Паралелограмот ги има сите страни. Паралелограм и неговите својства
Видео курсот „Земи А“ ги вклучува сите теми неопходни за успешно полагање на Единствениот државен испит по математика со 60-65 поени. Целосно сите задачи 1-13 од Профил унифициран државен испит по математика. Погоден е и за полагање на Основен унифициран државен испит по математика. Ако сакате да го положите обединетиот државен испит со 90-100 поени, првиот дел треба да го решите за 30 минути и без грешки!
Подготвен курс за Единствен државен испит за 10-11 одделение, како и за наставници. Сè што ви треба за да го решите Дел 1 од Единствениот државен испит по математика (првите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрија). И ова се повеќе од 70 поени на обединет државен испит и без нив не може ниту студент од 100, ниту студент на хуманитарни науки.
Целата потребна теорија. Брзи решенија, замки и тајни на Единствениот државен испит. Анализирани се сите тековни задачи од дел 1 од FIPI Task Bank. Курсот целосно е во согласност со барањата на Единствениот државен испит 2018 година.
Курсот содржи 5 големи теми, по 2,5 часа. Секоја тема е дадена од нула, едноставно и јасно.
Стотици задачи за обединет државен испит. Проблеми со зборови и теорија на веројатност. Едноставни и лесни за паметење алгоритми за решавање проблеми. Геометрија. Теорија, референтен материјал, анализа на сите видови задачи за унифициран државен испит. Стереометрија. Слабо решенија, корисни мамечки листови, развој на просторна имагинација. Тригонометрија од почеток до проблем 13. Разбирање наместо набивање. Јасни објаснувања на сложените концепти. Алгебра. Корени, моќи и логаритми, функција и извод. Основа за решавање на сложени проблеми од Дел 2 од Единствениот државен испит.
За да се утврди дали дадената фигура е паралелограм, постојат голем број знаци. Да ги погледнеме трите главни карактеристики на паралелограмот.
1 паралелограмски знак
Ако две страни на четириаголник се еднакви и паралелни, тогаш овој четириаголник ќе биде паралелограм.
Доказ:
Размислете за четириаголникот ABCD. Нека страните AB и CD се паралелни. И нека AB=CD. Да ја нацртаме дијагоналата BD во неа. Ќе го подели овој четириаголник на два еднакви триаголници: ABD и CBD.
Овие триаголници се еднакви еден со друг по двете страни и аголот меѓу нив (BD е заедничката страна, AB = CD според условот, аголот 1 = аголот 2 како вкрстени агли со попречната BD на паралелните прави AB и CD.), и затоа аголот3 = агол4.
И овие агли ќе лежат попречно кога правата BC и AD се сечат со секантата BD. Од ова произлегува дека п.н.е. и н.е. се паралелни едни со други. Имаме дека во четириаголникот ABCD спротивните страни се паралелни во пар, и затоа четириаголникот ABCD е паралелограм.
Паралелограмски знак 2
Ако во четириаголник спротивните страни се еднакви во парови, тогаш овој четириаголник ќе биде паралелограм.
Доказ:
Размислете за четириаголникот ABCD. Да ја нацртаме дијагоналата BD во неа. Ќе го подели овој четириаголник на два еднакви триаголници: ABD и CBD.
Овие два триаголници ќе бидат еднакви еден со друг на три страни (BD е заедничката страна, AB = CD и BC = AD по услов). Од ова можеме да заклучиме дека агол1 = агол2. Следи дека AB е паралелна со ЦД. И бидејќи AB = CD и AB е паралелно со CD, тогаш според првиот критериум на паралелограм, четириаголникот ABCD ќе биде паралелограм.
3 паралелограмски знак
Ако дијагоналите на четириаголник се сечат и се пресечат со точката на пресек, тогаш овој четириаголник ќе биде паралелограм.
Размислете за четириаголникот ABCD. Да нацртаме две дијагонали AC и BD во него, кои ќе се сечат во точката O и се пресечени со оваа точка.
Триаголниците AOB и COD ќе бидат еднакви еден со друг, според првиот знак за еднаквост на триаголниците. (AO = OC, BO = OD по услов, агол AOB = агол COD како вертикални агли.) Затоа, AB = CD и агол 1 = агол 2. Од еднаквоста на аглите 1 и 2, имаме дека AB е паралелен со CD. Тогаш имаме дека во четириаголникот ABCD страните AB се еднакви на CD и паралелни, а според првиот критериум на паралелограм, четириаголникот ABCD ќе биде паралелограм.
При решавање на проблеми на оваа тема, освен основни својства паралелограми соодветните формули, можете да го запомните и примените следново:
- Симетралата на внатрешен агол на паралелограм отсекува рамнокрак триаголник од него
- Симетралите на внатрешните агли во непосредна близина на една од страните на паралелограмот се меѓусебно нормални
- Симетралите што доаѓаат од спротивните внатрешни агли на паралелограмот се паралелни една на друга или лежат на иста права линија
- Збирот на квадратите на дијагоналите на паралелограмот е еднаков на збирот на квадратите на неговите страни
- Површината на паралелограм е еднаква на половина од производот на дијагоналите и синусот на аголот меѓу нив
Да ги разгледаме проблемите во кои се користат овие својства.
Задача 1.
Симетралата на аголот C на паралелограмот ABCD ја сече страната AD во точката M и продолжението на страната AB надвор од точката A во точката E. Најдете го периметарот на паралелограмот ако AE = 4, DM = 3.
Решение.
1. Триаголникот CMD е рамнокрак. (Својство 1). Затоа, CD = MD = 3 cm.
2. Триаголникот ЕАМ е рамнокрак.
Затоа, AE = AM = 4 cm.
3. АД = АМ + МД = 7 см.
4. Периметар ABCD = 20 cm.
Одговори. 20 см.
Задача 2.
Дијагоналите се нацртани во конвексен четириаголник ABCD. Познато е дека плоштините на триаголниците ABD, ACD, BCD се еднакви. Докажете дека овој четириаголник е паралелограм.
Решение.
1. Нека BE е висината на триаголникот ABD, CF е висината на триаголникот ACD. Бидејќи, според условите на задачата, плоштините на триаголниците се еднакви и имаат заедничка основа АД, тогаш висините на овие триаголници се еднакви. BE = CF.
2. BE, CF се нормални на AD. Точките B и C се наоѓаат на иста страна во однос на права линија AD. BE = CF. Затоа, права линија BC || А.Д. (*)
3. Нека AL е висината на триаголникот ACD, BK висината на триаголникот BCD. Бидејќи, според условите на задачата, плоштините на триаголниците се еднакви и имаат заедничка основа ЦД, тогаш висините на овие триаголници се еднакви. АЛ = БК.
4. AL и BK се нормални на CD. Точките Б и А се наоѓаат на иста страна во однос на правата ЦД. АЛ = БК. Затоа, права линија AB || ЦД (**)
5. Од условите (*), (**) произлегува дека ABCD е паралелограм.
Одговори. Докажано. ABCD е паралелограм.
Задача 3.
На страните BC и CD на паралелограмот ABCD, точките M и H се означени, соодветно, така што отсечките BM и HD се сечат во точката O;<ВМD = 95 о,
Решение.
1. Во триаголник DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Во правоаголен триаголник DHC Потоа<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Но, CD = AB. Тогаш AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Одговор: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Задача 4. Една од дијагоналите на паралелограм со должина од 4√6 прави агол од 60° со основата, а втората дијагонала прави агол од 45° со истата основа. Најдете ја втората дијагонала. Решение.
1. AO = 2√6. 2. Ја применуваме синусната теорема на триаголникот AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Одговор: 12.
Задача 5. За паралелограм со страни 5√2 и 7√2, помалиот агол помеѓу дијагоналите е еднаков на помалиот агол на паралелограмот. Најдете го збирот на должините на дијагоналите. Решение.
Нека d 1, d 2 се дијагоналите на паралелограмот, а аголот помеѓу дијагоналите и помалиот агол на паралелограмот е еднаков на φ. 1. Да изброиме две различни S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Ја добиваме еднаквоста 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Користејќи го односот помеѓу страните и дијагоналите на паралелограмот, ја запишуваме еднаквоста (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Ајде да создадеме систем: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Ајде да ја помножиме втората равенка на системот со 2 и да ја додадеме на првата. Добиваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Оттука, Id 1 + d 2 I = 24. Бидејќи d 1, d 2 се должините на дијагоналите на паралелограмот, тогаш d 1 + d 2 = 24. Одговор: 24.
Задача 6. Страните на паралелограмот се 4 и 6. Остриот агол помеѓу дијагоналите е 45 степени. Најдете ја плоштината на паралелограмот. Решение.
1. Од триаголникот AOB, користејќи ја косинусната теорема, ја запишуваме врската помеѓу страната на паралелограмот и дијагоналите. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Слично ја пишуваме релацијата за триаголникот AOD. Да го земеме предвид тоа<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Ја добиваме равенката d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Имаме систем Одземање на првата од втората равенка, добиваме 2d 1 · d 2 √2 = 80 или d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Забелешка:Во овој и претходниот проблем нема потреба од целосно решавање на системот, предвидувајќи дека во овој проблем ни треба производ на дијагонали за да ја пресметаме плоштината. Одговор: 10. Задача 7. Плоштината на паралелограмот е 96, а неговите страни се 8 и 15. Најдете го квадратот на помалата дијагонала. Решение.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВАД. Ајде да направиме замена во формулата. Добиваме 96 = 8 · 15 · sin VAD. Оттука грев ВАД = 4/5. 2. Ајде да најдеме cos VAD. грев 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. Според условите на проблемот, ја наоѓаме должината на помалата дијагонала. Дијагоналата ВД ќе биде помала ако аголот ВАД е остар. Потоа cos VAD = 3/5. 3. Од триаголникот ABD, користејќи ја косинусната теорема, го наоѓаме квадратот на дијагоналата BD. ВД 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВД · cos ВАД. ВД 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Одговор: 145.
Сè уште имате прашања? Не знаете како да решите геометриски проблем? веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот. „Големото научно откритие дава решение за голем проблем, но во решението на секој проблем има зрно откритие“. Паралелограмот има спротивни страни кои се еднакви. Доказ. Нека ABCD е дадениот паралелограм. И нека неговите дијагонали се сечат во точката О. Во паралелограм, спротивните агли се еднакви. Доказ. Дијагоналите на паралелограмот се сечат и се преполовуваат на пресечната точка. Доказ. Нека ABCD е дадениот паралелограм. Ајде да ја нацртаме дијагоналата AC. Да го означиме средното O. На продолжението на отсечката DO, ќе ја оставиме настрана отсечката OB 1 еднаква на DO. Во учебниците за редовните училишта (на пример, во Погорелово) се докажува вака: дијагоналите делат паралелограм на 4 триаголници. Ајде да разгледаме еден пар и да дознаеме - тие се еднакви: нивните основи се спротивни страни, соодветните агли до него се еднакви, како вертикални агли со паралелни линии. Тоа е, отсечките на дијагоналите се еднакви во парови. Сите. Дали е тоа сè? Смешното е што овој дел е многу потешко да се докаже. Патем, ова произлегува од поопшт резултат: секој конвексен четириаголник ќе има дијагонали што се сечат, но секој неконвексен четириаголник нема. За еднаквост на триаголници долж страна и два соседни агли (втор знак за еднаквост на триаголници) и други. Талес најде важна практична примена на теоремата за еднаквост на два триаголници долж една страна и два соседни агли. Во пристаништето Милет бил изграден далечина за да се одреди растојанието до брод на море. Се состоеше од три затегнати штипки A, B и C (AB = BC) и означена права линија SC, нормална на CA. Кога се појави брод на правата линија СК, ја најдовме точката D таква што точките D, .B и E беа на иста права линија. Како што е јасно од цртежот, растојанието ЦД на земја е саканото растојание до бродот. Работевме на лекцијата Кузњецов А.В. Потурнак С.А. Евгениј Петров Можете да поставите прашање за модерното образование, да изразите идеја или да решите неодложен проблем во Едукативен форум, каде што образовниот совет на свежа мисла и акција се состанува на меѓународно ниво. Имајќи создадено блог,Вие не само што ќе го подобрите вашиот статус како компетентен наставник, туку и ќе дадете значаен придонес во развојот на училиштето на иднината. Еснаф на образовни лидериги отвора вратите за врвни специјалисти и ги поканува да соработуваат во создавањето на најдобрите училишта во светот.
(
(Бидејќи во правоаголен триаголник, кракот што лежи спроти аголот од 30° е еднаков на половина од хипотенузата).
начини на нејзината површина.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!
Тема на лекцијата
Цели на часот
Цели на часот
План за лекција
Вовед
Својство на спротивните страни на паралелограм
Бидејќи Δ AOB = Δ COD според првиот критериум за еднаквост на триаголниците (∠ AOB = ∠ COD, како вертикални, AO=OC, DO=OB, според својството на дијагоналите на паралелограм), тогаш AB=CD. На ист начин, од еднаквоста на триаголниците BOC и DOA, произлегува дека BC = DA. Теоремата е докажана. Својство на спротивните агли на паралелограм
Нека ABCD е дадениот паралелограм. И нека неговите дијагонали се сечат во точката О.
Од она што беше докажано во теоремата за својствата на спротивните страни на паралелограм Δ ABC = Δ CDA на три страни (AB=CD, BC=DA од докажаното, AC – општо). Од еднаквоста на триаголниците произлегува дека ∠ ABC = ∠ CDA.
Докажано е и дека ∠ DAB = ∠ BCD, што следи од ∠ ABD = ∠ CDB. Теоремата е докажана.Својство на дијагоналите на паралелограм
Според претходната теорема, AB 1 CD е паралелограм. Затоа, правата AB 1 е паралелна со DC. Но низ точката А може да се повлече само една права паралелна со еднонасочна струја. Ова значи дека директно AB 1 се совпаѓа со директно AB.
Се докажува и дека 1 п.н.е. се поклопува со п.н.е. Ова значи дека точката C се совпаѓа со C 1. паралелограмот ABCD се совпаѓа со паралелограмот AB 1 CD. Следствено, дијагоналите на паралелограмот се сечат и се преполовуваат на пресечната точка. Теоремата е докажана.
Погоре беше докажано дека пресечната точка ги преполовува дијагоналите - ако постои. Горенаведеното резонирање на ниту еден начин не го докажува самото негово постоење. Односно, дел од теоремата „дијагоналите на паралелограм се сечат“ останува недокажана.
Прашања
Список на користени извори
Се вчитува...