Тригонометриска форма на комплекс. Тригонометриска форма на комплексен број. Претворање комплексен број од алгебарска форма во тригонометриска форма

3.1. Поларни координати

Често се користи во авион поларен координатен систем . Се дефинира ако е дадена точка О, повикана столб, и зракот што произлегува од полот (за нас ова е оската Вол) – поларна оска.Позицијата на точката М е фиксирана со два броја: радиус (или радиус вектор) и агол φ помеѓу поларната оска и векторот.Се нарекува аголот φ поларен агол; мерено во радијани и броено спротивно од стрелките на часовникот од поларната оска.

Положбата на точка во поларниот координатен систем е дадена со подреден пар броеви (r; φ). На Пол r = 0,а φ не е дефиниран. За сите други точки r > 0,а φ се дефинира до член кој е множител на 2π. Во овој случај, паровите броеви (r; φ) и (r 1 ; φ 1) се поврзани со истата точка ако .

За правоаголен координатен систем xOyДекартовските координати на точка лесно се изразуваат во однос на нејзините поларни координати на следниов начин:

3.2. Геометриска интерпретација на комплексен број

Да разгледаме декартов правоаголен координатен систем на рамнината xOy.

Секој комплексен број z=(a, b) е поврзан со точка на рамнината со координати ( x, y), Каде координата x = a, т.е. реалниот дел од сложениот број, а координатата y = bi е имагинарниот дел.

Авион чии точки се сложени броеви– комплексен авион.

На сликата, комплексниот број z = (а, б)одговара на точка M(x, y).

Вежбајте.Нацртајте координатна рамнинакомплексни броеви:

3.3. Тригонометриска форма на комплексен број

Комплексен број на рамнината има координати на точка M(x;y). При што:

Пишување сложен број - тригонометриска форма на комплексен број.

Се нарекува бројот r модул комплексен број zи е назначен . Модулот е ненегативен реален број. За .

Модулот е нула ако и само ако z = 0, т.е. a = b = 0.

Се повикува бројот φ аргумент з и е назначен. Аргументот z е дефиниран двосмислено, како поларниот агол во поларниот координатен систем, имено до член кој е множител на 2π.

Тогаш прифаќаме: , каде φ е најмалата вредност на аргументот. Очигледно е дека

.

При подлабоко проучување на темата се воведува помошен аргумент φ*, таков што

Пример 1. Најдете ја тригонометриската форма на сложен број.

Решение. 1) разгледајте го модулот: ;

2) барате φ: ;

3) тригонометриска форма:

Пример 2.Најдете ја алгебарската форма на сложен број .

Тука е доволно да се заменат вредностите тригонометриски функциии трансформирајте го изразот:

Пример 3.Најдете го модулот и аргументот на комплексен број;

1) ;

2) ; φ – во 4 четвртини:

3.4. Операции со сложени броеви во тригонометриска форма

· Собирање и одземањеПопогодно е да се прави со сложени броеви во алгебарска форма:

· Множење– користејќи едноставни тригонометриски трансформации може да се покаже дека При множење, модулите на броеви се множат, а аргументите се додаваат: ;

Во овој дел ќе зборуваме повеќе за тригонометриската форма на комплексен број. Демонстративната форма е многу поретка во практичните задачи. Препорачувам преземање и печатење ако е можно. тригонометриски табели, методолошки материјал може да се најде на страната Математички формули и табели. Не можете да одите далеку без маси.

Секој комплексен број (освен нула) може да се запише во тригонометриска форма:

Каде е модул на комплексен број, А - аргумент за сложен број.

Да го претставиме бројот на сложената рамнина. За дефинитивно и едноставност на објаснувањето, ќе го сместиме во првиот координатен квадрант, т.е. ние веруваме дека:

Модул на комплексен броје растојанието од потеклото до соодветната точка во сложената рамнина. Едноставно кажано, модулот е должинатарадиус вектор, кој е означен со црвено на цртежот.

Модулот на сложен број обично се означува со: или

Користејќи ја Питагоровата теорема, лесно е да се изведе формула за пронаоѓање на модулот на комплексен број: . Оваа формула е точна за се `значења „а“ и „биди“.

Забелешка : Модулот на комплексен број е генерализација на концептот модул на реален број, како растојание од точка до потекло.

Аргумент за сложен бројповикани аголпомеѓу позитивна полуоскареалната оска и векторот на радиусот извлечен од почеток до соодветната точка. Аргументот не е дефиниран за еднина:.

Принципот што се разгледува е всушност сличен на поларните координати, каде што поларниот радиус и поларниот агол уникатно дефинираат точка.

Аргументот на сложен број стандардно се означува: или

Од геометриски размислувања, ја добиваме следната формула за наоѓање на аргументот:

. Внимание!Оваа формула работи само во десната полурамнина! Ако комплексниот број не се наоѓа во првиот или четвртиот координатен квадрант, тогаш формулата ќе биде малку поинаква. Ќе ги анализираме и овие случаи.

Но, прво, да ги погледнеме наједноставните примери кога сложените броеви се наоѓаат на координатни оски.

Пример 7

Претставува сложени броеви во тригонометриска форма: ,,,. Ајде да го направиме цртежот:

Всушност, задачата е усна. За јасност, ќе ја препишам тригонометриската форма на сложен број:

Да се ​​потсетиме цврсто, модулот - должина(што е секогаш не-негативни), аргумент - агол

1) Да го претставиме бројот во тригонометриска форма. Ајде да го најдеме неговиот модул и аргумент. Очигледно е дека. Формална пресметка со помош на формулата:. Очигледно е дека (бројката лежи директно на реалната позитивна полуоска). Така, бројот во тригонометриска форма:.

Дејството за обратна проверка е јасно како ден:

2) Да го претставиме бројот во тригонометриска форма. Ајде да го најдеме неговиот модул и аргумент. Очигледно е дека. Формална пресметка со помош на формулата:. Очигледно (или 90 степени). На цртежот, аголот е означен со црвено. Значи, бројот во тригонометриска форма е: .

Користење на , лесно е да се врати алгебарската форма на бројот (истовремено врши проверка):

3) Да го претставиме бројот во тригонометриска форма. Да го најдеме неговиот модул и

аргумент. Очигледно е дека. Формална пресметка со помош на формулата:

Очигледно (или 180 степени). На цртежот аголот е означен со сина боја. Така, бројот во тригонометриска форма:.

Испитување:

4) И четвртиот интересен случај. Очигледно е дека. Формална пресметка со помош на формулата:.

Аргументот може да се напише на два начина: Прв начин: (270 степени), и соодветно: . Испитување:

Сепак, следново правило е постандардно: Ако аголот е поголем од 180 степени, потоа се пишува со знак минус и спротивна ориентација („скролување“) на аголот: (минус 90 степени), на цртежот аголот е означен со зелено. Лесно е да се забележи

кој е ист агол.

Така, записот има форма:

Внимание!Во никој случај не треба да ја користите парноста на косинусот, необичноста на синусот и дополнително да ја „поедноставите“ ознаката:

Патем, корисно е да се запамети изгледот и својствата на тригонометриските и инверзните тригонометриски функции; референтните материјали се наоѓаат во последните параграфи на страницата Графикони и својства на основните елементарни функции. И сложените броеви ќе се научат многу полесно!

Во дизајнот на наједноставните примери, вака треба да го напишете: : „очигледно е дека модулот е... очигледно е дека аргументот е...“. Ова е навистина очигледно и лесно се решава вербално.

Ајде да продолжиме да разгледуваме почести случаи. Нема проблеми со модулот, секогаш треба да ја користите формулата. Но, формулите за наоѓање на аргументот ќе бидат различни, зависи од тоа во која координатна четвртина лежи бројот. Во овој случај, можни се три опции (корисно е да ги преработите):

1) Ако (1-ва и 4-та координатна четвртина, или десна полурамнина), тогаш аргументот мора да се најде со помош на формулата.

2) Ако (втора координатна четвртина), тогаш аргументот мора да се најде со помош на формулата .

3) Ако (3-та координатна четвртина), тогаш аргументот мора да се најде со помош на формулата .

Пример 8

Претставува сложени броеви во тригонометриска форма: ,,,.

Бидејќи има готови формули, не е неопходно да се заврши цртежот. Но, има една точка: кога ќе се побара да претставите број во тригонометриска форма, тогаш Во секој случај, подобро е да се направи цртежот. Факт е дека решението без цртеж честопати го отфрлаат наставниците; отсуството на цртеж е сериозна причина за минус и неуспех.

Броевите ги прикажуваме во сложена форма, а првиот и третиот број ќе бидат за независно решение.

Да го претставиме бројот во тригонометриска форма. Ајде да го најдеме неговиот модул и аргумент.

Од (случај 2), тогаш

– тука треба да ја искористите необичноста на арктангенсот. За жал, табелата не ја содржи вредноста , па во такви случаи аргументот треба да се остави во незгодна форма: – броеви во тригонометриска форма.

Да го претставиме бројот во тригонометриска форма. Ајде да го најдеме неговиот модул и аргумент.

Од (случај 1), тогаш (минус 60 степени).

Така:

– број во тригонометриска форма.

Но, тука, како што веќе беше забележано, се недостатоците не допирајте.

Покрај забавниот графички метод на проверка, постои и аналитичка проверка, која веќе беше извршена во Пример 7. Ние користиме табела на вредности на тригонометриски функции, притоа земајќи предвид дека аголот е токму аголот на табелата (или 300 степени): – броеви во оригинална алгебарска форма.

Претставете ги самите броеви во тригонометриска форма. Кратко решение и одговор на крајот од часот.

На крајот од делот, накратко за експоненцијалната форма на комплексен број.

Секој комплексен број (освен нула) може да се напише во експоненцијална форма:

Каде е модулот на комплексен број и е аргументот на сложениот број.

Што треба да направите за да претставите комплексен број во експоненцијална форма? Речиси исто: извршете цртеж, најдете модул и аргумент. И напишете го бројот во формата.

На пример, за бројот во претходниот пример го најдовме модулот и аргументот:,. Тогаш овој број ќе биде напишан во експоненцијална форма на следниов начин:.

Бројот во експоненцијална форма ќе изгледа вака:

Број - Значи:

Единствениот совет е не допирајте го индикаторотекспоненти, нема потреба од преуредување на фактори, отворање загради и сл. Комплексен број се запишува во експоненцијална форма строгоспоред формата.

Операции на сложени броеви напишани во алгебарска форма

Алгебарска форма на сложен број z =(а,б).се нарекува алгебарски израз на формата

z = а + би.

Аритметички операции на сложени броеви z 1 = а 1 +б 1 јасИ z 2 = а 2 +б 2 јас, напишани во алгебарска форма, се изведуваат на следниов начин.

1. Збир (разлика) на сложени броеви

z 1 ± z 2 = (а 1 ±а 2) + (б 1 ±б 2)∙ јас,

тие. собирањето (одземањето) се врши според правилото за собирање полиноми со намалување на слични членови.

2. Производ на сложени броеви

z 1 ∙z 2 = (а 1 ∙а 2 - б 1 ∙б 2) + (а 1 ∙б 2 + а 2 ∙б 1)∙ јас,

тие. множењето се врши според вообичаеното правило за множење на полиноми имајќи го предвид фактот дека јас 2 = 1.

3. Поделбата на два сложени броја се врши според следново правило:

, (z 2 ≠ 0),

тие. делењето се врши со множење на дивидендата и делителот со конјугираниот број на делителот.

Експонентацијата на сложените броеви е дефинирана на следниов начин:

Лесно е да се покаже тоа

Примери.

1. Најдете го збирот на сложените броеви z 1 = 2 – јасИ z 2 = – 4 + 3јас.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ јас)+ (–4 + 3јас) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) јас = –2+2јас.

2. Најдете го производот на сложените броеви z 1 = 2 – 3јасИ z 2 = –4 + 5јас.

= (2 – 3јас) ∙ (–4 + 5јас) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3јас)+ 2∙5јас– 3јас∙ 5јас = 7+22јас.

3. Најдете го количникот zод поделба z 1 = 3 – 2на z 2 = 3 – јас.

z = .

4. Решете ја равенката: , xИ y Î Р.

(2x+y) + (x+y)јас = 2 + 3јас.

Поради еднаквоста на сложените броеви имаме:

каде x =–1 , y= 4.

5. Пресметајте: јас 2 ,јас 3 ,јас 4 ,јас 5 ,јас 6 ,јас -1 , јас -2 .

6. Пресметај ако .

.

7. Пресметај го реципроцитет на број z=3- јас.

Сложени броеви во тригонометриска форма

Комплексен авионнаречен авион со Декартови координати ( x, y), ако секоја точка со координати ( а, б) е поврзан со комплексен број z = a + bi. Во овој случај, се нарекува оската на апсцисата реална оска, а оската на ординатите е имагинарен. Потоа секој комплексен број а+бигеометриски прикажан на рамнина како точка А (а, б) или вектор.

Затоа, позицијата на точката А(и, според тоа, комплексен број z) може да се специфицира според должината на векторот | | = ри агол ј, формиран од векторот | | со позитивна насока на реалната оска. Должината на векторот се нарекува модул на комплексен броји се означува со | z |=r, и аголот јповикани аргумент за сложен броји е назначен j = арг з.

Јасно е дека | z| ³ 0 и | z | = 0 Û z = 0.

Од Сл. 2 јасно е дека .

Аргументот за сложен број се одредува двосмислено, но со точност од 2 пк, кÎ З.

Од Сл. 2 исто така е јасно дека ако z=a+biИ j=arg z,Тоа

cos j =,грев j =, тг j = .

Ако zÎРИ z> 0, тогаш arg z = 0 +2пк;

Ако z ОРИ z< 0, тогаш arg z = p + 2пк;

Ако z = 0,арг знедефинирано.

Главната вредност на аргументот се одредува на интервалот 0 £ арг з 2 фунти стр,

или -стр£ arg z £ стр.

Примери:

1. Најдете го модулот на сложените броеви z 1 = 4 – 3јасИ z 2 = –2–2јас.

2. Дефинирајте области на сложената рамнина дефинирани со условите:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 фунти; 3) | z – (2+јас) | 3 фунти; 4) 6 фунти | z – јас| 7 фунти.

Решенија и одговори:

1) | z| = 5 Û Û - равенка на круг со радиус 5 и центар на почетокот.

2) Круг со радиус 6 со центар на почетокот.

3) Круг со радиус 3 со центар во точката z 0 = 2 + јас.

4) Прстен ограничен со кругови со радиуси 6 и 7 со центар во точка z 0 = јас.

3. Најдете го модулот и аргументот на броевите: 1) ; 2) .

1) ; А = 1, б = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2јас; a =–2, б =-2 Þ ,

.

Совет: Кога го одредувате главниот аргумент, користете ја сложената рамнина.

Така: z 1 = .

2) , р 2 = 1, j 2 = , .

3) , р 3 = 1, j 3 = , .

4) , р 4 = 1, j 4 = , .

КОМПЛЕКСНИ БРОЕВИ XI

§ 256. Тригонометриска форма на сложени броеви

Нека комплексен број а + би одговара вектор О.А.> со координати ( а, б ) (види Сл. 332).

Да ја означиме должината на овој вектор со р , и аголот што го прави со оската X , преку φ . По дефиниција за синус и косинус:

а / р =кос φ , б / р = грев φ .

Затоа А = р cos φ , б = р грев φ . Но, во овој случај сложениот број а + би може да се напише како:

а + би = р cos φ + ir грев φ = р (кос φ + јас грев φ ).

Како што е познато, квадратот на должината на кој било вектор еднаков на збиротквадрати од неговите координати. Затоа р 2 = а 2 + б 2, од каде р = √а 2 + б 2

Значи, кој било комплексен број а + би може да се претстави во форма :

а + би = р (кос φ + јас грев φ ), (1)

каде р = √а 2 + б 2 и аголот φ се одредува од условот:

Оваа форма на пишување сложени броеви се нарекува тригонометриски.

Број р во формулата (1) се нарекува модул, и аголот φ - аргумент, комплексен број а + би .

Ако комплексен број а + би не е еднаков на нула, тогаш неговиот модул е ​​позитивен; ако а + би = 0, тогаш a = b = 0 и потоа р = 0.

Модулот на кој било комплексен број е единствено определен.

Ако комплексен број а + би не е еднаков на нула, тогаш неговиот аргумент се одредува со формули (2) дефинитивноточно до агол делив со 2 π . Ако а + би = 0, тогаш a = b = 0. Во овој случај р = 0. Од формулата (1) лесно се разбира дека како аргумент φ В во овој случајможете да изберете кој било агол: на крајот на краиштата, во кој било φ

0 (кос φ + јас грев φ ) = 0.

Затоа, нултиот аргумент е недефиниран.

Модул на комплексен број р понекогаш се означува | z |, а аргументот арг z . Ајде да погледнеме неколку примери за претставување сложени броеви во тригонометриска форма.

Пример. 1. 1 + јас .

Ајде да го најдеме модулот р и аргумент φ овој број.

р = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Затоа грев φ = 1 / √ 2, кос φ = 1 / √ 2, од каде φ = π / 4 + 2nπ .

Така,

1 + јас = √ 2 ,

Каде П - кој било цел број. Вообичаено, од бесконечното множество вредности на аргументот на комплексен број, се избира една која е помеѓу 0 и 2. π . Во овој случај, оваа вредност е π / 4 . Затоа

1 + јас = √ 2 (кос π / 4 + јас грев π / 4)

Пример 2.Напиши комплексен број во тригонометриска форма √ 3 - јас . Ние имаме:

р = √ 3+1 = 2, кос φ = √ 3 / 2, грев φ = - 1 / 2

Според тоа, до агол делив со 2 π , φ = 11 / 6 π ; оттука,

√ 3 - јас = 2(кос 11/6 π + јас грев 11/6 π ).

Пример 3Напиши комплексен број во тригонометриска форма јас.

Комплексен број јас одговара вектор О.А.> , завршувајќи во точката А од оската на со ордината 1 (сл. 333). Должината на таков вектор е 1, а аголот што го прави со оската x е еднаков на π / 2. Затоа

јас =кос π / 2 + јас грев π / 2 .

Пример 4.Комплексниот број 3 запишете го во тригонометриска форма.

Комплексниот број 3 одговара на векторот О.А. > X апсциса 3 (сл. 334).

Должината на таквиот вектор е 3, а аголот што го прави со оската x е 0. Затоа

3 = 3 (кос 0 + јас грев 0),

Пример 5.Комплексниот број -5 запишете го во тригонометриска форма.

Комплексниот број -5 одговара на вектор О.А.> завршува на точка на оска X со апсциса -5 (сл. 335). Должината на таков вектор е 5, а аголот што го формира со оската x е еднаков на π . Затоа

5 = 5 (кос π + јас грев π ).

Вежби

2047. Напиши ги овие сложени броеви во тригонометриска форма, дефинирајќи ги нивните модули и аргументи:

1) 2 + 2√3 јас , 4) 12јас - 5; 7).3јас ;

2) √3 + јас ; 5) 25; 8) -2јас ;

3) 6 - 6јас ; 6) - 4; 9) 3јас - 4.

2048. На рамнината означете множество точки што претставуваат сложени броеви чии модули r и аргументите φ ги задоволуваат условите:

1) р = 1, φ = π / 4 ; 4) р < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) р =2; 5) 2 < р <3; 8) 0 < φ < я;

3) р < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < р < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Дали броевите можат истовремено да бидат модул на сложен број? р И - р ?

2050. Дали аргументот на комплексен број може истовремено да биде агли? φ И - φ ?

Претставете ги овие сложени броеви во тригонометриска форма, дефинирајќи ги нивните модули и аргументи:

2051 *. 1 + кос α + јас грев α . 2054 *. 2(косина 20° - јас грев 20°).

2052 *. грев φ + јас cos φ . 2055 *. 3(- 15° - јас грев 15°).