Et komplekst tall er et tall på formen z =x + i * y, hvor x og y er reelle tall, og i = imaginær enhet (dvs. et tall hvis kvadrat er -1). For å definere representasjonen argument omfattende tall, må du se på et komplekst tall på det komplekse planet i det polare koordinatsystemet.

Bruksanvisning

1. Planet der komplekse komplekser er representert tall, kalles kompleks. På dette planet er den horisontale aksen okkupert av reell tall(x), og den vertikale aksen er imaginær tall(y). På et slikt plan er tallet gitt av to koordinater z = (x, y). I det polare koordinatsystemet er koordinatene til et punkt modulen og argumentet. Modulen er avstanden |z| fra et punkt til opprinnelsen. Kalles en vinkel et argument? mellom vektoren som forbinder punktet og koordinatforordet og koordinatsystemets horisontale akse (se figur).

2. Figuren viser at den komplekse modulen tall z = x + i * y er funnet ved å bruke Pythagoras teorem: |z| = ? (x^2 + y^2). Videre argumentasjon tall z finnes som en spiss vinkel i en trekant - gjennom verdiene til de trigonometriske funksjonene sin, cos, tan:sin? =y/? (x^2 + y^2),cos ? = x / ? (x^2 + y^2),tg ? = y/x.

3. La oss si at tallet z = 5 * (1 + ?3 * i) gis. Først av alt, velg de reelle og imaginære delene: z = 5 +5 * ?3 * i. Det viser seg at den reelle delen er x = 5, og den imaginære delen er y = 5 * ?3. Beregn modul tall: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Finn deretter sinusen til vinkelen?: sin ? = 5 / 10 = 1 / 2. Derfra får vi argumentet tall z er lik 30°.

4. Eksempel 2. La tallet z = 5 * i gis. Fra bildet kan du se at vinkelen? = 90°. Sjekk denne verdien ved å bruke formelen gitt ovenfor. Skriv ned koordinatene til dette tall på det komplekse planet: z = (0, 5). Modul tall|z| = 5. Tangens av vinkelen tg? = 5 / 5 = 1. Hva følger derfra? = 90°.

5. Eksempel 3. La oss si at vi må finne argumentet for summen av 2 komplekse tall z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. I henhold til reglene for tillegg legger du til disse to kompleksene tall: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Deretter, i henhold til diagrammet ovenfor, beregne argumentet: tg? = 9 / 3 = 3.

Merk!
Hvis tallet z = 0, er verdien av argumentet for det ikke definert.

Nyttige råd
Verdien av argumentet til et komplekst tall bestemmes med en nøyaktighet på 2 * ? * k, hvor k er et hvilket som helst heltall. Meningen med argumentet? slik at -?

Definisjon 8.3 (1).

Lengde |z| vektor z = (x,y) kalles modulen til det komplekse tallet z = x + yi

Siden lengden på hver side av trekanten ikke overstiger summen av lengdene av de to andre sidene, og den absolutte verdien av forskjellen i lengdene på de to sidene av trekanten ikke er mindre enn lengden på den tredje siden , så gjelder ulikhetene for alle to komplekse tall z 1 og z 2

Definisjon 8.3 (2).

Kompleks tallargument. Hvis φ er vinkelen dannet av en ikke-null vektor z med den reelle aksen, vil enhver vinkel på formen (φ + 2πn, hvor n er et heltall, og bare en vinkel av denne typen, også være en vinkel dannet av vektoren z med den reelle aksen.

Settet med alle vinkler som dannes av vektoren z = = (x, y) som ikke er null med den reelle aksen kalles argumentet til det komplekse tallet z = x + yi og er betegnet med arg z. Hvert element i dette settet kalles verdien av argumentet til tallet z (fig. 8.3(1)).

Ris. 8.3(1).

Siden en ikke-null vektor av et plan er unikt bestemt av lengden og vinkelen den danner med x-aksen, så er to komplekse tall forskjellig fra null like hvis og bare hvis deres absolutte verdier og argumenter er like.

Hvis for eksempel betingelsen 0≤φ pålegges verdiene til argumentet φ til tallet z<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Definisjon 8.3.(3)

Trigonometrisk form for å skrive et komplekst tall. De reelle og imaginære delene av et komplekst tall z = x + уi ≠ 0 uttrykkes gjennom dets modul r= |z| og argumentet φ som følger (fra definisjonen av sinus og cosinus):

Høyresiden av denne likheten kalles den trigonometriske formen for å skrive det komplekse tallet z. Vi vil også bruke det for z = 0; i dette tilfellet er r = 0, og φ kan ha hvilken som helst verdi - argumentet til tallet 0 er udefinert. Så hvert komplekst tall kan skrives i trigonometrisk form.

Det er også klart at hvis det komplekse tallet z skrives i formen

da er tallet r dens modul, siden

Og φ er en av verdiene til argumentet

Den trigonometriske formen for å skrive komplekse tall kan være praktisk å bruke når du multipliserer komplekse tall; spesielt lar den deg finne ut den geometriske betydningen av produktet av komplekse tall.

La oss finne formler for å multiplisere og dele komplekse tall i trigonometrisk form. Hvis

deretter i henhold til regelen for multiplikasjon av komplekse tall (ved å bruke formlene for sinus og cosinus av summen)

Når komplekse tall multipliseres, multipliseres deres absolutte verdier, og argumentene legges til:

Ved å bruke denne formelen sekvensielt på n komplekse tall, får vi

Hvis alle n tall er like, får vi

Hvor for

utført

Derfor, for et komplekst tall hvis absolutte verdi er 1 (derfor har det formen

Denne likheten kalles Moivres formler

Med andre ord, når du deler komplekse tall, deles modulene deres,

og argumentene trekkes fra.

Eksempel 8.3 (1).

Tegn på det komplekse planet C et sett med punkter som tilfredsstiller følgende betingelser:

Som representerer et gitt komplekst tall $z=a+bi$ kalles modulen til det gitte komplekse tallet.

Modulen til et gitt komplekst tall beregnes ved å bruke følgende formel:

Eksempel 1

Beregn modulen til de gitte komplekse tallene $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Vi beregner modulen til et komplekst tall $z=a+bi$ ved å bruke formelen: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

For det opprinnelige komplekse tallet $z_(1) =13$ får vi $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

For det opprinnelige komplekse tallet $\, z_(2) =4i$ får vi $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

For det opprinnelige komplekse tallet $\, z_(3) =4+3i$ får vi $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definisjon 2

Vinkelen $\varphi $ dannet av den positive retningen til den reelle aksen og radiusvektoren $\overrightarrow(OM) $, som tilsvarer et gitt komplekst tall $z=a+bi$, kalles argumentet til dette tallet og er angitt med $\arg z$.

Merknad 1

Modulen og argumentet til et gitt komplekst tall brukes eksplisitt når du representerer et komplekst tall i trigonometrisk eller eksponentiell form:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrisk form;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - eksponentiell form.

Eksempel 2

Skriv et komplekst tall i trigonometriske og eksponentielle former, gitt av følgende data: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Bytt inn dataene $r=3;\varphi =\pi $ i de tilsvarende formlene og få:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrisk form

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - eksponentiell form.

2) Bytt inn dataene $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ i de tilsvarende formlene og få:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrisk form

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - eksponentiell form.

Eksempel 3

Bestem modulen og argumentet til de gitte komplekse tallene:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Vi vil finne modulen og argumentet ved å bruke formler for å skrive et gitt komplekst tall i henholdsvis trigonometriske og eksponentielle former

\ \

1) For det opprinnelige komplekse tallet $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ får vi $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) For det innledende komplekse tallet $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ vi skaff $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) For det innledende komplekse tallet $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ får vi $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) For det opprinnelige komplekse tallet $z=13\cdot e^(i\pi ) $ får vi $r=13;\varphi =\pi $.

Argumentet $\varphi $ for et gitt komplekst tall $z=a+bi$ kan beregnes ved å bruke følgende formler:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

I praksis, for å beregne verdien av argumentet til et gitt komplekst tall $z=a+bi$, brukes vanligvis formelen:

$\varphi =\arg z=\venstre\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi, a

eller løse et ligningssystem

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(array)\right. $. (**)

Eksempel 4

Regn ut argumentet til de gitte komplekse tallene: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Siden $z=3$, deretter $a=3,b=0$. La oss beregne argumentet til det opprinnelige komplekse tallet ved å bruke formelen (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Siden $z=4i$, deretter $a=0,b=4$. La oss beregne argumentet til det opprinnelige komplekse tallet ved å bruke formelen (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Siden $z=1+i$, deretter $a=1,b=1$. La oss beregne argumentet til det opprinnelige komplekse tallet ved å løse systemet (**):

\[\venstre\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2)) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\right. .\]

Fra trigonometrikurset er det kjent at $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ for vinkelen som tilsvarer det første koordinatkvartalet og lik $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Siden $z=-5$, deretter $a=-5,b=0$. La oss beregne argumentet til det opprinnelige komplekse tallet ved å bruke formelen (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Siden $z=-2i$, deretter $a=0,b=-2$. La oss beregne argumentet til det opprinnelige komplekse tallet ved å bruke formelen (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Notat 2

Tallet $z_(3)$ er representert ved punktet $(0;1)$, derfor er lengden på den tilsvarende radiusvektoren lik 1, dvs. $r=1$, og argumentet $\varphi =\frac(\pi )(2) $ i henhold til note 3.

Tallet $z_(4)$ er representert av punktet $(0;-1)$, derfor er lengden på den tilsvarende radiusvektoren 1, dvs. $r=1$, og argumentet $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ i henhold til note 3.

Tallet $z_(5) $ er representert med punktet $(2;2)$, derfor er lengden på den tilsvarende radiusvektoren lik $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, dvs. $r=2\sqrt(2) $, og argumentet $\varphi =\frac(\pi )(4) $ ved egenskapen til en rettvinklet trekant.

Et komplekst tall er et tall på formen z =x + i * y, hvor x og y er reelle tall, og i = imaginær enhet (dvs. et tall hvis kvadrat er -1). For å definere konseptet argument omfattende tall, er det nødvendig å vurdere et komplekst tall på det komplekse planet i det polare koordinatsystemet.

Bruksanvisning

Planet der komplekse komplekser er representert tall, kalles kompleks. På dette planet er den horisontale aksen okkupert av reell tall(x), og den vertikale aksen er imaginær tall(y). På et slikt plan er tallet gitt av to koordinater z = (x, y). I det polare koordinatsystemet er koordinatene til et punkt modulen og argumentet. Modulen er avstanden |z| fra et punkt til opprinnelsen. Argumentet er vinkelen mellom vektoren som forbinder punktet og origo og den horisontale aksen til koordinatsystemet (se figur).

Figuren viser at den komplekse modulen tall z = x + i * y er funnet ved å bruke Pythagoras teorem: |z| = ? (x^2 + y^2). Neste argument tall z finnes som en spiss vinkel i en trekant - gjennom verdiene til de trigonometriske funksjonene sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y/x.

La for eksempel tallet z = 5 * (1 + ?3 * i) gis. Først av alt, velg de reelle og imaginære delene: z = 5 +5 * ?3 * i. Det viser seg at den reelle delen er x = 5, og den imaginære delen er y = 5 * ?3. Beregn modul tall: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Finn deretter sinusen til vinkelen: sin = 5 / 10 = 1 / 2. Dette gir argumentet tall z er lik 30°.

Eksempel 2. La tallet z = 5 * i gis. Figuren viser at vinkelen = 90°. Sjekk denne verdien ved å bruke formelen gitt ovenfor. Skriv ned koordinatene til dette tall på det komplekse planet: z = (0, 5). Modul tall|z| = 5. Tangent av vinkelen tg = 5 / 5 = 1. Det følger at = 90°.

Eksempel 3. La det være nødvendig å finne argumentet for summen av to komplekse tall z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. I henhold til reglene for tillegg legger du til disse to kompleksene tall: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Deretter, bruk diagrammet ovenfor, beregne argumentet: tg = 9 / 3 = 3.