Дозволете ни да анализираме два вида решенија на системи на равенки:

1. Решавање на системот со методот на замена.
2. Решавање на системот со собирање (одземање) член по член на системските равенки.

Со цел да се реши системот на равенки со метод на заменатреба да следите едноставен алгоритам:
1. Изрази. Од која било равенка изразуваме една променлива.
2. Замена. Добиената вредност ја заменуваме со друга равенка наместо изразената променлива.
3. Решете ја добиената равенка со една променлива. Наоѓаме решение за системот.

Да се ​​реши систем по метод на собирање (одземање) термин по членмора да:
1. Изберете променлива за која ќе направиме идентични коефициенти.
2. Додаваме или одземаме равенки, што резултира со равенка со една променлива.
3. Решете ја добиената линеарна равенка. Наоѓаме решение за системот.

Решението на системот е пресечните точки на графиконите на функциите.

Дозволете ни да го разгледаме детално решението на системите користејќи примери.

Пример #1:

Ајде да решиме со метод на замена

Решавање на систем од равенки со помош на методот на замена

2x+5y=1 (1 равенка)
x-10y=3 (втора равенка)

1. Изрази
Се гледа дека во втората равенка има променлива x со коефициент 1, што значи дека најлесно е да се изрази променливата x од втората равенка.
x=3+10y

2. Откако ќе го изразиме, наместо променливата x, заменуваме 3+10y во првата равенка.
2(3+10г)+5г=1

3. Решете ја добиената равенка со една променлива.
2(3+10y)+5y=1 (отворете ги заградите)
6+20г+5г=1
25г=1-6
25г=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решението на системот за равенки се пресечните точки на графиците, затоа треба да ги најдеме x и y, бидејќи пресечната точка се состои од x и y. Да го најдеме x, во првата точка каде што го изразивме го заменуваме y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Вообичаено е да се пишуваат точки на прво место ја пишуваме променливата x, а на второ променливата y.
Одговор: (1; -0,2)

Пример #2:

Ајде да решиме со методот на собирање (одземање) термин по член.

Решавање на систем од равенки со помош на методот на собирање

3x-2y=1 (1 равенка)
2x-3y=-10 (втора равенка)

1. Избираме променлива, да речеме дека избираме x. Во првата равенка, променливата x има коефициент 3, во втората - 2. Треба да ги направиме коефициентите исти, за ова имаме право да ги помножиме равенките или да ги делиме со кој било број. Првата равенка ја помножуваме со 2, а втората со 3 и добиваме вкупен коефициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Од првата равенка одземете ја втората за да се ослободите од променливата x. Решете ја линеарната равенка.
__6x-4y=2

5г=32 | :5
y=6,4

3. Најдете x. Пронајденото y го заменуваме со која било од равенките, да речеме во првата равенка.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Пресечната точка ќе биде x=4,6; y=6,4
Одговор: (4.6; 6.4)

Дали сакате да се подготвите за испити бесплатно? Тутор онлајн бесплатно. Не се шегувам.

Употребата на равенки е широко распространета во нашите животи. Тие се користат во многу пресметки, изградба на структури, па дури и спорт. Човекот користел равенки во античко време, и оттогаш нивната употреба само се зголемува. Моќност или експоненцијални равенки се равенки во кои променливите се во моќности, а основата е број. На пример:

Решавањето на експоненцијална равенка се сведува на 2 прилично едноставни чекори:

1. Треба да проверите дали основите на равенката десно и лево се исти. Ако причините не се исти, бараме опции за решавање на овој пример.

2. Откако основите ќе станат исти, ги изедначуваме степените и ја решаваме добиената нова равенка.

Да претпоставиме дека ни е дадена експоненцијална равенка од следнава форма:

Решението на оваа равенка вреди да се започне со анализа на основата. Основите се различни - 2 и 4, но за да ги решиме ни треба да бидат исти, па го трансформираме 4 користејќи ја следната формула -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

На првобитната равенка додаваме:

Ајде да го извадиме од загради \

Ајде да изразиме \

Бидејќи степените се исти, ги отфрламе:

Одговор: \

Каде можам да решам експоненцијална равенка користејќи онлајн решавач?

Равенката можете да ја решите на нашата веб-страница https://site. Бесплатниот онлајн решавач ќе ви овозможи да решавате онлајн равенки од секаква сложеност за неколку секунди. Сè што треба да направите е едноставно да ги внесете вашите податоци во решавачот. Можете исто така да гледате видео инструкции и да научите како да ја решите равенката на нашата веб-страница. И ако сè уште имате прашања, можете да ги поставите во нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Придружете се на нашата група, ние секогаш сме среќни да ви помогнеме.

Равенки

Како да се решат равенките?

Во овој дел ќе се потсетиме (или ќе ги проучуваме, во зависност од тоа кој ќе го изберете) најелементарните равенки. Па што е равенката? На човечки јазик, ова е некој вид математички израз каде што има знак за еднаквост и непознат. Што обично се означува со буквата "Х". Решете ја равенката- ова е да се најдат такви вредности на x што, кога ќе се заменат во оригиналенизразот ќе ни го даде точниот идентитет. Да потсетам дека идентитетот е израз кој е несомнен дури и за човек кој апсолутно не е оптоварен со математичко знаење. Како 2=2, 0=0, ab=ab, итн. Па, како да се решат равенките?Ајде да го сфатиме.

Има секакви равенки (изненаден сум, нели?). Но, целата нивна бесконечна разновидност може да се подели на само четири типа.

4. Друго.)

Сите останати, се разбира, најмногу од сè, да...) Ова вклучува кубни, експоненцијални, логаритамски, тригонометриски и секакви други. Ќе работиме тесно со нив во соодветните делови.

Веднаш ќе кажам дека понекогаш равенките на првата три видатолку многу ќе те изневерат што нема ни да ги препознаеш... Ништо. Ќе научиме како да ги одмотуваме.

И зошто ни се потребни овие четири типа? И тогаш што линеарни равенкирешени на еден начин квадратдруги, фракционо рационално - трето,А одморТие воопшто не се осмелуваат! Па, не е дека тие воопшто не можат да одлучуваат, туку дека јас згрешив со математиката.) Само што тие имаат свои посебни техники и методи.

Но, за било кој (повторувам - за било кој!) равенките обезбедуваат сигурна и безбедна основа за решавање. Работи секаде и секогаш. Оваа основа - Звучи страшно, но е многу едноставна. И многу (Многу!)важно.

Всушност, решението на равенката се состои од овие трансформации. 99% Одговор на прашањето: " Како да се решат равенките?" лежи токму во овие трансформации. Дали е јасен навестувањето?)

Идентични трансформации на равенки.

ВО било какви равенкиЗа да го пронајдете непознатото, треба да го трансформирате и поедноставите оригиналниот пример. И така што кога ќе се промени изгледот суштината на равенката не е променета.Таквите трансформации се нарекуваат идентичниили еквивалент.

Забележете дека овие трансформации се применуваат конкретно за равенките.Има и идентитетски трансформации во математиката изрази.Ова е друга тема.

Сега ќе ги повториме сите, сите, сите основни идентични трансформации на равенките.

Основни затоа што можат да се применат на било којравенки - линеарни, квадратни, фракциони, тригонометриски, експоненцијални, логаритамски итн. и така натаму.

Првата трансформација на идентитетот: можете да додадете (одземете) на двете страни на која било равенка било кој(но еден и ист!) број или израз (вклучувајќи израз со непозната!). Ова не ја менува суштината на равенката.

Патем, постојано ја користевте оваа трансформација, само мислевте дека некои поими ги префрлате од еден во друг дел од равенката со промена на знакот. Тип:

Случајот е познат, ги поместуваме двајцата надесно и добиваме:

Всушност ти одземеноод двете страни на равенката е два. Резултатот е ист:

x+2 - 2 = 3 - 2

Поместувањето на термините лево и десно со промена на знакот е едноставно скратена верзија на првата трансформација на идентитетот. И зошто ни треба толку длабоко знаење? - прашуваш ти. Ништо во равенките. За волја на Бога, издржи го. Само не заборавајте да го смените знакот. Но, во нееднаквостите, навиката за пренесување може да доведе до ќорсокак...

Втора трансформација на идентитетот: двете страни на равенката може да се помножат (поделат) со иста работа не-нулаброј или израз. Овде веќе се појавува разбирливо ограничување: множењето со нула е глупаво, а делењето е сосема невозможно. Ова е трансформацијата што ја користите кога решавате нешто кул како

Тоа е јасно X= 2. Како го најдовте? По селекција? Или само ти се раздени? За да не изберете и да не чекате увид, треба да разберете дека сте праведни поделени двете страни на равенкатасо 5. При делење на левата страна (5x), петката се намалила, оставајќи чист Х. Што е токму она што ни требаше. И кога се дели десната страна на (10) со пет, резултатот е, се разбира, два.

Тоа е се.

Смешно е, но овие две (само две!) идентични трансформации се основата на решението сите математички равенки.Леле! Има смисла да се погледнат примери за тоа што и како, нели?)

Примери на идентични трансформации на равенки. Главни проблеми.

Да почнеме со првотрансформација на идентитетот. Префрлете лево-десно.

Пример за помладите.)

Да речеме дека треба да ја решиме следнава равенка:

3-2x=5-3x

Да се ​​потсетиме на магијата: "Со X - лево, без X - десно!"Оваа магија е инструкција за користење на првата трансформација на идентитетот.) Кој израз со X е десно? 3x? Одговорот е неточен! Наша десна страна - 3x! Минустри х! Затоа, кога се движите налево, знакот ќе се промени во плус. Ќе испадне:

3-2x+3x=5

Значи, X-овите беа собрани на куп. Ајде да навлеземе во бројките. Лево има тројка. Со каков знак? Одговорот „со ниеден“ не се прифаќа!) Пред тројцата, навистина, ништо не е нацртано. И ова значи дека пред трите има Плус.Така, математичарите се согласија. Ништо не е напишано, што значи Плус.Затоа, тројката ќе биде префрлена на десната страна со минус.Добиваме:

-2х+3х=5-3

Останаа само ситници. Лево - донесете слични, десно - бројте. Одговорот доаѓа веднаш:

Во овој пример, доволна беше една трансформација на идентитетот. Вториот не беше потребен. Па, во ред.)

Пример за постарите деца.)

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Во ова видео ќе го анализираме целиот сет линеарни равенки, кои се решаваат со користење на истиот алгоритам - затоа се нарекуваат наједноставни.

Прво, да дефинираме: што е линеарна равенка и која се нарекува наједноставна?

Линеарна равенка е онаа во која има само една променлива, и тоа само до прв степен.

Наједноставната равенка значи конструкција:

Сите други линеарни равенки се сведени на наједноставните користејќи го алгоритмот:

1. Проширете ги заградите, доколку ги има;
2. Преместете ги поимите кои содржат променлива на едната страна од знакот за еднаквост, а термините без променлива на другата страна;
3. Наведете слични термини лево и десно од знакот за еднаквост;
4. Добиената равенка поделете ја со коефициентот на променливата $x$.

Се разбира, овој алгоритам не секогаш помага. Факт е дека понекогаш после сите овие махинации коефициентот на променливата $x$ излегува дека е еднаков на нула. Во овој случај, можни се две опции:

1. Равенката воопшто нема решенија. На пример, кога ќе излезе нешто како $0\cdot x=8$, т.е. лево е нула, а десно е број различен од нула. Во видеото подолу ќе разгледаме неколку причини зошто оваа ситуација е можна.
2. Решението се сите броеви. Единствениот случај кога тоа е можно е кога равенката е сведена на конструкцијата $0\cdot x=0$. Сосема е логично што и да замениме $x$, сепак ќе испадне „нула е еднаква на нула“, т.е. правилна нумеричка еднаквост.

Сега да видиме како функционира сето ова користејќи примери од реалниот живот.

Примери за решавање равенки

Денес се занимаваме со линеарни равенки, и тоа само со наједноставните. Во принцип, линеарна равенка значи секоја еднаквост што содржи точно една променлива, и таа оди само до првиот степен.

Ваквите конструкции се решаваат приближно на ист начин:

1. Пред сè, треба да ги проширите заградите, доколку ги има (како во нашиот последен пример);
2. Потоа комбинирајте слично
3. Конечно, изолирајте ја променливата, т.е. преместете сè што е поврзано со променливата - поимите во кои таа е содржана - на едната страна и преместете сè што останува без неа на другата страна.

Потоа, по правило, треба да дадете слични на секоја страна од добиената еднаквост, а после тоа останува само да се подели со коефициентот „x“ и ќе го добиеме конечниот одговор.

Во теорија, ова изгледа убаво и едноставно, но во пракса, дури и искусните средношколци можат да направат навредливи грешки во прилично едноставни линеарни равенки. Вообичаено, грешките се прават или при отворање на загради или при пресметување на „плусите“ и „минусите“.

Дополнително, се случува линеарната равенка воопшто да нема решенија или решението да биде целата бројна права, т.е. кој било број. Ќе ги разгледаме овие суптилности во денешната лекција. Но, ние ќе започнеме, како што веќе разбравте, со самото едноставни задачи.

Шема за решавање едноставни линеарни равенки

Прво, дозволете ми уште еднаш да ја напишам целата шема за решавање на наједноставните линеарни равенки:

1. Проширете ги заградите, доколку ги има.
2. Ги изолираме променливите, т.е. Сè што содржи „Х“ го преместуваме на едната страна, а сè што нема „Х“ на другата страна.
3. Ви претставуваме слични термини.
4. Сè делиме со коефициентот „x“.

Се разбира, оваа шема не секогаш функционира, има одредени суптилности и трикови во неа, а сега ќе ги запознаеме.

Решавање на реални примери на едноставни линеарни равенки

Задача бр. 1

Првиот чекор бара од нас да ги отвориме заградите. Но, тие не се во овој пример, затоа го прескокнуваме овој чекор. Во вториот чекор треба да ги изолираме променливите. Ве молиме имајте предвид: зборуваме само за поединечни термини. Ајде да го запишеме:

Претставуваме слични термини лево и десно, но ова е веќе направено овде. Затоа, преминуваме на четвртиот чекор: подели со коефициентот:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Така го добивме одговорот.

Задача бр. 2

Можеме да ги видиме заградите во овој проблем, па да ги прошириме:

И лево и десно гледаме приближно ист дизајн, но да постапиме според алгоритмот, т.е. одвојување на променливите:

Еве неколку слични:

Од кои корени функционира ова? Одговор: за било кој. Затоа, можеме да напишеме дека $x$ е кој било број.

Задача бр.3

Третата линеарна равенка е поинтересна:

\[\лево(6-x \десно)+\лево(12+x \десно)-\лево(3-2x \десно)=15\]

Овде има неколку загради, но тие не се множат со ништо, едноставно им претходат различни знаци. Ајде да ги разделиме:

Го извршуваме вториот чекор кој веќе ни е познат:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Ајде да направиме математика:

Го извршуваме последниот чекор - подели сè со коефициентот „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Работи што треба да ги запомните кога решавате линеарни равенки

Ако игнорираме премногу едноставни задачи, би сакал да го кажам следново:

• Како што реков погоре, не секоја линеарна равенка има решение - понекогаш едноставно нема корени;
• Дури и да има корени, меѓу нив може да има нула - нема ништо лошо во тоа.

Нулата е ист број како и другите; не треба да ја дискриминирате на кој било начин или да претпоставите дека ако добиете нула, тогаш сте направиле нешто погрешно.

Друга карактеристика е поврзана со отворањето на заградите. Ве молиме имајте предвид: кога има „минус“ пред нив, го отстрануваме, но во загради ги менуваме знаците во спротивно. И тогаш можеме да го отвориме користејќи стандардни алгоритми: ќе го добиеме она што го видовме во пресметките погоре.

Разбирањето на овој едноставен факт ќе ви помогне да избегнете глупави и повредливи грешки во средно училиште, кога таквите работи се земаат здраво за готово.

Решавање сложени линеарни равенки

Да преминеме на посложени равенки. Сега конструкциите ќе станат посложени и при извршување на разни трансформации ќе се појави квадратна функција. Сепак, не треба да се плашиме од ова, бидејќи ако, според планот на авторот, решаваме линеарна равенка, тогаш за време на процесот на трансформација сите мономи што содржат квадратна функција сигурно ќе се откажат.

Пример бр. 1

Очигледно, првиот чекор е да ги отворите заградите. Ајде да го направиме ова многу внимателно:

Сега да ја погледнеме приватноста:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Еве неколку слични:

Очигледно, оваа равенка нема решенија, па ќе го напишеме ова во одговорот:

\[\varnothing\]

или нема корени.

Пример бр. 2

Ги извршуваме истите дејства. Првиот чекор:

Ајде да преместиме сè со променлива налево, а без неа - надесно:

Еве неколку слични:

Очигледно, оваа линеарна равенка нема решение, па ќе ја напишеме вака:

\[\varnothing\],

или нема корени.

Нијанси на решението

Двете равенки се целосно решени. Користејќи ги овие два израза како пример, уште еднаш се уверивме дека дури и во наједноставните линеарни равенки, сè можеби не е толку едноставно: може да има или еден, или ниеден или бесконечно многу корени. Во нашиот случај, разгледавме две равенки, и двете едноставно немаат корени.

Но, би сакал да го привлечам вашето внимание на уште еден факт: како да работите со загради и како да ги отворите ако пред нив има знак минус. Размислете за овој израз:

Пред да отворите, треба да помножите сè со „X“. Ве молиме запомнете: се множи секој поединечен термин. Внатре има два члена - соодветно, два члена и множи.

И дури откако ќе се завршат овие навидум елементарни, но многу важни и опасни трансформации, можете да ја отворите заградата од гледна точка на фактот дека по неа има знак минус. Да, да: дури сега, кога трансформациите се завршени, се сеќаваме дека има знак минус пред заградите, што значи дека сè подолу едноставно ги менува знаците. Во исто време, самите загради исчезнуваат и, што е најважно, исчезнува и предниот „минус“.

Истото го правиме и со втората равенка:

Не случајно обрнувам внимание на овие мали, навидум безначајни факти. Затоа што решавањето равенки е секогаш низа од елементарни трансформации, каде што неможноста јасно и компетентно да се извршат едноставни дејства доведува до тоа дека средношколците доаѓаат кај мене и повторно учат да решаваат такви едноставни равенки.

Се разбира, ќе дојде ден кога ќе ги усовршите овие вештини до точка на автоматизам. Повеќе нема да морате да правите толку многу трансформации секој пат; ќе пишувате сè на еден ред. Но, додека само учите, треба да ја напишете секоја акција посебно.

Решавање на уште посложени линеарни равенки

Она што сега ќе го решиме тешко може да се нарече наједноставна задача, но значењето останува исто.

Задача бр. 1

\[\лево(7x+1 \десно)\лево(3x-1 \десно)-21((x)^(2))=3\]

Ајде да ги помножиме сите елементи во првиот дел:

Ајде да направиме малку приватност:

Еве неколку слични:

Ајде да го завршиме последниот чекор:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Еве го нашиот конечен одговор. И, и покрај тоа што во процесот на решавање имавме коефициенти со квадратна функција, тие меѓусебно се анулираа, што ја прави равенката линеарна, а не квадратна.

Задача бр. 2

\[\лево(1-4x \десно)\лево(1-3x \десно)=6x\лево(2x-1 \десно)\]

Ајде внимателно да го извршиме првиот чекор: помножете го секој елемент од првата заграда со секој елемент од вториот. По трансформациите треба да има вкупно четири нови термини:

Сега внимателно да го извршиме множењето во секој член:

Да ги преместиме термините со „X“ налево, а оние без - надесно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Еве слични термини:

Уште еднаш го добивме конечниот одговор.

Нијанси на решението

Најважната забелешка за овие две равенки е следната: штом почнеме да множиме загради кои содржат повеќе од еден член, тоа се прави според следново правило: го земаме првиот член од првиот и множиме со секој елемент од вториот; потоа го земаме вториот елемент од првиот и слично се множиме со секој елемент од вториот. Како резултат на тоа ќе имаме четири мандати.

За алгебарскиот збир

Со овој последен пример, би сакал да ги потсетам учениците што е алгебарски збир. Во класичната математика, под 1-7$ мислиме на едноставна конструкција: одземете седум од едно. Во алгебрата го мислиме следново: на бројот „еден“ додаваме друг број, имено „минус седум“. Така алгебарската сума се разликува од обичната аритметичка сума.

Штом, при извршување на сите трансформации, секое собирање и множење, ќе почнете да гледате конструкции слични на оние опишани погоре, едноставно нема да имате никакви проблеми во алгебрата кога работите со полиноми и равенки.

Конечно, да погледнеме уште неколку примери кои ќе бидат уште посложени од оние што штотуку ги разгледавме, а за да ги решиме ќе треба малку да го прошириме нашиот стандарден алгоритам.

Решавање равенки со дропки

За да решиме такви задачи, ќе треба да додадеме уште еден чекор во нашиот алгоритам. Но, прво, дозволете ми да ве потсетам на нашиот алгоритам:

1. Отворете ги заградите.
2. Одделни променливи.
3. Донесете слични.
4. Поделете со односот.

За жал, овој прекрасен алгоритам, и покрај сета своја ефективност, се покажува дека не е сосема соодветен кога имаме дропки пред нас. И во она што ќе го видиме подолу, имаме дропка и лево и десно во двете равенки.

Како да се работи во овој случај? Да, тоа е многу едноставно! За да го направите ова, треба да додадете уште еден чекор во алгоритмот, што може да се направи и пред и по првото дејство, имено, ослободување од фракции. Значи, алгоритмот ќе биде како што следува:

1. Ослободете се од дропките.
2. Отворете ги заградите.
3. Одделни променливи.
4. Донесете слични.
5. Поделете со односот.

Што значи „да се ослободите од фракциите“? И зошто ова може да се направи и по и пред првиот стандарден чекор? Всушност, во нашиот случај, сите дропки се нумерички во нивниот именител, т.е. Секаде именителот е само бројка. Затоа, ако ги помножиме двете страни на равенката со овој број, ќе се ослободиме од дропките.

Пример бр. 1

\[\frac(\лево(2x+1 \десно)\лево(2x-3 \десно))(4)=((x)^(2))-1\]

Ајде да се ослободиме од дропките во оваа равенка:

\[\frac(\лево(2x+1 \десно)\лево(2x-3 \десно)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \десно)\cdot 4\]

Забележете: сè се множи со „четири“ еднаш, т.е. само затоа што имате две загради не значи дека треба да ја помножите секоја со „четири“. Ајде да запишеме:

\[\лево(2x+1 \десно)\лево(2x-3 \десно)=\лево(((x)^(2))-1 \десно)\cточка 4\]

Сега да се прошириме:

Ја издвојуваме променливата:

Ние вршиме намалување на слични термини:

\[-4x=-1\лево| :\лево(-4 \десно) \десно.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Го добивме конечното решение, да преминеме на втората равенка.

Пример бр. 2

\[\frac(\лево(1-x \десно)\лево(1+5x \десно))(5)+((x)^(2))=1\]

Овде ги извршуваме сите исти дејства:

\[\frac(\лево(1-x \десно)\лево(1+5x \десно)\cточка 5)(5)+((x)^(2))\cточка 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблемот е решен.

Тоа, всушност, е сè што сакав да ви кажам денес.

Клучните точки

Клучните наоди се:

• Знајте го алгоритмот за решавање на линеарни равенки.
• Способност за отворање загради.
• Не грижете се ако видите квадратни функции, најверојатно, во процесот на понатамошни трансформации тие ќе се намалат.
• Постојат три типа на корени во линеарните равенки, дури и наједноставните: еден единствен корен, целата нумеричка линија е корен и воопшто нема корени.

Се надевам дека оваа лекција ќе ви помогне да совладате едноставна, но многу важна тема за понатамошно разбирање на целата математика. Ако нешто не е јасно, одете на страницата и решете ги примерите презентирани таму. Останете во тек, ве очекуваат уште многу интересни работи!

Равенка со една непозната, која, откако ќе ги отвори заградите и ќе донесе слични поими, добива форма

секира + б = 0, каде што a и b се произволни броеви, се повикува линеарна равенка со една непозната. Денес ќе откриеме како да ги решиме овие линеарни равенки.

На пример, сите равенки:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - линеарна.

Се вика вредноста на непознатата што ја претвора равенката во вистинска еднаквост одлука или коренот на равенката .

На пример, ако во равенката 3x + 7 = 13 наместо непознатата x го замениме бројот 2, ја добиваме точната еднаквост 3 2 +7 = 13. Тоа значи дека вредноста x = 2 е решение или корен на равенката.

И вредноста x = 3 не ја претвора равенката 3x + 7 = 13 во вистинска равенка, бидејќи 3 2 +7 ≠ 13. Тоа значи дека вредноста x = 3 не е решение или корен на равенката.

Решавањето на какви било линеарни равенки се сведува на решавање на равенки на формата

секира + б = 0.

Ајде да го поместиме слободниот член од левата страна на равенката надесно, менувајќи го знакот пред b во спротивното, добиваме

Ако a ≠ 0, тогаш x = ‒ b/a .

Пример 1. Решете ја равенката 3x + 2 =11.

Ајде да поместиме 2 од левата страна на равенката надесно, менувајќи го знакот пред 2 во спротивното, добиваме
3x = 11 - 2.

Ајде да го направиме одземањето, тогаш
3x = 9.

За да најдете x, треба да го поделите производот со познат фактор, т.е
x = 9:3.

Ова значи дека вредноста x = 3 е решение или корен на равенката.

Одговор: x = 3.

Ако a = 0 и b = 0, тогаш ја добиваме равенката 0x = 0. Оваа равенка има бесконечно многу решенија, бидејќи кога ќе помножиме кој било број со 0 добиваме 0, но b е исто така еднакво на 0. Решението на оваа равенка е кој било број.

Пример 2.Решете ја равенката 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Ајде да ги прошириме заградите:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Еве неколку слични термини:
0x = 0.

Одговор: x - кој било број.

Ако a = 0 и b ≠ 0, тогаш ја добиваме равенката 0x = - b. Оваа равенка нема решенија, бидејќи кога ќе помножиме кој било број со 0 добиваме 0, но b ≠ 0.

Пример 3.Решете ја равенката x + 8 = x + 5.

Ајде да групираме поими што содржат непознати на левата страна, а слободните термини на десната страна:
x – x = 5 – 8.

Еве неколку слични термини:
0х = ‒ 3.

Одговор: нема решенија.

На Слика 1 покажува дијаграм за решавање на линеарна равенка

Ајде да подготвиме општа шема за решавање равенки со една променлива. Да го разгледаме решението на Пример 4.

Пример 4. Да претпоставиме дека треба да ја решиме равенката

1) Помножете ги сите членови од равенката со најмалиот заеднички множител од именителот, еднаков на 12.

2) По намалувањето добиваме
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) За да ги одделите поимите што содржат непознати и слободни поими, отворете ги заградите:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Да ги групираме во еден дел поимите што содржат непознати, а во другиот - слободни термини:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Да претставиме слични термини:
- 22x = - 154.

6) Поделете со – 22, добиваме
x = 7.

Како што можете да видите, коренот на равенката е седум.

Генерално такви равенките може да се решат со помош на следнава шема:

а) доведете ја равенката во нејзината цел бројна форма;

б) отворете ги заградите;

в) групирајте ги членовите што ја содржат непознатата во едниот дел од равенката, а слободните членови во другиот;

г) донесе слични членови;

д) реши равенка од формата aх = b, која е добиена по донесување слични членови.

Сепак, оваа шема не е неопходна за секоја равенка. Кога решавате многу поедноставни равенки, треба да започнете не од првото, туку од второто ( Пример. 2), трето ( Пример. 13) па дури и од петтата фаза, како во пример 5.

Пример 5.Решете ја равенката 2x = 1/4.

Најдете ја непознатата x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Ајде да погледнеме во решавањето на некои линеарни равенки пронајдени во главниот државен испит.

Пример 6.Решете ја равенката 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Одговор: - 0,125

Пример 7.Решете ја равенката – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Одговор: 2.3

Пример 8. Решете ја равенката

3 (3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Пример 9.Најдете f(6) ако f (x + 2) = 3 7's

Решение

Бидејќи треба да најдеме f(6), а знаеме f (x + 2),
тогаш x + 2 = 6.

Ја решаваме линеарната равенка x + 2 = 6,
добиваме x = 6 – 2, x = 4.

Ако x = 4 тогаш
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Одговор: 27.

Ако сè уште имате прашања или сакате потемелно да го разберете решавањето на равенките, пријавете се за моите лекции во РАСПОРЕДОТ. Ќе ми биде драго да ви помогнам!

TutorOnline, исто така, препорачува да гледате нова видео лекција од нашата учителка Олга Александровна, која ќе ви помогне да ги разберете и линеарните равенки и другите.

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.