Differensialligninger for bevegelse. Differensialligninger for bevegelse av et materialpunkt Introduksjon til dynamikk. Grunnleggende bestemmelser

DYNAMIKK

Elektronisk lærebok om disiplinen: "Teoretisk mekanikk"

for studenter korrespondanseskjema opplæring

Samsvarer med den føderale utdanningsstandarden

(tredje generasjon)

Sidorov V.N., doktor i tekniske vitenskaper, professor

Yaroslavl statlige tekniske universitet

Yaroslavl, 2016

Introduksjon…………………………………………………………………………………

Dynamikk………………………………………………………………………………..

1.Introduksjon til dynamikk. Grunnleggende bestemmelser …………………………

1.1.Grunnleggende begreper og definisjoner………………………………………

1.2.Newtons lover og dynamikkproblemer………………………………

1.3. Hovedtyper av krefter................................................................... ..........

Tyngdekraften………………………………………………………………………

Tyngdekraften …………………………………………………………..

Friksjonskraft …………………………………………………………………

Elastisk kraft………………………………………………………………..

1.4.Differensiallikninger bevegelser………………………..

Differensialligninger for bevegelse av et punkt………………..

Differensialligninger for mekanisk bevegelse

systemer……………………………………………………….

2. Generelle teoremer om dynamikk………………………. …………………

2.1.Setning om bevegelsen til massesenteret ……………….. ………………

2.2. Teorem om endringen i momentum…………………………

2.3.Setning om endringen i vinkelmomentum…… ……

Momentteorem………………………………………………………………………………………

Kinetisk øyeblikk av en stiv kropp………………………………….

Aksielt treghetsmoment for et stivt legeme …………………………..

Huygens – Steiner – Euler teorem………………………..

Ligning av dynamikk i rotasjonsbevegelse til et stivt legeme ...

2.4.Setning om endringen i kinetisk energi…………………..

Teorem om endring i kinetisk energi til et materiale

poeng……………………………………………………………………….

Teorem om endring i kinetisk energi til mekanisk

systemer………………………………………………………………

Formler for å beregne den kinetiske energien til et fast legeme

i ulike tilfeller av bevegelse………………………………………………………………

Eksempler på beregning av styrkearbeid……………………………….

2.5 Loven om bevaring av mekanisk energi……………………….

Introduksjon

"Hvem er ikke kjent med mekanikkens lover

han kan ikke kjenne naturen"

Galileo Galilei

Betydningen av mekanikk, dens betydelige rolle i å forbedre produksjonen, øke effektiviteten, akselerere den vitenskapelige og tekniske prosessen og introdusere vitenskapelig utvikling, øke arbeidsproduktiviteten og forbedre kvaliteten på produktene, er dessverre ikke klart forstått av alle departements- og avdelingssjefer. , høyere utdanningsinstitusjoner, samt hva mekanikken i våre dager representerer /1/. Som regel bedømmes det etter innholdet i teoretisk mekanikk, studert ved alle høyere tekniske utdanningsinstitusjoner.

Studentene skal vite hvor viktig teoretisk mekanikk er, som en av de grunnleggende ingeniørdisiplinene i høyere utdanning, det vitenskapelige grunnlaget for de viktigste delene moderne teknologi, en slags bro som forbinder matematikk og fysikk med anvendt vitenskap, med et fremtidig yrke. I klassene på teoretisk mekanikk For første gang læres studentene systemtenkning og evnen til å stille og løse praktiske problemer. Løs dem til slutten, til det numeriske resultatet. Lær å analysere en løsning, etablere grensene for dens anvendelighet og kravet til nøyaktigheten til kildedataene.

Det er like viktig for studentene å vite at teoretisk mekanikk bare er en innledende, men absolutt nødvendig, del av den moderne mekanikkens kolossale byggverk i vid forstand av denne grunnleggende vitenskapen. At den skal utvikles i andre grener av mekanikk: materialers styrke, teori om plater og skjell, teori om vibrasjoner, regulering og stabilitet, kinematikk og dynamikk av maskiner og mekanismer, mekanikk for væske og gass, kjemisk mekanikk.

Prestasjoner innen alle seksjoner av maskinteknikk og instrumentproduksjon, byggeindustri og vannteknikk, gruvedrift og prosessering av malm, kull, olje og gass, jernbane- og veitransport, skipsbygging, luftfart og romteknologi er basert på en dyp forståelse av lovene i mekanikk.

Læreboken er beregnet på studenter i maskinteknikk, automekaniske spesialiteter på korrespondansekurs ved et teknisk universitet i henhold til et forkortet kursprogram.

Så, noen definisjoner.

Teoretisk mekanikk er en vitenskap som studerer de generelle lovene for mekanisk bevegelse og likevekt av materielle objekter og de resulterende mekaniske interaksjonene mellom materielle objekter.

Under mekanisk bevegelse av en materiell gjenstand forstå en endring i dens posisjon i forhold til andre materielle objekter som oppstår over tid.

Under mekanisk interaksjon antyde slike handlinger av kropper på hverandre, hvor bevegelsene til disse kroppene endres, eller de selv er deformert (endrer form).

Teoretisk mekanikk består av tre seksjoner: statikk, kinematikk og dynamikk.

DYNAMIKK

Introduksjon til dynamikk. Grunnleggende bestemmelser

Grunnleggende begreper og definisjoner

La oss nok en gang formulere definisjonen av dynamikk som en del av mekanikken i en litt annen form.

Dynamikk – en gren av mekanikk som studerer bevegelsen til materielle objekter, tar hensyn til kreftene som virker på dem.

Vanligvis begynner studiet av dynamikk med å studere dynamikken til et materiell punkt og deretter fortsette å studere mekanisk systemdynamikk.

På grunn av likheten i formuleringene til mange teoremer og lover i disse delene av dynamikk, for å unngå unødvendig duplisering og redusere tekstvolumet i læreboken, er det tilrådelig å presentere disse delene av dynamikk sammen.

La oss presentere noen definisjoner.

Treghet (treghetsloven) – legemers egenskap til å opprettholde en hviletilstand eller ensartet rettlinjet translasjonsbevegelse i fravær av handling på den fra andre legemer (dvs. i fravær av krefter).

Treghet - kroppens evne til å motstå forsøk på å endre, ved hjelp av krefter, hviletilstand eller uniform rettlinjet bevegelse .

Et kvantitativt mål på treghet er vekt(m). Massestandarden er kilogram (kg).

Det følger at jo mer inert et legeme er, jo større masse er det, desto mindre endres hviletilstanden eller jevn bevegelse under påvirkning av en viss kraft, jo mindre endres kroppens hastighet, dvs. kroppen er bedre i stand til å motstå kraft. Og omvendt, jo mindre kroppens masse er, desto mer endres hviletilstanden eller ensartet bevegelse, jo mer endres kroppens hastighet, dvs. Kroppen er mindre motstandsdyktig mot kraft.

Lover og dynamikkproblemer

La oss formulere lovene for dynamikken til et materiell punkt. I teoretisk mekanikk er de akseptert som aksiomer. Gyldigheten av disse lovene skyldes det faktum at hele bygningen til klassisk mekanikk er bygget på grunnlag av dem, hvis lover utføres med stor nøyaktighet. Brudd på lovene til klassisk mekanikk observeres bare ved høye hastigheter (relativistisk mekanikk) og i mikroskopisk skala (kvantemekanikk).

Hovedtyper av krefter

Først av alt, la oss introdusere inndelingen av alle krefter som finnes i naturen i aktive og reaktive (reaksjoner av forbindelser).

Aktiv Nevn en kraft som kan sette en kropp i ro i bevegelse.

Reaksjon forbindelse oppstår som et resultat av virkningen av en aktiv kraft på en ikke-fri kropp og forhindrer bevegelse av kroppen. Faktisk er det derfor en konsekvens, en respons, en ettervirkning av en aktiv kraft.

La oss vurdere kreftene som oftest oppstår i problemer med mekanikk.

Tyngdekraften

Denne gravitasjonskraften mellom to kropper, bestemt av loven om universell gravitasjon:

hvor er tyngdeakselerasjonen ved jordoverflaten, numerisk lik g≈ 9,8 m/s 2, m– masse av et legeme, eller mekanisk system, definert som den totale massen av alle punkter i systemet:

hvor er radiusvektoren k- oh poenget med systemet. Koordinatene til massesenteret kan oppnås ved å projisere begge sider av likhet (3.6) på aksene:

(7)

Friksjonskraft

Tekniske beregninger er basert på eksperimentelt etablerte lover kalt tørrfriksjonslovene (i fravær av smøring), eller Coulombs lover:

· Når du prøver å bevege en kropp langs overflaten til en annen, oppstår det en friksjonskraft ( statisk friksjonskraft ), hvis verdi kan ta verdier fra null til en viss grenseverdi.

· Størrelsen på den endelige friksjonskraften er lik produktet av en dimensjonsløs, eksperimentelt bestemt friksjonskoeffisient f på kraften til normalt trykk N, dvs.

.

(8)

· Etter å ha nådd grenseverdien for den statiske friksjonskraften, etter at adhesjonsegenskapene til de parrende overflatene er oppbrukt, begynner kroppen å bevege seg langs støtteflaten, og motstandskraften mot bevegelse er nesten konstant og er ikke avhengig av hastighet (innenfor rimelige grenser). Denne kraften kalles glidende friksjonskraft og den er lik grenseverdien for den statiske friksjonskraften.

· overflater.

La oss presentere friksjonskoeffisientverdiene for noen kropper:

Bord 1

Rullende friksjon

Figur 1

Når hjulet ruller uten å skli (fig. 1), beveger støttens reaksjon seg litt fremover langs hjulets bevegelsesretning. Årsaken til dette er den asymmetriske deformasjonen av hjulmaterialet og støtteflaten i kontaktsonen. Under påvirkning av kraft øker trykket ved kant B av kontaktsonen, og ved kant A avtar det. Som et resultat blir reaksjonen forskjøvet mot bevegelsen av hjulet med en mengde k, kalt rullefriksjonskoeffisient . Et par krefter virker på hjulet og med et øyeblikk av rullemotstand rettet mot hjulets rotasjon:

Under likevektsforhold med jevn rulling, parer kraftmomentene , og , balanserer hverandre: , hvorfra følger et estimat av verdien av kraften rettet mot kroppens bevegelse: . (10)

Forholdet for de fleste materialer er betydelig mindre enn friksjonskoeffisienten f. Dette forklarer det faktum at i teknologi, når det er mulig, streber de etter å erstatte gliding med rullende.

Elastisk kraft

Dette er kraften som et deformert legeme prøver å gå tilbake til sin opprinnelige, udeformerte tilstand. Hvis du for eksempel strekker en fjær med et beløp λ , da er den elastiske kraften og dens modul like, henholdsvis:

.

(11)

Minustegnet i vektorforholdet indikerer at kraften er rettet i motsatt retning fra forskyvningen. Omfanget Med er kalt " stivhet "og har dimensjonen N/m.

Differensialligninger for bevegelse

Differensialligninger for punktbevegelse

La oss gå tilbake til uttrykket for den grunnleggende loven om dynamikken til et punkt i formen (3.2), og skrive det i form av vektordifferensialligninger av 1. og 2. orden (underskriften vil tilsvare kraftnummeret):

(17)

(18)

La oss sammenligne for eksempel likningssystemer (15) og (17). Det er lett å se at beskrivelsen av bevegelsen til et punkt i koordinataksene reduseres til 3 differensialligninger av 2. orden, eller (etter transformasjon), til 6 likninger av 1. orden. Samtidig er beskrivelsen av bevegelsen til et punkt i naturlige akser assosiert med et blandet system av ligninger, bestående av en 1. ordens differensialligning (med hensyn til hastighet) og to algebraiske.

Av dette kan vi konkludere det når man analyserer bevegelsen til et materiell punkt, er det noen ganger lettere å løse de første og andre problemene med dynamikk, ved å formulere bevegelsesligningene i naturlige akser.

Det første eller direkte problemet med dynamikken til et materiell punkt inkluderer problemer der det, gitt bevegelsesligningene til punktet og dets masse, er nødvendig å finne kraften (eller kreftene) som virker på det.

Det andre eller omvendte problemet med dynamikken til et materiell punkt inkluderer problemer der det, basert på dets masse, kraften (eller kreftene) som virker på det og kjente kinematiske startforhold, er nødvendig å bestemme likningene for bevegelsen.

Det skal bemerkes at når du løser det første problemet med dynamikk, blir differensialligninger til algebraiske, hvis løsning av systemet er en triviell oppgave. Når du løser det 2. problemet med dynamikk, for å løse et system med differensialligninger er det nødvendig å formulere Cauchy-problemet, dvs. legg det såkalte til likningene "kant"-forhold. I vårt tilfelle er dette forhold som pålegger begrensninger på posisjon og hastighet i det innledende (endelige) tidspunktet, eller det såkalte. "

Siden, i henhold til loven om likhet mellom handling og reaksjon, er indre krefter alltid paret (virker på hvert av de to samvirkende punktene), er de like, motsatt rettet og virker langs den rette linjen som forbinder disse punktene, deretter summen deres i par. er lik null. I tillegg er summen av momentene til disse to kreftene rundt et hvilket som helst punkt også null. Det betyr at summen av alle indre krefter Og summen av momentene til alle indre krefter i et mekanisk system er separat lik null:

,

(22)

.

(23)

Her er henholdsvis hovedvektoren og hovedmomentet for indre krefter, beregnet i forhold til punkt O.

Likheter (22) og (23) gjenspeiler egenskapene til indre krefter i et mekanisk system .

La for noen k- Det materielle punktet i et mekanisk system virker både ytre og indre krefter samtidig. Siden de brukes til ett punkt, kan de erstattes av resultantene av henholdsvis eksterne () og interne () krefter. Deretter den grunnleggende loven om dynamikk k-th punkt i systemet kan skrives som , derfor vil det for hele systemet være:

(24)

Formelt tilsvarer antall ligninger i (24) antallet n punkter i det mekaniske systemet.

Uttrykk (24) representerer differensialligninger for bevegelse av et system i vektorform , hvis de erstatter akselerasjonsvektorene med den første eller andre deriverte av henholdsvis hastigheten og radiusvektoren: I analogi med bevegelseslikningene til ett punkt (15), kan disse vektorlikningene transformeres til et system med 3 n differensialligninger av 2. orden.

Generelle teoremer om dynamikk

Generelt er de teoremene om dynamikken til et materiell punkt og et mekanisk system som gir lover som er gyldige for alle tilfeller av bevegelse av materielle objekter i en treghetsreferanseramme.

Generelt sett er disse teoremene konsekvenser av løsninger til et system av differensialligninger som beskriver bevegelsen til et materialpunkt og et mekanisk system.

SEKSJON 3. DYNAMIKK.

Dynamikk Materialkropp- en kropp som har masse.

Materialpunkt

Materiale

A - bV -

Treghet

Kroppsmasse

Makt -

,

. A - b- - trekkraften til det elektriske lokomotivet; V- -

System Treghet

Bevegelse Rom Tid

System

TEMA 1

Første lov(treghetsloven).

Isolert

For eksempel: - kroppsvekt, -

- starthastighet).

Andre lov(grunnleggende lov om dynamikk).

Matematisk er denne loven uttrykt av vektorlikheten

Under akselerasjon er bevegelsen til punktet jevnt variabel (fig. 5: A - bevegelse - sakte; b - bevegelse - akselerert,. - punktmasse, - akselerasjonsvektor, - kraftvektor, - hastighetsvektor).

Når - punktet beveger seg jevnt og rettlinjet eller når - det er i ro (treghetsloven). Den andre loven lar oss etablere en sammenheng mellom kroppsvekt, som ligger nær jordens overflate, og dens vekt , , hvor er akselerasjonen av fritt fall.

Tredje lov(loven om likhet i handling og reaksjon).

To materialer punktene virker på hverandre med krefter som er like store og rettet langs den rette linjen som forbinder disse punktene i motsatte retninger.

Siden krefter påføres forskjellige punkter, er ikke kraftsystemet balansert (fig. 6). I sin tur - forholdet mellom massene av samvirkende punkter er omvendt proporsjonal med deres akselerasjoner.

Fjerde lov(loven om uavhengighet av krefters handling).

Akselerasjon, mottatt av et punkt når flere krefter virker på det samtidig, er lik den geometriske summen av de akselerasjonene som punktet ville motta når hver kraft ble påført det separat.

Forklaring (fig. 7). Den resulterende kraften er definert som . Siden , Det.

Andre (omvendt) problem.

Å kjenne strømmen på kraftpunktet, dets masse og begynnelsesbetingelser for bevegelse, bestemmer bevegelsesloven til punktet eller noen av dets andre kinematiske egenskaper.

Første betingelsene for bevegelse av et punkt i de kartesiske aksene er koordinatene til punktet, , og projeksjonen av starthastigheten på disse aksene, og i tidspunktet som tilsvarer begynnelsen av punktets bevegelse og tatt lik null .

Å løse problemer av denne typen kommer ned til å kompilere differensialligninger (eller én ligning) av bevegelsen til et materiell punkt og deres påfølgende løsning ved direkte integrasjon eller ved å bruke teorien om differensialligninger.

TEMA 2. INTRODUKSJON TIL MEKANISK SYSTEMDYNAMIKK

2.1. Grunnleggende begreper og definisjoner

Mekanisk et system eller system av materielle punkter er en samling materielle punkter som samhandler med hverandre.

Eksempler på mekaniske systemer:

1. en materialkropp, inkludert en absolutt solid, som en samling av interagerende materialpartikler; et sett med sammenkoblede faste stoffer; et sett med planeter i solsystemet, etc.

2. En flokk med flygende fugler er ikke et mekanisk system, siden det ikke er noen kraftinteraksjon mellom fuglene.

Gratis et mekanisk system er et system der ingen koblinger pålegges bevegelse av punkter. For eksempel: bevegelse av planetene i solsystemet.

Ufri mekanisk system - et system der forbindelser pålegges bevegelse av punkter. For eksempel: bevegelse av deler i enhver mekanisme, maskin, etc.

Klassifisering av krefter

Klassifiseringen av krefter som virker på et ikke-fritt mekanisk system kan presenteres i form av følgende diagram:

Utvendig krefter - krefter som virker på punkter i et gitt mekanisk system fra andre systemer.

Innenlands- interaksjonskrefter mellom punkter i ett mekanisk system.

Et vilkårlig punkt i systemet (fig. 1) påvirkes av: - resultanten av ytre krefter (indeks - første bokstav fransk ord exterieur - (ekstern)); - resultant av indre krefter (indeks - fra ordet interieur - (intern)). Den samme styrken til forbindelsesreaksjonen, avhengig av forholdene for oppgaven, kan være både ekstern og intern.

Egenskapen til indre krefter

og - samvirkende punkter i det mekaniske systemet (fig. 2). Basert på den 3. dynamikkens lov

På den andre siden: . Derfor er hovedvektoren og hovedmomentet til de indre kreftene til det mekaniske systemet lik null:

SEKSJON 3. DYNAMIKK.

GRUNNLEGGENDE KONSEPT FOR KLASSISK MEKANIKK

Dynamikk- en gren av teoretisk mekanikk der bevegelse studeres materielle kropper(poeng) under påvirkning av påførte krefter. Materialkropp- en kropp som har masse.

Materialpunkt- en materiell kropp, hvis forskjell i bevegelsen av punktene er ubetydelig. Dette kan enten være en kropp hvis dimensjoner under bevegelsen kan neglisjeres, eller en kropp med endelige dimensjoner hvis den beveger seg translasjonsmessig.

Materiale punkter kalles også partikler som fast når man skal bestemme noen av dens dynamiske egenskaper.

Eksempler på materialpunkter (fig. 1): A - jordens bevegelse rundt solen. Jorden er et materiell punkt; b- translasjonsbevegelse av en stiv kropp. En solid kropp er et materiell punkt, fordi ; V - rotasjon av et legeme rundt en akse. En partikkel av en kropp er et materiell punkt.

Treghet- egenskapen til materielle kropper til å endre hastigheten på deres bevegelse raskere eller langsommere under påvirkning av påførte krefter.

Kroppsmasse er en skalar positiv mengde som avhenger av mengden stoff som finnes i en gitt kropp og bestemmer dens treghetsmål under translasjonsbevegelse. I klassisk mekanikk er masse en konstant størrelse.

Makt- et kvantitativt mål på mekanisk interaksjon mellom legemer eller mellom et legeme (punkt) og et felt (elektrisk, magnetisk, etc.). Kraft er en vektorstørrelse karakterisert ved størrelse, påføringspunkt og retning (handlingslinje) (fig. 2: - brukspunktet er kraftens virkelinje).

I dynamikk, sammen med konstante krefter, er det også variable krefter, som kan avhenge av tid, hastighet , avstand eller fra totalen av disse mengdene, dvs.

Eksempler på slike krefter er vist i fig. 3 . A -- kroppsvekt, - luftmotstandskraft; b- - trekkraften til det elektriske lokomotivet; V- - kraften til frastøting fra eller tiltrekning til sentrum.

System referanse - et koordinatsystem knyttet til en kropp i forhold til hvilken bevegelsen til en annen kropp studeres. Treghet system - et system der dynamikkens første og andre lov er oppfylt. Dette er et fast koordinatsystem eller et system som beveger seg jevnt og lineært translasjonsmessig.

Bevegelse i mekanikk er det en endring i posisjonen til en kropp i rom og tid. Rom i klassisk mekanikk, tredimensjonal, underlagt euklidisk geometri. Tid- en skalar mengde som forekommer likt i ethvert referansesystem.

System enheter er et sett med måleenheter for fysiske mengder. For å måle alle mekaniske størrelser: tre grunnleggende enheter er tilstrekkelig: enheter for lengde, tid, masse eller kraft. Alle andre måleenheter for mekaniske størrelser er avledet fra disse. To typer enhetssystemer brukes: det internasjonale enhetssystemet SI (eller mindre - GHS) og det tekniske enhetssystemet - ICG.

TEMA 1. INTRODUKSJON TIL DYNAMIKKEN I ET MATERIALPUNKT.

1.1. Lover for dynamikk til et materiell punkt (Galileo-Newton lover)

Første lov(treghetsloven).

Isolert fra ytre påvirkninger, opprettholder et materiell punkt sin hviletilstand eller beveger seg jevnt og rettlinjet inntil påførte krefter tvinger det til å endre denne tilstanden.

Bevegelsen som utføres av et punkt i fravær av krefter eller under påvirkning av et balansert kraftsystem kalles treghetsbevegelse.

For eksempel: bevegelse av et legeme langs en jevn (friksjonskraft er null) horisontal overflate (fig. 4: - kroppsvekt, - normal planreaksjon). Siden da.

Når kroppen beveger seg med samme hastighet; når kroppen er i ro ( - starthastighet).

Rykov V.T.

Opplæringen. - Krasnodar: Kuban State University, 2006. - 100 s.: 25 ill. Første del av forelesningskurset med oppgaver om teoretisk mekanikk for fysiske spesialiteter av klassisk universitetsutdanning.
Manualen representerer den andre delen av det pedagogiske og metodiske komplekset om teoretisk mekanikk og kontinuumsmekanikk. Den inneholder forelesningsnotater for tre deler av kurset i teoretisk mekanikk og kontinuummekanikk: «Grunnleggende differensialligning av dynamikk», «Bevegelse i et sentralt symmetrisk felt» og «Rotasjonsbevegelse av et stivt legeme». Som en del av det pedagogiske og metodiske komplekset inneholder manualen kontrolloppgaver (testalternativer) og spørsmål til avsluttende datatesting (eksamen). Dette kurset er supplert med en elektronisk lærebok med fragmenter av forelesninger (på laserdisk).
Håndboken er beregnet på 2. og 3. års studenter ved fysikk og fysikk-tekniske fakulteter ved universiteter, den kan være nyttig for studenter ved tekniske universiteter som studerer det grunnleggende innen teoretisk og teknisk mekanikk.
Fundamental differensialligning for dynamikk (Newtons andre lov)
Seksjonsstruktur
Beskrivelse av bevegelsen til et materialpunkt
Direkte og omvendt dynamikkproblemer
Utledning av loven om bevaring av momentum fra den grunnleggende differensialligningen for dynamikk
Utledning av loven om bevaring av energi fra den grunnleggende differensialligningen for dynamikk
Avledning av loven om bevaring av vinkelmomentum fra den grunnleggende differensialligningen for dynamikk
Integraler av bevegelse

Testoppgave
Bevegelse i et sentralt symmetrisk felt
Seksjonsstruktur
Konseptet med et sentralt symmetrisk felt
Hastighet i krumlinjede koordinater
Akselerasjon i krumlinjede koordinater
Hastighet og akselerasjon i sfæriske koordinater
Bevegelsesligninger i et sentralt symmetrisk felt
Sektorhastighet og sektorakselerasjon
Bevegelsesligning for et materialpunkt i et gravitasjonsfelt og et Coulomb-felt
Redusere tokroppsproblemet til enkroppsproblemet. Redusert masse
Rutherfords formel
Test om emnet: Hastighet og akselerasjon i krumlinjede koordinater
Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp
Seksjonsstruktur
Konseptet med en solid kropp. Rotasjons- og translasjonsbevegelse
Kinetisk energi til et fast stoff
Treghetstensor
Reduksjon av treghetstensoren til diagonal form
Fysisk betydning av de diagonale komponentene til treghetstensoren
Steiners teorem for treghetstensoren
Momentum av en stiv kropp
Ligninger for rotasjonsbevegelse av et stivt legeme i et roterende koordinatsystem
Euler-vinkler
Bevegelse i ikke-tregne referanserammer
Test om emnet: Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp
Anbefalt lesing
applikasjon
applikasjon
Noen grunnleggende formler og sammenhenger
Emneindeks

Du kan skrive en bokomtale og dele dine erfaringer. Andre lesere vil alltid være interessert i din mening om bøkene du har lest. Enten du har elsket boken eller ikke, hvis du gir dine ærlige og detaljerte tanker, vil folk finne nye bøker som passer for dem.

N k k = G F(t, r G (t) G , r (t)) k= 1 ∑FG k= 1 Krasnodar 2011 mrG = n k= 1 k n k= 1 k k= 1 k n k = G F(t, r G = G (t) G F(, r t, r G (t)) k= 1 ∑FG mrG = = G (t) G , r F((t) t, r G k =) G (t), G F(r( t, G t)) k= 1 n ∑FG n ∑FG mrG = ∑FG Opplæring) = G ∑FG F(r(t, r G = G t), G F(((t, r G t), G r (t) G t)) r , r (t)) (t) mrG = n ∑FG mrG = mrG = mrG = V.T. Rykov Rykov V.T. GRUNNLEGGENDE DIFFERENSIALLIGNING AV DYNAMIKK Lærebok Forelesningsnotater Prøveoppgaver Avsluttende prøvespørsmål (kombinert eksamen) Krasnodar 2006 UDC 531.01 BBK 22.25я73 R 944 Revisor: Doktor i fysikk og matematikk. Vitenskaper, professor, leder. Institutt for strukturell mekanikk ved Kuban Technological University I. M. Dunaev Rykov V. T. R 944 Grunnleggende differensialligning av dynamikk: Lærebok. godtgjørelse. Krasnodar: Kuban. stat univ., 2006. – 100 s. Il. 25. Litteraturliste 6 titler ISBN Manualen representerer den andre delen av det pedagogiske og metodologiske komplekset om teoretisk mekanikk og kontinuumsmekanikk. Den inneholder forelesningsnotater for tre deler av kurset i teoretisk mekanikk og kontinuummekanikk: «Grunnleggende differensialligning av dynamikk», «Bevegelse i et sentralt symmetrisk felt» og «Rotasjonsbevegelse av et stivt legeme». Som en del av det pedagogiske og metodiske komplekset inneholder manualen kontrolloppgaver (testalternativer) og spørsmål til avsluttende datatesting (eksamen). Dette kurset er supplert med en elektronisk lærebok med fragmenter av forelesninger (på laserdisk). Håndboken er beregnet på 2. og 3. års studenter ved fysikk og fysikk-tekniske fakulteter ved universiteter; den kan være nyttig for studenter ved tekniske universiteter som studerer grunnleggende teoretisk og teknisk mekanikk. Publisert ved avgjørelse fra rådet ved fakultetet for fysikk og teknologi ved Kuban State University UDC 531 (075.8) BBK 22.25ya73 ISBN © Kuban State University, 2006 INNHOLD Forord................ ............................................................ ....... 6 Ordliste........................................ ........ ........................... 8 1. Grunnleggende differensialligning for dynamikk (Newtons andre lov) .. ......... ................. 11 1.1. Seksjonsstruktur ................................................... ... 11 1.2. Beskrivelse av bevegelsen til et materialpunkt......... 11 1.2.1. Kartesisk koordinatsystem........................ 12 1.2.2. En naturlig måte å beskrive bevegelsen til et punkt. Medfølgende trihedron................................................ ... ............... 13 1.3. Direkte og omvendte dynamikkproblemer................................... 16 1.4. Avledning av loven om bevaring av momentum fra den grunnleggende differensialligningen for dynamikk................................... ........................................... 21 1.5. Utledning av loven om bevaring av energi fra den grunnleggende differensialligningen for dynamikk................................... ........................................... 24 1.6. Avledning av loven om bevaring av vinkelmomentum fra den grunnleggende differensialligningen for dynamikk................................... ......................... 26 1.7. Integraler av bevegelse ........................................................... .... 27 1.8. Bevegelse i ikke-tregne referanserammer.......................................... .......... ........................... 28 1.9. Testoppgave ................................................... ... 28 1.9.1. Et eksempel på løsning av et problem................................. 28 1.9.2. Alternativer for testoppgaver............................. 31 1.10. Avsluttende kontrollprøver (eksamen) ................... 35 1.10.1. Felt A ................................................... ............ ............ 35 1.10.2. Felt B ................................................... ............ ............ 36 1.10.3. Felt C ................................................... ..... ............ 36 2. Bevegelse i et sentralsymmetrisk felt........... 38 2.1. Seksjonsstruktur ................................................... ... 38 2.2. Konseptet med et sentralsymmetrisk felt........ 39 3 2.3. Hastighet i krumlinjede koordinater........... 39 2.4. Akselerasjon i krumlinjede koordinater........ 40 2.5. Hastighet og akselerasjon i sfæriske koordinater......................................... ................ ................... 41 2.6. Bevegelsesligninger i et sentralt symmetrisk felt.......................................... .......... ..... 45 2.7. Sektorhastighet og sektorakselerasjon...... 46 2.8. Bevegelsesligning for et materialpunkt i et gravitasjonsfelt og et Coulomb-felt................................... 48 2.8.1. Effektiv energi ................................................... ... 48 2.8.2. Baneligning................................................ .... 49 2.8.3. Avhengighet av baneformen av den totale energien......................................... ........... .......... 51 2.9. Redusere tokroppsproblemet til enkroppsproblemet. Redusert masse ................................................... ......... 52 2.10. Rutherfords formel................................................ ... 54 2.11. Test om emnet: Hastighet og akselerasjon i krumlinjede koordinater................................. 58 2.11.1. Et eksempel på å gjennomføre en test om temaet hastighet og akselerasjon i krumlinjede koordinater. ........................... 58 2.11.2. Alternativer for testoppgaver........................... 59 2.12. Avsluttende kontrollprøver (eksamen) ................... 61 2.12.1. Felt A ................................................... ...... ............ 61 2.12.2. Felt B ................................................... ............ ............ 62 2.12.3. Felt C ................................................... ..... ............ 63 3. Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp......................... ............ 65 3.1. Seksjonsstruktur ................................................... ... 65 3.2. Konseptet med en solid kropp. Rotasjons- og translasjonsbevegelse ................................................... ...... 66 3.3. Kinetisk energi til et fast legeme................... 69 3.4. Treghetstensor................................................ ........ ..... 71 3.5. Redusere treghetstensoren til diagonal form........................................... ......... ..... 72 4 3.6. Fysisk betydning av de diagonale komponentene til treghetstensoren......................................... ............ 74 3.7. Steiners teorem for treghetstensoren........... 76 3.8. Momentum av en stiv kropp........................................ 78 3.9. Ligninger for rotasjonsbevegelse til et stivt legeme i et roterende koordinatsystem......................................... ........................................... 79 3.10. Euler-vinkler ................................................... ... ......... 82 3.11. Bevegelse i ikke-tregne referanserammer.......................................... .......... ........................... 86 3.12. Test om emnet: Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp......................................... ............... 88 3.12.1. Eksempler på å fullføre kontrolloppgaver.......................................... ................................ ...................... 88 3.12.2. Hjemmeprøve................................... 92 3.13. Avsluttende kontrollprøver (eksamen) ................... 92 3.13.1. Felt A ................................................... ............ ............ 92 3.13.2. Felt B ................................................... ..... ............ 94 3.13.3. Felt C ................................................... ..... ............ 95 Anbefalt lesing................................... ...... .......... 97 Vedlegg 1 ................................... ..... ........................... 98 Vedlegg 2. Noen grunnleggende formler og sammenhenger......... ................................................................ ...... ... 100 Emneregister......................................... ............. ....... 102 5 FORORD Denne boken er en "solid komponent" av det pedagogiske og metodiske komplekset for kurset "Teoretisk mekanikk og grunnleggende om kontinuumsmekanikk", som er en del av den statlige utdanningsstandarden i spesialitetene: "fysikk" - 010701, "radiofysikk" og elektronikk" - 010801. Den elektroniske versjonen (pdf-format) er lagt ut på nettstedet til Kuban State University og på det lokale nettverket til Fakultet for fysikk og teknologi ved Kuban State University. Totalt er det utviklet fire hoveddeler av det pedagogiske og metodiske komplekset om teoretisk mekanikk og det grunnleggende om kontinuumsmekanikk. Vektor- og tensoranalyse - den første delen av komplekset - er ment å styrke, og i stor grad, danne grunnleggende kunnskap innen matematiske grunnlag for ikke bare kurset i teoretisk mekanikk, men hele kurset i teoretisk fysikk. Selve kurset i teoretisk mekanikk er delt i to deler, hvorav den ene inneholder en presentasjon av metoder for å løse mekaniske problemer basert på dynamikkens grunnleggende differensialligning - Newtons andre lov. Den andre delen er en presentasjon av det grunnleggende om analytisk mekanikk (den tredje delen av det pedagogiske og metodiske komplekset). Den fjerde delen av komplekset inneholder det grunnleggende om kontinuummekanikk. Hver del av komplekset og alle sammen støttes av elektroniske opplæringskurs - modifiserte komponenter, som er HTML-sider, supplert med aktive læringsverktøy - funksjonelle elementer i opplæringen. Disse verktøyene er plassert i arkivert form på KubSU-nettstedet og distribuert på laserdisker, enten vedlagt en papirkopi eller separat. I motsetning til solide komponenter, vil elektroniske komponenter gjennomgå konstante modifikasjoner for å forbedre effektiviteten. 6 Grunnlaget for den "solide komponenten" i utdanningskomplekset er forelesningsnotatene, supplert med en "ordliste" som forklarer de grunnleggende konseptene i denne delen og en alfabetisk indeks. Etter hver av de tre delene av denne håndboken tilbys en testoppgave med eksempler på problemløsning. To kontrolloppgaver av denne komponenten utføres hjemme - dette er oppgaver for seksjon 2 og 3. Oppgave 3 er felles for alle og presenteres for læreren for innsjekking av notatbøker for praktiske timer. I oppgave 2 fullfører hver elev ett av 21 alternativer som anvist av læreren. Oppgave 1 gjennomføres i klasserommet i løpet av én klasseøkt (par) på separate papirlapper og leveres til lærer for kontroll. Hvis oppgaven ikke lykkes, må arbeidet enten korrigeres av eleven (hjemmeoppgaver) eller gjøres på nytt med et annet alternativ (klasseromsoppgaver). Sistnevnte utføres utenfor skoleplanen på det tidspunktet læreren foreslår. Foreslått del læremiddel inneholder også hjelpemateriell: Vedlegg 1 presenterer komponentene i den metriske tensoren - delmålene til prøve 3, og vedlegg 2 - grunnleggende formler og sammenhenger, memorering som er obligatorisk for å få tilfredsstillende karakter på eksamen. Hver del av hver del av manualen avsluttes med testoppgaver - en integrert del av en kombinert eksamen, som er grunnlaget for datatesting med parallell utfylling av de foreslåtte skjemaene og et påfølgende intervju basert på datavurderinger og testskjemaet. Felt "B" i testen krever en kort oppføring om formen for matematiske transformasjoner som fører til alternativet valgt i svarsettet. I feltet "C" bør du skrive ned alle beregningene på skjemaet, og skrive det numeriske svaret på tastaturet. 7 ORDLISTE En additiv mengde er en fysisk mengde hvis verdi for hele systemet er lik summen av verdiene for individuelle deler av systemet. Rotasjonsbevegelse er en bevegelse der hastigheten til minst ett punkt i et stivt legeme er null. Den andre rømningshastigheten er utskytingshastigheten fra en ikke-roterende planet, som setter romfartøyet på en parabolsk bane. Momentumet til et materialpunkt er produktet av punktets masse og dets hastighet. Impulsen til et system av materielle punkter er en additiv mengde, definert som summen av impulsene til alle punkter i systemet. Bevegelsesintegraler er mengder som er bevart under visse forhold og oppnådd som et resultat av en enkelt integrasjon av den grunnleggende differensialligningen for dynamikk - et system av andreordens ligninger. Kinetisk energi til et materialpunkt er bevegelsesenergien lik arbeidet som kreves for å gi en viss hastighet til et gitt punkt. Den kinetiske energien til et system av materielle punkter er en additiv mengde, definert som summen av energiene til alle punktene i systemet. Kovariante komponenter av en vektor er koeffisientene for vektorutvidelse til gjensidige basisvektorer. Affine forbindelseskoeffisienter er ekspansjonskoeffisienter av deriverte av basisvektorer med hensyn til koordinater med hensyn til vektorer av selve basisen. Krumningen til en kurve er den gjensidige av radiusen til den rørende sirkelen. Det øyeblikkelige senter av hastigheter er et punkt hvis hastighet er null på et gitt tidspunkt. 8 Mekanisk arbeid av en konstant kraft er skalarproduktet av kraft og forskyvning. Mekanisk bevegelse er en endring i posisjonen til en kropp i rommet i forhold til andre kropper over tid. Det omvendte problemet med dynamikk er å finne bevegelseslikningene til et materialpunkt ved å bruke gitte krefter (kjente funksjoner av koordinater, tid og hastighet). Translasjonsbevegelse er en bevegelse der enhver rett linje identifisert i et solid legeme beveger seg parallelt med seg selv. Potensiell energi til et materialpunkt er energien til feltinteraksjonen mellom legemer eller deler av en kropp, lik arbeidet til feltkrefter for å flytte et gitt materialpunkt fra et gitt punkt i rommet til et nullpotensialnivå, valgt vilkårlig. Redusert masse er massen til et hypotetisk materialpunkt, hvis bevegelse i et sentralt symmetrisk felt er redusert til problemet med to kropper. Dynamikkens direkte oppgave er å bestemme kreftene som virker på et materialpunkt ved å bruke de gitte bevegelseslikningene. Christoffel-symboler er symmetriske koeffisienter for affin forbindelse. Massesentersystem (treghetssenter) - Et referansesystem der bevegelsesmengden til det mekaniske systemet er null. Hastighet er en vektormengde, numerisk lik forskyvning per tidsenhet. En oskulerende sirkel er en sirkel som har andreordens kontakt med en kurve, dvs. opp til andreordens infinitesimals, likningene til en kurve og en oskulerende sirkel i nærheten av et gitt punkt er umulig å skille fra hverandre. 9 Medfølgende trihedron – en trippel av enhetsvektorer (tangente, normale og binormale vektorer) som brukes til å introdusere et kartesisk koordinatsystem som følger med et punkt. En stiv kropp er en kropp hvis avstand mellom to punkter ikke endres. Treghetstensoren er en symmetrisk tensor av andre rang, hvis komponenter bestemmer treghetsegenskapene til et stivt legeme med hensyn til rotasjonsbevegelse. En bane er et spor av et bevegelig punkt i rommet. Bevegelsesligninger er ligninger som bestemmer posisjonen til et punkt i rommet på et vilkårlig tidspunkt. Akselerasjon er en vektormengde, numerisk lik endringen i hastighet per tidsenhet. Normal akselerasjon er en akselerasjon vinkelrett på hastigheten, lik sentripetalakselerasjonen når et punkt beveger seg med en gitt hastighet langs en sirkel i kontakt med banen. Et sentralt symmetrisk felt er et felt der den potensielle energien til et materialpunkt bare avhenger av avstanden r til et eller annet senter "O". Energi er evnen til en kropp eller et system av kropper til å utføre arbeid. 10 1. GRUNNLEGGENDE DIFFERENSIALLIGNING FOR DYNAMIKK (NEWTONS ANDRE LOV) 1.1. Struktur av seksjonen "spor" "fasade" Direkte og inverse problemer med dynamikk "fasade" Beskrivelse av bevegelsen til et materialpunkt "spor" "spor" "spor" "fasade" Lov om bevaring av momentum "fasade" Naturlig ligning av kurven "spor" "fasade" Prøvearbeid " spor" "fasade" Sluttkontrolltester "fasade" Loven om bevaring av energi "spor" "spor" "fasade" Vektoralgebra "spor" "spor" "fasade" Lov om bevaring av vinkelmomentum Figur 1 - Hovedelementer i seksjon 1. 2. Beskrivelse av bevegelsen til et materialpunkt Mekanisk bevegelse er definert som en endring i posisjonen til en kropp i rommet i forhold til andre kropper over tid. Denne definisjonen gir to oppgaver: 1) å velge en metode der man kan skille ett punkt i rommet fra et annet; 2) valget av en kropp i forhold til hvilken posisjonen til andre kropper bestemmes. 11 1.2.1. Kartesisk koordinatsystem Den første oppgaven er knyttet til valg av et koordinatsystem. I tredimensjonalt rom er hvert punkt i rommet assosiert med tre tall, kalt koordinatene til punktet. De mest åpenbare er rektangulære ortogonale koordinater, som vanligvis kalles kartesiske (oppkalt etter den franske vitenskapsmannen Rene Descartes). 1 Rene Descartes var den første som introduserte begrepet skala, som ligger til grunn for konstruksjonen av det kartesiske koordinatsystemet. På et visst punkt i det tredimensjonale rommet konstrueres tre innbyrdes ortogonale, identiske i størrelsesvektorer i, j, k, som samtidig er skalaenheter, dvs. deres lengde (modul) er per definisjon lik måleenheten. Numeriske akser er rettet langs disse vektorene, punktene som er satt i samsvar med punkter i rommet ved å "projisere" - tegning av en perpendikulær fra et punkt til en numerisk akse, som vist i figur 1. Projeksjonsoperasjonen i kartesiske koordinater fører til addisjonen av vektorene ix, jy og kz langs parallellogramregelen, som i dette tilfellet utarter seg til et rektangel. Som et resultat kan posisjonen til et punkt i rommet bestemmes ved å bruke vektoren r = ix + jy + kz, kalt "radiusvektoren", fordi i motsetning til andre vektorer, sammenfaller alltid opprinnelsen til denne vektoren med opprinnelsen til koordinatene. En endring i posisjonen til et punkt i rommet over tid fører til at det vises en tidsavhengighet av koordinatene til punktet x = x(t), y = y (t), z = z (t) 1 Det latiniserte navnet av Rene Descartes er Cartesius, derfor i litteraturen kan du finne navnet "kartesiske koordinater". 12 og radiusvektor r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) . Disse funksjonelle relasjonene kalles bevegelsesligninger i henholdsvis koordinat- og vektorform z kz k r jy i y j ix x Figur 2 - Kartesisk koordinatsystem Hastigheten og akselerasjonen til et punkt er definert som den første og andre deriverte med hensyn til tiden til radiusen. vektor v = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) W = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) Overalt i det som følger, en prikk og en dobbel prikk over betegnelsen på en viss mengde vil betegne den første og den andre deriverte av denne mengden med hensyn til tid. 1.2.2. En naturlig måte å beskrive bevegelsen til et punkt. Medfølgende trihedron Ligningen r = r (t) kalles vanligvis ligningen til en kurve i parametrisk form. Når det gjelder bevegelsesligninger, er parameteren tid. Siden enhver bevegelse 13 skjer langs en bestemt kurve kalt en bane, så er et segment av banen (banen) t t s (t) = ∫ r dt = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dt , 2 t0 t0 som er en monoton funksjon er knyttet til denne bevegelsestiden. Banen som kroppen reiser kan betraktes som en ny parameter, som vanligvis kalles den "naturlige" eller "kanoniske" parameteren. Den tilsvarende kurveligningen r = r(s) kalles en ligning i den kanoniske eller naturlige parametriseringen. τ m n Figur 3 – Medfølgende trihedron-vektor dr ds er en vektor som tangerer banen (Figur 3), hvis lengde er lik én, fordi dr = ds. Fra τ= 14 dτ vinkelrett på vektoren τ, dvs. rettet normalt mot banen. For å finne ut den fysiske (eller mer presist, som vi vil se senere, geometrisk) betydningen av denne vektoren, la oss gå videre til differensiering med hensyn til parameteren t, og vurdere det som tid. d τ d ⎛ dr dt ⎞ dt d ⎛ dr 1 ⎞ 1 d 2 r 1 v d v ′ τ = = ⎜ − . ⎟ = ⎜ ⎟ = ds dt ⎝ dt ds ⎠ ds dt ⎝ dt v ⎠ v dt 2 v 2 v 3 dt Den siste av disse relasjonene kan skrives om som følger a 1 τ′ = 2 (a − aτ) = n2 betingelser 2 = 1 følger det at vektoren τ′ = hvor v aτ = τ v dv ; τ= dt v v d 2r – vektor av total dt 2. akselerasjon. Siden den totale akselerasjonen er lik summen av normal- (sentripetal) og tangentiell akselerasjon, er vektoren vi vurderer lik normalakselerasjonsvektoren delt på kvadratet av hastigheten. Når man beveger seg i en sirkel, er normalakselerasjonen lik tangentiell akselerasjon, og vektoren a = an = n v2, R hvor n er normalvektoren til sirkelen, og R er sirkelens radius. Det følger at vektoren τ′ kan representeres i formen τ′ = Kn, 1 hvor K = er kurvaturen til kurven - den resiproke av radiusen til kontaktsirkelen. En svingende sirkel er en kurve som har andreordens kontakt med en gitt kurve 15. Dette betyr at, ved å begrense oss til å utvide ligningen til en kurve til en potensserie på et tidspunkt til uendelig-simaler av andre orden, vil vi ikke være i stand til å skille denne kurven fra en sirkel. Vektoren n kalles noen ganger hovednormalvektoren. Fra tangentvektoren τ og normalvektoren kan vi konstruere en binormal vektor m = [τ, n]. Tre vektorer τ, n og m danner en rett trippel - et medfølgende trihedron, som du kan assosiere det kartesiske koordinatsystemet som følger med punktet, som vist i figur 3. 1.3. Direkte og omvendte dynamikkproblemer I 1632 oppdaget Galileo Galilei en lov, og i 1687 formulerte Isaac Newton en lov som endret filosofenes syn på metoder for å beskrive bevegelse: «Hver kropp opprettholder en tilstand av hvile eller ensartet og rettlinjet bevegelse inntil anvendte krefter tvinger den til å endre seg." dette er en tilstand." 1 Betydningen av denne oppdagelsen kan ikke overvurderes. Før Galileo mente filosofer at hovedkarakteristikken til bevegelse var hastighet, og at for at et legeme skal bevege seg med konstant hastighet, må det påføres en konstant kraft. Faktisk ser det ut til at erfaring tyder på nettopp dette: hvis vi bruker kraft, beveger kroppen seg, hvis vi slutter å bruke den, stopper kroppen. Og bare Galileo la merke til at ved å bruke kraft, balanserer vi faktisk bare friksjonskraften som virker under virkelige forhold på jorden, i tillegg til vårt ønske (og ofte observasjon). Følgelig trengs kraft ikke for å holde hastigheten konstant, men for å endre den, dvs. rapportere akselerasjon. 1 I. Newton. Matematiske prinsipper for naturfilosofi. 16 Riktignok er det under jordens forhold umulig å realisere observasjonen av et legeme som ikke ville bli påvirket av andre kropper, derfor er mekanikken tvunget til å postulere eksistensen av spesielle referansesystemer (treghetssystemer), der Newtons (Galileos ) første lov må være oppfylt. 1 Den matematiske formuleringen av Newtons første lov krever tillegg av utsagnet om proporsjonalitet mellom kraft og akselerasjon ved utsagn om deres parallellitet som vektorstørrelser? hva F ∼W ⎫ F skalar ⇒ = ⋅W , ⎬ F W ⎭ hvor Δv d v d dr = = ≡r. Δt → 0 Δt dt dt dt W = lim Erfaring forteller oss at en skalar koeffisient kan være en størrelse som vanligvis kalles kroppsmasse. Dermed har det matematiske uttrykket for Newtons første lov, tatt i betraktning tillegg av nye postulater, formen F = mW, 1 Men med hvilke virkelige kropper et slikt referansesystem kan assosieres er fortsatt ikke klart. Eterhypotesen (se "Relativitetsteorien") kunne løse dette problemet, men det negative resultatet av Michelsons eksperiment utelukket denne muligheten. Likevel trenger mekanikk slike referanserammer og postulerer deres eksistens. 17 som er kjent som Newtons andre lov. Siden akselerasjon er bestemt for et gitt spesifikt legeme, som kan påvirkes av flere krefter, er det praktisk å skrive Newtons andre lov på formen n mr = ∑ Fa = F (t, r (t), r (t)) . a =1 Kraft i det generelle tilfellet betraktes som en funksjon av koordinater, hastigheter og tid. Denne funksjonen avhenger av tid både eksplisitt og implisitt. Implisitt tidsavhengighet betyr at kraft kan endres på grunn av endringer i koordinatene (kraften avhenger av koordinatene) og hastigheten (kraften avhenger av hastigheten) til et bevegelig legeme. Den åpenbare avhengigheten av tid antyder at hvis en kropp er i ro på et gitt fast punkt i rommet, så endres kraften fortsatt over tid. Fra et matematisk synspunkt gir Newtons andre lov opphav til to problemer knyttet til to gjensidig inverse matematiske operasjoner: differensiering og integrasjon. 1. Direkte problem med dynamikk: bruk de gitte bevegelseslikningene r = r (t), bestem kreftene som virker på materialpunktet. Dette problemet er et problem med grunnleggende fysikk; løsningen er rettet mot å finne nye lover og regelmessigheter som beskriver samspillet mellom kropper. Et eksempel på å løse et direkte dynamikkproblem er I. Newtons formulering av loven om universell gravitasjon basert på Keplers empiriske lover, som beskriver den observerte bevegelsen til planetene i solsystemet (se avsnitt 2). 2. Inverst problem med dynamikk: gitte krefter (kjente funksjoner av koordinater, tid og hastighet) finner bevegelsesligningene til et materiell punkt. Dette er en oppgave innen anvendt fysikk. Fra synspunktet til dette problemet er Newtons andre 18 lov et system av andreordens ordinære differensialligninger d 2r m 2 = F (t, r (t), r (t)), (1. 1) dt-løsninger som er funksjoner av tid og integrasjonskonstanter. x = x(t, Cl, C2, C3, C4, C5, C6,); y = y(t, Cl, C2, C3, C4, C5, C6,); z = z(t, Cl, C2, C3, C4, C5, C6). For å velge en løsning som tilsvarer en spesifikk bevegelse fra et uendelig sett med løsninger, er det nødvendig å supplere systemet med differensialligninger med startbetingelser (Cauchy-problem) - å sette på et tidspunkt (t = 0) verdiene av koordinatene og hastighetene til punktet: ⎧ x0 = x(t = 0), ⎪ r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨ y0 = y (t = 0), ⎪ z = z (t = 0) . ⎩ 0 v0 ⎧v0 x = x(t = 0), ⎪ = r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨v0 y = y (t = 0), ⎪ ⎩v0 x = z (t = 0). Merknad 1. I I. Newtons lover forstås kraft som en størrelse som karakteriserer legemers interaksjon, som et resultat av at legemene deformeres eller får akselerasjon. Imidlertid er det ofte praktisk å redusere dynamikkproblemet til problemet med statikk ved å introdusere, som D'Alembert gjorde i sin Discourse on the General Cause of the Winds (1744), en treghetskraft lik produktet av massen til kroppen og akselerasjonen til referanserammen, der den gitte kroppen vurderes. Formelt ser dette ut som å overføre høyre side av I. New19s andre lov til venstre side og tilordne denne delen navnet «treghetskraft» F + (− mW) = 0, eller F + Fin = 0. Den resulterende treghetskraften tilfredsstiller åpenbart ikke definisjonen av kraft gitt ovenfor. I denne forbindelse kalles treghetskrefter ofte "fiktive krefter", og forstå at som krefter blir de bare oppfattet og målt av en ikke-tregasjonsobservatør assosiert med en akselererende referanseramme. Det bør imidlertid understrekes at for en ikke-treghetsobservatør oppfattes treghetskrefter som faktisk virker på alle legemer i kraftreferansesystemet. Det er tilstedeværelsen av disse kreftene som "forklarer" balansen (vektløshet) av kropper i en konstant fallende satellitt på planeten og (delvis) avhengigheten av akselerasjonen av fritt fall på jorden på områdets breddegrad. Merknad 2. Newtons andre lov som et system av andreordens differensialligninger er også assosiert med problemet med enkeltintegrasjon av disse ligningene. Mengdene som oppnås på denne måten kalles bevegelsesintegraler og de viktigste er to forhold knyttet til dem: 1) disse mengdene er additive (addisjon), dvs. en slik verdi for et mekanisk system er summen av de tilsvarende verdiene for dets individuelle deler; 2) under visse fysisk forståelige forhold endres ikke disse mengdene, dvs. er bevart, og uttrykker dermed bevaringslovene i mekanikk. 20 1.4. Utledning av loven om bevaring av momentum fra den grunnleggende differensialligningen for dynamikk Tenk på et system med N materialpunkter. La "a" være punktnummeret. La oss skrive ned for hvert punkt "a" Newtons II lov dv (1.2) ma a = Fa , dt hvor Fa er resultanten av alle krefter som virker på punkt "a". Med tanke på at ma = const, multiplisere med dt, addere alle N ligninger (1.2) og integrere innenfor grensene fra t til t + Δt, får vi N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = hvor v a t +Δt N ∫ ∑ F dt , t a =1 a = ra (t) er hastigheten til punktet "a" på tidspunktet t, og ua = ra (t + Δt) er hastigheten til punkt "a" på tidspunktet t + Δt. La oss videre forestille oss kreftene som virker på punkt "a" som summen av eksterne Faex (eksteriør - ekstern) og indre Fain (indre - indre) krefter Fa = Fain + Faex. Vi vil kalle interaksjonskreftene til punkt "a" med andre punkter inkludert i SYSTEMET interne og eksterne - med punkter som ikke er inkludert i systemet. La oss vise at summen av indre krefter forsvinner på grunn av Newtons tredje lov: kreftene som to legemer virker på hverandre med er like store og motsatte i retning Fab = − Fab hvis punktene "a" og "b" tilhører SYSTEM. Faktisk er kraften som virker på punkt "a" fra andre punkter i systemet lik 21 N Fain = ∑ Fab. b =1 Da N N N N N N N N N ∑ Fain = ∑∑ Fab = ∑∑ Fba = ∑∑ Fba = −∑∑ Fab = 0 . a =1 a =1 b =1 b =1 a =1 a =1 b =1 a =1 b =1 Dermed degenererer summen av alle krefter som virker på et system av materialpunkter til summen av kun ytre krefter. Som et resultat får vi N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = t +Δt N ∫ ∑F t a =1 ex a dt . (1.3) – endringen i bevegelsesmengden til et system av materielle punkter er lik bevegelsesmengden til ytre krefter som virker på systemet. Et system kalles lukket hvis det ikke påvirkes av ytre krefter ∑F a =1 = 0. I dette tilfellet endres ikke momentum ex a til systemet (bevart) N N a =1 a =1 ∑ maua = ∑ ma va = const . (1.4) Vanligvis tolkes dette utsagnet som loven om bevaring av momentum. Men i dagligtale mener vi med å bevare noe ikke en uttalelse om uforanderligheten av innholdet i dette noe i noe annet, men en forståelse av hva dette originale noe har blitt til. Hvis penger brukes på å kjøpe en nyttig ting, forsvinner de ikke, men forvandles til denne tingen. Men hvis kjøpekraften deres har gått ned på grunn av inflasjon, viser det seg å være svært vanskelig å spore kjeden av transformasjoner, noe som skaper følelsen av å ikke bli bevart. Resultatet av å måle en impuls, som enhver kinematisk størrelse, avhenger av referansesystemet som målingene er gjort i (de fysiske instrumentene som måler denne mengden er plassert). 22 Klassisk (ikke-relativistisk) mekanikk, som sammenligner resultatene av målinger av kinematiske størrelser i forskjellige referansesystemer, går stilltiende ut fra antagelsen om at begrepet samtidighet av hendelser ikke er avhengig av referansesystemet. På grunn av dette er forholdet mellom koordinatene, hastighetene og akselerasjonene til et punkt, målt av en stasjonær og bevegelig observatør, geometriske sammenhenger (Figur 4) dr du Hastighet u = = r og akselerasjon W = = u , målt av observatør K kalles vanligvis absolutt dr ′ hastighet og akselerasjon. Hastighet u′ = = r ′ og akselerasjon dt du′ W ′ = = u ′ , målt av observatør K′ – relativ hastighet og akselerasjon. Og hastigheten V og akselerasjonen A til referansesystemet er bærbare. M r′ r r = r′ + R u = u′ + V K′ K W =W′+ A R Figur 4 – Sammenligning av målte størrelser Ved å bruke loven om hastighetsomregning, som ofte kalles Galileos hastighetsaddisjonsteorem, får vi for momentum av et system av materialpunkter målt i referansesystemene K og K′ N N N a =1 a =1 a =1 ∑ maua = ∑ maua′ + V ∑ ma . Referansesystemet der bevegelsesmengden til det mekaniske systemet er null 23 N ∑ m u′ = 0 , a =1 a a kalles systemet for massesenteret eller treghetssenteret. Det er klart at hastigheten til en slik referanseramme er lik N Vc = ∑m u a =1 N a a ∑m . (1.5) a a =1 Siden i fravær av ytre krefter endres ikke momentumet til det mekaniske systemet, så endres heller ikke hastigheten til massesentersystemet. Ved å integrere (1,5) over tid, dra nytte av vilkårligheten ved valget av opprinnelse til koordinater (vi setter integrasjonskonstanten lik null), kommer vi til bestemmelsen av massesenteret (treghetssenteret) til det mekaniske systemet N rc = ∑m r a =1 N a a . ∑m a =1 (1,6) a 1,5. Utledning av loven om bevaring av energi fra den grunnleggende differensialligningen for dynamikk Betrakt et system med N materialpunkter. For hvert punkt "a" skriver vi ned Newtons II-lov (1.2) og multipliserer dr begge deler skalært med hastigheten til punktet va = a dt ⎛ dv ⎞ dr ⎞ ⎛ ma ⎜ va , a ⎟ = Fa , va = ⎜ Fa , a ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ ⎝ Etter transformasjoner, multiplisere begge sider med dt, integrering innenfor grensene fra t1 til t2 og anta at ra = ra (t1) , (Ra = ra (t2) ,) va = va (t1 ), ua = va (t2), får vi 24 ma ua2 ma va2 − = 2 2 Ra ∫ (F , dr) . a a (1.7) ra La oss deretter representere kraften Fa som summen av potensielle og dissipative krefter Fa = Fapot + Faad. Dissipative krefter er de som fører til spredning av mekanisk energi, dvs. konvertere den til andre typer energi. Potensielle krefter er de hvis arbeid i en lukket sløyfe er null. A = ∫ (Fapot, dra) = 0 . (1.8) L La oss vise at potensialfeltet er gradient, dvs. ⎛ ∂Π a ∂Π a ∂Π a ⎞ +j +k Fapot = − grad Π a (ra) = − ⎜ i ⎟ . (1.9) ∂ya ∂za ⎠ ⎝ ∂xa Faktisk, i samsvar med Stokes' teorem, kan vi skrive svette svette ∫ (Fa , dra) = ∫∫ (råte Fa , ds) , L S hvor S er overflaten som strekkes av kontur L Figur 5. S L Figur 5 – Kontur og overflate Stokes' teorem fører til beviset for gyldigheten av (1.9) på grunn av den åpenbare relasjonen rot Fapot = ⎣⎡∇, Fapot ⎦⎤ = − [∇, ∇Π a ] = 0 , ∇ ∇Π 25 t Det vil si at hvis et vektorfelt uttrykkes i form av gradienten til en skalarfunksjon, så er dets arbeid langs en lukket kontur nødvendigvis null. Det motsatte utsagnet er også sant: hvis sirkulasjonen til et vektorfelt langs en lukket kontur er null, er det alltid mulig å finne det tilsvarende skalarfeltet, hvis gradient er det gitte vektorfeltet. Tar man hensyn til (1.9), kan relasjon (1.7) representeres som R ⎧ ma ua2 ⎫ ⎧ ma va2 ⎫ a D + Π a (Ra) ⎬ − ⎨ + Π a (ra) ⎬ = ∫ Fa , dra . ⎨ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ra () Totalt har vi N slike ligninger. Ved å legge til alle disse ligningene får vi loven om bevaring av energi i klassisk mekanikk 1: endringen i den totale mekaniske energien til systemet er lik arbeidet til dissipative krefter ⎧ ma ua2 ⎫ N ⎧m v 2 ⎫ N a + Π a (Ra) ⎬ − ∑ ⎨ a a + Π a (ra ) ⎬ = ∑ ∫ FaD , dra .(1.10) 2 a =1 ⎩ ⎭ a =1 ⎩ 2 ⎭ a =1 ra N ∑⎨ R () ingen dissipative krefter, den totale (kinetiske pluss potensielle) energien til det mekaniske systemet endres ikke ("hermetisk") og systemet kalles konservativt. 1.6. Utledning av loven om bevaring av vinkelmomentum fra den grunnleggende differensialligningen for dynamikk Tenk på et system med N materialpunkter. For hvert punkt “a” skriver vi ned Newtons II-lov (1.2) og multipliserer begge sider til venstre vektorielt med radiusvektoren til punktet ⎡ dv ⎤ ma ⎢ ra , a ⎥ = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ = K a . dt ⎦ ⎣ 1 Denne ideen om transformasjoner av mekanisk energi viser seg å være tilstrekkelig for objektiv virkelighet bare så lenge vi vurderer fenomener som ikke er ledsaget av transformasjon av materiell materie til feltmaterie og omvendt. 26 Mengden K a = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ (1.11) kalles kraftmomentet Fa i forhold til origo. På grunn av den åpenbare sammenhengen d ⎣⎡ ra , va ⎦⎤ ⎡ d va ⎤ ⎡ dra ⎤ ⎡ dv ⎤ , va ⎥ = ⎢ ra , a ⎥ = ⎢ ra , + ⎢ ⎣ ⎥ dt dt ⎣ d ⎡ ⎣ ra , ma va ⎤⎦ = Ka . dt Som før er antallet slike ligninger N, og ved å legge dem til får vi dM =K, (1.12) dt hvor additivmengden N M = ∑ ⎡⎣ ra , mava ⎤⎦ , (1.13) a =1 kalles vinkelmomentet til det mekaniske systemet. Hvis momentet for krefter som virker på systemet er null, blir vinkelmomentet til systemet bevart N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = const . (1,14) a =1 1,7. Bevegelsesintegraler Mengdene som vurderes i avsnitt 1.4–1.6 som er bevart under visse forhold: momentum, energi og vinkelmoment er oppnådd som et resultat av en enkelt integrasjon av den grunnleggende differensialligningen for dynamikk - bevegelsesligningen, dvs. er de første integralene til andreordens differensialligninger. På grunn av dette kalles alle disse fysiske mengdene vanligvis integraler av bevegelse. Senere, i avsnittet viet til studiet av Lagrange-ligninger av den andre typen (ligninger som Newtons andre lov om konfigurasjonsrom transformeres til27), vil vi vise at integraler av bevegelse kan betraktes som konsekvenser av egenskapene til Newtons rom og tid. . Loven om bevaring av energi er en konsekvens av homogeniteten til tidsskalaen. Loven om bevaring av momentum følger av rommets homogenitet, og loven om bevaring av vinkelmoment følger av rommets isotropi. 1.8. Bevegelse i ikke-treghetsreferansesystemer 1.9. Testoppgave 1.9.1. Et eksempel på løsning av oppgaven Finn bevegelseslikningene til et punkt under påvirkning av en tiltrekningskraft til sentrum C1 og en frastøtende kraft rundt sentrum C2, proporsjonal med avstandene til sentrene. Proporsjonalitetskoeffisientene er lik henholdsvis k1m og k2m, der m er massen til punktet M. Koordinatene til sentrene i et vilkårlig tidspunkt bestemmes av relasjonene: X1(t) = acosωt; Yl(t) = asinωt; Z1 = сhλt; X2 = Y2 = 0; Z2 = Z1. I det første øyeblikket hadde punktet koordinater x = a; y = 0; z=0 og hastighet med komponentene vx = vy = vz =0. Løs problemet under betingelsen k1 > k2. Bevegelsen til et materialpunkt under påvirkning av to krefter F1 og F2 (Figur 5) bestemmes av den grunnleggende differensialligningen for dynamikk - Newtons andre lov: mr = F1 + F2, der to prikker over symbolet betyr gjentatt differensiering i tid . I henhold til betingelsene for oppgaven er kreftene F1 og F2 bestemt av relasjonene: 28 F1 = − k1mr1 ; F2 = k2 mr2. Den nødvendige mengden er radiusvektoren til punkt M, derfor bør vektorene r1 og r2 uttrykkes gjennom radiusvektoren og kjente vektorer R1 = iX 1 (t) + jY1 (t) + kZ1 (t) = ia cos ωt + ja sin ωt + k cosh λt og R2 = iX 2 (t) + jY2 (t) + kZ 2 (t) = k cosh λt, hvor i, j, k er basisvektorene til det kartesiske koordinatsystemet. М r1 r r2 С1 R1 R2 О С2 "О" er opprinnelsen til koordinatene, R1 og R2 er radiusvektorene til de tiltrekkende og frastøtende sentrene, r er radiusvektoren til punktet M, r1 og r2 er vektorer som bestemmer posisjonen av punkt M i forhold til sentrene. Figur 6 – Punkt M i feltet til to sentra Fra figur 6 får vi r1 = r − R1 ; r2 = r − R2 . Ved å erstatte alle disse relasjonene i Newtons andre lov, og dele begge sider av ligningen med massen m, får vi en annenordens inhomogen differensialligning med konstante koeffisienter: r + (k1 − k2)r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k (k1 − k2)ch λt . Siden, i henhold til betingelsene for problemet, k1 > k2, er det fornuftig å introdusere notasjonen – den positive verdien k2 = k1 – k2. Da får den resulterende differensialligningen formen: r + k 2 r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k 2ch λt. Løsningen til denne ligningen bør søkes i form av summen av den generelle løsningen ro av den homogene ligningen ro + k 2 ro = 0 og den spesielle løsningen rch av den inhomogene ligningen r = ro + rch. For å konstruere en generell løsning, komponerer vi den karakteristiske likningen λ2 + k2 = 0, hvis røtter er imaginære: λ1,2 = ± ik, hvor i = −1. På grunn av dette bør den generelle løsningen av den homogene ligningen skrives på formen r = A cos kt + B sin kt, hvor A og B er vektorintegrasjonskonstanter. En spesiell løsning kan bli funnet ved formen til høyre side ved å introdusere de ubestemte koeffisientene α1, α 2, α 3 rc = α1 cos ωt + α 2 sin ωt + α 3ch λt, rc = −ω2α1 cos ωt − ω 2 sin ωt + λ 2α 3ch λt. Setter vi denne løsningen inn i den inhomogene likningen, og likner koeffisientene for identiske tidsfunksjoner på venstre og høyre side av likningen, får vi et likningssystem som bestemmer de usikre koeffisientene: α1 (k 2 − ω2) = iak1 ; α 2 (k 2 − ω2) = jak1 ; α 3 (k 2 + λ 2) = ik 2. Dermed har den generelle løsningen av den inhomogene ligningen formen 30 r = A cos kt + B sin kt + k1 k2 a i t j k cosh λt. (cos ω + sin ω) + k 2 − ω2 k 2 + λ2 Integrasjonskonstanter bestemmes fra startbetingelsene, som kan skrives i vektorform: r (t = 0) = ia; r (t = 0) = 0 . For å bestemme integrasjonskonstantene er det nødvendig å vite hastigheten til et punkt ved et vilkårlig tidspunkt ωk r = −kA sin kt + kB cos kt + 2 1 2 a (−i sin ωt k −ω 2 λk + j cos ωt) + 2 k sinh λt. k + λ2 Ved å erstatte startbetingelsene i løsningen som ble funnet, får vi (t = 0): k k k2 ia = A + 2 1 2 ia + 2 k ; 0 = kB + 2 1 2 j ωa. 2 k −ω k +λ k −ω La oss finne integrasjonskonstantene herfra og sette dem inn i likningen i bevegelseslikningene k r = ia cos kt + 2 1 2 + 2 k (ch λt − cos kt). ω k + λ2 Dette uttrykket representerer de nødvendige bevegelsesligningene i vektorform. Disse bevegelsesligningene, så vel som hele prosessen med å søke etter dem, kan skrives i projeksjoner på aksene til det kartesiske koordinatsystemet. + 1.9.2. Varianter av testoppgaver Finn bevegelseslikningene til et materialpunkt under påvirkning av tiltrekningskraften til sentrum O1 og frastøtningskraften fra sentrum O2. Kreftene er proporsjonale med avstandene til sentrene, proporsjonalitetskoeffisientene er lik henholdsvis k1m og k2m, der m er punktets masse. Koordinatene til 31 sentre, startbetingelser og betingelser pålagt koeffisientene er gitt i tabellen. Den første kolonnen inneholder alternativnummeret. I odde varianter, vurder k1 > k2, i odde varianter, k2 > k1. Varianter av kontrolloppgaver er gitt i tabell 1. Den andre og tredje kolonnen viser koordinatene til de tiltrekkende og frastøtende sentrene på et vilkårlig tidspunkt t. De siste seks kolonnene bestemmer de innledende koordinatene til materialpunktet og komponentene til dets begynnelseshastighet, nødvendig for å bestemme integrasjonskonstantene. Tabell 1. Alternativer for prøvearbeid 1. Størrelsene a, b, c, R, λ og ω er konstante størrelser Alternativ 1 1 Koordinater til sentrum O1 2 X 1 = a + bt ; Y1 = e; Z1 = 0. Z 2 = 0. X 1 = –t 3 + cosh λt ; X2 = 0; Y1 = 0; 3 5 X 1 = a + bt; X2 = X1 + achλt; a 0 a b 0 0 Z2 = 0. X 1 = 0; X2 = 0; Y1 = bt; Y2 = Y1 + R cos ωt; a 0 a 0 b b Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X1 = a + bt; X 2 = X 1 + ach λt; 4 a a a 0 0 0 Y2 = Y1 + askeλt; Z1 = R cos ωt. Z1 = 0. 4 0 0 a 0 0 b Z 2 = Z1 + R sin ωt. 4 Y1 = 0; x0 y0 z0 vx vy vz Y2 = R cos ωt; Z1 = a + bt. Y1 = a; 4 3 X 2 = X 1 + R cos ωt; Startverdier Y2 = Y1 + R sin ωt ; λt 2 Koordinater til sentrum O2 Y2 = Y1 + aske λt ; Z 2 = 0. 32 a 0 a 0 0 0 Fortsettelse av tabell 1 1 6 7 2 X 1 = aske λt ; 3 X 2 = Y1 + R cos ωt; Y1 = ach λt; Y2 = 0; Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X1 = ct; Y1 = 0; X2 = 0; 4 9 0 0 a 0 0 b 0 0 a 0 0 0 Y2 = R cos ωt; Z 2 = R sin ωt. Z1 = ae λt. 8 4 X 1 = aske λt; X 2 = X 1 + RCosωt; Y1 = 0; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z2 = Z1 + RSinωt. Xl = a + bt; Y1 = a + bt; X 2 = X 1 + R cos ωt; 0 a 0 0 0 0 a a 0 b b o Y2 = Y1 + R sin ωt; Z 2 = e −λt . λt Z1 = ae. 10 X 1 = a + ct3; Y1 = a + bt; Z1 = aeλt. 11 X 1 = a + bt 2; Y1 = ach λt; Z1 = aske λt. X2 = 0; a a 0 0 0 0 Y2 = R cos ωt; Z 2 = R sin ωt. X2 = Xl; a 0 0 0 0 0 Y2 = Y1 + R cos ωt; Z 2 = Z1 + R sin ωt. X2 = R sin ωt; 12 X 1 = 0; Y1 = a + bt; 4 Z1 = a + bt. 4 13 X 1 = aske λt; Y1 = 0; Z1 = ach λt. 14 X 1 = ae−2λt; Y1 = ae 2 λt; Z1 = a + bt + ct 4 . 0 a a 0 b 0 Y2 = Y1 + R cos ωt; Z2 = Z1. X 2 = X 1 + R cos ωt; 0 a 0 0 b 0 Y2 = a + bt + ct; 3 Z 2 = Z1 + R sin ωt. X2 = 0; 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z 2 = a cos ωt. 33 Tabellslutt 1 1 2 15 X 1 = ae Y1 = ae −2 λt 2 λt 3 X 2 = 0; ; ; Y1 = aske λt; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z2 = Z1. X 1 = R cos ωt; 21 X 2 = X 1 + a + bt 2; Y2 = Y1; Z1 = a + bt. Z1 = 0. Y1 = R cos ωt; X 2 = X 1 + aske λt; Y1 = 0; Y2 = a + bt; Z1 = R sin ωt. 20 a 0 0 b 0 0 Y1 = R sin ωt; 2 19 Z 2 = a cos ωt. X 2 = a sin ωt; 16 X 1 = a + bt; 18 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z1 = a + bt + ct 4 . 17 4 0 a 0 0 0 b 2 Z 2 = Z1 + ach λt. X1 = X2; X2 = a + bt; Y1 = 0; Y2 = askeλt; Z1 = 0. Z2 = achλt. 0 0 a 0 b 0 X 1 = 0; X2 = aSinωt; Y1 = 0; Y2 = aCosωt; Z1 = a + bt + ct 4 . Z2 = 0. Xl = askeλt; X2 = 0; Y1 = achλt; Y2 = a + bt + ct; Z1 = 0. 0 0 a b 0 0 0 a a b 0 b 0 0 a 0 0 b 3 Z 2 = 0. Litteratur til testoppgave 1. Meshchersky I.V. Samling av problemer i teoretisk mekanikk. M., 1986. S. 202. (Problemer nr. 27.53 – 27.56, 27.62, 27.63). 2. Olkhovsky I.I. Kurs i teoretisk mekanikk for fysikere. M., 1974. S. 43 – 63. 34 1.10. Avsluttende kontrollprøver (eksamen) 1.10.1. Felt A A.1.1. Den grunnleggende differensialligningen for dynamikken til et materialpunkt har formen... A.1.2. Å løse et direkte dynamikkproblem betyr... A1.3. Å løse det inverse problemet med dynamikk betyr... A.1.5. Summen av indre krefter som virker på et system av materialpunkter forsvinner på grunn av... A.1.6. Kraftimpulsen er... A.1.7. Treghetssentersystemet er et referansesystem der A.1.8. Massesenteret er... A.1.9. Koordinatene til massesenteret bestemmes av formel A.1.10. Hastigheten til treghetssentersystemet bestemmes av formelen... A.1.11. Loven om bevaring av momentum til et system av materielle punkter i sin mest generelle form er skrevet som... A.1.12. Det potensielle kraftfeltet bestemmes av relasjonen... (grunndefinisjon) A.1.13. Det potensielle kraftfeltet bestemmes av relasjonen... (en konsekvens av hoveddefinisjonen) A.1.14. Hvis feltet F er potensielt, så... A.1.15. Vinkelmomentet til et system av materialpunkter er mengden... A.1.16. Momentet for krefter som virker på et mekanisk system kan bestemmes av forholdet... A.1.17. Hvis momentet for krefter som virker på et mekanisk system er lik null, så er ... A.1.18 bevart. Hvis summen av ytre krefter som virker på et mekanisk system er lik null, så er ... A.1.19 bevart. Hvis dissipative krefter ikke virker på det mekaniske systemet, gjenstår ... A.1.20. Et mekanisk system kalles lukket hvis 35 1.10.2. Felt B ua B.1.1. Resultatet av å beregne integralet ∑ ∫ d (m d v) a a a va er uttrykket ... B.1.2. Momentumet til det mekaniske systemet i referanserammen K er relatert til momentumet til referanserammen K′ som beveger seg i forhold til det med hastighet V ved relasjonen ... B.1.3. Hvis F = −∇Π, så... B.1.4. Arbeidet utført av kraften F = −∇Π langs en lukket sløyfe forsvinner på grunn av … d va2 B1. 5. Tidsderiverten er lik ... dt B.1.6. Tidsderiverten av impulsmomentet d er lik ... dt 1.10.3. Felt C C.1.1. Hvis et massepunkt m beveger seg slik at koordinatene ved tidspunktet t er x = x(t), y = y(t), z = z (t), så påvirkes det av en kraft F, komponent Fx (Fy) , Fz) som er lik... C.1.2. Hvis et punkt beveger seg under påvirkning av kraften kmr og hvis det ved t = 0 hadde koordinater (m) (x0, y0, z0) og hastighet (m/s) (Vx, Vy, Vz), så er i øyeblikket t = t1 s vil dens koordinat x være lik...(m) C.1.3. Ved toppunktene til et rektangulært parallellepiped med sidene a, b og c er det punktmasser m1, m2, m3 og m4. Finn koordinaten (xc, yc, zc) til treghetssenteret. 36 m3 m4 z m3 m4 c m1 y m2 b m1 m2 a x Figur 7 – For oppgave C.1.3 C.1.4. Tettheten til en stang med lengde varierer i henhold til loven ρ = ρ(x). Massesenteret til en slik stang ligger fra origo i en avstand... C.1.5. Kraften F = (Fx, Fy, Fz) påføres et punkt med koordinatene x = a, y = b, z = c. Projeksjonene av momentet til denne kraften i forhold til opprinnelsen til koordinatene er lik... 37 2. BEVEGELSE I ET SENTRALT SYMMETRISK FELT 2.1. Struktur av "bruker"-seksjonen Hastighet og akselerasjon i krumlinjede koordinater Tensoranalyse "spor" "bruker" Integraler av bevegelse av kontrollenheten "sporer" "bruker" Sektorhastighet Vektorprodukt "spor" "bruker" Banelikning Definitiv integral "spor " "bruker" "bruker" "Rutherford formel Steradian Figur 8 - Struktur av seksjonen "sentralt symmetrisk felt 38 2.2. Konseptet med et sentralsymmetrisk felt La oss kalle et felt sentralsymmetrisk der den potensielle energien til et materialpunkt bare avhenger av avstanden r til et eller annet senter "O". Hvis opprinnelsen til det kartesiske koordinatsystemet er plassert i punktet "O", vil denne avstanden være modulen til radiusvektoren til punktet, dvs. P = P(r), r = x 2 + y 2 + z 2. I samsvar med definisjonen av et potensielt felt virker kraften ∂Π ∂Π ∂r ∂Π r ∂Π (2.1) F =− =− =− =− er på et punkt. ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂r I et slikt felt er ekvipotensialflatene П(r) = const sammenfallende med koordinatflatene r = const i sfæriske koordinater. Kraft (2.1), som i kartesiske koordinater har tre ikke-null-komponenter, har i sfæriske koordinater bare én ikke-null-komponent - projeksjonen på basisvektoren er. Alt det ovennevnte tvinger oss til å vende oss til sfæriske koordinater, hvis symmetri sammenfaller med symmetrien til det fysiske feltet. Sfæriske koordinater er et spesialtilfelle av ortogonale krumlinjede koordinater. 2.3. Hastighet i krumlinjede koordinater La xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z,) være kartesiske koordinater, og ξ = ξi(xk) være krumlinjede koordinater – en-til-en funksjoner av kartesiske koordinater. Per definisjon vil hastighetsvektoren dr (ξi (t)) ∂r ∂ξi v= = i = ei ξi , (2.2) ∂ξ ∂t dt der vektorene ∂r ei = i (2.3) ∂ξ i 39 danner såkalt koordinat (enten holonomisk eller integrerbar) basis. Kvadraten til hastighetsvektoren er lik v 2 = (ei, e j) ξi ξ j = gij ξi ξ j. Antall ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ representerer de kovariante komponentene til den metriske tensoren. Den kinetiske energien til et materialpunkt i krumlinjede koordinater har formen mv 2 1 T= = mgij ξi ξ j . (2.5) 2 2 2.4. Akselerasjon i krumlinjede koordinater I krumlinjede koordinater er ikke bare koordinatene til et bevegelig punkt avhengig av tid, men også vektorene til grunnlaget som beveger seg med det, hvor ekspansjonskoeffisienten er de målte komponentene av hastighet og akselerasjon. På grunn av dette, i krumlinjede koordinater, er ikke bare koordinatene til punktet gjenstand for differensiering, men også basisvektorene dei (ξi (t)) d v dei ξi (t) i i. (2.6) W= = = ei ξ + ξ dt dt dt Ved regelen for differensiering av den komplekse funksjonen dei (ξi (t)) ∂ei d ξ j = j ∂ξ dt dt Den deriverte av en vektor i forhold til koordinat er også en vektor∂ei torus, derfor kan hver av de ni vektorene ∂ξ j utvides til basisvektorer ∂ei (2.7) = Γijk ek . j ∂ξ 40 Ekspansjonskoeffisientene Γijk kalles affine forbindelseskoeffisienter. Rom der koeffisientene for affin forbindelse er definert kalles rom for affin forbindelse. Rom der koeffisientene for affin forbindelse er lik null kalles affine rom. I det affine rommet, i det mest generelle tilfellet, kan bare rettlinjede skrå koordinater med vilkårlige skalaer langs hver av aksene introduseres. Basisvektorene i et slikt rom er de samme på alle punktene. Hvis koordinatgrunnlaget (2.3) er valgt, viser koeffisientene til den affine forbindelsen seg å være symmetriske i abonnenter, og i dette tilfellet kalles de Christoffel-symboler. Christoffel-symboler kan uttrykkes i form av komponentene til den metriske tensoren og deres koordinatderivater ∂g jm ⎫ ⎧ ∂g ij ∂g 1 Γ ijk = g km ⎨− m + mij + (2.8) ⎬. ∂ξ ∂ξi ⎭ 2 ⎩ ∂ξ Mengdene gij er kontravariante komponenter av den metriske tensoren - elementer i matrisen er inverse til gij. Utvidelseskoeffisienter av akselerasjonsvektoren i form av hovedbasisvektorene Dξ k k k k i j W = ξ + Γij ξ ξ =. (2.9) dt representerer motsatte komponenter i akselerasjonsvektoren. 2.5. Hastighet og akselerasjon i sfæriske koordinater Sfæriske koordinater ξ1 = r, ξ2 = θ, ξ3 = ϕ er relatert til de kartesiske koordinatene x, y og z ved følgende relasjoner (Figur 9): x = rsinθcosϕ, y = rsinθsinϕ, z . 41 z θ y r ϕ x x Figur 9 – Forholdet mellom kartesiske koordinater x, y, z med sfæriske koordinater r, θ, ϕ. Vi finner komponentene til den metriske tensoren ved å erstatte disse relasjonene i uttrykk (2.4) 2 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎎ ∂z 1 ⎛ ∂z 1 1 + 1 1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1; ∃ = ∂ ξ ∂ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎟2 ✎ + ⎟ ✎ r; ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ∂x ​​∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g33 = 3 3 + 3 3 + 3 3 = ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r 2 sin 2 θ. ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ De ikke-diagonale komponentene til den metriske tensoren er lik null, fordi sfæriske koordinater er ortogonale krumlinjede koordinater. Dette kan verifiseres ved direkte beregninger eller ved å konstruere tangenter til koordinatlinjene til basisvektorene (Figur 10). er eϕ θ eθ Figur 10 - Koordinatlinjer og basisvektorer i sfæriske koordinater I tillegg til hoved- og innbyrdes baser brukes ofte det såkalte fysiske grunnlaget - enhetsvektorer som tangerer koordinatlinjene. I dette grunnlaget sammenfaller den fysiske dimensjonen til vektorkomponentene, som også ofte kalles fysiske, med dimensjonen til modulen, som bestemmer navnet på grunnlaget. Ved å erstatte de resulterende komponentene til den metriske tensoren med (2.5), får vi et uttrykk for den kinetiske energien til et materialpunkt i sfæriske koordinater 1 1 (2.10) T = mv 2 = m r 2 + r 2θ2 + r 2 sin 2 θϕ2 . 2 2 Siden sfæriske koordinater gjenspeiler symmetrien til et sentralt symmetrisk felt, brukes uttrykk (2.10) for å beskrive bevegelsen til et materialpunkt i et sentralt symmetrisk felt. () 43 For å finne de kontravariante komponentene til akselerasjon ved å bruke formel (2.9), må du først finne de kontravariante komponentene til den metriske tensoren som elementer i matrisen, invers matrise gij, og deretter Christoffel-symbolene etter formler (2.8). Siden matrisen gij er diagonal i ortogonale koordinater, er elementene i dens inverse matrise (også diagonal) ganske enkelt inversen av elementene gij: g11 = 1; g22 = r–2; g33 = r–2sin–2θ. La oss først finne ut hvilke av Christoffel-symbolene som vil være ikke-null. For å gjøre dette skriver vi relasjon (2.8), og setter hevet skrift lik 1 ∂g j1 ⎫ ⎧ ∂gij ∂g 1 Γ1ij = g 11 ⎨− 1 + 1ji + i ⎬ . 2 ∂ξ ⎭ ⎩ ∂ξ ∂ξ Siden de ikke-diagonale komponentene til den metriske tensoren er lik null og komponenten g11 = 1 (konstant), blir de to siste leddene i parentes null, og det første leddet vil være ikke- null for i = j = 2 og i = j = 3. Blant Christoffel-symbolene med indeks 1 øverst vil altså bare Γ122 og Γ133 være ikke-null. Tilsvarende finner vi Christoffel-symboler som ikke er null med indeksene 2 og 3 øverst. Det er totalt 6 Christoffel-symboler som ikke er null: Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; 1 2 2 Γ12 = Γ 221 = ; Γ33 = − sin θ cos θ; r 1 3 Γ13 = Γ331 =; Γ323 = Γ332 = ctgϑ. r (2.11) Ved å erstatte disse relasjonene i uttrykk (1.3), får vi kontravariante akselerasjonskomponenter i sfæriske koordinater: 44 W 1 = ξ1 + Γ122ξ 2 ξ2 + Γ133ξ3ξ3 = r − rθ2 − r sin 2 θϕ 2; 2 2 1 2 2 3 3 W 2 = ξ 2 + 2Γ12 ξ ξ + Γ33 ξ ξ = θ + r θ − sin θ cos θϕ2; (2.12) r 2 3 1 3 W 3 = ξ3 + 2Γ13 ξ ξ + 2Γ323ξ2 ξ3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ. r 2,6. Bevegelsesligninger i et sentralt symmetrisk felt I sfæriske koordinater har kraftvektoren bare én ikke-null-komponent d Π (r) (2.13) Fr = − dr På grunn av dette har Newtons andre lov for et materialpunkt formen d Π (r) ) (2.14) mW 1 = m r − r θ2 − r sin 2 θϕ2 = − dr 2 (2.15) W 2 = θ + rθ − sin θ cos θϕ2 = 0 r 2 (2.16) W 3 = ϕ + θ ϕ + θ = 0 r Ligning (2.15 ) har to partielle løsninger ⎧0 ⎪ θ = ⎨π (2.17) ⎪⎩ 2 Den første av disse løsningene motsier betingelsen som er pålagt krumlinjede koordinater; ved θ = 0 forsvinner Jacobianen til transformasjonene J = transformasjonene g = r 2 sin θ = 0 ( ) θ= 0 Når den andre løsningen (2.17) tas i betraktning, har likningene (2.14) og (2.16) formen d Π (r) (2.18) m (r − r ϕ2) = − dr 45 2 (2.19) ϕ + rϕ = 0 r Ligning (2.19) tillater separasjon av variablene d ϕ dr = r ϕ og det første integralet r 2ϕ = C , (2.20) hvor C er integrasjonskonstanten. I neste avsnitt vil det vises at denne konstanten representerer to ganger sektorhastigheten, og derfor er integralet i seg selv (2.20) Keplers andre lov eller områdeintegral. For å finne det første integralet av ligning (2.18), erstatter vi med (2. 18) relasjon (2.20) ⎛ C2 ⎞ d Π (r) m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ og skille variablene dr 1 dr 2 C 2 1 d Π (r) . = 3 − r= 2 dr dr r m dr Som et resultat av integrasjon får vi ⎛ mr 2 C 2 ⎞ + 2 ⎟ + Π (r) = const = E = T + Π (r) , (2.21) ⎜ r ⎠ ⎝ 2 t. e. loven om bevaring av mekanisk energi, som er lett å verifisere ved å erstatte (2.17) og (2.20) i (2.10). 2.7. Sektorhastighet og sektorakselerasjon Sektorhastighet – verdi, numerisk lik areal, sveipet av radiusvektoren til punktet per tidsenhet dS σ= . dt Som man kan se av figur 11 46 1 1 [ r , r + dr ] = [ r , dr ] , 2 2 og sektorhastigheten bestemmes av relasjonen 1 (2.22) σ = ⎡⎣ r , r ⎤⎦ . 2 Ved planbevegelse i sylindriske koordinater r = ix + jy, har x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (2.22) formen i j k 1 1 1 σ = x y 0 = kr 2ϕ = C . (2.23) 2 2 2 x y 0 dS = r dr r + dr dS Figur 11 – Areal sveipet av radiusvektoren Dermed er konstanten for integrasjon C to ganger sektorhastigheten. Ved å beregne den tidsderiverte av uttrykket (2.22), får vi sektorakselerasjonen 47 1 ⎡r , r ⎤ . (2.24) 2⎣ ⎦ I følge Newtons andre lov representerer uttrykk (2.24) halvparten av kraftmomentet delt på massen, og å snu dette momentet til null fører til bevaring av vinkelmomentet (se avsnitt 1.2). Sektorhastighet er halvparten av vinkelmomentet delt på massen. Med andre ord kan de første integralene av bevegelsesligningene i et sentralt symmetrisk felt skrives uten eksplisitt integrering av differensialligningene for bevegelse, kun basert på det faktum at 1) bevegelse skjer i fravær av dissipative krefter; 2) kreftmoment 1 K = ⎣⎡ r , F ⎦⎤ = ⎣⎡ r , r ⎦⎤ = 0 . (2,25) m blir null. σ = 2,8. Bevegelsesligning for et materialpunkt i et gravitasjonsfelt og et Coulomb-felt 2.8.1. Effektiv energi Variablene i relasjon (2.21) er lett separerte dr dt = , (2.26) 2 E ⎛ 2Π (r) C 2 ⎞ −⎜ + 2 ⎟ m ⎝ m r ⎠ og den resulterende relasjonen (2.26) kan analyseres. I tilfeller med Coulomb og gravitasjonsfelt er den potensielle energien omvendt proporsjonal med avstanden til sentrum α ⎧α > 0 – tiltrekningskraften; Π (r) = − ⎨ (2,27) r ⎩α< 0 − силы оталкивания. В случае силы притяжения выражение в скобках в формуле (2.26) принимает вид 48 2 ⎛ α mC 2 ⎞ ⎜− + ⎟. m ⎝ r 2r 2 ⎠ Оба слагаемых в скобках имеют размерность энергии. Второе слагаемое mC 2 (2.28) U цб = 2r 2 называют центробежной энергией. Вместе с потенциальной энергией она образует так называемую «эффективную энергию», которая имеет минимум, соответствующий устойчивому движению (рисунок 12) α mC 2 (2.29) U эф = − + 2 . r 2r Центробежная энергия r Эффективная энергия Потенциальная энергия Uэфmin Рисунок 12 – Эффективная энергия 2.8.2. Уравнение траектории Вернемся к выражению (2.26). Для вычисления интеграла введем новую переменную 1 dr (2.30) u = , du = − 2 r r и выберем координату ϕ в качестве новой независимой переменной. Это возможно, если ϕ(t) – монотонная функция времени. Монотонность же этой функции вытекает из отличия от нуля производной по времени 49 C r2 во всей области за исключением r → ∞. С учетом этих замен выражение (2.26) приводится к интегралу −du ϕ − ϕ0 = ∫ = α ⎞ 2E ⎛ 2 − ⎜u − 2 u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ = = ϕ= ∫ 2 2E ⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞ +⎜ −⎜u − ⎟ 2 2 ⎟ mC ⎝ mC ⎠ ⎝ mC 2 ⎠ α u− mC 2 = arccos . 2E ⎛ α ⎞ +⎜ ⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ P ϕ= 2 2 π 2 Полюс Рисунок 13 – Геометрический смысл фокального параметра Возвращаясь к переменной r, получим уравнение траектории материальной точки в центрально-симметричном поле 50 r= p , 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) (2.31) где mC 2 α – фокальный параметр орбиты; p= ε = 1+ 2mC 2 E α2 (2.32) (2.33) – эксцентриситет орбиты. Уравнение (2.31) представляет собой уравнение конического сечения. Геометрический смысл фокального параπ метра, которому радиус-вектор точки равен при ϕ − ϕ0 = 2 представлен на рисунке 13. 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии Вид конического сечения – траектории точки в центрально-симметричном поле – зависит от эксцентриситета, а тот согласно (2.33) зависит от полной энергии. 1. ε = 0. Траектория точки представляет собой окружность. Total energi et punkt som ligger på overflaten av en planet med masse M og radius R bestemmes av forholdet mv 2 GMm α2 − = − . E= 2 R2 2mC 2 2. 0< ε <1. Траектория точки представляет собой эллипс. Полная энергия точки ограничена значениями α2 mv 2 GMm − < − < 0. 2 R2 2mC 2 3. ε = 1. Траектория точки представляет собой параболу. Полная энергия точки обращается в нуль 51 mv 2 GMm − =0. 2 R2 Соответствующая скорость v2 = 2 GM = 2v1 (2.34) R называется второй космической скоростью, а v1 = GM R – первой космической скоростью 4. ε > 1. Banen til et punkt er en hyperbel. Den totale energien til et punkt er større enn null. 2.9. Redusere tokroppsproblemet til enkroppsproblemet. Redusert masse La oss vurdere problemet med bevegelsen til to kropper under påvirkning av kraften av vekselvirkning bare med hverandre (Figur 14) F12 m2 r r1 m1 r2 F21 O O – opprinnelse til koordinater; m1 og m2 – masser av vekselvirkende legemer Figur 14 – To-legeme problem La oss skrive Newtons andre lov for hver av legene 52 m1r1 = F12 = − F (r) ⎫⎪ ⎬ m2 r2 = F21 = F (r) ⎪⎭ ( 2.35) For vektoren r har vi r = r2 − r1 . (2.36) La oss stille problemet med å uttrykke vektorene r1 og r2 gjennom vektoren r. Ligning (2.36) alene er ikke nok for dette. Tvetydigheten i definisjonen av disse vektorene skyldes vilkårligheten i valget av opprinnelsen til koordinatene. Uten å begrense dette valget på noen måte, er det umulig å unikt uttrykke vektorene r1 og r2 i form av vektoren r. Siden posisjonen til opprinnelsen til koordinatene bare skal bestemmes av posisjonen til disse to kroppene, er det fornuftig å kombinere det med massesenteret (treghetssenteret) til systemet, dvs. sett m1r1 + m2 r2 = 0 . (2.37) Ved å uttrykke vektoren r2 ved å bruke vektoren r1 ved å bruke (2.37) og erstatte den med (2.36), får vi m2 m1 r1 = − r ; r2 = r. m1 + m2 m1 + m2 Ved å erstatte disse relasjonene i (2.35) i stedet for to ligninger får vi en mr = F (r), hvor mengden m introduseres, kalt den reduserte massen mm (2.38) m= 1 2 . m1 + m2 Dermed er problemet med bevegelse av to legemer i et felt med gjensidig handling på hverandre redusert til problemet med bevegelse av et punkt med redusert masse i et sentralt symmetrisk felt i treghetssenteret. 53 2,10. Rutherfords formel I samsvar med resultatene i forrige avsnitt kan problemet med kollisjonen av to partikler og deres påfølgende bevegelse reduseres til bevegelsen til en partikkel i det sentrale feltet til et stasjonært senter. Dette problemet ble vurdert av E. Rutherford for å forklare resultatene av et eksperiment på spredning av α-partikler av materieatomer (Figur 15). dχ dχ Vm dρ V∞ ρ Figur 15 – rm ϕ ϕ χ Spredning av en α-partikkel av et stasjonært atom Banen til partikkelen som avbøyes av atomet må være symmetrisk i forhold til perpendikulæren til banen, senket fra spredningssenteret ( halveringslinjen til vinkelen dannet av asymptotene). I dette øyeblikk er partikkelen på korteste avstand rm fra sentrum. avstanden som kilden til α-partikler befinner seg i er mye større enn rm, så vi kan anta at partikkelen beveger seg fra det uendelige. Hastigheten til denne partikkelen ved uendelig er indikert i figur 15 med V∞. Avstanden ρ til linjen til hastighetsvektoren V∞ fra en linje parallelt med den som går gjennom spredningssenteret kalles anslagsavstanden. Vinkelen χ dannet av asymptoten til den spredte partikkelbanen med senterlinjen (samtidig den polare 54-aksen til det polare koordinatsystemet) kalles spredningsvinkelen. Det særegne ved forsøket er at støtavstanden i prinsippet ikke kan bestemmes under forsøket. Resultatet av målinger kan bare være antallet dN av partikler hvis spredningsvinkler tilhører et visst intervall [χ,χ + dχ]. Verken antallet N av partikler N som faller per tidsenhet eller deres flukstetthet n = (S er tverrsnittsarealet til den innfallende strålen) kan bestemmes. På grunn av dette betraktes det såkalte effektive spredningstverrsnittet dσ, definert av formel (2.39) dN, som en spredningskarakteristikk. (2.39) dσ = n Uttrykket dN n/ 2πρd ρ = = 2πρd ρ dσ = n n/ oppnådd som et resultat av en enkel beregning er ikke avhengig av flukstettheten til innfallende partikler, men avhenger likevel av slagavstanden. Det er ikke vanskelig å se at spredningsvinkelen er en monoton (monotonisk avtagende) funksjon av støtavstanden, som gjør at det effektive spredningstverrsnittet kan uttrykkes som følger: dρ (2.40) d σ = 2πρ dχ . dχ dρ< 0 . Следует, однако, отВ этой формуле учтено, что dχ метить, что рассеиваемые частицы в ходе эксперимента регистрируются не внутри плоского угла dχ, а внутри телесного угла dΩ, заключенного между двумя бесконечно близкими конусами. На рисунке 16 представлен телесный 55 угол dΩ и второй бесконечно малый телесный угол dω, отнесенный к цилиндрической системе координат. Бесконечно малая поверхность ds на рисунке 16 представляет собой часть координатной поверхности – сферы – r = const. С этой поверхностью с точностью до бесконечно малых первого порядка совпадает бесконечно малый прямоугольник, построенный на векторах eθ d θ и eϕ d ϕ 5. Площадь этого прямоугольника равна ds = ⎡⎣ eθ , eϕ ⎤⎦ d θd ϕ = eθ eϕ d θd ϕ = rr sin θd θd ϕ . ds dΩ dω θ dθ r dϕ Рисунок 16 – К выводу связи плоского угла с телесным углом Соответствующий сферической поверхности, площадь которой с точностью до бесконечно малых второго порядка равна площади этого прямоугольника, телесный угол по определению равен ds d ω = 2 = sin θd θd ϕ . r Интегрируя этот угол по ϕ в границах от нуля до 2π, получим 5 Смотрите: часть первая раздел второй учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды 56 d Ω = 2π sin θd θ . Очевидно, что угол рассеяния χ есть ни что иное, как сферическая координата θ. Заменяя в (2.40) плоский угол телесным, получим ρ dρ (2.41) dσ = dΩ . sin χ d χ Таким образом, для дальнейшего решения задачи необходимо найти функцию ρ(χ). С этой целью обратимся опять к уравнению (2.26), произведя в ней замену переменных в соответствии с (2.30) и перейдя к независимой переменной ϕ. α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ dϕ = . 2 2E α2 α ⎞ ⎛ + 2 4 −⎜u − ⎟ 2 mC mC ⎝ mC 2 ⎠ Левую часть этого соотношения проинтегрируем от 0 до ϕ, а правую – в соответствующих границах для переменной u: 1 от 0 до um = rm α α um − − 2 mC mC 2 ϕ = arccos − arccos . α2 α2 2E 2E + + mC 2 m 2C 4 mC 2 m 2C 4 В соответствии с законами сохранения энергии и момента импульса можно записать mV∞2 mVm2 α ⎫ = − ;⎪ E= 2 2 rm ⎬ ⎪ C = ρV∞ = rmVm . ⎭ Выразив из этих уравнений um, приходим к выводу, что отличным от нуля будет только второе слагаемое в выражении для ϕ, и, следовательно, имеем 57 ⎛ 2E α2 α2 ⎞ 2 = + ⎜ ⎟ cos ϕ . m 2C 4 ⎝ mC 2 m 2C 4 ⎠ Так как интеграл движения C зависит от ρ, то его следует также заменить в соответствии с законом сохранения момента импульса. Учитывая, что 2ϕ + χ = π, получим формулу Резерфорда 2 ⎛ α ⎞ 1 dσ = ⎜ dΩ . 2 ⎟ ⎝ 2mV∞ ⎠ sin 4 χ 2 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах Примером выполнения контрольного задания по этой теме является изложенный в пункте 2.5. метод определения скорости и ускорения в сферических координатах. Используя предлагаемую в третьей колонке с вязь декартовых координат с криволинейными, найдите диагональные компоненты метрического тензора (недиагональные равны нулю, так как все заданные криволинейные координаты являются ортогональными). Полученные Вами результаты сравните с таблицей приложения 1. Используя полученные компоненты метрического тензора, найдите необходимые для вычисления указанных в таблице 2 контравариантных компонент ускорения. 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий Найти кинетическую энергию материальной точки и контравариантные компоненты ускорения в криволинейных координатах, представленных в таблице 2. Таблица 2. Варианты заданий контрольных заданий (a, b, c, R, λ, и ω – постоянные величины) Вариант 1 1 Компоненты ускорения 2 Связь с декартовыми координатами 3 W1 ξ1=λ; ξ2=μ; ξ3=ν –общие эллипсоидальные координаты x2 = (a + λ)(a 2 + μ)(a 2 + ν) ; (a 2 − b 2)(a 2 − c 2) y2 = (b 2 + λ)(b 2 + μ)(b 2 + ν) ; (b 2 − a 2)(b 2 − c 2) z2 = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W2 W3 W1 и W3; ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 ξ1 = u; ξ2 = v; ξ3 = w W2 W3 2 (c 2 + λ)(c 2 + μ)(c 2 + ν) . (c 2 − a 2)(c 2 − b 2) те же координаты те же координаты x2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)cos2ϕ; y2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. координаты вытянутого эллипсоида вращения Те же координаты вытянутого эллипсоида вращения x2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)cos2ϕ; координаты сплюснутого эллипсоида вращения конические координаты y2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. Те же координаты сплюснутого эллипсоида вращения u vw x= ; bc u 2 (v 2 − b 2)(w 2 − b 2) y2 = 2 ; b b2 − c2 u 2 (v 2 − c 2)(w 2 − c 2) z2 = 2 . c c2 − b2 Те же конические координаты Те же конические координаты 59 Окончание таблицы 2 1 11 2 3 параболоидальные координаты (A − λ)(A − μ)(A − v) x2 = ; (B − A) (B − λ)(B − μ)(B − v) y2 = ; (A − B) 1 z = (A + B − λ − μ − v). 2 Те же (параболоидальные) координаты Те же (параболоидальные) координаты W1 ξ1 = λ; ξ2 = μ; ξ3 = ν 12 W2 13 W3 14 W1 и W3; ξ1 = σ; параболические ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ 15 16 W2 и W3 W1, W2 координаты и W3 параболиче1 ξ = σ; ского ξ2 = τ; цилиндра ξ3 = z W1, W2 бицилинди W3 ξ1=σ; рические ξ2=τ; координаты ξ3=z W1 и W3; тороиξ1 = σ; дальные ξ2 = τ; коордиξ3 = ϕ наты Те же (параболические) координаты 19 20 W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; биполярные ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ Те же тороидальные координаты 21 W2 и W3 17 18 x = στ cos ϕ; y = στ sin ϕ; 1 z = (τ2 − σ 2) 2 x = στ; 1 y = (τ2 − σ 2); 2 z=z ash τ ; ch τ − cos σ a sin σ y= ; ch τ − cos σ z=z x= ash τ cos ϕ; ch τ − cos σ ash τ y= sin ϕ; ch τ − cos σ a sin σ z= ch τ − cos σ x= a sin τ cos ϕ; ch σ − cos τ a sin τ y= sin ϕ; ch σ − cos τ ash σ z= . ch σ − cos τ x= Те же биполярные координаты 60 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) 2.12.1. Поле A А.2.2. Приведенной массой в задаче двух тел называется величина … А.2.2. Скорость материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.3. Скорость материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.4. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.5. Квадрат скорости материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.6. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.7. Ускорение материальной точки в криволинейных координатах имеет вид … А.2.8. Кинетическая энергия точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.9. Момент импульса материальной точки, движущейся в центрально симметричном поле равен … А.2.10. Уравнение конического сечения имеет вид … А.2.11 Эксцентриситет орбиты в центрально симметричном гравитационном поле определяется … А.2.12. Площадь S сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол Ω, равна … S Ω А.2.13. Площадь сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол dω, если θ и ϕ сферические координаты, равна … 61 А.2.14. Момент импульса точки в центральном поле в процессе движения … А2.15. Момент силы, действующий на точку в центральном поле в процессе движения … A2.16. Второй закон Кеплера, известный как закон площадей при движении в плоскости xy имеет вид … 2.12.2. Поле B B.2.1. Если символы Кристоффеля в сферических координатах имеют вид … 1 2 2 Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; Γ12 = Γ 221 = ; Γ 33 = − sin θ cos θ; r 1 3 3 3 Γ13 = Γ31 = ; Γ 323 = Γ 32 = ctgϑ. r то компонента Wi ускорения точки в центральносимметричном поле равна … B.2.2. Частным решением уравнения 2 θ + rθ − sin θ cos θ ϕ2 = 0 , r удовлетворяющим требованиям, предъявляемым к криволинейным координатам, является … B.2.3. Первый интеграл дифференциального уравнения 2 ϕ + r ϕ = 0 имеет вид … r B.2.4. Первый интеграл дифференциального уравнения ⎛ C2 ⎞ dΠ – это … m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ B.2.5. Если в интеграле движений в центральном поле 1 E = m (r 2 + r 2 ϕ2) + Π (r) = const 2 учесть интеграл движений r 2 ϕ2 = C = const , то разделение переменных даст выражение … 62 B.2.6. Если в выражении dt = dr 2 E ⎛ C 2 2α ⎞ −⎜ − ⎟ m ⎝ r 2 mr ⎠ перейти к 1 новой переменной u = , то результатом будет выражение r B2.7. Если в выражении, описывающем движение в цен− r 2 du тральном поле dt = , перейти от пе2 E ⎛ 2 2 2α ⎞ u⎟ − ⎜C u − m ⎝ m ⎠ ременной t к новой переменной ϕ, то результатом будет … um −du B.2.8. Интеграл ∫ равен … 2 E ⎛ 2 2α ⎞ 0 −⎜u − u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ B.2.11. Зависимость прицельного расстояния ρ от угла расα χ сеяния χ определяется соотношением: ρ = ctg . От2 mV∞ 2 сюда эффективное сечение рассеяния d σ = 2πρ d ρ dΩ sin χ d χ будет равно … 2.12.3. Поле C C.2.1. Потенциальная энергия спутника Земли массой m кг, средняя высота орбиты которого h, равна … (МДж). Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли принять равным 10 м/с2. C.2.2. Чтобы уравнения движения двух взаимодействующих тел заменить одним уравнением в центральном поле, необходимо вместо масс тел m1 и m2 использовать величину … 63 С.2.3. Кинетическая энергия спутника массой m, движущегося по эллиптической орбите эксцентриситетом ε и секторной скоростью σ, когда радиус-вектор образует с полярной осью угол ϕ, равна… С.2.4. Модуль секторной скорости точки, координаты которой изменяются по закону: x = asinωt, y = bcosωt, равен (км2/c)… 64 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. Структура раздела Поступательное движение -полюс -End1 * Антиподы Вращательное движение -центрВращения -угловаяСкорость +векторноеУмножение(in УгловаяСкорость, in радиусВектор) End1 End3 End5 End2 векторнаяАлгебра -векторноеПроизведение -скалярноеПроизведение End4 тензорнаяАлгебра -законПреобразования -радиусВектор +приведение к диагональному виду() End6 линейнаяАлгебра -собственныеЗначения Рисунок 17 – Структура связей дисциплин 65 * -End2 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение Понятие твердого тела в механике не связано непосредственно с какими-либо представлениями о характере взаимодействия его точек друг с другом. Определение твердого тела включает в себя лишь геометрическую его характеристику: твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. В соответствии с рисунком 18 определению твердого тела соответствует выражение rab = rab2 = const . (3.1) а rab b ra rb Рисунок 18 – К понятию твердого тела Определение (3.1) позволяет разделить движение твердого тела на два вида – поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно самой себе. Из рисунка 18 следует, что при этом rab = ra − rb = const , (3.2) и, следовательно, ra = rb ; ra = rb , (3.3) т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Очевидно, что для описания поступательного дви66 жения твердого тела достаточно ограничиться описанием движения одной (любой) его точки. Эта избранная точка называется полюсом. Второй тип движения – это движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю, называемое вращательным движением. Как видно из рисунка 19, модуль бесконечно малого вектора dr , совпадающий с длиной дуги, может быть выражен как dr = r sin αd ϕ = [ d ϕ, r ] , если ввести вектор угла поворота, совпадающего по направлению с осью вращения, т.е. прямой, скорости точек которой в данный момент времени равны нулю. dϕ dr r + dr dϕ Рисунок 19 – α r Вращательное движение твердого тела Если направление вектора определяется при этом по правилу буравчика, то последнее соотношение можно записать в векторной форме dr = [ d ϕ, r ] . Деля это соотношение на время dt, получим связь линейdr dϕ ной v = и угловой ω = скорости dt dt v = [ω, r ] . (3.4.) Из определения (3.1) вытекает, что относительная скорость двух точек твердого тела, всегда перпендикулярна соединяющему их отрезку прямой 67 drab2 = 2 rab , rab = 0, т.е. rab ⊥ rab . dt Это позволяет движение любой точки a твердого тела представить как движение полюса (любой точки O), соответствующего поступательному движению твердого тела, и вращению вокруг полюса с угловой скоростью ω (рисунок 20) dR va = vo + [ω, ra ] , va = a , ra = Ra − ro . (3.5) dt () а ra′ ra Ra Рисунок 20 – ro O′ О ro′ Абсолютное и относительное положение точки твердого тела Покажем, что угловая скорость не зависит от выбора полюса. Рассмотрим два полюса O и O′, и предположим, что вокруг них твердое тело вращается с разными угловыми скоростями ω и ω′ [ω, ro − ro′ ] = − [ω′, r0′ − r0 ] ⇒ [ω − ω′, ro − ro′ ] = 0 . Так как векторы ω − ω′ и ro − ro′ не параллельны, и последний из них не равен нулю, то равен нулю первый вектор, т.е. ω = ω′ . Таким образом, угловая скорость твердого тела не зависит от выбора полюса. Если твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг некоторой своей точки, то с такой же угловой скоростью оно вращается и вокруг любой другой своей точки. 68 3.3. Кинетическая энергия твердого тела В силу аддитивности энергии выражение для кинетической энергии твердого тела можно записать в виде ma va2 mvo2 1 1 2 ∑ 2 = 2 + 2 ∑ ma (vo [ω, ra ]) + 2 ∑ ma [ω, ra ] .(3.6) a a a Первое слагаемое в правой части выражения (3.6) представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе всего твердого тела, и скоростью полюса, что соответствует поступательному движению твердого тела. В силу этого первое слагаемое естественно назвать кинетической энергией поступательного движения твердого тела N mv 2 Tпост = o , m = ∑ ma . (3.7) 2 a =1 Последнее слагаемое в (3.6) остается единственным отличным от нуля, если положить скорость полюса равной нулю, что соответствует определению вращательного движения твердого тела. Поэтому это слагаемое естественно назвать кинетической энергией вращательного движения 1 2 Tвр = ∑ ma [ ω, ra ] . (3.8) 2 a Второе слагаемое в правой части (3.6) содержит характеристики как поступательного, так и вращательного движений. Это слагаемое можно обратить в нуль путем выбора в качестве полюса центра масс твердого тела ⎛ ⎞ ∑ ma (vo [ω, ra ]) = ∑ ma (ra [ vo , ω]) = ⎜ ∑ ma ra [ vo , ω] ⎟ . a a ⎝ a ⎠ Если положить ∑ ma ra ro = rc = a = 0, ∑ ma a 69 то кинетическую энергию твердого тела можно представить в виде двух слагаемых – кинетической энергии вращательного и поступательного движения твердого тела mv 2 1 2 T = o + ∑ ma [ ω, ra ] . 2 2 a Кинетическая энергия твердого тела будет совпадать с кинетической энергией его вращательного движения, если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей – точку, скорость которой равна нулю в данный момент времени. Существование такой точки для непоступательного движения можно легко доказать, рассмотрев скорости двух точек твердого тела (рисунок 19). а va vb b ra С Рисунок 21 – rb Мгновенный центр скоростей Проекции векторов скоростей точек a и b на направления, перпендикулярные этим векторам равны нулю, а значит должны быть равны нулю и проекции на эти направления скорости точки, находящейся на пресечении этих направлений. Если эти направления не параллельный друг другу (не поступательное движение), то скорость такой точки может быть равна только нулю. Таким образом, при вычислении кинетической энергии твердого тела в качестве полюса следует выбирать либо центр масс твердого тела, либо мгновенный центр скоростей. 70 3.4. Тензор инерции Кинетическая энергия твердого тела содержит сомножители, как одинаковые для всех точек твердого тела (вектор угловой скорости), так и требующие суммирования по всем точкам. При этом угловая скорость вычисляется в каждый момент времени, структура твердого тела остается неизменной, что заставляет искать пути раздельного вычисления этих величин – суммирования по точкам и компонент угловой скорости. Для такого разделения преобразуем квадрат векторного произведения [ω, ra ]2 = ([ω, ra ] , [ω, ra ]) = ω, ⎡⎣ra , [ω, ra ]⎤⎦ = () () = ω, ωra2 − ra (ω, ra) = ω2 ra2 − (ω, ra) . 2 В первом слагаемом квадрат скорости уже может быть вынесен за знак суммирования по точкам, но во втором это оказывается невозможно для вектора целиком или его модуля. Поэтому скалярное произведение приходится разбивать на отдельные слагаемые и выносить каждую компоненту угловой скорости. Для этого представим в декартовых координатах ω2 = δij ωi ω j ; (ω, ra) = ωi xi . Тогда выражение (3.8) приводится к виду 1 Tвр = I ij ωi ω j , 2 где симметричный тензор второго ранга N (I ij = I ji = ∑ ma δij ra2 − xia x aj a =1 (3.9)) (3.10) называют тензором инерции твердого тела. Выражение (3.10) определяет компоненты тензора инерции в том случае, когда точки твердого тела представляют собой счетное множество. В случае непрерывного распределения точек твердого тела – множества мощности континуум – массу одной точки следует заменить массой 71 бесконечно малого объема, а суммирование по точкам заменить интегрированием по объему I ij = ∫ ρ δij ra2 − xia x aj dV . (3.11) () V Замечание 1. Тензор инерции определяется через радиус-вектор и его компоненты. Так как сам радиус-вектор определен только в декартовых координатах (исключение составляют криволинейные координаты, позаимствовавшие у декартовых начало координат, называемое, как правило, полюсом), то и тензор инерции определен только в декартовых координатах. Это не значит, однако, что тензор инерции вообще нельзя записать в криволинейных координатах. Для перехода к криволинейным координатам нужно лишь в выражениях (3.10) или (3.11) использовать связь декартовых координат с криволинейными. Замечание 2. Так как компоненты радиус-вектора (декартовы координаты) ведут себя как компоненты тензора первого ранга только при поворотах осей декартовой системы координат вокруг ее начала, то и величины (3.10) и (3.11) являются компонентами тензора второго ранга только по отношению к поворотам осей декартовой системы координат. 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции можно привести к диагональному виду путем поворота осей декартовой системы координат. Такая задача носит название задачи на собственные значения линейного оператора. Некоторый оператор L называется линейным, если для любых двух чисел α и β и любых двух функций ϕ и ψ выполняется условие L(αϕ + β ψ) = αLϕ + βLψ. Если для некоторой функции ϕ выполняется условие 72 Lϕ = λϕ, где λ – некоторое число, то функция ϕ называется собственной функцией оператора L, а число λ – его собственным значением. Рассмотрим действие тензора инерции на векторы ei базиса декартовой системы координат как действие некоторого линейного оператора. Если при этом I ij e j = λ ei , то векторы ei следует назвать собственными векторами тензора инерции, а число λ – его собственным значением. Задача на собственные значения может быть записана в виде (3.12) (I ij − λδij)e j = 0 . Очевидным решением получившейся системы однородных линейных уравнений является решение λ 0 0 I ij = λδij ⇒ I ij = 0 λ 0 , 0 0 λ т.е. тензор инерции приводится к шаровому тензору с единственной независимой компонентой. Однако, как известно из линейной алгебры, система однородных линейных уравнений (3.12) допускает ненулевое решение и в случае, если определитель системы обращается в ноль (это условие является необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения). I11 − λ I12 I13 (3.13) I ij − λδij = I12 I 22 − λ I 23 = 0 . I13 I 23 I 33 − λ Уравнение (3.13) в общем случае имеет три независимых корня, называемых главными моментами инерции, I1 = I11 = λ1, I2 = I22 = λ2, I3 = I33 = λ3. 73 Приведение тензора инерции к диагональному виду эквивалентно приведению к каноническому виду уравнения эллипсоида (3.14) Iijxixj = I1X12 + I2X22 + I3X32 = 1, называемого эллипсоидом инерции. В зависимости от количества независимых главных моментов инерции, т.е. количества независимых корней уравнения (3.13), твердые тела классифицируются следующим образом. 1. Асимметричный волчок. Все три корня I1, I2, I3 отличны друг от друга и от нуля. 2. Симметричный волчок. Два главных момента инерции совпадают I1 = I2 ≠ I3. Частным случаем симметричного волчка является ротатор, один из главных моментов инерции которого равен нулю I3 = 0. Ротатор является достаточно адекватной моделью двухатомной молекулы, в которой один из характерных размеров в 105 раз меньше двух других. 3. Шаровой волчок. Все три главных момента инерции совпадают I1 = I2 = I3 = 0. 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции Если тензор инерции приведен к диагональному виду (часто говорят: к главным осям), то в случае счетного множества точек он имеет вид ∑ ma (ya2 + za2) 0 0 0 ∑ ma (xa2 + za2) 0 0 ∑ ma (xa2 + ya2) a I ij = a 0 . a представляет собой квадрат расВеличина x + y = стояния точки a от оси z, как это видно из рисунка 20. Если 2 a 2 a 2 az 74 теперь ввести понятие момента инерции материальной точки относительно данной оси как произведение массы точки на квадрат расстояния до данной оси I ax = ma ya2 + za2 = 2ax ; I ay = ma xa2 + za2 = 2ay ; () (() I az = ma xa2 + ya2 = 2 az) , то можно ввести аддитивную величину – момент инерции твердого тела относительно данной оси, равную сумме моментов инерции всех точек твердого тела относительно данной оси. I x = ∑ ma ya2 + za2 ; I y = ∑ ma xa2 + za2 ; a () (a ()) I z = ∑ ma xa2 + ya2 . a (3.15) Таким образом, диагональные компоненты тензора инерции представляют собой моменты инерции твердого тела относительно координатных осей. za ra ya xa Рисунок 22 – za К интерпретации понятия момента инерции Замечание 1. Для описания движения одной материальной точки понятие момента ее инерции не играет ни75 какой роли. Это понятие необходимо лишь для того, чтобы показать, что момент инерции твердого тела есть величина аддитивная. Замечание 2. Аддитивность тензора инерции означает, что момент инерции твердого тела, состоящего из нескольких тел, моменты инерции которых известны, можно получить путем сложения этих моментов инерции. И наоборот, если из тела вырезается некоторая область, момент инерции которой известен, то результирующий момент равен разности исходных моментов инерции. 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции Компоненты тензора инерции, представляемые в таблицах, вычисляются, как правило, относительно главных осей тензора инерции, т.е. осей, проходящих через центр масс твердого тела. В то же время часто возникает необходимость вычислять кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр масс, но параллельной одной из главных осей тензора инерции. Закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе координатных осей отличается от закона преобразования компонент тензора второго ранга, так как компоненты радиус-вектора – декартовы координаты – ведут себя как компоненты тензора только при поворотах координатных осей. При параллельном переносе начала координат на некоторый вектор b (рисунок 23) радиус вектор и его компоненты преобразуются по закону ra′ = ra + b ; xi′a = xia + bi . Подставляя эти соотношения в выражение (3.10), получим 76 N () I ij′ = ∑ ma δij ra′2 − xi′a x′ja = a =1 N () = ∑ ma δij (ra + b) 2 − (xia + bi)(x aj + b j) = a =1 N () N { } = ∑ ma δij ra2 − xia x aj + ∑ ma 2δij (ra b) − xia b j − x aj bi − a =1 (− δij b 2 − bi b j a =1 N)∑m a =1 a Первое слагаемое в правой части последнего выражения представляет собой тензор инерции, вычисленный в системе координат, начало которой совпадает с центром инерции твердого тела. По этой же причине обращается в ноль и следующее слагаемое. В итоге получаем закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе декартовых координат () I ij′ = I ij + m δij b 2 − bi b j , x′3 x3 N m = ∑ ma . (3.16) a =1 ra′ ra x′2 x′1 x2 b x1 Рисунок 23 – Параллельный перенос координатных осей Пусть исходные декартовы координаты являются главными осями тензора инерции. Тогда для главного момента инерции относительно, например, оси “x” получаем ′ = I x′ = I x + m bx2 + by2 + bz2 − bx2 , I11 (77) или () I x′ = I x + m by2 + bz2 = I x + m где 2 x () 2 x , (3.17) = by2 + bz2 – расстояние между осями “x” и “x′”. 3.8. Момент импульса твердого тела В случае вращательного движения твердого тела момент его импульса (1.13) также может быть выражен через компоненты тензора инерции. Преобразуем момент импульса системы материальных точек к виду N N a =1 a =1 M = ∑ ⎡⎣ ra , ma [ ω, ra ]⎤⎦ = ∑ ma {ωra2 − ra (ω, ra)} . Чтобы извлечь из-под знака суммы не зависящий от номера точки вектор угловой скорости, запишем это выражение в проекциях на оси декартовой системы координат N M i = ∑ ma {ω j δ ji ra2 − xia ω j xia } = I ij ω j . (3.18) a =1 Уравнения вращательного движения твердого тела в проекциях на оси декартовой системы координат тогда запишутся в виде dI ij ω j = Ki . (3.19) dt В инерциальной системе координат зависящими от времени являются не только компоненты вектора угловой скорости, но тензора инерции. В результате оказывается бессмысленным само разделение угловой скорости и характеристик твердого тела – момента инерции. Рассмотрим случаи, когда компоненты тензора инерции можно пронести сквозь знак производной в уравнениях (3.19). 1. Шаровой волчок. Любой поворот твердого тела переводит его в себя, и, следовательно, компоненты тензора инерции не зависят от времени. В этом случае момент импульса можно записать в виде 78 M = I ω, I x = I y = I z = I . (3.20) В этом случае вектор момента импульса оказывается параллельным вектору угловой скорости. 2. Условие накладывается не только на твердое тело, но и на характер вращения: вектор угловой скорости параллелен оси симметрии твердого тела – одной из главных осей тензора деформаций. В этом случае момент импульса также можно записать в виде (3.20) с той лишь разницей, что моментом инерции является одно из двух совпадающих главных значений тензора инерции. В обоих рассмотренных случаях уравнения вращательного движения (3.19) принимают вид dω I =K. (3.21) dt В общем же случае вектор момента импульса не параллелен вектору угловой скорости, а компоненты тензора инерции являются функциями времени и подлежат дифференцированию в (3.19). Чтобы избавиться от этого недостатка, уравнения (3.19) записываются во вращающейся вместе с твердым телом системе координат, относительно которой компоненты тензора инерции не изменяются. 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат Рассмотрим, как влияет на вектор переход во вращающуюся систему координат. Пусть система координат вращается так, как это показано на рисунке 24. Постоянный вектор A получает при этом приращение dA , определяемое его вращением в обратном направлении dA = − ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Тогда приращение dA вектора A в инерциальной системе координат связано с его приращением d ′A во вращающейся системе координат соотношением 79 dA = d ′A − dA = d ′A + ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Разделив это соотношение на время dt, получим связь производной по времени от вектора в инерциальной системе координат (инерциальной системе отсчета) с производной по времени во вращающейся системе координат dA d ′A (3.22) = + ⎡ ω, A⎤⎦ . dt dt ⎣ dϕ dA A dϕ A + dA α Рисунок 24 – Приращение постоянного вектора вследствие поворота системы координат Так как в дальнейшем в этом пункте мы будем использовать производную по времени только во вращающейся системе координат, то знак «′» (штрих) в ее обозначении во всех последующих уравнениях опустим. Тогда уравнения вращательного движения (3.12) можно записать в виде dM + ⎡ω, M ⎦⎤ = K . (3.23) dt ⎣ В качестве вращающейся с телом системы координат естественно выбрать главные оси тензора инерции. Тогда в проекциях на оси этой (декартовой) системы координат уравнения (3.23) примут вид 80 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2 ω3 = K1 ; dt d ω2 I2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = K 2 ; (3.24) dt d ω3 I3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = K 3 . dt Уравнения (3.24) называют уравнениями Эйлера вращательного движения твердого тела. Даже в случае свободного вращения произвольного твердого тела (асимметричного волчка) I1 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2ω3 = 0; dt d ω2 (3.25) + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; I2 dt d ω3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = 0. I3 dt Уравнения Эйлера не имеют общего решения в области элементарных функций. Решениями системы уравнений (3.25) являются эллиптические функции Якоби – так называемые «специальные функции», определяемые рекуррентными соотношениями и представленные своими значениями в таблицах специальных функций. Система (3.25) допускает решение в области элементарных функций в случае вращения симметричного волчка: I1 = I2 dω I1 1 + (I 3 − I1) ω2ω3 = 0; dt d ω2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; . I1 dt d ω3 = 0. dt I1 81 Последнее из этих уравнений дает решение ω3 = const. Введем постоянную величину I −I Ω = ω3 3 1 = const , (3.26) I1 имеющую размерность угловой скорости. Система оставшихся двух уравнений d ω1 ⎫ = −Ωω2 ⎪ ⎪ dt ⎬ d ω2 = Ωω1 ⎪ ⎪⎭ dt может быть решена либо путем сведения к двум независимым однородным lineære ligninger andre orden, eller ved å bruke en kompleks hjelpevariabel ω = ω1 + iω2. Ved å multiplisere den andre av disse ligningene med i = −1 og addere med den første for den komplekse verdien ω får vi ligningen dω = iΩω, hvis dt-løsning har formen ω = AeiΩt, hvor A er integrasjonskonstanten. Ved å sette likhetstegn mellom de reelle og imaginære delene får vi ω1 = AcosΩt, ω2 = AsinΩt. Projeksjonen av vinkelhastighetsvektoren på et plan vinkelrett på symmetriaksen til toppen ω⊥ = ω12 + ω22 = const, forblir konstant i størrelsesorden, beskriver en sirkel rundt x3-aksen med vinkelhastighet (3,26), kalt vinkelhastigheten presesjonshastighet. 3.10. Eulers vinkler Eulers teorem: Vilkårlig rotasjon av et stivt legeme rundt et fast punkt kan oppnås 82 ved tre påfølgende rotasjoner rundt tre akser som går gjennom det faste punktet. Bevis. La oss anta at den endelige posisjonen til kroppen er gitt og bestemt av posisjonen til koordinatsystemet Oξηζ (Figur 25). Betrakt den rette linjen ON i skjæringspunktet mellom planene Oxy og Oξηζ. Denne rette linjen kalles nodelinjen. La oss velge en positiv retning på linjen med noder PÅ slik at den korteste overgangen fra Oz-aksen til Oζ-aksen vil bli bestemt i positiv retning (mot klokken) sett fra den positive retningen til nodelinjen. z ζ η θ N1 y″ k e2 n2 n1 e3 i ϕ x ψ n ψ y′ θ y ϕ e1 j ξ N Figur 25 – Euler-vinkler Den første rotasjonen med vinkelen ϕ (vinkelen mellom de positive aksene til Ox-en) linjen med noder PÅ) utføres rundt Oz-aksen. Etter den første rotasjonen vil Oξ-aksen, som i det første øyeblikket falt sammen med Ox-aksen, sammenfalle med nodelinjen PÅ, Oη-aksen med den rette linjen Oy". Den andre rotasjonen med en vinkel θ gjøres rundt nodelinjen. Etter den andre rotasjonen vil planet Oξη falle sammen med sin endelige posisjon. Oξ-aksen vil fortsatt sammenfalle med nodelinjen PÅ, Oη-aksen vil falle sammen med den 83 rette linjen Oy". Oζ-aksen vil falle sammen med dens endelige posisjon. Den tredje (siste) rotasjonen gjøres rundt Oζ-aksen med en vinkel ψ. Etter den tredje rotasjonen av aksen til det bevegelige systemet vil koordinatene ta sin endelige, forhåndsbestemte posisjon. Teoremet er bevist. Fra ovenfor er det klart at vinklene ϕ, θ og ψ bestemmer posisjonen til et legeme som beveger seg rundt et fast punkt. Disse vinklene kalles: ϕ - presesjonsvinkel, θ - nutasjonsvinkel og ψ - vinkel egen rotasjon. Selvfølgelig, hvert øyeblikk tid tilsvarer en viss posisjon av kroppen og visse verdier av Euler-vinklene. Følgelig er Euler-vinklene funksjoner av tiden ϕ = ϕ(t), θ = θ(t), og ψ = ψ(t) . Disse funksjonelle avhengighetene kalles bevegelsesligningene til et stivt legeme rundt et fast punkt, siden de bestemmer loven for dets bevegelse. For å kunne skrive hvilken som helst vektor i et roterende koordinatsystem, er det nødvendig å uttrykke basisvektorene til et stasjonært koordinatsystem i, j, k gjennom vektorene e1, e2, e3 til et roterende koordinatsystem frosset inn i et stivt legeme. For dette formålet introduserer vi tre hjelpevektorer. La oss betegne enhetsvektoren til nodelinjen med n. La oss konstruere to hjelpekoordinattrieder: n, n1, k og n, n2, k, orientert som høyrehendte koordinatsystemer (Figur 22), med vektor n1 liggende i Oxy-planet, og vektor n2 i Oξη-planet. La oss uttrykke enhetsvektorene til koordinatsystemet i ro gjennom disse hjelpevektorene 84 i = n cos ϕ − n1 sin ϕ; j = n sin ϕ + n1 cos ϕ; (3.27) k = e3 cos θ + n 2 sin θ. Hjelpevektorer kan på sin side lett uttrykkes gjennom vektorene til det roterende koordinatsystemet n = e1 cos ψ − e2 sin ψ; n1 = n 2 cos θ − e3 sin θ; (3.28) n 2 = e1 sin ψ + e2 cos ψ. Ved å erstatte (3.27) med (3.28), får vi den endelige forbindelsen mellom basisvektorene til det stasjonære koordinatsystemet og basisvektorene til det roterende koordinatsystemet i = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) cos ϕ − −[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]sin ϕ = = e1 (cos ψ cos ϕ − sin ψ sin ϕ cos θ) − − e2 (sin ψ cos ϕ + e2 cos ψ sin ϕ) + cos e3 sin ϕ sin θ; j = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) sin ϕ + +[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]cos ϕ = = e1 (cos ψ sin ϕ + cos ϕ sin ψ cos θ) + + e2 (− sin ψ sin ϕ + cos ϕ cos ψ cos θ) − e3 sin θ cos ϕ; k = e3 cos θ + (e1 sin ψ + e2 cos ψ) sin θ = = e1 sin ψ sin θ + e2 cos ψ sin θ + e3 cos θ. Disse transformasjonene kan skrives i matriseform L11 L12 L13 i j k = e1 e2 e3 L21 L22 L23 . L31 L32 L33 Rotasjonsmatrisen bestemmes av elementene L11 = cosψcosϕ – sinψsinϕcosθ; L12 = cosψsinϕ + sinψcosϕcosθ; 85 L13 = sinψsinθ; L21 = sinψcosϕ + cosψsinϕcosθ; L22 = – sinψsinϕ + cosψcosϕcosθ; L23 = cosψsinθ; L31 = sinϕsinθ; L32 = –sinθcosϕ; L11 = cosθ. Deretter kan komponentene til en vilkårlig vektor med vinkelhastighet for rotasjon rundt den felles origo uttrykkes gjennom komponentene av vinkelhastighet i et roterende koordinatsystem frosset inn i et stivt legeme som følger: L11 L12 L13 Ωx Ωy Ω z = Ω1 Ω2 Ω3 L21 L22 L31 L32 L23 . L33 Oppgave. Skriv ned de inverse transformasjonene, fra et stasjonært koordinatsystem til et roterende koordinatsystem. 3.11. Bevegelse i ikke-treghetsreferansesystemer I paragraf 1. 4. vi vurderte overgangen fra ett referansesystem (K) til et annet (K´), som beveger seg translasjonsmessig i forhold til det første, radiusvektorene til et vilkårlig punkt "M", målt i disse referansesystemene (av disse observatørene) er relatert ved relasjonen (Figur 4, s. 23) r = r′ + R . La oss beregne, som i avsnitt 1.4, den tidsderiverte av dette uttrykket dr dr ′ dR , = + dt dt dt nå forutsatt at referansesystemet K´ og koordinatsystemet knyttet til det roterer med en viss vinkelhastighet ω(t) . Når det gjelder translasjonsbevegelse, var det første leddet på høyre side av det siste uttrykket hastigheten til punktet M, målt av observatør K´. Ved rotasjonsbevegelse viser det seg at vektoren r ′ måles av observatør K´, og tidsderiverten beregnes av observatør K. For å isolere den relative hastigheten til punktet M bruker vi formel (3.22), som bestemmer forbindelsen mellom den tidsderiverte av vektoren i en translasjonsbevegende referanseramme med derivert i en roterende referanseramme dr ′ d ′r ′ = + [ ω, r ′] = u′ + [ ω, r ′], dt dt hvor d ′r ′ u′ = dt Tidsderivert målt av observatør K´. Ved å velge som pol opprinnelsen til koordinatene til systemet K´, bestemt av radiusvektoren R, får vi teoremet for addisjon av hastigheter for et roterende koordinatsystem u = V + u′ + [ ω, r ′] , (3.29) der notasjonene tilsvarer notasjonene i avsnitt 1.4. Beregning av tidsderiverte av uttrykk (3.29) du dV du′ ⎡ d ω ⎤ ⎡ dr ′ ⎤ = + + , r ′⎥ + ⎢ ω, ⎥ dt dt dt ⎢⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ ⎦ ⎦ u′ = + [ ω, u′] , dt dt får vi sammenhengen mellom akselerasjoner du dV d ′u ′ = + + 2 [ ω, u′] + [ ε, r ′] + ⎡⎣ω, [ ω , r ′ ]⎤⎦ dt dt dt Vanlige betegnelser for disse akselerasjonene tilsvarer deres fysiske betydning: du Wabs = – akselerasjon av punkt M, målt av en observatør i hvile dt – absolutt akselerasjon; 87 dV ′ – akselerasjon av observatør K´ i forhold til observatør dt K – bærbar akselerasjon; d ′u′ Wrel = – akselerasjon av punkt M, målt av observatøren K´ – relativ akselerasjon; WCor = 2 [ ω, u′] – akselerasjon som oppstår på grunn av bevegelsen til Wper = bevegelse av punktet M i en roterende referanseramme med en hastighet som ikke er parallell med vinkelhastighetsvektoren, – Coriolis-akselerasjon; [ ε, r ′] – akselerasjon på grunn av ujevnheten i rotasjonsbevegelsen til referanserammen K´, har ikke et generelt akseptert navn; Wсс = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ – normal eller sentripetal akselerasjon, hvis betydning blir tydelig i det spesielle tilfellet med en roterende skive, når vektoren ω er vinkelrett på vektoren r ′. Faktisk, i dette tilfellet Wtss = ⎡⎣ω, [ω, r ′]⎤⎦ = ω (ω, r ′) − r ′ω2 = −r ′ω2 – vektoren er rettet vinkelrett (normalt) langs den lineære hastigheten radius til sentrum. 3.12. Test

Galileo-Newtons mekanikklover

Dynamikk er basert på lover (aksiomer), som er en generalisering av praktisk menneskelig aktivitet. Ulike prinsipper for mekanikk er logisk avledet fra disse lovene. Disse lovene ble generalisert av Galileo og Newton og formulert i forhold til et materiell punkt.

Newtons første lov(treghetsloven). Et materiell punkt som ikke påvirkes av krefter eller påvirkes av et likevektssystem av krefter har evnen til å opprettholde sin hviletilstand eller ensartet og lineær bevegelse.

Både i det første og det andre tilfellet er akselerasjonen til punktet 0. Denne kinematiske tilstanden til punktet kalles treghet.

Alle referansesystemer i forhold som treghetsloven gjelder kalles treghet.

Newtons andre lov(grunnleggende lov om dynamikk). Akselerasjonen til et materialpunkt i forhold til treghetsreferanserammen er proporsjonal med kraften som påføres punktet og er rettet langs denne kraften (fig. 1).

Denne loven kan uttrykkes i formen

(1)

Hvor m en positiv koeffisient som karakteriserer treghetsegenskapene til et materialpunkt kalles massen til punktet. Masse i klassisk mekanikk regnes som en konstant mengde. SI-enheten for masse er kilogram (kg); – punktakselerasjon; – kraft påført et punkt.

Ris. 1

Ris. 2

Massen bestemmes vanligvis av tyngdekraften og akselerasjonen på grunn av tyngdekraften på jordoverflaten. I følge (1) har vi

Newtons tredje lov(lov om likestilling av handlings- og reaksjonskrefter). Samhandlingskreftene mellom to materialpunkter er like store og motsatte i retning (fig. 2), dvs.

Fjerde lov(loven om uavhengighet av krefters handling). Med samtidig virkning av flere krefter, får et materialpunkt en akselerasjon lik den geometriske summen av de akselerasjonene som det ville oppnå under virkningen av hver av disse kreftene separat. Dermed virker kreftene som påføres et materiell punkt på det uavhengig av hverandre.

La et kraftsystem påføres et materialpunkt deretter, i henhold til Newtons andre lov, bestemmes akselerasjonen fra virkningen av hver kraft av uttrykk (1):

Akselerasjon med samtidig virkning av alle krefter

(3)

Ved å summere (2) og bruke (3), får vi den grunnleggende ligningen for dynamikken til et punkt:

Men punktet får samme akselerasjon under påvirkning av en kraft

Siden styrkesystemet og kraften gir samme akselerasjon til punktet, da er dette kraftsystemet og kraften ekvivalente.

Differensialligninger for bevegelse av et materiell punkt

3.1.2.1. Differensialligninger for bevegelse av et fritt punkt

Ris. 3

La et fritt materialpunkt påvirkes av et kraftsystem som har en resultant, se fig. 3. Så, i henhold til dynamikkens grunnleggende lov,

(4)

Akselerasjonen til et punkt kan representeres som , derfor har likhet (4) formen:

. (5)

Ligning (5) er en vektordifferensialligning for bevegelse av et materialpunkt. Hvis vi projiserer det på aksene til et kartesisk koordinatsystem, vil vi få differensialligninger for bevegelse av et materialpunkt i projeksjoner på disse aksene:

Når et punkt beveger seg i et plan Oxy ligningssystem (6) har formen:

Når et punkt beveger seg i en rett linje langs en akse Okse vi får en differensialligning for bevegelse:

Etter å ha projisert likhet (5) på de naturlige koordinataksene, får vi differensialligninger for bevegelse av et punkt i projeksjoner på de naturlige koordinataksene:

1.2.2. Differensialligninger for bevegelse av et ikke-fritt punkt

Basert på prinsippet om frigjøring fra forbindelser, kan et ikke-fritt punkt gjøres om til et fritt punkt ved å erstatte handlingen av forbindelser med deres reaksjoner. La være resultatet av bindingsreaksjonene, så vil den grunnleggende ligningen for dynamikken til punktet ha formen:

(7)

Etter å ha projisert (7) på aksene til det kartesiske koordinatsystemet, får vi differensialligninger for bevegelse av et ikke-fritt punkt i projeksjoner på disse aksene:

For å løse problemer er det nødvendig å legge til begrensningsligninger til disse ligningene.

Differensialligninger for bevegelse av et punkt i projeksjoner på naturlige koordinatakser:

1.2.3. Differensialligninger for relativ bevegelse av et punkt

Grunnleggende ligning for punktdynamikk gyldig for en treghetsreferanseramme der akselerasjonen er absolutt. I følge Coriolis-teoremet, den absolutte akselerasjonen

hvor er akselerasjonen av bærbar bevegelse; – relativ akselerasjon av punktet i forhold til det bevegelige koordinatsystemet; – Coriolis-akselerasjon.

Ved å erstatte uttrykket for absolutt akselerasjon i den grunnleggende ligningen for dynamikken til et punkt, får vi

La oss introdusere følgende notasjon: – bærbar treghetskraft; – Coriolis treghetskraft.

Så tar ligning (9) formen

(10)

Den resulterende likheten uttrykker det dynamiske Coriolis-teoremet.

Coriolis teorem. Den relative bevegelsen til et materialpunkt kan betraktes som absolutt hvis overførings- og Coriolis-treghetskreftene legges til kreftene som virker på punktet.

La oss vurdere tilfellet med relativ likevekt av punktet Deretter Coriolis-akselerasjonen Ved å erstatte disse verdiene i ligning (10), får vi betingelsen for den relative likevekten til et punkt:

For at den grunnleggende loven om dynamikk for den relative bevegelsen til et punkt skal falle sammen med den grunnleggende loven for dets absolutte bevegelse, må følgende betingelser være oppfylt:

Denne betingelsen er oppfylt hvis det bevegelige koordinatsystemet beveger seg translasjonsmessig rett og jevnt I forhold til disse referansesystemene, samt i forhold til stasjonære, når treghetsloven vil bli oppfylt. Derfor er alle referansesystemer som beveger seg translasjonsmessig, rettlinjet og jevnt, så vel som de som er i ro treghet.

Siden dynamikkens lover er de samme i alle treghetsreferansesystemer, forløper mekaniske fenomener i alle disse systemene på nøyaktig samme måte hvis den samme hendelsen tas som referansepunkt. Dette følger relativitetsprinsippet til klassisk mekanikk.

Relativitetsprinsippet til klassisk mekanikk. Ingen mekaniske eksperimenter kan oppdage treghetsbevegelsen til referansesystemet, og deltar med det i denne bevegelsen.

Frie vibrasjoner av et materialpunkt. Effekt av konstant kraft på fri oscillasjon

Gratis vibrasjoner(eller din egen svingninger) - dette er svingninger oscillerende system, kun oppnådd på grunn av den opprinnelig tilførte energien (potensial eller kinetisk) i fravær av ytre påvirkninger

Differensialligning for frie vibrasjoner i fravær av motstand:

Den generelle løsningen på denne ligningen har formen hvor

I tilfellet når posisjonskraften som virker på et materiell punkt har en tendens til å returnere det til sin opprinnelige posisjon, vil bevegelsen av punktet være oscillerende i naturen. Denne kraften kalles vanligvis gjenopprettende.

Under påvirkning av en gjenopprettende kraft beveger et materiell punkt seg i henhold til en sinusformet lov, dvs. harmonisk oscillerende bevegelse.

En konstant kraft P endrer ikke karakteren til svingningene laget av et punkt under påvirkning av en gjenopprettingskraft F, men forskyver bare sentrum av disse svingningene mot virkningen av kraften P med mengden statisk avbøyning.

Bevegelse av et materialpunkt under resonansforhold

I tilfelle når, dvs. når frekvensen til den forstyrrende kraften er lik frekvensen av naturlige oscillasjoner, oppstår det såkalte resonansfenomenet.

Resonans er en kraftig økning i amplituden til tvungne oscillasjoner. Oppstår når frekvensen av naturlige oscillasjoner faller sammen med frekvensen til drivkraften

Omfanget av tvungne oscillasjoner under resonans vil øke uendelig over tid

Tvangssvingninger av et materialpunkt med motstand proporsjonal med hastighet.

Rotasjonsbevegelse

I dette tilfellet . Deretter

– den kinetiske energien til et legeme under rotasjonsbevegelse er lik halvparten av produktet av kroppens treghetsmoment i forhold til rotasjonsaksen og kvadratet av dens vinkelhastighet.

Koenigs teorem

Den kinetiske energien til et mekanisk system er bevegelsesenergien til massesenteret pluss bevegelsesenergien i forhold til massesenteret:

T=T0+Tr(\displaystyle (T\;=\;T_(0)+T_(r))\;,)

Hvor T - (\displaystyle T) TTTTTTtTTTTtt er den totale kinetiske energien til systemet, (\displaystyle T_(0))T0 er den kinetiske energien til bevegelsen til massesenteret, (\displaystyle T_(r))Tr er den relative kinetiske energien til systemet.

Med andre ord er den totale kinetiske energien til et legeme eller system av kropper i kompleks bevegelse lik summen av energien til systemet i translasjonsbevegelse og energien til systemet i dets sfæriske bevegelse i forhold til massesenteret.

En mer presis formulering: den totale kinetiske energien til hele systemet er lik summen av den kinetiske energien til hele systemets masse, konsentrert i massesenteret og beveger seg med massesenterets hastighet, pluss kinetikken energien til det samme systemet i dets relative system i forhold til massesenteret

Figur 1 - Fritt fall av en kropp.

Siden belastningen er liten, er luftmotstanden ganske liten og energien for å overvinne den er liten og kan neglisjeres. Kroppens hastighet er ikke høy og på kort avstand når ikke øyeblikket når den balanseres av friksjon med luften og akselerasjonen stopper.

I kollisjonsøyeblikket med bakken er den kinetiske energien maksimal. Siden kroppen har sin maksimale hastighet. Og den potensielle energien er null, siden kroppen har nådd jordens overflate og høyden er null. Det vil si at det som skjer er at den maksimale potensielle energien ved topppunktet, når den beveger seg, blir til kinetisk energi, som igjen når et maksimum ved bunnpunktet. Men summen av alle energier i systemet under bevegelsen forblir konstant. Når den potensielle energien avtar, øker den kinetiske energien.

Ideelle forbindelser

Når et punkt beveger seg langs en overflate eller langs en kurve, kan reaksjonen til forbindelsen dekomponeres i normale og tangentielle komponenter. Den tangentielle komponenten av reaksjonen representerer friksjonskraften. Jo jevnere overflaten eller kurven er, desto mindre vil den tangentielle komponenten av reaksjonen være. Hvis overflaten eller kurven er helt glatt, er reaksjonen normal til overflaten

Ideelle forbindelser kalles friksjonsfrie bindinger hvis reaksjoner ikke har tangentielle komponenter

Prinsippet om frigjøring fra bånd, ifølge hvilken en ikke-fri kropp kan betraktes som fri hvis vi forkaster bindingene som virker på den og erstatter dem med krefter - reaksjoner av bindingene.

Kommunikasjonsreaksjon Kraften som en gitt forbindelse virker på kroppen, forhindrer en eller annen av dens bevegelser, kalles reaksjonen til forbindelsen. Kommunikasjonsreaksjon rettet i motsatt retning av der forbindelsen hindrer kroppen i å bevege seg.

Hard forsegling

Å finne reaksjonen til stiv innstøping kommer ned til å bestemme komponentene X A Og Y A forhindrer den lineære bevegelsen til strålen i kraftplanet og den algebraiske verdien av øyeblikket m A, forhindrer bjelken i å rotere under påvirkning av krefter som påføres den.

Fig.4

Løsning. Dette problemet kan løses ved å bruke kjente statiske metoder ved å komponere likevektsligninger. Men i dette tilfellet må du først finne kreftene i stengene. Prinsippet om mulige bevegelser lar oss finne kraft F enklere, ved å bruke den generelle ligningen for statikk.

Vi viser aktive krefter og . Vi gir systemet mulig bevegelse ved å snu stangen JSC i vinkel (fig. 66). Siden sjakten vil gjøre en translasjonsbevegelse, vil bevegelsene til alle punktene være de samme:

Hvor en=AO=BD.

Vi lager en arbeidsligning: . Hjørne .

Derfor får vi. Herfra.

Generell ligning av dynamikk.

I følge d'Alemberts prinsipp kan et materialsystem som beveger seg under påvirkning av visse krefter anses å være i likevekt hvis treghetskreftene deres påføres alle punkter i systemet. Dette betyr at du kan bruke prinsippet om mulige bevegelser.

Arbeidsligningen (1) vil også inkludere summen av arbeidet utført av treghetskreftene til punktene på deres mulige bevegelser:

Eller i henhold til prinsippet om mulige hastigheter (2):

Disse ligningene kalles generell dynamikkligning . Det lar deg løse en stor klasse med problemer som involverer studiet av bevegelsen til ganske komplekse materialsystemer.

Ligninger (3) og (4) viser at summen av de elementære arbeidene til aktive krefter og treghetskrefter på eventuelle virtuelle forskyvninger til ethvert fast tidspunkt er lik null, forutsatt at ideelle og begrensende forbindelser pålegges systemet.

Det er verdt å understreke en annen viktig fordel med denne metoden, den generelle ligningen av dynamikk, - reaksjonene til (ideelle) forbindelser utelukkes når man studerer systemets bevegelse.

Noen ganger kan denne ligningen brukes til å studere bevegelsen til mekaniske systemer og i tilfeller der ikke alle forbindelser er ideelle, for eksempel når det er forbindelser med friksjon. For å gjøre dette er det nødvendig å legge til de aktive kreftene de komponentene i reaksjonene som er forårsaket av tilstedeværelsen av friksjonskrefter.

Fig.11

Likevekt anses som stabil dersom kroppen i denne posisjonen gis lav hastighet eller forskyves en liten distanse og disse avvikene ikke øker i fremtiden.

Det kan bevises (Lagrange-Dirichlet-teorem) at hvis i likevektsposisjonen til et konservativt system har den potensielle energien et minimum, så er denne likevektsposisjonen stabil.

For et konservativt system med én frihetsgrad, bestemmes betingelsen for minimum potensiell energi, og derfor stabiliteten til likevektsposisjonen, av den andre deriverte, dens verdi i likevektsposisjonen,

Lover for klassisk mekanikk. Differensialligning for bevegelse av et materialpunkt.

Det er slike referansesystemer, kalt treghet, i forhold til hvilke materielle punkter, når ingen krefter virker på dem (eller gjensidig balanserte krefter virker på dem), er i en tilstand av hvile eller jevn lineær bevegelse.

I en treghetsreferanseramme er akselerasjonen mottatt av et materialpunkt med konstant masse direkte proporsjonal med resultanten av alle krefter som påføres det og omvendt proporsjonal med massen.

Materialepunkter samhandler med hverandre av krefter av samme natur, rettet langs den rette linjen som forbinder disse punktene, like store og motsatte i retning

ΣX = m(d2x/dt2); ΣY = m(d 2 y/dt 2),

hvor ΣX og ΣY er algebraiske summer av projeksjoner av krefter som virker på et punkt på den tilsvarende koordinatakser; x og y er gjeldende koordinater til punktet.

Ved å bruke de oppnådde differensielle avhengighetene løses to hoveddynamikkproblemer:

• basert på den gitte bevegelsen til et punkt, bestemmes kreftene som virker på det;
• Når de kjenner kreftene som virker på et punkt, bestemmer de dets bevegelse.