Вежби за Питагоровата теорема. Проблем на Питагоровата теорема. Значи, триаголникот ABE е правоаголен триаголник

(опција 1)

Во правоаголникот ABCD, соседните страни имаат сооднос 12:5, а неговата дијагонала е 26 cm Која е најкратката страна на правоаголникот?

Во паралелограмот ABCD BD = 2√41 cm, AC = 26 cm, AD = 16 cm Се повлекува права линија низ пресечната точка на дијагоналите на паралелограмот O, нормална на страната BC. Најдете ги отсечките на кои оваа права ја дели страната AD.

Проблеми на тема „Питагорова теорема“

Еден од надворешните агли на правоаголен триаголник е 135º, а неговата хипотенуза е 4√2 cm.

Дијагоналите на ромбот се 24 cm и 18 cm Колкава е должината на страната на ромбот?

Главната дијагонала на правоаголен трапез е 25 cm, а поголемата основа е 24 cm Пронајдете ја плоштината на трапезот ако неговата помала основа е 8 cm.

Основите на рамнокрак трапез се 10 cm и 26 cm, а страната е 17 cm.

Проблеми на тема „Питагорова теорема“

Во правоаголникот ABCD, соседните страни имаат сооднос 12:5, а неговата дијагонала е 26 cm Која е најкратката страна на правоаголникот?

Еден од надворешните агли на правоаголен триаголник е 135º, а неговата хипотенуза е 4√2 cm.

Дијагоналите на ромбот се 24 cm и 18 cm Колкава е должината на страната на ромбот?

Главната дијагонала на правоаголен трапез е 25 cm, а поголемата основа е 24 cm Пронајдете ја плоштината на трапезот ако неговата помала основа е 8 cm.

Основите на рамнокрак трапез се 10 cm и 26 cm, а страната е 17 cm.

Во паралелограмот ABCD BD = 2√41 cm, AC = 26 cm, AD = 16 cm Се повлекува права линија низ пресечната точка на дијагоналите на паралелограмот O, нормална на страната BC. Најдете ги отсечките на кои оваа права ја дели страната AD.

Проблеми на тема „Питагорова теорема“

(опција 2)

6*. Се сечат два круга со радиуси 13 cm и 15 cm. Растојанието помеѓу нивните центри O 1 и O 2 е 14 cm Заедничката акорда на овие кругови AB ја сече отсечката O 1 O 2 во точката K. Најдете O 1 K и KO 2 (O 1 е центар на круг со радиус. 13 см).

Проблеми на тема „Питагорова теорема“

Во правоаголникот ABCD, соседните страни имаат однос 3:4, а неговата дијагонала е 20 cm Која е најдолгата страна на правоаголникот?

Еден од надворешните агли на правоаголен триаголник е 135º, а неговата хипотенуза е 5√2 cm.

Дијагоналите на ромбот се 12 cm и 16 cm Колкава е должината на страната на ромбот?

Поголемата дијагонала на правоаголен трапез е 17 cm, а поголемата основа е 15 cm. Најдете ја областа на трапезот ако неговата помала основа е 9 см.

5. Основите на рамнокрак трапез се 10 cm и 24 cm, а страната е 25 cm Пронајдете ја плоштината на трапезот.

Проблеми на тема „Питагорова теорема“

Во правоаголникот ABCD, соседните страни имаат однос 3:4, а неговата дијагонала е 20 cm Која е најдолгата страна на правоаголникот?

Еден од надворешните агли на правоаголен триаголник е 135º, а неговата хипотенуза е 5√2 cm.

Дијагоналите на ромбот се 12 cm и 16 cm Колкава е должината на страната на ромбот?

Поголемата дијагонала на правоаголен трапез е 17 cm, а поголемата основа е 15 cm. Најдете ја областа на трапезот ако неговата помала основа е 9 см.

5. Основите на рамнокрак трапез се 10 cm и 24 cm, а страната е 25 cm Пронајдете ја плоштината на трапезот.

6. Се сечат два круга со радиуси 13 cm и 15 cm. Растојанието помеѓу нивните центри O 1 и O 2 е 14 cm Заедничката акорда на овие кругови AB ја сече отсечката O 1 O 2 во точката K. Најдете O 1 K и KO 2 (O 1 е центар на круг со радиус. 13 см).

Тема на лекцијата

Питагорова теорема

Цели на часот

Да ги запознае учениците со Питагоровата теорема;
Формулирајте и докажете ја Питагоровата теорема;
Запознајте ги студентите со различните методи за примена на оваа теорема кога решавање на проблеми;
Развивање на вештини за користење на стекнатото знаење во пракса;
Да се ​​развие вниманието, независноста и интересот на учениците за геометријата;
Негувајте култура на математички говор.

Цели на часот

Научете да ги користите својствата на формите при завршување на задачите.
Да може да ја применува Питагоровата теорема при решавање на проблеми.

План за лекција

Кратки биографски информации.
Теорема и нејзиниот доказ.
Интересни факти.
Решавање проблеми.
Домашна задача.

Кратки биографски податоци за Питагора

За жал, Питагора не оставил никакви записи за неговата биографија, па сите информации за овој голем филозоф и познат математичар можеме да ги дознаеме само преку сеќавањата на неговите следбеници, а и тогаш тие не се секогаш фер. Затоа, постојат многу легенди за овој човек. Но, вистината е дека Питагора бил голем хеленски мудрец, филозоф и талентиран математичар.

Според неверодостојните информации, големиот мудрец и брилијантен научник Питагора е роден далеку од сиромашно семејство, на островот Самосеа, околу 570 п.н.е.

Раѓањето на брилијантно дете го предвиде Пафија. Затоа, идниот светилник го доби своето име Питагора, што значи дека токму тоа го објави Пафија. Таа предвиде дека роденото бебе ќе им донесе многу корист и добрина на луѓето во иднина.

Новороденчето беше неверојатно убаво, а со текот на времето ги задоволуваше оние околу него со своите извонредни способности. И бидејќи младиот талент ги одмина своите денови меѓу мудрите старешини, тоа вроди со плод во иднина. Така, благодарение на Хермодамант, Питагора се заљубил во музиката, а Ферекид го насочил умот на детето кон логос. Откако живеел во Самосеја, Питагора отишол во Милет, каде што се сретнал со друг научник - Талес.

Питагора се запознал со знаењето на сите тогаш познати мудреци, бидејќи му било дозволено да ги проучува и учи сите тајни што им биле забранети на другите. Тој се обиде да дојде до дното на вистината и да го апсорбира целото знаење акумулирано од човештвото.

По дваесет и две години во Египет, Питагора се преселил во Вавилон, каде што ја продолжил својата комуникација со разни мудреци и магионичари. Враќајќи се во Самиос на крајот од својот живот, тој беше препознаен како еден од најмудрите луѓе во тоа време.

Питагорова теорема

Дури и човек кој сè уште немал можност да ја проучува оваа теорема веројатно ја слушнал изјавата за „Питагорови панталони“. Особеноста на оваа теорема е што таа стана една од клучните теореми на Евклидовата геометрија. Тоа го олеснува наоѓањето и воспоставувањето кореспонденција помеѓу страните на правоаголен триаголник.

Питагоровата теорема беше запаметена од секој ученик не само по изјавата: „Питагорејските панталони се еднакви од сите страни“, туку и по неговата едноставност и значење. И на прв поглед, оваа теорема, иако изгледа едноставна, ја има голема вредност, бидејќи во геометријата се применува буквално на секој чекор.

Питагоровата теорема има голем број на различни докази и веројатно е единствената теорема која има толку огромен број на докази. Оваа разновидност го нагласува неограниченото значење на оваа теорема.

Питагоровата теорема содржи геометриски, алгебарски, механички и други докази.

Постојат многу различни легенди за откривањето на теоремата од страна на Питагора. Но, и покрај сето ова, името на Питагора засекогаш влезе во историјата на геометријата и цврсто се спои со Питагоровата теорема. На крајот на краиштата, овој брилијантен математичар ќе биде првиот што ќе претстави доказ за теоремата што го носи неговото име.

Изјави на теоремата

Постојат неколку формулации на Питагоровата теорема.

Евклидовата теорема ни кажува дека квадратот на страната на правоаголен триаголник нацртан над неговиот прав агол е еднаков на квадратите на страните што го заградуваат правилниот агол.

Задача: Најдете различни формулации на Питагоровата теорема. Дали наоѓате разлика во нив?

Поедноставен доказ на Евклид

Без разлика дали ќе го земеме методот на разложување или Евклидовиот доказ, може да се користи каков било распоред на квадрати. Во некои случаи, може да се постигнат мали поедноставувања.

Да земеме квадрат, кој е изграден на една од краците и има иста локација како и триаголникот. Гледаме дека продолжението на страната наспроти кракот на овој квадрат поминува низ темето на квадратот, кое е изградено на хипотенузата.

Доказот за теоремата изгледа прилично едноставен, бидејќи ќе биде прилично едноставно да се споредат областите на фигурите со плоштината на триаголникот. И гледаме дека S од триаголник е еднаков на ½ плоштина на квадрат, а исто така и ½ S од правоаголник.

Наједноставниот доказ

Алгебарски доказ

Алгебарските докази на Питагоровата теорема вклучуваат елементарни методи, кои се присутни во алгебрата. Тоа се методи за решавање равенки комбинирани со метод на менување на променливите.

Да ги погледнеме овие докази подетално. И така, имаме правоаголник ABC, чиј прав агол е C.

Нацртајте ја висината на ЦД-то од овој агол.

Според дефиницијата за косинус на агол, добиваме:

cosA=AD/AC=AC/AB. Оттука AB*AD=AC2.

И соодветно:

cosB = BD/BC=BC/AB.

Оттука AB*BD=BC2.

Сега, ајде да ги додадеме овие еднаквости термин по член и да видиме дека: AD+DB=AB,

AC2+BC2=AB(AD+DB)=AB2.

Тоа е се, теоремата е докажана.

Научниците ја „докажаа“ Питагоровата теорема со помош на цртани филмови. Група истомисленици од Институтот. Стеклова доби награда за оригинален математички проект што го изработија за ученици и наставници. Тие создадоа мини лекции по математика кои овој досаден предмет го претворија во многу интересен и едукативен. Младите научници ги објавија своите необични скици на дискови и ги објавија на Интернет за јавно гледање.

Прашања

1. Кој е Питагора?
2. Што вели Питагоровата теорема?
3. Кои се формулациите на Питагоровата теорема?
4. При решавање на кои проблеми се користи Питагоровата теорема?
5. Од каде потекнува Питагоровата теорема? практична примена?
6. Кои начини знаете за користење на Питагоровата теорема?

Проблеми со користење на Питагоровата теорема

Користејќи го вашето знаење за Питагоровата теорема, обидете се да ги решите следниве проблеми:

Две групи туристи ја напуштија туристичката база во исто време. Првата група тргнала на југ и пешачела седум километри, а втората свртела на запад и пешачела девет километри. Користејќи го знаењето за теоремата, пронајдете го растојанието помеѓу групите туристи.

Доколку во правоаголен триаголникнеговата нога е 15 cm, а хипотенузата е 16 cm, тогаш на што ќе биде еднаква вториот крак?

Колкава ќе биде плоштината на трапезот кога неговата главна основа е 24 cm, нејзината помала основа е 16 cm, а главната дијагонала на правоаголен трапез е 26 cm?

Домашна задача

Презентирајте во форма на краток извештај неколку докази за Питагоровата теорема дека ги разбирате и решавате проблемите.

1. Најдете ја дијагоналата на правоаголен триаголник, под услов неговите страни да бидат 8 cm и 32 cm.

2. Најдете ја средината на триаголникот, кој е нацртан до основата, ако во рамнокрак триаголник периметарот е 38 cm, а неговата странична страна е 15 cm.

3. Триаголникот има страни еднакви на 10 cm, 6 cm и 9 cm Обидете се да одредите дали овој триаголник е правоаголен?

Слајд 2

„Геометријата има две богатства: едно од нив е Питагоровата теорема“. Јоханес Кеплер

Слајд 3

Дополни ја реченицата:

Правоаголен триаголник е триаголник чиј еден агол е ____ 90°

Слајд 4

Страните на триаголникот што формираат прав агол се нарекуваат _________ катети

Слајд 5

Страната на триаголникот спроти прав агол се вика ____________ Дополни ја реченицата: хипотенуза

Слајд 6

Во правоаголен триаголник, квадратот на хипотенузата е еднаков на ____________ Дополни ја реченицата: збирот на квадратите на катетите

Слајд 7

Предлогот формулиран погоре се нарекува ____________ Питагорова теорема c² = a² + b²

Слајд 8

Ако триаголникот има квадрат од едната страна еднаков на збиротквадрати на другите две страни, тогаш таков триаголник е ____________ Дополни ја реченицата: правоаголна

Слајд 9

S=½d1 d2 S=a² S=ab S=½ah S=ah Нацртајте линии така што кореспонденцијата помеѓу фигурата и формулата за пресметување на нејзината плоштина е точна S=½ (a +b)h S=½ ab

Слајд 10

Долината на оралните проблеми Дано Остров Глејд на здравјето Град на мајстори Тврдина на формули Историски пат

Слајд 11

Долина на оралните проблеми

Слајд 12

N S P 12 cm 9 cm 15 cm? Најдете: СП

Слајд 13

ДО? 12 cm 13 cm N M Најдете: KN 5 cm

Слајд 14

ВО? 8 cm 17 cm A D C Најдете: AD 15 cm

Слајд 15

Островот Дано

Слајд 16

Проблем на индискиот математичар Баскара од 12 век „На брегот на реката израсна осамена топола Одеднаш налетот на ветрот му го скрши стеблото И неговото стебло направи прав агол со текот на реката дека на ова место реката беше широка само четири стапки, врвот свиткан на работ на реката Останаа само три стапки од стеблото, те прашувам, кажи ми наскоро: Колку е висока тополата?

Слајд 17

Автомобил и авион тргнаа од една точка на земјата. Автомобилот поминал растојание од 8 километри кога авионот бил на височина од 6 километри. Колку далеку патувал авионот во воздухот од полетувањето? Задача

Слајд 18

8 км 6 км? км

Слајд 19

Користејќи го учебникот го решаваме проблемот бр.494 (стр. 133)

Слајд 20

Glade of Health

Слајд 21

(580 - 500 п.н.е.) Питагора

Слајд 22

За да ја научи науката, Питагора многу патувал во една од грчките колонии на Јужна Италија во градот Кротоне, организирал круг на млади луѓе од аристократијата, каде што биле прифатени со големи церемонии по долги искушенија. Секој учесник се откажа од својот имот и се заколна дека ќе ги чува во тајност учењата на основачот. Така настанала познатата „Питагорова школа“.

Слајд 23

Питагорејците студирале математика, филозофија, природните науки. Тие направија многу важни откритијаво аритметиката и геометријата. Меѓутоа, во училиштето имало Уредба, според која авторството на сите математички дела му се припишувало на Питагора.

Како симбол на вечното соединување
Како едноставен знак на вечно пријателство
Си врзал, хипотенуза,
Земете ги нозете со себе засекогаш.
Ти криеше тајна
Недолго потоа се појавил некој мудар Грк
И Питагоровата теорема
Тој ве прослави засекогаш.

Цели:

• систематизираат, генерализираат знаењата и вештините за примена на Питагоровата теорема при решавање проблеми, покажуваат нивна практична примена;
• промовирање на развојот на математичкото размислување;
• негувајте когнитивен интерес.

Опрема:портрет на Питагора, цртеж и модел на телевизиска кула, табели за ментална пресметка.

НАПРЕДОК НА ЧАСОТ

1. Организациски момент

2. Работете според готови цртежи

- Дали е можно да се најде плоштината на триаголник користејќи ги овие услови?
– Кое друго прашање може да се постави на овие проблеми?
– Најдете ги плоштините на триаголниците.
– Која теорема ја употреби за да ги најдеш страните на триаголниците?
– Како се викаат триаголниците 1, 4 и 3? (Питагора)
– Наведи повеќе примери за такви триаголници.
– Дали триаголникот со страни 6, 29 и 25 е правоаголен? Која теорема ја употреби за докажување?

Во овој момент, 4 студенти работат самостојно.

1. Најдете ја плоштината на правоаголник ако неговата дијагонала е 10 cm и формира агол од 30 степени со неговата страна. (25√3 cm 2)

2. Во правоаголен трапез, основите се 22 cm и 6 cm, најголемата страна е 20 cm. (224 cm2)

3. Самостојна работа 3 нивоа според готови цртежи.

1 опција

Опција 2

Опција 3

Самотестирање на работата користејќи ја табелата со одговори.

4. Решавање проблеми

Најдете ја страната и плоштината на ромб ако неговите дијагонали се 10 cm и 24 cm.

Дадени: ABCD – ромб, ВD = 10 cm, AC = 24 cm
Најдете: AB и S од ромб

1. BD е нормално на AC според својството на дијагоналите на ромбот.
2. Да го земеме предвид триаголникот ABO: O = 90, BO = 5 cm, AO = 12 cm Според Питагоровата теорема, AB = BO 2 + AO 2 AB = 13 cm.
3. S = 1/2 * 10 * 24 = 120 cm 2.

Одговор: AB = 13 cm, S = 120 cm 2

Најдете ја плоштината на трапезот ABCD со основите AB и CD, ако AB = 10 cm, BC = DA = 13 cm, CD = 20 cm.

Дадени се: ABCD – трапез, AB и CD бази, AB = 10
CD = 20 cm, BC = DA = 13 cm
Најдете: С?

1. Да ја нацртаме висината AN и да го разгледаме триаголникот ADH: H = 90, AD = 13 cm,
DN = (20 – 10) : 2 = 5 cm.
AN = 13 2 – 5 2 = 12 cm

2. S = (20 + 10) : 2 * 12 = 180 cm 2

Одговор: S = 180cm2.

– Кои формули ги користевте за решавање проблеми? Кои формули ги знаете за пресметување на плоштината на триаголник?

Денес Маша Л. ќе ве запознае со формулата за пресметување на плоштината на рамностран триаголник долж неговата страна. (Ученикот самостојно ја подготви задачата дома.)

S = a 2 * √3/4, каде што a е страната на триаголникот.

Решавање на проблемот со примена на оваа формула.

Триаголникот се состои од 4 триаголници со страна од 1 cm. Колку рамностран триаголници гледате? Колкава е плоштината на овој триаголник?

Решение на задачата: 5 рамностран триаголници, a = 2 cm, потоа S = √3 квадратни единици.

5. Практична задача

Извештај на учениците за сработеното: Во нашето село има телевизиска кула, чија висина е 124 м. Имавме задача да откриеме колку метри кабел ќе бидат потребни за 4-те долни жици.

Бидејќи стриите се со иста должина, проблемот се сведе на пронаоѓање должина на една стрии. За да го направите ова, идентификувавме правоаголен триаголник, чии краци се растојанијата AC и CB. Дознавме дека кабелот е прикачен на висина од 40 m (AC = 40 m) и го измеривме растојанието од основата на кулата до приклучокот за кабел на површината (CB = 24 m). Според Питагоровата теорема, AB = 46,7 m, што значи дека кабелот ќе бара најмалку 186,8 m.

Во текот на репортажата е прикажана макета на телевизиската кула и нејзиниот цртеж.

6. Резиме на лекцијата

7. Домашна задача

Завршете ја лекцијата со зборовите: Тие велат дека науката се разликува од уметноста по тоа што додека креациите на уметноста се вечни, големите креации на науката стануваат безнадежно стари. За среќа, тоа не е случај Питагоровата теорема е пример за тоа што ја користевме и ќе продолжиме да ја користиме при решавање на проблемите.

Општинска буџетска образовна институција

„Основно средно училиште Красниковскаја“

Областа Знаменски, регионот Ориол

Резиме на лекција на тема:

„Решавање проблеми на тема: „Питагоровата комора“

Наставник по математика -

Филина Марина Александровна

2015 – 2016 учебна година

Решавање проблеми на тема: „Питагоровата комора“

Цел на часот:

• Зајакнување на способноста за примена на Питагоровата теорема при решавање на проблеми
• Развијте логично размислување
• Научете да го користите стекнатото знаење во пракса и во секојдневниот живот

Тип на лекција: лекција за генерализација и консолидација на изучениот материјал.

Форми на работа во лекцијата:фронтален, индивидуален, независен.

Опрема: компјутер; мултимедијален проектор; презентација за часот.

Напредокот на лекцијата

1. Организациски момент

Поздравување, проверка на подготвеноста за часот (работни тетратки, учебници, материјали за пишување).

Математички диктат

1. Кој триаголник се нарекува правоаголен триаголник?
2. Колку изнесува збирот на аглите на правоаголен триаголник?
3. Колку изнесува збирот на острите агли во правоаголен триаголник?
4. Формулирајте го својството на нога која лежи спроти агол од 30 степени.
5. Наведете ја Питагоровата теорема.
6. Како се вика страната спроти прав агол?
7. Како се вика страната блиску до прав агол?

Проверка на математичкиот диктат

1. Ако има прав агол.

1. 180°
2. 3. 90°

4. Кратка на правоаголен триаголник што лежи спроти аголот

На 30° е еднакво на половина од хипотенузата.

5. Во правоаголен триаголник, квадратот на хипотенузата

Еднаков на збирот на квадратите на нозете.

6. Хипотенуза.

7. Нога.

Решавање проблеми

Бр. 2. Колку далеку треба да се помести долниот крај на скалата од ѕидот на куќата?

Која должина е 13 m така што нејзиниот горен крај е на висина од 12 m?

бр. 3. Со оглед на:

∆ABC рамнокрак

AB = 13 cm,

ID – висина, ID=12 cm

Најдете: AC

№ 4.

Дадени: ABCD – ромб,

AC, VD - дијагонали,

AC = 12 cm, BD = 16 cm.

Најдете: P ABCD

Пауза за физичко образование

Тест

1. Теорема на кој научник ја користевме денес на час?
а) Демокрит; б) Магнитски; в) Питагора; г) Ломоносов.
2. Што открил овој математичар?
а) теорема; б) ракопис; в) антички храм; г) задача.
3. Како се вика најголемата страна во правоаголен триаголник?
а) медијана; б) нога; в) симетрала; г) хипотенуза.
4. Зошто теоремата беше наречена „теорема на невестата“
а) затоа што е напишано за невестата;
б) затоа што го напишала невестата;
в) затоа што цртежот изгледа како „пеперутка“, а „пеперутката“ се преведува како „нимфа“ или „невеста“;
г) затоа што е мистериозна теорема.

5. Зошто теоремата била наречена „мост на магарињата“
а) се користел за обука на магариња;
б) само паметните и тврдоглавите би можеле да го надминат овој мост и да ја докажат оваа теорема;
в) го напишале „магариња“;
г) многу сложен доказ за теоремата.
6. Во Питагоровата теорема, квадратот на хипотенузата е еднаков на
а) збирот на должините на страните на триаголникот;
б) збирот на квадратите на краците;
в) површина на триаголникот;
г) површина на плоштадот.
7. Кои се страните на египетскиот триаголник?
а) 1, 2, 3; б) 3,4,5; в)2,3,4; г) 6,7,8.

Резиме на лекцијата, оценување.

Домашна задача - № 9, № 12

Рефлексии

„Повторив...“ „Дознав...“

„Се консолидирав...“ „Научив да одлучувам...“

„Ми се допадна...“