Denne metoden foreslår å tilnærme integranden på et delsegment ved at en parabel passerer gjennom punktene
(x j, f(x j)), Hvor j = Jeg-1; Jeg-0.5; Jeg, det vil si at vi tilnærmer integrandfunksjonen ved et Lagrange-interpolasjonspolynom av andre grad:

Etter å ha gjennomført integrasjonen får vi:

Det er det det er Simpsons formel eller parabolformelen. På segmentet
[a, b] Simpsons formel tar formen

En grafisk representasjon av Simpson-metoden er vist i fig. 2.4.

Ris. 10.4. Simpson-metoden

La oss bli kvitt brøkindekser i uttrykk (2.16) ved å redesigne variablene:

Så tar Simpsons formel formen

Feilen i formel (2.18) estimeres ved følgende uttrykk:

Hvor h·n = b-a, . Dermed er feilen i Simpsons formel proporsjonal med O(h 4).

Kommentar. Det skal bemerkes at i Simpsons formel er integrasjonssegmentet nødvendigvis delt inn i til og med antall intervaller.

10.5. Beregning av bestemte integraler ved hjelp av metoder
Monte Carlo

Metodene diskutert tidligere kalles deterministisk , altså blottet for tilfeldighetselementet.

Monte Carlo metoder(MMK) er numeriske metoder for å løse matematiske problemer ved hjelp av modellering av tilfeldige variabler. MMC-er lar en løse matematiske problemer forårsaket av sannsynlighetsprosesser. Dessuten, når du løser problemer som ikke er forbundet med noen sannsynligheter, kan du kunstig komme opp med en sannsynlighetsmodell (og enda mer enn én) som lar deg løse disse problemene. Vurder beregningen av det bestemte integralet

Når du beregner dette integralet ved hjelp av rektangelformelen, vil intervallet [ a, b] dele inn i N identiske intervaller, i midten av hvilke verdiene til integranden ble beregnet. Ved å beregne funksjonsverdiene ved tilfeldige noder, kan du få et mer nøyaktig resultat:

Her er γ i et tilfeldig tall jevnt fordelt over intervallet
. Feilen ved beregning av MMC-integralet er ~ , som er betydelig større enn for tidligere studerte deterministiske metoder.

I fig. Figur 2.5 presenterer en grafisk implementering av Monte Carlo-metoden for å beregne et enkelt integral med tilfeldige noder (2.21) og (2.22).

(2.23)

Ris. 10.6. Integrasjon med Monte Carlo-metoden (2. case)

Som man kan se på fig. 2.6, ligger integralkurven i enhetskvadratet, og hvis vi er i stand til å oppnå par med tilfeldige tall jevnt fordelt over intervallet, kan de resulterende verdiene (γ 1, γ 2) tolkes som koordinatene til et punkt i enhetsplassen. Så, hvis ganske mange av disse tallparene oppnås, kan vi omtrent anta det
. Her S er antall punkter som faller under kurven, og N– det totale antallet tallpar.

Eksempel 2.1. Regn ut følgende integral:

Problemet ble løst ved hjelp av ulike metoder. De oppnådde resultatene er oppsummert i tabell. 2.1.

Tabell 2.1

Kommentar. Valget av en tabellintegral tillot oss å sammenligne feilen til hver metode og finne ut effekten av antall partisjoner på nøyaktigheten av beregningene.

11 OMTRENTLIG LØSNING AV IKKELINEÆR
OG TRANSCENDENT LIGNINGER

For å finne det bestemte integralet ved den trapesformede metoden, er arealet til en krumlinjeformet trapes også delt inn i n rektangulære trapeser med høydene h og basene 1, 2, 3,..у n, hvor n er tallet på den rektangulære trapesen. . Integralet vil være numerisk lik summen av arealene til rektangulære trapeser (Figur 4).

Ris. 4

n - antall partisjoner

Feilen til den trapesformede formelen estimeres ved tallet

Feilen til trapesformelen avtar raskere med vekst enn feilen til rektangelformelen. Derfor gir den trapesformede formelen større nøyaktighet enn rektangelmetoden.

Simpsons formel

Hvis vi for hvert par av segmenter konstruerer et polynom av andre grad, så integrerer det på segmentet og bruker additivitetsegenskapen til integralet, får vi Simpsons formel.

I Simpsons metode, for å beregne et bestemt integral, deles hele integrasjonsintervallet inn i delintervaller med lik lengde h=(b-a)/n. Antall partisjonssegmenter er et partall. Deretter, på hvert par av tilstøtende delintervaller, erstattes integrandfunksjonen f(x) med et Lagrange-polynom av andre grad (Figur 5).

Ris. 5 Funksjonen y=f(x) på segmentet erstattes av et 2. ordens polynom

La oss vurdere integranden på et segment. La oss erstatte denne integranden med et Lagrange-interpolasjonspolynom av andre grad, sammenfallende med y= ved punktene:

La oss integrere på segmentet:

La oss introdusere en endring av variabler:

Med tanke på erstatningsformlene,

Etter å ha utført integrasjonen får vi Simpsons formel:

Verdien som er oppnådd for integralet faller sammen med arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av en akse, rette linjer og en parabel som går gjennom punkter. På et segment vil Simpsons formel se slik ut:

I parabelformelen har verdien av funksjonen f(x) ved oddepunkter på partisjonen x 1, x 3, ..., x 2n-1 en koeffisient på 4, ved partallspunkter x 2, x 4, . .., x 2n-2 - koeffisient 2 og ved to grensepunkter x 0 =a, x n =b - koeffisient 1.

Den geometriske betydningen av Simpsons formel: arealet av en krumlinjet trapes under grafen til funksjonen f(x) på et segment er omtrent erstattet av summen av arealene til figurene som ligger under parablene.

Hvis funksjonen f(x) har en fjerdeordens kontinuerlig derivert, er den absolutte verdien av feilen i Simpson-formelen ikke mer enn

hvor M er den største verdien på segmentet. Siden n 4 vokser raskere enn n 2, avtar feilen i Simpson-formelen med økende n mye raskere enn feilen til den trapesformede formelen.

La oss beregne integralet

Dette integralet er enkelt å beregne:

La oss ta n lik 10, h=0,1, beregne verdiene til integranden ved partisjonspunktene, så vel som halvheltallspunkter.

Ved å bruke formelen for gjennomsnittlige rektangler får vi I rett = 0,785606 (feilen er 0,027%), ved å bruke trapesformelen I felle = 0,784981 (feilen er ca. 0,054. Når du bruker metoden for høyre og venstre rektangler, er feilen mer enn 3 %.

For å sammenligne nøyaktigheten til omtrentlige formler, la oss beregne integralet igjen

men nå i henhold til Simpsons formel med n=4. La oss dele segmentet i fire like deler med poeng x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 og beregne omtrentlig verdiene til funksjonen f(x)=1/(1+x) på disse punktene: 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.

Ved å bruke Simpsons formel får vi

La oss estimere feilen til det oppnådde resultatet. For integrandfunksjonen f(x)=1/(1+x) har vi: f (4) (x)=24/(1+x) 5, som betyr at på segmentet . Derfor kan vi ta M=24, og feilen på resultatet overstiger ikke 24/(2880 4 4)=0,0004. Ved å sammenligne den omtrentlige verdien med den eksakte, konkluderer vi med at den absolutte feilen for resultatet oppnådd ved bruk av Simpson-formelen er mindre enn 0,00011. Dette er i samsvar med feilestimatet gitt ovenfor og indikerer i tillegg at Simpson-formelen er mye mer nøyaktig enn den trapesformede formelen. Derfor brukes Simpsons formel oftere for omtrentlig beregning av bestemte integraler enn den trapesformede formelen.

La oss dele integrasjonssegmentet [ EN, b] til et partall n like deler i trinn h. På hvert segment [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, x i+1],..., [ x n-2, x n] integrand funksjon f(X) erstatter vi med et interpolasjonspolynom av andre grad:

Koeffisientene til disse kvadratiske trinomialene kan finnes fra betingelsene for likheten til polynomet ved punktene til de tilsvarende tabelldataene. Vi kan ta som et Lagrange-interpolasjonspolynom av andre grad som går gjennom punktene :

Summen av elementære arealer og (fig. 3.3) kan beregnes ved hjelp av en bestemt integral. Tar vi hensyn til likestillingene vi får

-

Ris. 3.3. Illustrasjon for Simpsons metode

Etter å ha utført slike beregninger for hvert elementært segment, oppsummerer vi de resulterende uttrykkene:

Dette uttrykket for S tas som verdien av det bestemte integralet:

(3.35)

Det resulterende forholdet kalles Simpsons formel eller parabelformel.

Denne formelen kan oppnås på andre måter, for eksempel ved å bruke trapesmetoden to ganger ved partisjonering av segmentet [ EN, b] i deler med trinn h og 2 h eller ved å kombinere formlene for rektangler og trapeser (se avsnitt 3.2.6).

Noen ganger skrives Simpsons formel ved hjelp av halvheltallsindekser. I dette tilfellet, antall segmenter av partisjonen P vilkårlig (ikke nødvendigvis jevn), og Simpsons formel har formen

(3.36)

Det er lett å se at formel (3.36) sammenfaller med (3.35) hvis formel (3.35) brukes for antall segmenter i partisjon 2 n og trinn h/2.

Eksempel. Beregn integralet ved å bruke Simpsons metode

Funksjonsverdier kl n = 10, h = 0,1 er gitt i tabellen. 3.3. Ved å bruke formel (3.35), finner vi

Resultatet av numerisk integrasjon ved bruk av Simpsons metode ble funnet å falle sammen med den eksakte verdien (seks signifikante tall).

En av de mulige algoritmene for å beregne et bestemt integral ved å bruke Simpsons metode er vist i fig. 3.4. Grensene for integrasjonssegmentet [ EN, b],feil ε, samt en formel for å beregne verdiene til integranden y =f(x) .

Ris. 3.4. Simpson-metoden algoritme

Til å begynne med er segmentet delt i to deler med et trinn h =(b- a)/2. Verdien av integralet beregnes Jeg 1. Deretter dobles antall trinn, verdien beregnes Jeg 2 i trinn h/2. Betingelsen for avslutning av regnskapet er tatt i skjemaet . Dersom dette vilkåret ikke er oppfylt, deles et nytt trinn i to osv.

Merk at vist i fig. 3.4 algoritmen er ikke optimal: når man beregner hver tilnærming Jeg 2 funksjonsverdier brukes ikke f(x), allerede funnet på forrige stadium. Mer økonomiske algoritmer vil bli diskutert i avsnitt. 3.2.7.

Det oppstår et problem om numerisk beregning av et bestemt integral, som kan løses ved hjelp av formler kalt kvadraturformler.

La oss huske de enkleste formlene for numerisk integrasjon.

La oss beregne den omtrentlige numeriske verdien. Vi deler integrasjonsintervallet [a, b] i n like deler ved å dele poeng
, kalt noder av kvadraturformelen. La verdiene ved nodene være kjent
:

Omfanget

kalt integreringsintervallet eller trinnet. Merk at i praksis - beregninger, er tallet i valgt lite, vanligvis er det ikke mer enn 10-20. På et delvis intervall

integranden erstattes av et interpolasjonspolynom

som omtrent representerer funksjonen f (x) på intervallet som vurderes.

a) La oss da bare beholde ett første ledd i interpolasjonspolynomet

Den resulterende kvadratiske formelen

kalt rektangelformelen.

b) La oss da beholde de to første leddene i interpolasjonspolynomet

(2)

Formel (2) kalles trapesformelen.

c) Integrasjonsintervall
vi vil dele det inn i et partall med 2n like deler, og integrasjonstrinnet h vil være lik . På intervallet
av lengde 2h, erstatter vi integranden med et interpolasjonspolynom av andre grad, dvs. vi beholder de tre første leddene i polynomet:

Den resulterende kvadraturformelen kalles Simpsons formel

(3)

Formler (1), (2) og (3) har en enkel geometrisk betydning. I formelen for rektangler er integrandfunksjonen f(x) på intervallet
erstattes av et rett linjestykke y = yk, parallelt med abscisseaksen, og i trapesformelen - av et rett linjestykke
og arealet av rektangelet og det rettlinjede trapeset beregnes henholdsvis, som deretter summeres. I Simpsons formel er funksjonen f(x) på intervallet
lengde 2h erstattes av et kvadratisk trinomium - en parabel
Arealet til en krumlinjet parabolsk trapes beregnes, deretter summeres arealene.

KONKLUSJON

På slutten av arbeidet vil jeg merke meg en rekke trekk ved anvendelsen av metodene diskutert ovenfor. Hver metode for omtrentlig løsning av et bestemt integral har sine egne fordeler og ulemper; avhengig av oppgaven, bør spesifikke metoder brukes.

Variabel erstatningsmetode er en av hovedmetodene for å beregne ubestemte integraler. Selv i tilfeller hvor vi integrerer med en annen metode, må vi ofte ty til å endre variabler i mellomberegninger. Suksessen med integrasjon avhenger i stor grad av om vi er i stand til å velge en så vellykket endring av variabler som vil forenkle det gitte integralet.

I hovedsak kommer studiet av integreringsmetoder ned på å finne ut hva slags variabel erstatning som må gjøres for denne eller den typen integrand.

Dermed, integrering av enhver rasjonell brøkdel reduserer til å integrere et polynom og flere enkle brøker.

Integralet til enhver rasjonell funksjon kan uttrykkes gjennom elementære funksjoner i endelig form, nemlig:

gjennom logaritmer - i tilfeller av enkle brøker av type 1;

gjennom rasjonelle funksjoner - når det gjelder enkle brøker av type 2

gjennom logaritmer og arctangenser - når det gjelder enkle brøker av type 3

gjennom rasjonelle funksjoner og arctangenser - når det gjelder enkle brøker av type 4. Den universelle trigonometriske substitusjonen rasjonaliserer alltid integranden, men den fører ofte til svært tungvinte rasjonelle brøker, som det spesielt er nesten umulig å finne røttene til nevneren. Derfor, når det er mulig, brukes partielle substitusjoner, som også rasjonaliserer integranden og fører til mindre komplekse fraksjoner.

Newton–Leibniz formel er en generell tilnærming til å finne bestemte integraler.

Når det gjelder teknikkene for å beregne bestemte integraler, er de praktisk talt ikke forskjellige fra alle disse teknikkene og metodene.

Påfør på nøyaktig samme måte substitusjonsmetoder(endring av variabel), metode for integrering av deler, de samme teknikkene for å finne antiderivater for trigonometriske, irrasjonelle og transcendentale funksjoner. Den eneste særegenheten er at når du bruker disse teknikkene, er det nødvendig å utvide transformasjonen ikke bare til integrandfunksjonen, men også til grensene for integrasjon. Når du erstatter integrasjonsvariabelen, ikke glem å endre grensene for integrasjon tilsvarende.

Ordentlig fra teoremet, betingelsen for funksjonens kontinuitet er en tilstrekkelig betingelse for integrerbarheten til en funksjon. Men dette betyr ikke at det bestemte integralet kun eksisterer for kontinuerlige funksjoner. Klassen av integrerbare funksjoner er mye bredere. For eksempel er det et bestemt integral av funksjoner som har et begrenset antall diskontinuitetspunkter.

Å beregne et bestemt integral av en kontinuerlig funksjon ved å bruke Newton-Leibniz-formelen kommer ned til å finne antideriverten, som alltid eksisterer, men ikke alltid er en elementær funksjon eller en funksjon som det er kompilert tabeller for som gjør det mulig å oppnå verdien av integralen. I mange applikasjoner er den integrerbare funksjonen spesifisert i en tabell, og Newton-Leibniz-formelen er ikke direkte anvendelig.

Hvis du trenger å få det mest nøyaktige resultatet, er det ideelt Simpson-metoden.

Fra det som er studert ovenfor kan vi trekke følgende konklusjon at integralet brukes i vitenskaper som fysikk, geometri, matematikk og andre vitenskaper. Ved å bruke integralet beregnes kraftens arbeid, koordinatene til massesenteret og banen som materialpunktet har gått. I geometri brukes det til å beregne volumet til et legeme, finne buelengden til en kurve osv.

Institutt for høyere matematikk

Fullført av: Matveev F.I.

Sjekket av: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1.Numeriske metoder for integrasjon

2. Utledning av Simpsons formel

3.Geometrisk illustrasjon

4.Valg av integreringstrinn

5.Eksempler

1. Numeriske metoder for integrasjon

Problemet med numerisk integrasjon er å beregne integralet

Gjennom en rekke verdier av integranden.

Numeriske integrasjonsproblemer må løses for funksjoner spesifisert i tabeller, funksjoner hvis integraler ikke er tatt i elementære funksjoner, etc. La oss bare vurdere funksjoner til én variabel.

I stedet for funksjonen som må integreres, integrerer vi interpolasjonspolynomet. Metoder basert på å erstatte integranden med et interpolasjonspolynom gjør det mulig å estimere nøyaktigheten til resultatet ved å bruke parametrene til polynomet eller å velge disse parametrene basert på den gitte nøyaktigheten.

Numeriske metoder kan betinget grupperes i henhold til metoden for tilnærming av integranden.

Newton-Cotes-metoder er basert på å tilnærme en funksjon med et gradspolynom. Algoritmen til denne klassen skiller seg bare i graden av polynomet. Som regel er nodene til det approksimerende polynomet ekvirelerte.

Spline-integrasjonsmetoder er basert på å tilnærme en funksjon ved et spline-stykkevis polynom.

Metodene med høyest algebraisk nøyaktighet (gaussisk metode) bruker spesielt utvalgte ulik noder som gir en minimum integrasjonsfeil for et gitt (valgt) antall noder.

Monte Carlo-metoder brukes oftest ved beregning av flere integraler; noder velges tilfeldig, og svaret er sannsynlighet.

total feil

trunkeringsfeil

avrundingsfeil

Uavhengig av den valgte metoden, i prosessen med numerisk integrasjon er det nødvendig å beregne den omtrentlige verdien av integralet og estimere feilen. Feilen avtar når n-tallet øker

segmentpartisjoner. Dette øker imidlertid avrundingsfeilen

ved å summere verdiene til integraler beregnet på delsegmenter.

Trunkeringsfeilen avhenger av egenskapene til integranden og lengden på det partielle segmentet.

2. Utledning av Simpsons formel

Hvis vi for hvert par av segmenter konstruerer et polynom av andre grad, så integrerer det og bruker additivitetsegenskapen til integralet, får vi Simpsons formel.

La oss vurdere integranden på segmentet . La oss erstatte denne integranden med et Lagrange-interpolasjonspolynom av andre grad, sammenfallende med punktene:

La oss integrere:

og kalles Simpsons formel.

Verdien oppnådd for integralet faller sammen med arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av aksen, rette linjer og en parabel som går gjennom punktene

La oss nå estimere integrasjonsfeilen ved å bruke Simpsons formel. Vi vil anta at det er kontinuerlige deriverte på intervallet . La oss gjøre opp forskjellen

Det er allerede mulig å bruke middelverditeoremet på hver av disse to integralene, siden funksjonen er kontinuerlig på og ikke-negativ på det første integrasjonsintervallet og ikke-positiv på det andre (det vil si at den ikke endrer fortegn på hver av disse intervallene). Derfor:

(vi brukte middelverditeoremet siden - er en kontinuerlig funksjon; ).

Ved å differensiere to ganger og deretter bruke middelverditeoremet, får vi et annet uttrykk for:

, Hvor

Fra begge estimatene for det følger at Simpsons formel er eksakt for polynomer av grad ikke høyere enn tre. La oss skrive Simpsons formel, for eksempel i formen:

Hvis integreringssegmentet er for stort, deles det inn i like deler (forutsatt ), og deretter til hvert par av tilstøtende segmenter, ,..., bruk Simpson-formelen, nemlig:

La oss skrive Simpsons formel i generell form:

Feil i Simpsons formel - fjerde ordens metode:

, (3)

Siden Simpson-metoden lar deg få høy nøyaktighet, om ikke for høy. Ellers kan annenordens metoden gi større nøyaktighet.

For eksempel, for en funksjon, gir trapesformen for for det nøyaktige resultatet, mens vi bruker Simpsons formel får vi

3. Geometrisk illustrasjon

På et segment med lengde 2h er det konstruert en parabel som går gjennom tre punkter, . Arealet under parablen, innelukket mellom OX-aksen og de rette linjene, er tatt lik integralet.

Et spesielt trekk ved bruken av Simpsons formel er det faktum at antall partisjoner i integrasjonssegmentet er jevnt.

Hvis antallet segmenter i partisjonen er oddetall, bør man for de tre første segmentene bruke en formel ved å bruke en parabel av tredje grad som går gjennom de fire første punktene for å tilnærme integranden.

(4)

Dette er Simpsons formel for tre åttendedeler.

For et vilkårlig integrasjonssegment kan formel (4) "fortsettes"; i dette tilfellet må antall delsegmenter være et multiplum av tre (poeng).

, m=2,3,... (5)

Hele delen

Du kan få Newton-Cotes-formlene med høyere orden:

(6)

Antall partisjonssegmenter;

Graden av polynomet som brukes;

Avledet av th orden ved punktet;

Delingstrinn.

Tabell 1 viser koeffisientene. Hver linje tilsvarer ett sett med intervaller etter noder for å konstruere et polynom av grad k. For å bruke dette skjemaet for flere sett (for eksempel med k=2 og n=6), må du "fortsette" koeffisientene og deretter legge dem til.

Tabell 1:

Feilestimeringsalgoritmen for trapesformlene og Simpson-formlene kan skrives som: (7),

hvor er en koeffisient avhengig av integrasjonsmetoden og egenskapene til integranden;

h - integreringstrinn;

p - metode rekkefølge.

Runges regel brukes til å beregne feilen ved å beregne integralet to ganger med trinn h og kh.

(8) - a posteriori estimat. Så Iref.= +Ro (9), raffinert verdi av integralet.

Hvis rekkefølgen på metoden er ukjent, er det nødvendig å beregne I en tredje gang med trinn , det vil si:

fra et system med tre ligninger:

med ukjente I, A og p får vi:

Fra (10) følger det (11)

Dermed lar den doble beregningsmetoden, brukt det nødvendige antall ganger, en beregne integralet med en gitt grad av nøyaktighet. Det nødvendige antallet partisjoner velges automatisk. I dette tilfellet kan du bruke flere anrop til subrutinene til de tilsvarende integrasjonsmetodene uten å endre algoritmene til disse metodene. For metoder som bruker like relaterte noder, er det imidlertid mulig å modifisere algoritmene og halvere antallet beregninger av integranden ved å bruke integralsummene akkumulert under tidligere multiple partisjoner av integrasjonsintervallet. To omtrentlige verdier av integralet og, beregnet ved hjelp av trapesmetoden med trinn og, er relatert av relasjonen:

Tilsvarende gjelder følgende relasjoner for integraler beregnet ved hjelp av formelen med trinn og :

,

(13)

4. Valg av integreringstrinn

For å velge integreringstrinnet kan du bruke uttrykket for resten av leddet. Ta for eksempel resten av Simpsons formel:

Hvis ê ê, så ê ê .

Basert på den gitte nøyaktigheten e av integrasjonsmetoden, bestemmer vi det passende trinnet fra den siste ulikheten.

, .

Denne metoden krever imidlertid evaluering (noe som ikke alltid er mulig i praksis). Derfor bruker de andre metoder for å bestemme nøyaktighetsestimatet, som gjør det mulig å velge ønsket trinn h under beregningene.

La oss se på en av disse teknikkene. La

,

hvor er den omtrentlige verdien av integralet med trinn . La oss redusere trinnet med det halve, dele segmentet i to like deler og ().

La oss nå anta at den ikke endrer seg for raskt, slik at den er nesten konstant: . Deretter Og , hvor , det er .

Fra dette kan vi trekke følgende konklusjon: if , det vil si hvis , , a er den nødvendige nøyaktigheten, så er trinnet egnet for å beregne integralet med tilstrekkelig nøyaktighet. Hvis, så blir beregningen gjentatt i trinn og deretter sammenlignet osv. Denne regelen kalles Runges regel.

Når man anvender Runges regel, er det imidlertid nødvendig å ta hensyn til størrelsen på regnefeilen: ettersom den avtar, øker den absolutte feilen ved beregningen av integralet (avhengigheten av er omvendt proporsjonal), og hvis den er liten nok, øker den. kan vise seg å være større enn metodefeilen. Hvis den overskrider , kan ikke Runges regel brukes for dette trinnet, og ønsket nøyaktighet kan ikke oppnås. I slike tilfeller er det nødvendig å øke verdien.

Når du utledet Runges regel, brukte du i hovedsak antakelsen om at . Hvis det bare er en tabell med verdier, kan sjekken for "konstans" gjøres direkte fra tabellen. Videreutvikling av algoritmene ovenfor lar oss gå over til adaptive algoritmer, der ved å velge et annet integreringstrinn i forskjellige deler av integrasjonssegmentet, avhengig av egenskapene, reduseres antall beregninger av integranden.

Et annet opplegg for å foredle de integrerte verdiene er Eithnen-prosessen. Integralen beregnes i trinn, og . Beregner verdier. Deretter (14).

Nøyaktighetsmålet til Simpson-metoden er tatt for å være:

5. Eksempler

Eksempel 1. Beregn integralet ved å bruke Simpsons formel hvis gitt av en tabell. Estimer feilen.

Tabell 3.

Løsning: La oss regne ut med formel (1) for og integral .

I følge Runges regel får vi Accept.

Eksempel 2. Beregn integral .

Løsning: Vi har . Derfor h==0,1. Beregningsresultatene er vist i tabell 4.

Tabell 4.

Beregning av integralet ved hjelp av Simpsons formel

		y0=1,00000; -0,329573ê£ 3. Anslag for feilen til Simpson-metoden: £ 0,0000017 for =0,1, £ 0,0000002 for =0,05. For å forhindre at avrundingsfeil forvrenger et så nøyaktig resultat for Simpsons formel, ble alle beregninger utført med seks desimaler. Endelige resultater: