Tallserier: definisjoner, egenskaper, tegn på konvergens, eksempler, løsninger. Tallserier: definisjoner, egenskaper, tegn på konvergens, eksempler, løsninger Serier for d'Alembert-tegnet

Jean Leron d'Alembert var en berømt fransk matematiker på 1700-tallet. Generelt spesialiserte d'Alembert seg på differensiallikninger og, basert på hans forskning, jobbet med ballistikk slik at Hans Majestets kanonkuler ville fly bedre. Samtidig glemte jeg ikke nummerserien; det var ikke for ingenting at rekkene til Napoleons tropper senere konvergerte og divergerte så tydelig.

Før du formulerer selve tegnet, la oss vurdere et viktig spørsmål:
Når bør D'Alemberts konvergenstest brukes?

La oss starte med en anmeldelse først. La oss huske tilfellene når du trenger å bruke den mest populære sammenligningsgrense. Det begrensende kriteriet for sammenligning brukes når i den generelle termen av serien:
1) Nevneren inneholder et polynom.
2) Polynomer er både i teller og nevner.
3) Ett eller begge polynomene kan være under roten.

Hovedforutsetningene for bruk av d'Alemberts test er som følger:

1) Den vanlige termen for serien ("stuffing" av serien) inkluderer et eller annet tall til en viss grad, for eksempel, og så videre. Dessuten spiller det ingen rolle i det hele tatt hvor denne tingen er plassert, i telleren eller i nevneren - det som betyr noe er at den er til stede der.

2) Den vanlige termen for serien inkluderer faktoren. Hva er faktoriell? Ikke noe komplisert, factorial er bare en kondensert representasjon av produktet:

…

…

! Når vi bruker d'Alemberts test, må vi beskrive faktoren i detalj. Som i forrige avsnitt, kan faktoren være plassert øverst eller nederst i brøken.

3) Hvis det i den generelle termen av serien er en "kjede av faktorer", for eksempel . Denne saken er sjelden, men! Når man studerer en slik serie, blir det ofte gjort feil – se eksempel 6.

Sammen med potenser og/eller faktorialer finnes polynomer ofte i utfyllingen av en serie; dette endrer ikke situasjonen - du må bruke D'Alemberts tegn.

I tillegg, i en felles term av en serie kan både en grad og en faktoriell forekomme samtidig; det kan være to faktorer, to grader, det er viktig at det er i det minste noe fra de vurderte punktene - og dette er nettopp forutsetningen for å bruke D'Alembert-tegnet.

D'Alemberts tegn: La oss vurdere positive tallserier. Hvis det er en grense for forholdet mellom den påfølgende termen og den forrige: , da:
a) Når rad konvergerer
b) Når rad divergerer
c) Når skiltet gir ikke svar. Du må bruke et annet tegn. Oftest oppnås en i tilfellet når de prøver å bruke d'Alembert-testen hvor det er nødvendig å bruke den begrensende sammenligningstesten.

Hvem som fortsatt har problemer med grenser eller misforståelser av grenser, referer til temaet Grenser. Eksempler på løsninger. Uten forståelse av grensen og evnen til å avsløre usikkerhet, kan man dessverre ikke komme videre. Og nå de etterlengtede eksemplene.

Eksempel 1
Vi ser at i den generelle termen av serien har vi , og dette er en sikker forutsetning for å bruke d'Alemberts test. Først den fullstendige løsningen og prøvedesignet, kommenterer nedenfor.

Vi bruker d'Alemberts tegn:

konvergerer.

(1) Vi komponerer forholdet mellom neste medlem av serien og det forrige: . Fra betingelsen ser vi at den generelle termen for serien er . For å få neste medlem av serien er det nødvendig i stedet for å erstatte: .
(2) Vi blir kvitt den fire-etasjers brøken. Hvis du har litt erfaring med løsningen, kan du hoppe over dette trinnet.
(3) Åpne parentesene i telleren. I nevneren tar vi de fire ut av potensen.
(4) Reduser med . Vi tar konstanten forbi grensetegnet. I telleren presenterer vi lignende termer i parentes.
(5) Usikkerhet elimineres på standard måte - ved å dele telleren og nevneren med "en" til høyeste potens.
(6) Vi deler tellerne ledd for ledd med nevnerne, og angir leddene som har en tendens til null.
(7) Vi forenkler svaret og noterer oss at med konklusjonen at, i henhold til D’Alemberts kriterium, konvergerer serien som studeres.

I det betraktede eksemplet, i den generelle termen av serien, møtte vi et polynom av 2. grad. Hva skal jeg gjøre hvis det er et polynom av 3., 4. eller høyere grad? Faktum er at hvis et polynom av høyere grad er gitt, vil det oppstå vanskeligheter med å åpne parentesene. I dette tilfellet kan du bruke "turbo" løsningsmetoden.

Eksempel 2 La oss ta en lignende serie og undersøke den for konvergens
Først den komplette løsningen, deretter kommentarer:

Vi bruker d'Alemberts tegn:

Dermed serien som studeres konvergerer.

(1) Vi skaper relasjonen .
(2) Vi blir kvitt den fire-etasjers brøken.
(3) Tenk på uttrykket i telleren og uttrykket i nevneren. Vi ser at i telleren må vi åpne parentesene og heve dem til fjerde potens: , som vi absolutt ikke vil gjøre. I tillegg, for de som ikke er kjent med Newtons binomiale, kan det hende at denne oppgaven ikke er gjennomførbar i det hele tatt. La oss analysere de høyere gradene: Hvis vi åpner parentesene øverst, får vi den høyeste graden. Nedenfor har vi samme seniorgrad: . I analogi med forrige eksempel er det åpenbart at når vi deler teller- og nevnerleddet på ledd, ender vi opp med én i grensen. Eller, som matematikere sier, polynomer og - samme vekstrekkefølge. Dermed er det ganske mulig å skissere forholdet med en enkel blyant og umiddelbart indikere at denne tingen har en tendens til en. Vi håndterer det andre paret med polynomer på samme måte: og de også samme vekstrekkefølge, og deres forhold har en tendens til enhet.

Faktisk kunne et slikt "hack" blitt trukket av i eksempel nr. 1, men for et polynom av 2. grad ser en slik løsning fortsatt uverdig ut. Personlig gjør jeg dette: hvis det er et polynom (eller polynomer) av første eller andre grad, bruker jeg den "lange" veien for å løse eksempel 1. Hvis jeg kommer over et polynom av 3. eller mer høye grader, bruker jeg "turbo"-metoden som ligner på eksempel 2.

Eksempel 3 .

La oss se på typiske eksempler med faktorialer:

Eksempel 4 Undersøk serien for konvergens

Den vanlige betegnelsen for serien inkluderer både graden og faktoren. Det er klart som dagen at d'Alemberts skilt må brukes her. La oss bestemme.

Dermed serien som studeres divergerer.

(1) Vi skaper relasjonen . Vi gjentar igjen. Etter betingelse er det vanlige medlemmet av serien: . For å få neste semester i rekken, i stedet må du erstatte, Dermed: .
(2) Vi blir kvitt den fire-etasjers brøken.
(3) Klyp av de syv fra graden. Vi beskriver factorials i detalj. Slik gjør du dette - se begynnelsen av leksjonen.
(4) Vi kutter alt som kan kuttes.
(5) Vi flytter konstanten forbi grensetegnet. Åpne parentesene i telleren.
(6) Vi eliminerer usikkerhet på standard måte - ved å dele telleren og nevneren med "en" til høyeste potens.

Eksempel 5 Undersøk serien for konvergens Den komplette løsningen er nedenfor.

Eksempel 6 Undersøk serien for konvergens

Noen ganger er det serier som inneholder en "kjede" av faktorer i fyllingen, vi har ennå ikke vurdert denne typen serier. Hvordan studere en serie med en "kjede" av faktorer? Bruk d'Alemberts tegn. Men først, for å forstå hva som skjer, la oss beskrive serien i detalj:

Fra utvidelsen ser vi at hvert neste medlem av serien har en tilleggsfaktor lagt til nevneren, derfor, hvis det vanlige medlemmet i serien er , så er neste medlem av serien:
. Det er her de ofte automatisk gjør en feil, og skriver formelt i henhold til algoritmen som

En omtrentlig prøveløsning kan se slik ut: La oss bruke D'Alemberts tegn:
Dermed serien som studeres konvergerer.
RADIKAL CAUCHY SIGN

Augustin Louis Cauchy er en enda mer kjent fransk matematiker. Enhver student kan fortelle deg Cauchys biografi. teknisk spesialitet. I de mest pittoreske farger. Det er ingen tilfeldighet at dette navnet er skåret ut i første etasje i Eiffeltårnet.

Cauchys konvergenstest for positive tallserier ligner noe på D'Alemberts test som nettopp ble diskutert.

Radical Cauchys tegn: La oss vurdere positive tallserier. Hvis det er en grense: , så:
a) Når rad konvergerer. Spesielt konvergerer serien kl.
b) Når rad divergerer. Spesielt divergerer serien ved .
c) Når skiltet gir ikke svar. Du må bruke et annet tegn. Det er interessant å merke seg at hvis Cauchys test ikke gir oss svar på spørsmålet om konvergensen til en serie, så vil heller ikke D'Alemberts test gi oss noe svar. Men hvis d'Alemberts test ikke gir et svar, kan Cauchys test "fungere". Det vil si at Cauchy-tegnet i denne forstand er et sterkere tegn.

Når bør du bruke det radikale Cauchy-tegnet? Den radikale Cauchy-testen brukes vanligvis i tilfeller hvor den vanlige termen i serien FULLT er i graden avhengig av "en". Eller når roten "bra" er hentet fra et vanlig medlem av serien. Det er også eksotiske saker, men vi vil ikke bekymre oss for dem.

Eksempel 7 Undersøk serien for konvergens

Vi ser at den generelle termen i serien er fullstendig under en makt avhengig av , noe som betyr at vi må bruke den radikale Cauchy-testen:

Dermed serien som studeres divergerer.

(1) Vi formulerer den vanlige termen for serien under roten.
(2) Vi omskriver det samme, bare uten roten, ved å bruke egenskapen grader.
(3) I indikatoren deler vi telleren med nevneren ledd for ledd, noe som indikerer at
(4) Som et resultat har vi usikkerhet. Det er her du kan gå den lange veien: kube, kube, del deretter telleren og nevneren med "en" til høyeste potens. Men i i dette tilfellet Det er en mer effektiv løsning: du kan dele teller- og nevnerleddet for ledd direkte under konstant potens. For å eliminere usikkerhet, del telleren og nevneren med (den høyeste potensen).
(5) Vi utfører faktisk termin-for-term-deling og indikerer begrepene som har en tendens til null.
(6) Vi bringer svaret til oss, markerer hva vi har og konkluderer med at serien divergerer.

Her er et enklere eksempel for uavhengig avgjørelse:

Eksempel 8 Undersøk serien for konvergens

Og et par mer typiske eksempler.

Den fullstendige løsningen og prøvedesignet er nedenfor.

Eksempel 9 Undersøk serien for konvergens
Vi bruker den radikale Cauchy-testen:

Dermed serien som studeres konvergerer.

(1) Plasser den vanlige termen for serien under roten.
(2) Vi omskriver det samme, men uten roten, mens vi åpner parentesene ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen: .
(3) I indikatoren deler vi telleren med nevneren ledd for ledd og indikerer at .
(4) En usikkerhet i formen . Her kan du direkte dele telleren med nevneren i parentes med "en" i høyeste grad. Vi møtte noe lignende da vi studerte andre fantastiske grensen. Men her er situasjonen en annen. Hvis koeffisientene ved høyere potenser var identisk, for eksempel: , da ville trikset med termin-for-term-deling ikke lenger fungere, og det ville være nødvendig å bruke den andre bemerkelsesverdige grensen. Men vi har disse koeffisientene annerledes(5 og 6), derfor er det mulig (og nødvendig) å dele ledd for ledd (forresten, tvert imot - den andre bemerkelsesverdige grensen for annerledes koeffisienter ved høyere potenser fungerer ikke lenger).
(5) Vi utfører faktisk termin-for-term-deling og indikerer hvilke begreper som har en tendens til null.
(6) Usikkerheten er eliminert, den enkleste grensen gjenstår: Hvorfor inn uendelig stor har en tendens til null? Fordi grunnlaget for graden tilfredsstiller ulikheten. Hvis noen er i tvil om rettferdigheten til grensen, vil jeg ikke være lat, jeg tar en kalkulator:
Hvis da
Hvis da
Hvis da
Hvis da
Hvis da
… etc. til det uendelige - det vil si i grensen:
(7) Vi indikerer at vi konkluderer med at serien konvergerer.

Eksempel 10 Undersøk serien for konvergens

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.

Noen ganger tilbys et provoserende eksempel for en løsning, for eksempel:. Her i eksponent ingen "no", bare en konstant. Her må du kvadrere teller og nevner (du får polynomer), og deretter følge algoritmen fra artikkelen Rader for dummies. I et slikt eksempel bør enten den nødvendige testen for konvergens av serien eller den begrensende testen for sammenligning fungere.
INTEGRAL CAUCHY SIGN

Jeg vil skuffe de som ikke forsto det første kursmaterialet godt. For å bruke Cauchy-integraltesten må du være mer eller mindre trygg på å finne derivater, integraler og også ha evnen til å regne feil integral første typen. I lærebøker på matematisk analyse Den integrerte Cauchy-testen er gitt matematisk strengt; la oss formulere testen på en veldig primitiv, men forståelig måte. Og umiddelbart eksempler for avklaring.

Integral Cauchy-test: La oss vurdere positive tallserier. Konvergerer eller divergerer denne serien?

Eksempel 11 Undersøk serien for konvergens

Nesten en klassiker. Naturlig logaritme og noe tull.

Hovedforutsetningen for å bruke Cauchy integraltesten er er det faktum at i den generelle termen av serien er det en viss funksjon og dens deriverte. Fra emne Derivat du husker sikkert den enkleste tabelltingen: , og vi har akkurat en slik kanonisk sak.

Hvordan bruke integralattributtet? Først tar vi det integrerte ikonet og omskriver de øvre og nedre grensene fra "telleren" i serien: . Deretter, under integralet, omskriver vi "fyllingen" av serien med bokstaven "han": . Noe mangler..., oh, ja, du må også feste et differensialikon i telleren: .

Nå må vi beregne feil integral. I dette tilfellet er to tilfeller mulig:

1) Hvis det viser seg at integralet konvergerer, så vil serien vår også konvergere.

2) Hvis det viser seg at integralet divergerer, vil også vår serie divergere.

Jeg gjentar, hvis materialet blir neglisjert, vil det å lese avsnittet være vanskelig og uklart, siden bruken av en funksjon i hovedsak handler om å beregne feil integral første typen.

Den komplette løsningen og eksempelformatet skal se omtrent slik ut:

Vi bruker integrertegnet:

Dermed serien som studeres divergerer sammen med den tilsvarende upassende integralen.

Eksempel 12 Undersøk serien for konvergens

Løsning og prøvedesign på slutten av leksjonen

I de betraktede eksemplene kan logaritmen også være under roten; dette vil ikke endre løsningsmetoden.

Og to eksempler til for det første

Eksempel 13 Undersøk serien for konvergens

I følge de generelle "parametrene" ser den generelle termen i serien ut til å være egnet for å bruke det begrensende kriteriet for sammenligning. Du trenger bare å åpne parentesene og umiddelbart sende inn til kandidaten for å sammenligne fullstendig denne serien med en konvergent serie. Imidlertid jukset jeg litt, parentesene åpnes kanskje ikke, men likevel vil løsningen gjennom det begrensende sammenligningskriteriet se ganske pretensiøs ut.

Derfor bruker vi den integrerte Cauchy-testen:

Integrand-funksjonen er kontinuerlig på

konvergerer sammen med den tilsvarende upassende integralen.

! Merk:det resulterende tallet erer ikke summen av serien!!!

Eksempel 14 Undersøk serien for konvergens

Løsningen og prøvedesignet er på slutten av avsnittet som avsluttes.

For å fullstendig og ugjenkallelig mestre emnet nummerserier, besøk emnene.

Løsninger og svar:

Eksempel 3:Vi bruker d'Alemberts tegn:

Dermed serien som studeres divergerer.
Merk: Det var også mulig å bruke "turbo" løsningsmetoden: sirkle umiddelbart forholdet med en blyant, angi at det har en tendens til enhet og noter: "av samme rekkefølge av vekst."

Eksempel 5: Vi bruker d'Alemberts tegn: Dermed serien som studeres konvergerer.

Eksempel 8:

Dermed serien som studeres konvergerer.

Eksempel 10:
Vi bruker den radikale Cauchy-testen.

Dermed serien som studeres divergerer.
Merk: Her er basen grad, så

Eksempel 12: Vi bruker et integrert tegn.

Et endelig tall oppnås, som betyr serien som studeres konvergerer

Eksempel 14: Vi bruker integrertegnet
Integranden er kontinuerlig på .

Dermed serien som studeres divergerer sammen med den tilsvarende upassende integralen.
Merk: En serie kan også undersøkes ved hjelp avbegrensende kriterium for sammenligning . For å gjøre dette må du åpne parentesene under roten og sammenligne serien som studeres med den divergerende serien.

Vekslende rader. Leibniz sitt tegn. Eksempler på løsninger

For å forstå eksemplene i denne leksjonen, må du ha en god forståelse av positive tallserier: forstå hva en serie er, kjenne til det nødvendige tegnet for konvergens av en serie, kunne bruke sammenligningstester, d'Alemberts test , Cauchys test. Temaet kan tas opp nesten fra bunnen av ved å studere artiklene konsekvent Rader for dummies Og D'Alemberts tegn. Cauchys tegn. Logisk sett er denne leksjonen den tredje i rekken, og den lar deg ikke bare forstå de vekslende radene, men også konsolidere materialet som allerede er dekket! Det vil være lite nytt, og det vil ikke være vanskelig å mestre de vekslende radene. Alt er enkelt og tilgjengelig.

Hva er en alternerende serie? Dette er klart eller nesten klart av selve navnet. Bare et enkelt eksempel. La oss se på serien og beskrive den mer detaljert:

Og nå kommer det en drapskommentar. Medlemmene i en vekslende serie har vekslende fortegn: pluss, minus, pluss, minus, pluss, minus osv. til det uendelige.
Justering gir en multiplikator: hvis partall, vil det være et plusstegn, hvis oddetall, vil det være et minustegn. I matematisk sjargong kalles denne tingen en "blinker". Dermed blir en alternerende serie "identifisert" med minus én til graden "en".

I praktiske eksempler kan vekslingen av vilkårene i serien gis ikke bare av multiplikatoren, men også av dens søsken: , , , …. For eksempel:

Fallgruven er "bedrag": , , etc. - slike multiplikatorer ikke gi skiltskifte. Det er helt klart at for enhver naturlig: , , . Rader med bedrag sklir ikke bare til spesielt begavede studenter, de oppstår fra tid til annen "av seg selv" under løsningen funksjonell serie.

Hvordan undersøke en alternerende serie for konvergens? Bruk Leibniz sin test. Jeg vil ikke si noe om den tyske tankegiganten Gottfried Wilhelm Leibniz, siden han i tillegg til sine matematiske arbeider skrev flere bind om filosofi. Farlig for hjernen.

Leibniz sin test: Hvis medlemmene av en vekslende serie monotont reduksjon i modul, så konvergerer serien. Eller på to punkter:

2) Betingelsene for serien reduseres i absolutt verdi: . Dessuten avtar de monotont.

Hvis fullført både forhold, så konvergerer serien.

Kort informasjon om modulen er gitt i manualenHete formler skolekurs matematikere , men for enkelhets skyld nok en gang:

Hva betyr "modulo"? Modulen, som vi husker fra skolen, "spiser" minustegnet. La oss gå tilbake til raden. Mentalt slette alle skiltene med et viskelær og la oss se på tallene. Det får vi se hver neste seriemedlem mindre enn den forrige. Dermed betyr følgende setninger det samme:

– Medlemmer av serien uansett tegn er avtagende.
– Medlemmer av serien reduseres modulo.
– Medlemmer av serien reduseres i absolutt verdi.
– Modul den vanlige termen i serien har en tendens til null: Slutt på hjelp

La oss nå snakke litt om monotoni. Monotoni er kjedelig konsistens.

Medlemmer av serien strengt monotont reduksjon i modul hvis HVER NESTE medlem av serien modulo MINDRE enn tidligere: . Serien har en streng monotonisk reduksjon; den kan beskrives i detalj:

Eller vi kan si kort: hvert neste medlem av serien modulo mindre enn den forrige:.

Medlemmer av serien ikke strengt tatt ensformig reduksjon i modulo hvis HVER FØLGENDE medlem av serien modulo IKKE er STØRRE enn det forrige: . La oss vurdere en serie med en faktoriell: Det er en løs monotonisitet her, siden de to første leddene i serien er identiske i modul. Det vil si hvert neste medlem av serien modulo ikke mer enn den forrige:.

Under betingelsene i Leibniz' teorem må avtagende monotonisitet tilfredsstilles (det spiller ingen rolle om det er strengt eller ikke-strengt). I dette tilfellet kan medlemmer av serien jevn økning i modul i noen tid, men "halen" av serien må nødvendigvis være monotont avtagende. Det er ingen grunn til å være redd for det jeg har stablet opp; praktiske eksempler vil sette alt på sin plass:

Eksempel 1 Undersøk serien for konvergens

Den vanlige termen i serien inkluderer en faktor, som betyr at du må bruke Leibniz-kriteriet

1) Kontroller raden for veksling. Vanligvis på dette tidspunktet i avgjørelsen blir serien beskrevet i detalj og dommen "Serien er alternerende" blir uttalt.

2) Minker vilkårene i serien i absolutt verdi? Det er nødvendig å løse grensen, som oftest er veldig enkel.

– termene i serien reduseres ikke i modul. Forresten, det er ikke lenger nødvendig å diskutere monotonien i nedgangen. Konklusjon: serien divergerer.

Hvordan finne ut hva som er likt? Veldig enkelt. Som du vet, ødelegger modulen ulemper, så for å lage en, trenger du bare å fjerne det blinkende lyset fra taket. I dette tilfellet er den vanlige termen for serien . Vi fjerner dumt "blinklyset": .

Eksempel 2 Undersøk serien for konvergens

Vi bruker Leibniz sitt kriterium:

1) Serien er vekslende.

2) – betingelsene i serien reduseres i absolutt verdi. Hvert neste medlem av serien er mindre i absolutt verdi enn det forrige: reduksjonen er derfor monoton.

Konklusjon: serien konvergerer.

Alt ville vært veldig enkelt - men dette er ikke slutten på løsningen!

Hvis en serie konvergerer i henhold til Leibniz sin test, så sies det også at serien konvergerer betinget.

Hvis en serie sammensatt av moduler også konvergerer, så sier de at serien konvergerer absolutt.

Derfor er den andre fasen av å løse et typisk problem på agendaen - å studere tegnet til den alternerende serien for absolutt konvergens.

Det er ikke min feil - det er bare teorien om tallserier =)

La oss undersøke serien vår for absolutt konvergens.
La oss komponere en serie moduler - igjen fjerner vi ganske enkelt faktoren som sikrer veksling av tegn: - divergerer (harmoniske serier).

Altså vår serie er ikke absolutt konvergent.
Serie under utredning konvergerer kun betinget.

Legg merke til at i eksempel nr. 1 er det ikke nødvendig å studere ikke-absolutt konvergens, siden det ved første trinn ble konkludert med at serien divergerer.

Vi samler inn bøtter, spader, biler og forlater sandkassen for å se på verden med vidåpne øyne fra hytta på gravemaskinen min:

Eksempel 3 Undersøk serien for konvergens. Vi bruker Leibniz-kriteriet:

1)
Denne serien er vekslende.

2) – betingelsene i serien reduseres i absolutt verdi. Hvert neste medlem av serien er mindre i absolutt verdi enn det forrige: dette betyr at nedgangen er monoton. Konklusjon: Serien konvergerer.

Ved å analysere fyllingen av serien kommer vi til den konklusjon at her er det nødvendig å bruke det begrensende kriteriet for sammenligning. Det er mer praktisk å åpne parentesene i nevneren:

La oss sammenligne denne serien med en konvergent serie. Vi bruker det begrensende kriteriet for sammenligning.

Et endelig tall forskjellig fra null oppnås, som betyr at serien konvergerer med serien. Serie under utredning konvergerer absolutt.

Eksempel 4 Undersøk serien for konvergens

Eksempel 5 Undersøk serien for konvergens

Dette er eksempler du kan bestemme selv. Full løsning og prøvedesign på slutten av avsnittet.

Som du kan se, er alternerende rader enkle og kjedelige! Men ikke skynd deg å lukke siden, på bare et par skjermer vil vi se på en sak som forvirrer mange. I mellomtiden, et par flere eksempler for øvelse og repetisjon.

Eksempel 6 Undersøk serien for konvergens

Vi bruker Leibniz sitt kriterium.
1) Serien er vekslende.
2)
Termene for serien reduseres i modul. Hvert neste medlem av serien er mindre i absolutt verdi enn det forrige, noe som betyr at nedgangen er monoton. Konklusjon: serien konvergerer.

Vær oppmerksom på at jeg ikke har beskrevet medlemmene i serien i detalj. Det er alltid tilrådelig å beskrive dem, men på grunn av uimotståelig latskap i "vanskelige" tilfeller, kan du begrense deg til uttrykket "Serien veksler i tegn." Forresten, det er ikke nødvendig å behandle dette punktet formelt, vi sjekker alltid(i hvert fall mentalt) at serien faktisk veksler. Et raskt blikk mislykkes, og en feil blir gjort automatisk. Husk "bedragene", , , hvis de eksisterer, må du bli kvitt dem, få en "vanlig" serie med positive termer.

Den andre subtiliteten gjelder frasen om monotoni, som jeg også forkortet så mye som mulig. Du kan gjøre dette, og nesten alltid vil oppgaven din bli akseptert. Jeg vil si noe helt dårlig - personlig tier jeg ofte om monotoni, og et slikt tall passerer. Men vær forberedt på å beskrive alt i detalj, ned til detaljerte kjeder av ulikheter (se eksempel i begynnelsen av leksjonen). I tillegg er monotonien noen ganger ikke streng, og dette må også overvåkes for å erstatte ordet "mindre" med ordet "ikke mer".

Vi undersøker serien for absolutt konvergens:

Selvfølgelig må du bruke den radikale Cauchy-testen:

Dermed konvergerer serien. Serie under utredning konvergerer absolutt.

Eksempel 7 Undersøk serien for konvergens

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning Ofte er det vekslende rader som skaper vanskeligheter.

Eksempel 8 Undersøk serien for konvergens

Vi bruker Leibniz sitt kriterium:
1) Serien er vekslende.

Poenget er at det ikke finnes standard, dagligdagse teknikker for å løse slike grenser. Hvor går denne grensen? Til null, til uendelig? Det som er viktig her er HVA som vokser raskere i det uendelige– teller eller nevner.

MERK: konseptet med vekstrekkefølge for en funksjon er dekket i detalj i artikkelenMetoder for å løse grenser . Vi har sekvensgrenser, men dette endrer ikke essensen.

Hvis telleren ved vokser raskere enn faktoren, så . Hvis faktorialet i det uendelige vokser raskere enn telleren, vil den tvert imot "trekke" grensen til null: . Eller kanskje denne grensen er lik et eller annet tall som ikke er null?

La oss prøve å skrive ned de første par termene i serien:
du kan erstatte et polynom av tusende grad, dette igjen vil ikke endre situasjonen - før eller siden vil faktorialet fortsatt "overta" et så forferdelig polynom. Faktoriell mer høy orden vekst enn noen kraftsekvens.

– Fabrikken vokser raskere enn produkt uansett mengde eksponential- og potenssekvenser (vårt tilfelle).

– Noen en eksponentiell sekvens vokser raskere enn noen potenssekvens, for eksempel: , . Eksponentiell sekvens høyere vekstorden enn noen kraftsekvens. I likhet med faktorialet "drar" den eksponentielle sekvensen produktet av et hvilket som helst antall potenssekvenser eller polynomer: .

– Finnes det noe «kulere» enn faktorielt? Spise! En potenseksponentiell sekvens ("en" til potensen "en") vokser raskere enn den faktorielle. I praksis er det sjelden, men informasjonen vil ikke være overflødig. Slutt på hjelp

Dermed kan det andre punktet i studien (husker du fortsatt dette? =)) skrives som følger:
2) , siden vekstrekkefølgen er høyere enn .
Termene for serien reduseres i modul, starter fra et tall, i dette tilfellet er hvert neste medlem av serien mindre i absolutt verdi enn det forrige, og reduksjonen er derfor monoton.

Konklusjon: serien konvergerer.

Her er akkurat det merkelige tilfellet når betingelsene i serien først øker i absolutt verdi, og det er grunnen til at vi hadde en feilaktig oppfatning om grensen. Men, starter fra et tall "en", faktorialet blir forbigått av telleren, og "halen" av serien blir monotont avtagende, noe som er grunnleggende viktig for å oppfylle betingelsene i Leibniz' teorem. Hva akkurat denne «no» tilsvarer er ganske vanskelig å finne ut.

I følge det tilsvarende teoremet, fra seriens absolutte konvergens, følger seriens betingede konvergens. Konklusjon: Studieserie konvergerer absolutt.

Og til slutt, et par eksempler som du kan bestemme selv. En fra samme opera (les hjelpen på nytt), men enklere. En annen for gourmeter er å konsolidere det integrerte tegnet på konvergens.

Eksempel 9 Undersøk serien for konvergens

Eksempel 10 Undersøk serien for konvergens

Etter en høykvalitets studie av numeriske positive og vekslende serier, kan du med god samvittighet gå videre til funksjonell serie, som ikke er mindre monotone og monotone er interessante.

Løsninger og svar:

Eksempel 4: Vi bruker Leibniz-kriteriet:

1) Denne serien er vekslende.
2)
Termene i serien reduseres ikke i modul. Konklusjon: Serien divergerer.. , i dette tilfellet er hvert neste medlem av serien mindre i absolutt verdi enn det forrige, og reduksjonen er derfor monoton.

Dermed divergerer serien sammen med den tilsvarende upassende integralen. Serie under utredning konvergerer kun betinget.

Denne artikkelen samler inn og strukturerer informasjonen som er nødvendig for å løse nesten alle eksempler på emnet tallserier, fra å finne summen av en serie til å undersøke den for konvergens.

Gjennomgang av artikkelen.

La oss starte med definisjonene av positive og alternerende serier og begrepet konvergens. Deretter vil vi vurdere standardrekker, slik som den harmoniske serien, den generaliserte harmoniske serien, og huske formelen for å finne summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon. Etter dette vil vi gå videre til egenskapene til konvergerende serier, dvele ved den nødvendige betingelsen for konvergens av serien og angi tilstrekkelige kriterier for konvergens av serien. Vi vil utvanne teorien med løsninger på typiske eksempler med detaljerte forklaringer.

Sidenavigering.

Grunnleggende definisjoner og begreper.

La oss ha en tallrekke hvor .

Her er et eksempel på en tallsekvens: .

Nummerserie er summen av leddene til en numerisk sekvens av formen .

Som et eksempel nummerserie du kan gi summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon med nevneren q = -0,5: .

Kalt felles medlem av nummerserien eller det kth medlemmet av serien.

For det forrige eksemplet har den generelle termen for tallserien formen .

Delsum av en tallserie er en sum av formen , der n er noen naturlig tall. også kalt den n'te partielle summen av en tallserie.

For eksempel den fjerde delsummen av serien Det er .

Delbeløp danne en uendelig rekkefølge delbeløp nummerserie.

For vår serie er den n-te partielle summen funnet ved å bruke formelen for summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon , det vil si at vi vil ha følgende sekvens med delsummer: .

Nummerserien kalles konvergent, hvis det er en begrenset grense for rekkefølgen av delsummer. Hvis grensen for sekvensen av delsummer av en tallserie ikke eksisterer eller er uendelig, kalles serien avvikende.

Summen av en konvergent tallserie kalles grensen for sekvensen av dens delsummer, det vil si, .

I vårt eksempel er derfor serien konvergerer, og summen er lik seksten tredjedeler: .

Et eksempel på en divergerende serie er summen av en geometrisk progresjon med en nevner større enn én: . Den n-te delsummen bestemmes av uttrykket , og grensen for delsummer er uendelig: .

Et annet eksempel på en divergerende tallserie er summen av formen . I dette tilfellet kan den n-te delsummen beregnes som . Grensen for delsummer er uendelig .

Summen av skjemaet kalt harmoniske tallserier.

Summen av skjemaet , der s er et reelt tall, kalles generalisert av harmoniske tallserier.

Definisjonene ovenfor er tilstrekkelige til å rettferdiggjøre følgende svært ofte brukte utsagn; vi anbefaler at du husker dem.

DEN HARMONISKE SERIEN ER DIVERGERENDE.

La oss bevise divergensen til den harmoniske serien.

La oss anta at serien konvergerer. Så er det en begrenset grense for dens delsum. I dette tilfellet kan vi skrive og , som fører oss til likheten .

På den andre siden,

Følgende ulikheter er hevet over tvil. Dermed, . Den resulterende ulikheten indikerer for oss at likheten kan ikke oppnås, noe som motsier vår antagelse om konvergensen til den harmoniske serien.

Konklusjon: den harmoniske serien divergerer.

SUMMEN AV GEOMETRISK PROGRESJON AV SLAGET MED NEVNER q ER EN KONVERGERENDE NUMERISK SERIE IF, OG EN AVVIKENDE SERIE FOR.

La oss bevise det.

Vi vet at summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon finnes av formelen .

Når rettferdig

som indikerer konvergensen til tallserien.

For q = 1 har vi tallrekken . Dens delsummer finnes som , og grensen for delsummer er uendelig , som indikerer divergensen til serien i dette tilfellet.

Hvis q = -1, vil tallserien ha formen . Delsummer har verdi for oddetall n, og for partall n. Av dette kan vi konkludere med at det ikke er noen grense for delsummer og seriene divergerer.

Når rettferdig

som indikerer divergensen til tallserien.

GENERELT KONVERGERER DEN HARMONISKE SERIEN VED s > 1 OG AVVIKER PÅ .

Bevis.

For s = 1 får vi en harmonisk serie, og ovenfor etablerte vi dens divergens.

På s ulikheten gjelder for alle naturlige k. På grunn av divergensen til den harmoniske serien, kan det hevdes at sekvensen av dens partielle summer er ubegrenset (siden det ikke er noen endelig grense). Da er sekvensen av partielle summer av en tallserie desto mer ubegrenset (hvert medlem av denne serien er større enn det tilsvarende medlemmet av den harmoniske serien); derfor divergerer den generaliserte harmoniske serien som s.

Det gjenstår å bevise konvergensen til serien for s > 1.

La oss skrive ned forskjellen:

Så klart, da

La oss skrive ned den resulterende ulikheten for n = 2, 4, 8, 16, …

Ved å bruke disse resultatene kan du gjøre følgende med den originale nummerserien:

Uttrykk er summen av en geometrisk progresjon hvis nevner er . Siden vi vurderer saken for s > 1, da. Derfor
. Dermed er sekvensen av partielle summer av en generalisert harmonisk serie for s > 1 økende og samtidig begrenset ovenfra av verdien , derfor har den en grense, som indikerer konvergensen til serien. Beviset er komplett.

Nummerserien kalles positivt tegn, hvis alle vilkårene er positive, det vil si, .

Nummerserien kalles signalvekslende, hvis tegnene til dens nabomedlemmer er forskjellige. En vekslende tallserie kan skrives som eller , Hvor .

Nummerserien kalles vekslende tegn, hvis den inneholder et uendelig antall både positive og negative termer.

En alternerende nummerserie er et spesialtilfelle av en alternerende nummerserie.

Rader

er henholdsvis positive, vekslende og vekslende.

For en alternerende serie er det begrepet absolutt og betinget konvergens.

absolutt konvergent, hvis en serie med absolutte verdier av medlemmene konvergerer, det vil si at en positiv tallserie konvergerer.

For eksempel tallserier Og konvergerer absolutt, siden serien konvergerer , som er summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon.

En alternerende serie kalles betinget konvergent, hvis serien divergerer og serien konvergerer.

Et eksempel på en betinget konvergent tallserie er serien . Nummerserie , sammensatt av de absolutte verdiene av vilkårene i den originale serien, divergerende, siden den er harmonisk. Samtidig er den originale serien konvergent, noe som enkelt etableres ved hjelp av . Dermed er talltegnet en vekslende serie betinget konvergent.

Egenskaper for konvergerende tallserier.

Eksempel.

Bevis konvergensen til tallserien.

Løsning.

La oss skrive serien i en annen form . Tallserien konvergerer, siden den generaliserte harmoniske rekken er konvergent for s > 1, og på grunn av den andre egenskapen til konvergente tallserier, vil rekken med den numeriske koeffisienten også konvergere.

Eksempel.

Konvergerer tallserien?

Løsning.

La oss forvandle den originale serien: . Dermed har vi fått summen av to tallserier og , og hver av dem konvergerer (se forrige eksempel). Følgelig, i kraft av den tredje egenskapen til konvergerende tallserier, konvergerer den opprinnelige serien også.

Eksempel.

Bevis konvergensen til en tallserie og beregne beløpet.

Løsning.

Denne tallserien kan representeres som forskjellen mellom to serier:

Hver av disse seriene representerer summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon og er derfor konvergent. Den tredje egenskapen til konvergerende serier lar oss hevde at den opprinnelige tallserien konvergerer. La oss beregne summen.

Det første leddet i serien er ett, og nevneren for den tilsvarende geometriske progresjonen er lik 0,5, derfor .

Det første leddet i serien er 3, og nevneren for den tilsvarende uendelig avtagende geometriske progresjonen er 1/3, så .

La oss bruke resultatene som er oppnådd for å finne summen av den opprinnelige tallserien:

En nødvendig betingelse for konvergens av en serie.

Hvis en tallserie konvergerer, er grensen for dens kth ledd lik null: .

Når du undersøker en tallserie for konvergens, er det første du må sjekke oppfyllelsen av den nødvendige konvergensbetingelsen. Unnlatelse av å oppfylle denne betingelsen indikerer divergensen til tallserien, det vil si hvis , så divergerer serien.

På den annen side må du forstå at denne tilstanden ikke er tilstrekkelig. Det vil si at oppfyllelsen av likhet ikke indikerer konvergensen av tallserien. For eksempel, for en harmonisk serie er den nødvendige betingelsen for konvergens oppfylt, og serien divergerer.

Eksempel.

Undersøk en tallserie for konvergens.

Løsning.

La oss sjekke den nødvendige betingelsen for konvergens av en tallserie:

Grense Det n-te leddet i tallserien er ikke lik null, derfor divergerer serien.

Tilstrekkelige tegn på konvergens av en positiv serie.

Når du bruker tilstrekkelige funksjoner for å studere tallserier for konvergens, støter du stadig på problemer, så vi anbefaler å gå til denne delen hvis du har noen problemer.

Nødvendig og tilstrekkelig betingelse for konvergens av en positiv tallserie.

For konvergens av en positiv tallserie det er nødvendig og tilstrekkelig at sekvensen av dens delsummer er avgrenset.

La oss starte med tegnene på å sammenligne serier. Essensen deres ligger i å sammenligne den numeriske serien som studeres med en serie hvis konvergens eller divergens er kjent.

Det første, andre og tredje tegn på sammenligning.

Det første tegnet på sammenligning av serier.

La og være to positive tallserier og ulikheten gjelder for alle k = 1, 2, 3, ... Da innebærer konvergensen av serien konvergensen, og divergensen til serien innebærer divergensen til .

Det første sammenligningskriteriet brukes veldig ofte og er et veldig kraftig verktøy for å studere tallserier for konvergens. Hovedproblemet er å velge en passende serie for sammenligning. En serie for sammenligning velges vanligvis (men ikke alltid) slik at eksponenten til dens kth ledd er lik differansen mellom eksponentene til telleren og nevneren til det kth leddet i den numeriske serien som studeres. La for eksempel forskjellen mellom eksponentene til telleren og nevneren være lik 2 – 3 = -1, derfor velger vi for sammenligning en serie med kth ledd, det vil si en harmonisk serie. La oss se på noen få eksempler.

Eksempel.

Etablere konvergens eller divergens av en serie.

Løsning.

Siden grensen for den generelle termen til serien er lik null, er den nødvendige betingelsen for konvergens av serien oppfylt.

Det er lett å se at ulikheten er sann for alle naturlige k. Vi vet at den harmoniske serien er divergerende; derfor, ved det første sammenligningskriteriet, er den originale serien også divergent.

Eksempel.

Undersøk tallserien for konvergens.

Løsning.

Forutsetning konvergens av tallserien er tilfredsstilt, siden . Ulikheten er åpenbar for enhver naturverdi av k. Serien konvergerer, siden den generaliserte harmoniske serien er konvergent for s > 1. Dermed lar det første tegnet på sammenligning av serier oss oppgi konvergensen til den opprinnelige nummerserien.

Eksempel.

Bestem konvergensen eller divergensen til en tallserie.

Løsning.

, derfor er den nødvendige betingelsen for konvergens av tallserien oppfylt. Hvilken rad skal jeg velge for sammenligning? En tallserie antyder seg selv, og for å bestemme oss for s undersøker vi tallrekkefølgen nøye. Vilkårene i en tallsekvens øker mot uendelig. Med utgangspunkt i et tall N (nemlig fra N = 1619), vil vilkårene i denne sekvensen være større enn 2. Med utgangspunkt i dette tallet N er ulikheten sann. En tallserie konvergerer på grunn av den første egenskapen til konvergent serie, siden den er hentet fra en konvergent serie ved å forkaste de første N – 1 leddene. Ved den første sammenligningsegenskapen er altså serien konvergent, og i kraft av den første egenskapen til konvergerende tallserier vil serien også konvergere.

Det andre tegnet på sammenligning.

La og være positive tallrekker. Hvis , så innebærer konvergensen av serien konvergensen til . Hvis , så innebærer divergensen av tallserien divergensen til .

Konsekvens.

Hvis og , så innebærer konvergensen av en serie konvergensen til den andre, og divergensen innebærer divergens.

Vi undersøker serien for konvergens ved å bruke det andre sammenligningskriteriet. Som en serie tar vi en konvergent serie. La oss finne grensen for forholdet mellom de kth leddene i tallserien:

I henhold til det andre sammenligningskriteriet, fra konvergensen til en tallserie, følger konvergensen til den opprinnelige serien.

Eksempel.

Undersøk konvergensen til en tallserie.

Løsning.

La oss sjekke den nødvendige betingelsen for konvergens av serien . Vilkåret er oppfylt. For å bruke det andre sammenligningskriteriet, la oss ta den harmoniske serien. La oss finne grensen for forholdet mellom de kth leddene:

Følgelig, fra divergensen til den harmoniske serien, følger divergensen til den opprinnelige serien i henhold til det andre sammenligningskriteriet.

Til informasjon presenterer vi det tredje kriteriet for å sammenligne serier.

Det tredje tegnet på sammenligning.

La og være positive tallrekker. Hvis betingelsen er oppfylt fra et tall N, innebærer konvergens av serien konvergens, og divergens av serien innebærer divergens.

D'Alemberts tegn.

Kommentar.

D'Alemberts test er gyldig hvis grensen er uendelig, det vil si hvis , så konvergerer serien if , så divergerer serien.

Hvis , gir ikke d'Alemberts test informasjon om konvergensen eller divergensen til serien, og ytterligere forskning er nødvendig.

Eksempel.

Undersøk en tallserie for konvergens ved hjelp av d'Alemberts test.

Løsning.

La oss sjekke oppfyllelsen av den nødvendige betingelsen for konvergens av en tallserie; beregn grensen ved å bruke:

Vilkåret er oppfylt.

La oss bruke d'Alemberts tegn:

Dermed konvergerer serien.

Radikalt Cauchy-skilt.

La være en positiv tallserie. Hvis , så konvergerer tallserien, hvis , så divergerer serien.

Kommentar.

Cauchys radikale test er gyldig hvis grensen er uendelig, det vil si hvis , så konvergerer serien if , så divergerer serien.

Hvis , gir den radikale Cauchy-testen ikke informasjon om konvergensen eller divergensen til serien, og ytterligere forskning er nødvendig.

Det er vanligvis ganske enkelt å se tilfeller der det er best å bruke den radikale Cauchy-testen. Et typisk tilfelle er når den generelle termen i en tallserie er et eksponentielt potensuttrykk. La oss se på noen få eksempler.

Eksempel.

Undersøk en positiv tallserie for konvergens ved å bruke den radikale Cauchy-testen.

Løsning.

. Ved å bruke den radikale Cauchy-testen vi oppnår .

Derfor konvergerer serien.

Eksempel.

Konvergerer tallserien? .

Løsning.

La oss bruke den radikale Cauchy-testen , derfor konvergerer tallserien.

Integrert Cauchy-test.

La være en positiv tallserie. La oss lage en funksjon av kontinuerlig argument y = f(x) som ligner på funksjonen. La funksjonen y = f(x) være positiv, kontinuerlig og avtagende på intervallet , hvor ). Så i tilfelle konvergens feil integral tallseriene som studeres konvergerer. Hvis den uriktige integralen divergerer, divergerer den originale serien også.

Når du sjekker reduksjonen av funksjonen y = f(x) på et intervall, kan teorien fra avsnitt være nyttig for deg.

Eksempel.

Undersøk en tallserie med positive termer for konvergens.

Løsning.

Den nødvendige betingelsen for konvergens av serien er oppfylt, siden . La oss vurdere funksjonen. Det er positivt, kontinuerlig og avtagende på intervallet. Kontinuiteten og positiviteten til denne funksjonen er hevet over tvil, men la oss dvele ved nedgangen litt mer detaljert. La oss finne den deriverte:
. Den er negativ på intervallet, derfor avtar funksjonen på dette intervallet.

Tegn på seriekonvergens.
D'Alemberts tegn. Cauchys tegn

Arbeid, arbeid – og forståelse kommer senere
J.L. d'Alembert

Gratulerer til alle med start skoleår! I dag er det 1. september, og til ære for høytiden bestemte jeg meg for å introdusere leserne for det du har gledet deg til og ivrig etter å vite lenge - tegn på konvergens av numeriske positive serier. Første septemberferien og gratulasjonene mine er alltid relevante, det er greit hvis det faktisk er sommer ute, du tar nå eksamen på nytt for tredje gang, studer hvis du har besøkt denne siden!

For de som akkurat har begynt å studere serier anbefaler jeg at du først leser artikkelen Nummerserie for dummies. Egentlig er denne vognen en fortsettelse av banketten. Så i dag i leksjonen vil vi se på eksempler og løsninger på emnene:

Et av de vanlige sammenligningstegnene som finnes i praktiske eksempler er D'Alembert-tegnet. Cauchys tegn er mindre vanlige, men også veldig populære. Som alltid vil jeg prøve å presentere materialet enkelt, tilgjengelig og forståelig. Temaet er ikke det vanskeligste, og alle oppgaver er til en viss grad standard.

D'Alemberts konvergenstest

Jean Leron d'Alembert var en berømt fransk matematiker på 1700-tallet. Generelt spesialiserte d’Alembert seg i differensialligninger og studerte, basert på hans forskning, ballistikk slik at Hans Majestets kanonkuler skulle fly bedre. Samtidig glemte jeg ikke nummerserien; det var ikke for ingenting at rekkene til Napoleons tropper senere konvergerte og divergerte så tydelig.

Før du formulerer selve tegnet, la oss vurdere et viktig spørsmål:
Når bør D'Alemberts konvergenstest brukes?

1) Nevneren inneholder et polynom.
2) Polynomer er både i teller og nevner.
3) Ett eller begge polynomene kan være under roten.
4) Selvfølgelig kan det være flere polynomer og røtter.

Hovedforutsetningene for bruk av d'Alemberts test er som følger:

1) Den vanlige termen for serien ("fylling" av serien) inkluderer til en viss grad et tall, for eksempel , , og så videre. Dessuten spiller det ingen rolle i det hele tatt hvor denne tingen er plassert, i telleren eller i nevneren - det som betyr noe er at den er til stede der.

2) Den vanlige termen for serien inkluderer faktoren. Vi krysset sverd med faktorialer tilbake i leksjonen Tallrekkefølgen og dens grense. Det vil imidlertid ikke skade å spre ut den selvmonterte duken igjen:

…

…

! Når vi bruker d'Alemberts test, må vi beskrive faktoren i detalj. Som i forrige avsnitt, kan faktoren være plassert øverst eller nederst i brøken.

3) Hvis det i den generelle termen av serien er en "kjede av faktorer", for eksempel, . Denne saken er sjelden, men! Når man studerer en slik serie, blir det ofte gjort feil – se eksempel 6.

Sammen med potenser og/eller faktorialer finnes polynomer ofte i utfyllingen av en serie; dette endrer ikke situasjonen - du må bruke D'Alemberts tegn.

D'Alemberts tegn: La oss vurdere positive tallserier. Hvis det er en grense for forholdet mellom den påfølgende termen og den forrige: , da:
a) Når rad konvergerer
b) Når rad divergerer
c) Når skiltet gir ikke svar. Du må bruke et annet tegn. Oftest oppnås en i tilfellet når de prøver å bruke D'Alembert-testen hvor det er nødvendig å bruke den begrensende sammenligningstesten.

For de som fortsatt har problemer med grenser eller misforståelser av grenser, se leksjonen Grenser. Eksempler på løsninger. Uten forståelse av grensen og evnen til å avsløre usikkerhet, kan man dessverre ikke komme videre.

Og nå de etterlengtede eksemplene.

Eksempel 1

Vi ser at i den generelle termen av serien har vi , og dette er en sikker forutsetning for å bruke d'Alemberts test. Først den fullstendige løsningen og prøvedesignet, kommenterer nedenfor.

Vi bruker d'Alemberts tegn:

konvergerer.
(1) Vi komponerer forholdet mellom neste medlem av serien og det forrige: . Fra betingelsen ser vi at den generelle termen for serien er . For å få neste medlem av serien trenger du I STEDET for å erstatte: .
(2) Vi blir kvitt den fire-etasjers brøken. Hvis du har litt erfaring med løsningen, kan du hoppe over dette trinnet.
(3) Åpne parentesene i telleren. I nevneren tar vi de fire ut av potensen.
(4) Reduser med . Vi tar konstanten forbi grensetegnet. I telleren presenterer vi lignende termer i parentes.
(5) Usikkerhet elimineres på standard måte - ved å dele telleren og nevneren med "en" til høyeste potens.
(6) Vi deler tellerne ledd for ledd med nevnerne, og angir leddene som har en tendens til null.
(7) Vi forenkler svaret og noterer oss at med konklusjonen at, i henhold til D’Alemberts kriterium, konvergerer serien som studeres.

Eksempel 2

La oss ta en lignende serie og undersøke den for konvergens

Først den komplette løsningen, deretter kommentarer:

Vi bruker d'Alemberts tegn:

Dermed serien som studeres konvergerer.

(1) Vi skaper relasjonen .

(3) Tenk på uttrykket i telleren og uttrykket i nevneren. Vi ser at i telleren må vi åpne parentesene og heve dem til fjerde potens: , som vi absolutt ikke vil gjøre. Og for de som ikke er kjent med Newtons binomiale, vil denne oppgaven være enda vanskeligere. La oss analysere de høyere gradene: hvis vi åpner parentesene øverst , så får vi en seniorgrad. Nedenfor har vi samme seniorgrad: . I analogi med forrige eksempel er det åpenbart at når vi deler teller- og nevnerleddet på ledd, ender vi opp med én i grensen. Eller, som matematikere sier, polynomer Og - samme vekstrekkefølge. Dermed er det fullt mulig å skissere sammenhengen med en enkel blyant og umiddelbart indikerer at denne tingen har en tendens til en. Vi håndterer det andre paret med polynomer på samme måte: og de også samme vekstrekkefølge, og deres forhold har en tendens til enhet.

Faktisk kunne et slikt "hack" blitt trukket av i eksempel nr. 1, men for et polynom av 2. grad ser en slik løsning fortsatt uverdig ut. Personlig gjør jeg dette: hvis det er et polynom (eller polynomer) av første eller andre grad, bruker jeg den "lange" metoden for å løse eksempel 1. Hvis jeg kommer over et polynom av 3. eller høyere grad, bruker jeg "turbo"-metode som ligner på eksempel 2.

Eksempel 3

Undersøk serien for konvergens

La oss se på typiske eksempler med faktorialer:

Eksempel 4

Undersøk serien for konvergens

Den vanlige betegnelsen for serien inkluderer både graden og faktoren. Det er klart som dagen at d'Alemberts skilt må brukes her. La oss bestemme.

Dermed serien som studeres divergerer.
(1) Vi skaper relasjonen . Vi gjentar igjen. Etter betingelse er den vanlige termen for serien: . For å få neste semester i rekken, i stedet må du erstatte, Dermed: .
(2) Vi blir kvitt den fire-etasjers brøken.
(3) Klyp av de syv fra graden. Vi beskriver factorials i detalj. Slik gjør du dette - se begynnelsen av leksjonen eller artikkelen om tallrekker.
(4) Vi kutter alt som kan kuttes.
(5) Vi flytter konstanten forbi grensetegnet. Åpne parentesene i telleren.
(6) Vi eliminerer usikkerhet på standard måte - ved å dele telleren og nevneren med "en" til høyeste potens.

Eksempel 5

Undersøk serien for konvergens

Full løsning og prøvedesign på slutten av leksjonen

Eksempel 6

Undersøk serien for konvergens

Fra utvidelsen ser vi at hvert neste medlem av serien har en tilleggsfaktor lagt til nevneren, derfor hvis det felles medlemmet av serien , deretter neste medlem av serien:
. Det er her de ofte automatisk gjør en feil, og skriver formelt i henhold til algoritmen som

En eksempelløsning kan se slik ut:

Vi bruker d'Alemberts tegn:

Dermed serien som studeres konvergerer.

Radical Cauchys tegn

Augustin Louis Cauchy er en enda mer kjent fransk matematiker. Enhver ingeniørstudent kan fortelle deg Cauchys biografi. I de mest pittoreske farger. Det er ingen tilfeldighet at dette navnet er skåret ut i første etasje i Eiffeltårnet.

Cauchys konvergenstest for positive tallserier ligner noe på D'Alemberts test som nettopp ble diskutert.

Radical Cauchys tegn: La oss vurdere positive tallserier. Hvis det er en grense: , så:
a) Når rad konvergerer. Spesielt konvergerer serien kl.
b) Når rad divergerer. Spesielt divergerer serien ved .
c) Når skiltet gir ikke svar. Du må bruke et annet tegn. Det er interessant å merke seg at hvis Cauchys test ikke gir oss svar på spørsmålet om konvergensen til en serie, så vil heller ikke D'Alemberts test gi svar. Men hvis d'Alemberts test ikke gir et svar, kan Cauchys test "fungere". Det vil si at Cauchy-tegnet i denne forstand er et sterkere tegn.

Når bør du bruke det radikale Cauchy-tegnet? Den radikale Cauchy-testen brukes vanligvis i tilfeller der roten "gode" er hentet fra et vanlig medlem av serien. Som regel er denne pepperen i en grad som avhenger av. Det er også eksotiske saker, men vi vil ikke bekymre oss for dem.

Eksempel 7

Undersøk serien for konvergens

Vi ser at brøkdelen er fullstendig under en makt avhengig av "en", noe som betyr at vi må bruke den radikale Cauchy-testen:

Dermed serien som studeres divergerer.

(1) Vi formulerer den vanlige termen for serien under roten.

(2) Vi omskriver det samme, bare uten roten, ved å bruke egenskapen grader.
(3) I indikatoren deler vi telleren med nevneren ledd for ledd, noe som indikerer at
(4) Som et resultat har vi usikkerhet. Her kan du gå den lange veien: kube, kube, deretter dele telleren og nevneren med "en" terninger. Men i dette tilfellet er det en mer effektiv løsning: denne teknikken kan brukes direkte under konstant grad. For å eliminere usikkerhet, del telleren og nevneren med (den høyeste potensen av polynomene).

(5) Vi utfører termin-for-term-deling og angir begrepene som har en tendens til null.
(6) Vi bringer svaret til oss, markerer hva vi har og konkluderer med at serien divergerer.

Her er et enklere eksempel for deg å løse på egen hånd:

Eksempel 8

Undersøk serien for konvergens

Og et par mer typiske eksempler.

Full løsning og prøvedesign på slutten av leksjonen

Eksempel 9

Undersøk serien for konvergens
Vi bruker den radikale Cauchy-testen:

Dermed serien som studeres konvergerer.

(1) Plasser den vanlige termen for serien under roten.

(2) Vi omskriver det samme, men uten roten, mens vi åpner parentesene ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen: .
(3) I indikatoren deler vi telleren med nevneren ledd for ledd og indikerer at .
(4) Det oppnås en usikkerhet på formen, og også her kan deling utføres direkte under graden. Men med en betingelse: koeffisientene til de høyere potensene til polynomene må være forskjellige. Våre er forskjellige (5 og 6), og derfor er det mulig (og nødvendig) å dele begge etasjene i . Hvis disse koeffisientene er det samme, for eksempel (1 og 1): , da fungerer ikke et slikt triks og du må bruke andre fantastiske grensen. Hvis du husker, ble disse finessene diskutert i siste avsnitt av artikkelen Metoder for å løse grenser.

(5) Vi utfører faktisk termin-for-term-deling og indikerer hvilke begreper som har en tendens til null.
(6) Usikkerheten er eliminert, vi sitter igjen med den enkleste grensen: . Hvorfor inn uendelig stor har en tendens til null? Fordi grunnlaget for graden tilfredsstiller ulikheten. Hvis noen er i tvil om rimeligheten av grensen , da vil jeg ikke være lat, jeg tar opp en kalkulator:
Hvis da
Hvis da
Hvis da
Hvis da
Hvis da
… etc. til det uendelige - det vil si i grensen:

Bare sånn uendelig avtagende geometrisk progresjon på fingrene =)
! Bruk aldri denne teknikken som bevis! For bare fordi noe er åpenbart, betyr det ikke at det er riktig.

(7) Vi indikerer at vi konkluderer med at serien konvergerer.

Eksempel 10

Undersøk serien for konvergens

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.

Integrert Cauchy-test

Eller bare et integrert tegn. Jeg vil skuffe de som ikke forsto det første kursmaterialet godt. For å bruke Cauchy-integraltesten må du være mer eller mindre trygg på å finne derivater, integraler og også ha evnen til å regne feil integral første typen.

I lærebøker om matematisk analyse integrert Cauchy-test gitt matematisk strengt, men for forvirrende, så jeg vil formulere tegnet ikke for strengt, men tydelig:

La oss vurdere positive tallserier. Hvis det er et upassende integral, konvergerer eller divergerer serien sammen med dette integralet.

Og bare noen eksempler for klargjøring:

Eksempel 11

Undersøk serien for konvergens

Nesten en klassiker. Naturlig logaritme og noe tull.

Hovedforutsetningen for å bruke Cauchy integraltesten er er det faktum at den generelle termen i serien inneholder faktorer som ligner på en viss funksjon og dens deriverte. Fra emne

D'Alemberts konvergenstest Radical Cauchy konvergenstest Integral Cauchy konvergenstest

Før du formulerer selve tegnet, la oss vurdere et viktig spørsmål:
Når bør D'Alemberts konvergenstest brukes?

Hovedforutsetningene for bruk av d'Alemberts test er som følger:

2) Den vanlige termen for serien inkluderer faktoren. Vi krysset sverd med factorials tilbake i klassen Nummerrekkefølge og dens grense. Det vil imidlertid ikke skade å spre ut den selvmonterte duken igjen:

…

…

! Når vi bruker d'Alemberts test, må vi beskrive faktoren i detalj. Som i forrige avsnitt, kan faktoren være plassert øverst eller nederst i brøken.

3) Hvis det i den generelle termen av serien er en "kjede av faktorer", for eksempel . Denne saken er sjelden, men! Når man studerer en slik serie, blir det ofte gjort feil – se eksempel 6.

Sammen med potenser og/eller faktorialer finnes polynomer ofte i utfyllingen av en serie; dette endrer ikke situasjonen - du må bruke D'Alemberts tegn.

I tillegg, i en felles term av en serie kan både en grad og en faktoriell forekomme samtidig; det kan være to faktorer, to grader, det er viktig at det er i det minste noe de vurderte punktene - og dette er nettopp forutsetningen for å bruke D'Alembert-tegnet.

D'Alemberts tegn: La oss vurdere positive tallserier. Hvis det er en grense for forholdet mellom den påfølgende termen og den forrige: , da:
a) Når rad konvergerer. Spesielt konvergerer serien kl.
b) Når rad divergerer. Spesielt divergerer serien ved .
c) Når skiltet gir ikke svar. Du må bruke et annet tegn. Oftest oppnås en i tilfellet når de prøver å bruke d'Alembert-testen hvor det er nødvendig å bruke den begrensende sammenligningstesten.

Og nå de etterlengtede eksemplene.

Eksempel 1

Vi ser at i den generelle termen av serien har vi , og dette er en sikker forutsetning for å bruke d'Alemberts test. Først den fullstendige løsningen og prøvedesignet, kommenterer nedenfor.

Vi bruker d'Alemberts tegn:

konvergerer.

Eksempel 2

La oss ta en lignende serie og undersøke den for konvergens

Først den komplette løsningen, deretter kommentarer:

Vi bruker d'Alemberts tegn:

Dermed serien som studeres konvergerer.

Faktisk kunne et slikt "hack" blitt trukket av i eksempel nr. 1, men for et polynom av 2. grad ser en slik løsning fortsatt uverdig ut. Personlig gjør jeg dette: hvis det er et polynom (eller polynomer) av første eller andre grad, bruker jeg den "lange" metoden for å løse eksempel 1. Hvis jeg kommer over et polynom av 3. eller høyere grad, bruker jeg "turbo"-metode som ligner på eksempel 2.

Eksempel 3

Undersøk serien for konvergens

Komplett løsning og eksempeldesign på slutten av leksjonen om tallrekker.
(4) Vi kutter alt som kan kuttes.
(5) Vi flytter konstanten forbi grensetegnet. Åpne parentesene i telleren.
(6) Vi eliminerer usikkerhet på standard måte - ved å dele telleren og nevneren med "en" til høyeste potens.

Eksempel 5

Undersøk serien for konvergens

Full løsning og prøvedesign på slutten av leksjonen

Eksempel 6

Undersøk serien for konvergens

En eksempelløsning kan se slik ut:

Vi bruker d'Alemberts tegn:

Dermed serien som studeres konvergerer.

Før du formulerer selve tegnet, la oss vurdere et viktig spørsmål:
Når bør D'Alemberts konvergenstest brukes?

Hovedforutsetningene for bruk av d'Alemberts test er som følger:

1) Den vanlige termen for serien ("stuffing" av serien) inkluderer et eller annet tall til en viss grad, for eksempel, og så videre. Dessuten spiller det ingen rolle i det hele tatt hvor disse funksjonene er plassert, i telleren eller i nevneren - det som betyr noe er at de er tilstede der.

2) Den vanlige termen for serien inkluderer faktoren. Hva er faktoriell?

…

…

! Når vi bruker d'Alemberts test, må vi beskrive faktoren i detalj. Som i forrige avsnitt, kan faktoren være plassert øverst eller nederst i brøken.

3) Hvis det i den generelle termen av serien er en "kjede av faktorer", for eksempel, . Denne saken er sjelden.

Sammen med potenser og/eller faktorialer finnes polynomer ofte i utfyllingen av en serie; dette endrer ikke situasjonen - du må bruke D'Alemberts tegn.

Uten forståelse av grensen og evnen til å avsløre usikkerhet, kan man dessverre ikke komme videre.

Eksempel:
Løsning: Vi ser at i den generelle termen av serien har vi , og dette er en sikker forutsetning for å bruke d'Alemberts test.

Vi bruker d'Alemberts tegn:

konvergerer.

Radikalt Cauchy-skilt.

Cauchys konvergenstest for positive tallserier ligner noe på D'Alemberts test som nettopp ble diskutert.

! Det er interessant å merke seg at hvis Cauchys test ikke gir oss svar på spørsmålet om konvergensen til en serie, så vil heller ikke D'Alemberts test gi oss noe svar. Men hvis d'Alemberts test ikke gir et svar, kan Cauchys test "fungere". Det vil si at Cauchy-tegnet i denne forstand er et sterkere tegn.

!!! Når bør du bruke det radikale Cauchy-tegnet? Den radikale Cauchy-testen brukes vanligvis i tilfeller hvor den vanlige termen i serien FULLT er i graden avhengig av "en". Eller når roten "bra" er hentet fra et vanlig medlem av serien. Det er også eksotiske saker, men vi vil ikke bekymre oss for dem.

Eksempel: Undersøk serien for konvergens

Løsning: Vi ser at den generelle termen i serien er fullstendig under en makt avhengig av , noe som betyr at vi må bruke den radikale Cauchy-testen:

Dermed serien som studeres divergerer.

Integrert Cauchy-test.

For å bruke Cauchy-integraltesten må du være mer eller mindre trygg på å finne derivater, integraler og også ha evnen til å regne feil integral første typen.

Jeg vil formulere det med mine egne ord (for å lette forståelsen).

Integral Cauchy-test: La oss vurdere positive tallserier. Denne serien konvergerer eller divergerer sammen med den tilsvarende upassende integralen.

! !! Hovedforutsetningen for å bruke Cauchy integraltesten er er det faktum at i den generelle termen av serien er det en viss funksjon og dens deriverte.

Eksempel: Undersøk serien for konvergens

Løsning: Fra emne Derivat du husker sikkert den enkleste tabelltingen: , og vi har akkurat en slik kanonisk sak.

Nå må vi beregne den uriktige integralen. I dette tilfellet er to tilfeller mulig:

1) Hvis det viser seg at integralet konvergerer, så vil serien vår også konvergere.

2) Hvis det viser seg at integralet divergerer, vil også vår serie divergere.

Vi bruker integrertegnet:

Integrand-funksjonen er kontinuerlig på

Dermed serien som studeres divergerer sammen med den tilsvarende upassende integralen.

Eksempel: Undersøk konvergensen til serien

Løsning: først av alt, la oss sjekke et nødvendig tegn på konvergens av en serie. Dette er ikke en formalitet, men en utmerket sjanse til å håndtere eksemplet med "lite blodsutgytelse."

Nummerrekkefølge høyere vekstordre, enn , derfor , det vil si at det nødvendige tegnet på konvergens er oppfylt, og serien kan enten konvergere eller divergere.

Derfor må du bruke et slags tegn. Men hvilken? Sammenligningsgrense passer tydeligvis ikke, siden en logaritme har blitt presset inn i den vanlige termen i serien, d'Alemberts og Cauchys tegn fører heller ikke til resultater. Hvis vi hadde det, så kunne vi i det minste komme oss ut integrert funksjon.

"Inspeksjon av scenen" antyder en divergerende serie (tilfellet av en generalisert harmonisk serie), men igjen oppstår spørsmålet, hvordan ta hensyn til logaritmen i telleren?

Det som gjenstår er det aller første tegn på sammenligning, basert på ulikheter, som ofte ikke tas med i betraktningen og samler støv på en fjern hylle. La oss beskrive serien mer detaljert:

La meg minne deg på det – ubegrenset voksende nummerrekkefølge:

Og med utgangspunkt i tallet vil ulikheten tilfredsstilles:

det vil si at medlemmene i serien blir enda mer relevante medlemmer avvikende rad.

Som et resultat har serien ikke annet valg enn å spre seg.

Konvergensen eller divergensen til en tallserie avhenger av dens "uendelige hale" (resten). I vårt tilfelle kan vi se bort fra at ulikheten ikke stemmer for de to første tallene – dette påvirker ikke konklusjonen.

Det ferdige eksemplet skal se omtrent slik ut:

La oss sammenligne denne serien med en divergerende serie.
For alle tall, starter med , er ulikheten tilfredsstilt, derfor, i henhold til sammenligningskriteriet, er serien som studeres divergerer.

Vekslende rader. Leibniz sitt tegn. Eksempler på løsninger.

Hva er en alternerende serie? Dette er klart eller nesten klart av selve navnet. Bare et enkelt eksempel.

La oss se på serien og beskrive den mer detaljert:

Justering gir en multiplikator: hvis partall, vil det være et plusstegn, hvis oddetall, vil det være et minustegn.

I praktiske eksempler kan vekslingen av vilkårene i serien gis ikke bare av multiplikatoren, men også av dens søsken: , , , …. For eksempel:

Fallgruven er "bedrag": , , etc. - slike multiplikatorer ikke gi skiltskifte. Det er helt klart at for enhver naturlig: , , .

Hvordan undersøke en alternerende serie for konvergens? Bruk Leibniz sin test.

Leibniz sin test: Hvis i en alternerende serie to betingelser er oppfylt: 1) vilkårene for serien reduseres monotont i absolutt verdi. 2) grensen for fellesleddet i modul er lik null, så konvergerer serien, og modulen til summen av denne serien overskrider ikke modulen til det første leddet.

Kort informasjon om modulen:

Hva betyr "modulo"? Modulen, som vi husker fra skolen, "spiser" minustegnet. La oss gå tilbake til raden . Mentalt slette alle skiltene med et viskelær og la oss se på tallene. Det får vi se hver neste seriemedlem mindre enn den forrige.

Nå litt om monotoni.

Medlemmer av serien strengt monotont reduksjon i modul hvis HVER NESTE medlem av serien modulo MINDRE enn tidligere: . For en rekke Den strenge monotoniteten til å redusere er oppfylt; den kan beskrives i detalj:

Eller vi kan si kort: hvert neste medlem av serien modulo mindre enn den forrige:.

Medlemmer av serien ikke strengt tatt ensformig reduksjon i modulo hvis HVER FØLGENDE medlem av serien modulo IKKE er STØRRE enn det forrige: . Tenk på en serie med faktoriell: Her er det en løs monotoni, siden de to første leddene i rekken er identiske i modul. Det vil si hvert neste medlem av serien modulo ikke mer enn den forrige:.

Eksempel: Undersøk serien for konvergens

Løsning: Den vanlige termen i serien inkluderer en faktor, som betyr at du må bruke Leibniz-kriteriet

1) Kontroller serien for monoton reduksjon.

1<2<3<…, т.е. n+1>n – det første vilkåret er ikke oppfylt

2) – Det andre vilkåret er heller ikke oppfylt.

Konklusjon: serien divergerer.

Definisjon: Hvis en serie konvergerer i henhold til Leibniz-kriteriet og en serie sammensatt av moduler også konvergerer, så sier de at serien konvergerer absolutt.

Hvis en serie konvergerer i henhold til Leibniz-kriteriet, og en serie sammensatt av moduler divergerer, så sies serien å være konvergerer betinget.

Hvis en serie sammensatt av moduler konvergerer, så konvergerer også denne serien.

Derfor må en alternerende konvergent serie undersøkes for absolutt eller betinget konvergens.

Eksempel:

Løsning: Vi bruker Leibniz sitt kriterium:

1) Hvert neste medlem av serien er mindre i absolutt verdi enn det forrige: – den første betingelsen er oppfylt.

2) – den andre betingelsen er også oppfylt.

Konklusjon: serien konvergerer.

La oss se etter betinget eller absolutt konvergens.

La oss lage en serie med moduler - igjen fjerner vi ganske enkelt multiplikatoren, som sikrer fortegnsveksling:
– divergerer (harmoniske serier).

Altså vår serie er ikke absolutt konvergent.
Serie under utredning konvergerer betinget.

Eksempel: Undersøk en serie for betinget eller absolutt konvergens

Løsning: Vi bruker Leibniz sitt kriterium:
1) La oss prøve å skrive ned de første begrepene i serien:

…?!

Hvis telleren ved vokser raskere enn faktoren, så . Hvis faktoren vokser raskere enn telleren i det uendelige, vil den tvert imot "trekke" grensen til null: . Eller kanskje denne grensen er lik et eller annet tall som ikke er null? eller . I stedet kan du erstatte et polynom av tusende grad, dette igjen vil ikke endre situasjonen - før eller siden vil faktorialet fortsatt "overta" et så forferdelig polynom. Faktoriell høyere vekstorden.

– Faktorialet vokser raskere enn produkt uansett mengde eksponential- og potenssekvenser(vår sak).

– Noen en eksponentiell sekvens vokser raskere enn noen potenssekvens, for eksempel: , . Eksponentiell sekvens høyere vekstorden enn noen kraftsekvens. I likhet med faktorialet "drar" en eksponentiell sekvens produktet av et hvilket som helst antall potenssekvenser eller polynomer: .

– Finnes det noe «sterkere» enn faktorielt? Spise! En potenseksponentiell sekvens ("en" til potensen av "en") vokser raskere enn faktorialet. I praksis er det sjelden, men informasjonen vil ikke være overflødig.

Slutt på hjelp

Dermed kan det andre punktet i studien skrives som følger:
2) , siden vekstrekkefølgen er høyere enn .
Termene for serien reduseres i modul, starter fra et tall, i dette tilfellet er hvert neste medlem av serien mindre i absolutt verdi enn det forrige, og reduksjonen er derfor monoton.

Konklusjon: serien konvergerer.

Her er akkurat det merkelige tilfellet når betingelsene i serien først øker i absolutt verdi, og det er grunnen til at vi hadde en feilaktig oppfatning om grensen. Men, starter fra et tall "en", faktorialet overtar telleren, og "halen" av serien blir monotont avtagende, noe som er grunnleggende viktig for å oppfylle betingelsene i Leibniz' teorem. Hva akkurat denne «no» tilsvarer er ganske vanskelig å finne ut..

Vi undersøker serien for absolutt eller betinget konvergens:

Og her fungerer D’Alemberts skilt allerede:

Vi bruker d'Alemberts tegn:

Dermed konvergerer serien.

Serie under utredning konvergerer absolutt.

Det analyserte eksemplet kan løses på en annen måte (vi bruker et tilstrekkelig kriterium for konvergens av en alternerende serie).

Et tilstrekkelig tegn på konvergens av en vekslende serie: Hvis en serie sammensatt av de absolutte verdiene av vilkårene i en gitt serie konvergerer, så konvergerer den gitte serien også.

Andre vei:

Undersøk en serie for betinget eller absolutt konvergens

Løsning : Vi undersøker serien for absolutt konvergens:

Vi bruker d'Alemberts tegn:

Dermed konvergerer serien.
Basert på et tilstrekkelig kriterium for konvergens av en alternerende serie, konvergerer selve serien.

Konklusjon: Studieserie konvergerer absolutt.

For å beregne summen av en serie med en gitt nøyaktighet Vi vil bruke følgende teorem:

La den vekslende serien signere tilfredsstiller betingelsene i Leibniz sitt kriterium og la - hans n delbeløpet. Deretter konvergerer serien og feilen i omtrentlig beregning av summen S i absolutt verdi ikke overskrider modulen til det første forkastede leddet: