоа! Не ни требаше да создаваме системи на равенки и да го пресметаме првиот член и разликата - сè беше решено во само неколку линии.

Сега да погледнеме друг тип на проблем - пребарување на негативни и позитивни термини на прогресија. Не е тајна дека ако прогресијата се зголеми, а нејзиниот прв термин е негативен, тогаш порано или подоцна во него ќе се појават позитивни термини. И обратно: условите за намалена прогресија порано или подоцна ќе станат негативни.

Во исто време, не е секогаш можно да се најде овој момент „главно“ со последователно поминување низ елементите. Честопати, проблемите се напишани на таков начин што без да се знаат формулите, за пресметките би биле потребни неколку листови хартија - едноставно ќе заспиеме додека го најдовме одговорот. Затоа, да се обидеме да ги решиме овие проблеми на побрз начин.

Задача бр.4. Колку негативни членови има во аритметичката прогресија −38,5; −35,8; ...?

Решение. Значи, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, од каде веднаш ја наоѓаме разликата:

Забележете дека разликата е позитивна, така што прогресијата се зголемува. Првиот член е негативен, па навистина во одреден момент ќе налетаме на позитивни бројки. Единственото прашање е кога тоа ќе се случи.

Ајде да се обидеме да дознаеме: до кога (т.е. до што природен број$n$) негативноста на термините е зачувана:

\[\почеток(порамни) & ((a)_(n)) \lt 0\Десна стрелка ((a)_(1))+\лево(n-1 \десно)d \lt 0; \\ & -38,5+\лево(n-1 \десно)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \десно. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \десно) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Десна стрелка ((n)_(\max))=15. \\ \крај (порамни)\]

Последната линија бара некое објаснување. Значи знаеме дека $n \lt 15\frac(7)(27)$. Од друга страна, се задоволуваме само со целобројни вредности на бројот (покрај тоа: $n\in \mathbb(N)$), така што најголемиот дозволен број е точно $n=15$, а во никој случај 16 .

Задача бр.5. Во аритметичка прогресија $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Најдете го бројот на првиот позитивен член од оваа прогресија.

Ова би било точно истиот проблем како и претходниот, но не знаеме $((a)_(1))$. Но, познати се соседните поими: $((a)_(5))$ и $((a)_(6))$, така што лесно можеме да ја најдеме разликата во прогресијата:

Дополнително, да се обидеме да го изразиме петтиот член преку првиот и разликата користејќи ја стандардната формула:

\[\begin(порамни) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \десно)\cточка d; \\ & ((а)_(5))=((а)_(1))+4г; \\ & -150=((а)_(1))+4\cточка 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \крај (порамни)\]

Сега продолжуваме по аналогија со претходната задача. Ајде да дознаеме во која точка од нашата низа ќе се појават позитивните броеви:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(n))=-162+\лево(n-1 \десно)\cточка 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Десна стрелка ((n)_(\min ))=56. \\ \крај (порамни)\]

Минималното целобројно решение за оваа неравенка е бројот 56.

Ве молиме запомнете: во последна задачасе се сведе на строга нееднаквост, така што опцијата $n=55$ нема да ни одговара.

Сега кога научивме како да решаваме едноставни проблеми, да преминеме на посложени. Но, прво, да проучиме уште едно многу корисно својство на аритметички прогресии, кое ќе ни заштеди многу време и нееднакви ќелии во иднина.

Аритметичка средина и еднакви вдлабнатини

Да разгледаме неколку последователни членови на растечката аритметичка прогресија $\left(((a)_(n)) \right)$. Ајде да се обидеме да ги означиме на нумеричката линија:

Услови на аритметичка прогресија на бројната права

Јас конкретно означив произволни термини $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, а не некои $((a)_(1)) ,\ ((а)_(2)),\ ((а)_(3))$, итн. Затоа што правилото за кое ќе ви кажам сега функционира исто за сите „сегменти“.

А правилото е многу едноставно. Да се ​​потсетиме на рекурентната формула и да ја напишеме за сите означени поими:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(n-2))=((а)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((а)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((а)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((а)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((а)_(n+1))+d; \\ \крај (порамни)\]

Сепак, овие еднаквости може да се препишат поинаку:

\[\begin(порамни) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((а)_(n-2))=((а)_(n))-2д; \\ & ((a)_(n-3))=((а)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((а)_(n))+d; \\ & ((а)_(n+2))=((а)_(n))+2д; \\ & ((a)_(n+3))=((а)_(n))+3d; \\ \крај (порамни)\]

Па што? И фактот дека термините $((a)_(n-1))$ и $((a)_(n+1))$ лежат на исто растојание од $((a)_(n)) $ . И ова растојание е еднакво на $d$. Истото може да се каже и за поимите $((a)_(n-2))$ и $((a)_(n+2))$ - тие исто така се отстранети од $((a)_(n) )$ на исто растојание еднакво на $2d$. Можеме да продолжиме бесконечно, но значењето е добро илустрирано од сликата

Условите на прогресијата лежат на исто растојание од центарот

Што значи ова за нас? Ова значи дека $((a)_(n))$ може да се најде ако се познати соседните броеви:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Добивме одлична изјава: секој член на аритметичка прогресија е еднаков на аритметичката средина на нејзините соседни членови! Покрај тоа: можеме да се повлечеме од нашите $((a)_(n))$ налево и надесно не за еден чекор, туку за $k$ чекори - и формулата сепак ќе биде точна:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Оние. лесно можеме да најдеме некои $((a)_(150))$ ако знаеме $((a)_(100))$ и $((a)_(200))$, бидејќи $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. На прв поглед, може да изгледа дека овој факт не ни дава ништо корисно. Меѓутоа, во пракса, многу проблеми се специјално приспособени да ја користат аритметичката средина. Погледнете:

Задача бр.6. Најдете ги сите вредности на $x$ за кои броевите $-6((x)^(2))$, $x+1$ и $14+4((x)^(2))$ се последователни термини на аритметичка прогресија (по наведениот редослед).

Решение. Бидејќи овие броеви се членови на прогресија, условот за аритметичка средина е задоволен за нив: централниот елемент $x+1$ може да се изрази во однос на соседните елементи:

\[\begin(порамни) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \крај (порамни)\]

Испадна класично квадратна равенка. Неговите корени: $x=2$ и $x=-3$ се одговорите.

Одговор: −3; 2.

Задача бр.7. Најдете ги вредностите на $$ за кои броевите $-1;4-3;(()^(2))+1$ формираат аритметичка прогресија (по тој редослед).

Решение. Повторно да го изразиме средниот член преку аритметичката средина на соседните поими:

\[\begin(порамни) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \лево| \cdot 2 \десно.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \крај (порамни)\]

Повторно квадратна равенка. И повторно има два корени: $x=6$ и $x=1$.

Одговор: 1; 6.

Ако во процесот на решавање на проблемот излезете со некои брутални бројки или не сте сосема сигурни во точноста на пронајдените одговори, тогаш постои прекрасна техника која ви овозможува да проверите: дали правилно го решивме проблемот?

Да речеме во задачата бр. 6 добивме одговори −3 и 2. Како можеме да провериме дали овие одговори се точни? Ајде само да ги приклучиме во првобитната состојба и да видиме што ќе се случи. Да ве потсетам дека имаме три броја ($-6(()^(2))$, $+1$ и $14+4(()^(2))$), кои мора да формираат аритметичка прогресија. Да го замениме $x=-3$:

\[\почеток(порамни) & x=-3\Десна стрелка \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4 ((x) ^ (2)) = 50. \крај (порамни)\]

Ги добивме броевите −54; −2; 50 кои се разликуваат за 52 е несомнено аритметичка прогресија. Истото се случува и за $x=2$:

\[\почеток(порамни) & x=2\Десна стрелка \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4 ((x) ^ (2)) = 30. \крај (порамни)\]

Повторно прогресија, но со разлика од 27. Така проблемот беше правилно решен. Оние кои сакаат можат сами да го проверат вториот проблем, но веднаш ќе кажам: и таму сè е точно.

Во принцип, додека ги решававме последните проблеми, наидовме на друг интересен факт, што исто така треба да се запомни:

Ако три броја се такви што вториот е аритметичка средина на првиот и последниот, тогаш овие броеви формираат аритметичка прогресија.

Во иднина, разбирањето на оваа изјава ќе ни овозможи буквално да ги „конструираме“ потребните прогресии врз основа на условите на проблемот. Но, пред да се вклучиме во таква „конструкција“, треба да обрнеме внимание на уште еден факт, кој директно произлегува од она што веќе беше дискутирано.

Групирање и сумирање на елементи

Ајде повторно да се вратиме на бројната оска. Да забележиме таму неколку членови на прогресијата, меѓу кои, можеби. вреди за многу други членови:

На нумеричката линија се означени 6 елементи

Ајде да се обидеме да ја изразиме „левата опашка“ преку $((a)_(n))$ и $d$, а „десната опашка“ преку $((a)_(k))$ и $d$. Многу е едноставно:

\[\begin(порамни) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((а)_(n+2))=((а)_(n))+2д; \\ & ((а)_(к-1))=(а)_(к))-д; \\ & ((а)_(к-2))=(а)_(к)) -2д. \\ \крај (порамни)\]

Сега забележете дека следните износи се еднакви:

\[\begin(порамни) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((а)_(n+1))+((a)_(k-1))=((а)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((а)_(n+2))+((а)_(k-2))=((а)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \крај (порамни)\]

Едноставно кажано, ако земеме за почеток два елементи на прогресијата, кои вкупно се еднакви на некој број $S$, а потоа почнуваат да чекорат од овие елементи во спротивни насоки (еден кон друг или обратно за да се оддалечат), тогаш збировите на елементите на кои ќе се сопнеме исто така ќе бидат еднакви$S$. Ова може најјасно да се прикаже графички:

Еднаквите вдлабнатини даваат еднакви количини

Разбирањето на овој факт ќе ни овозможи да ги решиме проблемите во фундаментално повеќе високо нивотешкотии од оние што ги разгледавме погоре. На пример, овие:

Задача бр.8. Одреди ја разликата на аритметичка прогресија во која првиот член е 66, а производот од вториот и дванаесеттиот член е најмалиот можен.

Решение. Ајде да запишеме сè што знаеме:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \крај (порамни)\]

Значи, не ја знаеме разликата во прогресијата $d$. Всушност, целото решение ќе биде изградено околу разликата, бидејќи производот $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ може да се преработи на следниов начин:

\[\begin(порамни) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((а)_(12))=(а)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \десно)\cdot \left(66+11d \десно)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \десно)\cdot \left(d+6 \десно). \крај (порамни)\]

За оние во резервоарот: го зедов вкупниот мултипликатор од 11 од втората заграда. Така, потребниот производ е квадратна функција во однос на променливата $d$. Затоа, разгледајте ја функцијата $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - нејзиниот график ќе биде парабола со гранки нагоре, бидејќи ако ги прошириме заградите, добиваме:

\[\почеток(порамни) & f\лево(d \десно)=11\лево(((d)^(2))+66d+6d+66\cточка 6 \десно)= \\ & =11(( г)^(2))+11\cточка 72d+11\cточка 66\cточка 6 \крај (порамни)\]

Како што можете да видите, коефициентот на највисокиот член е 11 - ова е позитивен број, значи навистина имаме работа со парабола со гранки нагоре:

распоред квадратна функција- парабола

Ве молиме имајте предвид: оваа парабола ја зема својата минимална вредност на нејзиното теме со апсцисата $((d)_(0))$. Се разбира, можеме да ја пресметаме оваа апсциса користејќи ја стандардната шема (постои формулата $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), но би било многу поразумно да се забележи дека саканото теме лежи на симетријата на оската на параболата, затоа точката $((d)_(0))$ е еднакво оддалечена од корените на равенката $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(порамни) & f\left(d \десно)=0; \\ & 11\cdot \лево(d+66 \десно)\cdot \лево(d+6 \десно)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \крај (порамни)\]

Затоа не брзав особено да ги отворам заградите: во нивната оригинална форма, корените беа многу, многу лесно да се најдат. Според тоа, апсцисата е еднаква на аритметичката средина на броевите −66 и −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Што ни дава откриениот број? Со него бараниот производ добива најмала вредност (патем, никогаш не сме пресметале $((y)_(\min ))$ - тоа не се бара од нас). Во исто време, овој број е разликата на првобитната прогресија, т.е. го најдовме одговорот :)

Одговор: −36

Задача бр.9. Помеѓу броевите $-\frac(1)(2)$ и $-\frac(1)(6)$ вметнете три броја така што заедно со овие броеви да формираат аритметичка прогресија.

Решение. Во суштина, треба да направиме низа од пет броеви, со првиот и последниот број веќе познати. Да ги означиме броевите што недостасуваат со променливите $x$, $y$ и $z$:

\[\left(((a)_(n)) \десно)=\лево\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \десно\ )\]

Забележете дека бројот $y$ е „средината“ на нашата низа - тој е подеднакво оддалечен од броевите $x$ и $z$ и од броевите $-\frac(1)(2)$ и $-\frac (1) (6) $. И ако моментално не можеме да добиеме $y$ од броевите $x$ и $z$, тогаш ситуацијата е поинаква со краевите на прогресијата. Да се ​​потсетиме на аритметичката средина:

Сега, знаејќи $y$, ќе ги најдеме преостанатите броеви. Забележете дека $x$ лежи помеѓу броевите $-\frac(1)(2)$ и $y=-\frac(1)(3)$ што штотуку ги најдовме. Затоа

Користејќи слично размислување, го наоѓаме преостанатиот број:

Подготвени! Ги најдовме сите три броја. Да ги запишеме во одговорот по редоследот по кој треба да се вметнат меѓу оригиналните броеви.

Одговор: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Задача бр.10. Помеѓу броевите 2 и 42 вметнете неколку броеви кои заедно со овие броеви формираат аритметичка прогресија, ако знаете дека збирот на првиот, вториот и последниот од вметнати броеви е 56.

Решение. Уште покомплексен проблем, кој, сепак, се решава по истата шема како и претходните - преку аритметичката средина. Проблемот е што не знаеме точно колку броеви треба да се вметнат. Затоа, да претпоставиме за дефинитивно дека откако ќе се вметне сè ќе има точно $n$ броеви, а првиот од нив е 2, а последниот е 42. Во овој случај, потребната аритметичка прогресија може да се претстави во форма:

\[\left(((a)_(n)) \десно)=\лево\( 2;((a)_(2));(a)_(3));...;(( а)_(n-1));42 \десно\)\]

\[((а)_(2))+((а)_(3))+(а)_(n-1))=56\]

Забележете, сепак, дека броевите $((a)_(2))$ и $((a)_(n-1))$ се добиени од броевите 2 и 42 на рабовите за еден чекор еден кон друг, т.е. до центарот на низата. И ова значи дека

\[((а)_(2))+((а)_(n-1))=2+42=44\]

Но, тогаш изразот напишан погоре може да се преработи на следниов начин:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(2))+((а)_(3))+((а)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \десно)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \крај (порамни)\]

Знаејќи ги $((a)_(3))$ и $((a)_(1))$, лесно можеме да ја најдеме разликата во прогресијата:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(3))-((а)_(1))=12-2=10; \\ & ((а)_(3))-((а)_(1))=\лево(3-1 \десно)\cточка d=2d; \\ & 2d=10\Десна стрелка d=5. \\ \крај (порамни)\]

Останува само да се најдат преостанатите термини:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))=2; \\ & ((а)_(2))=2+5=7; \\ & ((а)_(3))=12; \\ & ((а)_(4))=2+3\cточка 5=17; \\ & ((а)_(5))=2+4\cточка 5=22; \\ & ((а)_(6))=2+5\cточка 5=27; \\ & ((а)_(7))=2+6\cточка 5=32; \\ & ((а)_(8))=2+7\cточка 5=37; \\ & ((а)_(9))=2+8\cточка 5=42; \\ \крај (порамни)\]

Така, веќе на 9-тиот чекор ќе стигнеме до левиот крај на низата - бројот 42. Вкупно требаше да се вметнат само 7 броеви: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Одговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Проблеми со зборови со прогресии

Како заклучок, би сакал да разгледам неколку релативно едноставни задачи. Па, толку едноставно: за повеќето ученици кои учат математика на училиште и не го прочитале она што е напишано погоре, овие проблеми може да изгледаат тешки. Сепак, ова се типови на проблеми што се појавуваат на ОГЕ и на Единствениот државен испит по математика, па затоа препорачувам да се запознаете со нив.

Задача бр.11. Тимот произведе 62 делови во јануари, а во секој следен месец произведоа 14 повеќе делови отколку во претходниот месец. Колку делови произведе тимот во ноември?

Решение. Очигледно, бројот на делови наведени по месеци ќе претставува зголемена аритметичка прогресија. Покрај тоа:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\лево(n-1 \десно)\cточка 14. \\ \крај (порамни)\]

Ноември е 11-тиот месец во годината, па затоа треба да најдеме $((a)_(11))$:

\[((а)_(11))=62+10\cточка 14=202\]

Затоа, во ноември ќе бидат произведени 202 делови.

Задача бр.12. Работилницата за сврзување во јануари врзала 216 книги, а во секој нареден месец врзала 4 книги повеќе од претходниот месец. Колку книги поврза работилницата во декември?

Решение. Се е исто:

$\begin(порамни) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\лево(n-1 \десно)\cточка 4. \\ \крај (порамни)$

Декември е последниот, 12-ти месец во годината, затоа бараме $((a)_(12))$:

\[((а)_(12))=216+11\cточка 4=260\]

Ова е одговорот - во декември ќе бидат врзани 260 книги.

Па, ако сте прочитале досега, побрзам да ви честитам: успешно го завршивте „курсот на млад борец“ во аритметички прогресии. Можете безбедно да преминете на следната лекција, каде што ќе ја проучуваме формулата за збир на прогресија, како и важни и многу корисни последици од неа.

Некои луѓе го третираат зборот „прогресија“ со претпазливост, како многу сложен термин од деловите виша математика. Во меѓувреме, наједноставната аритметичка прогресија е работата на таксиметарот (каде што сè уште постојат). И разбирањето на суштината (и во математиката нема ништо поважно од „добивање на суштината“) на аритметичката низа не е толку тешко, имајќи анализирани неколку елементарни концепти.

Математичка бројна низа

Нумеричка низа обично се нарекува серија од броеви, од кои секоја има свој број.

a 1 е првиот член на низата;

и 2 е вториот член од низата;

и 7 е седмиот член од низата;

и n е n-тиот член на низата;

Сепак, ниеден произволен збир на бројки и бројки не нè интересира. Ќе го фокусираме нашето внимание на нумеричка низа во која вредноста на n-тиот член е поврзана со неговиот реден број со врска што може јасно да се формулира математички. Со други зборови: нумеричката вредност на n-тиот број е некоја функција на n.

a е вредност на член на нумеричка низа;

n е неговиот сериски број;

f(n) е функција, каде што редниот број во нумеричката низа n е аргументот.

Дефиниција

Аритметичката прогресија обично се нарекува нумеричка низа во која секој следен член е поголем (помал) од претходниот за ист број. Формулата за n-ти член на аритметичка низа е како што следува:

a n - вредноста на тековниот член на аритметичката прогресија;

a n+1 - формула на следниот број;

г - разлика (одреден број).

Лесно е да се одреди дека ако разликата е позитивна (d>0), тогаш секој следен член од серијата што се разгледува ќе биде поголем од претходниот и таквата аритметичка прогресија ќе се зголемува.

На графиконот подолу лесно може да се види зошто низата на броеви се нарекува „зголемување“.

Во случаи кога разликата е негативна (г<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Наведена вредност на член

Понекогаш е неопходно да се одреди вредноста на кој било произволен член a n од аритметичка прогресија. Ова може да се направи со последователно пресметување на вредностите на сите членови на аритметичката прогресија, почнувајќи од првиот до саканиот. Сепак, оваа патека не е секогаш прифатлива ако, на пример, е неопходно да се најде вредноста на петилјадитиот или осуммилионитиот член. Традиционалните пресметки ќе потрае многу време. Сепак, одредена аритметичка прогресија може да се проучува со користење на одредени формули. Постои и формула за n-тиот член: вредноста на кој било член на аритметичка прогресија може да се определи како збир на првиот член на прогресијата со разликата на прогресијата, помножена со бројот на саканиот член, намалена за еден.

Формулата е универзална за зголемување и намалување на прогресијата.

Пример за пресметување на вредноста на даден член

Да го решиме следниов проблем за наоѓање на вредноста на n-тиот член на аритметичка прогресија.

Услов: постои аритметичка прогресија со параметри:

Првиот член од низата е 3;

Разликата во серијата на броеви е 1,2.

Задача: треба да ја пронајдете вредноста на 214 поими

Решение: за да ја одредиме вредноста на даден член, ја користиме формулата:

a(n) = a1 + d(n-1)

Заменувајќи ги податоците од изјавата за проблемот во изразот, имаме:

a(214) = a1 + d(n-1)

a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Одговор: 214-от член од низата е еднаков на 258,6.

Предностите на овој метод на пресметка се очигледни - целото решение трае не повеќе од 2 реда.

Збир на даден број поими

Многу често, во дадена аритметичка серија, неопходно е да се одреди збирот на вредностите на некои од нејзините сегменти. За да го направите ова, исто така, нема потреба да се пресметуваат вредностите на секој член и потоа да се собираат. Овој метод е применлив ако бројот на поими чиј збир треба да се најде е мал. Во други случаи, попогодно е да се користи следнава формула.

Збирот на членовите на аритметичката прогресија од 1 до n е еднаков на збирот на првиот и n-тиот член, помножен со бројот на членот n и поделен со два. Ако во формулата вредноста на n-тиот член се замени со изразот од претходниот став на статијата, добиваме:

Пример за пресметка

На пример, да решиме проблем со следниве услови:

Првиот член од низата е нула;

Разликата е 0,5.

Проблемот бара да се одреди збирот на термините од серијата од 56 до 101.

Решение. Да ја користиме формулата за одредување на количината на прогресија:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Прво, го одредуваме збирот на вредностите на 101 член на прогресијата со замена на дадените услови на нашиот проблем во формулата:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525

Очигледно, за да се дознае збирот на членовите на прогресијата од 56-та до 101-та, потребно е да се одземе S 55 од S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Така, збирот на аритметичката прогресија за овој пример е:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Пример за практична примена на аритметичка прогресија

На крајот од статијата, да се вратиме на примерот на аритметичка низа дадена во првиот пасус - таксиметар (таксиметар). Да го разгледаме овој пример.

Качувањето во такси (кое вклучува 3 километри патување) чини 50 рубли. Секој следен километар се плаќа по стапка од 22 рубли/км. Растојанието на патување е 30 км. Пресметајте ги трошоците за патувањето.

1. Да ги отфрлиме првите 3 км, чија цена е вклучена во цената на слетувањето.

30 - 3 = 27 км.

2. Понатамошното пресметување не е ништо повеќе од парсирање на аритметичка бројна серија.

Број на член - број на поминати километри (минус првите три).

Вредноста на членот е збирот.

Првиот термин во овој проблем ќе биде еднаков на 1 = 50 рубли.

Разлика во прогресијата d = 22 r.

бројот што нè интересира е вредноста на (27+1)-тиот член на аритметичката прогресија - отчитувањето на метар на крајот на 27-ми километар е 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Пресметките на податоците од календарот за произволно долг период се засноваат на формули кои опишуваат одредени нумерички секвенци. Во астрономијата, должината на орбитата е геометриски зависна од растојанието на небесното тело до ѕвездата. Покрај тоа, различни серии на броеви успешно се користат во статистиката и другите применети области од математиката.

Друг тип на низа на броеви е геометриска

Геометриската прогресија се карактеризира со поголеми стапки на промени во споредба со аритметичката прогресија. Не случајно во политиката, социологијата и медицината, за да се покаже големата брзина на ширење на одредена појава, на пример, болест за време на епидемија, велат дека процесот се развива во геометриска прогресија.

N-тиот член од серијата на геометриски броеви се разликува од претходниот по тоа што се множи со некој константен број - именителот, на пример, првиот член е 1, именителот е соодветно еднаков на 2, тогаш:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - вредноста на тековниот член на геометриската прогресија;

b n+1 - формула на следниот член на геометриската прогресија;

q е именителот на геометриската прогресија (константен број).

Ако графикот на аритметичка прогресија е права линија, тогаш геометриската прогресија дава малку поинаква слика:

Како и во случајот со аритметиката, геометриската прогресија има формула за вредноста на произволен член. Секој n-ти член од геометриска прогресија е еднаков на производот од првиот член и именителот на прогресијата до моќта на n намален за еден:

Пример. Имаме геометриска прогресија со првиот член еднаков на 3 и именителот на прогресијата еднаков на 1,5. Да го најдеме 5-тиот член на прогресијата

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Збирот на даден број членови исто така се пресметува со помош на посебна формула. Збирот на првите n членови на геометриската прогресија е еднаков на разликата помеѓу производот од n-тиот член на прогресијата и неговиот именител и првиот член од прогресијата, поделен со именителот намален за еден:

Ако b n се замени со формулата дискутирана погоре, вредноста на збирот на првите n членови од броената серија што се разгледува ќе ја има формата:

Пример. Геометриската прогресија започнува со првиот член еднаков на 1. Именителот е поставен на 3. Да го најдеме збирот на првите осум члена.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

При изучувањето на алгебрата во средно училиште (9-то одделение), една од важните теми е изучувањето на нумеричките низи, кои вклучуваат прогресии - геометриски и аритметички. Во оваа статија ќе разгледаме аритметичка прогресија и примери со решенија.

Што е аритметичка прогресија?

За да се разбере ова, неопходно е да се дефинира прогресијата за која станува збор, како и да се дадат основните формули кои подоцна ќе се користат при решавање на проблемите.

Аритметичка или алгебарска прогресија е збир на подредени рационални броеви, од кои секој член се разликува од претходниот по одредена константна вредност. Оваа вредност се нарекува разлика. Односно, познавајќи го кој било член на нарачана серија на броеви и разликата, можете да ја вратите целата аритметичка прогресија.

Да дадеме пример. Следната низа од броеви ќе биде аритметичка прогресија: 4, 8, 12, 16, ..., бидејќи разликата во овој случај е 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Но, множеството од броеви 3, 5, 8, 12, 17 повеќе не може да се припише на видот на прогресијата што се разгледува, бидејќи разликата за тоа не е константна вредност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Сега да ги претставиме основните формули кои ќе бидат потребни за решавање на проблеми со помош на аритметичка прогресија. Да означиме со симболот a n n-ти мандатнизи каде n е цел број. Разликата ја означуваме со латинската буква d. Тогаш важат следните изрази:

1. За да се одреди вредноста на n-тиот член, погодна е следната формула: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. За да се одреди збирот на првите n членови: S n = (a n +a 1)*n/2.

За да се разберат какви било примери на аритметичка прогресија со решенија во 9-то одделение, доволно е да се запаметат овие две формули, бидејќи сите проблеми од типот што се разгледува се засноваат на нивната употреба. Исто така, треба да запомните дека разликата во прогресијата се одредува со формулата: d = a n - a n-1.

Пример #1: наоѓање непознат поим

Да дадеме едноставен пример за аритметичка прогресија и формулите што треба да се користат за да се реши.

Нека биде дадена низата 10, 8, 6, 4, ..., во неа треба да најдете пет члена.

Од условите на проблемот веќе произлегува дека првите 4 поими се познати. Петтиот може да се дефинира на два начина:

1. Ајде прво да ја пресметаме разликата. Имаме: d = 8 - 10 = -2. Слично на тоа, можете да земете кои било други други членови кои стојат еден до друг. На пример, d = 4 - 6 = -2. Бидејќи е познато дека d = a n - a n-1, тогаш d = a 5 - a 4, од што добиваме: a 5 = a 4 + d. Ги заменуваме познатите вредности: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Вториот метод исто така бара познавање на разликата во односната прогресија, така што прво треба да ја одредите како што е прикажано погоре (d = -2). Знаејќи дека првиот член a 1 = 10, ја користиме формулата за n бројот на низата. Имаме: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Заменувајќи го n = 5 во последниот израз, добиваме: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Како што можете да видите, двете решенија доведоа до истиот резултат. Забележете дека во овој пример, разликата во прогресијата d е негативна вредност. Ваквите низи се нарекуваат намалувачки, бидејќи секој следен член е помал од претходниот.

Пример #2: разлика во прогресијата

Сега да ја комплицираме задачата малку, да дадеме пример како

Познато е дека кај некои првиот член е еднаков на 6, а седмиот член е еднаков на 18. Неопходно е да се најде разликата и да се врати оваа низа на 7-ми член.

Да ја користиме формулата за да го одредиме непознатиот член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Да ги замениме познатите податоци од условот во него, односно броевите a 1 и a 7, имаме: 18 = 6 + 6 * d. Од овој израз можете лесно да ја пресметате разликата: d = (18 - 6) /6 = 2. Така, го одговоривме првиот дел од задачата.

За да ја вратите низата до седмиот член, треба да ја користите дефиницијата за алгебарска прогресија, односно a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d итн. Како резултат на тоа, ја враќаме целата низа: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример бр. 3: изготвување прогресија

Да го искомплицираме проблемот уште повеќе. Сега треба да одговориме на прашањето како да најдеме аритметичка прогресија. Може да се даде следниов пример: дадени се два броја, на пример - 4 и 5. Потребно е да се создаде алгебарска прогресија така што меѓу нив ќе се постават уште три члена.

Пред да започнете да го решавате овој проблем, треба да разберете какво место ќе заземат дадените броеви во идната прогресија. Бидејќи меѓу нив ќе има уште три члена, тогаш 1 = -4 и 5 = 5. Откако го утврдивме ова, преминуваме на проблемот, кој е сличен на претходниот. Повторно, за n-тиот член ја користиме формулата, добиваме: a 5 = a 1 + 4 * d. Од: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Она што го добивме овде не е цел бројна вредност на разликата, туку е рационален број, така што формулите за алгебарската прогресија остануваат исти.

Сега да ја додадеме пронајдената разлика на 1 и да ги вратиме термините што недостасуваат од прогресијата. Добиваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, што се совпаѓа со условите на проблемот.

Пример бр. 4: прв рок на прогресија

Да продолжиме да даваме примери за аритметичка прогресија со решенија. Во сите претходни задачи беше познат првиот број на алгебарската прогресија. Сега да разгледаме проблем од различен тип: нека се дадат два броја, каде што е 15 = 50 и 43 = 37. Неопходно е да се најде со кој број започнува оваа низа.

Досега користените формули претпоставуваат познавање на 1 и d. Во изјавата за проблемот, ништо не се знае за овие бројки. Сепак, ќе запишеме изрази за секој поим за кои информации се достапни: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Добивме две равенки во кои има 2 непознати величини (а 1 и г). Тоа значи дека проблемот се сведува на решавање на систем од линеарни равенки.

Најлесен начин да се реши овој систем е да се изрази 1 во секоја равенка и потоа да се споредат добиените изрази. Првата равенка: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; втора равенка: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Изедначувајќи ги овие изрази, добиваме: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, од каде разликата d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (дадени се само 3 децимални места).

Знаејќи го d, можете да користите кој било од 2-те изрази погоре за 1. На пример, прво: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ако се сомневате во добиениот резултат, можете да го проверите, на пример, да го одредите 43-от термин на прогресијата, што е наведено во условот. Добиваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Малата грешка се должи на фактот што во пресметките се користело заокружување на илјадити делови.

Пример бр. 5: износ

Сега да погледнеме неколку примери со решенија за збир на аритметичка прогресија.

Нека е дадена нумеричка прогресија од следната форма: 1, 2, 3, 4, ...,. Како да се пресмета збирот од 100 од овие броеви?

Благодарение на развојот на компјутерската технологија, можно е да се реши овој проблем, односно да се додадат сите броеви последователно, што компјутерот ќе го направи веднаш штом лицето ќе го притисне копчето Enter. Меѓутоа, проблемот може да се реши ментално ако се обрне внимание на фактот дека претставената серија на броеви е алгебарска прогресија, а нејзината разлика е еднаква на 1. Применувајќи ја формулата за збирот, добиваме: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Интересно е да се забележи дека овој проблем е наречен „Гаус“ затоа што на почетокот на 18 век познатиот Германец, сè уште имал само 10 години, можел да го реши во својата глава за неколку секунди. Момчето не ја знаело формулата за збир на алгебарска прогресија, но забележал дека ако ги соберете броевите на краевите на низата во парови, секогаш го добивате истиот резултат, односно 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а бидејќи овие збирови ќе бидат точно 50 (100 / 2), тогаш за да се добие точниот одговор доволно е да се помножи 50 со 101.

Пример бр. 6: збир на членови од n до m

Друг типичен пример за збир на аритметичка прогресија е следниов: дадени се низа броеви: 3, 7, 11, 15, ..., треба да најдете колку ќе биде еднаков збирот на членовите од 8 до 14. .

Проблемот се решава на два начина. Првиот од нив вклучува пронаоѓање непознати поими од 8 до 14, а потоа последователно собирање. Бидејќи има неколку термини, овој метод не е доста трудоинтензивен. Сепак, се предлага да се реши овој проблем со помош на втор метод, кој е поуниверзален.

Идејата е да се добие формула за збирот на алгебарската прогресија помеѓу членовите m и n, каде што n > m се цели броеви. За двата случаи, пишуваме два изрази за збирот:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Бидејќи n > m, очигледно е дека вториот збир го вклучува првиот. Последниот заклучок значи дека ако ја земеме разликата меѓу овие збирови и на неа го додадеме поимот a m (во случај да се земе разликата, таа се одзема од збирот S n), ќе го добиеме потребниот одговор на задачата. Имаме: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Неопходно е да се заменат формулите за n и a m во овој израз. Потоа добиваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Резултирачката формула е донекаде незгодна, сепак, збирот S mn зависи само од n, m, a 1 и d. Во нашиот случај, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Заменувајќи ги овие броеви, добиваме: S mn = 301.

Како што може да се види од горенаведените решенија, сите задачи се засноваат на познавање на изразот за n-тиот член и формулата за збир на множеството од први членови. Пред да започнете да решавате некој од овие проблеми, се препорачува внимателно да ја прочитате состојбата, јасно да разберете што треба да најдете и дури потоа да продолжите со решението.

Друг совет е да се стремите кон едноставност, односно, ако можете да одговорите на прашање без да користите сложени математички пресметки, тогаш треба да го направите токму тоа, бидејќи во овој случај веројатноста да направите грешка е помала. На пример, во примерот на аритметичка прогресија со решение бр. 6, може да се застане на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и пауза заедничка задачаво посебни подзадачи (во во овој случајпрво најдете ги поимите a n и a m).

Доколку се сомневате во добиениот резултат, се препорачува да го проверите, како што беше направено во некои од дадените примери. Дознавме како да најдеме аритметичка прогресија. Ако го сфатите тоа, не е толку тешко.