Formel for å beregne volumene til revolusjonslegemer. Hvordan beregne volumet til et omdreiningslegeme ved å bruke et bestemt integral? Arealet til en flat figur

Definisjon 3. Et omdreiningslegeme er et legeme som oppnås ved å rotere en flat figur rundt en akse som ikke skjærer figuren og ligger i samme plan med den.

Rotasjonsaksen kan krysse figuren hvis det er figurens symmetriakse.

Teorem 2.
, akse
og rette segmenter
Og

roterer rundt en akse
. Deretter kan volumet til det resulterende rotasjonslegemet beregnes ved hjelp av formelen

(2)

Bevis. For en slik kropp, tverrsnittet med abscisse er en sirkel med radius
, Midler
og formel (1) gir det nødvendige resultatet.

Hvis figuren er begrenset av grafene til to kontinuerlige funksjoner
Og
, og linjestykker
Og
, og
Og
, så får vi ved rotasjon rundt x-aksen et legeme hvis volum

Eksempel 3. Beregn volumet til en torus oppnådd ved å rotere en sirkel avgrenset av en sirkel

rundt abscisseaksen.

R beslutning. Den angitte sirkelen er begrenset nedenfor av grafen til funksjonen
, og ovenfra –
. Forskjellen på kvadratene til disse funksjonene:

Nødvendig volum

(grafen til integranden er den øvre halvsirkelen, så integralet skrevet ovenfor er arealet av halvsirkelen).

Eksempel 4. Parabolsk segment med base
, og høyde , roterer rundt basen. Beregn volumet til den resulterende kroppen ("sitron" av Cavalieri).

R beslutning. Vi vil plassere parablen som vist på figuren. Så dets ligning
, og
. La oss finne verdien av parameteren :
. Så det nødvendige volumet:

Teorem 3. La en krumlinjet trapes avgrenset av grafen til en kontinuerlig ikke-negativ funksjon
, akse
og rette segmenter
Og
, og
, roterer rundt en akse
. Deretter kan volumet til det resulterende rotasjonslegemet bli funnet av formelen

(3)

Ideen om bevis. Vi deler segmentet
prikker

, i deler og tegn rette linjer
. Hele trapesen vil bli dekomponert til strimler, som kan betraktes som omtrent rektangler med en base
og høyde
.

Vi kutter den resulterende sylinderen ved å rotere et slikt rektangel langs generatrisen og brette det ut. Vi får et "nesten" parallellepipedum med dimensjoner:
,
Og
. Dens volum
. Så for volumet av et revolusjonslegeme vil vi ha den omtrentlige likheten

For å oppnå eksakt likestilling må man gå til grensen kl
. Summen skrevet ovenfor er integralsummen for funksjonen
, derfor får vi i grensen integralet fra formel (3). Teoremet er bevist.

Merknad 1. I setning 2 og 3 betingelsen
kan utelates: formel (2) er generelt ufølsom for tegnet
, og i formel (3) er det tilstrekkelig
erstattet av
.

Eksempel 5. Parabolsk segment (base
, høyde ) roterer rundt høyden. Finn volumet til den resulterende kroppen.

Løsning. La oss plassere parablen som vist på figuren. Og selv om rotasjonsaksen skjærer figuren, er den - aksen - symmetriaksen. Derfor må vi kun vurdere den høyre halvdelen av segmentet. Parabelligning
, og
, Midler
. For volum har vi:

Notat 2. Hvis den krumlinjede grensen til en krumlinjet trapes er gitt ved parametriske ligninger
,
,
Og
,
så kan du bruke formlene (2) og (3) med erstatningen på
Og
på
når det endres t fra
før .

Eksempel 6. Figuren er begrenset av den første buen til sykloiden
,
,
, og x-aksen. Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere denne figuren rundt: 1) aksen
; 2) akser
.

Løsning. 1) Generell formel
I vårt tilfelle:

2) Generell formel
For vår figur:

Vi inviterer elevene til å utføre alle beregningene selv.

Merknad 3. La en buet sektor avgrenset av en kontinuerlig linje
og stråler
,

, roterer rundt en polar akse. Volumet av den resulterende kroppen kan beregnes ved hjelp av formelen.

Eksempel 7. En del av en figur avgrenset av en kardioide
, liggende utenfor sirkelen
, roterer rundt en polar akse. Finn volumet til den resulterende kroppen.

Løsning. Begge linjene, og derfor figuren de begrenser, er symmetriske om polaraksen. Derfor er det nødvendig å vurdere bare den delen som
. Kurvene krysser kl
Og

på
. Videre kan tallet betraktes som forskjellen mellom to sektorer, og volumet kan derfor beregnes som forskjellen mellom to integraler. Vi har:

Oppgaver for en uavhengig avgjørelse.

1. Et sirkulært segment hvis base
, høyde , roterer rundt basen. Finn volumet til revolusjonslegemet.

2. Finn volumet til en omdreiningsparaboloid hvis base , og høyden er .

3. Figur avgrenset av en astroid
,
roterer rundt abscisseaksen. Finn volumet til den resulterende kroppen.

4. Figur avgrenset av linjer
Og
roterer rundt x-aksen. Finn volumet til revolusjonslegemet.

Emne: "Beregning av volumene til revolusjonslegemer ved å bruke en bestemt integral"

Leksjonstype: kombinert.

Hensikten med leksjonen: lære å beregne volumene til revolusjonslegemer ved hjelp av integraler.

Oppgaver:

konsolidere evnen til å identifisere krumlinjede trapeser fra en rekke geometriske figurer og utvikle ferdighetene til å beregne arealene til krumlinjede trapeser;

bli kjent med konseptet med en tredimensjonal figur;

lære å beregne volumene til revolusjonslegemer;

fremme utviklingen av logisk tenkning, kompetent matematisk tale, nøyaktighet ved konstruksjon av tegninger;

å dyrke interesse for faget, i å operere med matematiske begreper og bilder, å dyrke vilje, selvstendighet og utholdenhet for å oppnå det endelige resultatet.

I løpet av timene

I. Organisatorisk øyeblikk.

Hilsen fra gruppa. Formidle leksjonsmålene til elevene.

Jeg vil starte dagens leksjon med en lignelse. «Det var en gang en klok mann som visste alt. En mann ville bevise at vismannen ikke vet alt. Han holdt en sommerfugl i håndflatene og spurte: "Fortell meg, vismann, hvilken sommerfugl er i mine hender: død eller levende?" Og han tenker: "Hvis den levende sier, skal jeg drepe henne; hvis den døde sier, slipper jeg henne." Vismannen, etter å ha tenkt seg om, svarte: "Alt er i dine hender."

Derfor, la oss jobbe fruktbart i dag, tilegne oss et nytt lager av kunnskap, og vi vil bruke de ervervede ferdighetene og evnene i fremtidens liv og i praktiske aktiviteter. "Alt er i dine hender."

II. Repetisjon av tidligere studert materiale.

La oss huske hovedpunktene i det tidligere studerte materialet. For å gjøre dette, la oss fullføre oppgaven "Eliminer det ekstra ordet."

(Elevene sier et ekstra ord.)

Ikke sant "Differensial". Prøv å navngi de resterende ordene med ett vanlig ord. (Integralregning.)

La oss huske hovedstadiene og konseptene knyttet til integralregning.

Trening. Gjenopprett hullene. (Eleven kommer ut og skriver inn de nødvendige ordene med en tusj.)

Arbeid i notatbøker.

Newton-Leibniz-formelen ble utledet av den engelske fysikeren Isaac Newton (1643-1727) og den tyske filosofen Gottfried Leibniz (1646-1716). Og dette er ikke overraskende, for matematikk er språket som snakkes av naturen selv.

La oss vurdere hvordan denne formelen brukes til å løse praktiske problemer.

Eksempel 1: Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer

Løsning: La oss konstruere grafer over funksjoner på koordinatplanet . La oss velge området av figuren som må finnes.

III. Lære nytt stoff.

Vær oppmerksom på skjermen. Hva vises på det første bildet? (Figuren viser en flat figur.)

Hva vises på det andre bildet? Er denne figuren flat? (Figuren viser en tredimensjonal figur.)

I verdensrommet, på jorden og i hverdagen møter vi ikke bare flate figurer, men også tredimensjonale, men hvordan kan vi beregne volumet til slike kropper? For eksempel: volumet til en planet, komet, meteoritt, etc.

Folk tenker på volum både når man bygger hus og når man heller vann fra ett kar til et annet. Regler og teknikker for å beregne volumer måtte dukke opp, hvor nøyaktige og berettigede de var er en annen sak.

Året 1612 var svært fruktbart for innbyggerne i den østerrikske byen Linz, der den kjente astronomen Johannes Kepler bodde, spesielt for druer. Folk forberedte vintønner og ønsket å vite hvordan de praktisk talt kunne bestemme volumene deres.

Dermed markerte de vurderte verkene til Kepler begynnelsen på en hel strøm av forskning som kulminerte i siste fjerdedel av 1600-tallet. design i verkene til I. Newton og G.V. Leibniz av differensial- og integralregning. Fra den tid av tok matematikken til variabler en ledende plass i systemet for matematisk kunnskap.

I dag vil du og jeg delta i slike praktiske aktiviteter, derfor,

Temaet for leksjonen vår: "Beregne volumene til rotasjonslegemer ved å bruke en bestemt integral."

Du vil lære definisjonen av en revolusjonskropp ved å fullføre følgende oppgave.

"Labyrint".

Trening. Finn en vei ut av den forvirrende situasjonen og skriv ned definisjonen.

IVBeregning av volumer.

Ved å bruke en bestemt integral kan du beregne volumet til et bestemt legeme, spesielt et rotasjonslegeme.

Et revolusjonslegeme er et legeme som oppnås ved å rotere en buet trapes rundt bunnen (fig. 1, 2)

Volumet til et omdreiningslegeme beregnes ved hjelp av en av formlene:

1. rundt OX-aksen.

2. , hvis rotasjonen av en buet trapes rundt aksen til op-ampen.

Elevene skriver ned grunnleggende formler i en notatbok.

Læreren forklarer løsningene til eksemplene på tavlen.

1. Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere rundt ordinataksen til en krumlinjet trapes avgrenset av linjer: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Løsning.

Svar: 1163 cm3.

2. Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere en parabolsk trapes rundt x-aksen y = , x = 4, y = 0.

Løsning.

V. Matesimulator.

2. Settet av alle antiderivater av en gitt funksjon kalles

A) en ubestemt integral,

B) funksjon,

B) differensiering.

7. Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere rundt abscisseaksen til en krumlinjet trapes avgrenset av linjer:

D/Z. Konsoliderer nytt materiale

Beregn volumet av kroppen dannet ved rotasjonen av kronbladet rundt x-aksen y = x2, y2 = x.

La oss bygge grafer av funksjonen. y = x2, y2 = x. La oss transformere grafen y2 = x til formen y = .

Vi har V = V1 - V2 La oss beregne volumet til hver funksjon:

Konklusjon:

Det bestemte integralet er et visst grunnlag for matematikkstudiet, som gir et uerstattelig bidrag til å løse praktiske problemer.

Emnet "Integral" viser tydelig sammenhengen mellom matematikk og fysikk, biologi, økonomi og teknologi.

Utviklingen av moderne vitenskap er utenkelig uten bruk av integralet. I denne forbindelse er det nødvendig å begynne å studere det innenfor rammen av videregående spesialisert utdanning!

VI. Karaktersetting.(Med kommentarer.)

Den store Omar Khayyam - matematiker, poet, filosof. Han oppmuntrer oss til å være herrer over vår egen skjebne. La oss lytte til et utdrag fra hans arbeid:

Du sier, dette livet er ett øyeblikk.
Sett pris på det, hent inspirasjon fra det.
Når du bruker det, vil det gå over.
Ikke glem: hun er din skapelse.

Bruke integraler for å finne volumene til revolusjonslegemer

Den praktiske nytten av matematikk skyldes at uten

Spesifikk matematisk kunnskap gjør det vanskelig å forstå prinsippene for enheten og bruken av moderne teknologi. Hver person i livet hans må utføre ganske komplekse beregninger, bruke ofte brukt utstyr, finne de nødvendige formlene i referansebøker og lage enkle algoritmer for å løse problemer. I det moderne samfunnet er flere og flere spesialiteter som krever høy utdanning knyttet til direkte anvendelse av matematikk. Dermed blir matematikk et faglig viktig fag for en student. Hovedrollen tilhører matematikken i dannelsen av algoritmisk tenkning; den utvikler evnen til å handle i henhold til en gitt algoritme og til å konstruere nye algoritmer.

Mens jeg studerer emnet med å bruke integralet til å beregne volumene av revolusjonslegemer, foreslår jeg at studenter i valgfag vurderer emnet: "Volumer av revolusjonslegemer ved bruk av integraler." Nedenfor er metodiske anbefalinger for å vurdere dette emnet:

1. Arealet av en flat figur.

Fra algebrakurset vet vi at problemer av praktisk art førte til begrepet en bestemt integral..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

For å finne volumet til et rotasjonslegeme dannet av rotasjonen av en krumlinjet trapes rundt Ox-aksen, avgrenset av en brutt linje y=f(x), Ox-aksen, rette linjer x=a og x=b, beregner vi ved hjelp av formelen

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.Sylindervolum.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Keglen fås ved å rotere den rettvinklede trekanten ABC (C = 90) rundt okseaksen som benet AC ligger på.

Segment AB ligger på den rette linjen y=kx+c, der https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

La a=0, b=H (H er høyden på kjeglen), så Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.Volum av en avkortet kjegle.

En avkortet kjegle kan oppnås ved å rotere en rektangulær trapes ABCD (CDOx) rundt Ox-aksen.

Segmentet AB ligger på den rette linjen y=kx+c, hvor , c=r.

Siden den rette linjen går gjennom punkt A (0;r).

Dermed ser den rette linjen ut som https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

La a=0, b=H (H er høyden på den avkortede kjeglen), deretter https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Volum av ballen.

Kulen kan oppnås ved å rotere en sirkel med sentrum (0;0) rundt okseaksen. Halvsirkelen plassert over okseaksen er gitt av ligningen

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Leksjonstype: kombinert.

Hensikten med leksjonen: lære å beregne volumene til revolusjonslegemer ved hjelp av integraler.

Oppgaver:

konsolidere evnen til å identifisere krumlinjede trapeser fra en rekke geometriske figurer og utvikle ferdighetene til å beregne arealene til krumlinjede trapeser;
bli kjent med konseptet med en tredimensjonal figur;
lære å beregne volumene til revolusjonslegemer;
fremme utviklingen av logisk tenkning, kompetent matematisk tale, nøyaktighet ved konstruksjon av tegninger;
å dyrke interesse for faget, i å operere med matematiske begreper og bilder, å dyrke vilje, selvstendighet og utholdenhet for å oppnå det endelige resultatet.

I løpet av timene

I. Organisatorisk øyeblikk.

Hilsen fra gruppa. Formidle leksjonsmålene til elevene.

Speilbilde. Rolig melodi.

– Jeg vil starte dagens leksjon med en lignelse. «Det var en gang en klok mann som visste alt. En mann ville bevise at vismannen ikke vet alt. Han holdt en sommerfugl i håndflatene og spurte: "Fortell meg, vismann, hvilken sommerfugl er i mine hender: død eller levende?" Og han tenker selv: "Hvis den levende sier: Jeg vil drepe henne; den døde vil si: Jeg vil slippe henne løs." Vismannen, etter å ha tenkt seg om, svarte: "Alt i dine hender". (Presentasjon.Lysbilde)

– La oss derfor jobbe fruktbart i dag, tilegne oss et nytt lager av kunnskap, og vi vil bruke de tilegnete ferdighetene og evnene i fremtidens liv og i praktiske aktiviteter. "Alt i dine hender".

II. Repetisjon av tidligere studert materiale.

– La oss huske hovedpunktene i det tidligere studerte materialet. For å gjøre dette, la oss fullføre oppgaven "Eliminér det ekstra ordet."(Lysbilde.)

(Eleven går til I.D. bruker et viskelær for å fjerne det ekstra ordet.)

- Ikke sant "Differensial". Prøv å navngi de resterende ordene med ett vanlig ord. (Integralregning.)

– La oss huske hovedstadiene og konseptene knyttet til integralregning..

"Matematisk gjeng".

Trening. Gjenopprett hullene. (Eleven kommer ut og skriver de nødvendige ordene med en penn.)

– Vi vil høre et sammendrag om anvendelse av integraler senere.

Arbeid i notatbøker.

– Newton-Leibniz-formelen ble utledet av den engelske fysikeren Isaac Newton (1643–1727) og den tyske filosofen Gottfried Leibniz (1646–1716). Og dette er ikke overraskende, for matematikk er språket som snakkes av naturen selv.

– La oss vurdere hvordan denne formelen brukes til å løse praktiske problemer.

Eksempel 1: Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer

Løsning: La oss bygge grafer over funksjoner på koordinatplanet . La oss velge området av figuren som må finnes.

III. Lære nytt stoff.

– Vær oppmerksom på skjermen. Hva vises på det første bildet? (Lysbilde) (Figuren viser en flat figur.)

– Hva vises på det andre bildet? Er denne figuren flat? (Lysbilde) (Figuren viser en tredimensjonal figur.)

– I verdensrommet, på jorden og i hverdagen møter vi ikke bare flate figurer, men også tredimensjonale, men hvordan kan vi beregne volumet til slike kropper? For eksempel volumet til en planet, komet, meteoritt, etc.

– Folk tenker på volum både når man bygger hus og når man heller vann fra ett kar til et annet. Regler og teknikker for å beregne volumer måtte dukke opp, hvor nøyaktige og rimelige de var er en annen sak.

Melding fra en student. (Tyurina Vera.)

– Dermed la Keplers betraktede verk grunnlaget for en hel strøm av forskning som kulminerte i siste fjerdedel av 1600-tallet. design i verkene til I. Newton og G.V. Leibniz av differensial- og integralregning. Fra den tid av tok matematikken til variabler en ledende plass i systemet for matematisk kunnskap.

– I dag skal du og jeg delta i slike praktiske aktiviteter, derfor,

Temaet for leksjonen vår: "Beregne volumene til rotasjonslegemer ved å bruke en bestemt integral." (Lysbilde)

– Du vil lære definisjonen av et rotasjonslegeme ved å fullføre følgende oppgave.

"Labyrint".

Labyrint (gresk ord) betyr å gå under jorden. En labyrint er et intrikat nettverk av stier, passasjer og sammenhengende rom.

Men definisjonen var "ødelagt", og etterlot ledetråder i form av piler.

Trening. Finn en vei ut av den forvirrende situasjonen og skriv ned definisjonen.

Lysbilde. "Kartinstruksjon" Beregning av volum.

Ved å bruke en bestemt integral kan du beregne volumet til et bestemt legeme, spesielt et rotasjonslegeme.

Et revolusjonslegeme er et legeme som oppnås ved å rotere en buet trapes rundt bunnen (fig. 1, 2)

Volumet til et rotasjonslegeme beregnes ved å bruke en av formlene:

1. rundt OX-aksen.

2. , hvis rotasjonen av en buet trapes rundt aksen til op-ampen.

Hver elev får et instruksjonskort. Læreren legger vekt på hovedpoengene.

– Læreren forklarer løsningene til eksemplene på tavlen.

La oss vurdere et utdrag fra det berømte eventyret av A. S. Pushkin "Fortellingen om tsar Saltan, om hans strålende og mektige sønn prins Guidon Saltanovich og om den vakre prinsesse Svanen" (lysbilde 4):

…..
Og den fulle budbringeren brakte
Samme dag er rekkefølgen som følger:
«Kongen beordrer guttene sine,
Uten å kaste bort tid,
Og dronningen og avkommet
Kast i all hemmelighet ned i vannets avgrunn.»
Det er ingenting å gjøre: gutter,
Bekymring for suverenen
Og til den unge dronningen,
En folkemengde kom til soverommet hennes.
De erklærte kongens vilje -
Hun og sønnen hennes har en ond del,
Vi leser dekretet høyt,
Og dronningen i samme time
De la meg i en tønne med sønnen min,
De tjæret og kjørte bort
Og de slapp meg inn i okiyan -
Dette er hva tsar Saltan beordret.

Hva skal volumet på tønnen være slik at dronningen og sønnen hennes får plass i den?

– Vurder følgende oppgaver

1. Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere rundt ordinataksen til en krumlinjet trapes avgrenset av linjer: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Svar: 1163 cm 3 .

Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere en parabolsk trapes rundt abscisseaksen y = , x = 4, y = 0.

IV. Konsoliderer nytt materiale

Eksempel 2. Regn ut volumet av kroppen som dannes ved rotasjonen av kronbladet rundt x-aksen y = x 2, y 2 = x.

La oss bygge grafer av funksjonen. y = x 2, y 2 = x. Rute y2 = x konvertere til skjemaet y= .

Vi har V = V 1 – V 2 La oss beregne volumet til hver funksjon

– La oss nå se på tårnet for radiostasjonen i Moskva på Shabolovka, bygget i henhold til designet til den bemerkelsesverdige russiske ingeniøren, æresakademikeren V. G. Shukhov. Den består av deler - rotasjonshyperboloider. Dessuten er hver av dem laget av rette metallstenger som forbinder tilstøtende sirkler (fig. 8, 9).

- La oss vurdere problemet.

Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere hyperbelbuene rundt sin imaginære akse, som vist i fig. 8, hvor

kube enheter

Gruppeoppgaver. Elevene trekker lodd med oppgaver, tegner tegninger på whatman-papir, og en av grupperepresentantene forsvarer arbeidet.

1. gruppe.

Truffet! Truffet! Nok et slag!
Ballen flyr i mål - BALL!
Og dette er en vannmelonball
Grønn, rund, velsmakende.
Ta en bedre titt - for en ball!
Den er laget av ingenting annet enn sirkler.
Skjær vannmelonen i sirkler
Og smak på dem.

Finn volumet av kroppen oppnådd ved rotasjon rundt OX-aksen til funksjonen begrenset

Feil! Bokmerket er ikke definert.

– Fortell meg hvor vi møter denne figuren?

Hus. oppgave for 1 gruppe. SYLINDER (lysbilde) .

"Sylinder - hva er det?" – Jeg spurte faren min.
Faren lo: Topphatten er en lue.
For å ha en riktig idé,
En sylinder, la oss si, er en blikkboks.
Dampbåtrør - sylinder,
Røret på taket vårt også,

Alle rør ligner på en sylinder.
Og jeg ga et eksempel som dette -
Mitt elskede kaleidoskop,
Du kan ikke ta øynene fra ham,
Og det ser også ut som en sylinder.

- Trening. Lekser: tegn graf funksjonen og beregn volumet.

2. gruppe. KJEGLE (lysbilde).

Mamma sa: Og nå
Min historie vil handle om kjeglen.
Stjernekikker i høy hatt
Teller stjernene hele året.
KEGLE - stjernekikkerhatt.
Det er slik han er. Forstått? Det er det.
Mamma sto ved bordet,
Jeg helte olje på flasker.
-Hvor er trakten? Ingen trakt.
Se etter det. Ikke stå på sidelinjen.
- Mamma, jeg gir meg ikke.
Fortell meg mer om kjeglen.
– Trakten er i form av en vannkannekjegle.
Kom igjen, finn henne for meg raskt.
Jeg fant ikke trakten
Men mamma laget en pose,
Jeg surret pappen rundt fingeren
Og hun festet den behendig med en binders.
Oljen renner, mamma er glad,
Kjeglen kom akkurat ut.

Trening. Beregn volumet til et legeme oppnådd ved å rotere rundt abscisseaksen

Hus. oppgave for 2. gruppe. PYRAMIDE(lysbilde).

Jeg så bildet. I dette bildet
Det er en PYRAMIDE i sandørkenen.
Alt i pyramiden er ekstraordinært,
Det er en slags mystikk og mystikk i det.
Og Spasskaya-tårnet på Røde plass
Det er veldig kjent for både barn og voksne.
Hvis du ser på tårnet, ser det vanlig ut,
Hva er på toppen av det? Pyramide!

Trening. Lekser: Tegn graf funksjonen og beregn volumet til pyramiden

– Vi beregnet volumene til ulike kropper basert på den grunnleggende formelen for kroppsvolumene ved å bruke en integral.

Dette er nok en bekreftelse på at det bestemte integralet er et eller annet grunnlag for studiet av matematikk.

– Vel, la oss nå hvile litt.

Finn et par.

Matematisk domino-melodi spiller.

"Veien jeg selv var på jakt etter vil aldri bli glemt..."

Forskningsarbeid. Anvendelse av integralet i økonomi og teknologi.

Tester for sterke elever og matematisk fotball.

Matesimulator.

2. Settet av alle antiderivater av en gitt funksjon kalles

A) en ubestemt integral,

B) funksjon,

B) differensiering.

7. Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere rundt abscisseaksen til en krumlinjet trapes avgrenset av linjer:

D/Z. Beregn volumene til revolusjonslegemer.

Speilbilde.

Mottak av refleksjon i formen syncwine(fem linjer).

1. linje – emnenavn (ett substantiv).

2. linje – beskrivelse av emnet med to ord, to adjektiver.

3. linje – beskrivelse av handlingen innenfor dette emnet med tre ord.

Den 4. linjen er en frase på fire ord som viser holdningen til emnet (en hel setning).

Den 5. linjen er et synonym som gjentar essensen av emnet.

Volum.
Definitiv integrert, integrerbar funksjon.
Vi bygger, vi roterer, vi regner.
Et legeme oppnådd ved å rotere en buet trapes (rundt basen).
Rotasjonslegeme (volumetrisk geometrisk legeme).

Konklusjon (lysbilde).

En bestemt integral er et visst grunnlag for studiet av matematikk, som gir et uerstattelig bidrag til å løse praktiske problemer.
Emnet "Integral" viser tydelig sammenhengen mellom matematikk og fysikk, biologi, økonomi og teknologi.
Utviklingen av moderne vitenskap er utenkelig uten bruk av integralet. I denne forbindelse er det nødvendig å begynne å studere det innenfor rammen av videregående spesialisert utdanning!

Karaktersetting. (Med kommentarer.)

Den store Omar Khayyam - matematiker, poet, filosof. Han oppmuntrer oss til å være herrer over vår egen skjebne. La oss lytte til et utdrag fra hans arbeid:

Du vil si, dette livet er ett øyeblikk.
Sett pris på det, hent inspirasjon fra det.
Når du bruker det, vil det gå over.
Ikke glem: hun er din skapelse.