Висина на триаголникот. Визуелен водич (2020). Најдете ја најголемата висина на триаголник Најдете ја висината на триаголникот спуштен од темето

Пресметувањето на висината на триаголникот зависи од самата фигура (рамнокрак, рамностран, скален, правоаголен). Во практичната геометрија, сложените формули, по правило, не се наоѓаат. Доволно е да се знае општиот принцип на пресметките за да може да биде универзално применлив за сите триаголници. Денес ќе ве запознаеме со основните принципи за пресметување на висината на фигурата, формули за пресметување врз основа на својствата на висините на триаголниците.

Што е висина?

Висината има неколку карактеристични својства

1. Точката каде што се поврзуваат сите висини се нарекува ортоцентар. Ако триаголникот е зашилен, тогаш ортоцентарот се наоѓа внатре во фигурата; ако еден од аглите е тап, тогаш ортоцентарот, по правило, се наоѓа надвор.
2. Во триаголник каде еден агол е 90°, ортоцентарот и темето се совпаѓаат.
3. Во зависност од видот на триаголникот, постојат неколку формули за наоѓање на висината на триаголникот.

Традиционално пресметување

1. Ако p е половина од периметарот, тогаш a, b, c се ознаката на страните на потребната фигура, h е висината, тогаш првиот и најголемиот едноставна формулаќе изгледа вака: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
2. ВО училишни учебнициЧесто може да најдете проблеми во кои ја знаете вредноста на една од страните на триаголникот и големината на аголот помеѓу оваа страна и основата. Тогаш формулата за пресметување на висината ќе изгледа вака: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. Кога се дава површина на триаголник– S, како и должината на основата – a, тогаш пресметките ќе бидат што е можно поедноставни. Висината се наоѓа со помош на формулата: h = 2S/a.
4. Кога е даден радиусот на кругот опишан околу сликата, прво ги пресметуваме должините на неговите две страни, а потоа продолжуваме да ја пресметуваме дадената висина на триаголникот. За да го направите ова, ја користиме формулата: h = b ∙ c/2R, каде што b и c се двете страни на триаголникот што не се основата, а R е радиусот.

Сите страни на оваа бројка се еквивалентни, нивните должини се еднакви, затоа аглите на основата исто така ќе бидат еднакви. Од ова произлегува дека висините што ги цртаме на основите исто така ќе бидат еднакви, тие се и медијани и симетрали во исто време. Зборувајќи на едноставен јазик, надморската височина во рамнокрак триаголник ја дели основата на два дела. Триаголникот со прав агол, кој се добива по исцртување на висината, ќе се разгледува со помош на Питагоровата теорема. Да ја означиме страната како a и основата како b, а потоа висината h = ½ √4 a2 − b2.

Како да се најде висината на рамностран триаголник?

Формулата за рамностран триаголник (фигура каде сите страни се еднакви по големина) може да се најде врз основа на претходните пресметки. Потребно е само да се измери должината на една од страните на триаголникот и да се означи како а. Тогаш висината се изведува со формулата: h = √3/2 a.

Како да се најде висина правоаголен триаголник?

Како што знаете, аголот во правоаголен триаголник е 90°. Висината спуштена од едната страна е исто така втората страна. На нив ќе лежат надморските височини на триаголник со прав агол. За да добиете податоци за висината, треба малку да ја трансформирате постоечката питагорова формула, означувајќи ги нозете - a и b, а исто така мерејќи ја должината на хипотенузата - c.

Да ја најдеме должината на кракот (страната на која висината ќе биде нормална): a = √ (c2 − b2). Должината на вториот крак се наоѓа со користење на истата формула: b =√ (c2 − b2). После тоа, можете да започнете да ја пресметувате висината на триаголникот со прав агол, откако прво ја пресметате површината на фигурата - s. Висинската вредност е h = 2s/a.

Пресметки со скален триаголник

Кога скаленскиот триаголник има остри агли, висината спуштена до основата е видлива. Ако триаголникот има тап агол, тогаш висината може да биде надвор од фигурата и треба ментално да ја продолжите за да ја добиете точката на поврзување на висината и основата на триаголникот. Најмногу на едноставен начинда се измери висината е да се пресмета преку една од страните и големината на аглите. Формулата е следна: h = b sin y + c sin ß.

При решавање на разни видови проблеми, и од чисто математички и од применета природа (особено во градежништвото), често е неопходно да се одреди вредноста на висината на одредена геометриска фигура. Како да се пресмета оваа вредност(висина) во триаголник?

Ако комбинираме 3 точки во парови кои не се наоѓаат на една линија, тогаш добиената фигура ќе биде триаголник. Висина е дел од права линија од кое било теме на фигурата што, кога се вкрстува со спротивната страна, формира агол од 90°.

Најдете ја висината на скален триаголник

Дозволете ни да ја одредиме вредноста на висината на триаголникот во случај кога фигурата има произволни агли и страни.

Формулата на Херон

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, каде

p – половина од периметарот на сликата, h(a) – отсечка на страната a, нацртана под прав агол на неа,

p=(a+b+c)/2 – пресметка на полупериметарот.

Ако има површина на фигурата, можете да ја користите релацијата h(a)=2S/a за да ја одредите нејзината висина.

Тригонометриски функции

За да ја одредите должината на отсечката што прави прав агол кога се вкрстува со страната a, можете да ги користите следниве односи: ако се познати страната b и аголот γ или страната c и аголот β, тогаш h(a)=b*sinγ или h(a)=c *sinβ.
Каде:
γ – агол помеѓу страната b и a,
β е аголот помеѓу страната c и a.

Однос со радиус

Ако оригиналниот триаголник е впишан во круг, можете да го користите радиусот на таков круг за да ја одредите висината. Нејзиниот центар се наоѓа на местото каде што се сечат сите 3 висини (од секое теме) - ортоцентарот, а растојанието од него до темето (било кое) е радиусот.

Тогаш h(a)=bc/2R, каде што:
b, c - 2 други страни на триаголникот,
R е радиусот на кругот што го опишува триаголникот.

Најдете ја висината во правоаголен триаголник

Кај овој тип на геометриска фигура, 2 страни, кога се сечат, формираат прав агол - 90 °. Затоа, ако сакате да ја одредите вредноста на висината во неа, тогаш треба да ја пресметате или големината на едната нога или големината на сегментот што формира 90 ° со хипотенузата. При назначување:
а, б - нозе,
в – хипотенуза,
h(c) – нормално на хипотенузата.
Можете да ги направите потребните пресметки користејќи ги следниве врски:

• Питагорова теорема:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, бидејќи S=ab/2, потоа h(c)=ab/c.

• Тригонометриски функции:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Најдете ја висината на рамнокрак триаголник

Ова геометриска фигураСе одликува со присуство на две страни со еднаква големина и трета - основата. За да се одреди висината на третата, посебна страна, на помош доаѓа Питагоровата теорема. Со нотации
а – страна,
в – основа,
h(c) е отсечка до c под агол од 90°, потоа h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

• Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

• Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
• Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
• Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
• Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање на информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

• Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
• Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

триаголник) или помине надвор од триаголникот кај тап триаголник.

Енциклопедиски YouTube

1 / 5

✪ ВИСИНА СРЕДНА БЕСЕКТРИКА на триаголник Степен 7

✪ симетрала, средна, надморска височина на триаголник. Геометрија 7 одделение

✪ 7 одделение, лекција 17, медијани, симетрали и височини на триаголник

✪ Медијана, симетрала, надморска височина на триаголникот | Геометрија

✪ Како да се најде должината на симетралата, средната и висината? | Нерди со мене #031 | Борис Трушин

Преводи

Својства на точката на пресек на три височини на триаголник (ортоцентар)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ overrightarrow (CA)+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(За да го докажете идентитетот, треба да ги користите формулите

Точката Е треба да се земе како пресек на две висини на триаголникот.)

• Ортоцентаризогонално се конјугира со центарот ограничен круг .
• Ортоцентарлежи на иста линија како центроидот, центарот кружен круги центар на круг од девет точки (види Ојлерова права линија).
• Ортоцентарна остар триаголник е центарот на кругот впишан во неговиот правотриаголник.
• Центарот на триаголникот опишан со ортоцентарот со темиња на средните точки на страните на дадениот триаголник. Последниот триаголник се нарекува комплементарен триаголник на првиот триаголник.
• Последното својство може да се формулира на следниов начин: Центарот на кругот ограничен околу триаголникот служи ортоцентардополнителен триаголник.
• Точки, симетрични ортоцентартриаголник во однос на неговите страни лежат на кружниот круг.
• Точки, симетрични ортоцентартриаголниците во однос на средните точки на страните исто така лежат на кружниот круг и се совпаѓаат со точките дијаметрално спротивни на соодветните темиња.
• Ако О е центарот на кружниот круг ΔABC, тогаш O H → = O A → + O B → + O C → (\стил на екран (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
• Растојанието од темето на триаголникот до ортоцентарот е двојно поголемо од растојанието од центарот на кружниот круг до спротивната страна.
• Било кој сегмент извлечен од ортоцентарПред да се пресече со кружниот круг, тој секогаш се дели на половина со Ојлеровиот круг. Ортоцентаре центарот на хомотетот на овие два круга.
• Хамилтонова теорема. Три праволиниски отсечки што го поврзуваат ортоцентарот со темињата на остар триаголник го делат на три триаголници кои имаат ист Ојлеров круг (круг од девет точки) како првобитниот остар триаголник.
• Последици на теоремата на Хамилтон:
  • Три праволиниски отсечки што го поврзуваат ортоцентарот со темињата на остар триаголник го делат на три Хамилтон триаголниккои имаат еднакви радиуси на ограничени кругови.
  • Радиусите на ограничените кругови од три Хамилтон триаголнициеднаков на радиусот на кругот опкружен околу првобитниот акутен триаголник.
• Во акутен триаголник, ортоцентарот лежи внатре во триаголникот; во тап агол - надвор од триаголникот; во правоаголна - на темето на прав агол.

Својства на височините на рамнокрак триаголник

• Ако две височини во триаголникот се еднакви, тогаш триаголникот е рамнокрак (теорема Штајнер-Лемус), а третата надморска височина е и средна и симетрала на аголот од кој излегува.
• Обратно е исто така точно: во рамнокрак триаголник, две височини се еднакви, а третата надморска височина е и средна и симетрала.
• Рамностран триаголник ги има сите три висини еднакви.

Својства на основите на надморска височина на триаголник

• Причинивисините формираат таканаречен правотриаголник, кој има свои својства.
• Кругот ограничен на правоаголник е Ојлеровата кружница. Овој круг содржи и три средни точки на страните на триаголникот и три средни точки од три отсечки што го поврзуваат ортоцентарот со темињата на триаголникот.
• Друга формулација на последното својство:
  • Ојлерова теорема за круг од девет точки. Причинитри висинипроизволен триаголник, средните точки на неговите три страни ( основите на нејзиниот внатрешенмедијани) и средните точки на три отсечки што ги поврзуваат нејзините темиња со ортоцентарот, сите лежат на истиот круг (на круг од девет точки).
• Теорема. Во секој триаголник, сегментот што се поврзува основидва висинитриаголник, отсекува триаголник сличен на дадениот.
• Теорема. Во триаголник, сегментот што се поврзува основидва висинитриаголници кои лежат на две страни антипаралелнона трето лице со кое нема заеднички јазик. Секогаш може да се повлече круг низ неговите два краја, како и низ двете темиња на третата спомената страна.

Други својства на височините на триаголниците

• Ако триаголник разноврсна (скален), тогаш тоа внатрешенсиметралата извлечена од кое било теме лежи помеѓу внатрешенмедијана и висина извлечени од истото теме.
• Висината на триаголникот е изогонално конјугирана со дијаметарот (радиусот) ограничен круг, извлечен од истото теме.
• Во акутен триаголник има два висиниотсечете од него слични триаголници.
• Во правоаголен триаголник висина, извлечен од темето на прав агол, го дели на два триаголници слични на оригиналниот.

Својства на минималната надморска височина на триаголник

Минималната надморска височина на триаголник има многу екстремни својства. На пример:

• Минималната ортогонална проекција на триаголникот на линии што лежат во рамнината на триаголникот има должина еднаква на најмалата од неговите надморски височини.
• Минималниот правилен пресек во рамнината низ која може да се повлече цврста триаголна плоча мора да има должина еднаква на најмалата од височините на оваа плоча.
• Со континуирано движење на две точки долж периметарот на триаголникот една кон друга, максималното растојание меѓу нив за време на движењето од првиот состанок до вториот не може да биде помало од должината на најмалата висина на триаголникот.
• Минималната висина во триаголникот секогаш лежи во тој триаголник.

Основни односи

• h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot)\sin \gamma =c(\cdot)\sin \beta,)
• h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot)S)(a)),)Каде S (\displaystyle S)- површина на триаголник, a (\displaystyle a)- должината на страната на триаголникот за која се спушта висината.
• h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot)c)(2(\cdot)R)),)Каде b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot)c)- производ на страните, R − (\displaystyle R-)радиус на ограничен круг
• h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\приказ h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot)c):(a(\cdot)c):(a(\cdot)b).)
• 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (в)))=(\frac (1)(r))), Каде r (\displaystyle r)- радиус на впишаниот круг.
• S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\приказ S =(\frac (1)(\sqrt ((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot)((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), Каде S (\displaystyle S)- површина на триаголник.
• a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h) стил на прикажување a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt ((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (а)))))))))), a (\displaystyle a)- страната на триаголникот до која се спушта висината h a (\приказ стил h_(a)).
• Висина на рамнокрак триаголник спуштен до основата: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ))

Теорема за висински правоаголен триаголник

Ако висината во правоаголен триаголник ABC е со должина h (\displaystyle h)извлечен од темето на прав агол, ја дели хипотенузата со должина c (\displaystyle c)во сегменти m (\displaystyle m)И n (\displaystyle n), што одговара на нозете b (\displaystyle b)И a (\displaystyle a), тогаш следните еднаквости се вистинити.

Како прво, триаголник е геометриска фигура која е формирана од три точки кои не лежат на иста права линија и се поврзани со три отсечки. За да ја пронајдете висината на триаголникот, прво мора да го одредите неговиот тип. Триаголниците се разликуваат по големината на аглите и бројот еднакви агли. Според големината на аглите, триаголникот може да биде остар, тап и правоаголен. Според бројот на еднакви страни, триаголниците се разликуваат како рамнокрак, рамностран и скалест. Висината е нормалната што е спуштена на спротивната страна на триаголникот од неговото теме. Како да се најде висината на триаголникот?

Како да се најде висината на рамнокрак триаголник

Рамнокрак триаголник се карактеризира со еднаквост на страните и аглите на неговата основа, затоа висините на рамнокрак триаголник нацртан кон страничните страни се секогаш еднакви една со друга. Исто така, висината на овој триаголник е и средна и симетрала. Соодветно на тоа, висината ја дели основата на половина. Го разгледуваме добиениот правоаголен триаголник и ја наоѓаме страната, односно висината на рамнокрак триаголник, користејќи ја Питагоровата теорема. Користејќи ја следната формула, ја пресметуваме висината: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, каде што: a е страната на овој рамнокрак триаголник, b е основата на овој рамнокрак триаголник.

Како да се најде висината на рамностран триаголник

Триаголник со еднакви страни се нарекува рамностран. Висината на таков триаголник е изведена од формулата за висина на рамнокрак триаголник. Излегува: H = √3/2*a, каде што a е страната на овој рамностран триаголник.

Како да се најде висината на скаленскиот триаголник

Скален е триаголник во кој која било две страни не се еднакви една со друга. Во таков триаголник, сите три висини ќе бидат различни. Можете да ги пресметате должините на височините користејќи ја формулата: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, каде што a е страната на триаголникот или прво пресметајте ја плоштината на одреден триаголник користејќи ја формулата на Херон, која изгледа вака: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, каде a, b, c се страните на скаленскиот триаголник, а p е неговиот полупериметар. Секоја висина = 2*површина/страна

Како да се најде висината на правоаголен триаголник

Правоаголен триаголник има еден прав агол. Висината што оди до едната нога е во исто време и втората нога. Затоа, за да ги пронајдете височините што лежат на нозете, треба да ја користите изменетата питагорова формула: a = √(c 2 − b 2), каде што a, b се нозете (a е кракот што треба да се најде), c е должината на хипотенузата. За да ја пронајдете втората висина, треба да ја ставите добиената вредност a на местото b. За да се најде третата висина што лежи во триаголникот, се користи следната формула: h = 2s/a, каде што h е висината на правоаголниот триаголник, s е неговата плоштина, a е должината на страната до која ќе биде висината. нормално.

Триаголникот се нарекува остар ако сите негови агли се остри. Во овој случај, сите три висини се наоѓаат во акутен триаголник. Триаголникот се нарекува тап ако има еден тап агол. Две височини на тап триаголник се надвор од триаголникот и паѓаат на продолжението на страните. Третата страна е внатре во триаголникот. Висината се одредува со користење на истата Питагорова теорема.

Општи формули за пресметување на висината на триаголник

• Формула за наоѓање висина на триаголник низ страните: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), каде што h е висината што треба да се најде, a, b и c се страните на даден триаголник, p е неговиот полупериметар, .
• Формула за наоѓање висина на триаголник со помош на агол и страна: H=b sin y = c sin ß
• Формулата за наоѓање на висината на триаголникот низ плоштина и страна: h = 2S/a, каде што a е страната на триаголникот, а h е висината конструирана на страната a.
• Формулата за наоѓање на висината на триаголникот со помош на радиусот и страните: H= bc/2R.