Y е цел дел од x. Додавање и одземање наместо множење. Некои својства на антие

Изучување на алгебра од 10-то одделение со помош на учебникот на А.Г.Мордкович и П.В. Семенов, учениците најпрво се сретнаа со функцијата на цел број од бројот y = [x]. Некои беа заинтересирани за тоа, но имаше многу малку теоретски информации, па дури и задачи што содржат цел број од број. За да се поддржи интересот на децата за оваа тема, се појави идејата за создавање на овој прирачник.

Имплементацијата на предметната програма е наменета за прва половина од 10-то одделение за студенти по физика и математика.

Цел на курсот: да се прошири знаењето на студентите за математички функциии развиваат способност за користење знаења за функции при решавање равенки и неравенки со различен степен на сложеност. Презентираниот учебник содржи теоретски информации од референтна природа. Ова е информација за функцијата на целобројниот дел од бројот y = [x] и функцијата на дробниот дел од бројот y = (x), нивните графикони. Објаснети се трансформациите на графиконите кои содржат цел број од број. Се разгледуваат решенија на наједноставните равенки и неравенки кои содржат цел број или фракционо дел од број. Како и методи за решавање на квадратни, фракционо - рационални равенки и неравенки, системи на равенки кои содржат цел број или фракционо дел од број.

Прирачникот содржи задачи за независна одлука.

Прирачникот ги вклучува следните точки:

Вовед.

§1. Вовед во функциите y = [x] и y = (x).

§2. Равенки кои содржат фракционо или целоброен дел од број.

2.1 Наједноставните равенки.

2.2 Решавање равенки од формата = g (x).

2.3 Графички метод за решавање равенки.

2.4 Решавање равенки со воведување нова променлива.

2.5 Системи на равенки.

§3. Конвертирање на графикони на функции кои содржат цел број од број.

3.1 Исцртување графикони на функции од формата y =

3.2 Изработка на графикони на функции од формата y = f ([x]).

§4. Неравенки кои содржат цел број или фракционо дел од број.

§5. Цели и дробни делови од броеви во задачите на Олимпијадата.

Одговори на задачи за самостојно решение.

Прирачникот обезбедува развој на идеи за функцијата и формирање на применети вештини.

Упатено до наставници кои решаваат проблеми од специјализираното образование.

Преземи:

Преглед:

Розина Т.А

Проблеми кои содржат целина

или дробен дел од број

Междуреченск 2011 година

Почитувани средношколци!

Ќе започнете продлабочено проучување на темата „Цел број и дробни делови од број“. Овој прирачник ќе ви овозможи да го проширите вашето знаење за математичките функции кога решавате равенки и неравенки со различен степен на сложеност. Презентираниот прирачник содржи теоретски информации од референтна природа, објаснува трансформации на графикони кои содржат цел број или фракционо дел од број и разгледува решенија за наједноставните равенки. Како и методи за решавање на квадратни, дробни рационални равенки и неравенки, системи на равенки. Прирачникот содржи задачи за независно решение. Упатствоќе ви помогне да ги систематизирате и генерализирате знаењата што сте ги стекнале на тема „Цели и дробни делови од број“.

Со среќа!

§1. Вовед во функциите y = [x] и y = (x)…………………………4

§2. Равенки кои содржат цел број или фракционо дел од број......7

Наједноставните равенки………………………………………7

Решавање равенки од формата = g(x)………………………..8.

2.3 Графички метод за решавање равенки…………………10

Решавање равенки со воведување нова променлива……11

Системи на равенки………………………………………….12

§3. Трансформации на графикони на функции кои содржат цел број

Дел од бројот……………………………………………………….13

3.1 Подготвување графикони на функции од формата y = ……………13
3.2 Изготвување графикони на функции од формата y = f([x])………………15

§4. Неравенки кои содржат цел број или дробен дел од број...17

……

§5. Цел број или дробен дел од број во задачи на Олимпијадата......20

Одговори на задачи за самостојно решавање……………………………………………………………

Користена литература…………………………………………………………………………………………………………………………

§1. Вовед во функциите y = [x]

и y = (x)

Историја и дефиниција на цел број и дробни делови од број

Концептот на цел број од број е воведен од германскиот математичар Јохан Карл Фридрих Гаус (1771-1855), автор на Трансакции на теоријата на броеви. Гаус ја унапредил и теоријата на специјални функции, серии, нумерички методи, решавање проблеми од математичката физика, создаде математичка теоријапотенцијал.

Целиот дел од реалниот број x се означува со симболот [x] или E(x).

Симбол [x] беше воведен од К. Гаус во 1808 година.

Функцијата на цел број на број беше воведена од Адриен Мари Лежандре ( 1752-1833). - Француски математичар. Неговото дело „Искуство во теоријата на броевите“, објавено во 1798 година, е фундаментално дело, резултат на аритметички достигнувања од 18 век. Во негова чест е повикана функцијата y = [x] Француски збор„Антје“ (француски „entier“ - целина) значи E(x).

Дефиниција: целобројниот дел од бројот x е најголемиот цел број c што не надминува x, т.е. ако [x] = c, c ≤ x

На пример: = 2;

[-1,5] = -2.

Користејќи некои вредности на функцијата, можете да го изградите нејзиниот график. Изгледа вака:

Својства на функцијата y = [x]:

1. Областа на дефиниција на функцијата y = [x] е множеството од сите реални броеви R.

2. Опсегот на функцијата y = [x] е множество од сите цели броеви Z.

3. Функцијата y = [x] е поделена константна, неопаѓачки.

4. Општа функција.

5. Функцијата не е периодична.

6. Функцијата не е ограничена.

7. Функцијата има точка на прекин.

8. y=0, на x.

На пример: (3,7) = 0,7

{-2,4} = 0,6.

Да ја нацртаме функцијата y = (x). Изгледа вака:

Наједноставните својства на функцијата y = (x):

1. Областа на дефиниција на функцијата y = (x) е множеството од сите реални броеви R.

2. Опсегот на вредности на функцијата y = (x) е полуинтервал и y = (x) ќе ви помогне да завршите некои задачи.

ЗАДАЧИ ЗА НЕЗАВИСНО РЕШЕНИЕ

1) Изградете графикони на функции:

А) y = [x] + 5;

Б) y = (x) - 2;

Б) y = |[x]|.

2) Кои би можеле да бидат броевите x и y ако:

А) [x + y] = y;

Б) [x - y] = x;

Б) (x - y) = x;

Г) (x + y) = y.

3) Што може да се каже за големината на разликата x - y ако:

А) [x] = [y];

Б) (x) = (y).

4) Што е поголемо: [а] или (а)?

§2. Равенки кои содржат цел број или фракционо дел од број

2.1. Наједноставните равенки

Наједноставните равенки вклучуваат равенки од формата [x] = a.

Равенките од овој тип се решаваат по дефиниција:

a ≤ x

Ако a е дробен број, тогаш таквата равенка нема да има корени.

Ајде да погледнеме пример решениеедна од овие равенки:

[x + 1,3] = - 5. По дефиниција, таквата равенка се трансформира во неравенка:

5 ≤ x + 1,3

Ова ќе биде решението на равенката.

Одговор: x[-6,3;-5,3).

Да разгледаме уште една равенка што припаѓа на наједноставната категорија:

[x+1] + [x-2]-[x+3] = 2

За да се решат равенките од овој тип, потребно е да се користи својството на целобројната функција: Ако p е цел број, тогаш еднаквоста е точно

[x ± p] = [x] ± стр

Доказ: x = [x] + (x)

[ [x] + (x) ± p] = [ [x] + (x)] ± стр

x = k + a, каде k = [x], a = (x)

[k + a ± p] = [k + a] ± p = [x] ±p.

Да ја решиме предложената равенка користејќи го докажаното својство: Добиваме [x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 2. Да донесеме слични членови и да ја добиеме наједноставната равенка [x] = 6. Неговото решение е полуинтервалот x = 1

Да ја трансформираме равенката во неравенка: 1 ≤ x 2 -5x+6

x 2 - 5x + 6

x 2 - 5x + 6 ≥ 1 и реши го;

x 2 - 5x + 4

x 2 - 5x + 5>0

Добиваме x(1;4)

Х(-∞;(5 -)/2][(5 +)/2; +∞),

X(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).

Одговор: x(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).

Решете ги равенките:

1) = 1

2) = 0,487

3) – = 2

4) [x 2] = 4

5) [x] 2 = 4

6) = - 5

7) [x 2 – x + 4] = 2

8) = - 1

9) = 4,2

10) (x) – [x] + x = 0

11) x + (x) + [x] = 0

12) [4x – 5] = 7

2.2 Решавање равенки од формата =g(x)

Равенка од формата =g(x) може да се реши со нивно намалување на равенката

[x] = а.

Да го погледнеме примерот 1.

Решете ја равенката

Да ја замениме десната страна на равенката со нова променлива a и да изразиме од тука x

11a = 16x + 16, 16x = 11a - 16,

Тогаш = =

Сега да ја решиме равенката за променливатаА .

Дозволете ни да го прошириме знакот на цел број по дефиниција и да го запишеме користејќи го системот на неравенки:

Од интервалот ги избираме сите цели броеви a: 3;4;5;6;7 и вршиме обратна замена:

Одговор:

Пример 2.

Реши ја равенката:

Поделете го секој броителски член во заграда со именителот:

Од дефиницијата на цел број на број произлегува дека (a+1) мора да биде цел број, што значи a е цел број.Броевите a, (a+1), (a+2) се три последователни броеви, што значи дека еден од нив е нужно делив со 2, а еден со 3. Според тоа, производот на броевите е делив со 6.

Тоа е цел број. Средства

Ајде да ја решиме оваа равенка.

a(a+1)(a+2) - 6(a+1) = 0

(a+1)(a(a+2) - 6) = 0

a + 1 = 0 или a 2 + 2a – 6 = 0

a = -1 D = 28

A = -1 ± (не се цел број).

Одговор: -1.

Реши ја равенката:

2.3. Графички начин за решавање равенки

Пример 1. [x] = 2(x)

Решение. Ајде да ја решиме оваа равенка графички. Да ги нацртаме функциите y = [x] и y = 2(x). Ајде да ги најдеме апсцисите на нивните пресечни точки.

Одговор: x = 0; x = 1,5.

Во некои случаи, попогодно е да се користи графикон за да се најдат ординатите на точките на пресек на графиконите. Потоа заменете ја добиената вредност во една од равенките и пронајдете ги саканите x вредности.

ЗАДАЧИ ЗА НЕЗАВИСНО РЕШЕНИЕ

Решете ги равенките графички:

(x) = 1 – x;
(x) + 1 = [x];
= 3x;
3(x) = x;
(x) = 5x + 2;
[|x|] = x;
[|x|] = x + 4;
[|x|] = 3|x| - 1;
2(x) – 1 = [x] + 2;

10) Колку решенија има равенката 2(x) = 1?.

2.4. Решавање равенки со воведување нова променлива.

Да го погледнеме првиот пример:

(x) 2 -8(x)+7 = 0

Заменете го (x) со a, 0 a

а 2 - 8a + 7 = 0, што го решаваме со помош на теоремата инверзна на теоремата на Виета: добиените корени се a = 7 и a = 1. Да ја извршиме обратната замена и да добиеме две нови равенки: (x) = 7 и (x) = 1. И двете од овие равенки немаат корени. Според тоа, равенката нема решенија.

Одговор: нема решенија.

Ајде да разгледаме друг случајрешавање на равенката со воведување на нова

променлива:

3[x] 3 + 2[x] 2 + 5[x]-10 = 0

Да ја направиме промената [x] = a, az. и добиваме нова кубна равенка For 3 +2а 2 +5а-10=0. Првиот корен од оваа равенка ќе го најдеме со избирање: a=1 е коренот на равенката. Ние ја делиме нашата равенка со (a-1). Добиваме квадратна равенка 3а 2 + 5а +10=0. Оваа равенка има негативна дискриминанта, што значи дека нема решенија. Односно, a=1 е единствениот корен од равенката. Ја извршуваме обратната замена: [x]=a=1. Добиената равенка ја решаваме со дефинирање на цел број од број: x 2 + 8[x]-9 = 0

3(x-[x]) 2 + 2([x]-x)-16 = 0

[x] 4 -14 [x] 2 +25 = 0

(2(x)+1) 3 – (2(x)-1) 3 = 2

(x-[x]) 2 = 4

5[x] 2 -7[x]-6 = 0
6(x) 2 +(x)-1 =0
1/([x]-1) - 1/([x]+1) = 3-[x]
12(x) 3 -25(x) 2 +(x)+2 = 0

10) 10[x] 3 -11[x] 2 -31[x]-10 = 0

2.5. Системи на равенки.

Размислете за системот на равенки:

2[x] + 3[y] = 8,

3[x] – [y] = 1.

Може да се реши или со додавање или со замена. Ајде да се фокусираме на првиот метод.

2[x] + 3[y] = 8,

9[x] – 3[y] = 3.

По собирањето на двете равенки добиваме 11[x] = 11. Оттука

[x] = 1. Заменете ја оваа вредност во првата равенка на системот и добијте

[y] = 2.

[x] = 1 и [y] = 2 се решенија на системот. Тоа е x= 18-год

18-х-год

3) 3[x] – 2(y) = 6

[x] 2 – 4(y) = 4

4) 3 (x) - 4 (y) = -6

6(x) – (y) 2 = 3.

§3. Трансформации на графикони на функции кои содржат цел број од број

3.1. Исцртување графикони на функции од формата y =

Нека има график на функцијата y = f(x). За да ја нацртате функцијата y =, постапете на следниов начин:

Точките на пресек на правите y = n, y = n + 1 ги означуваме со графикот на функцијата y = f(x). Овие точки припаѓаат на графикот на функцијата y =, бидејќи нивните ординати се цели броеви (на сликата тоа се точките A, B, C, D).

Да ја нацртаме функцијата y = [x]. За ова

Нацртајте прави линии y = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ... и разгледајте една од лентите формирани од правите y = n, y = n + 1.
Пресечните точки на правите y = n, y = n + 1 ги означуваме со графиконот

Функции y = [x]. Овие точки припаѓаат на графикот на функцијата y = [x],

Бидејќи нивните координати се цели броеви.

За да ги добиете преостанатите точки од графикот на функцијата y = [x] во посочената лента, проектирајте го делот од графикот y = x што паѓа во лентата паралелна со оската О.на до правата y = n, y = n + 1. Бидејќи секоја точка М од овој дел од графикот на функцијата y = x има таква ордината y 0 дека n 0 0 ] = n
Во секоја друга лента каде што има точки на графикот на функцијата y = x, конструкцијата се изведува на сличен начин.

ЗАДАЧИ ЗА НЕЗАВИСНО РЕШЕНИЕ

Графикирајте ги функциите:

3.2. Исцртување на функција од формата y = f([x])

Нека е даден график на некоја функција y = f(x). Графикот на функцијата y = f([x]) е конструиран на следниов начин:

Нацртајте прави линии x = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ...
Да разгледаме една од лентите формирани од правите y = n и y = n + 1. Точките A и B на пресекот на графикот на функцијата y = f(x) со овие прави припаѓаат на графикот на функцијата y = f([x]), бидејќи нивните апсциси се цели броеви.

За да ги добиеме преостанатите точки од графикот на функцијата y = f([x]) во посочената лента, го проектираме делот од графикот на функцијата y = f(x) што паѓа во оваа лента паралелна со оската О. y до права линија y = f(n).
Во секоја друга лента каде што има точки на графикот на функцијата y = f(x), конструкцијата се изведува на сличен начин.

Размислете за цртање на функцијата y =. За да го направите ова, ќе нацртаме график на функцијата y = со точкаста линија. Понатаму

броеви.

3. Во секоја друга лента каде што има точки на графикот на функцијата y =, изградбата се изведува на сличен начин.

ЗАДАЧИ ЗА НЕЗАВИСНО РЕШЕНИЕ

Графикирајте ги функциите:

§4. Неравенки кои содржат цели или дробни делови од број

Да ги наречеме следните односи главни неравенки со [x] и (x): [x] > b и (x) > b. Удобен метод за нивно решавање е графичкиот метод. Ајде да објасниме со два примери.

Пример 1. [x] ≥ b

Решение. Да воведеме две функции y = [x] и y = b и да ги нацртаме нивните графикони на истиот цртеж. Јасно е дека тогаш треба да се разликуваат два случаи: б – цел број и б – нецел број.

Случај 1. б – цел број

Од сликата може да се види дека графиконите се совпаѓаат на.

Според тоа, решението на неравенката [x] ≥ b ќе биде зракот x ≥ b.

Случајот 2. b не е цел број.

Во овој случај, графиците на функциите y = [x] и y = b не се сечат. Но, делот од графикот y = [x] што лежи над правата започнува во точката со координати ([b] + 1; [b] + 1). Така, решението на неравенката [x] ≥ b е зракот x ≥ [b] + 1.

На ист начин се проучуваат и другите видови основни неравенки. Резултатите од овие студии се сумирани во табелата подолу.

[X]

(x) ≥ b, (x) > b, b ≥1

Нема решенија

(x) ≥ b, (x) > b, b

(-∞; +∞)

(x) ≥ b, (x) > b, 0 ≤ b

n + b ≤ x

n+b

(x) ≤ b, (x)

(-∞; +∞)

(x) ≤ b, (x)

Нема решенија

(x) ≤ b, (x)

n≤x≤b+n

Ајде да погледнеме на пример решенија за нееднаквост:

Да го замениме [x] со променливата a, каде што a е цел број.

>1; >0; >0; >0.

Користејќи го методот интервал, наоѓаме > -4 [x] > -4

За да ги решиме добиените неравенки, ја користиме составената табела:

x ≥ -3,

Одговор: [-3;1).

ЗАДАЧИ ЗА НЕЗАВИСНО РЕШЕНИЕ.

1) [x]

2) [x] ≤ 2

3) [x] > 2.3

4) [x] 2

5) [x] 2 -5 [x] -6

6) [x] 2 - 7 [x] + 6 0

7) 30[x] 2 -121[x] + 80

8) [x] 2 + 3[x]-4 0

9) 3 (x) 2 -8 (x) -4

10) 110[x] 2 -167[x] + 163 0

11) > 2

12) > 1

13) 0

14) 0

§5. Цел број или дробен дел од број во задачите на Олимпијадата

Пример 1.

Докажете дека некој број е делив со 5 за кој било природен број n.

Доказ: Нека n е парен број, т.е. n=2m, каде што m N,

Затоа.

Потоа овој изразима форма: ,

тие. се дели со 5 за која било парна n.

Ако, n = 2m -1, тогаш

тогаш овој израз изгледа вака:

Овој број е делив со 5 за кој било непарен n.

Значи, овој израз е делив со 5 за која било природна n.

Пример 2.

Најдете ги сите прости броеви на формата, каде што nН.

Решение. Нека биде. Ако n=3k тогаш p=3k 2 . Овој број ќе биде прост и еднаков на 3, со k=1.

Ако n=3k+1, k0, тогаш

Тоа

Овој број ќе биде прост и еднаков на 5 кога k=1.

Ако n = 3k + 2, k 0, тогаш

Композитен број за кој било kN.

Одговор: 3;5

Пример 3.

Броевите се пишуваат во ред кои се множители на два, три и шест. Најдете го бројот што ќе биде на илјадитото место во оваа серија.

Решение:

Нека x е саканиот број, тогаш серија од броеви кои се множители на два во оваа серија - , се множители на три - , се множители на шест - . Но, броевите се множители на шест, множители на два и три, т.е. ќе се брои три пати. Според тоа, од збирот на броеви. За множители од два, три, шест, треба да одземе двојно повеќе од бројот на множители од шест. Тогаш равенката за решавање на тој проблем е:

Да ја воведеме следната нотација:

Тогаш a+b-c=1000 (*) и по дефиниција на цел број од број имаме:

Помножувајќи го секој член за неравенка со 6, добиваме:

6a3x

6b2x

Со собирање на првите две неравенки и одземање на третата неравенка од нив, добиваме:

6(a+b+c) 4x

Ајде да користиме еднаквост (*), тогаш: 60004x

1500x

Решенијата на равенката ќе бидат броевите: 1500 и 1501, но според условите на проблемот погоден е само бројот 1500.

Одговор: 1500

Пример 4.

Познато е дека помалиот брат нема повеќе од 8, но не помалку од 7 години. Ако бројот на полни години на помалиот брат се удвои, а бројот на делумните години (т.е. месеци) на неговата возраст се тројно, тогаш вкупниот број ќе биде возраста на постариот брат. Наведете ја возраста на секој од браќата, точно на месеци, ако се знае дека нивната вкупна возраст е 21 година и 8 месеци.

Решение:

Нека x (години) е возраста на помалиот брат, тогаш(месеци) на неговата возраст. Според условите на проблемот(години) – возраста на постариот брат. Вкупната возраст на двајцата браќа е:

(на годината).

3 ( , 3x + ,

Бидејќи (x)=x - [x], тогаш. (Равенка на формата = bx + c, каде што a,b,cР)

N=6, n=7.

Кога n=6, x = - не ги задоволува условите на проблемот.

Кога n=7, x = .

Возраста на помалиот брат е 7 години и 2 месеци.

Возраста на постариот брат е 14 години и 6 месеци.

Одговор: возраста на помалиот брат е 7 години и 2 месеци,

Возраста на постариот брат е 14 години и 6 месеци.

Задачи за самостојно решение.

1. Реши ги равенките: а) x+2[x] = 3,2; б) x 3 –[x] =3

2. Природните броеви m и n се сопрости и n

Или

3. Даден е број x поголем од 1. Дали е потребна еднаквост?

Решете го системот равенки: x+[y]+(z) = 1.1

Y+[z]+(x)=2,2

Z+[x]+(y)=3,3.

4. Познато е дека бројот на полни метри во лента е 4 пати поголем од бројот на парцијални метри (т.е. сантиметри). Одредете ја максималната можна должина на лентата.

Одговори на задачи за самостојно решение.

§1 2. а) xЄ г) x Є Z; y Є >(а), ако a ≥ 1, (а) ≥ [a], ако a

§2. 2.1 1) , nЄ Z

3) , n З

6) (- ∞; 2);, n≥3, n Z

§5. 1. а) x = 1,2

Ако (x) е дробниот дел од бројот x, тогаш [x] + (x) = x.

Тогаш [x] + (x) + 2[x] = 3,2. 3[x] + (x) = 3,2. Бидејќи 3[x] е цел број и 0 ≤ (x)

Б) x =.

Забелешка. [x] = x- (x), каде што 0 ≤ (x)

X 3 - x + (x) = 3, од каде 2 2 - 1) ≤ 3.

Првиот збир е поголем од вториот за m – n.

Задолжително.

Забелешка. Ако [√] = n, тогаш n 4 ≤ x 4 . Сега е лесно

Докажете дека [√ ] = n.

(1; 0,2; 2,1)
3м 75 см.

Библиографија

Алексеева В., Ускова Н. Задачи што содржат цели и дробни делови од број // Математика. 1997. бр.17. Стр.59-63.
Воронова А.Н. Равенка со променлива под знакот на цел број или фракционо дел // Математика на училиште. 2002 година.бр.4. стр 58-60.
Воронова А.Н. Неравенки со променлива под знакот на цел број // Математика на училиште. 2002. бр.2. Стр.56-59.
Галкин Е.В. Нестандардни проблеми по математика. Алгебра: Учебник. прирачник за ученици 7-11 одд. Челјабинск: „Взгљад“, 2004 година.
Дополнителни поглавја од предметот математика 10-то одделение за изборни часови: Прирачник за ученици / Соп. ЗАД. Евнух. М.: Образование, 1979 година.
Еровенко В.А., О.В.Михаскова О.В. Методолошки принцип на Окам користејќи го примерот на функции на цел број и фракциони делови од број // Математика на училиште. 2003. бр.3. Стр.58-66.

7. Кирзимов В. Решение на равенки и неравенки кои содржат цел број и

Дробен дел од број // Математика. 2002.№30. стр. 26-28.

8. Шрајнер А.А. „Задачи на регионални математички олимпијади

Регионот Новосибирск“. Новосибирск 2000 година.

9. Адресар „Математика“, Москва „АСТ-ПРЕС“ 1997 година.

10. Рајхмистот Р.Б. „Графици на функции. Задачи и вежби“. Москва.

„Училиште – печат“ 1997 г.

11. Мордкович А.Г., Семенов П.В. и други.„Алгебра и почетоците на анализата. 10

Класа. Дел 2. Книга за проблеми. Ниво на профил» Смоленск

„Мнемозина“ 2007 година.

y=b(bZ)

Јохан Гаус

Адриен Лежандре

Функција [ x] е еднакво на најголемиот цел број, супериорен x (x– кој било реален број). На пример:

Функција [ x] има „точки на прекин“: за цели броеви xтоа „нагло се менува“.

Слика 2 покажува график на оваа функција, а левиот крај на секој од хоризонталните сегменти припаѓа на графикот (задебелени точки), а десниот крај не.

Обидете се да докажете дека ако канонското разложување на број n! има тогаш

Слични формули важат за

Знаејќи го ова, лесно е да се одреди, на пример, со колку нули завршува бројот 100! Навистина, нека биде. Потоа

И .

Затоа, 100! Поделено со, т.е. завршува со дваесет и четири нули.

Фигури од квадратни парчиња

Корисната и возбудлива забава вклучува составување фигури од седум парчиња квадрат, исечени во согласност со слика 3, (а), а при составувањето на дадените фигури мора да се користат сите седум парчиња и тие мора да се преклопуваат, дури и делумно, со секоја други.

На сл. Слика 4 покажува симетрични фигури 1. Обидете се да ги споите овие фигури од делови од квадратот прикажан на сл. 3, (а).

Од истите цртежи можете да креирате многу други фигури (на пример, слики од разни предмети, животни итн.).

Помалку вообичаена верзија на играта е да се прават фигури од парчиња од квадрат прикажани на сл. 3, (б).

Магични квадрати

Магичен плоштад“n 2 - квадрат"да го наречеме квадрат поделен со n 2 клетките се пополнија прво n 2 природни броеви така што збировите на броевите во кој било хоризонтален или вертикален ред, како и на која било од дијагоналите на квадратот, се еднакви на истиот број

Ако само збировите на броевите во кој било хоризонтален и вертикален ред се исти, тогаш се повикува квадратот полу-магичен.

Волшебниот квадрат 4 2 е именуван по Дирер, математичар и уметник од 16 век кој прикажал квадрат во познатата слика „Меланхолија“.

Патем, двата долни средни броеви на овој квадрат го формираат бројот 1514, датумот на создавање на сликата.

Има само осум магични квадрати со девет ќелии. Две од нив, кои се огледални слики едни на други, се прикажани на сликата; преостанатите шест може да се добијат од овие квадрати со ротирање околу центарот за 90°, 180°, 270°

2. Не е тешко целосно да се истражи прашањето за магичните квадрати за n=3

Навистина, S 3 = 15, и има само осум начини да се претстави бројот 15 како збир различни броеви(од еден до девет):

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Забележете дека секој од броевите 1, 3, 7, 9 е вклучен во два, а секој од броевите 2, 4, 6, 8 е вклучен во три специфицирани збирови, а само бројот 5 е вклучен во четири збирови. Од друга страна, од осум реда со три ќелии: три хоризонтални, три вертикални и две дијагонални, три реда минуваат низ секоја од аголните ќелии на квадратот, четири низ централната ќелија и два реда низ секоја од преостанатите ќелии. . Затоа, бројот 5 нужно мора да биде во централната ќелија, броевите 2, 4, 6, 8 - во аголните ќелии, а броевите 1, 3, 7, 9 - во преостанатите ќелии од квадратот.

Издавачка куќа Школник

Волгоград, 2003 година
A.P.Domoryad

ББК 22.1я2я72

Доморјад Александар Петрович

Математички игри и забава

Омилени

Уредник Копилова А.Н.

Техн. уредник Мурашова Н.Ја.

Лектор Сечеико Л.О.

Доставено за регрутирање на 26 септември 2003 година. Потпишан за објавување на 14 декември 2003 година. Формат 84x108 ¼. Физички печатење.l. 8.375. Условна печка 13,74. Академик-ур.л. 12.82. Тираж 200.000 примероци. Нарачка бр.979. Цената на книгата е 50 рубли.

Доморјад А.П.

Математички игри и забава: Омилени - Волгоград: VSPU, 2003. - 20 стр.

Во книгата се претставени избрани проблеми од монографијата на Доморјад А.П. „Математички игри и забава“, објавена во 1961 година од државната издавачка куќа за физичка и математичка литература во Москва.

ISBN5-09-001292-Х BBK22.1я2я72

Предговор 6

Одредување на предвидениот број со помош на три табели 7

Пасијанс 8

Собирање и одземање наместо множење 11

Функција [x] (цел дел од x) 12

Фигури од квадратни парчиња 14

Магични квадрати 16

Додаток 17

Предговор

Од разновиден материјал, обединет од разни автори под заедничко име математички игрии забава, можеме да разликуваме неколку групи на „класична забава“ кои долго време го привлекуваат вниманието на математичарите:

Забава поврзана со барање оригинални решенија за проблеми кои овозможуваат речиси неисцрпна разновидност на решенија; Обично тие се заинтересирани за утврдување на бројот на решенија, развивање методи кои даваат големи групи решенија или решенија кои задоволуваат некои посебни барања.
Математички игри, т.е. игри во кои два „потези“ кои играат рамо до рамо, направени наизменично во согласност со наведените правила, се стремат кон одредена цел и се покажува дека е можно секоја почетна позиција да го предодреди победникот и да покаже како - со какви било потези на противникот - може да постигне победа.
„Игри на една личност“, т.е. забава во која преку низа операции извршени од еден играч во согласност со овие правила, потребно е да се постигне одредена, однапред одредена цел; овде ги интересираат условите под кои може да се постигне целта и бараат најмал бројпотребните потези за да се постигне тоа.

Голем дел од оваа книга е посветен на класичните игри и забава.

Секој може да се обиде, покажувајќи упорност и генијалност, да дојде до интересни (свои!) резултати.

Ако таквата класична забава како, на пример, составувањето „магични квадрати“ може да привлече релативно тесен круг на луѓе, тогаш компонирањето, на пример, симетрични фигури од деталите на исечениот квадрат, барањето нумерички куриозитети итн., без да се бара секоја математичка обука може да донесе задоволство и на аматерите и на нељубителите на математиката. Истото може да се каже и за забавата која бара подготовка во 9-11 одделенија во гимназијата.

Многу забави, па дури и индивидуални проблеми можат да предложат теми за независно истражување за љубителите на математиката.

Генерално, книгата е наменета за читатели со математичко искуство од 10-11 одделение, иако најголемиот дел од материјалот е достапен за деветтоодделенците, а некои прашања се достапни дури и за учениците од 5-8 одделение.

Многу параграфи можат да користат наставници по математика за да организираат воннаставни активности.

Различни категории на читатели можат да ја користат оваа книга на различни начини: луѓето кои не се заинтересирани за математика можат да се запознаат со љубопитните својства на бројките, бројките итн., без да навлегуваат во образложението за игри и забава, земајќи поединечни изјави за верата; Ги советуваме љубителите на математиката да учат поединечни делови од книгата со молив и хартија, решавајќи ги предложените проблеми и одговарајќи на поединечни прашања предложени за размислување.

Одредување на предвидениот број со помош на три табели

Со поставување на броеви од 1 до 60 по ред во секоја од трите табели така што во првата табела тие се во три колони од по дваесет броеви, во втората - во четири колони од по 15 броеви, а во третата - пет колони. од по 12 броеви (види слика 1), лесно е брзо да се одреди бројот N (N≤60) што некој го замислил ако броевите α, β, γ од колоните што го содржат замислениот број во 1, 2 и На третото место се означени табелите: N ќе биде точно остатокот од делењето на бројот 40α+45β+36γ со 60 или, со други зборови, N ќе биде точно помалиот позитивен број, споредлив со збирот (40α+45β+36γ) модул 60. На пример, со α=3, β=2, γ=1:

40α+45β+36γ≡0+30+36≡6 (мод60), т.е. N=6.

Јас	II	III	IV	В
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
51	52	53	54	55
56	57	58	59	60

Јас		II		III
1		2		3
4		5		6
7		8		9
.		.		.
.		.		.
.		.		.
55		56		57
58		59		60
Јас	II		III		IV
1	2		3		4
5	6		7		8
.	.		.		.
.	.		.		.
.	.		.		.
53	54		55		56
57	58		59		60

Слично прашање може да се реши и за броевите до 420, сместени во четири табели со три, четири, пет и седум колони: ако - броевите на колоните во кои е наменетиот број, тогаш тој е еднаков на остатокот по делењето на број 280α+105β+336γ+120δ на 420.

Тенија

		737773	747774	757775
		636663	642264	656665
515551	555252	535553	544554	554455	555556	555557
414441	424442	434443	444444	454445	464446	474447
313331	323332	333333	343334	353335	363336	373337
		232223	242224	252225
		131113	141114	111115

Игра наречена тенија се игра на табла со триесет и три квадрати. Оваа табла може лесно да се добие со покривање на шаховска табла со лист од картон со исечок во облик на крст.
Корисната и возбудлива забава вклучува составување фигури од седум парчиња квадрат, исечени во согласност со слика 3, (а), а при составувањето на дадените фигури мора да се користат сите седум парчиња и тие мора да се преклопуваат, дури и делумно, со секоја други.

(а) (б)
Сл.3

Ориз. 4
Од истите цртежи можете да креирате многу други фигури (на пример, слики од разни предмети, животни итн.).

Помалку вообичаена верзија на играта е да се прават фигури од парчиња од квадрат прикажани на сл. 3, (б).

Магични квадрати

Магичен плоштад“n 2 - квадрат"да го наречеме квадрат поделен со n 2 клетките се пополнија прво n 2 природни броевитака што збировите на броевите во кој било хоризонтален или вертикален ред, како и на која било од дијагоналите на квадратот, се еднакви на истиот број

, математичар и уметник од 16 век, прикажувајќи квадрат на позната слика„Меланхолија“.

Патем, двата долни средни броеви на овој квадрат го формираат бројот 1514, датумот на создавање на сликата.
Има само осум магични квадрати со девет ќелии. Две од нив, кои се огледални слики едни на други, се прикажани на сликата; преостанатите шест може да се добијат од овие квадрати со ротирање околу центарот за 90°, 180°, 270°

2. Не е тешко целосно да се истражи прашањето за магичните квадрати за n=3

Навистина, S 3 = 15, и има само осум начини да се претстави бројот 15 како збир на различни броеви (од еден до девет):

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Забележете дека секој од броевите 1, 3, 7, 9 е вклучен во два, а секој од броевите 2, 4, 6, 8 е вклучен во три специфицирани збирови, а само бројот 5 е вклучен во четири збирови. Од друга страна, од осум реда со три ќелии: три хоризонтални, три вертикални и две дијагонални, три реда минуваат низ секоја од аголните ќелии на квадратот, четири низ централната ќелија и два реда низ секоја од преостанатите ќелии. . Затоа, бројот 5 мора нужно да биде во централната ќелија, броевите 2, 4, 6, 8 - во аголните ќелии, а броевите 1, 3, 7,9 - во преостанатите ќелии на квадратот.

Неверојатни средби со забавна математика

Најинтересен сет на проблеми

Прекрасното лице на кралицата на науките МАТЕМАТИКА

1 Бројките се позајмени од книгата на В.И. Обреимов „Тројна загатка“

ПРЕКРАСНО ЦЕЛО ПАРЧЕ(МЕТОД ЗА РЕШАВАЊЕ РАВЕНКИ СО ЦЕЛ БРОЈ ДЕЛ ОД БРОЈ)

Ле Тан Дат

класа 10 f/m, GBOU PO „Провинциски ликеј-интернат за надарени деца“, Пенза

Цепкова Наталија Михајловна

научен претпоставен, наставник по математика од највисоката категорија на Државната буџетска образовна установа ПО „Провинциски ликеј-интернат за надарени деца“, апликант на Катедрата за педагогија и психологија на стручното образование на Државниот педагошки универзитет по име. В.Г. Белински, Пенза

Неодамна, сè почесто на олимпијади, математички натпревари, како и на многу Опции за обединет државен испитво математиката (C6) има задачи што го содржат целобројниот дел од бројот x.

Во различни прашања од теоријата на броеви, математичка анализа, теоријата на рекурзивни функции и другите области од математиката ги користат концептите на цел број и дробни делови од реален број. Во програмата на училиштата и паралелките со длабинска студијаМатематиката вклучува поединечни прашања поврзани со овие поими, но само 34 реда се посветени на нивната презентација во учебникот за алгебра за 9-то одделение.

Да го воведеме концептот на цел број на реален број и да разгледаме некои од неговите својства.

Дефиниција.Целиот дел од реалниот број x е најголемиот цел број не поголем од x.

Својства на целиот дел:

1. [x]=x ако x€Z.

2. [x]≤x<[x]+1.

3. =[x]+m, ако m€Z.

Разгледувајќи ги и анализирајќи ги задачите што ги сретнавме и кои содржеа цел број од број, ја забележавме нивната униформност, што доведе до стандардно решение - замена на некој израз со променлива.

На пример, ++=6.

Заменете x+2,6 = y, тогаш

[y]++=6,

[y]+[y]+1+[y]+2=6,

Врати се на замена: y= x+2,6, тогаш

1x+2,6<2,

1,6 x<-0,6.

Одговор: [-1,6; -0,6).

Да разгледаме уште една равенка земена од Меѓурегионалната олимпијада по математика за ученици врз основа на одделенски образовни институции 2011-2012 година, која исто така се решава со помош на замена:

Да го замениме =k.

. (2)

Ајде да го замениме изразот (1) за x во изразот (2), тогаш

40к-39 10к<40k+1,

1) 40k-39 10k, 2) 10k<40k+1,

K 1.3, k>.

Од 1) и 2) => k=0; k=1.

Кога k=0 x= ;

На k=1 x=0,8.

Одговор: ; 0,8.

Се поставува прашањето: дали е можно да се најде равенка во која методот на овие замени не води до наоѓање на резултатот и како да се реши?

Размислете за равенката: +-=5.

Комплексноста на оваа равенка лежи во двосмисленоста на бројот x.

Нека x=0,4, тогаш =1; =1; =4, и при x=0,8 =1; =2; =5.

За да ја земеме предвид нејасноста на непознатата во равенка со целобројни делови, треба да ги најдеме точките во кои секој член ја менува вредноста на цел број за 1. Да ги наречеме критични точкии разгледајте конкретен пример.

X=t+a, t е цел број од бројот, a е дробен дел од бројот.

Т+т-т+4-3-3++-=5,

Т++-=7,

А=0,7; a=0,4; a=0,5 – критични точки.

1) a€=a € N,

0≤t<1,

(2c-3) 2 =3a 2 -12c+46,

4c 2 -12c+9-3a 2 +12c-46=0,

4c 2 -37-3a 2 =0,

4c 2 -37-3[c] 2 =0,

4(a+t) 2 -37-3a 2 =0,

(a+t) 2 = ,

T=- -a - не одговара на условите на проблемот,