Како да научите да решавате проблеми во аналитичката геометрија?
Типичен проблем со триаголник на рамнина

Оваа лекција е создадена за пристапот кон екваторот помеѓу геометријата на рамнината и геометријата на просторот. Во моментов, постои потреба да се систематизираат акумулираните информации и да се одговори на многу важно прашање: како да научиме да решаваме проблеми во аналитичката геометрија?Тешкотијата е што можете да смислите бесконечен број проблеми во геометријата, а ниту еден учебник нема да го содржи сето мноштво и разновидност на примери. Ова не е извод на функцијасо пет правила на диференцијација, табела и неколку техники….

Има решение! Нема да зборувам гласно за фактот дека развив некаква грандиозна техника, но, според мое мислење, постои ефективен пристап кон проблемот што се разгледува, што овозможува дури и целосен чајник да постигне добри и одлични резултати. Барем, општиот алгоритам за решавање на геометриски проблеми се обликуваше многу јасно во мојата глава.

ШТО ТРЕБА ДА ЗНАЕТЕ И ДА МОЖЕТЕ ДА ГО НАПРАВИТЕ
за успешно решавање на геометриски задачи?

Нема бегање од ова - за да не случајно ѕиркате копчиња со носот, треба да ги совладате основите на аналитичката геометрија. Затоа, ако штотуку почнавте да учите геометрија или целосно сте ја заборавиле, ве молиме започнете со лекцијата Вектори за кукли. Покрај векторите и дејствата со нив, треба да ги знаете основните концепти на геометријата на рамнината, особено, равенка на права во рамнинаИ . Геометријата на просторот е претставена во статии Равенка на рамнина, Равенки на права во просторот, Основни проблеми на права линија и рамнина и некои други лекции. Заоблените линии и просторните површини од втор ред стојат малку одвоени, и нема толку многу специфични проблеми со нив.

Да претпоставиме дека ученикот веќе има основни знаења и вештини за решавање на наједноставните проблеми од аналитичката геометрија. Но, тоа се случува вака: ја читаш изјавата за проблемот и... сакаш да ја затвориш целата работа, да ја фрлиш во далечен агол и да заборавиш на тоа, како лош сон. Згора на тоа, ова во основа не зависи од нивото на вашите квалификации одвреме-навреме и самиот наидувам на задачи за кои решението не е очигледно. Што да се прави во такви случаи? Нема потреба да се плашите од задача што не ја разбирате!

Прво, треба да се инсталира - Дали е ова „рамен“ или просторен проблем?На пример, ако условот вклучува вектори со две координати, тогаш, се разбира, ова е геометријата на рамнината. И ако наставникот го натоварил благодарниот слушател со пирамида, тогаш јасно е дека е геометријата на просторот. Резултатите од првиот чекор се веќе доста добри, бидејќи успеавме да отсечеме огромна количина на информации непотребни за оваа задача!

Второ. Состојбата обично ќе ве загрижува со некоја геометриска фигура. Навистина, прошетајте по ходниците на вашиот роден универзитет и ќе видите многу загрижени лица.

Во „рамни“ проблеми, а да не ги спомнуваме очигледните точки и линии, најпопуларната фигура е триаголник. Ќе го анализираме многу детално. Следува паралелограмот, а многу поретки се правоаголникот, квадратот, ромбот, кругот и другите форми.

Во просторните проблеми, можат да летаат истите рамни фигури + самите авиони и обичните триаголни пирамиди со паралелепипеди.

Прашање второ - Дали знаете сè за оваа фигура?Да претпоставиме дека состојбата зборува за рамнокрак триаголник, а вие многу нејасно се сеќавате за каков триаголник станува збор. Отвораме училишен учебник и читаме за рамнокрак триаголник. Што да правам... докторот рече ромб, значи ромб. Аналитичката геометрија е аналитичка геометрија, но проблемот ќе се реши со геометриските својства на самите фигури, нам познат од училишната програма. Ако не знаете колку е збирот на аглите на триаголникот, може да страдате долго време.

Трето. СЕКОГАШ обидувајте се да го следите цртежот(на нацрт/завршна копија/ментално), дури и ако тоа не го бара условот. Во „рамни“ проблеми, самиот Евклид наредил да земе линијар и молив - и тоа не само за да ја разбере состојбата, туку и за само-тестирање. Во овој случај, најзгодната скала е 1 единица = 1 cm (2 ќелии за тетратки). Да не зборуваме за невнимателни студенти и математичари кои се вртат во нивните гробови - речиси е невозможно да се згреши во вакви проблеми. За просторни задачи изведуваме шематски цртеж, кој исто така ќе помогне да се анализира состојбата.

Цртеж или шематски цртеж често ви овозможува веднаш да го видите начинот на решавање на проблемот. Се разбира, за ова треба да ја знаете основата на геометријата и да ги разберете својствата на геометриските форми (видете го претходниот пасус).

Четврто. Развој на алгоритам за решение. Многу геометриски проблеми се повеќестепени, така што решението и неговиот дизајн е многу погодно за разложување на точки. Честопати алгоритмот веднаш ви паѓа на ум откако ќе ја прочитате состојбата или ќе го завршите цртежот. Во случај на потешкотии започнуваме со ПРАШАЊЕТО на задачата. На пример, според условот „треба да конструираш права линија...“. Овде најлогичното прашање е: „Што е доволно да се знае за да се изгради оваа права линија? Да претпоставиме, „ја знаеме поентата, треба да го знаеме векторот на насоката“. Го поставуваме следното прашање: „Како да се најде овој вектор на насока? Каде?" итн.

Понекогаш има „бубачка“ - проблемот не е решен и тоа е тоа. Причините за запирање може да бидат следниве:

– Сериозен јаз во основното знаење. Со други зборови, вие не знаете и/или не гледате некоја многу едноставна работа.

– Непознавање на својствата на геометриските фигури.

- Задачата беше тешка. Да, тоа се случува. Нема смисла да се парат со часови и да се собираат солзи во шамивче. Побарајте совет од вашиот наставник, колеги студенти или поставете прашање на форумот. Згора на тоа, подобро е да се конкретизира неговата изјава - за оној дел од решението што не го разбирате. Крик во форма на „Како да се реши проблемот? не изгледа многу добро... и, пред се, за сопствената репутација.

Фаза пет. Ние одлучуваме-проверуваме, одлучуваме-проверуваме, одлучуваме-проверуваме-даваме одговор. Корисно е да се провери секоја точка од задачата веднаш по неговото завршување. Ова ќе ви помогне веднаш да ја забележите грешката. Нормално, никој не забранува брзо решавање на целиот проблем, но постои ризик се повторно да се препише (често неколку страници).

Ова се, можеби, сите главни размислувања што треба да се следат при решавање на проблемите.

Практичниот дел од часот е претставен во рамнина геометрија. Ќе има само два примери, но нема да изгледа доволно =)

Ајде да поминеме низ нишката на алгоритмот што штотуку го погледнав во мојата мала научна работа:

Пример 1

Дадени се три темиња на паралелограм. Најдете го врвот.

Ајде да почнеме да разбираме:

Чекор еден: Очигледно е дека зборуваме за „рамен“ проблем.

Чекор два: Проблемот се занимава со паралелограм. Дали сите се сеќаваат на оваа паралелограмска фигура? Нема потреба од насмевка, многу луѓе своето образование го добиваат на 30-40-50 или повеќе години, па дури и едноставните факти можат да се избришат од меморијата. Дефиницијата за паралелограм се наоѓа во Пример бр. 3 од лекцијата Линеарна (не) зависност на вектори. Основа на вектори.

Чекор три: Да направиме цртеж на кој означуваме три познати темиња. Смешно е што не е тешко веднаш да се конструира посакуваната точка:

Да се ​​изгради, се разбира, е добро, но решението мора да се формулира аналитички.

Чекор четири: Развој на алгоритам за решение. Првото нешто што ми паѓа на ум е дека точката може да се најде како пресек на линии. Не ги знаеме нивните равенки, па ќе треба да се справиме со ова прашање:

1) Спротивните страни се паралелни. По поени Да го најдеме векторот на насоката на овие страни. Ова е наједноставниот проблем за кој се дискутираше на час. Вектори за кукли.

Забелешка: поправилно е да се каже „равенка на права што содржи страна“, но овде и понатаму за краткост ќе ги користам фразите „равенка на страна“, „вектор на насока на страна“ итн.

3) Спротивните страни се паралелни. Користејќи ги точките, го наоѓаме векторот на насоката на овие страни.

4) Да создадеме равенка на права линија користејќи точка и вектор на насока

Во ставовите 1-2 и 3-4, ние всушност го решивме истиот проблем двапати, патем, беше дискутирано во примерот бр. 3 од лекцијата Наједноставните проблеми со права линија на авион. Беше можно да се земе подолг пат - прво пронајдете ги равенките на линиите и дури потоа „извлечете“ ги векторите на насоката од нив.

5) Сега се познати равенките на правите. Останува само да се состави и реши соодветниот систем на линеарни равенки (види примери бр. 4, 5 од истата лекција Наједноставните проблеми со права линија на авион).

Поентата е пронајдена.

Задачата е прилично едноставна и нејзиното решение е очигледно, но има пократок пат!

Второ решение:

Дијагоналите на паралелограмот се преполовуваат со нивната пресечна точка. Ја означив точката, но за да не го натрупувам цртежот, не ги нацртав самите дијагонали.

Ајде да ја составиме равенката на страната точка по точка :

За да проверите, треба ментално или на нацрт да ги замените координатите на секоја точка во добиената равенка. Сега да го најдеме наклонот. За да го направите ова, ја препишуваме општата равенка во форма на равенка со коефициент на наклон:

Така, наклонот е:

Слично, ги наоѓаме равенките на страните. Не гледам многу смисла да го опишувам истото, па веднаш ќе го дадам готовиот резултат:

2) Најдете ја должината на страната. Ова е наједноставниот проблем опфатен во класот. Вектори за кукли. За поени ја користиме формулата:

Користејќи ја истата формула, лесно е да се најдат должините на другите страни. Проверката може да се направи многу брзо со обичен линијар.

Ја користиме формулата .

Ајде да ги најдеме векторите:

Така:

Патем, по пат ги најдовме должините на страните.

Како резултат:

Па, се чини дека е точно за да биде убедливо, можете да закачите транспортер на аголот.

Внимание! Не мешајте го аголот на триаголникот со аголот помеѓу прави линии. Аголот на триаголникот може да биде тап, но аголот помеѓу правите не може (види го последниот став од статијата Наједноставните проблеми со права линија на авион). Меѓутоа, за да го пронајдете аголот на триаголникот, можете да ги користите и формулите од горната лекција, но грубоста е што тие формули секогаш даваат остар агол. Со нивна помош го решив овој проблем во нацрт и го добив резултатот. И на последната копија ќе треба да запишам дополнителни изговори, дека .

4) Напишете равенка за права што минува низ точка паралелна на правата.

Стандардна задача, детално дискутирана во пример бр. 2 од лекцијата Наједноставните проблеми со права линија на авион. Од општата равенка на правата Ајде да го извадиме векторот на водичот. Ајде да создадеме равенка на права линија користејќи точка и вектор на насока:

Како да се најде висината на триаголникот?

5) Да создадеме равенка за висината и да ја најдеме нејзината должина.

Нема бегање од строгите дефиниции, па ќе мора да крадете од училишен учебник:

Висина на триаголник се нарекува нормално извлечено од темето на триаголникот до правата што ја содржи спротивната страна.

Тоа е, неопходно е да се создаде равенка за нормална извлечена од темето на страната. Оваа задача е дискутирана во примерите бр. 6, 7 од лекцијата Наједноставните проблеми со права линија на авион. Од равенството. отстранете го нормалниот вектор. Ајде да ја составиме равенката на висината користејќи вектор на точка и насока:

Ве молиме имајте предвид дека не ги знаеме координатите на точката.

Понекогаш висинската равенка се наоѓа од односот на аголните коефициенти на нормални прави: . Во овој случај, тогаш: . Ајде да ја составиме равенката за висина користејќи точка и аголен коефициент (види го почетокот на лекцијата Равенка на права линија на рамнина):

Висинската должина може да се најде на два начина.

Постои кружен пат:

а) најдете – точката на пресек на висина и страна;
б) најдете ја должината на отсечката користејќи две познати точки.

Но, на час Наједноставните проблеми со права линија на авионбеше разгледана погодна формула за растојание од точка до линија. Точката е позната: , позната е и равенката на правата: , Така:

6) Пресметајте ја плоштината на триаголникот. Во вселената, плоштината на триаголникот традиционално се пресметува со користење векторски производ на вектори, но овде ни е даден триаголник на рамнина. Ја користиме училишната формула:
- Плоштината на триаголникот е еднаква на половина од производот на неговата основа и неговата висина.

Во овој случај:

Како да се најде средина на триаголник?

7) Ајде да создадеме равенка за медијаната.

Средина на триаголник наречена отсечка што го поврзува темето на триаголникот со средината на спротивната страна.

а) Најдете ја точката - средината на страната. Ние користиме формули за координатите на средната точка на отсечката. Координатите на краевите на сегментот се познати: , потоа координатите на средината:

Така:

Да ја составиме средната равенка точка по точка :

За да ја проверите равенката, треба да ги замените координатите на точките во неа.

8) Најдете ја точката на пресек на висината и медијаната. Мислам дека сите веќе научија како да го изведат овој елемент на уметничко лизгање без да паѓаат:

Во задачите 1 - 20 се дадени темињата на триаголникот ABC.
Најдете: 1) должината на страната AB; 2) равенки на страните AB и AC и нивните аголни коефициенти; 3) Внатрешен агол А во радијани со точност од 0,01; 4) равенка за висината на ЦД и неговата должина; 5) равенката на кружница за која висината ЦД е дијаметар; 6) систем на линеарни неравенки што го дефинираат триаголникот ABC.

Должина на страната на триаголникот:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|П.н.е.| = 14,14
Растојание d од точката М: d = 10
Дадени се координатите на темињата на триаголникот: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Должина на страните на триаголникот
Растојанието d помеѓу точките M 1 (x 1 ; y 1) и M 2 (x 2 ; y 2) се одредува со формулата:

8) Равенка на права
Права линија што минува низ точките A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2) е претставена со равенките:

Равенка на правата AB


или

или
y = -3 / 4 x -7 / 4 или 4y + 3x +7 = 0
Равенка на правата AC
Канонска равенка на правата:

или

или
y = 1 / 2 x + 9 / 2 или 2y -x - 9 = 0
Равенка на правата BC
Канонска равенка на правата:

или

или
y = -7x + 42 или y + 7x - 42 = 0
3) Агол помеѓу прави линии
Равенка на права линија AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Равенка на правата AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Аголот φ помеѓу две прави, дадени со равенки со аголни коефициенти y = k 1 x + b 1 и y 2 = k 2 x + b 2, се пресметува со формулата:

Наклоните на овие линии се -3/4 и 1/2. Ајде да ја искористиме формулата и да го земеме нејзиниот модул од десната страна:

tg φ = 2
φ = арктан (2) = 63,44 0 или 1,107 рад.
9) Равенка на висина низ темето В
Правата што минува низ точката N 0 (x 0 ;y 0) и е нормална на правата Ax + By + C = 0 има вектор на насока (A;B) и затоа е претставена со равенките:



Оваа равенка може да се најде на друг начин. За да го направите ова, ајде да го најдеме наклонот k 1 на права линија AB.
AB равенка: y = -3 / 4 x -7 / 4, т.е. k 1 = -3 / 4
Да го најдеме аголниот коефициент k на нормалната од условот за нормалност на две прави: k 1 *k = -1.
Заменувајќи го наклонот на оваа линија наместо k 1, добиваме:
-3 / 4 k = -1, од каде k = 4 / 3
Бидејќи нормалната минува низ точката C(5,7) и има k = 4 / 3, ќе ја бараме неговата равенка во форма: y-y 0 = k(x-x 0).
Заменувајќи го x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7, добиваме:
y-7 = 4 / 3 (x-5)
или
y = 4 / 3 x + 1 / 3 или 3y -4x - 1 = 0
Ајде да ја најдеме пресечната точка со правата AB:
Имаме систем од две равенки:
4г + 3х +7 = 0
3г -4х - 1 = 0
Од првата равенка изразуваме y и ја заменуваме со втората равенка.
Добиваме:
x = -1
y=-1
Д(-1;-1)
9) Должина на висината на триаголникот извлечен од темето В
Растојанието d од точката M 1 (x 1 ;y 1) до правата линија Ax + By + C = 0 е еднакво на апсолутната вредност на количината:

Најдете го растојанието помеѓу точката C(5;7) и правата AB (4y + 3x +7 = 0)


Должината на висината може да се пресмета со помош на друга формула, како растојание помеѓу точката C(5;7) и точката D(-1;-1).
Растојанието помеѓу две точки се изразува во однос на координати со формулата:

5) равенката на кружница за која висината ЦД е дијаметар;
Равенката на круг со радиус R со центар во точката E(a;b) има форма:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Бидејќи CD е дијаметарот на саканиот круг, неговиот центар Е е средната точка на сегментот CD. Користејќи ги формулите за делење сегмент на половина, добиваме:


Затоа, E(2;3) и R = CD / 2 = 5. Користејќи ја формулата, ја добиваме равенката на саканиот круг: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) систем на линеарни неравенки што го дефинираат триаголникот ABC.
Равенка на правата AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Равенка на правата AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Равенка на правата BC: y = -7x + 42

Инструкции

Ви се дадени три поени. Да ги означиме како (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Се претпоставува дека овие точки се темиња на некои триаголник. Задачата е да се создадат равенки на неговите страни - поточно равенки на оние линии на кои лежат овие страни. Овие равенки треба да изгледаат вака:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3 Така, треба да ги најдете аголните вредности k1, k2, k3 и поместувањата b1, b2, b3.

Најдете права што минува низ точките (x1, y1), (x2, y2). Ако x1 = x2, тогаш саканата линија е вертикална и нејзината равенка е x = x1. Ако y1 = y2, тогаш правата е хоризонтална и нејзината равенка е y = y1. Во принцип, овие координати нема да одговараат едни на други.

Заменувајќи ги координатите (x1, y1), (x2, y2) во општата равенка на права линија, добивате систем од две линеарни равенки: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2 Одземете една равенка од другата и решете ја добиената равенка за k1: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, затоа k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Заменувајќи го она што го најдовте во која било од оригиналните равенки, пронајдете го изразот за b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 Бидејќи веќе знаеме дека x2 ≠ x1, можеме да го поедноставиме изразот со множење на y1 со (x2 - x1)/(x2 - x1). Тогаш за b1 ќе го добиете следниот израз: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Проверете дали третата од дадените точки е на пронајдената линија. За да го направите ова, заменете го (x3, y3) во добиената равенка и видете дали важи еднаквоста. Ако се набљудува, значи, сите три точки лежат на иста права, а триаголникот се дегенерира во отсечка.

На ист начин како што е опишано погоре, изведете равенки за правите што минуваат низ точките (x2, y2), (x3, y3) и (x1, y1), (x3, y3).

Конечната форма на равенките за страните на триаголникот дадена со координатите на темињата е: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Да се ​​најде равенки забави триаголник, пред сè, мора да се обидеме да го решиме прашањето како да ја најдеме равенката на правата на рамнина ако се познати нејзиниот вектор на насока s(m, n) и некоја точка M0(x0, y0) што припаѓа на правата.

Инструкции

Земете произволна (променлива, подвижна) точка М(x, y) и конструирајте вектор М0M =(x-x0, y-y0) (напишете и М0M(x-x0, y-y0)), кој очигледно ќе биде колинеарен (паралелно ) од k s. Потоа, можеме да заклучиме дека координатите на овие вектори се пропорционални, така што можеме да создадеме канонска права линија: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Токму тој сооднос ќе се користи во решавањето на проблемот.

Сите понатамошни дејства се одредуваат врз основа на методот .1 метод. Триаголникот е даден со координатите на неговите три темиња, кои во училишната геометрија се дадени со должините на неговите три забави(види Сл. 1). Односно, условот содржи точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Тие одговараат на нивните вектори на радиус) OM1, 0M2 и OM3 со исти координати како точките. Да се ​​прими равенки забави s M1M2 бара неговиот вектор на насока M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) и која било од точките M1 или M2 (тука се зема точката со помал индекс).

Значи за забави y M1M2 канонска равенка на правата (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Дејствувајќи чисто индуктивно, можеме да пишуваме равенкиостатокот забави.За забави s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). За забави s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2-ри метод. Триаголникот е дефиниран со две точки (исто како и пред M1(x1, y1) и M2(x2, y2)), како и единечните вектори на насоките на другите две забави. За забави s М2М3: p^0(m1, n1). За M1M3: q^0 (m2, n2). Затоа за забави s M1M2 ќе биде ист како во првиот метод: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

За забави s М2М3 како точка (x0, y0) на канонската равенки(x1, y1), а векторот на насоката е p^0(m1, n1). За забави s M1M3, (x2, y2) се зема како точка (x0, y0), векторот на насоката е q^0(m2, n2). Така, за M2M3: равенка (x-x1)/m1=(y-y1)/n1 За M1M3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Видео на темата

Совет 3: Како да се најде висината на триаголникот ако се дадени координатите на точките

Висината е права линија што го поврзува врвот на фигурата со спротивната страна. Овој сегмент мора да биде нормален на страната, така што може да се повлече само еден од секое теме висина. Бидејќи на оваа слика има три темиња, има ист број на висини. Ако триаголникот е даден со координатите на неговите темиња, должината на секоја од висините може да се пресмета, на пример, со користење на формулата за наоѓање на плоштината и пресметување на должините на страните.

Инструкции

Започнете со пресметување на должините на страните триаголник. Назначи координатибројки како оваа: A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) и C(X3,Y3,Z3). Потоа можете да ја пресметате должината на страната AB користејќи ја формулата AB = √((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1-Z2)²). За другите две страни тие ќе изгледаат вака: BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) и AC = √((X1-X3)² + (Y1 -Y3)² + (Z1-Z3)²). На пример, за триаголниксо координати A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) ​​должината на страната AB ќе биде √((3-16)² + (5-14 )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Должините на страните BC и AC, пресметани на ист начин, ќе бидат √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 и √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Познавањето на должините на трите страни добиени во претходниот чекор е доволно за да се пресмета површината триаголник(S) според Хероновата формула: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). На пример, заменувајќи ги во оваа формула вредностите добиени од координатите триаголник-примерок од претходниот чекор, ова ќе ја даде вредноста: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12 ) * (19,85+20,12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .

Врз основа на областа триаголник, пресметано во претходниот чекор, а должините на страните добиени во вториот чекор, пресметајте ги височините за секоја од страните. Бидејќи плоштината е еднаква на половина од производот на висината и должината на страната кон која е нацртана, за да ја пронајдете висината, поделете ја удвоената површина со должината на саканата страна: H = 2*S/a. За примерот користен погоре, висината спуштена на страната AB ќе биде 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, висината на страната BC ќе има должина од 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а за страната AC оваа вредност ќе биде еднаква на 2 *68,815/7 ≈ 19,66.

Извори:

• дадените точки најдете ја плоштината на триаголникот

Совет 4: Како да ги искористите координатите на темињата на триаголникот за да ги пронајдете равенките на неговите страни

Во аналитичката геометрија, триаголник на рамнина може да се дефинира во Декартов координатен систем. Знаејќи ги координатите на темињата, можете да креирате равенки за страните на триаголникот. Тоа ќе бидат равенките на три прави линии, кои, вкрстувајќи се, формираат фигура.

Проблем 1. Дадени се координатите на темињата на триаголникот ABC: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Најдете: 1) должината на страната AB; 2) равенки на страните AB и BC и нивните аголни коефициенти; 3) агол B во радијани со точност од две цифри; 4) равенка на висината ЦД и неговата должина; 5) равенката на медијаната AE и координатите на точката K на пресекот на оваа медијана со висината CD; 6) равенката на права линија што минува низ точката K паралелна на страната AB; 7) координати на точката М, лоцирани симетрично на точката А во однос на права линија CD.

Решение:

1. Растојанието d помеѓу точките A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) се одредува со формулата

Применувајќи го (1), ја наоѓаме должината на страната AB:

2. Равенката на правата што минува низ точките A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) има форма

(2)

Заменувајќи ги координатите на точките A и B во (2), ја добиваме равенката на страната AB:

Откако ја решивме последната равенка за y, ја наоѓаме равенката на страната AB во форма на праволиниска равенка со аголен коефициент:

каде

Заменувајќи ги координатите на точките B и C во (2), ја добиваме равенката на права линија BC:

Или

3. Познато е дека тангентата на аголот помеѓу две прави, чии аголни коефициенти се соодветно еднакви, се пресметува со формулата

(3)

Посакуваниот агол Б е формиран со прави линии AB и BC, чии аголни коефициенти се наоѓаат: Со примена на (3), добиваме

Или мило.

4. Равенката на права која минува низ дадена точка во дадена насока има форма

(4)

Висината CD е нормална на страната AB. За да го најдеме наклонот на висината ЦД, ја користиме состојбата на перпендикуларност на линиите. Оттогаш Заменувајќи ги во (4) координатите на точката C и пронајдениот аголен коефициент на висина, добиваме

За да ја пронајдеме должината на висината CD, прво ги одредуваме координатите на точката D - точката на пресек на прави линии AB и CD. Заедничко решавање на системот:

наоѓаме тие. D(8;0).

Користејќи ја формулата (1) ја наоѓаме должината на висината CD:

5. За да ја најдеме равенката на средната AE, прво ги одредуваме координатите на точката E, која е средината на страната BC, користејќи ги формулите за делење отсечка на два еднакви дела:

(5)

Оттука,

Заменувајќи ги координатите на точките А и Е во (2), ја наоѓаме равенката за медијаната:

За да ги најдеме координатите на пресечната точка на висината CD и медијаната AE, заедно го решаваме системот на равенки

Ние наоѓаме.

6. Бидејќи саканата права линија е паралелна со страната AB, нејзиниот аголен коефициент ќе биде еднаков на аголниот коефициент на правата линија AB. Заменувајќи ги во (4) координатите на пронајдената точка K и аголниот коефициент ги добиваме

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Бидејќи правата AB е нормална на правата ЦД, саканата точка М, лоцирана симетрично на точката А во однос на правата ЦД, лежи на правата линија AB. Покрај тоа, точката D е средната точка на отсечката AM. Користејќи ги формулите (5), ги наоѓаме координатите на саканата точка М:

Триаголник ABC, висина CD, средна AE, права линија KF и точка M се конструирани во координатен систем xOy на сл. 1.

Задача 2. Направете равенка за локусот на точки чии растојанија до дадена точка A(4; 0) и до дадена права x=1 се еднакви на 2.

Решение:

Во xOy координатен систем ја конструираме точката A(4;0) и правата x = 1. Нека M(x;y) е произволна точка на саканата геометриска локација на точките. Да ја спуштиме нормалната MB на дадената права x = 1 и да ги одредиме координатите на точката B. Бидејќи точката B лежи на дадената права, нејзината апсциса е еднаква на 1. Ординатата на точката B е еднаква на ординатата на точката M Затоа, B(1;y) (сл. 2).

Според условите на проблемот |MA|: |MV| = 2. Растојанија |MA| и |MB| наоѓаме од формулата (1) од задачата 1:

Со квадратура на левата и десната страна, добиваме

Добиената равенка е хипербола во која реалната полуоска е a = 2, а имагинарната полуоска е

Да ги дефинираме фокусите на хиперболата. За хипербола, еднаквоста е задоволена, и – хиперболни трикови. Како што можете да видите, дадената точка A(4;0) е вистинскиот фокус на хиперболата.

Дозволете ни да ја одредиме ексцентричноста на добиената хипербола:

Равенките на асимптотите на хиперболата имаат форма и . Затоа, или и се асимптоти на хипербола. Пред да конструираме хипербола, ги конструираме нејзините асимптоти.

Проблем 3. Направете равенка за локусот на точки што се подеднакво оддалечени од точката A(4; 3) и правата y = 1. Намалете ја добиената равенка до нејзината наједноставна форма.

Решение:Нека M(x; y) е една од точките на саканиот геометриски локус на точки. Да ја спуштиме нормалната MB од точката M на оваа права линија y = 1 (сл. 3). Да ги одредиме координатите на точката B. Очигледно, апсцисата на точката B е еднаква на апсцисата на точката M, а ординатата на точката B е еднаква на 1, т.е. B(x; 1). Според условите на проблемот |MA|=|MV|. Следствено, за која било точка M(x;y) што припаѓа на саканиот геометриски локус на точки, следнава еднаквост е точно:

Добиената равенка дефинира парабола со теме во точката За да ја доведеме равенката на параболата до нејзината наједноставна форма, да поставиме и y + 2 = Y, тогаш равенката на параболата ја зема формата: