Ајде да го најдеме триаголникот користејќи ја формулата на Херон. Плоштина на триаголник. Пресметување на плоштината на четириаголници
Оваа формула ви овозможува да ја пресметате плоштината на триаголникот врз основа на неговите страни a, b и c:
S=√(р(р-а)(р-б)(р-с),каде што p е полупериметар на триаголникот, т.е. p = (a + b + c)/2.
Формулата е именувана по старогрчкиот математичар Херон од Александрија (околу 1 век). Херон ги разгледа триаголниците со цели броеви чии области се исто така цели броеви. Таквите триаголници се нарекуваат херонски триаголници. На пример, ова се триаголници со страни 13, 14, 15 или 51, 52, 53.
Постојат аналози на Хероновата формула за четириаголници. Поради фактот што проблемот со изградба на четириаголник долж неговите страни a, b, c и d има повеќе од едно решение, за да се пресмета плоштината на четириаголник во општиот случај, не е доволно само да се знаат должините на страните. Мора да внесете дополнителни параметри или да наметнете ограничувања. На пример, плоштината на впишан четириаголник се наоѓа со формулата: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)
Ако четириаголник е впишан и опфатен во исто време, неговата плоштина е користејќи поедноставна формула: S=√(abcd).
Херон од Александрија - Грчки математичар и механичар.
Тој беше првиот што измислил автоматски врати, автоматски куклен театар, автомат, самополнач со брз оган, парна турбина, автоматски украси, уред за мерење на должината на патиштата (древен километража) итн. Тој е првиот што создал програмабилни уреди (шахта со иглички со јаже намотано околу него).
Студирал геометрија, механика, хидростатика и оптика. Главни дела: метрика, пневматика, автоматопоетика, механика (делото е целосно зачувано во арапски превод), Катоптрика (наука за огледалата; зачувана само во латински превод) итн. Во 1814 година е пронајден есејот на Херон „За диоптријата“, кој ги поставува правилата за премерување на земјиштето, всушност врз основа на употребата на правоаголни координати. Херон ги користел достигнувањата на неговите претходници: Евклид, Архимед, Страто од Лампсак. Многу од неговите книги се неповратно изгубени (свитоците се чувале во библиотеката во Александрија).
Во својот трактат „Механика“, Херон опиша пет типа на едноставни машини: лост, капија, клин, завртка и блок.
Во својот трактат „Пневматика“, Херон опиша различни сифони, умно дизајнирани садови и автомати управувани од компримиран воздух или пареа. Ова е еолипил, кој беше првата парна турбина - топка што се ротира од силата на млазовите на водена пареа; машина за отворање врати, машина за продажба на „света“ вода, противпожарна пумпа, воден орган, механички куклен театар.
Книгата „За диоптријата“ ја опишува диоптријата - наједноставниот уред што се користи за геодетска работа. Херон во својот трактат ги поставува правилата за премерување на земјиштето, врз основа на употребата на правоаголни координати.
Во Катоптрикс, Херон ја потврдува исправноста на светлосните зраци со бескрајно голема брзина на ширење. Херон разгледува различни видови огледала, посветувајќи особено внимание на цилиндричните огледала.
Хероновата „Метрика“ и „Геометрика“ и „Стереометрика“ извлечени од неа се референтни книги за применета математика. Меѓу информациите содржани во Metrica:
Формули за плоштините на правилни многуаголници.
Томови на правилни полиедри, пирамида, конус, скратен конус, торус, сферичен сегмент.
Хероновата формула за пресметување на плоштината на триаголникот од должината на неговите страни (откриена од Архимед).
Правила за нумеричко решение на квадратни равенки.
Алгоритми за извлекување корени од квадрат и коцка.
Книгата на Херон „Дефиниции“ е обемна збирка на геометриски дефиниции, кои во најголем дел се совпаѓаат со дефинициите на „Елементи“ на Евклид.
Резиме на лекција
Предмет: „Херонова формула и други формули за плоштина на триаголник“.
Тип на лекција : лекција за откривање нови знаења.
Класа: 10.
Цели на лекцијата: за време на часот, обезбедете свесно повторување на формулите за пресметување на плоштината на триаголник, кои се изучуваат во училишна наставна програма. Покажете ја потребата да се знае Хероновата формула II, формулата за плоштина на триаголник дадена во правоаголен координатен систем. Обезбедете свесна асимилација и примена на овие формули при решавање на проблеми.
Задачи:
Образовни: развој логично размислување, способност за самостојно одлучување Цели на учење; развојна љубопитностученици, когнитивен интерес за предметот; развој на креативно размислување и математички говор на учениците;
Образовни: негување интерес за математиката; создавање услови заформирање на комуникациски вештини и квалитети со силна волјаличноста.
Образовни: продлабочување на знаењетоти модул на реален број; учат на способност за решавање на типични проблеми.
Универзални активности за учење:
Лично: почитување на поединецот и неговото достоинство; стабилно когнитивен интерес; способноста да се води дијалог врз основа на еднакви односи и меѓусебно почитување.
Регулаторни: постави цели за активности на часот; планираат начини за постигнување на целта; донесуваат одлуки во проблематична ситуација врз основа на преговори.
Когнитивно: В совладува општи техники за решавање проблеми, извршување задачи и пресметки; извршуваат задачи врз основа на користење на својствата на модулот на реалниот број.
Комуникативно: А адекватно да го користи говорот за планирање и регулирање на нечии активности; формулирајте сопствено мислење.
Техничка поддршка : компјутер, проектор, интерактивна табла.
Структура на лекцијата
Мотивациска фаза – 2 мин.
Домашна работа – 1 мин.
Фаза на ажурирање на знаењето за предложената тема и спроведување на првата пробна акција – 10 минути.
Идентификување потешкотии: која е сложеноста на новиот материјал, што точно го создава проблемот, барање противречности - 4 мин.
Развој на проект, план за решавање на нивните постојни тешкотии, разгледување на многу опции, пребарување на оптимално решение - 2 мин.
Имплементација на избраниот план за решавање на тешкотијата - 5 мин.
Примарна консолидација на новите знаења - 10 мин.
Самостојна работаи проверка според стандардот - 5 мин.
Рефлексија, која вклучува размислување за активности за учење, самоанализа и размислување за чувства и емоции – 1 мин.
За време на часовите.
Мотивациска фаза.
Здраво момци, седнете. Денес нашата лекција ќе го следи следниот план: за време на часот ќе учиме нова тема: „ Херонова формула и други формули за плоштина на триаголник "; Да ги повториме формулите што ги знаете; Ајде да научиме како да ги применуваме овие формули при решавање на проблеми. Значи, да се фатиме за работа.
Фаза на ажурирање на знаењето за предложената тема и спроведување на првата пробна акција.
Слајд 1.
Запишете ја темата на лекцијата. Пред да продолжиме директно со формулите, да се потсетиме кои формули за пресметување на плоштината на триаголник ги знаете?
Слајд 2.
Напишете ги овие формули.
Кои формули ги знаете за пресметување на плоштината на триаголник?(учениците се сеќаваат на сите формули што ги научиле)
Слајд 3.
Плоштина на правоаголен триаголник. S=ab. Запишете ја формулата
Слајд 4.
Површина на кој било триаголник. S= А . а = , = Запишете ја формулата.
Слајд 5. Областа на триаголник заснован на две страни и аголот меѓу нив.
S=½·ab·sinα. Запишете ја формулата.
Сега ќе проучуваме нови формули за наоѓање област.
Слајд 6.
Областа на триаголник во однос на радиусот на впишаниот круг. S= P r. Запишете ја формулата.
Слајд 7.
Плоштина на триаголник во однос на R-радиусот на кружниот круг.
Запишете ја формулата.
Слајд 8.
Формулата на Херон.
Пред да започнеме со докажувањето, да се потсетиме на две теореми на геометријата - теоремата на синусите и теоремата на косинусите.
1. , a=2R; b=2R; c=2R
2., косγ = .
Слајд 9-10
Доказ за формулата на Херон. Запишете ја формулата.
Слајд 11.
Формулата за плоштина на триаголник заснован на три страни ја открил Архимед во 3 век п.н.е. Сепак, соодветната работа не стигна до нашите денови. Оваа формула е содржана во „Метриката“ на Херон од Александрија (1 век н.е.) и е именувана по него. Херон бил заинтересиран за триаголници со цели броеви чии области се исто така цели броеви. Таквите триаголници се нарекуваат херонски триаголници. Наједноставниот херонски триаголник е египетскиот триаголник
Идентификување на тешкотијата: која е сложеноста на новиот материјал, што точно го создава проблемот, барање контрадикторност.
Слајд 12.
Најдете плоштина на триаголник со дадените страни: 4,6,8. Дали има доволно информации за да се реши проблемот? Која формула можете да ја користите за да го решите овој проблем?
Развој на проект, план за решавање на нивните постоечки тешкотии, разгледување на многу опции, барање оптимално решение.
Овој проблем може да се реши со формулата на Херон. Прво, треба да го пронајдете полупериметарот на триаголникот, а потоа да ги замените добиените вредности во формулата.
Спроведување на избраниот план за решавање на тешкотијата.
Наоѓање на стр
стр=(13+14+15)/2=21
стр- а=21-13=8
p-b=21-14=7
p-c=21-15=6
S = 21*8*7*6=84
Одговори :84
Задача бр. 2
Најдете ги страните на триаголникотABC, ако плоштината на триаголницитеАБО, BCO, АЦО, каде што О е центарот на впишаниот круг, еднаков на 17,65,80 dc 2 .
Решение: 
С=17+65+80=162 – соберете ги плоштините на триаголниците. Според формулата
С АБО =1/2 АБ* р, значи 17=1/2АБ* р; 65=1/2ВС* р; 80=1/2 А.Ц.* р
34/r=AB; 130/r=п.н.е.; 160/r=AC
Најдете стр
стр= (34+130+160)/2=162/ р
(r-a)=162-34=128 (r- в)=162-160=2
(Р- б)=162-130=32
Според формулата на ХеронС= 128/ р*2/ р*32/ р*162/ р=256*5184/ р 4 =1152/ р 2
Бидејќи С=162, значир = 1152/162=3128/18
Одговор: AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.
Примарна консолидација на новото знаење.
№10(1)
Најдете плоштина на триаголник со дадените страни:
№12
Самостојна работа и тестирање во однос на стандардот.
№10.(2)
Домашна работа . Стр.83, бр.10(3), бр.15
Рефлексија, која вклучува размислување за едукативни активности, интроспекција и размислување за чувства и емоции.
Кои формули ги повторивте денес?
Кои формули ги научивте токму денес?
Може да се најде со познавање на основата и висината. Целата едноставност на дијаграмот лежи во фактот што висината ја дели основата a на два дела a 1 и a 2, а самиот триаголник на два правоаголни триаголници, чија површина е и. Тогаш плоштината на целиот триаголник ќе биде збир на двете посочени области, а ако извадиме една секунда од висината од заградата, тогаш во збирот ја враќаме основата:
Потешкиот метод за пресметки е формулата на Херон, за која треба да ги знаете сите три страни. За оваа формула, прво треба да го пресметате полупериметарот на триаголникот: 
Самата формула на Херон го подразбира квадратниот корен на полупериметарот, помножен за возврат со неговата разлика на секоја страна.
Следниот метод, исто така релевантен за кој било триаголник, ви овозможува да ја пронајдете областа на триаголникот преку две страни и аголот меѓу нив. Доказот за тоа доаѓа од формулата со висина - ја цртаме висината на која било од познатите страни и преку синусот на аголот α добиваме дека h=a⋅sinα. За да ја пресметате површината, помножете половина од висината со втората страна.
Друг начин е да се најде плоштината на триаголникот, знаејќи 2 агли и страната меѓу нив. Доказот за оваа формула е прилично едноставен и може јасно да се види од дијаграмот.
Ја спуштаме висината од темето на третиот агол до познатата страна и соодветно ги нарекуваме добиените отсечки x. Од правоаголни триаголницијасно е дека првиот сегмент x е еднаков на производот
Теорема. Плоштината на триаголникот е еднаква на половина од производот на неговата страна и неговата висина:
Доказот е многу едноставен. Овој триаголник ABC(сл. 1.15) да го изградиме до паралелограм АБДЦ. Триаголници ABCИ DCBсе еднакви на три страни, па нивните плоштини се еднакви. Значи областа на триаголникот ABCеднаква на половина од површината на паралелограмот АБДЦ, т.е.
Но, тука се поставува следното прашање: зошто трите можни полупроизводи на основата и висината за кој било триаголник се исти? Ова, сепак, е лесно да се докаже од сличноста на правоаголниците со заеднички остар агол. Размислете за триаголник ABC(Сл. 1.16):
А со тоа и
Меѓутоа, во училишни учебнициТоа не се прави така. Напротив, еднаквоста на трите полупроизводи се утврдува врз основа на тоа што сите овие полупроизводи ја изразуваат плоштината на триаголникот. Така, постоењето на една функција е имплицитно искористено. Но, тука доаѓа погодна и поучна можност да се покаже пример математичко моделирање. Навистина, постои физичка реалност зад концептот на површина, но директната проверка на еднаквоста на три полупроизводи го покажува квалитетот на преведувањето на овој концепт на јазикот на математиката.
Користејќи ја горната теорема за плоштина на триаголник, често е погодно да се споредат плоштините на два триаголници. Подолу презентираме неколку очигледни, но важни последици од теоремата.
Заклучок 1. Ако темето на триаголникот се помести по права линија паралелна со неговата основа, тогаш неговата плоштина не се менува.
На сл. 1,17 триаголници ABCИ ABDимаат заедничка основа АБи еднакви висини спуштени на оваа основа, бидејќи права линија А, кој ги содржи темињата СОИ Дпаралелно со основата АБ, и затоа плоштините на овие триаголници се еднакви.
Заклучокот 1 може да се преформулира на следниов начин.
Заклучок 1?. Нека биде даден сегмент АБ. Многу поени Мтака што плоштината на триаголникот АМВеднаква на дадена вредност С, има две прави паралелни на отсечката АБи оние кои се наоѓаат на растојание од него (сл. 1. 18)
Заклучок 2. Ако една од страните на триаголникот во непосредна близина на даден агол се зголеми за кпати, тогаш неговата површина исто така ќе се зголеми за кеднаш.
На сл. 1,19 триаголници ABCИ ABDимаат заедничка висина БХ, затоа односот на нивните површини е еднаков на односот на основите
Важни посебни случаи следуваат од заклучокот 2:
1. Средината го дели триаголникот на два мали дела.
2. Симетрала на агол на триаголник, затворена меѓу неговите страни АИ б, го дели на два триаголници, чии плоштини се поврзани како а : б.
Заклучок 3. Ако два триаголници имаат заеднички агол, тогаш нивните плоштини се пропорционални на производот на страните што го опфаќаат овој агол.
Ова произлегува од фактот дека (сл. 1.19)
Конкретно, се вели следнава изјава:
Ако два триаголници се слични, а страната на еден од нив е кпати поголема од соодветните страни на другата, тогаш неговата површина е к 2 пати поголема од површината на втората.
Формулата на Херон за плоштина на триаголник ја изведуваме на следниве два начина. Во првата ја користиме косинусната теорема:
каде што a, b, c се должините на страните на триаголникот, r е аголот спротивен на страната c.
Од (1.3) наоѓаме.
Забележувајќи го тоа
каде е полупериметарот на триаголникот, добиваме.
Се вчитува...