Hva skjer hvis du deler på. Divisjon med null. Fascinerende matematikk. Ikke-standardiserte metoder for forbudt deling

Evgeniy SHIRYAEV, lærer og leder for Matematikklaboratoriet ved Polytechnic Museum, fortalte AiF om divisjon med null:

1. Sakens jurisdiksjon

Enig, det som gjør regelen spesielt provoserende er forbudet. Hvordan kan dette ikke gjøres? Hvem har utestengt? Hva med våre borgerrettigheter?

Verken grunnloven, straffeloven eller til og med vedtekten til skolen din protesterer mot den intellektuelle handlingen som interesserer oss. Det betyr at forbudet ikke har rettskraft, og ingenting hindrer deg i å prøve å dele noe med null akkurat her, på sidene til AiF. For eksempel tusen.

2. La oss dele som lært

Husk at når du først lærte å dele, ble de første eksemplene løst med en multiplikasjonssjekk: resultatet multiplisert med divisoren måtte falle sammen med utbyttet. Det stemte ikke - de bestemte seg ikke.

Eksempel 1. 1000: 0 =...

La oss glemme den forbudte regelen et øyeblikk og gjøre flere forsøk på å gjette svaret.

Feilaktige vil bli avskåret av sjekken. Prøv følgende alternativer: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. For hver av dem vil sjekken gi samme resultat:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0

Ved å multiplisere null blir alt til seg selv og aldri til tusen. Konklusjonen er enkel å formulere: ingen tall vil bestå testen. Det vil si at ingen tall kan være resultatet av å dele et tall som ikke er null med null. Slik deling er ikke forbudt, men har rett og slett ikke noe resultat.

3. Nyanse

Vi gikk nesten glipp av én mulighet til å motbevise forbudet. Ja, vi innrømmer at et tall som ikke er null ikke kan deles på 0. Men kanskje 0 selv kan det?

Eksempel 2. 0: 0 = ...

Hva er dine forslag til privat? 100? Vennligst: kvotienten på 100 multiplisert med deleren 0 er lik utbyttet 0.

Flere valg! 1? Passer også. Og -23 og 17, og det er det. I dette eksemplet vil testen være positiv for et hvilket som helst tall. Og, for å være ærlig, bør løsningen i dette eksemplet ikke kalles et tall, men et sett med tall. Alle sammen. Og det tar ikke lang tid å bli enige om at Alice ikke er Alice, men Mary Ann, og begge er en kanindrøm.

4. Hva med høyere matematikk?

Problemet er løst, nyansene er tatt i betraktning, prikkene er plassert, alt har blitt klart - svaret på eksemplet med divisjon med null kan ikke være et enkelt tall. Å løse slike problemer er håpløst og umulig. Hvilket betyr... interessant! Ta to.

Eksempel 3. Finn ut hvordan du deler 1000 med 0.

Men ingen måte. Men 1000 kan enkelt deles på andre tall. Vel, la oss i det minste gjøre det som fungerer, selv om vi endrer oppgaven. Og så, skjønner du, lar vi oss rive med, og svaret dukker opp av seg selv. La oss glemme null i et minutt og dele på hundre:

Hundre er langt fra null. La oss ta et skritt mot det ved å redusere divisoren:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dynamikken er åpenbar: Jo nærmere divisoren er null, jo større er kvotienten. Trenden kan observeres ytterligere ved å gå til brøker og fortsette å redusere telleren:

Det gjenstår å merke seg at vi kan komme så nær null som vi vil, noe som gjør kvotienten så stor som vi vil.

I denne prosessen er det ingen null og det er ingen siste kvotient. Vi indikerte bevegelsen mot dem ved å erstatte tallet med en sekvens som konvergerer til tallet vi er interessert i:

Dette innebærer en lignende erstatning for utbyttet:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Det er ikke for ingenting at pilene er tosidige: noen sekvenser kan konvergere til tall. Deretter kan vi assosiere sekvensen med dens numeriske grense.

La oss se på rekkefølgen av kvotienter:

Den vokser ubegrenset, streber ikke etter noe tall og overgår noen. Matematikere legger til symboler til tall ∞ for å kunne sette en dobbeltsidig pil ved siden av en slik sekvens:

Sammenligning med antall sekvenser som har en grense lar oss foreslå en løsning på det tredje eksemplet:

Når vi elementvis deler en sekvens som konvergerer til 1000 med en sekvens av positive tall som konvergerer til 0, får vi en sekvens som konvergerer til ∞.

5. Og her er nyansen med to nuller

Hva er resultatet av å dele to sekvenser med positive tall som konvergerer til null? Hvis de er like, er enheten identisk. Hvis en utbyttesekvens konvergerer til null raskere, er det spesielt en sekvens med en nullgrense. Og når elementene i divisoren synker mye raskere enn de i utbyttet, vil sekvensen til kvotienten vokse sterkt:

Uviss situasjon. Og det er det det kalles: usikkerhet av typen 0/0 . Når matematikere ser sekvenser som passer slik usikkerhet, skynder de seg ikke med å dele to like tall med hverandre, men finne ut hvilken av sekvensene som går raskere til null og nøyaktig hvordan. Og hvert eksempel vil ha sitt eget spesifikke svar!

6. I livet

Ohms lov relaterer strøm, spenning og motstand i en krets. Det er ofte skrevet i denne formen:

La oss tillate oss å ignorere den ryddige fysiske forståelsen og formelt se på høyresiden som kvotienten av to tall. La oss tenke oss at vi løser et skoleproblem på elektrisitet. Tilstanden gir spenningen i volt og motstand i ohm. Spørsmålet er åpenbart, løsningen er i én handling.

La oss nå se på definisjonen av superledning: dette er egenskapen til noen metaller å ha null elektrisk motstand.

Vel, la oss løse problemet for en superledende krets? Bare sett det opp R= 0 Hvis det ikke fungerer, gir fysikk et interessant problem, bak som det åpenbart er en vitenskapelig oppdagelse. Og de som klarte å dele med null i denne situasjonen fikk Nobelprisen. Det er nyttig å kunne omgå eventuelle forbud!

Hvis du bryter allment aksepterte regler i vitenskapens verden, kan du få de mest uventede resultatene.

Helt siden skolen har lærere fortalt oss at i matematikk er det én regel som ikke kan brytes. Det høres slik ut: "Du kan ikke dele på null!"

Hvorfor forårsaker et så kjent tall 0, som vi så ofte møter i hverdagen, så mange vanskeligheter når man utfører en enkel regneoperasjon som divisjon?

La oss se nærmere på dette problemet.

Hvis vi deler ett tall på stadig mindre tall, vil resultatet bli stadig større verdier. For eksempel

Dermed viser det seg at hvis vi deler med et tall som tenderer mot null, vil vi få det største resultatet med en tendens til uendelig.

Betyr dette at hvis vi deler tallet vårt på null, vil vi få uendelig?

Dette høres logisk ut, men alt vi vet er at hvis vi deler med et tall som er nær null, vil resultatet bare ha en tendens til uendelig, og dette betyr ikke at når vi dividerer med null, vil vi ende opp med uendelig . Hvorfor er det slik?

Først må vi forstå hva den aritmetiske operasjonen av divisjon er. Så hvis vi deler 20 på 10, vil dette bety hvor mange ganger vi må legge til tallet 10 for å få 20 som et resultat, eller hvilket tall vi må ta to ganger for å få 20.

Generelt er divisjon den inverse aritmetiske operasjonen av multiplikasjon. For eksempel, når vi multipliserer et hvilket som helst tall med X, kan vi stille spørsmålet: "Er det et tall vi må multiplisere med resultatet for å finne ut den opprinnelige verdien av X?" Og hvis det er et slikt tall, vil det være den inverse verdien for X. For eksempel, hvis vi multipliserer 2 med 5, får vi 10. Hvis vi etter dette multipliserer 10 med en femtedel, får vi igjen 2:

Dermed er 1/5 den resiproke av 5, den resiproke av 10 er 1/10.

Som du allerede har lagt merke til, når du multipliserer et tall med dets gjensidige, vil svaret alltid være ett. Og hvis du vil dele et tall med null, må du finne det inverse tallet, som skal være lik en delt på null.

Dette vil bety at når multiplisert med null må resultatet være én, og siden det er kjent at hvis du multipliserer et hvilket som helst tall med 0 får du 0, så er dette umulig og null har ikke noe gjensidig tall.

Er det mulig å finne på noe for å omgå denne motsetningen?

Tidligere hadde matematikere allerede funnet måter å omgå matematiske regler, fordi det tidligere, i henhold til matematiske regler, var umulig å oppnå verdien av kvadratroten av et negativt tall, da ble det foreslått å betegne slike kvadratrøtter med imaginære tall . Som et resultat dukket det opp en ny gren av matematikk om komplekse tall.

Så hvorfor prøver vi ikke også å innføre en ny regel, ifølge hvilken en delt på null vil bli betegnet med et uendelig tegn og se hva som skjer?

La oss anta at vi ikke vet noe om uendelighet. I dette tilfellet, hvis vi starter fra det gjensidige tallet null, og multipliserer null med uendelig, bør vi få en. Og hvis vi legger til en verdi til null delt på uendelig, bør resultatet være tallet to:

I samsvar med matematikkens distributive lov kan venstre side av ligningen representeres som:

og siden 0+0=0, så vil ligningen vår ha formen 0*∞=2, på grunn av at vi allerede har definert 0*∞=1, viser det seg at 1=2.

Dette høres latterlig ut. Dette svaret kan imidlertid heller ikke anses som helt feil, siden slike beregninger rett og slett ikke fungerer for vanlige tall. For eksempel, i Riemann-sfæren, brukes divisjon med null, men på en helt annen måte, og dette er en helt annen historie...

Kort sagt ender det ikke godt å dele med null på vanlig måte, men dette bør likevel ikke bli et hinder for at vi kan eksperimentere på matematikkfeltet, i tilfelle vi klarer å åpne opp nye områder for forskning.

Alle husker fra skolen at man ikke kan dele på null. Barneskolebarn får aldri forklart hvorfor dette ikke bør gjøres. De tilbyr ganske enkelt å ta dette som gitt, sammen med andre forbud som "du kan ikke stikke fingrene i stikkontakter" eller "du bør ikke stille dumme spørsmål til voksne." AiF.ru bestemte seg for å finne ut om skolelærerne hadde rett.

Algebraisk forklaring på umuligheten av å dele med null

Fra et algebraisk synspunkt kan du ikke dele med null fordi det ikke gir noen mening. La oss ta to vilkårlige tall, a og b, og gange dem med null. a × 0 er lik null og b × 0 er lik null. Det viser seg at a × 0 og b × 0 er like, fordi produktet i begge tilfeller er lik null. Dermed kan vi lage ligningen: 0 × a = 0 × b. La oss nå anta at vi kan dele med null: vi deler begge sider av ligningen med det og får at a = b. Det viser seg at hvis vi tillater drift av divisjon med null, så faller alle tallene sammen. Men 5 er ikke lik 6, og 10 er ikke lik ½. Det oppstår usikkerhet, som lærere helst ikke sier til nysgjerrige ungdomsskoleelever.

Forklaring på umuligheten av å dele med null fra et synspunkt av matematisk analyse

På videregående studerer de teorien om grenser, som også snakker om umuligheten av å dele på null. Dette tallet tolkes der som en "udefinert uendelig mengde." Så hvis vi vurderer ligningen 0 × X = 0 innenfor rammen av denne teorien, vil vi finne at X ikke kan finnes fordi for å gjøre dette må vi dele null med null. Og dette gir heller ingen mening, siden både utbytte og divisor i dette tilfellet er ubestemte mengder, derfor er det umulig å trekke en konklusjon om deres likhet eller ulikhet.

Når kan du dele på null?

I motsetning til skolebarn kan studenter ved tekniske universiteter dele med null. En operasjon som er umulig i algebra kan utføres på andre områder av matematisk kunnskap. Nye tilleggsbetingelser for problemet vises i dem som tillater denne handlingen. Å dele med null vil være mulig for de som lytter til et kurs med forelesninger om ikke-standard analyse, studerer Dirac delta-funksjonen og blir kjent med det utvidede komplekse planet.

Det innføres et strengt forbud mot å dele med null også i de lavere klassetrinnene på skolen. Barn tenker vanligvis ikke på årsakene, men faktisk er det både interessant og nyttig å vite hvorfor noe er forbudt.

Aritmetiske operasjoner

Regneoperasjonene som studeres på skolen er ikke likeverdige sett fra matematikerens synspunkt. De anerkjenner bare to av disse operasjonene som gyldige - addisjon og multiplikasjon. De inngår i selve tallbegrepet, og alle andre handlinger med tall er på en eller annen måte bygget på disse to. Det vil si at ikke bare deling med null er umulig, men divisjon generelt er umulig.

Subtraksjon og divisjon

Hva mangler i resten av handlingene? Igjen, vi vet fra skolen at for eksempel å trekke fire fra syv betyr å ta syv søtsaker, spise fire av dem og telle de som gjenstår. Men matematikere, når de spiser søtsaker og generelt, oppfatter dem helt annerledes. For dem er det bare addisjon, det vil si at notasjonen 7 - 4 betyr et tall som, lagt til tallet 4, vil være lik 7. Det vil si at for matematikere er 7 - 4 en kort notasjon av ligningen : x + 4 = 7. Dette er ikke en subtraksjon, men et problem - finn tallet som må settes i stedet for x.

Det samme gjelder divisjon og multiplikasjon. En juniorstudent deler ti på to og legger ti godteri i to like hauger. Matematikeren ser også ligningen her: 2 x = 10.

Dette forklarer hvorfor deling med null er forbudt: det er rett og slett umulig. Oppføringen 6: 0 skal bli til ligningen 0 · x = 6. Det vil si at du må finne et tall som kan multipliseres med null og få 6. Men det er kjent at multiplikasjon med null alltid gir null. Dette er den essensielle egenskapen til null.

Dermed er det ikke noe tall som, multiplisert med null, vil gi et annet tall enn null. Dette betyr at denne ligningen ikke har noen løsning, det er ikke noe tall som kan korrelere med notasjonen 6:0, det vil si at det ikke gir mening. De snakker om meningsløsheten når deling med null er forbudt.

Er null delelig med null?

Er det mulig å dele null på null? Ligningen 0 · x = 0 forårsaker ingen vanskeligheter, og du kan ta denne null for x og få 0 · 0 = 0. Da er 0: 0 = 0? Men hvis vi for eksempel tar x for å være én, får vi også 0 1 = 0. Du kan ta x for å være et hvilket som helst tall i det hele tatt og dele på null, og resultatet forblir det samme: 0: 0 = 9 , 0: 0 = 51, og så videre Videre.

Dermed kan absolutt et hvilket som helst tall settes inn i denne ligningen, og det er umulig å velge noe spesifikt, det er umulig å bestemme hvilket tall som er betegnet med notasjonen 0: 0. Det vil si at denne notasjonen gir heller ingen mening, og divisjon med null er fortsatt umulig: det er ikke engang delelig av seg selv.

Dette er et viktig trekk ved divisjonsoperasjonen, det vil si multiplikasjon og det tilhørende tallet null.

Spørsmålet gjenstår: er det mulig å trekke det fra? Man kan si at ekte matematikk begynner med dette interessante spørsmålet. For å finne svaret på det, må du lære de formelle matematiske definisjonene av tallsett og bli kjent med operasjonene på dem. For eksempel er det ikke bare enkle, men også inndelingen som skiller seg fra inndelingen av vanlige. Dette inngår ikke i skolens læreplan, men universitetsforelesninger i matematikk begynner med dette.

Selv på skolen prøvde lærerne å hamre inn i hodet på oss den enkleste regelen: "Ethvert tall multiplisert med null er lik null!",- men likevel oppstår det stadig mye kontrovers rundt ham. Noen mennesker husker bare regelen og bryr seg ikke med spørsmålet "hvorfor?" "Du kan ikke, og det er det, fordi de sa det på skolen, regelen er regelen!" Noen kan fylle en halv notatbok med formler, bevise denne regelen eller omvendt dens ulogiske.

I kontakt med

Hvem har rett til slutt?

Under disse tvistene ser begge mennesker med motsatte synspunkter på hverandre som en vær og beviser med all kraft at de har rett. Selv om du ser på dem fra siden, kan du ikke se én, men to værer som hviler hornene sine på hverandre. Den eneste forskjellen mellom dem er at den ene er litt mindre utdannet enn den andre.

Oftest prøver de som anser denne regelen for å være feil å appellere til logikk på denne måten:

Jeg har to epler på bordet mitt, hvis jeg legger null epler på dem, det vil si at jeg ikke legger et eneste, så forsvinner ikke mine to epler! Regelen er ulogisk!

Faktisk vil epler ikke forsvinne noe sted, men ikke fordi regelen er ulogisk, men fordi en litt annen ligning brukes her: 2 + 0 = 2. Så la oss forkaste denne konklusjonen med en gang - den er ulogisk, selv om den har det motsatte målet - å kalle til logikk.

Hva er multiplikasjon

Opprinnelig multiplikasjonsregelen ble definert bare for naturlige tall: multiplikasjon er et tall lagt til seg selv et visst antall ganger, noe som innebærer at tallet er naturlig. Dermed kan ethvert tall med multiplikasjon reduseres til denne ligningen:

25×3 = 75
25 + 25 + 25 = 75
25×3 = 25 + 25 + 25

Av denne ligningen følger det at at multiplikasjon er en forenklet addisjon.

Hva er null

Enhver person vet fra barndommen: null er tomhet Til tross for at denne tomheten har en betegnelse, bærer den ikke noe i det hele tatt. Gamle østlige forskere tenkte annerledes - de nærmet seg problemet filosofisk og trakk noen paralleller mellom tomhet og uendelighet og så en dyp mening i dette tallet. Tross alt, null, som har betydningen tomhet, som står ved siden av et hvilket som helst naturlig tall, multipliserer det ti ganger. Derav all kontroversen om multiplikasjon - dette tallet har så mye inkonsekvens at det blir vanskelig å ikke bli forvirret. I tillegg brukes konstant null for å definere tomme siffer i desimalbrøker, dette gjøres både før og etter desimaltegnet.

Er det mulig å multiplisere med tomhet?

Du kan multiplisere med null, men det er ubrukelig, for uansett hva man sier, selv når du multipliserer negative tall, vil du fortsatt få null. Det er nok bare å huske denne enkle regelen og aldri stille dette spørsmålet igjen. Faktisk er alt enklere enn det ser ut ved første øyekast. Det er ingen skjulte betydninger og hemmeligheter, slik eldgamle forskere trodde. Nedenfor vil vi gi den mest logiske forklaringen på at denne multiplikasjonen er ubrukelig, for når du multipliserer et tall med det, vil du fortsatt få det samme - null.

Gå tilbake til begynnelsen, til argumentasjonen om to epler, 2 ganger 0 ser slik ut:

Hvis du spiser to epler fem ganger, så spiser du 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 epler
Hvis du spiser to av dem tre ganger, så spiser du 2×3 = 2+2+2 = 6 epler
Hvis du spiser to epler null ganger, blir ingenting spist - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Å spise et eple 0 ganger betyr tross alt å ikke spise et eneste. Dette vil være klart for selv det minste barnet. Uansett hva man kan si, vil resultatet være 0, to eller tre kan erstattes med absolutt et hvilket som helst tall og resultatet vil være helt det samme. Og for å si det enkelt, da null er ingenting, og når har du det er ingenting, så uansett hvor mye du multipliserer, er det fortsatt det samme vil være null. Det er ikke noe som heter magi, og ingenting vil lage et eple, selv om du ganger 0 med en million. Dette er den enkleste, mest forståelige og logiske forklaringen på regelen om multiplikasjon med null. For en person som er langt fra alle formler og matematikk, vil en slik forklaring være nok til at dissonansen i hodet løser seg og alt faller på plass.

Inndeling

Fra alt det ovennevnte følger en annen viktig regel:

Du kan ikke dele på null!

Denne regelen har også vært vedvarende boret inn i hodene våre siden barndommen. Vi vet bare at det er umulig å gjøre alt uten å fylle hodet med unødvendig informasjon. Hvis du uventet får spørsmålet hvorfor det er forbudt å dele med null, vil de fleste bli forvirret og ikke klare å svare klart på det enkleste spørsmålet fra skolepensum, fordi det ikke er så mange tvister og motsetninger rundt denne regelen.

Alle husket rett og slett regelen og delte ikke med null, uten mistanke om at svaret var skjult på overflaten. Addisjon, multiplikasjon, divisjon og subtraksjon er ulik; av de ovennevnte er bare multiplikasjon og addisjon gyldige, og alle andre manipulasjoner med tall er bygget fra dem. Det vil si at notasjonen 10: 2 er en forkortelse av ligningen 2 * x = 10. Dette betyr at notasjonen 10: 0 er samme forkortelse for 0 * x = 10. Det viser seg at divisjon med null er en oppgave å finn et tall, multipliser med 0, får du 10 Og vi har allerede funnet ut at et slikt tall ikke eksisterer, noe som betyr at denne ligningen ikke har noen løsning, og den vil a priori være feil.

La meg fortelle deg,

For ikke å dele på 0!

Klipp 1 som du vil, på langs,

Bare ikke del på 0!