Пресметка на волумени на тела на револуција со користење на дефинитивен интеграл. Волумен на тело добиен со параметарски ротирање на лакот на циклоид Површина на рамна фигура

Кога го сфативме геометриското значење определен интеграл, имаме формула со која можете да ја најдете плоштината на криволинеарен трапез ограничен со x-оската и правите линии x = a, x = b, како и континуирана (ненегативна или непозитивна) функција y = f(x).Понекогаш е попогодно да се наведе функцијата што ја ограничува фигурата во параметарска форма, т.е. ја изразуваат функционалната зависност преку параметарот т. Во рамките од овој материјалќе покажеме како можете да ја најдете плоштината на фигурата ако е ограничена со параметарски дефинирана крива.

Откако ќе ја објасниме теоријата и ќе ја изведеме формулата, ќе погледнеме неколку типични примери за да ја пронајдеме областа на таквите фигури.

Основна формула за пресметка

Да претпоставиме дека имаме криволиниски трапез, чии граници се правите x = a, x = b, оската O x и параметарски дефинирана крива x = φ (t) y = ψ (t), а функциите x = φ (t) и y = ψ (t) се непрекинати на интервалот α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Дефиниција 1

За да ја пресметате површината на трапез во такви услови, треба да ја користите формулата S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ " (t) d t.

Го изведовме од формулата за плоштината на криволинеарен трапез S (G) = ∫ a b f (x) d x со метод на замена x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Дефиниција 2

Земајќи го предвид монотоното намалување на функцијата x = φ (t) на интервалот β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Ако функцијата x = φ (t) не е една од основните елементарни, тогаш ќе треба да ги запомниме основните правила за зголемување и намалување на функцијата на интервал за да одредиме дали таа ќе се зголемува или намалува.

Во овој параграф ќе анализираме неколку проблеми користејќи ја формулата изведена погоре.

Пример 1

Состојба: најдете ја плоштината на фигурата формирана од линијата дадена со равенки од формата x = 2 cos t y = 3 sin t.

Решение

Имаме параметарски дефинирана линија. Графички може да се прикаже како елипса со две полуоски 2 и 3. Видете ја илустрацијата:

Ајде да се обидеме да ја најдеме областа 1 4 од добиената фигура, која го зафаќа првиот квадрант. Регионот е во интервалот x ∈ a; b = 0; 2. Следно, помножете ја добиената вредност со 4 и пронајдете ја површината на целата фигура.

Еве го напредокот на нашите пресметки:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Со k еднаков на 0, го добиваме интервалот β; α = 0 ; π 2. Функцијата x = φ (t) = 2 cos t ќе се намали монотоно на неа (за повеќе детали, видете ја статијата за главната елементарни функциии нивните својства). Ова значи дека можете да ја примените формулата за пресметување на плоштината и да го пронајдете дефинитивниот интеграл користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц:

- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - грев 2 π 2 2 - 0 - грев 2 0 2 = 3 π 2

Ова значи дека површината на фигурата дадена со оригиналната крива ќе биде еднаква на S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π.

Одговор: S(G) = 6π

Да разјасниме дека при решавање на проблемот погоре, беше можно да се земе не само четвртина од елипсата, туку и нејзината половина - горната или долната. Едната половина ќе се наоѓа на интервалот x ∈ a; b = -2; 2. Во овој случај би имале:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

Така, со k еднакво на 0, добиваме β; α = 0 ; π. Функцијата x = φ (t) = 2 cos t ќе се намали монотоно на овој интервал.

По ова, ја пресметуваме површината на половина од елипсата:

- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - грев 2 π 2 - 0 - грев 2 0 2 = 3 π

Важно е да се напомене дека можете да го земете само горниот или долниот дел, но не и десно или лево.

Можете да креирате параметарска равенка за дадена елипса, чиј центар ќе се наоѓа на почетокот. Ќе изгледа како x = a · cos t y = b · sin t . Постапувајќи на ист начин како во примерот погоре, добиваме формула за пресметување на површината на елипсата S e l и p со a = πab.

Можете да дефинирате круг чиј центар се наоѓа на почетокот користејќи ја равенката x = R · cos t y = R · sin t , каде што t е параметар, а R е радиусот на оваа кружница. Ако веднаш ја искористиме формулата за плоштина на елипса, тогаш ќе добиеме формула со која можеме да ја пресметаме плоштината на круг со радиус R: S k r y r a = πR 2 .

Ајде да погледнеме уште еден проблем.

Пример 2

Состојба: најдете на што ќе биде еднаква плоштината на фигурата, што е ограничено со параметарски дефинирана крива x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Решение

Веднаш да разјасниме дека оваа крива има облик на издолжен астроид. Вообичаено, астроидот се изразува со помош на равенка од формата x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

Сега да разгледаме детално како да се изгради таква крива. Ајде да градиме врз основа на поединечни точки. Ова е најчестиот метод и е применлив за повеќето задачи. Повеќе сложени примерибараат диференцијално сметање за да се идентификува параметарски дефинирана функција.

Имаме x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Овие функции се дефинирани за сите реални вредности на т. За sin и cos се знае дека се периодични и нивниот период е 2 пи. Откако ги пресметавме вредностите на функциите x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t за некои t = t 0 ∈ 0; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8, добиваме поени x 0; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Ајде да направиме табела со вкупните вредности:

t 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

По ова, означете ги потребните точки на рамнината и поврзете ги со една линија.

Сега треба да ја најдеме областа на тој дел од фигурата што се наоѓа во првата координатна четвртина. За него x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Ако k е еднакво на 0, тогаш го добиваме интервалот β; α = 0 ; π 2 , а функцијата x = φ (t) = 3 cos 3 t ќе се намали монотоно на неа. Сега ја земаме формулата за површина и пресметуваме:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t "d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Добивме дефинитивни интеграли кои може да се пресметаат со помош на формулата Њутн-Лајбниц. Антидериватите за оваа формула може да се најдат со помош на рекурентната формула J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , каде J n (x) = ∫ грев n x d x.

∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Ја пресметавме површината од една четвртина од фигурата. Тоа е еднакво на 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

Ако ја помножиме оваа вредност со 4, ја добиваме површината на целата фигура - 9 π 4.

На ист начин, можеме да докажеме дека областа на астроидот, дадена со равенките x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t, може да се најде со формулата S a stroid = 3 πa 2 8 , а површината на сликата, која е ограничена со линијата x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t, се пресметува со формулата S = 3 πab 8.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Дозволете ни да го најдеме волуменот на телото генериран од ротацијата на циклоидниот лак околу неговата основа. Робервал го пронашол со кршење на добиеното тело во облик на јајце (сл. 5.1) на бескрајно тенки слоеви, впишувајќи цилиндри во овие слоеви и собирајќи ги нивните волумени. Доказот се покажа долг, досаден и не сосема ригорозен. Затоа, за да го пресметаме, се свртуваме кон виша математика. Да ја дефинираме равенката на циклоидот параметарски.

Во интегралното сметање, при проучување на волумени, се користи следнава забелешка:

Ако кривата што ограничува криволиниски трапез е дадена со параметарски равенки и функциите во овие равенки ги задоволуваат условите за промена на теоремата на променливата во одреден интеграл, тогаш волуменот тела на револуцијататрапез околу оската Ox, ќе се пресмета со формулата:

Ајде да ја користиме оваа формула за да го најдеме волуменот што ни треба.

На ист начин ја пресметуваме површината на ова тело.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - цена), 0 ? t ? 2р)

Во интегралната пресметка постои следната формулада ја пронајдете површината на телото со вртење околу x-оската на кривата назначена на сегмент параметарски (t 0 ?t ?t 1):

Применувајќи ја оваа формула на нашата циклоидна равенка, добиваме:

Да разгледаме и друга површина генерирана од ротацијата на циклоидниот лак. За да го направите ова, ќе изградиме огледална слика на циклоидниот лак во однос на неговата основа и ќе ја ротираме овалната фигура формирана од циклоидот и нејзиниот одраз околу оската KT (сл. 5.2).

Прво, да го најдеме волуменот на телото формиран од ротацијата на циклоидниот лак околу оската KT. Ќе го пресметаме неговиот волумен користејќи ја формулата (*):

Така, го пресметавме волуменот на половина од ова тело во форма на репка. Тогаш целиот волумен ќе биде еднаков

Во лекциите за равенка на права линија на рамнинаИ равенки на права линија во просторот.

Запознајте стар пријател:

Кривилинеарниот трапез е гордо крунисан со графикон и, како што знаете, плоштината се пресметува со користење на определен интегралспоред елементарната формула или накратко: .

Да ја разгледаме ситуацијата кога истата функцијададени во параметарска форма.

Како да ја пронајдете областа во овој случај?

Кај некои доста специфичновредноста на параметарот, параметарските равенки ќе ги одредат координатите на точката, а за друга доста специфичновредност – координати на точката. Кога „te“ се менува од во инклузивна, параметарските равенки ја „цртаат“ кривата. Мислам дека сè стана јасно за границите на интеграцијата. Сега во интегралот наместо„X“ и „Y“ ги заменуваме функциите и го отвораме диференцијалот:

Забелешка : се претпоставува дека функциите континуиранона интервалот на интеграција и, дополнително, функцијата монотоноНа него.

Формулата за волуменот на телото на ротација е исто толку едноставна:

Волуменот на телото добиен со ротирање на заоблен трапез околу оската се пресметува со формулата или: . Во него ги заменуваме параметарските функции, како и границите на интеграција:

Ве молиме запишете ги двете работни формули во вашата референтна книга.

Според моите согледувања, проблемите за наоѓање волумен се доста ретки, и затоа значителен дел од примерите во оваа лекција ќе бидат посветени на наоѓање област. Да не ги одложуваме работите долго време:

Пример 1

Пресметајте ја плоштината на заоблен трапез , Ако

Решение: користете ја формулата .

Класичен проблем на тема која се разбира секогаш и секаде:

Пример 2

Пресметајте ја плоштината на елипсата

Решение: за определеност, претпоставуваме дека параметарските равенки дефинираат канонска елипсасо центар на почеток, полуглавна оска „а“ и полумала оска „биди“. Односно, според условот, не ни се нуди ништо повеќе од

најдете ја областа на елипсата

Очигледно е дека параметарските функции се периодични и . Се чини дека можете да ја наполните формулата, но не е сè толку транспарентно. Ајде да дознаеме насока, во кои параметарските равенки „цртаат“ елипса. Како водич ќе најдеме неколку точки кои најмногу одговараат едноставни вредностипараметар:

Лесно е да се разбере дека кога параметарот „те“ се менува од нула на „два пи“, параметарските равенки „цртаат“ елипса спротивно од стрелките на часовникот:


Поради симетријата на сликата, го пресметуваме делот од плоштината во првата координатна четвртина и го множиме резултатот со 4. Овде ја гледаме фундаментално истата слика, која ја коментирав веднаш погоре: параметарските равенки го „цртаат“ лакот на елипсата „во спротивна насока“ од оската, но бројките на плоштината се бројат од лево кон десно! Затоа понискограницата на интеграција одговара на вредноста, и врвграница – вредност .

Како што веќе советував во лекцијата Површина во поларни координати, четирикратен резултатот е подобар Наеднаш:

Интегралот (ако некој одеднаш открил таква неверојатна празнина) се анализирал на час Интеграли на тригонометриски функции.

Одговори:

Во суштина, изведовме формула за наоѓање на областа елипса. И ако во пракса наидете на задача со специфични вредности на „а“ и „биди“, тогаш можете лесно да извршите помирување/проверка, бидејќи проблемот е решен во општа форма.

Областа на елипсата се пресметува и во правоаголни координати; за да го направите ова, треба да го изразите „y“ од равенката и да го решите проблемот точно како во примерот бр. 4 од статијата. Ефикасни методи за решавање на определени интеграли. Задолжително погледнете го овој пример и споредете колку е полесно да се пресмета плоштината на елипсата ако е параметарски дефинирана.

И, се разбира, речиси заборавив, параметарските равенки можат да дефинираат круг или елипса во неканонска положба.

Пример 3

Пресметајте ја плоштината на еден лак на циклоид

За да решите проблем, треба да знаете што е тоа циклоидили барем чисто формално комплетирајте го цртежот. Примерок за дизајн на крајот од лекцијата. Сепак, нема да ве испратам далеку; можете да го погледнете графикот на оваа линија во следниот проблем:

Пример 4

Решение: параметарски равенки дефинирајте циклоид, а ограничувањето укажува на фактот дека зборуваме за него прв арх, кој се „исцртува“ кога вредноста на параметарот се менува во рамките на . Ве молиме имајте предвид дека тука е „точната“ насока на овој „цртеж“ (од лево кон десно), што значи дека нема да има проблеми со границите на интеграцијата. Но, ќе се појават еден куп други кул работи =) Равенката се поставува директно, паралелно со оската x и дополнителен услов (цм. линеарни неравенки) ни кажува дека треба да ја пресметаме областа на следната слика:

Посакуваната засенчена фигура асоцијативно ќе ја наречам „покрив на куќата“, правоаголникот – „ѕидот на куќата“, а целата структура (ѕид + покрив) – „фасада на куќата“. Иако оваа зграда повеќе личи на некој вид на шупа за крави =)

За да се најде површината на „покривот“, потребно е да се одземе површината на „ѕидот“ од областа на „фасадата“.

Прво, да се справиме со „фасадата“. За да ја пронајдете неговата област, треба да ги дознаете вредностите што ги одредуваат точките на пресек на линијата со првиот лак на циклоидот (точки и ). Ајде да замениме во параметарската равенка:

Тригонометриската равенка може лесно да се реши со едноставно гледање косинус заговор: на интервалот еднаквоста се задоволува со два корени: . Во принцип, сè е јасно, но, сепак, да играме на сигурно и да ги замениме во равенката:

– ова е „Х“ координатата на точката;

– и ова е „Х“ координатата на точката.

Така, ние сме убедени дека вредноста на параметарот одговара на точката, а вредноста одговара на точката.

Ајде да ја пресметаме површината на „фасадата“. За покомпактна нотација, функцијата често се диференцира директно под интегралот:

Површината на „ѕидот“ може да се пресмета со методот „училиште“ со множење на должините на соседните страни на правоаголникот. Должината е очигледна, останува само да се најде. Се пресметува како разлика помеѓу „X“ координатите на точките „tse“ и „be“ (најдена порано):

Површина на ѕидот:

Се разбира, нема срам да се најде дури и со помош на наједноставните определен интегралод функцијата на сегментот:

Како резултат на тоа, површината на покривот е:

Одговори:

И, се разбира, ако имаме цртеж, проценуваме, кутија по кутија, дали добиениот резултат е сличен на вистината. Слично

Следна задача за независна одлука:

Пример 5

Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии дадени со равенки

Ајде накратко да го систематизираме алгоритмот за решение:

– Во повеќето случаи, ќе треба да направите цртеж и да ја одредите фигурата чија област сакате да ја најдете.

– На вториот чекор, треба да разберете како се пресметува потребната површина: тоа може да биде еден заоблен трапез, може да биде разлика во области, може да биде збир на области - накратко, сите оние чипови што ги разгледавме во лекцијата.

– На третиот чекор треба да анализираме дали е препорачливо да се користи симетријата на фигурата (ако е симетрична), а потоа да ги дознаеме границите на интеграција (почетната и конечната вредност на параметарот). Обично ова бара решавање на едноставна тригонометриска равенка - тука можете да користите аналитички метод, графички метод или едноставен избор на потребните корени според тригонометриска табела.

! Не заборавајтедека параметарските равенки можат да „повлечат“ линија од десно кон лево, во овој случај правиме соодветна резервација и дополнување во работната формула.

– И во завршна фаза се вршат технички пресметки. Секогаш е убаво да се оцени веродостојноста на одговорот добиен од цртежот.

И сега долгоочекуваната средба со ѕвездата:

Пример 6

Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии дадени со равенки

Решение: кривата дадена со равенките е астроид, И линеарна нееднаквостуникатно ја идентификува засенчената фигура на цртежот:

Ајде да ги најдеме вредностите на параметрите што ги одредуваат пресечните точки на линијата и астроидот. За да го направите ова, да ја замениме во параметарската равенка:

Методите за решавање на таква равенка се веќе наведени погоре; особено, овие корени можат лесно да се изберат според тригонометриска табела.

Сликата е симетрична во однос на оската x, па да ја пресметаме горната половина од областа (сино засенчување) и да го удвоиме резултатот.

Ајде да ја замениме вредноста во параметарската равенка:
Како резултат на тоа, ја добивме „грчката“ координата на горната (ни треба) точка на пресек на астроидот и правата линија.

Десното теме на астроидот очигледно одговара на вредноста . Ајде да провериме за секој случај:
, што требаше да се провери.

Како и кај елипсата, параметарските равенки го „цртаат“ лакот на астроидот од десно кон лево. За разновидност, ќе го форматирам крајот на вториот начин: кога параметарот се менува во границите, функцијата се намалува, затоа (не заборавајте да го удвоите!!):

Интегралот се покажа доста тежок, а за да „не носите сè со себе“, подобро е да го прекинете решението и да го трансформирате интеградот одделно. Стандарден намалете го степенотсо користење на тригонометриски формули:

Погоден, во последниот мандат да ја ставиме функцијата под диференцијален знак:

Одговори:

Да, малку е тешко со ѕвездите =)

Следната задача е за напредни студенти:

Пример 7

Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии дадени со равенки

За да го решиме, материјалите што веќе ги разгледавме ќе бидат доволни, но вообичаениот пат е многу долг, а сега ќе ви кажам за уште еден ефикасен метод. Идејата е всушност позната од лекцијата Пресметување плоштина со помош на определен интеграл– ова е интеграција преку променливата „y“ и употреба на формулата . Заменувајќи ги параметарските функции во него, добиваме работна формула за огледало:

Навистина, зошто е полошо од „стандардното“? Ова е уште една предност на параметарската форма - равенката способен да ја игра улогата не само на „обичен“, туку истовременоИ инверзна функција.

ВО во овој случајсе претпоставува дека функциите континуиранона интервалот на интеграција и функцијата монотоноНа него. Покрај тоа, ако се намалувана интервалот на интеграција (параметриските равенки го „цртаат“ графикот „во спротивна насока“ (внимание!!) оска), потоа користејќи ја веќе дискутираната технологија, треба да ги преуредите границите на интеграцијата или првично да ставите „минус“ пред интегралот.

Решението и одговорот на Пример бр. 7 се на крајот од часот.

Последниот мини-дел е посветен на пореткиот проблем:

Како да се најде волуменот на телото на ротација,
ако фигурата е ограничена со параметарски дефинирана линија?

Ајде да ја ажурираме формулата изведена на почетокот на лекцијата: . Општиот метод на решение е потполно ист како и за пронаоѓање на областа. Ќе извлечам неколку задачи од мојата свинче банка.

Дозволете ни да разгледаме примери за примена на добиената формула, која ни овозможува да ги пресметаме областите на бројките ограничени со параметарски одредени линии.

Пример.

Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со права чии параметарски равенки имаат форма.

Решение.

Во нашиот пример, параметарски дефинираната линија е елипса со полуоски од 2 и 3 единици. Ајде да го изградиме.

Ајде да ја најдеме областачетвртина од елипсата лоцирана во првиот квадрант. Оваа област лежи во интервалот . Ја пресметуваме површината на целата фигура со множење на добиената вредност со четири.

Она што го имаме:

За k = 0 го добиваме интервалот . На овој интервал функцијата монотоно се намалува (види дел). Ја применуваме формулата за да ја пресметаме плоштината и да го најдеме дефинитивниот интеграл користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц:

Така, површината на оригиналната фигура е еднаква на .

Коментар.

Се поставува логично прашање: зошто зедовме четвртина од елипсата, а не половина? Беше можно да се види горната (или долната) половина од фигурата. Таа е во интервалот . За овој случај би добиле

Односно, за k = 0 го добиваме интервалот . На овој интервал функцијата монотоно се намалува.

Тогаш површината на половина од елипсата се наоѓа како

Но, нема да можете да ја земете десната или левата половина од елипсата.

Параметарскиот приказ на елипса центриран на почетокот и полуоските a и b има форма . Ако постапиме на ист начин како во анализираниот пример, добиваме формула за пресметување на плоштина на елипса .

Круг со центар на почетокот на радиусот R се одредува преку параметарот t со систем на равенки. Ако ја користите добиената формула за областа на елипсата, можете веднаш да напишете формула за наоѓање плоштина на круградиус R: .

Ајде да решиме уште еден пример.

Пример.

Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со крива одредена параметарски.

Решение.

Гледајќи малку напред, кривата е „издолжен“ астроид. (Астроид го има следново параметарско претставување).

Дозволете ни да се задржиме подетално на конструкцијата на кривата што ја ограничува фигурата. Ќе го градиме точка по точка. Вообичаено, таквата конструкција е доволна за решавање на повеќето проблеми. Во посложени случаи, несомнено ќе биде потребна детална параметарска студија. дадена функцијакористејќи диференцијална пресметка.

Во нашиот пример.

Овие функции се дефинирани за сите реални вредности на параметарот t, а од својствата на синус и косинус знаеме дека тие се периодични со период од два пи. Така, пресметување на вредностите на функциите за некои (На пример ), добиваме збир на поени .

За погодност, да ги ставиме вредностите во табелата:

Точките на рамнината ги означуваме и ДОСЛЕДНО ги поврзуваме со линија.

Дозволете ни да ја пресметаме областа на регионот лоциран во првиот координатен квадрант. За оваа област .

На k=0 го добиваме интервалот , на кој функцијата се намалува монотоно. Ја применуваме формулата за да ја најдеме областа:

Ние ги пресметуваме добиените дефинитивни интеграли користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц и ги наоѓаме антидериватите за формулата Њутн-Лајбниц користејќи рекурентна формула на формата , Каде .

Според тоа, површината на бројката четвртина е , тогаш површината на целата фигура е еднаква на.

Слично, може да се покаже дека астроидна областсе наоѓа како , а површината на фигурата ограничена со линијата се пресметува со формулата.

Пред да преминеме на формулите за површина на површина на револуција, ќе дадеме кратка формулација на самата површина на револуција. Површина на револуција или, што е истото, површина на тело со револуција е просторна фигура формирана со ротација на сегмент АБкривина околу оската Вол(слика подолу).

Да замислиме заоблен трапез ограничен одозгора со споменатиот сегмент на кривата. Тело формирано со ротирање на овој трапез околу истата оска Вол, и е тело на ротација. А областа на површината на револуција или површината на телото на револуција е нејзината надворешна обвивка, не сметајќи ги круговите формирани со ротација околу оската на прави линии x = аИ x = б .

Забележете дека телото на револуција и, соодветно, неговата површина, исто така може да се формираат со ротирање на фигурата не околу оската Вол, и околу оската Ој.

Пресметување на површината на површината на вртење наведена во правоаголни координати

Оставете ја во правоаголни координати на рамнината равенката y = ѓ(x) дадена крива чија ротација околу координатна оскасе формира тело на ротација.

Формулата за пресметување на површината на револуција е како што следува:

(1).

Пример 1.Најдете ја површината на параболоидот формирана со ротација околу неговата оска Воллак на парабола што одговара на промената xод x= 0 до x = а .

Решение. Да ја изразиме експлицитно функцијата што го дефинира лакот на параболата:

Ајде да го најдеме изводот на оваа функција:

Пред да ја искористиме формулата за да ја пронајдеме областа на површината на револуција, да го напишеме делот од неговиот интегранд што го претставува коренот и да го замениме дериватот што штотуку го најдовме таму:

Одговор: Должината на лакот на кривата е

.

Пример 2.Најдете ја површината формирана со ротација околу оската Воластроид.

Решение. Доволно е да се пресмета површината што произлегува од ротацијата на една гранка на астроидот, која се наоѓа во првата четвртина, и да се помножи со 2. Од равенката на астрооидот, експлицитно ќе ја изразиме функцијата што ќе треба да ја замениме во формула за наоѓање на површината на ротација:

.

Ние се интегрираме од 0 до а:

Пресметка на површината на површината на вртење одредена параметарски

Да го разгледаме случајот кога кривата што ја формира површината на револуцијата е дадена со параметарски равенки

Потоа, површината на ротација се пресметува со формулата

(2).

Пример 3.Најдете ја областа на површината на вртење формирана со ротација околу оската Ојфигура ограничена со циклоид и права линија y = а. Циклоидот е даден со параметарски равенки

Решение. Да ги најдеме пресечните точки на циклоидот и правата линија. Изедначување на равенката на циклоид и равенката на права линија y = а, ајде да најдеме

Од ова произлегува дека границите на интеграцијата одговараат

Сега можеме да ја примениме формулата (2). Ајде да најдеме деривати:

Ајде да го напишеме радикалниот израз во формулата, заменувајќи ги пронајдените деривати:

Ајде да го најдеме коренот на овој израз:

.

Ајде да го замениме она што го најдовме во формулата (2):

.

Ајде да направиме замена:

И конечно наоѓаме

За трансформација на изразите се користеа тригонометриски формули

Одговор: Површината на револуцијата е.

Пресметување на површината на површината на револуција наведена во поларните координати

Нека кривата, чија ротација ја формира површината, е специфицирана во поларни координати.