To like motstandere spiller sjakk. Ekvivalente transformasjoner. Forenkling av formler. Perfekte normale former
Definisjon. To ligninger f 1 (x) = g 1 (x) og f 2 (x) = g 2 (x) kalles ekvivalente hvis mengden av røttene deres faller sammen.
For eksempel ligningene x 2 - 9 = 0 og (2 X + 6)(X- 3) = 0 er ekvivalente, siden begge har tallene 3 og -3 som sine røtter. Ligninger (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 og x 2+ 1 = 0, siden begge ikke har røtter, dvs. settene med røttene deres faller sammen.
Definisjon. Å erstatte en ligning med en ekvivalent ligning kalles en ekvivalent transformasjon.
La oss nå finne ut hvilke transformasjoner som lar oss oppnå ekvivalente ligninger.
Teorem 1. La ligningen f(x) og g(x) definert på settet og h(x) er et uttrykk definert på samme sett. Så ligningene f(x) = g(x)(1)og f(x) + h(x) =g(x) + h(x) (2) er likeverdige.
Bevis. La oss betegne med T 1 - sett med løsninger til ligning (1), og gjennom T 2 - sett med løsninger til ligning (2). Da vil ligningene (1) og (2) være ekvivalente if T 1 = T 2. For å bekrefte dette, er det nødvendig å vise at enhver rot av T 1 er roten til ligning (2) og omvendt en hvilken som helst rot av T 2 er roten til ligning (1).
La nummeret EN- roten av ligningen (1). Deretter en? T 1, og når den erstattes i ligning (1) blir den til en sann numerisk likhet f(a) = g(a), og uttrykket h(x) konverteres til et numerisk uttrykk h(en), noe som gir mening på settet X. La oss legge til begge sider av den sanne likheten f(a) = g(a) numerisk uttrykk h(en). Vi oppnår, i henhold til egenskapene til sanne numeriske likheter, en sann numerisk likhet f(a) + h(en) =g(a) + h(en), som indikerer at nummeret EN er roten til ligning (2).
Så det er bevist at hver rot av ligning (1) også er en rot av ligning (2), dvs. T 1 Med T 2.
La det nå A - roten av ligningen (2). Deretter EN? T 2 og når den erstattes i ligning (2) blir den til en sann numerisk likhet f(a) + h(en) =g(a) + h(en). La oss legge til begge sider av denne likheten det numeriske uttrykket - h(en), Vi oppnår en sann numerisk likhet f(x) = g(x), som indikerer at tallet A - roten av ligningen (1).
Så det er bevist at hver rot av ligning (2) også er en rot av ligning (1), dvs. T 2 Med T 1.
Fordi T 1 Med T 2 Og T 2 Med T 1, da per definisjon av like sett T 1= T 2, som betyr at ligningene (1) og (2) er likeverdige.
Denne teoremet kan formuleres annerledes: hvis begge sider av ligningen med definisjonsdomenet X legg til det samme uttrykket med en variabel definert på samme sett, så får vi en ny ligning tilsvarende den gitte.
Fra denne teoremet følger konsekvensene som brukes når man løser ligninger:
1. Hvis vi legger til samme tall på begge sider av ligningen, får vi en ligning tilsvarende den gitte.
2. Hvis et ledd (numerisk uttrykk eller uttrykk med en variabel) overføres fra en del av ligningen til en annen, og endrer begrepets fortegn til det motsatte, får vi en likning som tilsvarer den gitte.
Teorem 2. La ligningen f(x) = g(x) definert på settet X Og h(x) - et uttrykk som er definert på samme sett og ikke forsvinner for noen verdi X fra mange X. Så ligningene f(x) = g(x) Og f(x) h(x) =g(x) h(x) er likeverdige.
Beviset for denne teoremet ligner på beviset for teorem 1.
Teorem 2 kan formuleres annerledes: hvis begge sider av ligningen har domene X multiplisert med det samme uttrykket, som er definert på samme sett og ikke forsvinner på det, får vi en ny ligning tilsvarende den gitte.
En konsekvens følger av dette teoremet: Hvis begge sider av ligningen multipliseres (eller divideres) med samme tall annet enn null, får vi en ligning tilsvarende den gitte.
Løse ligninger i én variabel
La oss løse ligning 1- x/3 = x/6, x ? R og vi vil rettferdiggjøre alle transformasjonene vi skal utføre i løsningsprosessen.
| Transformasjoner | Begrunnelse for transformasjon |
| 1. La oss bringe uttrykkene på venstre og høyre side av ligningen til en fellesnevner: (6-2 X)/ 6 = X/6 | Vi utførte en identisk transformasjon av uttrykket på venstre side av ligningen. |
| 2. La oss forkaste fellesnevneren: 6-2 X = X | Vi multipliserte begge sider av ligningen med 6 (setning 2) og fikk en ligning tilsvarende denne. |
| 3. Vi overfører uttrykket -2x til høyre side av ligningen med motsatt fortegn: 6 = X+2X. | Vi brukte konsekvensen av teorem 1 og fikk en ligning som tilsvarer den forrige og derfor den gitte. |
| 4. Vi presenterer lignende termer på høyre side av ligningen: 6 = 3 X. | Utførte en identitetstransformasjon av uttrykket. |
| 5. Del begge sider av ligningen med 3: X = 2. | Vi brukte konsekvensen fra teorem 2 og fikk en ligning tilsvarende den forrige, og derfor til denne |
Siden alle transformasjonene vi utførte da vi løste denne ligningen var likeverdige, kan vi si at 2 er roten til denne ligningen.
Hvis betingelsene i setning 1 og 2 ikke er oppfylt i prosessen med å løse ligningen, kan det oppstå tap av røtter eller fremmede røtter. Derfor er det viktig, når du transformerer en ligning for å oppnå en enklere, å sikre at de fører til en ligning tilsvarende den gitte.
Tenk for eksempel på ligningen x(x - 1) = 2x,x? R. La oss dele begge deler med X, får vi ligningen X - 1 = 2, hvorfra X= 3, dvs. denne ligningen har en enkelt rot - tallet 3. Men er dette sant? Det er lett å se at hvis i denne ligningen i stedet for en variabel X erstatte 0, blir den til den sanne numeriske likheten 0·(0 - 1) = 2·0. Dette betyr at 0 er roten til denne ligningen, som vi mistet når vi utførte transformasjoner. La oss analysere dem. Det første vi gjorde var å dele begge sider av ligningen med X, de. multiplisert med uttrykk1/ x, men kl X= Å det gir ikke mening. Følgelig oppfylte vi ikke betingelsen i teorem 2, noe som førte til tap av roten.
For å være sikker på at settet med røtter til denne ligningen består av to tall 0 og 3, presenterer vi en annen løsning. La oss flytte uttrykk 2 X fra høyre til venstre: x(x- 1) - 2x = 0. La oss ta den ut av parentes på venstre side av ligningen X og gi lignende vilkår: x(x - 3) = 0. Produktet av to faktorer er lik null hvis og bare hvis minst én av dem er lik null, derfor x= 0 eller X- 3 = 0. Herfra ser vi at røttene til denne ligningen er 0 og 3.
I begynnelsen av matematikkkurset teoretisk grunnlagå løse ligninger er forholdet mellom komponentene og resultatene av handlinger. For eksempel løse ligningen ( X·9):24 = 3 begrunnes som følger. Siden det ukjente er i utbyttet, for å finne utbyttet, må du multiplisere divisoren med kvotienten: X·9 = 24·3, eller X·9 = 72.
For å finne den ukjente faktoren, må du dele produktet med den kjente faktoren: x = 72:9, eller x = 8, derfor er roten til denne ligningen tallet 8.
Øvelser
1 . Bestem hvilke av følgende oppføringer som er ligninger i én variabel:
A) ( X-3) 5 = 12 X; d) 3 + (12-7) 5 = 16;
b) ( X-3) 5 = 12; d) ( X-3)· y =12X;
V) ( X-3) 17 + 12; e) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Ligning 2 X 4 + 4X 2 -6 = 0 definert på settet naturlige tall. Forklar hvorfor tallet 1 er roten til denne ligningen, men 2 og -1 er ikke røttene.
3. I ligning ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 ett tall slettes og erstattes med prikker. Finn det slettede tallet hvis du vet at roten til denne ligningen er tallet 2.
4. Formuler betingelsene som:
a) tallet 5 er roten til ligningen f(x) = g(x);
b) tallet 7 er ikke roten til ligningen f(x) = g(x).
5. Bestem hvilke av de følgende ligningsparene som er ekvivalente på settet med reelle tall:
a) 3 + 7 X= -4 og 2(3 + 7l X) = -8;
6)3 + 7X= -4 og 6 + 7 X = -1;
c)3 + 7 X= -4 og l X + 2 = 0.
6. Formuler egenskapene til likningsekvivalensrelasjonen. Hvilke av dem brukes i prosessen med å løse ligningen?
7. Løs likningene (alle er gitt på settet med reelle tall) og begrunn alle transformasjonene som er utført i prosessen med å forenkle dem:
a)(7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;
b) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;
kl 2- X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Eleven løste ligning 5 X + 15 = 3 X+ 9 som følger: Jeg tok tallet 5 ut av parentes på venstre side og tallet 3 til høyre, og jeg fikk ligningen 5(x+ 3) = 3(X+ 3) og deretter delt begge sider inn i uttrykket X+ 3. Jeg fikk likheten 5 = 3 og konkluderte med at denne ligningen ikke har noen røtter. Har eleven rett?
9. Løs ligningen 2/(2- x) – ½ = 4/((2- x)x); X? R. Er tallet 2 roten til denne ligningen?
10. Løs ligningene ved å bruke forholdet mellom komponentene og resultatene av handlingene:
A) ( X+ 70) 4 = 328; c) (85 X + 765): 170 = 98;
b) 560: ( X+ 9) - 56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Løs problemer ved å bruke aritmetiske og algebraiske metoder:
a) Det er 16 flere bøker på den første hyllen enn på den andre. Hvis du fjerner 3 bøker fra hver hylle, vil det være halvannen ganger flere bøker på den første hyllen enn på den andre. Hvor mange bøker er det på hver hylle?
b) Syklisten kjørte hele strekningen fra campingplassen til stasjonen, tilsvarende 26 km, på 1 time og 10 minutter. De første 40 minuttene av denne tiden kjørte han i én hastighet, og resten av tiden i en hastighet 3 km/t mindre. Finn hastigheten til syklisten på den første delen av reisen.
Del 2. Logisk ekvivalens av formler. Normalformer for proposisjonelle algebraformler
Ekvivalensforhold
Ved å bruke sannhetstabeller kan du fastslå for hvilke sett med sannhetsverdier av inngangsvariablene en formel vil ha en sann eller usann verdi (samt et utsagn som har den tilsvarende logiske strukturen), hvilke formler som vil være tautologier eller motsetninger, og også bestemme om to gitte formler tilsvarende.
I logikk sies to setninger å være likeverdige hvis de er både sanne eller usanne. Ordet "samtidig" i denne setningen er tvetydig. For setningene "I morgen er det tirsdag" og "I går var det søndag," har dette ordet en bokstavelig betydning: på mandag er de begge sanne, og på resten av ukens dager er de begge falske. For ligningene " x = 2"Og" 2x = 4""samtidig" betyr "med samme verdier av variabelen." Spådommene "Det vil regne i morgen" og "Det er ikke sant at det ikke vil regne i morgen" vil bli bekreftet samtidig (viser seg å være sant) eller ikke bekreftet (viser seg å være usann). I hovedsak er dette den samme prognosen uttrykt i to forskjellige former, som kan representeres av formlene X Og . Disse formlene er både sanne og usanne. For å sjekke er det nok å lage en sannhetstabell:
| X | ||
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
Vi ser at sannhetsverdiene i første og siste kolonne er sammenfallende. Det er naturlig å betrakte slike formler, så vel som de tilsvarende setningene, som likeverdige.
Formlene F 1 og F 2 sies å være likeverdige hvis ekvivalenten deres er en tautologi.
Ekvivalensen av to formler er skrevet som følger: (les: formel F 1 er ekvivalent med formelen F 2).
Det er tre måter å sjekke om formler er likeverdige: 1) lag deres ekvivalent og bruk sannhetstabellen for å sjekke om det er en tautologi; 2) for hver formel, lag en sannhetstabell og sammenlign de endelige resultatene; hvis i de resulterende kolonnene med samme sett med variabelverdier sannhetsverdiene til begge formlene er like, så er formlene likeverdige; 3) ved å bruke ekvivalente transformasjoner.
Eksempel 2.1: Finn ut om formlene er likeverdige: 1) , ; 2) , .
1) La oss bruke den første metoden for å bestemme ekvivalens, det vil si at vi vil finne ut om ekvivalensen til formler også er en tautologi.
La oss lage en ekvivalent formel: . Den resulterende formelen inneholder to forskjellige variabler ( EN Og I) og 6 operasjoner: 1) ; 2); 3); 4); 5); 6) . Dette betyr at den tilsvarende sannhetstabellen vil ha 5 rader og 8 kolonner:
| EN | I | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Fra den siste kolonnen i sannhetstabellen er det klart at den konstruerte ekvivalensen er en tautologi og derfor .
2) For å finne ut om formlene er like, bruker vi den andre metoden, det vil si at vi komponerer en sannhetstabell for hver av formlene og sammenligner de resulterende kolonnene. ( Kommentar. For å effektivt bruke den andre metoden, er det nødvendig at alle kompilerte sannhetstabeller begynner på samme måte, dvs. settene med variabelverdier var de samme i de tilsvarende radene .)
Formelen inneholder to forskjellige variabler og 2 operasjoner, noe som betyr at den tilsvarende sannhetstabellen har 5 rader og 4 kolonner:
| EN | I | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
Formelen inneholder to forskjellige variabler og 3 operasjoner, som betyr at den tilsvarende sannhetstabellen har 5 rader og 5 kolonner:
| EN | I | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Ved å sammenligne de resulterende kolonnene i de kompilerte sannhetstabellene (siden tabellene begynner på samme måte, kan vi ikke ta hensyn til settene med variabelverdier), ser vi at de ikke stemmer overens, og derfor er formlene ikke ekvivalente ().
Uttrykket er ikke en formel (siden symbolet " " ikke refererer til noen logisk operasjon). Det uttrykker holdning mellom formler (samt likhet mellom tall, parallellitet mellom linjer osv.).
Teoremet om egenskapene til ekvivalensrelasjonen er gyldig:
Teorem 2.1. Ekvivalensforhold mellom proposisjonelle algebraformler:
1) refleksivt: ;
2) symmetrisk: hvis , da ;
3) transitiv: hvis og , så .
Logikkens lover
Ekvivalenser av proposisjonelle logiske formler kalles ofte logikkens lover. Vi lister opp de viktigste av dem:
1. – identitetslov.
2. – lov om utelukket midten
3. – motsigelseslov
4. – disjunksjon med null
5. – konjunksjon med null
6. – disjunksjon med enhet
7. – sammenheng med en
8. – lov om dobbel negasjon
9. – kommutativitet av konjunksjonen
10. – kommutativitet av disjunksjon
11. – assosiativitet av konjunksjon
12. – assosiativitet av disjunksjon
13. – distributivitet av konjunksjonen
14. – fordeling av disjunksjon
15. – lover om idempotens
16. 
; 
– absorpsjonslover
17. 
; 
- De Morgans lover
18. 
– en lov som uttrykker implikasjon gjennom disjunksjon
19. 
– motsetningsloven
20. – lover som uttrykker ekvivalens gjennom andre logiske operasjoner
Logikkens lover brukes til å forenkle komplekse formler og for å bevise den identiske sannheten eller usannheten til formler.
Ekvivalente transformasjoner. Forenkling av formler
Hvis den samme formelen erstattes overalt i stedet for en variabel i ekvivalente formler, vil de nylig oppnådde formlene også vise seg å være ekvivalente i samsvar med substitusjonsregelen. På denne måten kan man fra hver ekvivalens få så mange nye ekvivalenser man ønsker.
Eksempel 1: Hvis i De Morgans lov i stedet X erstatte, og i stedet Y erstatning , får vi en ny ekvivalens. Gyldigheten av den resulterende ekvivalensen kan enkelt verifiseres ved hjelp av en sannhetstabell.
Hvis noen formel som er en del av formelen F, erstatt med en formel som tilsvarer formelen , så vil den resulterende formelen tilsvare formelen F.
Så for formelen fra eksempel 2 kan følgende substitusjoner gjøres:
– loven om dobbel negasjon;
- De Morgans lov;
– loven om dobbel negasjon;
– lov om assosiativitet;
– loven om idempotens.
Ved transitivitetsegenskapen til ekvivalensrelasjonen kan vi slå fast det 
.
Å erstatte en formel med en annen som tilsvarer den kalles tilsvarende transformasjon formler.
Under forenkling formler som ikke inneholder implikasjons- og ekvivalenstegn forstås som en ekvivalent transformasjon som fører til en formel som ikke inneholder negasjoner av ikke-elementære formler (spesielt doble negativer) eller inneholder totalt et mindre antall konjunksjons- og disjunksjonstegn enn den originale.
Eksempel 2.2: La oss forenkle formelen 
.
I det første trinnet brukte vi loven som forvandler implikasjonen til en disjunksjon. På det andre trinnet brukte vi den kommutative loven. På det tredje trinnet brukte vi loven om idempotens. Den fjerde er De Morgans lov. Og for det femte er loven om dobbel negasjon.
Merknad 1. Hvis en bestemt formel er en tautologi, er enhver formel tilsvarende den også en tautologi.
Dermed kan ekvivalente transformasjoner også brukes til å bevise den identiske sannheten til visse formler. For dette denne formelen det er nødvendig å lede ved ekvivalente transformasjoner til en av formlene, som er tautologier.
Notat 2. Noen tautologier og ekvivalenser er kombinert i par (motsigelsesloven og loven om alternative, kommutative, assosiative lover, etc.). Disse korrespondansene avslører den såkalte prinsippet om dualitet .
To formler som ikke inneholder implikasjons- og ekvivalenstegn kalles Dobbel , hvis hver av dem kan fås fra den andre ved å erstatte skiltene henholdsvis med .
Dualitetsprinsippet sier følgende:
Teorem 2.2: Hvis to formler som ikke inneholder implikasjons- og ekvivalenstegn er ekvivalente, er deres doble formler også ekvivalente.
Normale former
Normal form er en syntaktisk entydig måte å skrive en formel på som implementerer en gitt funksjon.
Ved å bruke de kjente logikkens lover kan enhver formel transformeres til en ekvivalent formel av formen 
, hvor og hver er enten en variabel, eller negasjonen av en variabel, eller en konjunksjon av variabler eller deres negasjoner. Med andre ord kan enhver formel reduseres til en ekvivalent formel av enkel standardform, som vil være en disjunksjon av elementer, som hver er en konjunksjon av individuelle forskjellige logiske variabler enten med eller uten et negasjonstegn.
Eksempel 2.3: I store formler eller under flere transformasjoner er det vanlig å utelate konjunksjonstegnet (i analogi med multiplikasjonstegnet): . Vi ser at etter transformasjonene som er utført, er formelen en disjunksjon av tre konjunksjoner.
Dette skjemaet kalles disjunktiv normalform (DNF). Et individuelt DNF-element kalles elementær konjunksjon eller en del av en enhet.
På samme måte kan enhver formel reduseres til en ekvivalent formel, som vil være en konjunksjon av elementer, som hver vil være en disjunksjon av logiske variabler med eller uten et negasjonstegn. Det vil si at hver formel kan reduseres til en ekvivalent formel av skjemaet 
, hvor og hver er enten en variabel, eller negasjonen av en variabel, eller en disjunksjon av variabler eller deres negasjoner. Dette skjemaet kalles konjunktiv normalform
(KNF).
Eksempel 2.4:
Et eget element av CNF kalles elementær disjunksjon eller en bestanddel av null.
Det er klart at hver formel har uendelig mange DNF-er og CNF-er.
Eksempel 2.5: La oss finne flere DNF-er for formelen 
.
Perfekte normale former
SDNF (perfekt DNF) er en DNF der hver elementær konjunksjon inneholder alle elementære utsagn eller deres negasjoner én gang; elementære konjunksjoner gjentas ikke.
SKNF (perfekt CNF) er en CNF der hver elementær disjunksjon inneholder alle elementære utsagn eller deres negasjoner én gang; elementære disjunksjoner gjentas ikke.
Eksempel 2.6: 1) – SDNF
2) 1 - SKNF
La oss formulere karakteristiske trekk SDNF (SKNF).
1) Alle medlemmer av disjunksjonen (konjunksjonen) er forskjellige;
2) Alle medlemmer av hver konjunksjon (disjunksjon) er forskjellige;
3) Ingen konjunksjon (disjunksjon) inneholder både en variabel og dens negasjon;
4) Hver konjunksjon (disjunksjon) inneholder alle variablene som er inkludert i den opprinnelige formelen.
Som vi ser, tilfredsstiller karakteristiske trekk (men ikke former!) definisjonen av dualitet, så det er nok å forstå én form for å lære hvordan man oppnår begge.
Fra DNF (CNF) ved bruk av ekvivalente transformasjoner kan man enkelt få SDNF (SKNF). Siden reglene for å oppnå perfekte normale former også er doble, vil vi analysere i detalj regelen for å oppnå SDNF, og formulere regelen for å oppnå SCNF selv, ved å bruke definisjonen av dualitet.
Generell regel bringe formelen til SDNF ved å bruke ekvivalente transformasjoner:
For å gi formelen F, som ikke er identisk falsk, for SDNF, er det nok:
1) lede henne til en slags DNF;
2) fjern vilkårene for disjunksjonen som inneholder variabelen sammen med dens negasjon (hvis noen);
3) fjerne alle unntatt én av de identiske vilkårene i disjunksjonen (hvis noen);
4) fjerne alle unntatt ett av de identiske medlemmene av hver konjunksjon (hvis noen);
5) hvis en konjunksjon ikke inneholder en variabel blant variablene som er inkludert i den opprinnelige formelen, legg til en term til denne konjunksjonen og bruk den tilsvarende fordelingsloven;
6) hvis den resulterende disjunksjonen inneholder identiske termer, bruk resept 3.
Den resulterende formelen er SDNF for denne formelen.
Eksempel 2.7: La oss finne SDNF og SCNF for formelen 
.
Siden DNF for denne formelen allerede er funnet (se eksempel 2.5), vil vi starte med å skaffe SDNF:
2) i den resulterende disjunksjonen er det ingen variabler sammen med deres negasjoner;
3) det er ingen identiske medlemmer i disjunksjonen;
4) det er ingen identiske variabler i noen konjunksjon;
5) den første elementære konjunksjonen inneholder alle variablene som er inkludert i den opprinnelige formelen, og den andre elementære konjunksjonen mangler en variabel z, så la oss legge til et medlem og bruke distribusjonsloven: ;
6) det er lett å legge merke til at identiske termer dukket opp i disjunksjonen, så vi fjerner en (resept 3);
3) fjern en av de identiske disjunksjonene: 
;
4) de resterende disjunksjonene har ikke identiske termer;
5) ingen av de elementære disjunksjonene inneholder alle variablene som er inkludert i den opprinnelige formelen, så la oss supplere hver av dem med konjunksjonen: ;
6) i den resulterende konjunksjonen er det ingen identiske disjunksjoner, derfor er den funnet konjunktive formen perfekt.
Siden i aggregatet SKNF- og SDNF-formlene F 8 medlemmer, da mest sannsynlig ble de funnet riktig.
Hver mulig (falsifiserbar) formel har én unik SDNF og én unik SCNF. En tautologi har ikke en SKNF, men en motsetning har ikke en SKNF.
Definisjon. To logiske algebraformler A og B er kalt tilsvarende, hvis de tar de samme logiske verdiene på ethvert sett med verdier inkludert i formlene til elementære utsagn.
Vi vil betegne ekvivalensen av formler med tegnet og notasjonen EN I betyr at formlene A og B er likeverdige.
For eksempel er formlene ekvivalente:
Formel A kalles identisk sant (eller tautologi), hvis den tar verdien 1 for alle verdiene av variablene som er inkludert i den.
For eksempel er formlene også sanne , .
Formel EN kalt identisk usant, hvis den tar verdien 0 for alle verdiene av variablene som er inkludert i den.
For eksempel er formelen identisk falsk.
Det er tydelig at ekvivalensrelasjonen er refleksiv, symmetrisk og transitiv.
Det er følgende sammenheng mellom begrepene ekvivalens og ekvivalens: hvis formlene EN Og I er ekvivalente, deretter formelen EN I- tautologi, og vice versa, hvis formelen EN I- tautologi, så formler EN Og I er likeverdige.
De viktigste ekvivalensene til logikkens algebra kan deles inn i tre grupper.
1. Grunnleggende ekvivalenser:
La oss bevise en av absorpsjonslovene. Tenk på formelen . Hvis i denne formelen EN= 1 da, åpenbart, og deretter som en konjunksjon av to sanne utsagn. La nå inn formelen A x = 0. Men da, etter definisjonen av konjunksjonsoperasjonen, vil konjunksjonen også være falsk . Så i alle tilfeller verdiene til formelen EN samsvarer med verdiene EN, og derfor EN x.
2. Ekvivalenser som uttrykker noen logiske operasjoner gjennom andre:
Det er klart at ekvivalensene 5 og 6 hentes fra henholdsvis ekvivalensene 3 og 4 hvis vi tar negasjoner fra begge deler av sistnevnte og bruker loven om å fjerne doble negasjoner. Dermed trenger de fire første ekvivalensene bevis. La oss bevise to av dem: den første og den tredje.
Siden med de samme logiske verdiene X Og på hvis formlene , , , er sanne, vil konjunksjonen også være sann 
.
Derfor, i dette tilfellet, har begge sider av ekvivalensen de samme sanne verdiene.
La det nå X Og på har forskjellige logiske verdier. Da vil ekvivalensen og en av de to implikasjonene eller være falsk. Samtidig
konjunksjonen vil være falsk . I dette tilfellet har altså begge sider av ekvivalensen samme logiske betydning.
Vurder ekvivalens 3. Hvis X Og på ta på sanne verdier samtidig, så vil konjunksjonen være sann x&y og den falske negasjonen av en konjunksjon. På samme tid, og og vil være falsk, og derfor vil disjunksjonen også være falsk .
La nå minst én av variablene X eller på vurderes til falsk. Da vil konjunksjonen være falsk x&y og dens sanne negasjon. Samtidig vil negasjonen av minst én av variablene være sann, og derfor vil disjunksjonen også være sann .
Derfor, i alle tilfeller, tar begge sider av ekvivalens 3 de samme logiske verdiene.
Ekvivalens 2 og 4 er bevist på lignende måte.
Fra ekvivalensene til denne gruppen følger det at enhver formel i logikkens algebra kan erstattes med en ekvivalent formel som inneholder bare to logiske operasjoner: konjunksjon og negasjon eller disjunksjon og negasjon.
Ingen ytterligere eliminering av logiske operasjoner er mulig. Så hvis vi bare bruker konjunksjon, så en slik formel som negasjon X kan ikke uttrykkes ved hjelp av konjunksjonsoperatoren.
Imidlertid er det operasjoner som en av de fem logiske operasjonene vi bruker kan uttrykkes med. En slik operasjon er for eksempel «Scheffers slag»-operasjonen. Denne operasjonen er indikert med symbolet x|y og bestemmes av følgende sannhetstabell:
| x | y | x|y |
Det er åpenbart ekvivalenser:
2) x&y (x|y)|(x|y).
Fra disse to ekvivalensene følger det at enhver formel i logikkens algebra kan erstattes av en ekvivalent formel som bare inneholder "Schaeffer-strek"-operasjonen.
Noter det .
Operasjonen kan legges inn på samme måte 
.
3. Ekvivalenser som uttrykker de grunnleggende lovene i logikkens algebra:
1. x&y y&x - kommutativitet av konjunksjonen.
2. x på y X- kommutativitet av disjunksjonen.
3. x&(y&y) (x&y)&z- assosiativitet av konjunksjonen.
4. X(y z ) (X y) z er assosiativiteten til disjunksjonen.
5. x&(y z) (x&y) (x&z)- fordeling av konjunksjon i forhold til disjunksjon.
6. X (y&z) (X y)& (x z ) - fordeling av disjunksjonen i forhold til konjunksjonen.
La oss bevise den siste av de oppførte lovene. Hvis X= 1, da vil formlene være sanne X (y& z), X y, x z . Men da vil også konjunksjonen være sann (X y)& (x z ). Altså når X= 1, begge sider av ekvivalensen 6 tar de samme logiske verdiene (sann).
La det nå x = 0. Så X (y&z) y&z,x på på Og x z z , og derfor konjunksjonen X (y&z) y&z. Derfor er begge sider av ekvivalens 6 her ekvivalente med samme formel y&z, og tar derfor de samme logiske verdiene.
§ 5. Ekvivalente transformasjoner av formler
Ved å bruke ekvivalensene til gruppe I, II og III kan du erstatte en del av formelen eller en formel med en ekvivalent formel. Slike transformasjoner av formler kalles tilsvarende.
Ekvivalente transformasjoner brukes til å bevise ekvivalenser, for å bringe formler til en gitt form, for å forenkle formler.
Formel EN anses som enklere enn den tilsvarende formelen I, hvis den inneholder færre bokstaver, færre logiske operasjoner. I dette tilfellet erstattes operasjonene med ekvivalens og implikasjon vanligvis med operasjonene disjunksjon og konjunksjon, og negasjon klassifiseres som elementære utsagn. La oss se på en rekke eksempler.
1. Bevis ekvivalens 
.
Bruk av ekvivalenser av gruppe I, II og III
2.
Forenkle formelen 
.
La oss skrive en kjede av ekvivalente formler:
3. Bevis den identiske sannheten til formelen
La oss skrive en kjede av ekvivalente formler:
boolsk algebra
Ekvivalensene til gruppe III indikerer at logikkens algebra har kommutative og assosiative lover angående operasjonene til konjunksjon og disjunksjon og en distributiv lov om konjunksjon angående disjunksjon; de samme lovene gjelder også i tallalgebraen. Derfor kan de samme transformasjonene utføres på formlene til logikkens algebra som utføres i tallalgebraen (åpne parenteser, sette dem i parentes, sette en felles faktor ut av parentes).
Men i logikkens algebra er andre transformasjoner mulige, basert på bruk av ekvivalenser:
Denne funksjonen lar oss komme til vidtrekkende generaliseringer.
Vurder det ikke-tomme settet M elementer av enhver art ( x,y,z,...} , der relasjonen "=" (lik) og tre operasjoner er definert: "+" (addisjon), " " (multiplikasjon) og "-" (negasjon), underlagt følgende aksiomer:
Kommutative lover:
1a. x + y = y + x, 1b. X y = y X.
Foreningslover:
2a. x + (y + z)= (x + y) + z, 2b. X (y z) = (x y) z.
Fordelingslover:
3a. (x + y) z = (x z ) + (y G) 3b. (x y) + z = (x+z) (y + z).
Lover om idempotens:
4a. x + x = x, 4b. X x = x.
Lov om dobbel negasjon:
De Morgans lover:
6a. , 6b . .
Lover for absorpsjon:
7a. x + (y X)= X 7b. X (y + x) = x.
Så mange M kalt boolsk algebra.
Hvis under hovedelementene x, y, z, ... Hvis vi mener utsagn med operasjonene "+", " ", "-" henholdsvis disjunksjon, konjunksjon, negasjon, og likhetstegnet anses som et ekvivalenstegn, så, som følger av ekvivalensene til gruppene I, II og III , alle aksiomene til boolsk algebra er oppfylt.
I de tilfellene når det for et bestemt system av aksiomer er mulig å velge spesifikke objekter og spesifikke forhold mellom dem slik at alle aksiomer er tilfredsstilt, sier de at det er funnet tolkning(eller modell) av dette aksiomsystemet.
Dette betyr at logikkens algebra er en tolkning av boolsk algebra. Boole algebra har andre tolkninger. For eksempel hvis under hovedelementene x, y, z, ... settene M vi mener sett, med operasjonene "+", " ", "-" henholdsvis forening, skjæring, addisjon, og med likhetstegnet - likhetstegnet for sett, så kommer vi til algebraen av sett. Det er ikke vanskelig å verifisere at i settalgebra er alle aksiomene til Boole algebra oppfylt.
Blant de ulike tolkningene av boolsk algebra er det tolkninger av teknisk karakter. En av dem vil bli diskutert nedenfor. Som det vil bli vist, spiller det en viktig rolle i moderne automatisering.
Logiske algebrafunksjoner
Som allerede nevnt, avhenger betydningen av en logisk algebraformel helt av betydningen av utsagnene som er inkludert i denne formelen. Derfor er formelen til logikkens algebra en funksjon av de elementære utsagnene som er inkludert i den.
For eksempel er formelen en funksjon
tre variabler f(x,y,z). Det særegne ved denne funksjonen er det faktum at argumentene har én av to verdier: null eller én, og samtidig tar funksjonen også én av to verdier: null eller én.
Definisjon. Logisk algebrafunksjon hektar med variabler (eller boolsk funksjon) kalles en funksjon av ha-variabler, der hver variabel har to verdier: 0 og 1, og funksjonen kan bare ta en av to verdier: 0 eller 1.
Det er klart at identisk sanne og identisk falske formler for logikkens algebra representerer konstante funksjoner, og to ekvivalente formler uttrykker samme funksjon.
La oss finne ut hva som er antall funksjoner til n variabler. Det er klart at hver funksjon av logikkens algebra (så vel som formelen til logikkens algebra) kan spesifiseres ved hjelp av en sannhetstabell, som vil inneholde 2n rader. Derfor tar hver funksjon av n variabler 2 n verdier som består av nuller og enere. Dermed er en funksjon av n variabler fullstendig bestemt av et sett med verdier på nuller og ener med lengde 2 n. (Det totale antallet sett med nuller og ener med lengde 2 n er lik . Dette betyr at antallet av ulike funksjoner til logikkens algebra P variabler er lik .
Spesielt er det fire forskjellige funksjoner av en variabel, og seksten forskjellige funksjoner av to variabler. La oss skrive ned alle funksjonene til logikkens algebra i en Og to variabler.
Tenk på en sannhetstabell for ulike funksjoner til én variabel. Det ser åpenbart slik ut:
| x | f 1 (x) | f2(x) | f 3 (x) | f 3 (x) |
| 1 | ||||
Fra denne tabellen følger det at to funksjoner til en variabel vil være konstante: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0, a f2(x) X, Og f 3 (x) .
Sannhetstabellen for alle mulige funksjoner til to variabler har formen:
f i = f i (x,y)
| x | y | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | f 7 | f 8 | f 9 | f 10 | f 11 | f 12 | f 13 | f 14 | f 15 | f 16 |
Det er klart at de analytiske uttrykkene til disse funksjonene kan skrives som følger.
Gir deg mulighet til å gå fra ligningen som løses til den såkalte ekvivalente ligninger Og følgeligninger, fra hvis løsninger det er mulig å bestemme løsningen til den opprinnelige ligningen. I denne artikkelen vil vi analysere i detalj hvilke ligninger som kalles ekvivalente og hvilke som kalles korollære ligninger, gi de tilsvarende definisjonene, gi forklarende eksempler og forklare hvordan man finner røttene til en ligning ved å bruke de kjente røttene til en ekvivalent ligning og en følgeligning .
Ekvivalente ligninger, definisjon, eksempler
La oss definere ekvivalente ligninger.
Definisjon
Ekvivalente ligninger- dette er ligninger som har samme røtter eller ikke har røtter.
Definisjoner som er like i betydning, men litt forskjellige i ordlyd, er gitt i ulike lærebøker i matematikk, f.eks.
Definisjon
De to ligningene f(x)=g(x) og r(x)=s(x) kalles tilsvarende, hvis de har samme røtter (eller spesielt hvis begge likningene ikke har noen røtter).
Definisjon
Ligninger som har samme røtter kalles ekvivalente ligninger. Ligninger som ikke har røtter regnes også som likeverdige.
Med de samme røttene menes følgende: hvis et tall er roten til en av de ekvivalente ligningene, så er det også roten til alle andre av disse ligningene, og ikke en av de ekvivalente ligningene kan ha en rot som ikke er roten til noen av dem, disse ligningene.
La oss gi eksempler på ekvivalente ligninger. For eksempel er tre ligninger 4 x = 8, 2 x = 4 og x = 2 ekvivalente. Faktisk har hver av dem en enkelt rot 2, så de er ekvivalente per definisjon. Et annet eksempel: to ligninger x·0=0 og 2+x=x+2 er ekvivalente, settene med løsningene deres faller sammen: roten til både den første og andre av dem er et hvilket som helst tall. De to likningene x=x+5 og x 4 =−1 er også eksempler på ekvivalente likninger; de har begge ingen reelle løsninger.
For å fullføre bildet er det verdt å gi eksempler på ulik likninger. For eksempel er likningene x=2 og x 2 =4 ikke ekvivalente, siden den andre likningen har en rot −2, som ikke er roten til den første likningen. Ligninger og er heller ikke ekvivalente, siden røttene til den andre ligningen er alle tall, og tallet null er ikke roten til den første ligningen.
Den oppgitte definisjonen av ekvivalente likninger gjelder både likninger med én variabel og likninger med et stort antall variabler. Men for ligninger med to, tre osv. variabler, må ordet «røtter» i definisjonen erstattes med ordet «løsninger». Så,
Definisjon
Ekvivalente ligninger- dette er ligninger som har de samme løsningene eller ikke har dem.
La oss vise et eksempel på ekvivalente ligninger med flere variabler. x 2 +y 2 +z 2 =0 og 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - her er et eksempel på ekvivalente ligninger med tre variabler x, y og z, de har begge en unik løsning (0, 0 , 0). Men ligninger med to variabler x+y=5 og x·y=1 er ikke ekvivalente, siden for eksempel et verdipar x=2, y=3 er en løsning på den første ligningen (når du erstatter disse verdiene) inn i den første ligningen får vi den riktige likheten 2+3=5), men er ikke en løsning på den andre (når vi erstatter disse verdiene i den andre ligningen får vi den feilaktige likheten 2·3=1).
Konsekvensligninger
Her er definisjonene av følgeligninger fra skolebøkene:
Definisjon
Hvis hver rot av ligningen f(x)=g(x) samtidig er en rot av ligningen p(x)=h(x), så kalles ligningen p(x)=h(x) konsekvens ligninger f(x)=g(x) .
Definisjon
Hvis alle røttene til den første ligningen er røttene til den andre ligningen, kalles den andre ligningen konsekvens første ligning.
La oss gi et par eksempler på følgeligninger. Ligningen x 2 =3 2 er en konsekvens av ligningen x−3=0. Faktisk har den andre ligningen en enkelt rot x=3, denne roten er også roten til ligningen x 2 =3 2, derfor er, per definisjon, ligningen x 2 =3 2 en konsekvens av ligningen x−3= 0. Et annet eksempel: likningen (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 er en konsekvens av likningen 
, siden alle røttene til den andre ligningen (det er to av dem, disse er 2 og 3) åpenbart er røttene til den første ligningen.
Fra definisjonen av en følgeligning følger det at absolutt enhver ligning er en konsekvens av enhver ligning som ikke har røtter.
Det er verdt å sitere flere ganske åpenbare konsekvenser fra definisjonen av ekvivalente ligninger og definisjonen av en følgeligning:
- Hvis to ligninger er likeverdige, er hver av dem en konsekvens av den andre.
- Hvis hver av to ligninger er en konsekvens av den andre, er disse ligningene ekvivalente.
- To ligninger er ekvivalente hvis og bare hvis hver av dem er en konsekvens av den andre.
1. To like spillere spiller et spill der det ikke er uavgjort. Hva er sannsynligheten for at den første spilleren vinner: a) ett spill av to? b) to av fire? c) tre av seks?
Svar: A) ; b) ; V)
3. Segmenter AB atskilt med en prikk MED i forholdet 2:1. Fire poeng kastes tilfeldig på dette segmentet. Finn sannsynligheten for at to av dem vil være til venstre for punkt C, og to - til høyre.
Svar:
4. Finn sannsynligheten for at hendelse A vil inntreffe nøyaktig 70 ganger i 243 forsøk hvis sannsynligheten for at denne hendelsen inntreffer i hvert forsøk er 0,25.
Svar: .
5. Sannsynligheten for å få en gutt er 0,515. Finn sannsynligheten for at det blant 100 nyfødte vil være like mange gutter og jenter.
Svar: 0,0782
6. Butikken mottok 500 flasker i glassbeholdere. Sannsynligheten for at en flaske vil bli ødelagt under transport er 0,003. Finn sannsynligheten for at butikken får ødelagte flasker: a) nøyaktig to; b) mindre enn to; c) minst to; d) minst én.
Svar: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95
7. Et bilfabrikk produserer 80 % av bilene uten vesentlige feil. Hva er sannsynligheten for at det blant de 600 bilene som leveres fra fabrikken til bilbørsen vil være minst 500 biler uten vesentlige feil?
Svar: 0,02.
8. Hvor mange ganger må en mynt kastes slik at man med en sannsynlighet på 0,95 kan forvente at våpenskjoldets relative utseende vil avvike fra sannsynligheten R=0,5 utseende av våpenskjoldet med ett myntkast med ikke mer enn 0,02?
Svar: n ≥ 2401.
9. Sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i hver av 100 uavhengige hendelser er konstant og lik s=0,8. Finn sannsynligheten for at hendelsen dukker opp: a) minst 75 ganger og ikke mer enn 90 ganger; b) minst 75 ganger; c) ikke mer enn 74 ganger.
Svar: a B C).
10. Sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i hver av de uavhengige forsøkene er 0,2. Finn hvilket avvik av den relative frekvensen av forekomst av en hendelse fra dens sannsynlighet som kan forventes med en sannsynlighet på 0,9128 med 5000 forsøk.
Svar:
11. Hvor mange ganger må en mynt kastes slik at man med sannsynlighet 0,6 kan forvente at avviket til våpenskjoldets relative fremkomstfrekvens fra sannsynligheten s=0,5 vil ikke være mer enn 0,01 i absolutt verdi.
Svar: n = 1764.
12. Sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i hver av 10 000 uavhengige forsøk er 0,75. Finn sannsynligheten for at den relative frekvensen av forekomst av en hendelse vil avvike fra dens sannsynlighet i absolutt verdi med ikke mer enn 0,01.
Svar: .
13. Sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i hver av de uavhengige forsøkene er 0,5. Finn antall forsøk n, hvor vi med en sannsynlighet på 0,7698 kan forvente at den relative frekvensen av forekomsten av en hendelse vil avvike fra dens sannsynlighet i absolutt verdi med ikke mer enn 0,02.
Laster inn...