Ротација на круто тело околу фиксна оска. Ротационо движење на круто тело околу фиксна оска Закон за ротационо движење околу фиксна оска

ДЕФИНИЦИЈА: Ротационо движење на круто телотаквото движење во кое сите точки на телото се движат во кругови, чиишто центри лежат на иста права линија, ќе го наречеме оска на ротација.

За да ја проучуваме динамиката на ротационата, ги додаваме познатите кинематички величини две количини: момент на моќ(М) и Моментот на инерција(Ј).

1. Од искуство е познато: забрзувањето на ротационото движење не зависи само од големината на силата што делува на телото, туку и од растојанието од оската на ротација до линијата по која дејствува силата. За да се карактеризира оваа околност, физичката величина наречена момент на сила.

Да го разгледаме наједноставниот случај.

ДЕФИНИЦИЈА: Моментот на сила околу одредена точка „О“ е векторска величина дефинирана со изразот , каде што е нацртан векторот на радиусот од точката „О“ до точката на примена на силата.

Од дефиницијата произлегува дека е аксијален вектор. Нејзината насока е избрана така што ротацијата на векторот околу точката „О“ во насока на силата и векторот формираат десен систем. Модулот на моментот на сила е еднаков на , каде што a е аголот помеѓу насоките на векторите и , и л= r грев a е должината на нормалната отфрлена од точката „О“ до правата линија по која дејствува силата (наречен рамо на силаво однос на точката „О“) (сл. 4.2).

2. Експерименталните податоци покажуваат дека големината на аголното забрзување е под влијание не само од масата на ротирачкото тело, туку и од распределбата на масата во однос на оската на ротација. Количината што ја зема предвид оваа околност се нарекува Моментот на инерцијаво однос на оската на ротација.

ДЕФИНИЦИЈА: Строго кажано, Моментот на инерцијатело во однос на одредена оска на ротација се нарекува вредност J, еднаква на збирот на производите на елементарните маси по квадратите на нивните растојанија од дадената оска.

Сумирањето се врши на сите елементарни маси на кои било поделено телото. Треба да се има на ум дека оваа величина (J) постои без оглед на ротацијата (иако концептот на момент на инерција е воведен кога се разгледува ротацијата на круто тело).

Секое тело, без разлика дали е во мирување или ротира, има одреден момент на инерција во однос на која било оска, исто како што телото има маса без разлика дали се движи или мирува.

Со оглед на тоа, моментот на инерција може да се претстави како: . Оваа врска е приближна и колку се помали елементарните волумени и соодветните масовни елементи, толку ќе биде попрецизна. Следствено, задачата за наоѓање моменти на инерција се сведува на интеграција: . Тука интеграцијата се врши низ целиот волумен на телото.

Да ги запишеме моментите на инерција на некои тела со правилна геометриска форма.

1. Униформа долга прачка.
Ориз. 4.3	Моментот на инерција околу оската што е нормална на шипката и минува низ нејзината средина е еднаков на
2. Цврст цилиндар или диск.
Ориз. 4.4	Моментот на инерција околу оската што се совпаѓа со геометриската оска е еднаков на .
3. Цилиндар со тенкоѕиди со радиус R.
Ориз. 4.5
4. Момент на инерција на топка со радиус R во однос на оската што минува низ нејзиниот центар
Ориз. 4.6
5. Момент на инерција на тенок диск (дебелина б<
Ориз. 4.7
6. Момент на инерција на блокот
Ориз. 4.8
7. Момент на инерција на прстенот
Ориз. 4.9

Пресметката на моментот на инерција овде е прилично едноставна, бидејќи Се претпоставува дека телото е хомогено и симетрично, а моментот на инерција се одредува во однос на оската на симетрија.

За да се одреди моментот на инерција на телото во однос на која било оска, неопходно е да се користи теоремата на Штајнер.

ДЕФИНИЦИЈА: Момент на инерција J за произволна оскае еднаков на збирот на моментот на инерција J c во однос на оската паралелна на дадената и која минува низ центарот на инерција на телото, и производот на масата на телото со квадратот на растојанието помеѓу оските (сл. 4.10).

Оваа статија опишува важен дел од физиката - „Кинематика и динамика на ротационото движење“.

Основни концепти на кинематика на ротационо движење

Ротациско движење на материјална точка околу фиксна оска се нарекува такво движење, чија траекторија е круг кој се наоѓа во рамнина нормална на оската, а неговиот центар лежи на оската на ротација.

Ротационо движење на круто тело е движење во кое сите точки на телото се движат по концентрични (чии центри лежат на иста оска) кругови во согласност со правилото за ротационо движење на материјална точка.

Нека произволно круто тело Т ротира околу оската O, која е нормална на рамнината на цртежот. Дозволете ни да ја избереме точката M на ова тело. Кога ќе се ротира, оваа точка ќе опише круг со радиус околу оската O р.

По некое време, радиусот ќе се ротира во однос на неговата првобитна положба за агол Δφ.

Насоката на десната завртка (во насока на стрелките на часовникот) се зема како позитивна насока на ротација. Промената на аголот на ротација со текот на времето се нарекува равенка на ротационо движење на круто тело:

φ = φ(t).

Ако φ се мери во радијани (1 rad е аголот што одговара на лак со должина еднаков на неговиот радиус), тогаш должината на кружниот лак ΔS, кој материјалната точка M ќе го помине во време Δt, е еднаква на:

ΔS = Δφr.

Основни елементи на кинематиката на еднообразно ротационо движење

Мерка за движење на материјална точка во краток временски период dtслужи како елементарен вектор на ротација dφ.

Аголната брзина на материјална точка или тело е физичка големина што се определува со односот на векторот на елементарната ротација со времетраењето на оваа ротација. Насоката на векторот може да се определи со правилото на десната завртка по оската O. Во скаларна форма:

ω = dφ/dt.

Ако ω = dφ/dt = const,тогаш таквото движење се нарекува еднообразно ротационо движење. Со него, аголната брзина се одредува со формулата

ω = φ/t.

Според прелиминарната формула, димензијата на аголната брзина

[ω] = 1 рад/с.

Рамномерното ротационо движење на телото може да се опише со периодот на ротација. Периодот на ротација Т е физичка величина која го одредува времето во кое телото прави една целосна вртење околу оската на ротација ([T] = 1 s). Ако во формулата за аголна брзина земеме t = T, φ = 2 π (една целосна револуција со радиус r), тогаш

ω = 2π/T,

Затоа, го дефинираме периодот на ротација на следниов начин:

Т = 2π/ω.

Бројот на вртежи што телото ги прави по единица време се нарекува фреквенција на ротација ν, што е еднакво на:

ν = 1/Т.

Фреквентни единици: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Споредувајќи ги формулите за аголна брзина и фреквенција на ротација, добиваме израз што ги поврзува овие величини:

ω = 2πν.

Основни елементи на кинематиката на нерамномерно ротационо движење

Нерамномерното ротационо движење на круто тело или материјална точка околу фиксна оска се карактеризира со неговата аголна брзина, која се менува со текот на времето.

Вектор ε , карактеризирајќи ја брзината на промена на аголната брзина, се нарекува вектор на аголно забрзување:

ε = dω/dt.

Ако телото ротира, забрзувајќи, т.е dω/dt > 0, векторот има насока по оската во иста насока како ω.

Ако ротационото движење е бавно - dω/dt< 0 , тогаш векторите ε и ω се обратно насочени.

Коментар. Кога се случува нерамномерно ротационо движење, векторот ω може да се промени не само во големината, туку и во насоката (кога оската на ротација се ротира).

Врска помеѓу величините што го карактеризираат преводното и ротационото движење

Познато е дека должината на лакот со аголот на ротација на радиусот и неговата вредност се поврзани со односот

ΔS = Δφ r.

Потоа линеарната брзина на материјална точка која врши ротационо движење

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Нормалното забрзување на материјална точка што врши ротационо преводно движење се определува на следниов начин:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Значи, во скаларна форма

a = ω 2 r.

Тангенцијална забрзана материјална точка која врши ротационо движење

a = ε r.

Моментум на материјална точка

Векторскиот производ на векторот на радиусот на траекторијата на материјална точка со маса m i и нејзиниот моментум се нарекува аголен моментум на оваа точка околу оската на ротација. Насоката на векторот може да се одреди со користење на правото правило за завртка.

Моментум на материјална точка ( L i) е насочена нормално на рамнината извлечена низ r i и υ i, и со нив формира десна тројка вектори (т.е. кога се движи од крајот на векторот r iДо υ јас десната завртка ќе ја покаже насоката на векторот Лз).

Во скаларна форма

L = m i υ i r i sin(υ i, r i).

Имајќи предвид дека при движење во круг, векторот на радиусот и векторот на линеарна брзина за i-тата материјална точка се меѓусебно нормални,

sin(υ i, r i) = 1.

Значи аголниот момент на материјална точка за ротационо движење ќе добие форма

L = m i υ i r i .

Моментот на сила што делува на i-тата материјална точка

Векторскиот производ на векторот на радиусот, кој е повлечен до точката на примена на силата, а оваа сила се нарекува момент на сила што дејствува на i-тата материјална точка во однос на оската на ротација.

Во скаларна форма

M i = r i F i sin(r i, F i).

Со оглед на тоа r i sinα = l i,M i = l i F i.

Магнитуда л i, еднаква на должината на нормалната спуштена од точката на ротација до насоката на дејството на силата, се нарекува рака на силата F i.

Динамика на ротационо движење

Равенката за динамиката на ротационото движење е напишана на следниов начин:

M = dL/dt.

Формулацијата на законот е како што следува: брзината на промена на аголниот моментум на тело што ротира околу фиксна оска е еднаква на добиениот момент во однос на оваа оска на сите надворешни сили што се применуваат на телото.

Момент на импулс и момент на инерција

Познато е дека за i-та материјална точка аголниот моментум во скаларна форма е даден со формулата

L i = m i υ i r i .

Ако наместо линеарна брзина го замениме нејзиниот израз преку аголна брзина:

υ i = ω или i,

тогаш изразот за аголниот моментум ќе добие форма

L i = m i r i 2 ω.

Магнитуда I i = m i r i 2се нарекува момент на инерција во однос на оската на i-тата материјална точка на апсолутно круто тело кое минува низ неговиот центар на маса. Потоа го запишуваме аголниот момент на материјалната точка:

L i = I i ω.

Аголниот момент на апсолутно круто тело го запишуваме како збир на аголниот моментум на материјалните точки што го сочинуваат ова тело:

L = Iω.

Момент на сила и момент на инерција

Законот за ротационо движење вели:

M = dL/dt.

Познато е дека аголниот момент на телото може да се претстави преку моментот на инерција:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Имајќи предвид дека аголното забрзување се определува со изразот

ε = dω/dt,

добиваме формула за моментот на сила, претставен преку моментот на инерција:

M = Iε.

Коментар.Моментот на сила се смета за позитивен ако аголното забрзување што го предизвикува е поголемо од нула, и обратно.

Штајнерова теорема. Закон за собирање моменти на инерција

Ако оската на ротација на телото не минува низ неговиот центар на маса, тогаш во однос на оваа оска може да се најде неговиот момент на инерција користејќи ја теоремата на Штајнер:
I = I 0 + ма 2,

Каде јас 0- почетен момент на инерција на телото; м- телесна маса; а- растојание помеѓу оските.

Ако системот кој ротира околу фиксна оска се состои од nтела, тогаш вкупниот момент на инерција на овој тип на систем ќе биде еднаков на збирот на моментите на неговите компоненти (законот за собирање моменти на инерција).

Движењето на круто тело се нарекува ротационо ако за време на движењето, сите точки на телото лоцирани на одредена права линија, наречена оска на ротација, остануваат неподвижни.(Сл. 2.15).

Позицијата на телото за време на ротационото движење обично се одредува агол на ротацијатело , кој се мери како диедрален агол помеѓу неподвижните и подвижните рамнини кои минуваат низ оската на ротација. Покрај тоа, подвижната рамнина е поврзана со ротирачко тело.

Да ги земеме предвид подвижните и фиксните координатни системи, чие потекло ќе биде поставено во произволна точка О на оската на ротација. Оската Оз, заедничка за подвижните и фиксните координатни системи, ќе биде насочена долж оската на ротација, оската Она фиксниот координатен систем, го насочуваме нормално на оската Оз така што лежи во фиксната рамнина, оската О 1Да го насочиме подвижниот координатен систем нормално на оската Оз така што тој лежи во подвижната рамнина (сл. 2.15).

Ако земеме дел од телото со рамнина нормална на оската на ротација, тогаш аголот на ротација φ може да се дефинира како агол помеѓу фиксната оска Ои подвижна оска О 1, непроменливо поврзано со ротирачко тело (сл. 2.16).

Прифатена е референтната насока за аголот на ротација на телото φ спротивно од стрелките на часовникот се смета за позитивно кога се гледа од позитивната насока на оската Оз.

Еднаквост φ = φ(t), опишувајќи ја промената на аголот φ во времето се нарекува закон или равенка на ротационо движење на круто тело.

Брзината и насоката на промена на аголот на ротација на круто тело се карактеризираат со аголна брзина.Апсолутната вредност на аголната брзина обично се означува со буква од грчката азбука ω (омега). Алгебарската вредност на аголната брзина обично се означува со . Алгебарската вредност на аголната брзина е еднаква на првиот временски дериват на аголот на ротација:

. (2.33)

Единиците за аголна брзина се еднакви на единиците за агол поделени со единицата за време, на пример, deg/min, rad/h. Во системот SI, мерната единица за аголна брзина е rad/s, но почесто името на оваа мерна единица се пишува како 1/s.

Ако > 0, тогаш телото ротира спротивно од стрелките на часовникот кога се гледа од крајот на координатната оска порамнета со оската на ротација.

Ако< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Брзината и насоката на промена на аголната брзина се карактеризираат со аголно забрзување. Апсолутната вредност на аголното забрзување обично се означува со буквата од грчката азбука e (епсилон). Алгебарската вредност на аголното забрзување обично се означува со . Алгебарската вредност на аголното забрзување е еднаква на првиот извод во однос на времето на алгебарската вредност на аголната брзина или вториот извод на аголот на ротација:

Единиците за аголно забрзување се еднакви на единиците за агол поделени со единицата за време на квадрат. На пример, deg/s 2, rad/h 2. Во системот SI, мерната единица за аголно забрзување е rad/s 2, но почесто името на оваа мерна единица се пишува како 1/s 2.

Ако алгебарските вредности на аголната брзина и аголното забрзување имаат ист знак, тогаш аголната брзина се зголемува во големината со текот на времето, а ако е различна, се намалува.

Ако аголната брзина е константна ( ω = const), тогаш вообичаено е да се каже дека ротацијата на телото е рамномерна. Во овој случај:

φ = t + φ 0, (2.35)

Каде φ 0 - почетен агол на ротација.

Ако аголното забрзување е константно (e = const), тогаш вообичаено е да се каже дека ротацијата на телото е подеднакво забрзана (еднакво бавна). Во овој случај:

Каде 0 - почетна аголна брзина.

Во други случаи, за да се утврди зависноста φ од И потребно е да се интегрираат изразите (2.33), (2.34) под дадени почетни услови.

На цртежите, насоката на ротација на телото понекогаш е прикажана со заоблена стрелка (сл. 2.17).

Често во механиката, аголната брзина и аголното забрзување се сметаат како векторски величини И . И двата вектори се насочени долж оската на ротација на телото. Покрај тоа, векторот насочена во една насока со единечниот вектор, кој ја одредува насоката на координатната оска што се совпаѓа со оската на ротација, ако >0, и обратно ако
На ист начин се избира насоката на векторот (сл. 2.18).

За време на ротационото движење на телото, секоја негова точка (освен точките лоцирани на оската на ротација) се движи по траекторија, која е круг со радиус еднаков на најкраткото растојание од точката до оската на ротација (Сл. 2.19).

Бидејќи тангентата на кругот во која било точка прави агол од 90° со радиусот, векторот на брзина на точка на тело што е подложен на ротационо движење ќе биде насочен нормално на радиусот и ќе лежи во рамнината на кругот, што е траекторија на движење на точката. Тангенталната компонента на забрзувањето ќе лежи на иста линија како брзината, а нормалната компонента ќе биде насочена радијално кон центарот на кругот. Затоа, понекогаш соодветно се нарекуваат тангентните и нормалните компоненти на забрзувањето за време на ротационото движење ротациона и центрипетална (аксијална)компоненти (сл. 2.19)

Алгебарската вредност на брзината на точката се определува со изразот:

, (2.37)

каде R = OM е најкраткото растојание од точката до оската на ротација.

Алгебарската вредност на тангенцијалната компонента на забрзувањето се одредува со изразот:

. (2.38)

Модулот на нормалната компонента на забрзување се одредува со изразот:

. (2.39)

Векторот на забрзување на точка за време на ротационото движење се определува со правилото на паралелограм како геометриски збир на тангентите и нормалните компоненти. Според тоа, модулот на забрзување може да се одреди со помош на Питагоровата теорема:

Ако аголната брзина и аголното забрзување се дефинираат како векторски величини , , тогаш векторите на брзината, тангенцијалните и нормалните компоненти на забрзувањето може да се одредат со формулите:

каде е нацртан векторот на радиусот до точката М од произволна точка на оската на ротација (сл. 2.20).

Решавањето на проблемите кои вклучуваат ротационо движење на едно тело обично не предизвикува никакви тешкотии. Користејќи ги формулите (2.33)-(2.40), можете лесно да одредите кој било непознат параметар.

Одредени потешкотии се јавуваат при решавање на проблеми поврзани со проучувањето на механизмите што се состојат од неколку меѓусебно поврзани тела кои вршат и ротационо и транслаторно движење.

Општиот пристап за решавање на ваквите проблеми е дека движењето од едно тело до друго се пренесува преку една точка - точката на тангенција (контакт). Покрај тоа, телата што контактираат имаат еднакви брзини и компоненти на тангенцијално забрзување на точката на допир. Нормалните компоненти на забрзувањето за телата кои се во контакт на точката на допир се различни, тие зависат од траекторијата на точките на телата.

При решавање на проблеми од овој тип, погодно е, во зависност од специфичните околности, да се користат и формулите дадени во дел 2.3 и формулите за одредување на брзината и забрзувањето на точката кога се одредува нејзиното движење како природно (2.7), (2.14). ) (2.16) или координатни (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) методи. Освен тоа, ако движењето на телото на кое му припаѓа точката е ротационо, траекторијата на точката ќе биде круг. Ако движењето на телото е праволиниско преводно, тогаш траекторијата на точката ќе биде права линија.

Пример 2.4.Телото ротира околу фиксна оска. Аголот на ротација на телото се менува според законот φ = π t 3мило. За точка лоцирана на растојание OM = R = 0,5 m од оската на ротација, определете ја брзината, тангентата, нормалните компоненти на забрзувањето и забрзувањето во моментот на времето. т 1= 0,5 с. Покажете ја насоката на овие вектори на цртежот.

Да разгледаме дел од тело со рамнина што минува низ точката О нормална на оската на ротација (сл. 2.21). На оваа слика, точката О е пресечна точка на оската на ротација и рамнината на сечење, точка М оИ М 1- соодветно почетната и моменталната положба на точката M. Преку точките O и М онацртајте фиксна оска О, и преку точките О и М 1 -подвижна оска О 1.Аголот помеѓу овие оски ќе биде еднаков на

Го наоѓаме законот за промена на аголната брзина на телото со диференцирање на законот за промена на аголот на ротација:

Во моментот т 1аголната брзина ќе биде еднаква

Ќе го најдеме законот за промена на аголното забрзување на телото со диференцирање на законот за промена на аголната брзина:

Во моментот т 1аголното забрзување ќе биде еднакво на:

1/s 2,

Ги наоѓаме алгебарските вредности на векторите на брзината, тангенцијалната компонента на забрзувањето, модулот на нормалната компонента на забрзувањето и модулот на забрзување користејќи формули (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):

М/с 2 ;

m/s 2 .

Од аголот φ 1>0, тогаш ќе го поместиме од оската Ox спротивно од стрелките на часовникот. И бидејќи > 0, потоа векторите ќе бидат насочени нормално на радиусот ОМ 1така што ги гледаме како ротираат спротивно од стрелките на часовникот. Вектор ќе бидат насочени по радиусот ОМ 1до оската на ротација. Вектор Да градиме според правилото за паралелограм на вектори τ И .

Пример 2.5.Според дадената равенка на праволиниско преводно движење на товарот 1 x = 0,6т 2 - 0,18 (m) ја одредува брзината, како и тангенцијалната, нормална компонента на забрзувањето и забрзувањето на точката М на механизмот во моментот на времето т 1, кога патеката што ја минува оптоварувањето 1 е s = 0,2 m При решавање на проблемот, ќе претпоставиме дека нема лизгање на местото на допир на телата 2 и 3, R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R 3 = 0,5 m (сл. 2,22).

Законот за праволиниско преводно движење на товарот 1 е даден во координатна форма. Да го одредиме моментот во времето т 1, за кој патеката што ја минува товарот 1 ќе биде еднаква на s

s = x(t l)-x(0),

од каде добиваме:

0,2 = 0,18 + 0,6т 1 2 - 0,18.

Оттука,

Откако ја диференциравме равенката на движење во однос на времето, ги наоѓаме проекциите на брзината и забрзувањето на оптоварувањето 1 на оската Ox:

Госпоѓица 2 ;

Во моментот t = t 1 проекцијата на брзината на оптоварувањето 1 ќе биде еднаква на:

односно ќе биде поголемо од нула, како што е проекцијата на забрзувањето на оптоварувањето 1. Затоа, оптоварувањето 1 ќе биде во моментот t 1 движете се надолу подеднакво забрзано, соодветно, телото 2 ќе ротира подеднакво забрзано во насока спротивно од стрелките на часовникот, а телото 3 ќе се ротира во насока на стрелките на часовникот.

Телото 2 е доведено во ротација од телото 1 преку конец намотан на барабанот. Според тоа, модулите на брзините на точките на телото 1, конецот и површината на барабанот на телото 2 се еднакви, а модулите на забрзување на точките на телото 1, навојот и тангенталната компонента на забрзувањето точките на површината на барабанот на телото 2, исто така, ќе бидат еднакви. Следствено, модулот на аголната брзина на телото 2 може да се дефинира како

Модулот на аголното забрзување на телото 2 ќе биде еднаков на:

1/s 2 .

Дозволете ни да ги одредиме модулите за брзина и тангенцијалната компонента на забрзување за точката К на телото 2 - точката на допир на телата 2 и 3:

Госпоѓица, Госпоѓица 2

Бидејќи телата 2 и 3 ротираат без меѓусебно лизгање, величините на брзината и тангенцијалната компонента на забрзувањето на точката К - допирната точка за овие тела ќе бидат еднакви.

да го насочиме нормално на радиусот во насока на ротација на телото, бидејќи телото 3 ротира рамномерно забрзано

Прогресивнае движење на круто тело во кое секоја права линија непроменливо поврзана со ова тело останува паралелна со неговата почетна положба.

Теорема. За време на преводното движење на круто тело, сите негови точки опишуваат идентични траектории и во секој даден момент имаат еднаква брзина и забрзување по големина и насока.

Доказ. Да извлечеме низ две точки и , линеарно движечки сегмент на телото
и разгледајте го движењето на овој сегмент во положбата
. Во исто време, поентата ја опишува траекторијата
, и точка - траекторија
(Сл. 56).

Имајќи предвид дека сегментот
се движи паралелно со себе, а неговата должина не се менува, може да се утврди дека траекториите на точките И ќе биде исто. Тоа значи дека првиот дел од теоремата е докажан. Ќе ја одредиме позицијата на бодовите И векторска метода во однос на фиксно потекло . Покрај тоа, овие радиуси - вектори се зависни
. Бидејќи. ниту должината ниту насоката на отсечката
не се менува кога телото се движи, тогаш векторот

. Ајде да продолжиме со одредување на брзините со помош на зависност (24):

, добиваме
.

Ајде да продолжиме со одредување на забрзувања користејќи зависност (26):

, добиваме
.

Од докажаната теорема произлегува дека преводното движење на телото ќе биде целосно определено ако се знае движењето на само една точка. Затоа, проучувањето на преводното движење на круто тело се сведува на проучување на движењето на една од неговите точки, т.е. до точка кинематички проблем.

Тема 11. Ротационо движење на круто тело

РотационаОва е движење на круто тело во кое две негови точки остануваат неподвижни во текот на целото движење. Во овој случај, правата линија што минува низ овие две фиксни точки се нарекува оска на ротација.

За време на ова движење, секоја точка на телото што не лежи на оската на ротација опишува круг, чија рамнина е нормална на оската на ротација, а нејзиниот центар лежи на оваа оска.

Низ оската на ротација цртаме фиксна рамнина I и подвижна рамнина II, непроменливо поврзани со телото и ротирачки со него (слика 57). Положбата на рамнината II, и соодветно на целото тело, во однос на рамнината I во вселената, е целосно одредена од аголот . Кога телото ротира околу оската овој агол е континуирана и недвосмислена функција на времето. Затоа, знаејќи го законот за промена на овој агол со текот на времето, можеме да ја одредиме положбата на телото во просторот:

- закон за ротационо движење на телото. (43)

Во овој случај, ќе претпоставиме дека аголот мерено од фиксна рамнина во насока спротивна на движењето во насока на стрелките на часовникот, кога се гледа од позитивниот крај на оската . Бидејќи положбата на телото што ротира околу фиксна оска се одредува со еден параметар, се вели дека таквото тело има еден степен на слобода.

Аголна брзина

Промената на аголот на ротација на телото со текот на времето се нарекува аголна брзината на телото и е назначен
(омега):

.(44)

Аголната брзина, исто како и линеарната брзина, е векторска количина и овој вектор изградена на оската на ротација на телото. Тој е насочен по оската на вртење во таа насока така што, гледајќи од неговиот крај кон почетокот, може да се види ротацијата на телото спротивно од стрелките на часовникот (сл. 58). Модулот на овој вектор се одредува со зависност (44). Точка за примена на оската може да се избере произволно, бидејќи векторот може да се пренесе по линијата на неговото дејство. Ако правовекторот на ротационата оска го означиме со , тогаш го добиваме векторскиот израз за аголна брзина:

. (45)

Аголно забрзување

Стапката на промена на аголната брзина на телото со текот на времето се нарекува аголно забрзување тело и е назначен (епсилон):

. (46)

Аголното забрзување е векторска величина и овој вектор изградена на оската на ротација на телото. Тој е насочен по оската на вртење во таа насока, така што, гледајќи од нејзиниот крај кон почетокот, може да се види насоката на вртење на ипсилонот спротивно од стрелките на часовникот (сл. 58). Модулот на овој вектор се одредува со зависност (46). Точка за примена на оската може да се избере произволно, бидејќи векторот може да се пренесе по линијата на неговото дејство.

Ако правовекторот на ротационата оска го означиме со , тогаш го добиваме векторскиот израз за аголно забрзување:

. (47)

Ако аголната брзина и забрзувањето се со ист знак, тогаш телото ротира забрзано, и ако е различно - полека. Пример за бавна ротација е прикажан на сл. 58.

Да разгледаме посебни случаи на ротационо движење.

1. Еднообразна ротација:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Еднаква ротација:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

Врска помеѓу линеарни и аголни параметри

Размислете за движењето на произволна точка
ротирачко тело. Во овој случај, траекторијата на точката ќе биде круг со радиус
, сместена во рамнина нормална на оската на ротација (сл. 59, А).

Да претпоставиме дека во моментот точката е во позиција
. Да претпоставиме дека телото ротира во позитивна насока, т.е. во насока на зголемување на аголот . Во еден момент во времето
точката ќе заземе позиција
. Да го означиме лакот
. Затоа, во одреден временски период
точката го помина патот
. Нејзината просечна брзина , и кога
,
. Но, од Сл. 59, б, јасно е дека
. Потоа. Конечно добиваме

. (50)

Еве - линеарна брзина на точката
. Како што беше добиено претходно, оваа брзина е насочена тангенцијално на траекторијата во дадена точка, т.е. тангента на кругот.

Така, модулот на линеарната (обемна) брзина на точка на ротирачко тело е еднаков на производот на апсолутната вредност на аголната брзина и растојанието од оваа точка до оската на ротација.

Сега да ги поврземе линеарните компоненти на забрзувањето на точката со аголните параметри.

,
. (51)

Модулот на тангенцијалното забрзување на точка на круто тело што ротира околу фиксна оска е еднаков на производот на аголното забрзување на телото и растојанието од оваа точка до оската на ротација.

,
. (52)

Модулот на нормално забрзување на точка на круто тело што ротира околу фиксна оска е еднаков на производот од квадратот на аголната брзина на телото и растојанието од оваа точка до оската на ротација.

Тогаш изразот за вкупното забрзување на точката добива форма

. (53)

Векторски насоки ,,прикажано на слика 59, В.

Рамно движењена круто тело е движење во кое сите точки на телото се движат паралелно со некоја фиксна рамнина. Примери за такво движење:

Движењето на кое било тело чија основа се лизга по дадена фиксна рамнина;

Тркалање на тркало по правилен дел од пругата (шина).

Ги добиваме равенките за движење на рамнината. За да го направите ова, размислете за рамна фигура што се движи во рамнината на листот (слика 60). Дозволете ни да го поврземе ова движење со фиксен координатен систем
, а со самата фигура го поврзуваме подвижниот координатен систем
, кој се движи со него.

Очигледно, позицијата на подвижна фигура на стационарна рамнина се одредува со положбата на подвижните оски
во однос на фиксните оски
. Оваа позиција се одредува според положбата на подвижното потекло , т.е. координати ,и агол на ротација , подвижен координатен систем, релативно фиксиран, кој ќе го броиме од оската во насока спротивна на движењето во насока на стрелките на часовникот.

Следствено, движењето на рамна фигура во нејзината рамнина ќе биде целосно определено ако вредностите на ,,, т.е. равенки на формата:

,
,
. (54)

Равенките (54) се равенки на рамнинско движење на круто тело, бидејќи ако овие функции се познати, тогаш за секој момент од времето е можно да се најде од овие равенки, соодветно ,,, т.е. да ја определи позицијата на подвижна фигура во даден момент во времето.

Ајде да разгледаме посебни случаи:

1.

, тогаш движењето на телото ќе биде преводливо, бидејќи подвижните оски се движат додека остануваат паралелни со нивната почетна положба.

2.

,

. Со ова движење се менува само аголот на ротација , т.е. телото ќе ротира околу оската што поминува нормално на рамнината на цртање низ точката .

Разложување на движењето на рамна фигура на транслаторно и ротационо

Размислете за две последователни позиции И
окупирана од телото во моменти од времето И
(Сл. 61). Тело од позиција да се позиционира
може да се пренесе на следниов начин. Ајде прво да го придвижиме телото прогресивно. Во овој случај, сегментот
ќе се движи паралелно со себе до позицијата
, и потоа да се свртиметело околу точка (пол) под агол
додека точките не се поклопат И .

Оттука, секое рамномерно движење може да се претстави како збир на преводно движење заедно со избраниот пол и ротационото движење, во однос на овој пол.

Да ги разгледаме методите што можат да се користат за да се одредат брзините на точките на телото што вршат рамнинско движење.

1. Метод на пол. Овој метод се заснова на добиеното распаѓање на движењето на рамнината на транслаторно и ротационо. Брзината на која било точка на рамна фигура може да се претстави во форма на две компоненти: преводна, со брзина еднаква на брзината на произволно избраната точка -столбови , и ротациона околу овој пол.

Да разгледаме рамно тело (сл. 62). Равенките на движење се:
,
,
.

Од овие равенки ја одредуваме брзината на точката (како со координатен метод на специфицирање)

,
,
.

Така, брзината на точката - количината е позната. Ја земаме оваа точка како пол и ја одредуваме брзината на произволна точка
тела.

Брзина
ќе се состои од преведувачка компонента , кога се движите заедно со точката , и ротациона
, при ротирање на точката
во однос на поентата . Точка брзина се движи кон точка
паралелно со себе, бидејќи при транслациското движење брзините на сите точки се еднакви и по големина и по насока. Брзина
ќе се определи според зависноста (50)
, и овој вектор е насочен нормално на радиусот
во насока на ротација
. Вектор
ќе бидат насочени по дијагоналата на паралелограм изграден на вектори И
, а неговиот модул се одредува според зависноста:

, .(55)

2. Теорема за проекциите на брзини на две точки на телото.

Проекциите на брзините на две точки на круто тело на права линија што ги поврзува овие точки се еднакви една со друга.

Размислете за две точки на телото И (Сл. 63). Земање поен надвор од столбот, ја одредуваме насоката во зависност од (55):
. Ние ја проектираме оваа векторска еднаквост на линијата
и со оглед на тоа
нормално
, добиваме

3. Центар за моментална брзина.

Центар за моментална брзина(MCS) е точка чија брзина во дадено време е нула.

Дозволете ни да покажеме дека ако телото не се движи транслативно, тогаш таквата точка постои во секој момент од времето и, згора на тоа, е единствена. Нека во еден момент во времето поени И телата кои лежат во пресек , имаат брзини И , не паралелни едни со други (сл. 64). Потоа посочете
, што лежи на пресекот на нормалните на векторите И , и ќе има MCS, бидејќи
.

Навистина, ако го претпоставиме тоа
, потоа според теоремата (56), векторот
мора да биде нормален во исто време
И
, што е невозможно. Од истата теорема е јасно дека нема друга точка на пресек во овој момент во времето не може да има брзина еднаква на нула.

Користење на методот на пол
- столб, определи ја брзината на точката (55): затоа што
,
. (57)

Сличен резултат може да се добие за која било друга точка на телото. Затоа, брзината на која било точка на телото е еднаква на нејзината ротациона брзина во однос на MCS:

,
,
, т.е. брзините на точките на телото се пропорционални на нивните растојанија до MCS.

Од трите разгледани методи за определување на брзините на точките на рамна фигура, јасно е дека MCS се претпочита, бидејќи тука брзината веднаш се одредува и во големина и во насока на една компонента. Сепак, овој метод може да се користи ако знаеме или можеме да ја одредиме положбата на MCS за телото.

Одредување на положбата на MCS

1. Ако за дадена положба на телото ги знаеме насоките на брзините на две точки на телото, тогаш MCS ќе биде точка на пресек на нормалните точки на овие вектори на брзина.

2. Брзините на две точки на телото се антипаралелни (сл. 65, А). Во овој случај, нормалната на брзините ќе биде заедничка, т.е. MCS се наоѓа некаде на оваа нормална. За да се одреди позицијата на MCS, потребно е да се поврзат краевите на векторите на брзина. Точката на пресек на оваа права со нормалната ќе биде саканиот MCS. Во овој случај, MCS се наоѓа помеѓу овие две точки.

3. Брзините на две точки на телото се паралелни, но не се еднакви по големина (сл. 65, б). Постапката за добивање на MDS е слична на онаа опишана во став 2.

г) Брзините на две точки се еднакви и по големина и во насока (сл. 65, В). Го добиваме случајот на моментално преводно движење, во кое брзините на сите точки на телото се еднакви. Следствено, аголната брзина на телото во оваа положба е нула:

4. Дозволете ни да го одредиме MCS за тркало кое се тркала без лизгање на неподвижна површина (сл. 65, Г). Бидејќи движењето се случува без лизгање, на местото на контакт на тркалото со површината брзината ќе биде иста и еднаква на нула, бидејќи површината е неподвижна. Следствено, точката на контакт на тркалото со неподвижна површина ќе биде MCS.

Определување на забрзувања на точки на рамна фигура

При определување на забрзувањата на точките на рамна фигура, постои аналогија со методите за определување на брзините.

1. Метод на пол. Исто како и при определувањето на брзините, за пол земаме произволна точка на телото чие забрзување го знаеме или можеме да го одредиме. Потоа забрзувањето на која било точка на рамна фигура е еднакво на збирот на забрзувањата на полот и забрзувањето при ротационото движење околу овој пол:

Во овој случај, компонентата
одредува забрзување на точка додека се ротира околу полот . При ротирање, траекторијата на точката ќе биде криволинеарна, што значи
(Сл. 66).

Тогаш зависноста (58) добива форма
. (59)

Земајќи ги предвид зависностите (51) и (52), добиваме
,
.

2. Центар за инстант забрзување.

Центар за инстант забрзување(MCU) е точка чие забрзување во дадено време е нула.

Да покажеме дека во секој даден момент постои таква точка. Земаме точка како столб , чие забрзување
знаеме. Наоѓање на аголот , лежи внатре
, и задоволување на условот
. Ако
, Тоа
и обратно, т.е. агол одложен во насока . Да одложиме од поентата под агол до вектор
линиски сегмент
(Сл. 67). Точката што се добива со ваквите конструкции
ќе има MCU.

Навистина, забрзувањето на точката
еднаков на збирот на забрзувања
столбови и забрзување
во ротационо движење околу полот :
.

,
. Потоа
. Од друга страна, забрзување
се формира со насоката на сегментот
агол
, што ја задоволува состојбата
. Пред тангентата на аголот се става знак минус , од ротација
во однос на столбот спротивно од стрелките на часовникот, и аголот
се депонира во насока на стрелките на часовникот. Потоа
.

Оттука,
и потоа
.

Посебни случаи на определување на MCU

1.
. Потоа
, и, според тоа, MCU не постои. Во овој случај, телото се движи транслативно, т.е. брзините и забрзувањата на сите точки на телото се еднакви.

2.
. Потоа
,
. Ова значи дека MCU лежи на пресекот на линиите на дејство на забрзувањата на точките на телото (сл. 68, А).

3.
. Потоа,
,
. Ова значи дека MCU лежи на пресекот на нормалните точки на забрзувањата на точките на телото (Сл. 68, б).

4.
. Потоа
,

. Ова значи дека MCU лежи на пресекот на зраците привлечени кон забрзувањата на точките на телото под агол (Сл. 68, В).

Од разгледуваните посебни случаи можеме да заклучиме: ако ја прифатиме поентата
надвор од полот, тогаш забрзувањето на која било точка на рамна фигура се определува со забрзувањето во ротационото движење околу MCU:

. (60)

Комплексно движење на точкатасе нарекува движење во кое точка истовремено учествува во две или повеќе движења. Со такво движење, позицијата на точката се одредува во однос на подвижните и релативно стационарни референтни системи.

Движењето на точка во однос на подвижна референтна рамка се нарекува релативно движење на точка . Се согласуваме да ги означиме параметрите на релативно движење
.

Движењето на таа точка на референтниот систем во движење со која моментално се совпаѓа подвижната точка во однос на неподвижниот референтен систем се нарекува преносливо движење на точката . Се согласуваме да ги означиме параметрите на преносното движење
.

Движењето на точка во однос на фиксна референтна рамка се нарекува апсолутна (комплексна) движење на точка . Се согласуваме да ги означиме параметрите на апсолутното движење
.

Како пример за сложено движење, можеме да го разгледаме движењето на лице во возило во движење (трамвај). Во овој случај, човечкото движење е поврзано со подвижниот координатен систем - трамвај и со фиксниот координатен систем - земјата (патот). Потоа, врз основа на дефинициите дадени погоре, движењето на лице во однос на трамвајот е релативно, движењето заедно со трамвајот во однос на земјата е преносливо, а движењето на лице во однос на земјата е апсолутно.

Ќе ја одредиме позицијата на точката
радиуси - вектори во однос на движењето
и неподвижен
координатни системи (сл. 69). Да ја воведеме следната нотација: - радиус вектор кој ја дефинира положбата на точката
во однос на подвижниот координатен систем
,
;- вектор на радиус кој ја одредува положбата на почетокот на подвижниот координатен систем (точка ) (точки );- радиус – вектор кој ја одредува положбата на точка
во однос на фиксен координатен систем
;
,.

Дозволете ни да добиеме услови (ограничувања) што одговараат на релативни, преносливи и апсолутни движења.

1. Кога го разгледуваме релативното движење, ќе претпоставиме дека точката
се движи во однос на подвижниот координатен систем
, и самиот движечки координатен систем
во однос на фиксен координатен систем
не се движи.

Потоа координатите на точката
ќе се промени во релативно движење, но правоаголните вектори на подвижниот координатен систем нема да се менуваат во насока:

,

,

.

2. Кога го разгледуваме преносното движење, ќе претпоставиме дека координатите на точката
во однос на подвижниот координатен систем се фиксирани, а точката се движи заедно со подвижниот координатен систем
релативно стационарни
:

,

,

,.

3. Со апсолутно движење и точката се движи релативно
а заедно со координатниот систем
релативно стационарни
:

Тогаш изразите за брзините, земајќи ја предвид (27) имаат форма

,
,

Споредувајќи ги овие зависности, го добиваме изразот за апсолутна брзина:
. (61)

Добивме теорема за собирање на брзините на точка во сложено движење: апсолутната брзина на точката е еднаква на геометрискиот збир на компонентите на релативната и преносливата брзина.

Користејќи ја зависноста (31), добиваме изрази за забрзувања:

,

Споредувајќи ги овие зависности, добиваме израз за апсолутно забрзување:
.

Откривме дека апсолутното забрзување на точката не е еднакво на геометрискиот збир на релативните и преносливите компоненти на забрзувањето. Дозволете ни да ја одредиме компонентата за апсолутно забрзување во загради за посебни случаи.

1. Преносливо преводно движење на точката
. Во овој случај, оските на подвижниот координатен систем
се движат цело време паралелно со себе, тогаш.

,

,

,
,
,
, Потоа
. Конечно добиваме

. (62)

Ако преносното движење на точката е преводливо, тогаш апсолутното забрзување на точката е еднакво на геометрискиот збир на релативните и преносливите компоненти на забрзувањето.

2. Преносливото движење на точката е непреведувачко. Тоа значи дека во овој случај подвижниот координатен систем
ротира околу моменталната оска на ротација со аголна брзина (Сл. 70). Да ја означиме точката на крајот од векторот преку . Потоа, користејќи го векторскиот метод за одредување (15), го добиваме векторот на брзината на оваа точка
.

На другата страна,
. Изедначувајќи ги десните страни на овие векторски еднаквости, добиваме:
. Постапувајќи слично за преостанатите единечни вектори, добиваме:
,
.

Во општиот случај, апсолутното забрзување на точката е еднакво на геометрискиот збир на компонентите на релативното и преносливото забрзување плус удвоениот векторски производ на векторот на аголната брзина на преносното движење и векторот на линеарната брзина на релативното движење.

Двојниот векторски производ на векторот на аголната брзина на преносното движење и на линеарната брзина на релативното движење се вика Кориолисово забрзување и е назначен

. (64)

Кориолисовото забрзување ја карактеризира промената на релативната брзина во преводното движење и промената на брзината на преводот при релативното движење.

На чело
според правилото за векторски производ. Векторот за забрзување Кориолис е секогаш насочен нормално на рамнината формирана од векторите И , на тој начин што, гледајќи од крајот на векторот
, видете го пресвртот До , низ најмал агол, спротивно од стрелките на часовникот.

Кориолисовиот модул за забрзување е еднаков на.

Агол на ротација, аголна брзина и аголно забрзување

Ротација на круто тело околу фиксна оскаСе нарекува такво движење во кое две точки на телото остануваат неподвижни за цело време на движење. Во овој случај, сите точки на телото лоцирани на права линија што минува низ неговите фиксни точки, исто така, остануваат неподвижни. Оваа линија се нарекува оска на ротација на телото.

Ако АИ ВО- фиксирани точки на телото (сл. 15 ), тогаш оската на ротација е оската Оз,кои можат да имаат било каква насока во просторот, не мора да бидат вертикални. Насока на една оска Озсе зема како позитивен.

Ние цртаме фиксна рамнина низ оската на ротација Од страна наи мобилни П,прикачен на ротирачко тело. Нека во почетниот момент од времето двете рамнини се совпаѓаат. Потоа во одреден момент во времето тположбата на подвижната рамнина и самото ротирачко тело може да се определи со диедралниот агол помеѓу рамнините и соодветниот линеарен агол φ помеѓу прави линии лоцирани во овие рамнини и нормално на оската на ротација. Катче φ повикани агол на ротација на телото.

Позицијата на телото во однос на избраниот референтен систем е целосно одредена во која било

момент во времето, ако е дадена равенката φ =f(t) (5)

Каде f(t)- која било двојно диференцијабилна функција на времето. Оваа равенка се нарекува равенка за ротација на круто тело околу фиксна оска.

Тело што ротира околу фиксна оска има еден степен на слобода, бидејќи неговата положба се одредува со наведување само еден параметар - аголот φ .

Катче φ се смета за позитивен ако е нацртан спротивно од стрелките на часовникот, а негативен во спротивна насока кога се гледа од позитивната насока на оската Оз.Траекториите на точките на телото за време на неговото ротирање околу фиксна оска се кругови лоцирани во рамнини нормални на оската на ротација.

За да го карактеризираме ротационото движење на круто тело околу фиксна оска, ги воведуваме концептите на аголна брзина и аголно забрзување. Алгебарска аголна брзина на телотово секој момент во времето се нарекува прв извод во однос на времето на аголот на ротација во овој момент, т.е. dφ/dt = φ.Позитивна величина е кога телото ротира спротивно од стрелките на часовникот, бидејќи аголот на ротација се зголемува со времето, а негативен кога телото се ротира во насока на стрелките на часовникот, бидејќи аголот на ротација се намалува.

Модулот за аголна брзина се означува со ω. Потоа ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Димензијата на аголната брзина е поставена во согласност со (6)

[ω] = агол/време = rad/s = s -1.

Во инженерството, аголната брзина е ротационата брзина изразена во вртежи во минута. За 1 минута телото ќе се ротира низ агол 2пп,Ако П- број на вртежи во минута. Поделувајќи го овој агол со бројот на секунди во минута, добиваме: (7)

Алгебарско аголно забрзување на телотосе нарекува прв извод во однос на времето на алгебарската брзина, т.е. втор дериват на аголот на ротација d 2 φ/dt 2 = ω. Да го означиме модулот за аголно забрзување ε , Потоа ε=|φ| (8)

Димензијата на аголното забрзување се добива од (8):

[ε ] = аголна брзина/време = rad/s 2 = s -2

Ако φ’’>0 на φ’>0 , тогаш алгебарската аголна брзина се зголемува со времето и, според тоа, телото ротира забрзано во моментот во времето во позитивна насока (спротивно од стрелките на часовникот). На φ’’<0 И φ’<0 телото брзо се ротира во негативна насока. Ако φ’’<0 на φ’>0 , тогаш имаме бавна ротација во позитивна насока. На φ’’>0 И φ’<0 , т.е. бавната ротација се јавува во негативна насока. Аголната брзина и аголното забрзување на сликите се прикажани со лачни стрелки околу оската на ротација. Стрелката на лакот за аголна брзина ја покажува насоката на ротација на телата;

За забрзана ротација, стрелките на лакот за аголна брзина и аголно забрзување имаат исти насоки; за бавна ротација, нивните насоки се спротивни.

Посебни случаи на ротација на круто тело

Се вели дека ротацијата е униформа ако ω=const, φ= φ’t

Ротацијата ќе биде униформа ако ε=конст. φ’= φ’ 0 + φ’’t и

Во принцип, ако φ’’ не секогаш,

Брзини и забрзувања на точките на телото

Позната е равенката за ротација на круто тело околу фиксна оска φ= f(t)(сл. 16). Растојание споени Мво авион во движење Ппо кружен лак (точка траекторија), мерено од точката М о,лоциран во фиксна рамнина, изразена преку аголот φ зависност s=hφ, Каде ч-радиус на кругот по кој се движи точката. Тоа е најкраткото растојание од точка Мдо оската на ротација. Ова понекогаш се нарекува радиус на ротација на точка. Во секоја точка од телото, радиусот на ротација останува непроменет кога телото ротира околу фиксна оска.

Алгебарска брзина на точка Мопределена со формулата v τ =s’=hφМодул за брзина на точка: v=hω(9)

Брзините на точките на телото кога ротираат околу фиксна оска се пропорционални на нивните најкратки растојанија до оваа оска.Коефициентот на пропорционалност е аголната брзина. Брзините на точките се насочени по тангентите на траекториите и, според тоа, се нормални на радиусите на ротација. Брзините на точките на телото лоцирани на права линија ОМ,во согласност со (9) се распределуваат според линеарен закон. Тие се меѓусебно паралелни, а нивните краеви се наоѓаат на истата права линија што минува низ оската на ротација. Забрзувањето на точка го разложуваме на тангенцијални и нормални компоненти, т.е. a=a τ +a nτТангенцијалните и нормалните забрзувања се пресметуваат со помош на формулите (10)

бидејќи за круг радиусот на закривеност е p=h(Сл. 17 ). Така,

Тангентите, нормалното и вкупните забрзувања на точките, како и брзините, исто така се распределуваат според линеарен закон. Тие зависат линеарно од растојанијата на точките до оската на ротација. Нормално забрзување е насочено долж радиусот на кругот кон оската на ротација. Правецот на тангенцијалното забрзување зависи од знакот на алгебарското аголно забрзување. На φ’>0 И φ’’>0 или φ’<0 И φ’<0 имаме забрзана ротација на телото и насоките на векторите a τИ vпоклопуваат. Ако φ’ И φ’" имаат различни знаци (бавна ротација), тогаш a τИ vнасочени едни на други.

Имајќи назначено α аголот помеѓу вкупното забрзување на точката и нејзиниот радиус на ротација, го имаме

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

од нормалното забрзување а стрсекогаш позитивно. Катче Аисто за сите точки на телото. Треба да се одложи од забрзување до радиусот на ротација во насока на стрелката на лакот на аголното забрзување, без оглед на насоката на вртење на круто тело.

Вектори на аголна брзина и аголно забрзување

Да ги воведеме концептите на вектори на аголна брзина и аголно забрзување на телото. Ако ДОе единечниот вектор на оската на ротација насочена во нејзината позитивна насока, потоа векторите на аголната брзина ώ и аголно забрзување ε определено со изрази (12)

Бидејќи ке векторска константа по големина и правец, тогаш од (12) следува дека

ε=dώ/dt(13)

На φ’>0 И φ’’>0 векторски насоки ώ И ε поклопуваат. И двете се насочени кон позитивната страна на оската на ротација Оз(Сл. 18.а)Ако φ’>0 И φ’’<0 , потоа тие се насочени во спротивни насоки (сл. 18.б ). Векторот на аголното забрзување се совпаѓа во насока со векторот на аголната брзина при забрзана ротација и е спротивен на него при бавно ротирање. Вектори ώ И ε може да се прикаже во која било точка на оската на ротација. Тие се подвижни вектори. Ова својство произлегува од векторските формули за брзините и забрзувањата на точките на телото.

Комплексно движење на точката

Основни концепти

За да се проучат некои посложени типови на движење на круто тело, препорачливо е да се разгледа наједноставното сложено движење на точка. Во многу проблеми, движењето на точката мора да се смета во однос на два (или повеќе) референтни системи кои се движат релативно еден на друг. Така, движењето на вселенското летало кое се движи кон Месечината мора да се смета истовремено и во однос на Земјата и во однос на Месечината, која се движи во однос на Земјата. Секое движење на точка може да се смета за сложено, кое се состои од неколку движења. На пример, движењето на брод по река во однос на Земјата може да се смета за сложено, кое се состои од движење низ водата и заедно со водата што тече.

Во наједноставниот случај, сложеното движење на точката се состои од релативни и преведувачки движења. Ајде да ги дефинираме овие движења. Дозволете ни да имаме два референтни системи кои се движат релативно еден на друг. Ако еден од овие системи O l x 1 y 1 z 1(Сл. 19 ) земен како главен или стационарен (неговото движење во однос на другите референтни системи не се разгледува), потоа вториот референтен систем Оксизќе се движи во однос на првиот. Движење на точка во однос на подвижна референтна рамка Оксизповикани роднина.Карактеристиките на ова движење, како што се траекторијата, брзината и забрзувањето, се нарекуваат роднина.Тие се означени со индексот r; за брзина и забрзување v r, a r.Движење на точка во однос на главната или фиксната системска референтна рамка O 1 x 1 y 1 z 1повикани апсолутна(или сложено ). Исто така понекогаш се нарекува композитнидвижење. Траекторијата, брзината и забрзувањето на ова движење се нарекуваат апсолутни. Брзината и забрзувањето на апсолутното движење се означени со буквите v, aнема индекси.

Преносливото движење на точката е движењето што го прави заедно со подвижна референтна рамка, како точка цврсто прикачена на овој систем во моментот во разгледуваниот момент. Поради релативното движење, подвижната точка во различни времиња се совпаѓа со различни точки на телото С,на кој е прикачен подвижниот референтен систем. Преносливата брзина и преносното забрзување се брзината и забрзувањето на таа точка на телото С,со кој моментално се поклопува подвижната точка. Пренослива брзина и забрзување означуваат v e, a e.

Ако траекториите на сите точки на телото С,прикачен на подвижниот референтен систем, прикажан на сликата (слика 20), потоа добиваме семејство на линии - семејство траектории на преносното движење на точката М.Поради релативното движење на точката Мво секој момент од времето се наоѓа на една од траекториите на преносливо движење. Точка Мможе да се совпадне со само една точка на секоја од траекториите на оваа фамилија на преносливи траектории. Во овој поглед, понекогаш се верува дека нема траектории на преносливо движење, бидејќи е неопходно да се земат предвид линиите како траектории на преносливо движење, за кои само една точка е всушност точка на траекторијата.

Во кинематиката на точка, беше проучувано движењето на точка во однос на кој било референтен систем, без разлика дали овој референтен систем се движи во однос на другите системи или не. Дозволете ни да ја дополниме оваа студија со разгледување на сложено движење, во наједноставниот случај што се состои од релативно и фигуративно движење. Едно исто апсолутно движење, избирајќи различни подвижни референтни рамки, може да се смета дека се состои од различни преносливи и, соодветно, релативни движења.

Дополнување на брзина

Да ја одредиме брзината на апсолутното движење на точка ако се познати брзините на релативните и преносливите движења на оваа точка. Нека точката прави само едно, релативно движење во однос на подвижната референтна рамка Oxyz и во моментот на t зазема позиција M на траекторијата на релативното движење (сл. 20). Во моментот на времето t+ t, поради релативното движење, точката ќе биде во положбата M 1, со поместена MM 1 по должината на траекторијата на релативното движење. Да претпоставиме дека поентата е вклучена Оксиза со релативна траекторија ќе се движи по некоја крива понатаму ММ 2.Ако една точка учествува истовремено и во релативни и преносливи движења, тогаш во времето А; таа ќе се пресели во ММ"по траекторијата на апсолутно движење и во моментот на времето t + Наќе ја заземе позицијата М“.Ако времето Намалку, а потоа одете до границата на на,со тенденција на нула, тогаш малите поместувања по кривините може да се заменат со отсечки од акорди и да се земат како вектори на поместување. Додавајќи ги векторските поместувања, добиваме

Во овој поглед, мали количини од повисок ред се отфрлаат, со тенденција на нула на,со тенденција на нула. Поминувајќи до лимитот, имаме (14)

Затоа, (14) ќе ја има формата (15)

Се добива таканаречената теорема за собирање на брзина: брзината на апсолутното движење на точката е еднаква на векторскиот збир на брзините на преносливите и релативните движења на оваа точка.Бидејќи во општиот случај брзините на преносливите и релативните движења не се нормални, тогаш (15')

Поврзани информации.