Кинематика на точка.

1. Предмет теоретска механика. Основни апстракции.

Теоретска механикае наука која проучува општи законимеханичко движење и механичка интеракција материјални тела

Механичко движењее движењето на телото во однос на друго тело, кое се случува во просторот и времето.

Механичка интеракција е интеракцијата на материјалните тела што ја менува природата на нивното механичко движење.

Статика - ова е делот теоретска механика, кој ги проучува методите за претворање на системите на сили во еквивалентни системи и воспоставува рамнотежни услови за силите што се применуваат на цврсто тело.

Кинематика - е гранка на теоретската механика која изучува движење на материјалните тела во просторот со геометриска точкавизија, без оглед на силите што дејствуваат врз нив.

Динамика е гранка на механиката која го проучува движењето на материјалните тела во просторот во зависност од силите што делуваат на нив.

Предмети на студии по теоретска механика:

материјална точка,

систем на материјални точки,

Апсолутно цврсто тело.

Апсолутниот простор и апсолутното време се независни еден од друг. Апсолутен простор - тридимензионален, хомоген, неподвижен Евклидов простор. Апсолутно време - тече од минатото кон иднината непрекинато, тој е хомоген, ист во сите точки во просторот и не зависи од движењето на материјата.

2. Предмет на кинематика.

Кинематика - ова е гранка на механиката во која се проучуваат геометриските својства на движењето на телата без да се земат предвид нивната инерција (т.е. масата) и силите што делуваат на нив

За да се одреди положбата на движечкото тело (или точка) со телото во однос на кое се проучува движењето на ова тело, цврсто се поврзува некој координатен систем, кој заедно со телото формира референтен систем.

Главната задача на кинематиката е да, знаејќи го законот за движење на дадено тело (точка), да ги определи сите кинематички величини што го карактеризираат неговото движење (брзина и забрзување).

3. Методи за одредување на движење на точка

· Природниот начин

Треба да се знае:

Траекторијата на точката;

Потекло и насока на референца;

Законот за движење на точка по дадена траекторија во форма (1.1)

· Координативен метод

Равенките (1.2) се равенки на движење на точката М.

Равенката за траекторијата на точката М може да се добие со елиминирање на временскиот параметар « т » од равенките (1.2)

· Векторски метод

(1.3) Врска помеѓу координатни и векторски методи за одредување на движење на точка (1.4)

Врска помеѓу координатни и природни методи за специфицирање на движење на точка

Одреди ја траекторијата на точката со елиминирање на времето од равенките (1.2);

-- Најдете го законот за движење на точка долж траекторијата (користете го изразот за диференцијалот на лакот)

По интеграцијата, го добиваме законот за движење на точка по дадена траекторија:

Врската помеѓу координатните и векторските методи за одредување на движењето на точката е одредена со равенката (1.4)

4. Одредување на брзината на точка со помош на векторскиот метод за одредување на движење.

Нека во еден момент во времетотположбата на точката се определува со векторот на радиусот и во моментот на времетот 1 – вектор на радиус, потоа за одреден временски период точката ќе се помести.

(1.5) просечна брзина на точка, насоката на векторот е иста како онаа на векторот

Брзина на точка во дадено време

За да се добие брзината на точка во дадено време, неопходно е да се направи премин до границата

(1.6)

(1.7)

Вектор на брзина на точка во дадено време еднаков на првиот извод на векторот на радиусот во однос на времето и насочен тангенцијално на траекторијата во дадена точка.

(единица¾ m/s, km/h)

Просечен вектор на забрзување има иста насока како векторотΔ v , односно насочен кон вдлабнатината на траекторијата.

Вектор на забрзување на точка во дадено време еднаков на првиот извод на векторот на брзина или вториот извод на векторот на радиусот на точката во однос на времето.

(единица - )

Како се наоѓа векторот во однос на траекторијата на точката?

На директно движењевекторот е насочен по права линија по која се движи точката. Ако траекторијата на точката е рамна крива, тогаш векторот на забрзување , како и векторот ср, лежи во рамнината на оваа крива и е насочен кон нејзината конкавност. Ако траекторијата не е рамна крива, тогаш векторот ср ќе биде насочен кон конкавноста на траекторијата и ќе лежи во рамнината што минува низ тангентата на траекторијата во точката.М и права паралелна на тангентата во соседна точкаМ 1 . ВО ограничување кога точкаМ 1 се стреми кон М оваа рамнина ја зазема позицијата на таканаречената оскулирачка рамнина. Затоа, во општиот случај, векторот на забрзување лежи во контактната рамнина и е насочен кон конкавноста на кривата.

Сила. Систем на сили. Рамнотежа на апсолутно круто тело

Во механиката, силата се подразбира како мерка за механичката интеракција на материјалните тела, како резултат на која телата кои дејствуваат можат да пренесат забрзување едни на други или да се деформираат (да ја променат својата форма). Силата е векторска величина. Се карактеризира со нумеричка вредност, или модул, точка на примена и насока. Точката на примена на силата и нејзината насока ја одредуваат линијата на дејство на силата. Сликата покажува како се применува сила на точката А. Линиска отсечка AB = големина на сила F. Правата LM се нарекува линија на дејство на силата. Во сист. SI сила мерки. во њутни (N). Има и 1MN = 10 6 N, 1 kN = 10 3 N. Постојат 2 начини за поставување на силата: со директен опис и вектор (преку проекција на координатните оски). F= F x i + F y j + F z k, каде што F x, F y, F z се проекциите на силата на координатните оски, а i, j, k се единечни вектори. Апсолутно солидна тело-телово кој растојанието помеѓу 2 и неговите точки е остатокот. непроменет без оглед на силите што дејствуваат на него.

Множеството од неколку сили (F 1, F 2, ..., F n) се нарекува систем на сили. Ако, без да се наруши состојбата на телото, еден систем на сили (F 1, F 2, ..., F n) може да се замени со друг систем (P 1, P 2, ..., P n) и порок обратно, тогаш таквите системи на сили се нарекуваат еквивалентни. Симболично ова се означува на следниов начин: (F 1, F 2, ..., F n)~ (P 1, P 2, ..., P n). Сепак, тоа не значи дека ако два системи на сили имаат ист ефект врз телото, тие ќе бидат еквивалентни. Еквивалентни системи предизвикуваат иста системска состојба. Кога систем на сили (F 1, F 2, ..., F n) е еквивалентен на една сила R, тогаш се повикува R. резултат. Резултантната сила може да го замени дејството на сите дадени сили. Но, не секој систем на сили има резултат. Во инерцијалниот координатен систем, законот за инерција е задоволен. Ова, особено, значи дека телото кое е во мирување во почетниот момент ќе остане во оваа состојба доколку на него не дејствуваат сили. Ако апсолутно круто тело остане во мирување под дејство на систем на сили (F 1, F 2, ..., F n), тогаш овој систем се нарекува избалансиран или систем на сили еквивалентни на нула: (F 1 , F 2, ... , F n)~0. Во овој случај, се вели дека телото е во рамнотежа. Во математиката, два вектори се сметаат за еднакви ако се паралелни, насочени во иста насока и еднакви по големина. Ова не е доволно за еквиваленција на две сили, а релацијата F~P сè уште не произлегува од еднаквоста F=P. Две сили се еквивалентни ако се векторски еднакви и применети на иста точка на телото.

Аксиоми на статиката и нивните последици

Тело под влијание на сила добива забрзување и не може да остане во мирување. Првата аксиома ги поставува условите под кои системот на сили ќе биде избалансиран.

Аксиома 1. Две сили што се применуваат на апсолутно круто тело ќе бидат избалансирани (еквивалентни на нула) ако и само ако се еднакви по големина, дејствуваат во една права линија и се насочени во спротивни насоки. Ова значи дека ако апсолутно круто тело е во мирување под дејство на две сили, тогаш овие сили се еднакви по големина, дејствуваат во една права линија и се насочени во спротивни насоки. Спротивно на тоа, ако на апсолутно круто тело во една права линија во спротивни насоки дејствуваат две сили еднакви по големина и телото било во мирување во почетниот момент, тогаш состојбата на мирување на телото ќе остане.

На сл. Слика 1.4 покажува избалансирани сили F 1, F 2 и P 1, P 2, кои ги задоволуваат односите: (F 1, F 2)~0, (P 1,P 2)~0. При решавање на некои проблеми на статиката, неопходно е да се земат предвид силите што се применуваат на краевите на крутите прачки, чија тежина може да се занемари, а познато е дека прачките се во рамнотежа. Од формулираната аксиома, силите што дејствуваат на таквата прачка се насочени по права линија што минува низ краевите на шипката, спротивна во насока и еднакви една со друга по големина (сл. 1.5, а). Истото важи и во случај кога оската на шипката е закривена (сл. 1.5, б).

Аксиома 2. Без воопшто да се наруши државата солидна, силите може да се применат или отфрлаат на него ако и само ако сочинуваат избалансиран систем, особено ако овој систем се состои од две сили со еднаква големина, кои дејствуваат во една права линија и насочени во спротивни насоки.Од оваа аксиома следи заклучок: без да се наруши состојбата на телото, точката на примена на силата може да се пренесе по линијата на нејзиното дејство. . Да примениме во точката B на линијата на дејство на силата F A две избалансирани сили F B и F" B, под претпоставка дека F B = F A (сл. 1.6, б). Тогаш, според аксиомата 2, ќе имаме F A ~F A , F B, F` B) Значи, бидејќи силите F A и F B исто така формираат избалансиран систем на сили (аксиома 1), тогаш според аксиомата 2 тие можат да бидат отфрлени (сл. 1.6, в). Така, F A ~F A, F B,F` B)~F B, или F A~F B , што ја докажува последицата. Оваа последица покажува дека силата што се применува на апсолутно круто тело е лизгачки вектор. И аксиомите и докажаната последица не можат да се применат на деформабилни тела, во особено, поместувањето на точката на примена на силата по линијата на нејзиното дејство ја менува деформираната состојба на телото на стрес.

Аксиома 3.Без промена на состојбата на телото, две сили кои се применуваат на една точка може да се заменат со една резултантна сила применета во истата точка и еднаква на нивниот геометриски збир (паралелограм на силите аксиома). Оваа аксиома утврдува две околности: 1) две сили F 1 и F 2 (сл. 1.7), применети на една точка, имаат резултат, односно се еквивалентни на една сила (F 1,F 2) ~ R; 2) аксиомата целосно го одредува модулот, точката на примена и насоката на резултантната сила R=F 1 +F 2 .(1.5) Со други зборови, резултантната R може да се конструира како дијагонала на паралелограм со страни кои се совпаѓаат со F 1 и F 2 . Модулот на резултантот се одредува со еднаквоста R=(F 1 2 +F 2 2 +2F l F 2 cosa) 1/2, каде што a е аголот помеѓу дадените вектори F 1 и F 2. Третата аксиома се однесува на сите тела. Втората и третата аксиома на статиката овозможуваат преминување од еден систем на сили во друг систем што е еквивалентен на него. Особено, тие овозможуваат разложување на која било сила R на две, три, итн. компоненти, т.е., преминување во друг систем на сили за кој силата R е резултат. Со одредување, на пример, две насоки кои лежат во иста рамнина со R, можете да конструирате паралелограм во кој дијагоналата ја претставува силата R. Тогаш силите насочени по страните на паралелограмот ќе формираат систем за кој силата R ќе биде резултатот (сл. 1.7). Слична конструкција може да се изведе и во вселената. За да го направите ова, доволно е да нацртате три прави линии од точката на примена на силата R кои не лежат во иста рамнина и на нив да изградите паралелепипед со дијагонала што ја претставува силата R и со рабови насочени по овие права. линии (сл. 1.8).

Аксиома 4 (3-ти закон на Њутн). Силите на интеракција помеѓу две тела се еднакви по големина и насочени по една права линија во спротивни насоки.Забележете дека силите на интеракцијата на две тела не сочинуваат систем на избалансирани сили, бидејќи тие се применуваат на различни тела. Ако телото I делува на телото II со сила P, а телото II делува на телото I со сила F (сл. 1.9), тогаш овие сили се еднакви по големина (F = P) и се насочени по една права линија спротивно насоки, односно .F= –P. Ако со F ја означиме силата со која Сонцето ја привлекува Земјата, тогаш Земјата го привлекува Сонцето со иста големина, но спротивно насочена сила - F. Кога телото се движи по рамнина, на него ќе се примени сила на триење Т. , насочен во насока спротивна на движењето. Ова е силата со која неподвижна рамнина дејствува на тело. Врз основа на четвртата аксиома, телото дејствува на рамнината со иста сила, но неговата насока ќе биде спротивна на силата Т.

На сл. 1.10 покажува тело кое се движи надесно; силата на триење Т се применува на тело што се движи, а силата T "= –T се применува на рамнината. Да разгледаме уште неподвижен систем, прикажан на сл. 1.11, а. Се состои од мотор А инсталиран на темелот B, кој пак се наоѓа на основата C. Моторот и темелот се под влијание на гравитационите сили F 1 и F 2, соодветно. Дејствуваат и следните сили: F 3 - силата на дејството на телото A на телото B ( тоа е еднакво на тежината на телото A); F'з - силата на обратното дејство на телото B на телото A; F 4 е силата на дејството на телата A и B врз основата C (тоа е еднаква на вкупниот тежина на телата A и B); F` 4 е силата на обратното дејство на основата C на телото B. Овие сили се прикажани на сл. 1.11, b, c, d. Според аксиомата 4, F 3 =–F ` 3, F 4 =–F` 4, а овие сили на интеракција се одредуваат со дадените сили F 1 и F 2. За да се пронајдат силите на интеракцијата, потребно е да се продолжи од аксиомата 1. Поради остатокот од телото А ( Сл. 1.11.6) треба да биде F з = –F 1, што значи F 3 =F 1. На ист начин, од состојбата на рамнотежа на телото B (сл. 1.11, в) следи F` 4 =–( F 2 +F 3) , т.е. F` 4 =–(F 1 +F 2) и F 4 =F 1 +F 2.

Аксиома 5. Рамнотежата на деформирачкото тело нема да биде нарушена ако неговите точки се цврсто поврзани и телото се смета за апсолутно цврсто.Оваа аксиома се користи во случаи кога зборуваме за рамнотежа на тела кои не можат да се сметаат за цврсти. Надворешните сили што се применуваат на таквите тела мора да ги задоволуваат условите за рамнотежа на круто тело, но за нецврсти тела овие услови се само неопходни, но не и доволни. На пример, за рамнотежа на апсолутно цврста бестежинска прачка, неопходно е и доволно силите F и F" што се применуваат на краевите на шипката да дејствуваат по права линија што ги поврзува нејзините краеви, да бидат еднакви по големина и насочени во различни насоки. Истите услови се неопходни за рамнотежа на парче бестежинска нишка, но за конец не се доволни, потребно е дополнително да се бара силите што делуваат на конецот да бидат затегнувачи (сл. 1.12, б), додека за прачка тие можат да бидат и компресивни (сл. 1.12, а).

Да го разгледаме случајот на еквивалентност на нула од три непаралелни сили што се применуваат на круто тело (сл. 1.13, а). Теорема на три непаралелни сили. Ако, под влијание на три сили, телото е во рамнотежа и линиите на дејство на двете сили се сечат, тогаш сите сили лежат во иста рамнина, а нивните акциони линии се сечат во една точка.Нека на телото дејствува систем од три сили F 1, F 3 и F 3, а линиите на дејство на силите F 1 и F 2 се сечат во точката A (сл. 1.13, а). Според заклучокот на аксиомата 2, силите F 1 и F 2 можат да се пренесат во точката А (сл. 1.13, б), а според аксиомата 3 тие можат да се заменат со една сила R, и (сл. 1.13, в) R = F 1 + F 2 . Така, системот на сили што се разгледува е намален на две сили R и F 3 (сл. 1.13, в). Според условите на теоремата, телото е во рамнотежа, затоа, според аксиомата 1, силите R и F 3 мора да имаат заедничка линија на дејство, но тогаш линиите на дејство на сите три сили мора да се сечат во една точка .

Активни сили и реакции на врските

Телото се нарекува бесплатно, ако неговите движења не се ограничени со ништо. Телото чии движења се ограничени од други тела се нарекува неслободни, а телата кои го ограничуваат движењето на дадено тело се врски. На допирните точки се јавуваат сили на интеракција помеѓу даденото тело и врските. Силите со кои делуваат врските на дадено тело се нарекуваат реакции на врски.

Принципот на ослободување : секое неслободно тело може да се смета за слободно ако дејството на врските се замени со нивните реакции применети на даденото тело.Во статиката, реакциите на врските можат целосно да се одредат со користење на услови или равенки на рамнотежа на телото, кои ќе се утврдат подоцна, но нивните насоки во многу случаи може да се утврдат со разгледување на својствата на врските. Како едноставен пример на сл. 1.14, при што е претставено тело, чија точка М е поврзана со фиксната точка О со помош на прачка, чија тежина може да се занемари; краевите на шипката имаат шарки што овозможуваат слобода на ротација. ВО во овој случајза телото врската е шипката ОМ; ограничувањето на слободата на движење на точката М се изразува во тоа што таа е принудена да биде на постојано растојание од точката O. Силата на дејство на таквата прачка треба да биде насочена по правата линија ОМ, а според аксиомата 4, противсилата на шипката (реакција) R треба да биде насочена по истата права линија. Така, насоката на реакцијата на шипката се совпаѓа со правата линија ОМ (сл. 1.14, б). Слично на тоа, силата на реакција на флексибилна, нерастеглива нишка мора да биде насочена долж конецот. На сл. На слика 1.15 е прикажано тело кое виси на две нишки и реакциите на конците R 1 и R 2. Силите кои дејствуваат на ограничено тело се поделени во две категории. Едната категорија ја формираат сили кои не зависат од врските, а другата се формираат од реакции на врски. Во овој случај, реакциите на врските се пасивни по природа - тие се јавуваат затоа што силите од прва категорија дејствуваат на телото. Силите кои не зависат од врските се нарекуваат активни, а реакциите на врските се нарекуваат пасивни сили. На сл. 1.16, а на горните две активни сили F 1 и F 2 со еднаква големина се прикажани, растегнувајќи ја прачката AB, на дното се прикажани реакциите R 1 и R 2 на истегнатата прачка. На сл. 1.16, b горниот дел ги прикажува активните сили F 1 и F 2 кои ја компресираат шипката, долниот дел ги прикажува реакциите R 1 и R 2 на компресираната прачка.

Својства на врската

1. Ако цврсто тело се потпира на идеално мазна (без триење) површина, тогаш точката на допир на телото со површината може слободно да се лизга по површината, но не може да се движи во правец долж нормалата на површината. Реакцијата на идеално мазна површина е насочена долж заедничката нормала на допирните површини (сл. 1.17, а). насочени долж нормалата на површината на самото тело Ако цврстото тело Врвот се потпира на агол (сл. 1.17, в), тогаш врската го спречува врвот да се движи и хоризонтално и вертикално. Според тоа, реакцијата R на аголот може да се претстави со две компоненти - хоризонтална R x и вертикална R y, чии големини и насоки на крајот се одредуваат со дадените сили.

2. Сферична шарка е уредот прикажан на сл. 1.18, а, што ја прави точката О на телото што се разгледува неподвижна. Ако сферичната контактна површина е идеално мазна, тогаш реакцијата на сферичната шарка е во насока на нормалата на оваа површина. Реакцијата минува низ центарот на шарката О; насоката на реакцијата може да биде која било и се одредува во секој конкретен случај.

Исто така, невозможно е однапред да се одреди насоката на реакција на лежиштето на потисок прикажано на сл. 1.18, б. 3. Цилиндрична потпора со фиксирана шарка (сл. 1.19, а). Реакцијата на таквата поддршка поминува низ нејзината оска, а насоката на реакцијата може да биде која било (во рамнина нормална на оската на потпорот). 4. Цилиндрично зглобна подвижна потпора (сл. 1.19, б) го спречува движењето на фиксирана точка на телото нормално на авиони I-I; соодветно, реакцијата на таквата потпора има и насока на оваа нормална.

Во механичките системи формирани со артикулација на неколку цврсти тела, постојат внатрешни врски со надворешни врски (потпори). Во овие случаи, понекогаш системот е ментално сециран и отфрлените не само надворешни, туку и внатрешни врски се заменуваат со соодветни реакции. Силите на интеракција помеѓу поединечни точки на дадено тело се нарекуваат внатрешни, а силите што дејствуваат на дадено тело и предизвикани од други тела се нарекуваат надворешни.

Главните задачи на статиката

1. Проблемот на намалување на систем на сили: како може даден систем на сили да се замени со друг, наједноставен, еквивалентен?

2. Проблем со рамнотежа: кои услови мора да ги задоволи системот на сили применети на дадено тело (или материјална точка) за да биде избалансиран систем?

Вториот проблем често се поставува во случаи кога се знае дека се јавува рамнотежа, на пример, кога однапред се знае дека телото е во рамнотежа, што е обезбедено со врските наметнати на телото. Во овој случај, условите за рамнотежа воспоставуваат врска помеѓу сите сили што се применуваат на телото. Користејќи ги овие услови, можно е да се одредат реакциите за поддршка. Мора да се има на ум дека определувањето на реакциите на врската (надворешни и внатрешни) е неопходно за последователно пресметување на јачината на структурата.

Во поопшт случај, кога се разгледува систем на тела кои имаат способност да се движат релативно едни на други, еден од главните проблеми на статиката е проблемот со определувањето на можните позиции на рамнотежа.

Донесување на систем на конвергирани сили до резултатот

Силите се нарекуваат конвергентни ако линиите на дејство на сите сили што го сочинуваат системот се сечат во една точка. Да ја докажеме теоремата: Системот на конвергирани сили е еквивалентен на една сила (резултант), која е еднаква на збирот на сите овие сили и минува низ точката на пресек на нивните линии на дејствување. Нека е даден систем на конвергирани сили F 1, F 2, F 3, ..., F n, применет на апсолутно круто тело (сл. 2.1, а). Да ги преместиме точките на примена на силите по линиите на нивното дејство до точката на пресек на овие линии (21, б). Добивме систем на сили, применет на една точка. Тоа е еквивалентно на даденото. Да ги собереме F 1 и F 2 и да го добиеме нивниот резултат: R 2 =F 1 +F 2. Да го додадеме R 2 со F 3: R 3 =R 2 +F 3 =F 1 +F 2 +F 3. Да додадеме F 1 +F 2 +F 3 +…+F n =R n =R=åF i . итн. Наместо паралелограми, можете да конструирате многуаголник на сила. Нека системот се состои од 4 сили (сл. 2.2.). Од крајот на векторот F 1 го тргаме настрана векторот F 2 . Векторот што ги поврзува почетокот на O и крајот на векторот F 2 ќе биде векторот R 2 . Следно, ќе го одложиме векторот F 3, ставајќи го неговиот почеток на крајот на векторот F 2. Потоа добиваме вектор R 8 кој оди од точката O до крајот на векторот F 3. Да го додадеме векторот F 4 на ист начин; во овој случај откриваме дека векторот што оди од почетокот на првиот вектор F 1 до крајот на векторот F 4 е резултантниот R. Таквиот просторен многуаголник се нарекува многуаголник на сила. Ако крајот на последната сила не се совпаѓа со почетокот на првата сила, тогаш полигонот на силата се нарекува отворени. Ако се користи геометар за да се најде резултатот, тогаш овој метод се нарекува геометриски.

Тие почесто го користат аналитичкиот метод за одредување на резултатот. Проекцијата на збирот на вектори на одредена оска е еднаква на збирот на проекциите на збирните вектори на истата оска, добиваме R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx ; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny ; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz ; каде што F kx, F ky, F kz се проекциите на силата F k на оските, а R x, R y, R z се проекциите на резултатот на истите оски. Проекции на резултантниот систем на конвергирани сили на координатни оскисе еднакви на алгебарските збирови на проекциите на овие сили на соодветните оски. Модулот на резултантниот R е еднаков на: R=(R x 2 +R y 2 +R z 2) 1/2. Косинусите на насоката се еднакви: cos(x,R)=R x /R, cos(y,R)=R y /R, cos(z,R)=R z /R. Ако силите се распоредени во иста насока, тогаш сè е исто, нема оска Z.

Услови на рамнотежа за систем на конвергирани сили

(F 1 , F 2 , ... ,F n)~R => за рамнотежа на тело под влијание на систем на конвергирани сили, потребно е и доволно нивната резултантност да биде еднаква на нула: R = 0 Следствено, во полигонот на силите на избалансиран систем на конвергирани сили, крајот на последната сила мора да се совпадне со почетокот на првата сила; во овој случај велат дека силниот многуаголник е затворен (сл. 2.3). Оваа состојба се користи кога графичко решениепроблеми за системите на рамнински сили. Векторската еднаквост R=0 е еквивалентна на три скаларни еднаквости: R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0; каде што F kx, F ky, F kz се проекциите на силата F k на оските, а R x, R y, R z се проекциите на резултатот на истите оски. Односно, за рамнотежа на конвергирачки систем на сили, потребно е и доволно алгебарските збирови на проекциите на сите сили на даден систем на секоја од координатните оски да бидат еднакви на нула. За рамномерен систем на сили, состојбата поврзана со оската Z исчезнува. Условите за рамнотежа ви дозволуваат да проверите дали овој системсилата

Собирање на две паралелни сили

1) Нека се применат паралелни и идентично насочени сили F 1 и F 2 на точките A и B на телото и треба да ја пронајдете нивната резултантна (сл. 3.1). Да примениме еднакви по големина и спротивно насочени сили Q 1 и Q 2 на точките A и B (нивниот модул може да биде кој било); вакво собирање може да се направи врз основа на аксиомата 2. Тогаш во точките A и B добиваме две сили R 1 и R 2: R 1 ~(F 1, Q 1) и R 2 ~(F 2, Q 2). Линиите на дејство на овие сили се сечат во одредена точка О. Да ги пренесеме силите R 1 и R 2 во точката O и да ја разложиме секоја на компоненти: R 1 ~(F 1 ', Q 2 ') и R 2 ~( F 2 ', Q 2 ' ). Од конструкцијата е јасно дека Q 1 ’=Q 1 и Q 2 ’=Q 2 , затоа, Q 1 ’= –Q 2 ’ и овие две сили, според аксиомата 2, може да се отфрлат. Покрај тоа, F 1 ’=F 1 , F 2 ’=F 2 . Силите F 1 ’ и F 2 ’ дејствуваат по една права линија, и тие можат да се заменат со една сила R = F 1 + F 2, што ќе биде саканиот резултат. Модулот на резултатот е еднаков на R = F 1 + F 2. Линијата на дејство на резултантот е паралелна со линиите на дејство F 1 и F 2. Од сличноста на триаголниците Oac 1 и OAC, како и Obc 2 и OBC, го добиваме односот: F 1 /F 2 =BC/AC. Овој однос ја одредува точката на примена на резултантната R. Систем од две паралелни сили насочени во една насока има резултантна паралела на овие сили и неговиот модул еднаков на збиротмодули на овие сили.

2) На телото нека дејствуваат две паралелни сили, насочени во различни насоки, а не еднакви по големина. Дадени: F 1, F 2; F 1 > F 2 .

Користејќи ги формулите R = F 1 + F 2 и F 1 /F 2 =BC/AC, можеме да ја разложиме силата F 1 на две компоненти, F" 2 и R, насочени кон силата F 1. Да го направиме тоа така што Се покажа дека силата F" 2 е применета на точката B, и ставивме F" 2 = –F 2. Така, (F l , F 2)~(R, F" 2, F 2). Овластувања F 2 , F 2 'може да се отфрли како еквивалентно на нула (аксиома 2), затоа, (F 1 , F 2)~R, т.е. силата R е резултантна. Да ја дефинираме силата R која го задоволува ова проширување на силата F 1 . Формули R = F 1 + F 2и F 1 /F 2 =BC/AC даваат R+F 2 '=F 1, R/F 2 =AB/AC (*). ова имплицира R = F 1 –F 2 '= F 1 + F 2, а бидејќи силите F t и F 2 се насочени во различни насоки, тогаш R=F 1 –F 2. Заменувајќи го овој израз во втората формула (*), добиваме по едноставни трансформации F 1 /F 2 =BC/AC. односот ја одредува точката на примена на резултантната R. Две нееднакви по големина спротивно насочени паралелни сили имаат резултантна паралела на овие сили, а нејзиниот модул е ​​еднаков на разликата во модулите на овие сили.

3) На телото нека дејствуваат две паралелни сили, еднакви по големина, но спротивни во насока. Овој систем се нарекува неколку сили и се означува со симболот (F 1, F 2). Да претпоставиме дека модулот F 2 постепено се зголемува, приближувајќи се до вредноста на модулот F 1 . Тогаш разликата во модулите ќе се стреми кон нула, а системот на сили (F 1, F 2) ќе се стреми кон пар. Во овој случај |R|Þ0, а линијата на нејзиното дејствување се оддалечува од линиите на дејствување на овие сили. Пар сили е неурамнотежен систем кој не може да се замени со една сила. Пар сили нема резултат.

Момент на сила во однос на точка и оска Момент на пар сили

Моментот на сила во однос на точка (центар) е вектор кој е нумерички еднаков на производот на модулот на силата на раката, т.е. со најкраткото растојание од наведената точка до линијата на дејство на силата. . Тој е насочен нормално на рамнината што минува низ избраната точка и линија на дејство на силата. Ако вртежниот момент е во насока на стрелките на часовникот, тогаш вртежниот момент е негативен, а ако е спротивно од стрелките на часовникот, тогаш тој е позитивен. Ако O е точката, релацијата е моментот на сила F, тогаш моментот на сила се означува со симболот M o (F). Ако точката на примена на силата F е одредена со векторот на радиусот r во однос на O, тогаш релацијата M o (F) = r x F е валидна (3.6) Тоа е моментот на сила е еднаков на векторскиот производ на векторот r со векторот F. Модулот на векторскиот производ е еднаков на М о (F)=rF sin a=Fh, (3.7) каде што h е кракот на силата. Векторот Mo (F) е насочен нормално на рамнината што минува низ векторите r и F, и спротивно од стрелките на часовникот. Така, формулата (3.6) целосно го одредува модулот и насоката на моментот на сила F. Формулата (3.7) може да се запише во форма M O (F) = 2S, (3.8) каде што S е плоштината на триаголникот OAB . Нека x, y, z се координатите на точката на примена на силата, а F x, F y, F z се проекциите на силата на координатните оски. Ако е така.За нас. на почетокот, потоа моментот на сила:

Тоа значи дека проекциите на моментот на сила на координатните оски се одредуваат со f-mi: M ox (F)=yF z –zF y, M oy (F)=zF x –xF z, M oz (F) =xF y –yF x (3.10 ).

Да го претставиме концептот на проекција на сила на рамнина. Нека се дадени сила F и одредена сила. Дозволете ни да ги спуштиме перпендикуларите од почетокот и крајот на векторот на силата на оваа рамнина (сл. 3.5). Проекцијата на сила на рамнина е вектор чиј почеток и крај се совпаѓаат со проекцијата на почетокот и проекцијата на крајот на силата на оваа рамнина. Проекцијата на силата F на областа xOy ќе биде F xy. Момент на сила F xy rel. t O (ако z=0, F z =0) ќе биде M o (F xy)=(xF y –yF x)k. Овој момент е насочен по оската z, а неговата проекција на оската z точно се совпаѓа со проекцијата на истата оска на моментот на сила F во однос на точката O.T.e, M Oz (F) = М Оz (F xy) = xF y –yF x. (3.11). Истиот резултат може да се добие ако ја проектираме силата F на која било друга рамнина паралелна на xOy рамнината. Во овој случај, точката на пресек на оската со рамнината ќе биде различна (означена O 1). Меѓутоа, сите величини x, y, F x, F y вклучени во десната страна на еднаквоста (3.11) ќе останат непроменети: M Oz (F) = M Olz (F xy). Проекцијата на моментот на сила во однос на точката на оската што минува низ оваа точка не зависи од изборот на точка на оската. Наместо M Oz (F) пишуваме M z (F). Оваа проекција на моментот се нарекува момент на сила околу z-оската. Пред пресметките, силата F се проектира на квадратот и нормалната оска. M z (F)=M z (F xy)=±F xy h (3.12). h- рамо. Ако е во насока на стрелките на часовникот, тогаш +, спротивно од стрелките на часовникот, потоа –. Да се ​​пресмета м.м. сили што ви се потребни: 1) изберете произволна точка на оската и конструирајте рамнина нормална на оската; 2) проектира сила на оваа рамнина; 3) да се определи проекциониот крак на силата h. Моментот на сила во однос на оската е еднаков на производот на модулот на проекцијата на силата на нејзиното рамо, земен со соодветен знак. Од (3.12) следува дека моментот на сила во однос на оската е еднаков на нула: 1) кога проекцијата на силата на рамнина нормална на оската е еднаква на нула, т.е. кога силата и оската се паралелни; 2) кога проекциската рака h е еднаква на нула, односно кога линијата на дејство на силата ја пресекува оската. Или: моментот на сила околу оската е нула ако и само ако линијата на дејство на силата и оската се во иста рамнина.

Дозволете ни да го воведеме концептот на неколку моменти. Дозволете ни да го најдеме збирот на моментите на силите што го сочинуваат парот во однос на произволна точка. Нека O е произволна точка во просторот (сл. 3.8), а F и F" се силите што го сочинуваат парот. Тогаш M o (F) = OAxF, M o (F") = OBxF", од кои М o (F) + M o (F")=OAxF+OBxF", но бидејќи F"=–F, тогаш M 0 (F)+M 0 (F")=OAxF–OBxF=(OA–OB)xF. Земајќи ја предвид еднаквоста OA –OB = BA, конечно наоѓаме: M 0 (F) + M 0 (F") = BAxF. Односно, збирот на моментите на силите што го сочинуваат парот не зависи од положбата на точката во однос на која се земаат моментите. Векторскиот производ BAxF се нарекува момент на парот. Моментот на пар се означува со симболот M(F,F"), со M(F,F")=BAxF=ABxF", или M=BAxF=ABxF". (3.13). Моментот на пар е вектор нормален на рамнината на парот, еднаков по големина на производот на модулот на една од силите на парот со раката на парот (т.е. најкраткото растојание помеѓу линиите на дејство на силите што го сочинуваат парот) и насочени во насока од која е видлива „ротацијата“ на парот што се случува спротивно од стрелките на часовникот. Ако h е рамо на парот, тогаш M(F,F") = hF За да се избалансира парот на сили потребно е моментот на парот = 0, или рамото = 0.

Теореми за парови

Теорема 1.Два пара кои лежат во иста рамнина може да се заменат со еден пар што лежи во иста рамнина, со момент еднаков на збирот на моментите на овие два пара . За доказ, разгледајте два пара (F 1, F` 1) и (F 2, F` 2) (сл. 3.9) и поместете ги точките на примена на сите сили по линиите на нивното дејство до точките A и B, соодветно. . Со собирање на силите според аксиомата 3, добиваме R=F 1 +F 2 и R"=F` 1 +F` 2, но F" 1 =–F 1 и F` 2 =–F 2. Следствено, R=–R“, т.е. силите R и R“ формираат пар. Моментот на овој пар: M=M(R, R")=BAxR=BAx(F 1 +F 2)=BAxF 1 +BAxF 2. (3.14).Кога силите што го сочинуваат парот се пренесуваат по линиите на нивното дејство, ниту рамото, ниту насоката на вртење на парот не се менува, па затоа не се менува ниту моментот на парот.Тоа значи дека VAxF 1 =M(F 1, F" 1) = M 1, VAxF 2 =M(F 2, f` 2) = M 2, а формулата (3.14) ќе има форма M=M 1 +M 2, (3.15) итн. Ајде да дадеме два коментари. 1. Линиите на дејствување на силите што ги сочинуваат паровите може да испаднат паралелни. Теоремата останува валидна и во овој случај. 2. По собирањето, може да испадне дека M(R,R")=0; врз основа на забелешка 1, следува дека множеството од два пара (F 1, F` 1, F 2, F` 2)~0 .

Теорема 2.Два пара со еднакви моменти се еквивалентни. Нека пар (F 1 ,F` 1) дејствува на тело во рамнина I со момент M 1 . Да покажеме дека овој пар може да се замени со друг пар (F 2, F` 2), кој се наоѓа во рамнината II, ако само неговиот момент M 2 е еднаков на M 1. Забележете дека рамнините I и II мора да бидат паралелни; особено, тие можат да се совпаѓаат. Навистина, од паралелизмот на моментите M 1 и M 2 произлегува дека рамнините на дејство на паровите, нормално на моментите, се исто така паралелни. Да воведеме нов пар (F 3 , F` 3) и да го примениме заедно со парот (F 2, F` 2) на телото, ставајќи ги двата пара во рамнината II. За да го направите ова, според аксиомата 2, треба да изберете пар (F 3, F` 3) со момент M 3 така што применетиот систем на сили (F 2, F` 2, F 3, F` 3) е избалансиран. Да ги ставиме F 3 =–F` 1 и F` 3 =–F 1 и да ги комбинираме точките на примена на овие сили со проекциите A 1 и B 1 од точките A и B на рамнината II (види Сл. 3.10). Во согласност со конструкцијата, ќе имаме: M 3 ​​=–M 1 или, имајќи предвид дека M 1 = M 2, M 2 + M 3 = 0,добиваме (F 2 , F` 2 , F 3 , F` 3)~0. Така, паровите (F 2 , F` 2) и (F 3 , F` 3) се меѓусебно избалансирани и нивната приврзаност кон телото не ја нарушува неговата состојба (аксиома 2), така што (F 1, F` 1)~ (F 1, F` 1, F 2, F` 2, F 3, F` 3). (3.16). Од друга страна, силите F 1 и F 3, како и F` 1 и F` 3 можат да се додадат според правилото за собирање паралелни сили насочени во една насока. Тие се еднакви по модул, затоа нивните резултати R и R "мора да се применат на точката на пресек на дијагоналите на правоаголникот ABB 1 A 1, освен тоа, тие се еднакви по модул и насочени во спротивни насоки. Тоа значи дека тие сочинуваат систем еквивалентен на нула Значи, (F 1 , F` 1 , F 3 , F` 3)~(R, R")~0. Сега можеме да напишеме (F 1 , F` 1 , F 2 , F` 2 , F 3 ,F` 3)~(F 2 , F` 2).(3.17). Споредувајќи ги релациите (3.16) и (3.17), добиваме (F 1 , F` 1)~(F 2, F` 2) итн. Од оваа теорема произлегува дека пар сили може да се поместат и ротираат во рамнината на неговото дејство, пренесени во паралелна рамнина; во пар, можете истовремено да ги менувате силите и потпората, одржувајќи ја само насоката на ротација на парот и модулот на неговиот момент (F 1 h 1 =F 2 h 2).

Теорема 3. Два пара кои лежат во рамнини кои се пресекуваат се еквивалентни на еден пар чиј момент е еднаков на збирот на моментите на двата дадени пара.Нека паровите (F 1 , F` 1) и (F 2 , F` 2) се лоцирани во рамнините I и II кои се вкрстуваат, соодветно. Користејќи го резултатот од теоремата 2, ги доведуваме двата пара во наоружување AB (сл. 3.11), лоцирани на линијата на пресек на рамнините I и II. Да ги означиме трансформираните парови со (Q 1 , Q` 1) и (Q 2 , Q` 2). Во овој случај, следните еднаквости мора да бидат задоволени: M 1 =M(Q 1, Q` 1)=M(F 1, F` 1) и M 2 =M(Q 2, Q` 2)=M(F 2, F` 2). Да ги додадеме, според аксиомата 3, силите што се применуваат во точките A и B, соодветно. Тогаш добиваме R=Q 1 +Q 2 и R"=Q` 1 +Q` 2. Имајќи предвид дека Q` 1 =–Q 1 и Q` 2 = –Q 2, добиваме: R=–R". Така, докажавме дека систем од два пара е еквивалентен на еден пар (R, R"). Да го најдеме моментот M на овој пар. M(R, R")=BAxR, но R=Q 1 +Q 2 и M(R, R")=BAx(Q 1 +Q 2)=BAxQ 1 +BAxQ 2 =M(Q 1, Q` 1) + M(Q 2, Q` 2) = M(F 1, F" 1)+ M(F 2 , F` 2), или M=M 1 +M 2, т.е. теоремата е докажана.

Заклучок: моментот на двојката е слободен вектор и целосно го одредува дејството на парот на апсолутно круто тело. За деформабилни тела, теоријата на парови не е применлива.

Сведување на систем од парови до неговата наједноставна форма Рамнотежа на систем од парови

Нека е даден систем од n парови (F 1 ,F 1 `),(F 2 ,F` 2) ..., (F n ,F` n), произволно лоциран во просторот, чии моменти се еднакви на М 1, М 2. ..., М н. Првите два пара може да се заменат со еден пар (R 1,R` 1) со моментот M* 2:M* 2 =M 1 +M 2. Добиениот пар (R 1, R` 1) го додаваме со парот (F 3, F` 3), потоа добиваме нов пар (R 2, R` 2) со момент M* 3: M* 3 = M * 2 + М 3 = М 1 + М 2 + М 3. Продолжувајќи со секвенцијалното собирање на моментите на парови, го добиваме последниот добиен пар (R, R") со моментот M=M 1 +M 2 +...+M n =åM k.(3.18). паровите се сведуваат на еден пар, чиј момент е еднаков на збирот на моментите на сите парови.Сега е лесно да се реши вториот проблем на статиката, т.е., да се најдат условите за рамнотежа на телото на кое има систем од парови За да може системот од парови да биде еквивалентен на нула, т.е. намален на две избалансирани сили, потребно е и доволно е моментот на добиениот пар да биде еднаков на нула. Тогаш од формулата (3.18) добиваме следната рамнотежна состојба во векторска форма: M 1 + M 2 + M 3 + ... + M n = 0. (3.19).

Во проекциите на координатните оски, равенката (3.19) дава три скаларни равенки. Условот за рамнотежа (3.19) е поедноставен кога сите парови лежат во иста рамнина. Во овој случај, сите моменти се нормални на оваа рамнина, и затоа е доволно да се проектира равенката (3.19) само на една оска, на пример, оската нормална на рамнината на паровите. Нека ова е оската z (сл. 3.12). Потоа од равенката (3.19) се добива: М 1Z + М 2Z +...+ М nZ =0. Јасно е дека M Z = M ако ротацијата на парот е видлива од позитивната насока на оската z спротивно од стрелките на часовникот, а M Z = –M во спротивна насока на ротација. И двата случаи се прикажани на сл. 3.12.

Лема за паралелен пренос на сила

Ајде да ја докажеме лемата:Силата применета во која било точка на круто тело е еквивалентна на истата сила применета на која било друга точка на ова тело, и пар сили чиј момент е еднаков на моментот на дадената сила во однос на новата точка на примена.Нека се примени сила F во точката А на круто тело (сл. 4.1). Сега да примениме во точката B на телото систем од две сили F" и F²-, еквивалентни на нула, и да избереме F"=F (оттука F"=–F). Потоа силата F~(F, F" , F"), бидејќи (F, F")~0. Но, од друга страна, системот на сили (F, F, F") е еквивалентен на силата F" и парот сили (F , F"); затоа, силата F е еквивалентна на силата F" и парот сили (F, F"). Моментот на парот (F, F") е еднаков на M=M(F,F" )=BAxF, т.е. еднаков на моментот на сила F во однос на точката B M=M B (F) Така, се докажува лемата за паралелно пренесување на силата.

Основна теорема на статиката

Нека е даден произволен систем на сили (F 1, F 2,..., F n). Збирот на овие сили F=åF k се нарекува главен вектор на системот на сили. Збирот на моментите на силите во однос на кој било пол се нарекува главен момент на системот на сили што се разгледува во однос на овој пол.

Основна теорема на статиката (теорема на Поинсот ):Во општиот случај, секој просторен систем на сили може да се замени со еквивалентен систем кој се состои од една сила применета во одредена точка на телото (центар на редукција) и еднаква на главниот вектор на овој систем на сили и еден пар сили , чиј момент е еднаков на главниот момент на сите сили во однос на избраниот центар за аддукција.Нека O е центарот на редукција, земен како почеток на координатите, r 1 , r 2 , r 3 , ..., r n - соодветните вектори на радиусот на точките на примена на силите F 1 , F 2 , F 3 , ..., F n, кои ги сочинуваат силите на овој систем (сл. 4.2, а). Да ги преместиме силите F 1, F a, F 3, ..., F n во точката O. Да ги собереме овие сили како конвергирање; добиваме една сила: F o =F 1 +F 2 +…+F n =åF k, која е еднаква на главниот вектор (сл. 4.2, б). Но, со последователно пренесување на силите F 1, F 2,..., F n во точката O, секој пат кога го добиваме соодветниот пар сили (F 1, F” 1), (F 2, F” 2), ...,( F n, F" n). Моментите на овие парови се соодветно еднакви на моментите на овие сили во однос на точката O: M 1 = M (F 1, F" 1) = r 1 x F 1 = M o (F 1), M 2 = M (F 2 , F” 2) = r 2 x F 2 = M o (F 2), ..., M n = M(F n, F" n) =r n x F n =M o (F n). Врз основа на правилото за намалување на системот на парови до наједноставна форма, сите овие парови може да се заменат со еден пар. Неговиот момент е еднаков на збирот на моментите на сите сили на системот во однос на точката О, односно е еднаков на главниот момент, бидејќи според формулите (3.18) и (4.1) имаме (сл. 4.2, в) M 0 = M 1 + M 2 +.. .+M n =M o (F 1)+M o (F 2)+…+ M o (F n)==åM o (F k)=år k x F к . Систем на сили, произволно лоциран во просторот, може да се замени во произволно избраниот центар за редукција со силата F o =åF k (4.2) и пар сили со момент M 0 =åM 0 (F k)=år k x F k. (4.3). Во технологијата, често е полесно да се определи не сила или пар, туку нивните моменти. На пример, карактеристиките на електричниот мотор не ја вклучуваат силата со која статорот дејствува на роторот, туку вртежниот момент.

Услови за рамнотежа на просторен систем на сили

Теорема.За рамнотежа на просторен систем на сили, потребно е и доволно главниот вектор и главниот момент на овој систем да бидат еднакви на нула. Адекватност: при F o =0 системот на конвергирачки сили што се применуваат во центарот на редукција O е еквивалентен на нула, а при M o =0 системот на парови на сили е еквивалентен на нула. Следствено, оригиналниот систем на сили е еквивалентен на нула. Потреба:Нека овој систем на сили е еквивалентен на нула. Откако го намаливме системот на две сили, забележуваме дека системот на сили Q и P (сл. 4.4) мора да биде еквивалентен на нула, затоа, овие две сили мора да имаат заедничка линија на дејствување и еднаквоста Q = -P мора да биде задоволни. Но, ова може да биде ако линијата на дејство на силата P поминува низ точката О, односно ако h = 0. Тоа значи дека главниот момент е нула (M o =0). Бидејќи Q + P = 0, a Q = F o + P ", потоа F o + P " + P = 0, и затоа, F o = 0. Потребните и доволни услови се еднакви на просторниот систем на сили во форма: F o = 0, M o =0 (4,15),

или, во проекции на координатни оски, Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16). M Ox =åM Ox (F k)=M Ox (F 1)+M ox (F 2)+...+M Ox (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, M oz =åM Oz (F k)=M Oz (F 1)+M oz (F 2)+...+ M oz (F n)=0. (4.17)

Тоа. Кога решавате проблеми со 6 нивоа, можете да најдете 6 непознати. Забелешка: пар сили не може да се сведе на резултат.Посебни случаи: 1) Рамнотежа на просторен систем на паралелни сили. Нека оската Z е паралелна со линиите на дејство на силата (слика 4.6), тогаш проекциите на силите на x и y се еднакви на 0 (F kx = 0 и F ky = 0), а останува само F oz . Што се однесува до моментите, останаа само М окс и М ој, а недостасува М оз. 2) Рамнотежа на рамнински систем на сили. Останатите нивоа се F ox , F oy и моментот M oz (Слика 4.7). 3) Рамнотежа на рамнински систем на паралелни сили. (Сл. 4.8). Остануваат само 2 нивоа: F oy и M oz. При составувањето на нивоата на рамнотежа, која било точка може да се избере како центар на духот.

Намалување на рамен систем на сили до наједноставниот облик

Да разгледаме систем на сили (F 1, F 2,..., F n) сместен во иста рамнина. Да го комбинираме координатниот систем Oxy со рамнината на локацијата на силите и, избирајќи го неговото потекло како центар на редукција, го намалуваме системот на сили што се разгледува на една сила F 0 =åF k , (5.1) еднаква на главниот вектор , и на пар сили, чиј момент е еднаков на главниот момент M 0 =åM 0 (F k), (5.2) каде M o (F k) е моментот на сила F k во однос на центарот на намалување O. Бидејќи силите се наоѓаат во една рамнина, силата F o исто така лежи во оваа рамнина. Моментот на парот M o е насочен нормално на оваа рамнина, бидејќи самиот пар се наоѓа во дејството на силите што се разгледуваат. Така, за рамнински систем на сили, главниот вектор и главниот момент се секогаш нормални еден на друг (сл. 5.1). Моментот целосно се карактеризира со алгебарската големина M z, еднаква на производот на раката на парот со вредноста на една од силите што го сочинуваат парот, земена со знак плус ако „ротација-“ на парот се јавува спротивно од стрелките на часовникот, а со знак минус ако се јавува стрелки во насока на стрелките на часовникот. Нека, на пример, се дадени два пара, (F 1, F` 1) и (F 2, F` 2) (сл. 5.2); тогаш, според оваа дефиниција, имаме M z (F 1,F` 1)=h 1 F 1, M Z (F 2,F" 2)=-h 2 F 2. Моментот на сила во однос на точка ќе да биде алгебарска големина еднаква на проекцијата на моменталната векторска сила во однос на оваа точка на оската нормална на рамнината, т.е. еднаква на производот на модулот на сила на рамото, земен со соодветен знак. За случаите прикажани во Сл. зачувани за да се означи алгебарската природа на моментите.Модули на моментот на парот и моментот на сила се означени на следниот начин: M(F ,F")=| М z (F,F`)|, М о (F)=|М Оz (F)|. Добиваме M oz =åM oz (F z). За аналитичко определување на главниот вектор, се користат следните формули: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx, F oy =åF ky =F 1y,+F 2y +…+F ny, F o =(F 2 ox +F 2 oy) 1/2 =([åF kx] 2 +[åF ky] 2) 1/2 (5,8); cos(x, F o)=F ox /F o, cos(y, F o)=F Oy /F o .(5.9). А главниот момент е еднаков на М Оz =åM Oz (F k)=å(x k F ky –y k F kx), (5.10) каде x k, y k се координатите на точката на примена на силата F k.

Да докажеме дека ако главниот вектор на рамниот систем на сили не е еднаков на нула, тогаш овој систем на сили е еквивалентен на една сила, т.е. се сведува на резултат. Нека Fo≠0, MOz ≠0 (сл. 5.4, а). Лачна стрелка на сл. 5.4, ​​но симболично прикажува пар со момент MOz. Да претставиме пар сили, чиј момент е еднаков на главниот момент, во форма на две сили F1 и F`1, еднакви по големина на главниот вектор Fo, т.е. F1=F`1 =Fo. Во овој случај, ќе примениме една од силите (F`1) што го сочинуваат парот до центарот на редукција и ќе го насочиме во насока спротивна на насоката на силата Fo (сл. 5.4, б). Тогаш системот на сили Fo и F`1 е еквивалентен на нула и може да се отфрли. Според тоа, дадениот систем на сили е еквивалентен единствената сила F1 се применува на точка 01; оваа сила е резултат. Резултатот ќе го означиме со буквата R, т.е. F1=R. Очигледно, растојанието h од претходниот центар на редукција O до линијата на дејство на резултантот може да се најде од условот |MOz|=hF1 =hFo, т.е. h=|MOz|/Fo. Растојанието h мора да се одвои од точката О така што моментот на парот сили (F1, F`1) се совпаѓа со главниот момент MOz (сл. 5.4, б). Како резултат на доведување на систем на сили до даден центар, може да се појават следниве случаи: (1) Fo≠0, MOz≠0. Во овој случај, системот на сили може да се намали на една сила (резултант), како прикажано на сл. 5.4, ​​c. (2) Fo≠0, MOz=0. Во овој случај, системот на сили се сведува на една сила (резултант) што минува низ даден центар на редукција. (3) Fo=0, MOz≠0. Во овој случај, системот на сили е еквивалентен на еден пар сили. (4) Fo=0, MOz=0. Во овој случај, системот на сили што се разгледува е еквивалентен на нула, односно силите што го сочинуваат системот се меѓусебно избалансирани.

Варињонова теорема

Варињонова теорема. Ако рамниниот систем на сили што се разгледува се сведе на резултант, тогаш моментот на оваа резултантна во однос на која било точка е еднаков на алгебарскиот збир на моментите на сите сили на дадениот систем во однос на истата точка.Да претпоставиме дека системот на сили се сведува на резултант R што минува низ точката O. Сега да земеме друга точка O 1 како центар на редукција. Главниот момент (5.5) за оваа точка е еднаков на збирот на моментите на сите сили: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). Од друга страна, имаме M O1Z =M Olz (R), (5.12) бидејќи главниот момент за центарот за редукција O е еднаков на нула (M Oz =0). Споредувајќи ги релациите (5.11) и (5.12), добиваме M O1z (R)=åM OlZ (F k); (5.13) итн. Користејќи ја теоремата на Варињон, може да се најде равенката на линијата на дејство на резултантната. Нека резултантниот R 1 се примени во некоја точка O 1 со координати x и y (сл. 5.5) и нека главниот вектор F o и главниот момент M O се познати во центарот на редукција на почетокот. Бидејќи R 1 =F o, компонентите на резултантот долж оските x и y се еднакви на R lx =F Ox =F Ox i и R ly =F Oy =F oy j. Според Варињоновата теорема, моментот на резултантната во однос на потеклото е еднаков на главниот момент во центарот на редукција на почетокот, т.е. Моz =M Oz (R 1) = xF Oy –yF Ox. (5.14). Количините M Oz, F Ox и Foy не се менуваат кога точката на примена на резултантот се поместува по неговата линија на дејство; затоа, координатите x и y во равенката (5.14) може да се гледаат како тековни координати на правата на дејството на резултатот. Така, равенката (5.14) е равенка на линијата на дејство на резултантната. Кога F ox ≠0 може да се препише како y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox).

Услови за рамнотежа за рамномерен систем на сили

Неопходен и доволен услов за рамнотежа на системот на сили е еднаквоста на главниот вектор и главниот момент на нула. За рамнински систем на сили, овие услови имаат форма F o =åF k =0, M Oz =åM oz (F k)=0, (5.15), каде што O е произволна точка во рамнината на дејството на силите . Добиваме: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0, P ox =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0, М Оz =åM Oz (F k) = M oz (F 1) + M oz (F 2) +… + M oz (F n) = 0, т.е. За рамнотежа на рамнински систем на сили, потребно е и доволно алгебарските збирови на проекциите на сите сили на две координатни оски и алгебарскиот збир на моментите на сите сили во однос на произволна точка да бидат еднакви на нула. Втората форма на равенката за рамнотежа е еднаквоста на нула од алгебарските збирови на моментите на сите сили во однос на кои било три точки кои не лежат на иста права линија; åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, åM Cz (F k)=0, (5.17), каде што A, B и C се посочените точки. Потребата од исполнување на овие еднаквости произлегува од условите (5.15). Да ја докажеме нивната доволност. Да претпоставиме дека сите еднаквости (5.17) се задоволени. Еднаквоста на главниот момент до нула во центарот на редукција во точката А е можна или ако системот се сведе на резултантната (R≠0) и линијата на неговото дејство поминува низ точката А, или R=0; слично, еднаквоста на главниот момент на нула во однос на точките B и C значи дека или R≠0 и резултантната поминуваат низ двете точки, или R=0. Но, резултатот не може да помине низ сите овие три точки A, B и C (по услов тие да не лежат на иста права линија). Следствено, еднаквостите (5.17) се можни само кога R = 0, т.е. системот на сили е во рамнотежа. Забележете дека ако точките A, B и C лежат на иста права линија, тогаш исполнувањето на условите (5.17) нема да биде доволен услов за рамнотежа - во овој случај, системот може да се сведе на резултат чија линија на дејствување поминува преку овие точки.

Третата форма на равенки за рамнотежа за рамнински систем на сили

Третата форма на равенките за рамнотежа за рамномерен систем на сили е еднаквоста на нула од алгебарските збирови на моментите на сите сили на системот во однос на кои било две точки и еднаквоста на нула од алгебарскиот збир на проекциите на сите силите на системот на оска што не е нормална на линијата што минува низ две избрани точки; åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, åF kx =0 (5.18) (оската x не е нормална на отсечката A B) Следува потребата од исполнување на овие еднаквости за односот на силите директно од условите (5.15). Да се ​​погрижиме исполнувањето на овие услови да биде доволно за рамнотежата на силите. Од првите две еднаквости, како и во претходниот случај, произлегува дека ако системот на сили има резултант, тогаш неговата линија на дејствување поминува низ точките А и Б (сл. 5.7). Тогаш проекцијата на резултантот на оската x, која не е нормална на отсечката AB, ќе биде различна од нула. Но, оваа можност е исклучена со третата равенка (5.18) бидејќи R x =åF hx). Затоа, резултатот мора да биде еднаков на нула и системот е во рамнотежа. Ако оската x е нормална на отсечката AB, тогаш равенките (5.18) нема да бидат доволни услови за рамнотежа, бидејќи во овој случај системот може да има резултант чија линија на дејство поминува низ точките A и B. Така, системот на рамнотежа равенките може да содржат една равенка на моменти и две равенки на проекции, или две равенки на моменти и една равенка на проекции, или три равенки на моменти. Правите на дејство на сите сили нека бидат паралелни со y-оската (сл. 4.8). Тогаш равенките за рамнотежа за системот на паралелни сили што се разгледуваат ќе бидат åF ky =0, åM Oz (F k)=0.(5.19). åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, (5.20) и точките A и B не треба да лежат на права линија паралелна со y-оската. Системот на сили што дејствуваат на цврсто тело може да се состои и од концентрирани (изолирани) сили и од распределени сили. Постојат сили распоредени по линија, над површината и над волуменот на телото.

Рамнотежа на телото во присуство на лизгачко триење

Ако две тела I и II (сл. 6.1) комуницираат едно со друго, допирајќи се во точката A, тогаш секогаш реакцијата R A, која дејствува, на пример, од телото II и се применува на телото I, може да се разложи на две компоненти: N A, насочени долж заедничката нормала на површината на контактните тела во точката A, и T A што лежи во тангентата рамнина. Компонентата N A се нарекува нормална реакција, силата T A се нарекува сила на триење на лизгање - го спречува телото I да се лизга над телото II. Во согласност со аксиомата 4 (третиот закон на Њутн), на телото II дејствува реакциона сила со еднаква големина и спротивна насока од телото I. Неговата компонента нормална на тангентата рамнина се нарекува нормална сила на притисок. Сила на триење T A = 0 ако допирните површини се совршено мазни. Во реални услови, површините се груби и во многу случаи силата на триење не може да се занемари. Максималната сила на триење е приближно пропорционална со нормалниот притисок, т.е. T max =fN. (6.3) – Закон Амонтон-Кулом. Коефициентот f се нарекува коефициент на триење на лизгање. Неговата вредност не зависи од површината на контактните површини, туку зависи од материјалот и степенот на грубост на контактните површини. Силата на триење може да се пресмета од формулата T=fN само ако се појави критичен случај. Во други случаи, силата на триење треба да се одреди од равенките. На сликата е прикажана реакцијата R (тука активните сили имаат тенденција да го поместат телото надесно). Аголот j помеѓу ограничувачката реакција R и нормалата на површината се нарекува агол на триење. tgj=T max /N=f.

Геометриско место на сите можни насокиограничувачката реакција R формира конусна површина - конус на триење (сл. 6.6, б). Ако коефициентот на триење f е ист во сите правци, тогаш конусот на триење ќе биде кружен. Во случаи кога коефициентот на триење f зависи од насоката на можното движење на телото, конусот на триење нема да биде кружен. Ако резултатот на активните сили. е внатре во конусот на триење, тогаш зголемувањето на неговиот модул не може да ја наруши рамнотежата на телото; За да може телото да почне да се движи, потребно е (и доволно) резултатот од активните сили F да биде надвор од конусот на триење. Да го разгледаме триењето на флексибилните тела (сл. 6.8). Ојлеровата формула помага да се најде најмалата сила P која може да ја балансира силата Q. P=Qe -fj*. Може да најдете и сила P способна да го надмине отпорот на триење заедно со силата Q. Во овој случај, само знакот f ќе се промени во формулата на Ојлер: P=Qe fj*.

Рамнотежа на телото во присуство на триење на тркалање

Да разгледаме цилиндар (валјак) што лежи на хоризонтална рамнина кога врз него дејствува хоризонтална активна сила S; покрај него, дејствува и силата на гравитацијата P, како и нормалната реакција N и силата на триење T (сл. 6.10, а). При доволно мал модул на сила S, цилиндерот останува во мирување. Но, овој факт не може да се објасни ако сме задоволни со воведувањето на силите прикажани на сл. 6.10, а. Според оваа шема, рамнотежата е невозможна, бидејќи главниот момент на сите сили што дејствуваат на цилиндерот M Cz = –Sr е ненула, а еден од условите за рамнотежа не е задоволен. Причината за ова несовпаѓање е тоа што го замислуваме ова тело како апсолутно цврсто и претпоставуваме дека контактот на цилиндерот со површината се случува долж генератрикс. За да се елиминира забележаната несовпаѓање помеѓу теоријата и експериментот, неопходно е да се напушти хипотезата за апсолутно круто тело и да се земе предвид дека во реалноста цилиндерот и рамнината во близина на точката C се деформирани и постои одредена контактна област на конечни ширина. Како резултат на тоа, во неговиот десен дел цилиндерот се притиска посилно отколку во левиот, а целосната реакција R се применува десно од точката C (види точка C 1 на сл. 6.10, б). Резултирачкиот дијаграм на дејствувачките сили е статички задоволителен, бидејќи моментот на парот (S, T) може да се избалансира со моментот на парот (N, P). За разлика од првата шема (сл. 6.10, а), на цилиндерот се применува пар сили со момент M T = Nh (6.11). Овој момент се нарекува момент на триење на тркалање. h=Sr/, каде што h е растојанието од C до C 1. (6.13). Како што се зголемува модулот на активната сила S, растојанието h се зголемува. Но, ова растојание е поврзано со површината на контактот и, според тоа, не може да се зголемува на неодредено време. Ова значи дека ќе дојде состојба кога зголемувањето на силата S ќе доведе до нерамнотежа. Да ја означиме максималната можна вредност на h со буквата d. Вредноста на d е пропорционална на радиусот на цилиндерот и е различна за различни материјали. Според тоа, ако дојде до рамнотежа, тогаш условот е задоволен: ч<=d.(6.14). d называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины. Условие (6.14) можно также записать в виде М т <=dN, или, учитывая (6.12), S<=(d/r)N.(6.15). Очевидно, что максимальный момент трения качения M T max =dN пропорционален силе нормального давления.

Центар на паралелни сили

Условите за доведување систем на паралелни сили до резултантна сила се сведени на една неравенка F≠0. Што се случува со резултантната R кога линиите на дејство на овие паралелни сили истовремено ротираат за ист агол, ако точките на примена на овие сили останат непроменети и ротациите на линиите на дејство на силите се случуваат околу паралелни оски. Под овие услови, резултатот од даден систем на сили, исто така, истовремено ротира низ истиот агол, а ротацијата се случува околу одредена фиксна точка, која се нарекува центар на паралелни сили. Да преминеме на доказот на оваа изјава. Да претпоставиме дека за разгледуваниот систем на паралелни сили F 1 , F 2 ,...,F n, главниот вектор не е еднаков на нула, затоа, овој систем на сили се сведува на резултат. Нека точката O 1 е која било точка на линијата на дејство на оваа резултантна. Нека сега r е радиус вектор на точката 0 1 во однос на избраниот пол O, a r k е вектор на радиус на точката на примена на сила F k (сл. 8.1). Според теоремата на Варињон, збирот на моментите на сите сили на системот во однос на точката 0 1 е еднаков на нула: å(r k –r)xF k =0, т.е. år k xF k –årxF k =år k xF k –råF k =0. Да воведеме единечен вектор e, тогаш секоја сила F k може да се претстави како F k =F * k e (каде F * k =F h, ако насоката на силата F h и векторот e се совпаѓаат, и F * k = –F h, ако F k и e се насочени спротивно еден на друг); åF k =eåF * k . Добиваме: år k xF * k e–rxeåF * k =0, од ​​каде [år k F * k –råF * k ]xe=0. Последната еднаквост е задоволена за која било насока на силите (т.е. насоката на единичниот вектор e) само под услов првиот фактор да е еднаков на нула: år k F * k –råF * k =0. Оваа равенка има единствено решение во однос на векторот на радиусот r, кој одредува точка на примена на резултантната која не ја менува својата позиција кога ротираат линиите на дејство на силите. Оваа точка е центар на паралелни сили. Означување на векторот на радиусот на центарот на паралелни сили низ r c: r c =(år k F * k)/(åF * k)=(r 1 F * 1 +r 2 F * 2 +…+r n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n). Нека x с, у с, z с – координати на центарот на паралелни сили, a x k, y k, z k – координати на точката на примена на произволна сила F k; тогаш координатите на центарот на паралелни сили може да се најдат од формулите:

x c =(x k F * k)/(F * k)=(x 1 F * 1 +x 2 F * 2 +…+x n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n ), y c =(y k F * k)/(F * k)=

=(y 1 F * 1 +y 2 F * 2 +…+y n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n), z c =

=(z k F * k)/(åF * k)=(z 1 F * 1 +z 2 F * 2 +…+z n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n)

Изразите x k F * k , y k F * k , z k F * k се нарекуваат статични моменти на даден систем на сили, соодветно, во однос на координатните рамнини yOz, xOz, xOy. Ако потеклото на координатите е избрано во центарот на паралелните сили, тогаш x c = y c = z c = 0, а статичните моменти на даден систем на сили се еднакви на нула.

Центар на гравитација

Тело со произволна форма сместено во поле на гравитација може да се подели на елементарни волумени со делови паралелни на координатните рамнини (сл. 8.2). Ако ја занемариме големината на телото во споредба со радиусот на Земјата, тогаш гравитационите сили што дејствуваат на секој елементарен волумен може да се сметаат за паралелни едни со други. Да го означиме со DV k волуменот на елементарен паралелепипед со центар во точката M k (види Сл. 8.2), а силата на гравитација што дејствува на овој елемент со DP k. Тогаш просечната специфична тежина на елементот за волумен се нарекува сооднос DP k /DV k. Со собирање на паралелепипедот до точката M k, ја добиваме специфичната тежина во дадена точка на телото како граница на просечната специфична тежина g(x k, y k, z k)=lim DVk®0 (8.10). Така, специфичната тежина е функција на координатите, т.е. g=g(x, y, z). Ќе претпоставиме дека заедно со геометриските карактеристики на телото е дадена и специфичната тежина на секоја точка од телото. Да се ​​вратиме на кршење на телото во елементарни волумени. Ако ги исклучиме волумените на оние елементи што се граничат со површината на телото, тогаш можеме да добиеме скалесто тело кое се состои од множество паралелепипеди. Да ја примениме силата на гравитација на центарот на секој паралелепипед DP k =g k DV k, каде што g h е специфичната тежина во точката на телото што се совпаѓа со центарот на паралелепипедот. За систем од n паралелни сили на гравитација формиран на овој начин, може да се најде центарот на паралелните сили r (n) =(år k DP k)/(åDP k)= (r 1 DP 1 +r 2 DP 2 + …+r n DP n) / (DP 1 +DP 2 +…+DP n). Оваа формула ја одредува позицијата на одредена точка C n. Центарот на гравитација е точката што е гранична точка за точките C n на n®µ.

Статикае гранка на теоретската механика во која се изучуваат условите на рамнотежа на материјалните тела под влијание на силите.

Во статиката, состојбата на рамнотежа се подразбира како состојба во која сите делови на механичкиот систем се во мирување (во однос на фиксниот координатен систем). Иако методите на статика се применливи и за тела во движење, а со нивна помош е можно да се проучуваат проблеми на динамиката, основните објекти на проучување на статиката се неподвижни механички тела и системи.

Силае мерка за влијанието на едно тело врз друго. Силата е вектор кој има точка на примена на површината на телото. Под влијание на сила, слободното тело добива забрзување пропорционално на векторот на силата и обратно пропорционално на масата на телото.

Закон за еднаквост на дејство и реакција

Силата со која првото тело дејствува на второто е еднаква по апсолутна вредност и спротивна во насока на силата со која второто тело дејствува на првото.

Принцип на стврднување

Ако деформирачкото тело е во рамнотежа, тогаш неговата рамнотежа нема да биде нарушена ако телото се смета за апсолутно цврсто.

Статика на материјална точка

Да разгледаме материјална точка што е во рамнотежа. И нека на него дејствуваат n сили, k = 1, 2, ..., n.

Ако материјалната точка е во рамнотежа, тогаш векторскиот збир на силите што дејствуваат на неа е еднаков на нула:
(1) .

Во рамнотежа, геометрискиот збир на силите што дејствуваат на точка е нула.

Геометриска интерпретација. Ако го поставите почетокот на вториот вектор на крајот од првиот вектор, а почетокот на третиот го поставите на крајот од вториот вектор, а потоа продолжите со овој процес, тогаш крајот на последниот, n-ти вектор ќе биде порамнет со почетокот на првиот вектор. Тоа е, добиваме затворена геометриска фигура, должините на страните се еднакви на модулите на векторите. Ако сите вектори лежат во иста рамнина, тогаш добиваме затворен многуаголник.

Често е погодно да се избере правоаголен координатен системОксиз. Тогаш збирите на проекциите на сите вектори на сила на координатните оски се еднакви на нула:

Ако изберете која било насока одредена од некој вектор, тогаш збирот на проекциите на векторите на силата на оваа насока е еднаков на нула:
.
Ајде да ја помножиме равенката (1) скаларно со векторот:
.
Еве го скаларниот производ на векторите и .
Забележете дека проекцијата на векторот на насоката на векторот се одредува со формулата:
.

Цврста статика на телото

Момент на сила околу точка

Определување момент на сила

Момент на моќ, што се применува на телото во точката А, во однос на фиксниот центар О, се нарекува вектор еднаков на векторскиот производ на вектори и:
(2) .

Геометриска интерпретација

Моментот на сила е еднаков на производот на силата F и раката OH.

Нека векторите и се наоѓаат во рамнината на цртање. Според својството на векторскиот производ, векторот е нормален на векторите и, односно, нормален на рамнината на цртежот. Нејзината насока се одредува со правилното правило за завртка. На сликата, векторот на вртежниот момент е насочен кон нас. Апсолутна вредност на вртежниот момент:
.
Од тогаш
(3) .

Користејќи ја геометријата, можеме да дадеме различно толкување на моментот на сила. За да го направите ова, нацртајте права линија AH низ векторот на силата. Од центарот O ја спуштаме нормалната OH на оваа права линија. Должината на оваа нормална се нарекува рамо на сила. Потоа
(4) .
Бидејќи , тогаш формулите (3) и (4) се еквивалентни.

Така, апсолутна вредност на моментот на силаво однос на центарот O е еднаков на производ на сила по рамооваа сила во однос на избраниот центар О.

При пресметување на вртежниот момент, често е погодно да се разложи силата на две компоненти:
,
Каде. Силата минува низ точката О. Затоа неговиот момент е нула. Потоа
.
Апсолутна вредност на вртежниот момент:
.

Моментни компоненти во правоаголен координатен систем

Ако избереме правоаголен координатен систем Oxyz со центар во точката O, тогаш моментот на сила ќе ги има следните компоненти:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Еве ги координатите на точката А во избраниот координатен систем:
.
Компонентите ги претставуваат вредностите на моментот на сила околу оските, соодветно.

Својства на моментот на сила во однос на центарот

Моментот околу центарот О, поради силата што минува низ овој центар, е еднаков на нула.

Ако точката на примена на силата се помести по линија што минува низ векторот на силата, тогаш моментот, со таквото движење, нема да се промени.

Моментот од векторскиот збир на сили применети на една точка од телото е еднаков на векторскиот збир на моменти од секоја од силите применети на истата точка:
.

Истото важи и за силите чии продолжени линии се сечат во една точка.

Ако векторскиот збир на сили е нула:
,
тогаш збирот на моментите од овие сили не зависи од положбата на центарот во однос на кој се пресметуваат моментите:
.

Пар сили

Пар сили- ова се две сили, еднакви по апсолутна големина и со спротивни насоки, применети на различни точки на телото.

Еден пар сили се карактеризира со моментот кога тие создаваат. Бидејќи векторскиот збир на силите што влегуваат во парот е нула, моментот создаден од парот не зависи од точката во однос на која моментот се пресметува. Од гледна точка на статичка рамнотежа, природата на силите вклучени во парот не е важна. Се користат неколку сили за да се покаже дека моментот на сила со одредена вредност дејствува на телото.

Момент на сила околу дадена оска

Често има случаи кога не треба да ги знаеме сите компоненти на моментот на сила за избраната точка, туку само треба да го знаеме моментот на сила за избраната оска.

Моментот на сила околу оската што минува низ точката O е проекција на векторот на моментот на сила, во однос на точката O, на насоката на оската.

Својства на моментот на сила околу оската

Моментот околу оската поради силата што минува низ оваа оска е еднаков на нула.

Моментот околу оската поради сила паралелна на оваа оска е еднаков на нула.

Пресметка на моментот на сила околу оската

Нека делува сила на телото во точката А. Ајде да го најдеме моментот на оваа сила во однос на оската О'О.

Ајде да конструираме правоаголен координатен систем. Оската Оз нека се совпадне со О'О. Од точката А ја спуштаме нормалната OH на O'O′′. Преку точките О и А ја цртаме оската Ox. Ја цртаме оската Oy нормална на Ox и Oz. Дозволете ни да ја разложиме силата на компоненти долж оските на координатниот систем:
.
Силата ја пресекува оската О'О. Затоа неговиот момент е нула. Силата е паралелна со оската О'О. Затоа, неговиот момент е исто така нула. Користејќи ја формулата (5.3) наоѓаме:
.

Забележете дека компонентата е насочена тангенцијално на кругот чиј центар е точката О. Насоката на векторот се одредува со правилото за десната завртка.

Услови за рамнотежа на круто тело

Во рамнотежа, векторскиот збир на сите сили што дејствуваат на телото е еднаков на нула, а векторскиот збир на моментите на овие сили во однос на произволен фиксен центар е еднаков на нула:
(6.1) ;
(6.2) .

Нагласуваме дека центарот О, во однос на кој се пресметуваат моментите на силите, може да се избере произволно. Точката О може или да припаѓа на телото или да се наоѓа надвор од него. Обично центарот O се избира за да се направат пресметките поедноставни.

Условите за рамнотежа може да се формулираат на друг начин.

Во рамнотежа, збирот на проекциите на силите на која било насока специфицирана со произволен вектор е еднаква на нула:
.
Збирот на моментите на силите во однос на произволна оска O'O′′ е исто така еднаков на нула:
.

Понекогаш таквите услови излегуваат попогодни. Има случаи кога, со избирање оски, пресметките може да се направат поедноставни.

Тело центар на гравитација

Да разгледаме една од најважните сили - гравитацијата. Овде силите не се применуваат на одредени точки на телото, туку континуирано се распределуваат низ неговиот волумен. За секоја област од телото со бесконечно мал волумен ΔV, дејствува силата на гравитацијата. Овде ρ е густината на супстанцијата на телото и е забрзување на гравитацијата.

Нека е масата на бесконечно мал дел од телото. А точката A k нека ја одреди позицијата на овој дел. Да ги најдеме величините поврзани со гравитацијата кои се вклучени во равенките за рамнотежа (6).

Дозволете ни да го најдеме збирот на силите на гравитацијата формирани од сите делови на телото:
,
каде е телесната маса. Така, збирот на гравитационите сили на поединечни бесконечно мали делови од телото може да се замени со еден вектор на гравитационата сила на целото тело:
.

Дозволете ни да го најдеме збирот на моментите на гравитација, на релативно произволен начин за избраниот центар О:

.
Овде ја воведовме точката C, која се нарекува Центар на гравитацијатела. Позицијата на центарот на гравитација, во координатен систем центриран во точката О, се одредува со формулата:
(7) .

Значи, при одредување на статичка рамнотежа, збирот на гравитационите сили на одделни делови од телото може да се замени со резултатот
,
се применува на центарот на масата на телото C, чија положба е одредена со формулата (7).

Позицијата на центарот на гравитација за различни геометриски фигури може да се најде во соодветните референтни книги. Ако телото има оска или рамнина на симетрија, тогаш центарот на гравитација се наоѓа на оваа оска или рамнина. Така, центрите на гравитација на сфера, круг или круг се наоѓаат во центрите на круговите на овие фигури. Центрите на гравитација на правоаголен паралелепипед, правоаголник или квадрат се исто така лоцирани во нивните центри - на точките на пресек на дијагоналите.

Рамномерно (А) и линеарно (Б) распределено оптоварување.

Има и случаи слични на гравитацијата, кога силите не се применуваат на одредени точки на телото, туку континуирано се распределуваат по неговата површина или волумен. Таквите сили се нарекуваат распределени силиили .

(Слика А). Исто така, како и во случајот со гравитацијата, може да се замени со резултантна сила на големината, применета во центарот на гравитација на дијаграмот. Бидејќи дијаграмот на Слика А е правоаголник, тежиштето на дијаграмот се наоѓа во неговиот центар - точка C: | AC| = | CB|.

(Слика Б). Може да се замени и со резултатот. Големината на резултатот е еднаква на областа на дијаграмот:
.
Точката на примена е во центарот на гравитација на дијаграмот. Тежиштето на триаголникот, висина h, се наоѓа на растојание од основата. Затоа .

Сили на триење

Лизгачко триење. Телото нека биде на рамна површина. И нека е силата нормална на површината со која површината делува на телото (сила на притисок). Тогаш лизгачката сила на триење е паралелна со површината и насочена настрана, спречувајќи го движењето на телото. Неговата најголема вредност е:
,
каде f е коефициентот на триење. Коефициентот на триење е бездимензионална големина.

Триење на тркалање. Нека се тркала телото со кружен облик или може да се тркала по површината. И нека е силата на притисокот нормална на површината од која површината делува на телото. Тогаш на телото делува момент на сили на триење, на местото на допир со површината, спречувајќи го движењето на телото. Најголемата вредност на моментот на триење е еднаква на:
,
каде δ е коефициент на триење на тркалање. Има димензија на должина.

Референци:
S. M. Targ, Краток курс по теоретска механика, „Висока школа“, 2010 година.

Како дел од кој било образовен курс, изучувањето на физиката започнува со механика. Не од теоретска, не од применета или пресметковна, туку од стара добра класична механика. Оваа механика се нарекува уште и Њутнова механика. Според легендата, еден научник шетал во градината и видел како паѓа јаболко, а токму оваа појава го поттикнала да го открие законот за универзална гравитација. Се разбира, законот отсекогаш постоел, а Њутн му дал само форма разбирлива за луѓето, но неговата заслуга е бесценета. Во оваа статија нема да ги опишуваме законите на Њутновата механика колку што е можно подетално, но ќе ги наведеме основите, основните знаења, дефинициите и формулите кои секогаш можат да ви играат.

Механиката е гранка на физиката, наука која го проучува движењето на материјалните тела и интеракциите меѓу нив.

Самиот збор е од грчко потекло и е преведен како „уметност на градење машини“. Но, пред да изградиме машини, сè уште сме како Месечината, па да ги следиме стапките на нашите предци и да го проучуваме движењето на камењата фрлени под агол на хоризонтот и јаболката што паѓаат врз нашите глави од висина h.

Зошто изучувањето на физиката започнува со механика? Бидејќи ова е сосема природно, зарем не треба да почнеме со термодинамичка рамнотежа?!

Механиката е една од најстарите науки, а историски изучувањето на физиката започна токму со основите на механиката. Поставени во рамките на времето и просторот, луѓето, всушност, не можеа да започнат со нешто друго, колку и да сакаа. Телата што се движат се првото нешто на кое обрнуваме внимание.

Што е движење?

Механичкото движење е промена на положбата на телата во просторот едни на други со текот на времето.

По оваа дефиниција сосема природно доаѓаме до концептот на референтна рамка. Промена на положбата на телата во просторот едни на други.Клучни зборови овде: релативно едни на други . На крајот на краиштата, патникот во автомобил се движи во однос на лицето што стои на страната на патот со одредена брзина и мирува во однос на неговиот сосед на седиштето до него и се движи со некоја друга брзина во однос на патникот. во автомобилот што ги претекнува.

Затоа, за нормално да ги измериме параметрите на предметите што се движат и да не се збуниме, ни треба референтен систем - цврсто меѓусебно поврзано референтно тело, координатен систем и часовник. На пример, Земјата се движи околу Сонцето во хелиоцентрична референтна рамка. Во секојдневниот живот, речиси сите наши мерења ги извршуваме во геоцентричен референтен систем поврзан со Земјата. Земјата е референтно тело во однос на кое се движат автомобили, авиони, луѓе и животни.

Механиката како наука има своја задача. Задачата на механиката е да ја знае положбата на телото во вселената во секое време. Со други зборови, механиката гради математички опис на движењето и наоѓа врски помеѓу физичките величини што го карактеризираат.

За да продолжиме понатаму, ни треба концептот „ материјална точка " Тие велат дека физиката е егзактна наука, но физичарите знаат колку приближувања и претпоставки треба да се направат за да се договорат токму за оваа точност. Никој никогаш не видел материјална точка или мирисал идеален гас, но тие постојат! Едноставно е многу полесно да се живее со нив.

Материјална точка е тело чија големина и форма може да се занемарат во контекст на овој проблем.

Делови од класичната механика

Механиката се состои од неколку делови

• Кинематика
• Динамика
• Статика

Кинематикаод физичка гледна точка, таа точно проучува како се движи телото. Со други зборови, овој дел се занимава со квантитативните карактеристики на движењето. Најдете брзина, патека - типични кинематички проблеми

Динамикаго решава прашањето зошто се движи така како што се движи. Тоа е, ги зема предвид силите што дејствуваат на телото.

Статикаја проучува рамнотежата на телата под влијание на силите, односно одговара на прашањето: зошто воопшто не паѓа?

Граници на применливост на класичната механика.

Класичната механика повеќе не тврди дека е наука која објаснува сè (на почетокот на минатиот век сè беше сосема поинаку), и има јасна рамка на применливост. Генерално, законите на класичната механика важат во светот на кој сме навикнати по големина (макросвет). Тие престануваат да работат во случајот со светот на честичките, кога квантната механика ја заменува класичната механика. Исто така, класичната механика не е применлива за случаи кога движењето на телата се случува со брзина блиска до брзината на светлината. Во такви случаи, релативистичките ефекти стануваат изразени. Грубо кажано, во рамките на квантната и релативистичката механика - класичната механика, ова е посебен случај кога димензиите на телото се големи, а брзината е мала. Можете да дознаете повеќе за тоа од нашата статија.

Општо земено, квантните и релативистичките ефекти никогаш не исчезнуваат; тие исто така се случуваат при обично движење на макроскопските тела со брзина многу помала од брзината на светлината. Друга работа е што ефектот на овие ефекти е толку мал што не оди подалеку од најточните мерења. Така, класичната механика никогаш нема да ја изгуби својата основна важност.

Ќе продолжиме да ги проучуваме физичките основи на механиката во идните статии. За подобро разбирање на механиката, секогаш можете да се обратите до нив, што поединечно ќе фрли светлина на темната точка на најтешката задача.

Теоретска механикае дел од механиката што ги поставува основните закони за механичко движење и механичка интеракција на материјалните тела.

Теоретската механика е наука која го проучува движењето на телата низ времето (механички движења). Служи како основа за други гранки на механиката (теорија на еластичност, јачина на материјалите, теорија на пластичност, теорија на механизми и машини, хидроаеродинамика) и многу технички дисциплини.

Механичко движење- ова е промена со текот на времето во релативната положба во просторот на материјалните тела.

Механичка интеракција- ова е интеракција како резултат на која се менува механичкото движење или се менува релативната положба на делови од телото.

Цврста статика на телото

Статикае дел од теоретската механика што се занимава со проблеми на рамнотежа на цврсти тела и трансформација на еден систем на сили во друг, еквивалентен на него.

Основни поими и закони на статиката
• Апсолутно круто тело(цврсто тело, тело) е материјално тело, растојанието помеѓу точките во кои не се менува.
• Материјална точкае тело чии димензии, според условите на проблемот, може да се занемарат.
• Слободно тело- ова е тело на чие движење не се наметнуваат никакви ограничувања.
• Неслободно (врзано) телое тело чие движење подлежи на ограничувања.
• Врски– тоа се тела кои го спречуваат движењето на предметниот предмет (тело или систем на тела).
• Реакција на комуникацијае сила која го карактеризира дејството на врската на цврсто тело. Ако ја сметаме силата со која цврстото тело делува на врската за дејство, тогаш реакцијата на врската е реакција. Во овој случај, силата - дејство се применува на врската, а реакцијата на врската се применува на цврстото тело.
• Механички системе збир на меѓусебно поврзани тела или материјални точки.
• Цврстиможе да се смета како механички систем чии позиции и растојанија меѓу точките не се менуваат.
• Силае векторска величина што го карактеризира механичкото дејство на едно материјално тело на друго.
  Силата како вектор се карактеризира со точка на примена, насока на дејство и апсолутна вредност. Единицата за модул на сила е Њутн.
• Линија на дејство на силае права линија по која е насочен векторот на силата.
• Фокусирана моќ– применета сила во една точка.
• Дистрибуирани сили (дистрибуиран товар)- тоа се сили кои дејствуваат на сите точки на волуменот, површината или должината на телото.
  Дистрибуираното оптоварување се одредува со силата што дејствува по единица волумен (површина, должина).
  Димензијата на распределениот товар е N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Надворешна силае сила која дејствува од тело кое не припаѓа на механичкиот систем што се разгледува.
• Внатрешна силае сила која дејствува на материјална точка на механички систем од друга материјална точка што припаѓа на системот што се разгледува.
• Сили системе збир на сили кои делуваат на механички систем.
• Систем со рамна силае систем на сили чии линии на дејствување лежат во иста рамнина.
• Просторен систем на силие систем на сили чии линии на дејствување не лежат во иста рамнина.
• Систем на конвергирани силие систем на сили чии линии на дејствување се сечат во една точка.
• Произволен систем на силие систем на сили чии линии на дејствување не се сечат во една точка.
• Системи со еквивалентна сила- ова се системи на сили, чија замена еден со друг не ја менува механичката состојба на телото.
  Прифатена ознака: .
• Рамнотежа- ова е состојба во која телото, под дејство на сили, останува неподвижно или се движи рамномерно во права линија.
• Урамнотежен систем на сили- ова е систем на сили што, кога се применува на слободно цврсто тело, не ја менува својата механичка состојба (не го исфрла од рамнотежа).
  .
• Резултирачка силае сила чие дејство врз телото е еквивалентно на дејството на систем на сили.
  .
• Момент на моќе величина што ја карактеризира ротирачката способност на силата.
• Пар силие систем од две паралелни сили со еднаква големина и спротивно насочени.
  Прифатена ознака: .
  Под влијание на пар сили, телото ќе изврши ротационо движење.
• Проекција на сила на оската- ова е отсечка затворена помеѓу перпендикуларите нацртани од почетокот и крајот на векторот на силата до оваа оска.
  Проекцијата е позитивна ако насоката на сегментот се совпаѓа со позитивната насока на оската.
• Проекција на сила на рамнинае вектор на рамнина, затворен помеѓу перпендикулите нацртани од почетокот и крајот на векторот на сила до оваа рамнина.
• Закон 1 (закон за инерција).Изолирана материјална точка е во мирување или се движи рамномерно и праволиниско.
  Еднообразното и праволиниското движење на материјалната точка е движење по инерција. Состојбата на рамнотежа на материјална точка и круто тело не се сфаќа само како состојба на мирување, туку и како движење по инерција. За круто тело, постојат различни видови на движење по инерција, на пример, рамномерна ротација на круто тело околу фиксна оска.
• Закон 2.Круто тело е во рамнотежа под дејство на две сили само ако овие сили се еднакви по големина и насочени во спротивни насоки по заедничка линија на дејство.
  Овие две сили се нарекуваат балансирање.
  Генерално, силите се нарекуваат избалансирани ако цврстото тело на кое се применуваат овие сили е во мирување.
• Закон 3.Без да се нарушува состојбата (зборот „состојба“ овде значи состојба на движење или одмор) на круто тело, може да се додадат и да се отфрлат силите за балансирање.
  Последица. Без да се наруши состојбата на цврстото тело, силата може да се пренесе по линијата на дејствување до која било точка на телото.
  Два системи на сили се нарекуваат еквивалентни ако еден од нив може да се замени со другиот без да се наруши состојбата на цврстото тело.
• Закон 4.Резултатот од две сили применети во една точка, применети во иста точка, е еднаков по големина на дијагоналата на паралелограмот конструиран на овие сили и е насочен по оваа
  дијагонали.
  Апсолутната вредност на резултатот е:
  
• Закон 5 (закон за еднаквост на дејство и реакција). Силите со кои дејствуваат две тела се еднакви по големина и насочени во спротивни насоки по иста права линија.
  Треба да се има на ум дека акција- сила која се применува на телото Б, И опозиција- сила која се применува на телото А, не се избалансирани, бидејќи се применуваат на различни тела.
• Закон 6 (закон за зацврстување). Рамнотежата на нецврстото тело не се нарушува кога се зацврстува.
  Не треба да се заборави дека условите за рамнотежа, кои се неопходни и доволни за цврсто тело, се неопходни, но недоволни за соодветното нецврсто тело.
• Закон 7 (закон за еманципација од врски).Неслободно цврсто тело може да се смета за слободно ако е ментално ослободено од врски, заменувајќи го дејството на врските со соодветните реакции на врските.

Врските и нивните реакции
• Мазна површинаго ограничува движењето нормално на потпорната површина. Реакцијата е насочена нормално на површината.
• Зглобна подвижна потпораго ограничува движењето на телото нормално на референтната рамнина. Реакцијата е насочена нормално на потпорната површина.
• Артикулирана фиксна поддршкасе спротивставува на секое движење во рамнина нормална на оската на ротација.
• Зглобна прачка без тежинасе спротивставува на движењето на телото по линијата на шипката. Реакцијата ќе биде насочена по линијата на шипката.
• Слеп печатсе спротивставува на секое движење и ротација во рамнината. Нејзиното дејство може да се замени со сила претставена во форма на две компоненти и пар сили со момент.

Кинематика

Кинематика- дел од теоретската механика што ги испитува општите геометриски својства на механичкото движење како процес што се случува во просторот и времето. Подвижните објекти се сметаат за геометриски точки или геометриски тела.

Основни концепти на кинематиката
• Закон за движење на точка (тело)– ова е зависноста на положбата на точка (тело) во просторот од времето.
• Точка траекторија– ова е геометриската локација на точка во просторот при нејзиното движење.
• Брзина на точка (тело)– ова е карактеристика на промената на времето на положбата на точка (тело) во просторот.
• Забрзување на точка (тело)– ова е карактеристика на промената на времето на брзината на точка (тело).

Определување на кинематички карактеристики на точка
• Точка траекторија
  Во векторски референтен систем, траекторијата се опишува со изразот: .
  Во координатниот референтен систем, траекторијата се одредува со законот за движење на точката и се опишува со изразите z = f(x,y)- во вселената, или y = f(x)- во авион.
  Во природен референтен систем, траекторијата е однапред одредена.
• Одредување на брзината на точка во векторски координатен систем
  При одредување на движењето на точка во векторски координатен систем, односот на движење со временски интервал се нарекува просечна вредност на брзината во овој временски интервал: .
  Земајќи го временскиот интервал како бесконечно мала вредност, ја добиваме вредноста на брзината во дадено време (вредност за моментална брзина): .
  Векторот на просечната брзина е насочен долж векторот во насока на движење на точката, векторот на моменталната брзина е насочен тангенцијално на траекторијата во насока на движењето на точката.
  Заклучок: брзината на точката е векторска големина еднаква на временскиот дериват на законот за движење.
  Деривативно својство: дериватот на која било величина во однос на времето ја одредува стапката на промена на оваа величина.
• Одредување на брзината на точка во координатен референтен систем
  Стапка на промена на координатите на точките:
  .
  Модулот на вкупната брзина на точка со правоаголен координатен систем ќе биде еднаков на:
  .
  Насоката на векторот на брзината се одредува со косинусите на аглите на насоката:
  ,
  каде се аглите помеѓу векторот на брзина и координатните оски.
• Одредување на брзината на точка во природен референтен систем
  Брзината на точка во природниот референтен систем се дефинира како извод на законот за движење на точката: .
  Според претходните заклучоци, векторот на брзината е насочен тангенцијално на траекторијата во насока на движење на точката и во оските се одредува само со една проекција.

Кинематика на круто тело
• Во кинематиката на крутите тела се решаваат два главни проблеми:
  1) поставување на движењето и одредување на кинематичките карактеристики на телото како целина;
  2) определување на кинематички карактеристики на точките на телото.
• Преводно движење на круто тело
  Преводното движење е движење во кое права линија повлечена низ две точки на телото останува паралелна со неговата првобитна положба.
  Теорема: за време на преводното движење, сите точки на телото се движат по идентични траектории и во секој момент од времето имаат иста големина и насока на брзина и забрзување.
  Заклучок: преводното движење на круто тело се определува со движењето на која било од неговите точки, и затоа, задачата и проучувањето на неговото движење се сведуваат на кинематиката на точката.
• Ротационо движење на круто тело околу фиксна оска
  Ротациско движење на круто тело околу фиксна оска е движење на круто тело во кое две точки што му припаѓаат на телото остануваат неподвижни за цело време на движење.
  Позицијата на телото се одредува според аголот на ротација. Мерната единица за агол е радијан. (Радијан е централниот агол на кругот, чија должина на лакот е еднаква на радиусот; вкупниот агол на кругот содржи 2πрадијан.)
  Законот за ротационо движење на тело околу фиксна оска.
  Ја одредуваме аголната брзина и аголното забрзување на телото користејќи го методот на диференцијација:
  — аголна брзина, рад/с;
  — аголно забрзување, rad/s².
  Ако го сецирате телото со рамнина нормална на оската, изберете точка на оската на ротација СОи произволна точка М, потоа посочете Мќе опише околу точка СОрадиус на кругот Р. За време на dtима елементарна ротација низ агол , и точката Мќе се движи по траекторијата на растојание .
  Модул за линеарна брзина:
  .
  Точка забрзување Мсо позната траекторија, се одредува според неговите компоненти:
  ,
  Каде .
  Како резултат на тоа, ги добиваме формулите
  тангенцијално забрзување: ;
  нормално забрзување: .

Динамика

Динамикае дел од теоретската механика во која се проучуваат механичките движења на материјалните тела во зависност од причините што ги предизвикуваат.

Основни концепти на динамика
• Инерција- ова е својство на материјалните тела да одржуваат состојба на мирување или рамномерно праволиниско движење додека надворешните сили не ја променат оваа состојба.
• Тежинае квантитативна мерка за инерција на телото. Единицата за маса е килограм (кг).
• Материјална точка- ова е тело со маса, чии димензии се занемарени при решавање на овој проблем.
• Центар на маса на механички систем- геометриска точка чии координати се одредени со формулите:
  
  Каде m k, x k, y k, z k— маса и координати к- таа точка на механичкиот систем, м— масата на системот.
  Во еднообразно поле на гравитација, положбата на центарот на масата се совпаѓа со положбата на центарот на гравитација.
• Момент на инерција на материјално тело во однос на оскатае квантитативна мерка за инерција при ротационо движење.
  Моментот на инерција на материјална точка во однос на оската е еднаков на производот од масата на точката со квадратот на растојанието на точката од оската:
  .
  Моментот на инерција на системот (телото) во однос на оската е еднаков на аритметичката сума на моментите на инерција на сите точки:
  
• Сила на инерција на материјална точкае векторска величина еднаква по модул на производот од масата на точка и модулот на забрзување и насочена спротивно на векторот на забрзување:
• Силата на инерција на материјално телое векторска величина еднаква по модул на производот на телесната маса и модулот на забрзување на центарот на масата на телото и насочена спротивно на векторот на забрзување на центарот на масата: ,
  каде е забрзувањето на центарот на масата на телото.
• Елементарен импулс на силае векторска величина еднаква на производот на векторот на сила и бесконечно мал временски период dt:
  .
  Вкупниот импулс на силата за Δt е еднаков на интегралот на елементарните импулси:
  .
• Елементарно дело на силае скаларна величина dA, еднакво на скаларниот прои