Tegn på delbarhet av tall- dette er regler som lar deg relativt raskt finne ut, uten å dele, om dette tallet er delelig med et gitt tall uten en rest.
Noe av tegn på delbarhet ganske enkelt, noen mer kompliserte. På denne siden finner du både tegn på delbarhet av primtall, som for eksempel 2, 3, 5, 7, 11, og tegn på delbarhet av sammensatte tall, som 6 eller 12.
Håp, denne informasjonen vil være nyttig for deg.
God læring!

Test for delbarhet med 2

Dette er et av de enkleste tegnene på delbarhet. Det høres slik ut: hvis notasjonen til et naturlig tall slutter med et partall, så er det partall (delelig uten en rest med 2), og hvis notasjonen til et naturlig tall slutter med et oddetall, er dette tallet oddetall .
Med andre ord, hvis det siste sifferet i et tall er 2 , 4 , 6 , 8 eller 0 - tallet er delelig med 2, hvis ikke, så er det ikke delbart
For eksempel tall: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 er delelig med 2 fordi de er jevne.
Et tall: 23 5 , 137 , 2303
De er ikke delbare med 2 fordi de er oddetall.

Test for delbarhet med 3

Dette tegnet på delbarhet har helt andre regler: hvis summen av sifrene til et tall er delelig med 3, så er tallet delelig med 3; Hvis summen av sifrene i et tall ikke er delelig med 3, er tallet ikke delelig med 3.
Dette betyr at for å forstå om et tall er delelig med 3, trenger du bare å legge sammen tallene som utgjør det.
Det ser slik ut: 3987 og 141 er delbare med 3, fordi i det første tilfellet er 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - delelig med 3), og i den andre 1+4+1= 6 (6:3=2 - også delelig med 3).
Men tallene: 235 og 566 er ikke delbare med 3, fordi 2+3+5= 10 og 5+6+6= 17 (og vi vet at verken 10 eller 17 er delbare med 3 uten en rest).

Test for delbarhet med 4

Dette tegnet på delbarhet vil være mer komplisert. Hvis de to siste sifrene i et tall danner et tall som er delelig med 4 eller det er 00, så er tallet delbart med 4, ellers er det gitte tallet ikke delelig med 4 uten en rest.
For eksempel: 1 00 og 3 64 er delelig med 4 fordi i det første tilfellet slutter tallet på 00 , og i den andre på 64 , som igjen er delelig med 4 uten en rest (64:4=16)
Tall 3 57 og 8 86 er ikke delelig med 4 fordi ingen av dem 57 ingen 86 er ikke delbare med 4, noe som betyr at de ikke samsvarer med dette delbarhetskriteriet.

Delbarhetstest med 5

Og igjen har vi et ganske enkelt tegn på delbarhet: hvis notasjonen til et naturlig tall slutter med tallet 0 eller 5, så er dette tallet delelig med 5 uten en rest. Hvis notasjonen til et tall ender med et annet siffer, så tallet er ikke delelig med 5 uten en rest.
Dette betyr at alle tall som slutter på sifre 0 Og 5 , for eksempel 1235 5 og 43 0 , faller inn under regelen og er delelig med 5.
Og for eksempel 1549 3 og 56 4 ikke slutt med tallet 5 eller 0, noe som betyr at de ikke kan deles på 5 uten en rest.

Test for delbarhet med 6

Vi har foran oss det sammensatte tallet 6, som er produktet av tallene 2 og 3. Derfor er tegnet for delbarhet med 6 også sammensatt: For at et tall skal være delelig med 6, må det tilsvare to tegn på delbarhet på samme tid: tegnet for delelighet med 2 og tegnet for delelighet med 3. Vær oppmerksom på at et slikt sammensatt tall som 4 har et individuelt delelig tegn, fordi det er produktet av tallet 2 i seg selv. Men la oss gå tilbake til testen av delbarhet med 6.
Tallene 138 og 474 er partall og oppfyller kriteriene for delbarhet med 3 (1+3+8=12, 12:3=4 og 4+7+4=15, 15:3=5), som betyr at de er delbare med 6. Men 123 og 447, selv om de er delbare med 3 (1+2+3=6, 6:3=2 og 4+4+7=15, 15:3=5), men de er odde, som betyr at de ikke tilsvarer kriteriet delbarhet med 2, og derfor ikke tilsvarer kriteriet delbarhet med 6.

Test for delbarhet med 7

Denne testen av delbarhet er mer kompleks: et tall er delelig med 7 hvis resultatet av å subtrahere to ganger det siste sifferet fra antallet tiere av dette tallet er delelig med 7 eller lik 0.
Det høres ganske forvirrende ut, men i praksis er det enkelt. Se selv: nummeret 95 9 er delelig med 7 fordi 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 er delt på 7 uten en rest). Dessuten, hvis det oppstår vanskeligheter med antallet oppnådd under transformasjonen (på grunn av størrelsen er det vanskelig å forstå om det er delelig med 7 eller ikke, kan denne prosedyren fortsettes så mange ganger du anser nødvendig).
For eksempel, 45 5 og 4580 1 har egenskapene til delbarhet med 7. I det første tilfellet er alt ganske enkelt: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. I det andre tilfellet vil vi gjøre dette: 4580 -2*1=4580-2=4578. Det er vanskelig for oss å forstå om 457 8 av 7, så la oss gjenta prosessen: 457 -2*8=457-16=441. Og igjen skal vi bruke delebarhetstesten, siden vi fortsatt har et tresifret tall foran oss 44 1. Så, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, dvs. 42 er delelig med 7 uten en rest, noe som betyr at 45801 er delelig med 7.
Her er tallene 11 1 og 34 5 er ikke delelig med 7 fordi 11 -2*1=11-2=9 (9 er ikke delelig med 7) og 34 -2*5=34-10=24 (24 er ikke delelig med 7 uten en rest).

Delbarhetstest med 8

Testen for delbarhet med 8 høres slik ut: hvis de siste 3 sifrene danner et tall som er delelig med 8, eller det er 000, så er det gitte tallet delelig med 8.
Tall 1 000 eller 1 088 delelig med 8: den første ender på 000 , den andre 88 :8=11 (delelig med 8 uten rest).
Og her er tallene 1 100 eller 4 757 er ikke delelig med 8 fordi tall 100 Og 757 er ikke delelig med 8 uten en rest.

Delbarhetstest med 9

Dette delelighetstegnet ligner tegnet på delbarhet med 3: hvis summen av sifrene i et tall er delelig med 9, så er tallet delelig med 9; Hvis summen av sifrene i et tall ikke er delelig med 9, er tallet ikke delelig med 9.
For eksempel: 3987 og 144 er delbare med 9, fordi i det første tilfellet er 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - delelig med 9 uten rest), og i den andre 1+4+4= 9 (9:9=1 - også delelig med 9).
Men tallene: 235 og 141 er ikke delbare med 9, fordi 2+3+5= 10 og 1+4+1= 6 (og vi vet at verken 10 eller 6 er delbare med 9 uten en rest).

Tegn på delbarhet med 10, 100, 1000 og andre sifferenheter

Jeg kombinerte disse tegnene på delbarhet fordi de kan beskrives på samme måte: et tall deles på en sifferenhet hvis antallet nuller på slutten av tallet er større enn eller lik antallet nuller ved en gitt sifferenhet .
Med andre ord har vi for eksempel følgende tall: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . hvorav alle er delbare med 1 0 ; 46400 og 867 000 er også delelig med 1 00 ; og bare en av dem er 867 000 delelig med 1 000 .
Alle tall som har færre etterfølgende nuller enn sifferenheten er ikke delbare med den sifferenheten, for eksempel 600 30 og 7 93 ikke delelig 1 00 .

Delbarhetstest med 11

For å finne ut om et tall er delelig med 11, må du finne differansen mellom summen av partall og oddetall i dette tallet. Hvis denne forskjellen er lik 0 eller er delelig med 11 uten en rest, så er tallet i seg selv delelig med 11 uten en rest.
For å gjøre det klarere foreslår jeg at du ser på eksempler: 2 35 4 er delelig med 11 fordi ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 er også delelig med 11, siden ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Her er 1 1 1 eller 4 35 4 er ikke delelig med 11, siden vi i det første tilfellet får (1+1)- 1 =1, og i den andre ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Delbarhetstest med 12

Tallet 12 er sammensatt. Dens tegn på delbarhet er samsvar med tegnene på delbarhet med 3 og 4 samtidig.
For eksempel tilsvarer 300 og 636 både fortegnene for delbarhet med 4 (de siste 2 sifrene er null eller er delbare med 4) og fortegnene for delbarhet med 3 (summen av sifrene til både det første og tredje tallet er delbare med 3), men til slutt er de delbare med 12 uten en rest.
Men 200 eller 630 er ikke delbare med 12, fordi i det første tilfellet oppfyller tallet bare kriteriet om delbarhet med 4, og i det andre - bare kriteriet om delbarhet med 3. men ikke begge kriteriene samtidig.

Delbarhetstest med 13

Et tegn på delbarhet med 13 er at hvis antallet tiere av et tall lagt til enhetene til dette tallet multiplisert med 4 er et multiplum av 13 eller lik 0, så er tallet i seg selv delelig med 13.
La oss ta for eksempel 70 2. Så, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 er delelig med 13 uten en rest), som betyr 70 2 er delelig med 13 uten en rest. Et annet eksempel er et tall 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Tallet 130 er delelig med 13 uten en rest, noe som betyr at det gitte tallet tilsvarer kriteriet for delbarhet med 13.
Hvis vi tar tallene 12 5 eller 21 2, så får vi 12 +4*5=32 og 21 +4*2=29, henholdsvis, og verken 32 eller 29 er delbare med 13 uten en rest, noe som betyr at de gitte tallene ikke er delbare med 13 uten en rest.

Delbarhet av tall

Som det fremgår av ovenstående, kan det antas at til enhver av naturlige tall du kan velge ditt eget individuelle tegn på delbarhet eller et "sammensatt" tegn hvis tallet er et multiplum av flere forskjellige tall. Men som praksis viser, jo større tallet er, jo mer komplekst er tegnet. Det er mulig at tiden brukt på å kontrollere delebarhetskriteriet kan være lik eller større enn selve delingen. Derfor bruker vi vanligvis de enkleste tegnene på delbarhet.

Artikkelen undersøker konseptet med å dele heltall med en rest. La oss bevise teoremet om delebarheten til heltall med en rest og se på sammenhengene mellom utbytte og divisorer, ufullstendige kvotienter og rester. La oss se på reglene når vi deler heltall med rester, og ser på dem i detalj ved å bruke eksempler. På slutten av løsningen vil vi utføre en sjekk.

Generell forståelse av deling av heltall med rester

Divisjon av heltall med en rest betraktes som en generalisert divisjon med en rest av naturlige tall. Dette gjøres fordi naturlige tall er en komponent av heltall.

Divisjon med resten av et vilkårlig tall sier at heltallet a er delt på et tall b annet enn null. Hvis b = 0, så ikke del med en rest.

Akkurat som å dele naturlige tall med en rest, deles heltall a og b, med b ikke null, med c og d. I dette tilfellet kalles a og b utbytte og divisor, og d er resten av divisjonen, c er et heltall eller ufullstendig kvotient.

Hvis vi antar at resten ikke er en helhet et negativt tall, da er verdien ikke større enn modulen til tallet b. La oss skrive det slik: 0 ≤ d ≤ b. Denne kjeden av ulikheter brukes når man sammenligner 3 eller flere tall.

Hvis c er en ufullstendig kvotient, så er d resten av å dele hele tallet a med b, som kort kan angis: a: b = c (resten d).

Resten når man deler tall a med b kan være null, da sier de at a er delelig med b helt, det vil si uten en rest. Deling uten rest regnes som et spesielt tilfelle av deling.

Hvis vi deler null med et tall, blir resultatet null. Resten av divisjonen vil også være null. Dette kan spores fra teorien om å dele null med et heltall.

La oss nå se på betydningen av å dele heltall med en rest.

Det er kjent at positive heltall er naturlige tall, så når man deler med en rest, vil man få samme betydning som når man deler naturlige tall med en rest.

Å dele et negativt heltall a med et positivt heltall b er fornuftig. La oss se på et eksempel. Tenk deg en situasjon der vi har en gjeld av varer i mengden a som må betales tilbake av b person. For å oppnå dette må alle bidra likt. For å bestemme gjeldsbeløpet for hver, må du ta hensyn til verdien av de private s. Resten d indikerer at antall poster etter nedbetaling av gjeld er kjent.

La oss se på eksemplet med epler. Hvis 2 personer skylder 7 epler. Regner vi ut at alle må returnere 4 epler, vil de etter full utregning ha 1 eple igjen. La oss skrive dette som en likhet: (− 7) : 2 = − 4 (fra t. 1) .

Å dele et hvilket som helst tall a med et heltall gir ikke mening, men det er mulig som et alternativ.

Teorem om delebarheten av heltall med resten

Vi har identifisert at a er utbyttet, så er b divisor, c er partiell kvotient, og d er resten. De er knyttet til hverandre. Vi vil vise denne sammenhengen ved å bruke likheten a = b · c + d. Forbindelsen mellom dem er preget av delebarhetsteoremet med resten.

Teorem

Ethvert heltall kan bare representeres gjennom et heltall og ikke-null tall b på denne måten: a = b · q + r, hvor q og r er noen heltall. Her har vi 0 ≤ r ≤ b.

La oss bevise muligheten for eksistensen av a = b · q + r.

Bevis

Hvis det er to tall a og b, og a er delelig med b uten en rest, så følger det av definisjonen at det er et tall q, og likheten a = b · q vil være sann. Da kan likheten betraktes som sann: a = b · q + r for r = 0.

Da er det nødvendig å ta q slik at gitt av ulikheten b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Vi har at verdien av uttrykket a − b · q er større enn null og ikke større enn verdien av tallet b, det følger at r = a − b · q. Vi finner at tallet a kan representeres på formen a = b · q + r.

Vi må nå vurdere å representere a = b · q + r for negative verdier av b.

Modulen til tallet viser seg å være positiv, da får vi a = b · q 1 + r, hvor verdien q 1 er et heltall, r er et heltall som oppfyller betingelsen 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Bevis på unikhet

La oss anta at a = b q + r, q og r er heltall med betingelsen 0 ≤ r sann< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Og r 1 er noen tall hvor q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .

Når ulikheten trekkes fra venstre og høyre side, får vi 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, som tilsvarer r - r 1 = b · q 1 - q. Siden modulen brukes, får vi likheten r - r 1 = b · q 1 - q.

Den gitte betingelsen sier at 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q Og q 1- hele, og q ≠ q 1, deretter q 1 - q ≥ 1. Herfra har vi at b · q 1 - q ≥ b. De resulterende ulikhetene r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Det følger at tallet a ikke kan representeres på noen annen måte enn ved å skrive a = b · q + r.

Sammenheng mellom utbytte, divisor, delkvotient og rest

Ved å bruke likheten a = b · c + d kan du finne det ukjente utbyttet a når divisor b med den ufullstendige kvotienten c og resten d er kjent.

Eksempel 1

Bestem utbyttet hvis vi ved deling får - 21, partialkvotienten er 5 og resten er 12.

Løsning

Det er nødvendig å beregne utbyttet a med en kjent divisor b = − 21, ufullstendig kvotient c = 5 og resten d = 12. Vi må vende oss til likheten a = b · c + d, herfra får vi a = (− 21) · 5 + 12. Hvis vi følger rekkefølgen på handlingene, multipliserer vi - 21 med 5, hvoretter vi får (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.

Svar: - 93 .

Sammenhengen mellom divisor og partialkvotient og rest kan uttrykkes ved hjelp av likhetene: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b og d = a − b · c . Med deres hjelp kan vi beregne divisor, partiell kvotient og rest. Dette kommer ned til å hele tiden finne resten når du deler et heltall av heltall a med b med kjent utbytte, divisor og partiell kvotient. Formelen d = a − b · c brukes. La oss vurdere løsningen i detalj.

Eksempel 2

Finn resten når du deler heltall - 19 med heltall 3 med en kjent ufullstendig kvotient lik - 7.

Løsning

For å beregne resten av divisjonen bruker vi en formel på formen d = a − b · c. Etter betingelse er alle data tilgjengelige: a = − 19, b = 3, c = − 7. Herfra får vi d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (forskjell − 19 − (− 21). Dette eksemplet er beregnet ved å bruke subtraksjonsregelen et negativt heltall.

Svar: 2 .

Alle positive heltall er naturlige tall. Det følger at divisjon utføres i henhold til alle divisjonsreglene med en rest av naturlige tall. Divisjonshastigheten med resten av naturlige tall er viktig, siden ikke bare delingen av positive tall, men også reglene for å dele vilkårlige heltall er basert på den.

Den mest praktiske divisjonsmetoden er en kolonne, siden det er lettere og raskere å få en ufullstendig eller bare en kvotient med en rest. La oss se på løsningen mer detaljert.

Eksempel 3

Del 14671 med 54.

Løsning

Denne inndelingen må gjøres i en kolonne:

Det vil si at partialkvotienten er lik 271, og resten er 37.

Svar: 14.671: 54 = 271. (rest 37)

Regelen for å dele med en rest et positivt heltall med et negativt heltall, eksempler

For å utføre divisjon med resten av et positivt tall med et negativt heltall, er det nødvendig å formulere en regel.

Definisjon 1

Den ufullstendige kvotienten ved å dele det positive heltall a med det negative heltall b gir et tall som er motsatt av den ufullstendige kvotienten ved å dele modulene til tallene a med b. Da er resten lik resten når a deles på b.

Derfor har vi at den ufullstendige kvotienten for å dele et positivt heltall med et negativt heltall anses som et ikke-positivt heltall.

Vi får algoritmen:

• divider modulen til utbytte med modulen til divisor, så får vi en ufullstendig kvotient og
• rest;
• La oss skrive ned det motsatte tallet til det vi fikk.

La oss se på eksemplet med algoritmen for å dele et positivt heltall med et negativt heltall.

Eksempel 4

Del med resten 17 med - 5.

Løsning

La oss bruke algoritmen for å dele med en rest et positivt heltall med et negativt heltall. Det er nødvendig å dele 17 med - 5 modulo. Herfra får vi at partialkvotienten er lik 3, og resten er lik 2.

Vi får det nødvendige tallet ved å dele 17 med - 5 = - 3 med en rest lik 2.

Svar: 17: (− 5) = − 3 (resterende 2).

Eksempel 5

Du må dele 45 med - 15.

Løsning

Det er nødvendig å dele tallene modulo. Del tallet 45 med 15, vi får kvotienten 3 uten rest. Dette betyr at tallet 45 er delelig med 15 uten en rest. Svaret er - 3, siden delingen ble utført modulo.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Svar: 45: (− 15) = − 3 .

Formuleringen av regelen for deling med en rest er som følger.

Definisjon 2

For å få en ufullstendig kvotient c når du deler et negativt heltall a med en positiv b, må du bruke det motsatte av det gitte tallet og trekke 1 fra det, så vil resten d bli beregnet med formelen: d = a − b · c.

Basert på regelen kan vi konkludere med at når vi deler får vi et ikke-negativt heltall. For å sikre nøyaktigheten til løsningen, bruk algoritmen for å dele a med b med en rest:

• finn modulene til utbytte og divisor;
• dele modulo;
• skriv ned det motsatte av det gitte tallet og trekk fra 1;
• bruk formelen for resten d = a − b · c.

La oss se på et eksempel på en løsning der denne algoritmen brukes.

Eksempel 6

Finn delkvotienten og resten av divisjonen - 17 x 5.

Løsning

Vi deler de gitte tallene modulo. Vi finner at når vi deler, er kvotienten 3 og resten er 2. Siden vi fikk 3, er det motsatte 3. Du må trekke fra 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Ønsket verdi er lik -4.

For å beregne resten trenger du a = − 17, b = 5, c = − 4, deretter d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

Dette betyr at den ufullstendige kvotienten for divisjon er tallet - 4 med en rest lik 3.

Svar:(− 17): 5 = − 4 (resterende 3).

Eksempel 7

Del det negative heltall - 1404 med det positive 26.

Løsning

Det er nødvendig å dele etter kolonne og modul.

Vi fikk inndelingen av modulene av tall uten en rest. Dette betyr at divisjonen utføres uten rest, og ønsket kvotient = - 54.

Svar: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Delingsregel med resten for negative heltall, eksempler

Det er nødvendig å formulere en regel for divisjon med resten av negative heltall.

Definisjon 3

For å få en ufullstendig kvotient c fra å dele et negativt heltall a med et negativt heltall b, er det nødvendig å utføre modulo-beregninger, deretter legge til 1, så kan vi utføre beregninger ved å bruke formelen d = a − b · c.

Det følger at den ufullstendige kvotienten for å dele negative heltall vil være et positivt tall.

La oss formulere denne regelen i form av en algoritme:

• finn modulene til utbytte og divisor;
• del modulen til utbytte med modulen til divisor for å få en ufullstendig kvotient med
• rest;
• legge til 1 til den ufullstendige kvotienten;
• beregning av resten basert på formelen d = a − b · c.

La oss se på denne algoritmen ved å bruke et eksempel.

Eksempel 8

Finn delkvotienten og resten når du deler - 17 med - 5.

Løsning

For riktigheten av løsningen bruker vi algoritmen for divisjon med en rest. Del først tallene modulo. Fra dette får vi at partialkvotienten = 3 og resten er 2. I henhold til regelen må du legge til den ufullstendige kvotienten og 1. Vi får at 3 + 1 = 4. Herfra får vi at partialkvotienten for å dele de gitte tallene er lik 4.

For å beregne resten bruker vi formelen. Ved vilkår har vi at a = − 17, b = − 5, c = 4, så, ved å bruke formelen, får vi d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Det nødvendige svaret, det vil si resten, er lik 3, og partialkvotienten er lik 4.

Svar:(− 17): (− 5) = 4 (resterende 3).

Kontrollere resultatet av å dele heltall med en rest

Etter å ha delt tall med en rest, må du utføre en sjekk. Denne kontrollen omfatter 2 trinn. Først sjekkes resten d for ikke-negativitet, betingelsen 0 ≤ d er oppfylt< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

La oss se på eksempler.

Eksempel 9

Inndelingen er gjort - 521 av - 12. Kvoten er 44, resten er 7. Utfør sjekk.

Løsning

Siden resten er et positivt tall, er verdien mindre enn modulen til divisoren. Divisoren er -12, som betyr at modulen er 12. Du kan gå videre til neste sjekkpunkt.

Ved betingelse har vi at a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. Herfra beregner vi b · c + d, hvor b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Det følger at likheten er sann. Bekreftelse bestått.

Eksempel 10

Utfør delingskontroll (− 17): 5 = − 3 (resterende − 2). Er likestilling sant?

Løsning

Poenget med det første trinnet er at det er nødvendig å kontrollere delingen av heltall med en rest. Fra dette er det klart at handlingen ble utført feil, siden en rest lik - 2 er gitt. Resten er ikke et negativt tall.

Vi har at det andre vilkåret er oppfylt, men ikke tilstrekkelig for denne saken.

Svar: Nei.

Eksempel 11

Tallet - 19 ble delt på - 3. Delkvotienten er 7 og resten er 1. Sjekk om denne beregningen ble utført riktig.

Løsning

Gitt en rest lik 1. Han er positiv. Verdien er mindre enn delemodulen, noe som betyr at det første trinnet fullføres. La oss gå videre til den andre fasen.

La oss beregne verdien av uttrykket b · c + d. Ved betingelse har vi at b = − 3, c = 7, d = 1, som betyr å erstatte numeriske verdier, får vi b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20 . Det følger at a = b · c + d likheten ikke holder, siden betingelsen gir a = - 19.

Av dette følger at inndelingen er gjort med en feil.

Svar: Nei.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

I denne artikkelen skal vi se på deling av heltall med resten. La oss starte med det generelle prinsippet om å dele heltall med en rest, formulere og bevise teoremet om delebarheten av heltall med en rest, og spore sammenhengene mellom utbytte, divisor, ufullstendig kvotient og rest. Deretter vil vi skissere reglene som heltall deles med en rest etter, og vurdere bruken av disse reglene når vi løser eksempler. Etter dette vil vi lære hvordan du sjekker resultatet av å dele heltall med en rest.

Sidenavigering.

Generell forståelse av å dele heltall med en rest

Vi vil vurdere deling av heltall med en rest som en generalisering divisjon med resten av naturlige tall. Dette er fordi heltall er integrert del heltall.

La oss starte med begrepene og betegnelsene som brukes i beskrivelsen.

I analogi med delingen av naturlige tall med en rest, vil vi anta at resultatet av divisjon med en rest av to heltall a og b (b er ikke lik null) er to heltall c og d. Tallene a og b kalles delelig Og deler følgelig tallet d – resten fra å dele a med b, og hele tallet c kalles ufullstendig privat(eller ganske enkelt privat, hvis resten er null).

La oss bli enige om å anta at det er en rest ikke-negativt heltall, og verdien overstiger ikke b, det vil si (vi møtte lignende kjeder av ulikheter da vi snakket om sammenligne tre eller flere heltall).

Hvis tallet c er en ufullstendig kvotient, og tallet d er resten av å dele hele tallet a med hele tallet b, så vil vi kort skrive dette faktum som en likhet på formen a:b=c (rest d).

Merk at når du deler et heltall a med et heltall b, kan resten være null. I dette tilfellet sier vi at a er delelig med b uten et spor(eller helt). Dermed, deling av heltall uten rest er et spesielt tilfelle av å dele heltall med en rest.

Det er også verdt å si at når vi deler null med et heltall, har vi alltid å gjøre med divisjon uten rest, siden kvotienten i dette tilfellet vil være lik null (se teoridelen å dele null på et heltall), og resten vil også være null.

Vi har bestemt oss for terminologi og notasjon, la oss nå forstå betydningen av å dele heltall med en rest.

Å dele et negativt heltall a med et heltall positivt tall b kan også gis mening. For å gjøre dette, vurder negativt heltall som gjeld. La oss forestille oss denne situasjonen. Gjelden som utgjør gjenstandene skal b personer betale tilbake ved å yte et likeverdig bidrag. Den absolutte verdien av den ufullstendige kvotienten c vil i dette tilfellet bestemme gjeldsbeløpet til hver av disse personene, og resten d vil vise hvor mange gjenstander som gjenstår etter at gjelden er betalt. La oss gi et eksempel. La oss si at 2 personer skylder 7 epler. Hvis vi antar at hver av dem skylder 4 epler, vil de etter å ha betalt gjelden ha 1 eple igjen. Denne situasjonen tilsvarer likhet (−7):2=−4 (resterende 1).

Vi vil ikke legge noen mening til divisjon med en rest av et vilkårlig heltall a med et negativt heltall, men vi vil forbeholde oss retten til å eksistere.

Teorem om delebarheten av heltall med resten

Da vi snakket om å dele naturlige tall med en rest, fant vi ut at utbyttet a, divisor b, partiell kvotient c og rest d er relatert til likheten a=b·c+d. Heltallene a, b, c og d har samme sammenheng. Denne forbindelsen bekreftes som følger delelighetsteorem med resten.

Teorem.

Ethvert heltall a kan representeres unikt gjennom et heltall og ikke-null tall b i formen a=b·q+r, der q og r er noen heltall, og .

Bevis.

Først beviser vi muligheten for å representere a=b·q+r.

Hvis heltall a og b er slik at a er delelig med b, så er det per definisjon et heltall q slik at a=b·q. I dette tilfellet gjelder likheten a=b·q+r ved r=0.

Nå vil vi anta at b er et positivt heltall. La oss velge et heltall q slik at produktet b·q ikke overskrider tallet a, og produktet b·(q+1) allerede er større enn a. Det vil si at vi tar q slik at ulikhetene b q

Det gjenstår å bevise muligheten for å representere a=b·q+r for negativ b .

Siden modulen til tallet b i dette tilfellet er et positivt tall, så er det en representasjon der q 1 er et heltall, og r er et heltall som tilfredsstiller betingelsene. Deretter, ved å ta q=−q 1, får vi representasjonen vi trenger a=b·q+r for negativ b.

La oss gå videre til beviset på unikhet.

Anta at i tillegg til representasjonen a=b·q+r, q og r er heltall og , er det en annen representasjon a=b·q 1 +r 1, der q 1 og r 1 er noen heltall, og q 1 ≠ q og .

Etter å ha trukket venstre og høyre side av den andre likheten fra henholdsvis venstre og høyre side av den første likheten, får vi 0=b·(q−q 1)+r−r 1, som er ekvivalent med likheten r− r 1 =b·(q 1 -q) . Deretter en likhet av formen , og på grunn av egenskapene til tallmodulen, likheten .

Ut fra forholdene kan vi konkludere det. Siden q og q 1 er heltall og q≠q 1, så konkluderer vi med at . Fra de oppnådde ulikhetene og det følger at en likhet av formen umulig under vår antagelse. Derfor er det ingen annen representasjon av tallet a enn a=b·q+r.

Forholdet mellom utbytte, divisor, delkvotient og rest

Likheten a=b·c+d lar deg finne det ukjente utbyttet a hvis divisor b, partiell kvotient c og resten d er kjent. La oss se på et eksempel.

Eksempel.

Hva er verdien av utbyttet hvis resultatet er en ufullstendig kvotient på 5 og en rest på 12, når det divideres med hele tallet −21?

Løsning.

Vi må beregne utbyttet a når divisoren b=−21, partialkvotienten c=5 og resten d=12 er kjent. Når vi ser på likheten a=b·c+d, får vi a=(−21)·5+12. Når vi observerer , multipliserer vi først heltallene −21 og 5 med regelen for å multiplisere heltall med forskjellige fortegn, hvoretter vi utfører addisjon av heltall med forskjellige fortegn: (−21)·5+12=−105+12=−93 .

Svar:

−93 .

Sammenhengene mellom utbytte, divisor, partiell kvotient og rest er også uttrykt ved likheter på formen b=(a−d):c, c=(a−d):b og d=a−b·c. Disse likhetene lar deg beregne henholdsvis divisor, partiell kvotient og resten. Vi vil ofte måtte finne resten når vi deler et heltall a med et heltall b når utbytte, divisor og partiell kvotient er kjent, ved å bruke formelen d=a−b·c. For å unngå ytterligere spørsmål, la oss se på et eksempel på beregning av resten.

Eksempel.

Finn resten når du deler hele tallet −19 med heltall 3 hvis du vet at partialkvotienten er lik −7.

Løsning.

For å beregne resten av divisjonen bruker vi en formel på formen d=a−b·c. Fra betingelsen har vi alle nødvendige data a=−19, b=3, c=−7. Vi får d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (vi regnet ut forskjellen −19−(−21) ved å bruke regel for å trekke et negativt heltall).

Svar:

Divisjon med resten av positive heltall, eksempler

Som vi har bemerket mer enn én gang, er positive heltall naturlige tall. Derfor utføres divisjon med en rest av positive heltall i henhold til alle reglene for divisjon med en rest av naturlige tall. Det er veldig viktig å enkelt kunne prestere divisjon med resten av naturlige tall, siden det er nettopp dette som ligger til grunn for delingen av ikke bare positive heltall, men også grunnlaget for alle regler for divisjon med en rest av vilkårlige heltall.

Fra vårt synspunkt er det mest praktisk å utføre inndeling etter kolonne, lar denne metoden deg få både den ufullstendige kvotienten (eller ganske enkelt kvotienten) og resten. La oss se på et eksempel på divisjon med resten av positive heltall.

Eksempel.

Del med resten 14 671 med 54.

Løsning.

La oss dele disse positive heltallene med en kolonne:

Den partielle kvotienten viste seg å være lik 271, og resten er lik 37.

Svar:

14 671:54=271 (rest. 37) .

Regelen for å dele med en rest et positivt heltall med et negativt heltall, eksempler

La oss formulere en regel som lar oss utføre divisjon med resten av et positivt heltall med et negativt heltall.

Partialkvotienten ved å dele et positivt heltall a med et negativt heltall b er det motsatte av partialkvotienten ved å dele a med modulen til b, og resten av å dele a med b er lik resten av å dele med.

Fra denne regelen følger det at partialkvotienten for å dele et positivt heltall med et negativt heltall er ikke-positivt heltall.

La oss transformere den oppgitte regelen til en algoritme for å dele et positivt heltall med en rest med et negativt heltall:

• Vi deler modulen til utbyttet med modulen til divisoren, og oppnår partialkvotienten og resten. (Hvis resten er lik null, deles de opprinnelige tallene uten rest, og i henhold til regelen for å dele heltall med motsatte fortegn, er den nødvendige kvotienten lik tallet motsatt kvotienten fra delingen av modulene. )
• Vi skriver ned tallet motsatt av den resulterende ufullstendige kvotienten og resten. Disse tallene er henholdsvis den nødvendige kvotienten og resten av å dele det opprinnelige positive heltall med et negativt heltall.

La oss gi et eksempel på bruk av algoritmen for å dele et positivt heltall med et negativt heltall.

Eksempel.

Del med resten av det positive heltall 17 med det negative heltall −5.

Løsning.

La oss bruke algoritmen for å dele med en rest et positivt heltall med et negativt heltall.

Ved å dele

Antall, motsatt tall 3 er −3. Dermed er den nødvendige partielle kvotienten for å dele 17 med −5 −3, og resten er 2.

Svar:

17 :(−5)=−3 (resterende 2).

Eksempel.

Dele opp 45 ganger -15.

Løsning.

Modulene til utbytte og divisor er henholdsvis 45 og 15. Tallet 45 er delelig med 15 uten en rest, og kvotienten er 3. Derfor deles det positive heltallet 45 med det negative heltallet −15 uten en rest, og kvotienten er lik tallet overfor 3, det vil si −3. Faktisk ifølge regel for å dele heltall med forskjellige fortegn vi har .

Svar:

45:(−15)=−3 .

Divisjon med resten av et negativt heltall med et positivt heltall, eksempler

La oss gi formuleringen av regelen for å dele med en rest et negativt heltall med et positivt heltall.

For å få en ufullstendig kvotient c fra å dele et negativt heltall a med et positivt heltall b, må du ta tallet motsatt av den ufullstendige kvotienten fra å dele modulene til de opprinnelige tallene og trekke en fra den, hvoretter resten d beregnes ved å bruke formelen d=a−b·c.

Fra denne divisjonsregelen med en rest følger det at partialkvotienten for å dele et negativt heltall med et positivt heltall er et negativt heltall.

Fra den oppgitte regelen følger en algoritme for å dele med en rest et negativt heltall a med et positivt heltall b:

• Finne modulene til utbytte og divisor.
• Vi deler modulen til utbyttet med modulen til divisoren, og oppnår partialkvotienten og resten. (Hvis resten er null, deles de opprinnelige heltallene uten en rest, og den nødvendige kvotienten er lik tallet motsatt kvotienten til moduldivisjonen.)
• Vi skriver ned tallet motsatt av den resulterende ufullstendige kvotienten og trekker tallet 1 fra det. Det beregnede tallet er den ønskede partielle kvotienten c fra å dele det opprinnelige negative heltall med et positivt heltall.

La oss analysere løsningen på eksemplet, der vi bruker den skriftlige divisjonsalgoritmen med en rest.

Eksempel.

Finn delkvotienten og resten når du deler det negative heltall −17 med det positive heltall 5.

Løsning.

Modulen til utbyttet −17 er lik 17, og modulen til divisor 5 er lik 5.

Ved å dele 17 x 5 får vi partialkvotienten 3 og resten 2.

Det motsatte av 3 er −3. Trekk en fra −3: −3−1=−4. Så den nødvendige partielle kvotienten er lik −4.

Det gjenstår bare å beregne resten. I vårt eksempel a=−17 , b=5 , c=−4 , så d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Dermed er partialkvotienten for å dele det negative heltall -17 med det positive heltall 5 -4, og resten er 3.

Svar:

(−17):5=−4 (resterende 3) .

Eksempel.

Del det negative heltall -1,404 med det positive heltall 26.

Løsning.

Modulen for utbytte er 1404, modulen til divisor er 26.

Del 1404 med 26 ved å bruke en kolonne:

Siden modulen til utbyttet er delt med modulen til divisoren uten en rest, deles de opprinnelige heltallene uten en rest, og den ønskede kvotienten er lik tallet motsatt 54, det vil si -54.

Svar:

(−1 404):26=−54 .

Delingsregel med resten for negative heltall, eksempler

La oss formulere regelen for divisjon med resten av negative heltall.

For å få en ufullstendig kvotient c fra å dele et negativt heltall a med et negativt heltall b, må du beregne den ufullstendige kvotienten fra å dele modulene til de opprinnelige tallene og legge til en til den, hvoretter resten d beregnes ved hjelp av formelen d =a−b·c.

Fra denne regelen følger det at partialkvotienten for å dele negative heltall er et positivt heltall.

La oss omskrive den oppgitte regelen i form av en algoritme for å dele negative heltall:

• Finne modulene til utbytte og divisor.
• Vi deler modulen til utbyttet med modulen til divisoren, og oppnår partialkvotienten og resten. (Hvis resten er null, deles de opprinnelige heltallene uten en rest, og den nødvendige kvotienten er lik kvotienten til divisormodulen delt på divisormodulen.)
• Vi legger til en til den resulterende ufullstendige kvotienten; dette tallet er den ønskede ufullstendige kvotienten fra delingen av de opprinnelige negative heltallene.
• Vi beregner resten ved å bruke formelen d=a−b·c.

La oss vurdere bruken av algoritmen for å dele negative heltall når vi løser et eksempel.

Eksempel.

Finn partialkvotienten og resten når du deler et negativt heltall −17 med et negativt heltall −5.

Løsning.

La oss bruke den riktige divisjonsalgoritmen med en rest.

Modulen for utbytte er 17, modulen til divisor er 5.

Inndeling 17 over 5 gir delkvotienten 3 og resten 2.

Til den ufullstendige kvotienten 3 legger vi til en: 3+1=4. Derfor er den nødvendige partielle kvotienten for å dele −17 med −5 lik 4.

Det gjenstår bare å beregne resten. I dette eksemplet a=−17 , b=−5 , c=4 , så d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 .

Så partialkvotienten for å dele et negativt heltall -17 med et negativt heltall -5 er 4, og resten er 3.

Svar:

(−17):(−5)=4 (resterende 3) .

Kontrollere resultatet av å dele heltall med en rest

Etter å ha delt heltall med en rest, er det nyttig å sjekke resultatet. Verifikasjonen utføres i to trinn. På det første trinnet sjekkes det om resten d er et ikke-negativt tall, og det sjekkes også om betingelsen er oppfylt. Hvis alle betingelsene for det første stadiet av verifisering er oppfylt, kan du fortsette til det andre stadiet av verifisering, ellers kan det argumenteres for at det ble gjort en feil et sted når du delte med en gjenværende. På det andre trinnet kontrolleres gyldigheten av likheten a=b·c+d. Hvis denne likheten er sann, ble delingen med en rest utført riktig, ellers ble det gjort en feil et sted.

La oss se på løsninger på eksempler der resultatet av å dele heltall med en rest kontrolleres.

Eksempel.

Når du deler tallet -521 med -12, var partialkvotienten 44 og resten var 7, sjekk resultatet.

Løsning. −2 for b=−3, c=7, d=1. Vi har b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Dermed er likheten a=b·c+d feil (i vårt eksempel a=−19).

Derfor ble deling med en rest utført feil.

La oss se på et enkelt eksempel:
15:5=3
I dette eksemplet delte vi det naturlige tallet 15 helt med 3, uten rest.

Noen ganger kan et naturlig tall ikke deles helt. Tenk for eksempel på problemet:
Det var 16 leker i skapet. Det var fem barn i gruppen. Hvert barn tok like mange leker. Hvor mange leker har hvert barn?

Løsning:
Del tallet 16 med 5 ved hjelp av en kolonne og vi får:

Vi vet at 16 ikke kan deles på 5. Det nærmeste mindre tallet som er delelig med 5 er 15 med en rest på 1. Vi kan skrive tallet 15 som 5⋅3. Som et resultat (16 – utbytte, 5 – divisor, 3 – ufullstendig kvotient, 1 – resten). Fikk formel divisjon med resten som kan gjøres sjekke løsningen.

en= b⋅ c+ d
en - delelig,
b - deler,
c – ufullstendig kvotient,
d - resten.

Svar: hvert barn tar 3 leker og ett leketøy blir igjen.

Resten av divisjonen

Resten må alltid være mindre enn divisor.

Hvis resten er null under deling, betyr dette at utbyttet deles helt eller uten en rest på divisoren.

Hvis resten under deling er større enn divisor, betyr dette at tallet som er funnet ikke er det største. Det er et større antall som vil dele utbyttet og resten vil være mindre enn deleren.

Spørsmål om emnet "Inndeling med resten":
Kan resten være større enn divisoren?
Svar: nei.

Kan resten være lik divisor?
Svar: nei.

Hvordan finne utbytte ved å bruke den ufullstendige kvotienten, divisoren og resten?
Svar: Vi erstatter verdiene av partiell kvotient, divisor og resten i formelen og finner utbyttet. Formel:
a=b⋅c+d

Eksempel #1:
Utfør deling med resten og kontroller: a) 258:7 b) 1873:8

Løsning:
a) Del etter kolonne:

258 – utbytte,
7 - skillevegg,
36 – ufullstendig kvotient,
6 – resten. Resten er mindre enn divisor 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Del etter kolonne:

1873 – delelig,
8 - deler,
234 - ufullstendig kvotient,
1 – resten. Resten er mindre enn divisor 1<8.

La oss erstatte det med formelen og sjekke om vi løste eksempelet riktig:
8⋅234+1=1872+1=1873

Eksempel #2:
Hvilke rester får man ved å dele naturlige tall: a) 3 b)8?

Svar:
a) Resten er mindre enn divisoren, derfor mindre enn 3. I vårt tilfelle kan resten være 0, 1 eller 2.
b) Resten er mindre enn divisoren, derfor mindre enn 8. I vårt tilfelle kan resten være 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 eller 7.

Eksempel #3:
Hva er den største resten som kan oppnås ved å dele naturlige tall: a) 9 b) 15?

Svar:
a) Resten er mindre enn divisor, derfor mindre enn 9. Men vi må angi den største resten. Det vil si tallet nærmest deleren. Dette er tallet 8.
b) Resten er mindre enn divisoren, derfor mindre enn 15. Men vi må angi den største resten. Det vil si tallet nærmest deleren. Dette tallet er 14.

Eksempel #4:
Finn utbyttet: a) a:6=3(rest.4) b) c:24=4(rest.11)

Løsning:
a) Løs ved hjelp av formelen:
a=b⋅c+d
(a – utbytte, b – divisor, c – partiell kvotient, d – resten.)
a:6=3(rest.4)
(a – utbytte, 6 – divisor, 3 – partiell kvotient, 4 – resten.) La oss erstatte tallene i formelen:
a=6⋅3+4=22
Svar: a=22

b) Løs ved hjelp av formelen:
a=b⋅c+d
(a – utbytte, b – divisor, c – partiell kvotient, d – resten.)
s:24=4(rest.11)
(c – utbytte, 24 – divisor, 4 – partiell kvotient, 11 – resten.) La oss erstatte tallene i formelen:
с=24⋅4+11=107
Svar: c=107

Oppgave:

Ledning 4m. må kuttes i 13 cm biter. Hvor mange slike stykker blir det?

Løsning:
Først må du konvertere meter til centimeter.
4m.=400cm.
Vi kan dele med en kolonne eller i tankene våre får vi:
400:13=30 (resterende 10)
La oss sjekke:
13⋅30+10=390+10=400

Svar: Du får 30 stykker og 10 cm tråd blir igjen.